ECOLE NATIONALE POLYTECHNIQUE D’ORAN
ANNEE UNIVERSITAIRE 2020-2021 Année pédagogique : 1ère ANNEE
Département de la Formation Préparatoire en Sciences et Technologies
Fiche de TD n°2 probabilité-statistique (1er Semestre)) Exercice n°1 : Le diagramme en bâtons des fréquences ci-dessous donne la répartition des notes obtenues à un contrôle de mathématiques par les élèves d’une classe de terminale.
fi 0,35
0,28
0,30
0,24
0,25 0,20
0,16
0,15
0,08
0,10
0,08
0,12 0,04
0,05
7
1234-
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
xi
A partir du diagramme en bâtons donnez la valeur du mode de cette série statistique. Expliquez ? Construisez le tableau statistique des fréquences associé à cette série statistique. Donnez la proportion en pourcentage (%) des élèves qui ont une note superieure à 11 (X > 11) . Calculez la moyenne de cette série statstique. 7
5- Sachant que ni xi 570 calculez l’effectif total ainsi que l’effectif de chaque modalité. i 1
Exercice n°2 : Le tableau ci-dessous donne la répartition des boulangeries d’une ville selon le prix auquel elles vendent la baguette : Prix (Euro) Effectif 12345-
0,55 4
0,60 14
0,65 26
0,70 11
0,75 7
0,80 12
0,85 7
0,90 5
Calculez le prix moyen d’une baguette. Déterminez le prix médian d’une baguette. Déterminez les premier et troisième quartiles. Calculez l’étendue de la série. Déterminez le prix médian d’une baguette, les premier et troisième quartiles si on remplace le 1er tableau par le tableau suivant : Prix (Euro) Effectif
0,55 4
0,60 14
0,65 4
0,70 11
0,75 7
0,80 8
0,85 11
0,90 5
Exercice n°3 : On a effectué avec les mêmes athlètes un sondage sur le temps d’entrainement par semaine, exprimé en heures, Les résultats sont donnés ci-dessous : Temps d’entrainement
Fi
0 ,10
0,04
10 , 15 15 , 20 20 , 25 25 , 30
0,20
1- Déterminer la classe du premier quartile Q1 sachant que 0,30 ≤ F3. 2- Calculer F3 sachant que le premier quartile Q1 = 16 heures. Dans toute la suite on prend F3 = 0,45. 3- Calculer les fréquences de cette série statistique. 4- Déduire la moyenne arithmétique. 5- Calculer l’écart type (x) de cette série. 5
6- Sachant que
n c i 1
2 i i
F3 0,82 1,00
42600 calculer l’effectif total ainsi que l’effectif
de chaque classe. Remarque2 : Pour l’exercice 3 les calculs se feront 4 chiffres après la virgule.
Exercice n°4 : Une enquete statistique chez 1000 commercants porte sur le nombre d’heures d’ouvertures hebdomadaire. On a obtenu les resultats suivants : En prenant le nombre moyen d’heures d’ouverture hebdomadaires 40,38. 1- Determiner les effectifs n6 et n8 . 2- Calaculer mode et la mediane de cette distribution (on prend a*=1) ? 3- Calculer la variance puis l’ecart-type de cette distribution. 4- Calculer les premier et troisième quartiles.
Exercice 5 : Dans une gare routière, on évalue le temps d’attente de 80 voyageurs en minutes. Voici l’histogramme des effectifs de cette variable.
nic 250
200
150
100
50
0
10
20
40
50
60
1- Représenter graphiquement le mode M0 de cette série statistique. 2- Construisez le tableau statistique des effectifs associé à cette série (en fonction de )
Avec a*=100. 3- Calculer . 4- Déterminez le mode M0 de cette série.
bi
Solution de l’exercice n°1 : 1- La valeur du mode de cette série statistique est Mo = 14 . 2- Le tableau statistique des fréquences associé à cette série statistique.
