ENP d’Oran
Année univ 2020/2021
Département des CPST
Matière: Algèbre 1
1ere année Classes Prépartoires
Fiche de TD N 1 (Logique, Ensembles et Applications) Exercice 1: a) Soient P; Q et R trois propositions mathématiques logiques. Montrer que: (P ) Q ^ Q ) R) ) (P ) R). b) Les assertions suivantes sont-elles vraies? 1) 9x 2 R; x2
2:
2) 8x 2 R; 8y 2 R; x + y > 0:
3) 8b > 0; 9a 2 R; jaj < b:
c) Soit f : R ! R: Nier les assertions suivantes: 1) 8x 2 R; f (x) 6= 0: 2) 8M > 0; 9A > 0; 8x
A; f (x) > M:
3) 8" > 0; 9 > 0; 8 (x; y) 2 I 2 ; (jx
yj <
) jf (x)
f (y)j < ") :
Exercice 2: Démontrer les énoncés suivants: 1) Pour n 2 N : si n2
1 n’est pas divisible par 8, alors l’entier n est pair. (contraposée) p 2) Montrer que le polynôme x4 3x3 +x2 x+ 2 n’admet pas de racine entière. ( l’absurde)
3) Montrer par récurrence, que pour tout n 2 N : 2n
1
n!
nn :
Exercice 3: Soient A; B et C trois parties d’un ensemble E: Montrer : 1) (A \ B) [ C = (A [ C) \ (B [ C) :
2) A 4 B = (A \ B c ) [ (B \ Ac ) :
Exercice 4: a) On considère l’application f de R dans R dé…nie par f (x) = jxj : 1) Déterminer les images directes f (f 1; 2g) ; f ([ 3; 1]) ; f ([ 3; 1]) : 2) Déterminer les images réciproques f
1 (f4g) ;
f
1 (f
1g) ; f
1 ([
1; 4]) :
b) Les applications suivantes sont-elles injectives? surjectives? bijectives? p p 1) f1 : f1; 2; 3g ! 2; 21 ; 3; 0 telle que f1 (1) = 3; f1 (2) = 0; f1 (3) = 2: 2) f2 : Z ! Z; dé…nie par n 7! f2 (n) = 2n: 3) f3 : R ! R; dé…nie par x 7! f3 (x) = x2 : Exercice 5: L’application f : R n f 2g ! R dé…nie par f (x) =
x 1 x+2
est-elle injective?
surjective? Quelle restriction doit-on faire sur l’ensemble d’arrivée pour que f devienne une bijection? Dans ce cas expliciter l’application réciproque.
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