Solution TD3 de Probabilités S2
Solution de l’exercice 1 :
Dans chacun des cas, dites si la fonction f définit une
Equipe de probabilités Medjati
Coordinateur : Mr
densité de probabilité.
3 1- f ( x ) 4 ; si x [ 1 ; + [ ; f ( x ) 0 si non. x x f ( x ) xe ; si x [ 0 ; + [ ; f ( x ) 0 si non. 2Réponses au questions Dans les 2 cas il faut que la fonction f vérifie les conditions suivantes : 1- f(x) 0; x
R.
2- f est continue par morceaux sur R .
3-
f ( x )dx f ( x )dx 1. R
(voir cours définition 1 page 60)
1
Commençant par la première fonction, Equipe de probabilités Medjati
Coordinateur : Mr
3 1- f ( x ) 4 ; si x [ 1 ; + [ ; f ( x ) 0 si non. C-a-dire x 3 4 si x 1 f ( x) x 0 si non
C’est claire que f(x) 0; x R, de plus f est continue et sur
[1,+[ et est constante sur ]-, 1] (Voir exemple 3 page 60 du cours pour la continuité par morceaux ), donc f est continue
par morceaux sur R. Reste maintenant juste à montrer que
f ( x )dx 1.
3
En effet ;
1
t
f ( x )dx lim f ( x )dx lim f ( x )dx
t
t
t 1
t
f ( x )dx lim 0 lim
t
t
t
1
Equipe de probabilités Medjati
Coordinateur : Mr
1 t
3 1 dx lim 3 4 t x x 1
1 f ( x )dx lim 3 1 1 t t Donc la fonction f définit une densité de probabilité sur R. Regardant maintenant la deuxième fonction, 2- f ( x ) xe
x
; si x [ 0 ; + [ ; f ( x ) 0 si non. C-a-dire
xe x si x 0 f ( x) 0 si non
3
C’est claire que f(x) 0; x R, de plus f est continue Equipe de probabilités Medjati
sur [0,+[ et est constante sur ]-, 0] (Voir exemple 3 page 60 Coordinateur : Mr
du cours pour la continuité par morceaux ), donc f est continue par morceaux sur R.
Reste maintenant juste à montrer que
f ( x )dx 1.
En effet ;
0
t
f ( x )dx lim f ( x )dx lim f ( x )dx
t
t
t 0
0
t
f ( x )dx lim 0 lim xe x dx t
t
t
1
Utilisant l’intégration par parties, en posant u = x et v’ On trouve :
= e –x, 4
0
t
f ( x )dx lim f ( x )dx lim f ( x )dx t
t
t
0 t
Equipe de probabilités Medjati
Coordinateur : Mr
lim [ x .e ] lim e dx lim e x t 0
t
t
x
t
x t 0
0
f ( x )dx lim e t 1 1
t
Donc la fonction f définit une densité de probabilité sur R. Remarque :
Pour la continuité par morceaux dans les deux cas, on peut se contenter de dire juste que :
- Dans le 1er cas f est continue et sur [1,+[ . - Dans le 2eme cas f est continue et sur [0,+[ .
5
Solution de l’exercice 2 : Equipe de probabilités Medjati
Coordinateur : Mr
1- Soit I l’intervalle [ 1 ; 10 ] et f la fonction définie sur I par :
f (x) = x -2 . Déterminer le réel pour lequel f est une densité de probabilité. 2- Même question avec I = [ 1 ; + [ . Réponses au questions 1- la fonction f est continue sur l’intervalle [ 1 ; 10 ], de plus f sera une densité de probabilité si : 1erement
: f(x) 0; x [ 1 ; 10 ]
0 1
2ement : il est nécessaire que;
x
2
1 2 0 x
10
f 1
( x )dx 1. 6
10
1 f ( x )dx 2 dx 1 1 x x 1 1 1 10 1 2 1 1 9 10 10
10
Equipe de probabilités Medjati
Coordinateur : Mr
Donc la vérification de (1) est (2) implique le conclusion suivante :
Conclusion :
10 f est une densité de probabilité si et seulement si . 9 2- la fonction f est continue sur l’intervalle [1 ; + [, de plus f sera une densité de probabilité si : 1erement
: f(x) 0; x [1 ; + [
0 1
x
2
1 2 0 x 7
2ement : il est nécessaire que;
f
( x )dx 1.