xi
fi
fi xi
fi xi2
8 9 10 11 12 14 16 Total
0,08 0,24 0,08 0,12 0,16 0,28 0,04 1,00
0,64 2,16 0,80 1,32 1,92 3,92 0,64 11,4
5,12 19,44 8,00 14,52 23,04 54,88 10,24 135,24
3- La proportion en pourcentage (%) des élèves qui ont une note superieure à 11 ( X > 11) corréspond à : La fréquence cumulées décroissante d’ordre 5 ( x5 = 12), c'est-à-dire :
F’5 = f5d = 1 - ( f1 + f2 + f3+ f4) = f5 + f6 + f7 = 0,16 + 0,28+ 0,04 = 0,48 donc 48%.
ni xi i r f i xi 11,4 i 1 N i 1 7 5- Sachant que ni xi 570 calculez l’effectif total ainsi que l’effectif de chaque modalité. 7 4- Calculer la moyenne de cette série statstique. x
n x
i 1
i r
ni xi i r x f i xi 11,4 N i 1 N i 1 ni N f i ni N f i
i
i 1
x
i
ir
570 50 11,4
n1 N f 1 50 0 ,08 4 ; n2 N f 2 50 0 ,24 12; n3 N f 3 50 0 ,08 4 n4 N f 4 50 0 ,12 6 ; n5 N f 5 50 0 ,16 8 ; n6 N f 6 50 0 ,28 14 ; n7 N f7 50 0 ,04 2
Solution de l’exercice 2 : xi
ni
Ni
ni .xi
0,55
4
4
2,2
0,60
14
18
8,4
0,65
26
44
16,9
0,7
11
55
7,7
0,75
7
62
5,25
0,8
12
74
9,6
0,85
7
81
5,95
0,9 Total
5
86
86
4,5 60,5
1- Calculez le prix moyen d’une baguette. x
1 N
8
n x i 1
i
i
60,5 0 ,70 86
2- Calcul du prix médian d’une baguette : N
Dans ce cas l’effectif total est N = 86 qui est un nombre pair avec 2 43 ,
v v 44 0 ,65 0 ,65 0 ,65 N2 = 18 et N3 = 44 ; donc : Me 43 2 2 1 3- Pour Q1 N p 86 21,5 qui n’est pas un nombre entier, donc Q1 v21,5 v22 0,65 4 3 Pour Q3 N p 86 64,5 qui n’est un nombre entier, donc Q3 v64 ,5 v65 0,80 4
4- l’étendue de la série est :
E xmax xmin 0 ,9 0 ,55 0 ,35.
5xi
ni
Ni
0,55
4
4
0,60
14
18
0,65
4
22
0,7
11
33
0,75
7
40
0,8
8
48
0,85
11
59
0,9 Total
5
64
64
1- Dans ce cas l’effectif total est N = 64 = 2×32 (un nombre pair), donc Me
v32 v33 0,70 0,70 0,70 2 2
v v 1 0,60 0,60 0,60 16 qui est un nombre entier, donc Q1 16 17 2 2 4 v v49 0,80 0,85 3 0,825 3- Pour Q3 N p 64 48 qui est un nombre entier, donc Q3 48 2 2 4 2- Pour Q1 N p 64
Solution exercice n°3 : Temps de trajet
Nombre d’élèves
ni
fi
Fi
Fi
ci
fi ci
fi ci2
ai
0 ,10
4
0,04
0,04
0,04
5
0,20
1,00
10
10 , 15 15 , 20 20 , 25 25 , 30
16
0,16
0,20
0,20
12,5
2,00
25,00
5
25
0,25
0,45
F3
17,5
4,375
76,5625
5
37
0,37
0,82
0,82
22,5
8,325
187,3125
5
18
0,18
1,00
1,00
27,5
4,950
136,125
5
19,85
426
1) la classe du premier quartile Q1 est 15 , 20 car 0,25 < 0,30 ≤ F3 , l’ordre de Q1 p = 0,25 et F2 = 0,20.
2) Calculer F3 sachant que le premier quartile Q1 = 16. On a : Q1 = bi-1 + ai
0,25 Fi 1 Fi Fi 1
0,25 0,20 15 5 F3 0,20
0,05 3 0,20
16 = 15 5 F
F3 0 , 20 0 , 25 F3 0 ,45
3) Pour le calcul des fréquences si F3 = 0,45 voir le tableau. 4) Déduire la moyenne arithmétique (voit le tableau en haut de la page). 5
x f i ci 19,85 i 1
5) Calcul de l’écart – type :
X V X
5 2 f i c i2 x i 1
X 426 19,85 ( x ) 426 394,0225 31,9775 2
( x ) 5 ,6549
5
6) Le calcul de l’effectif total ainsi que l’effectif de chaque classe si
n c i 1
2 i i
42600
.
