Fiche de Td 4: les Fractions Rationnelles 1ère année, FPST, ENPO-MA, 20/21 Exercice 1. Décomposer en élément simple dans C(X) les fractions rationnelles suivantes : X3 + 1 X 5 + 2X − 1 et G = . F = X4 − 1 (X 2 + X + 1)(X 2 + 1) Exercice 2. Donner la DES dans R(X) de la fraction rationnelle si dessous : F =
X8 . (X 2 − X + 1)3
Exercice 3. Décomposer en élément simple la fraction rationnelle suivante : F =
X8 + X + 1 . X 4 (X − 1)3
Exercice 4.***(à faire ! ! !) On considère le polynôme Pm défini par : Pm = X 4 − X 3 + mX 2 − mX, oú m ∈ R. (1) Déterminer m pour que 1 soit une racine double de Pm . (2) Factoriser Pm dans R[X]. (3) Décomposer en élément simple dans R(X) la fraction P1m pour les valeurs m = −1 et m = 0.
1
Corrigé des exercices
Exercice 1. 5 Soit F = X X+2X−1 . 4 −1 5 En écrivant X + 2X − 1 = X(X 4 − 1) + 3X − 1, . on a donc F = X + 3X−1 X 4 −1 3X−1 P On pose R = X 4 −1 = Q . Il est clair que les pôles simples de R sont α1 = 1, α2 = −1, α3 = i et α4 = −i. La décomposition de R sur C s’écrit alors : R=
a1 a2 a3 a4 + + + . X −1 X +1 X −i X +i
On rappelle que : ai =
P (αi ) , i = 1, 2, 3, 4. Q́(αi )
On a Q́ = 4X 3 , ainsi, le calcul des coéfficients intervenant dans la DES de R donne : 1 −4 3i − 1 3+i −3i − 1 3−i a1 = , a 2 = = 1, a3 = =− a4 = =− . 2 −4 −4i 4 4i 4 La DES de F sur C est F =X+
1 3+i 3−i 1 + − − . 2(X − 1) X + 1 4(X − i) 4(X + i)
En regroupant les termes conjugués, on obtient la DES de F dans R(X) ; c’est à dire : F =X+
1 1 1 (3 + i)(X + i) + (3 − i)(X − i) + − [ ], 2(X − 1) X + 1 4 X2 + 1 F =X+
1 1 1 6X − 2 + − [ 2 ], 2(X − 1) X + 1 4 X + 1
F =X+
1 1 3X − 1 + − ]. 2(X − 1) X + 1 2(X 2 + 1)
Enfin,
2
* Décomposons en élément simples dans R(X) la fonction rationnelle : G=
X3 + 1 . (X 2 + X + 1)(X 2 + 1)
En effet, la DES sur R(X) s’écrit : ∃A, B, C, D, E, F ∈ R tels que : G=
Ax + B CX + D EX + F + . + X 2 + X + 1 (X 2 + 1)2 X2 + 1
√
On a j = −1−2 3i et j̄ sont des racines de X 2 + X + 1. En multipliant G par X 2 + X + 1, en remplaçant X par j, on trouve : Aj + B =
j3 + 1 2 = 2 = 2j. 2 2 (j + 1) j
Donc A = 2 et B = 0. En multipliant G par (X 2 + 1)2 , en remplaçant X par i, on trouve : Ci + D =
1−i i3 + 1 = = −i − 1. 2 i +i+1 i
Donc C = −1 et D = −1. En suite, on calcule G(0) et donc 1 = B +D +F et limx→∞ XF = 0 = A+E. Ce qui donne F = 2 et E = −2. En conclusion G=
X2
X +1 2X − 2 2X − − 2 . 2 2 + X + 1 (X + 1) X +1
Exercice 2. X8 2 Soit F = (X 2 −X+1) 3 . Le polynôme X − X + 1 est irréductible dans R[X]. Posons B = X 2 − X + 1. Les divisions euclidienne succéssives de X 8 par B donnent : X 8 = Q1 .B + R1 ; Q1 = X 6 + X 5 − X 3 − X 2 + 1, R1 = X − 1. Q1 = Q2 .B + R2 ; Q2 = X 4 + 2X 3 + X 2 − 2X − 4, R2 = −2X + 5, Q2 = Q3 .B + R3 ; Q3 = X 2 + 3X + 3, R3 = −2X − 7. Ainsi, X 8 = R1 + B(Q2 .B + R2 ) = R1 + B(B(Q3 .B + R3 ) + R2 ), X 8 = B 3 .Q3 + B 2 .R3 + B.R2 + R1 . La fraction F devient alors : X8 R3 R2 R1 F = 3 = Q3 + + 2 + 3. B B B B Donc F = X 2 + 3X + 3 −
X −1 2X + 7 2X − 5 − + . 2 2 2 − X + 1 (X − X + 1) (X − X + 1)3
X2
3
Exercice 3. 8 +X+1 8 + X + 1 et Q = X 4 (X − 1)3 = Soit F = XX4 (X−1) 3 . On pose P = X X 7 − 3X 6 + 3X 5 − X 4 . La division euclidienne de P par Q donne l’identité suivante : P = (X + 3).Q + 6X 6 − 8X 5 + 3X 4 + X + 1. On a donc F = X + 3 + G avec : G=
6X 6 − 8X 5 + 3X 4 + X + 1 . X 4 (X − 1)3
Il est clair que 0 est un pôle d’ordre 4 de G. On effectue la division suivant les puissances croissantes de 1 + X + 3X 4 − 8X 5 + 6X 6 par (X − 1)3 = −1 + 3X − 3X 2 + X 3 . On a alors : 1 + X + 3X 4 − 8X 5 + 6X 6 = (X − 1)3 .(−1 − 4X − 9X 2 − 16X 3 ) + (28X 4 − 47X 5 + 22X 6 ). Donc X 4 .G = −1 − 4X − 9X 2 − 16X 3 + et G=
28X 4 − 47X 5 + 22X 6 (X − 1)3
−1 − 4X − 9X 2 − 16X 3 28X 4 − 47X 5 + 22X 6 + . X4 (X − 1)3
D’ou
1 4 9 16 − − − + H, X4 X3 X2 X 28X 4 − 47X 5 + 22X 6 a b c avec H = = + + . 3 2 (X − 1) X − 1 (X − 1) (X − 1)3 G=−
3
= 22. On On a ((X − 1).H)(1) = c = 3 et limx→∞ XH = a = limx→∞ 22X X3 remplace x par 0 dans H, on obtient b = −3. Ainsi la DES de H est H=
3 22 3 − + . X − 1 (X − 1)2 (X − 1)3
Enfin : F =X +3−
1 4 9 16 22 3 3 − 3− 2− + − + . 4 2 X X X X X − 1 (X − 1) (X − 1)3
4