1
f
t
( x )dx lim
1
t
1
t
Equipe de probabilités Medjati
Coordinateur : Mr
1 dx 1 lim 1 2 t x x 1
1 lim 1 1 1 2 t t Donc la vérification de (1) est (2) implique le conclusion suivante :
Conclusion : f est une densité de probabilité si et seulement si 1.
8
Solution de l’exercice 3 :
La variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [ 0 ; 1 ] ,
Equipe de probabilités Medjati
Coordinateur : Mr
donc la densité de probabilité de X est la fonction : 1 si a x b f ( x) b a 0 si non
avec a = 0 et b = 1
(voir cours loi de probabilité uniforme U(a ; b) paragraphe 2.5.1 page 67)
1 si 0 x 1 f ( x) 0 si non
1- P X 0,5
P X 0,5
0,5
0,5
f ( x )dx
1
0,5
donc :
f ( x )dx
1
f ( x )dx dx 0 0,5.
f ( x )dx
1
0,5
9
23-
P 0,2 X 0,6
0,6
0, 2
P X 0,6
f ( x )dx
0,6
0, 2
dx 0,4. Equipe de probabilités Medjati
Coordinateur : Mr
0,6
0,6
f ( x )dx 0.
10
Solution de l’exercice 4 : La variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre ( > 0), donc la densité de probabilité de X est la fonction : x
Equipe de probabilités Medjati
Coordinateur : Mr
e si x 0 f ( x) 0 si non
(voir cours loi de probabilité exponentielle de paramètre
( > 0) E () paragraphe 2.5.2 page 71), Réponses au questions 1- Trouver le paramètre de cette loi sachant que
P(X 70) = 0,05. Cette égalité se traduit par : P X 70
0
f ( x )dx
P X 70 e
x
70
0
70 0
f ( x )dx 0 e x dx 0,05.
0,05.
70
0
11
P X 70 e
x
70 0
1 e 70 0,05.
e 70 0,95 70 ln( 0,95)
Equipe de probabilités Medjati
Coordinateur : Mr
ln( 0,95) 70 2- Déduisez P( X > 30 ) .
P X 30 1 P X 30 1
30
0
f ( x )dx
1 e 1 e e 1 e
x
30
0
30 x
0
30
1 e 30
ln( 0,95) En utilisant la valeurs on obtient : 70
P X 30 e
30
ln 0 , 95 70
e
3 ln 0 , 95 7
0,978
12
Réponses au questions 1- La fonction f est continue par morceaux sur
R car
est continue sur R .
Equipe de probabilités Medjati
Coordinateur : Mr
Donc pour que la fonction f soit une densité de probabilité
il faut que : f(x) 0 x R ce qui donne k 0 et que :
f ( x )dx 1
f ( x )dx
0
lim
y
k x x 2
3
0
23 0
y
f ( x )dx f ( x )dx lim f ( x )dx 1
y 2 3
f ( x )dx 0
2 3
y
0
2 3
2 3
f ( x )dx 0
2 k ( 2 x 3 x )dx 1 0
4 8 27 1 k 1 k 6,75 4 9 27 13
3 2 1 2.1- Est-ce que les événements A X et B X 5 2 5 sont indépendants. C’est-à-dire les événements vérifient :
P A B P A P B . ?
En effet on a :
0
0,1
2 0,66 3
1 0,5 2
0,2
0,3
0,4
2 0,4 5
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
3 0,6 5
1 2 Donc ; A B X 2 5 ? Vérifiant maintenant ; P A B P A P B .