5 ni ci2 5 5 1 42600 100 f i ci2 ni ci2 N i 5 1 N 100 426 i 1 N i 1 2 f i ci i 1 ni N f i
n1 N f 1 100 0,04 4, n2 N f 2 100 0,16 16, n3 N f 3 100 0,25 25, n4 N f 4 100 0,37 37, et n5 N f 5 100 0,18 18, Solution exercice n°4 :
Nombre d’heures
ni
[30 , 35[ [35 , 37[ [37, 39[ [39, 40[ [40 , 41[ [41 , 43[ [43, 45[ [45, 50[
50 100 200 150 120 n6 = 150 130 n8 = 100
Total
100
ai nic = di ci 5 2 2 1 1 2 2 5
10 50 100 150 120 75 65 20
32,5 36 38 39,5 40,5 42 44 47,5
ni .ci
fi
ci 2
f i ci
Ni
1625 3600 7600 5925 4860 n6 x 42 5720 n8 x 47,5 29330 + n6 42 + n8 47,5
0,05 0,10 0,20 0,15 0,12 0,15 0,13 0,10
1056,25 1296,00 1444,00 1560,25 1640,25 1764,00 1936,00 2256,25
52,8125 129,6000 288,8000 234,0375 196,8300 264,6000 251,6800 225,6250
50 150 350 500 620 770 900 1000
1,00
2
1643,9850
a) Calcul du mode : Comme n4c 150 est l’effectif corrigé le plus élevé, alors la calsse modale est [ 39 ; 40 [ et on a : Mo = bi-1 +ai
c c m1 , m1 nic nic 1 et m2 ni ni 1 m1 m2
b) Calcul de la médiane : On a N =1000 =2×500, N3 =350 et N4 = 500 donc la classe médiane est [ 39 ; 40 [ et on a : N N i 1 500 350 39 1 Mé bi 1 ai 2 40 500 350 N i N i 1 3)- En prenant x 40,38 h, on aura : 8
V ( X ) f i ci x 13,4406 X 3,6661 i 1
2
4) - Calcul Q1 : L’ordre de Q1 est p = 0,25 , N×p = 250 , N2 =150 et N3 = 350 donc la classe du premier quartile Q1 est [37, 39[ et on a : N / 4 N i 1 250 150 37 2 Q1 bi 1 ai 38 h . 350 150 N i N i 1 - Calcul Q3 :
L’ordre de Q3 est p = 0,75 , N×p = 750 , N5 = 620 et N6 = 770 donc la classe du 3eme quartile Q3 est [41 , 43[ et on a : N 3 / 4 N i 1 750 620 41 2 Q3 bi 1 ai 42,75 h 770 620 N i N i 1
Solution exercice n°5 (TD2) : 1- Représentation graphique du mode M0 de cette série statistique. D’après l’histogramme n2 200 est l’effectif corrigé le plus grand alors la calsse modale est [ 20 – 40[ c
nic 250
200
150
100
50
0
05
10
Mo
20
40
50
=80
60
90
bi
2- Le tableau statistique des effectifs associé à cette série (en fonction de ) avec a*=100 est : Classes
nic =a ni a i *
ai
ni
50
10
5
200
20
40
150
10
15
100
10
10
50
−60=20
0,5(−60)=10
10 , 20 20 , 40 40 , 50 50 , 60 60 , Total
80
3- Calcule de : On a n1 n2 n3 n4 n5 5 40 15 10 0,5( - 60) 80
0,5( - 60) 80 - 70 ( - 60)
80 - 70 20 60 80 0,5
4- Calcul mode M0 de cette série : Comme n2c 200 est le plus effectif corrigé alors la calsse modale est [ 20 – 40 [ et on a :
Mo = bi-1 +ai
c c m1 , m1 nic nic 1 et m2 ni ni 1 m1 m2
200 50
Mo = 20+20 200 50 200 150
20 20
150 M O 35 200