14
1 P A P X 2
12
12
f ( x )dx
2 k ( 2 x 3 x )dx
0
0
1 2 3 P A P X k x x 2
12 0
Equipe de probabilités Medjati
Coordinateur : Mr
27 1 1 27 4 4 8 32
27 P A 0,844 32 3 2 P B P X 5 5
P B k x x 2
3
35
25
35 25
35
f ( x )dx
2 k ( 2 x 3 x )dx
25
27 9 27 4 8 4 25 125 25 125
P B 0,324 15
1 2 PA B P X 2 5
PA B k x x 2
3
12 25
P A B 0,196
12
25
12
f ( x )dx
Equipe de probabilités Medjati
Coordinateur : Mr
2 k ( 2 x 3 x )dx
25
27 1 1 4 8 4 4 8 25 125
3 1 2 Et comme P X P X 0,324 0,844 0,273 5 2 5 P A B P A P B . Donc les deux événements A et B ne sont indépendants. 2.2- Calculer V( X ) = ?
16
Commençant par le calcul de E( X )
E( X ) E( X )
23
0
x. f ( x )dx x . f ( x )dx 0 x . f ( x )dx 23 x . f ( x )dx
23
2 3
0
0
x. f ( x )dx 0
2 3 k ( 2 x 3 x )dx x . f ( x ) dx 0
23
1 2x3 3x4 27 16 48 E( X ) k E ( X ) m 0,33 3 4 4 81 324 3 0 23 2 V ( X ) x . f ( x )dx m 2 0 x 2 . f ( x )dx 0 m 2 0 23
x 3x 2 V ( X ) k ( 2 x 3 x )dx m k m 5 2 0 0 27 16 3 32 1 1 0,022 V(X ) V(X ) 45 4 81 2 5 81 3 9 2 3
4
3
4
5
2
17
Solution de l’exercice 6 : Avant de commencer je rappelle le théorème 1 page 78
et le théorème 2 page 82 du cours.
Equipe de probabilités Medjati
Coordinateur : Mr
Théorème 1: La variable aléatoire X* normale centrée réduite de moyenne 0 et d'écart-type σ = 1 vérifie : Pour tous réels a et b (a, b R) tels que a b, on a : 1- P a X * b (b ) (a ).
2- P X * a 1 (a ).
3- P X * a 1 ( a ).
*
18
Théorème 2: Si la variable X suit une loi normale de moyenne
μ et d'écart-type σ (N(μ; σ)), alors la variable X* Suit une loi Normale centrée réduite N(0;1).
X
Autrement dit :
b a b a P a X b P X* .
19
Réponses au questions Notons X la variable aléatoire indiquant « taille » ,
Equipe de probabilités Medjati
Coordinateur : Mr
Comme X suit une loi N(175 ; 8), nous savons que la variable
X suit une loi normale centrée réduite N(0;1). X*
(voir cours Théorème 2 page 82), et on a (a, b R) :
b a b a P a X b P X* . 1- Déterminer la proportion des étudiants dont la taille excède 183 cm. C’est-à-dire :
P(X > 183) =?
183 183 175 Donc P X 183 P X * P X * . 8 20
183 175 P X 183 P X * 8
P X 183 P X * 1
P X 183 1 P X * 1
P X 183 1 1 1 0,84134 P X 183 1 0,84134 P X 183 0,15866
P X 183 15,87% 2- Déterminer la proportion des étudiants mesurant moins de 165 cm. C’est-à-dire : P(X < 165) =? 165 175 P X 165 P X * P X * 1,25 8
21
P X 165 P X * 1,25
P X 165 1 P X * 1,25 (voir cours Théorème 1 page 78) P X 165 1 1,25 P X 165 1 0,89435
1,25 0,89435
P X 165 0,10565 P X 165 10,57% 3- Déterminer la proportion des étudiants dont la taille est ,
,
comprise entre 180 cm et 185 cm. C’est-à-dire : P(180 < X < 165) =? 185 175 180 175 P 180 X 185 P X* 22 8 8
P 180 X 185 P 0,625 X * 1,25 P 0,63 X * 1,25 P 180 X 185 1,25 0,63 P 180 X 185 0,89435 0,73565
0,63 0,73565
P 180 X 185 0,1587
P 180 X 185 15,87%
23