Solution &TD3 S2 2021

Solution TD3 de Probabilités S2

Solution de l’exercice 1 :

Dans chacun des cas, dites si la fonction f définit une

Equipe de probabilités Medjati

Coordinateur : Mr

densité de probabilité.

3 1- f ( x )  4 ; si x  [ 1 ; + [ ; f ( x )  0 si non. x x f ( x )  xe ; si x  [ 0 ; + [ ; f ( x )  0 si non.

2Réponses au questions Dans les 2 cas il faut que la fonction f vérifie les conditions suivantes : 1- f(x)  0; x 

R.

2- f est continue par morceaux sur R . 

3-

 f ( x )dx   f ( x )dx 1.

R



(voir cours définition 1 page 60)

1

 Commençant par la première fonction, Equipe de probabilités Medjati

Coordinateur : Mr

3 1- f ( x )  4 ; si x  [ 1 ; + [ ; f ( x )  0 si non. C-a-dire x  3  4 si x  1 f ( x)   x  0 si non

C’est claire que f(x)  0; x  R, de plus f est continue et sur

[1,+[ et est constante sur ]-, 1] (Voir exemple 3 page 60 du cours pour la continuité par morceaux ), donc f est continue

par morceaux sur R. Reste maintenant juste à montrer que



 f ( x )dx  1.



3

En effet ; 

1

t

 f ( x )dx  lim  f ( x )dx  lim  f ( x )dx

 



t  

t  

t 1

t

 f ( x )dx  lim  0  lim 

 

t  

t

t  

1

Equipe de probabilités Medjati

Coordinateur : Mr

1 t

3  1  dx  lim   3  4 t   x  x 1

 1    f ( x )dx  lim   3  1   1 t    t   Donc la fonction f définit une densité de probabilité sur R.  Regardant maintenant la deuxième fonction, 2- f ( x )  xe

x

; si x  [ 0 ; + [ ; f ( x )  0 si non. C-a-dire

 xe  x si x  0 f ( x)   0 si non

3

C’est claire que f(x)  0; x  R, de plus f est continue Equipe de probabilités Medjati

sur [0,+[ et est constante sur ]-, 0] (Voir exemple 3 page 60 Coordinateur : Mr

du cours pour la continuité par morceaux ), donc f est continue par morceaux sur R.



Reste maintenant juste à montrer que

 f ( x )dx  1.



En effet ; 

0

t

 f ( x )dx  lim  f ( x )dx  lim  f ( x )dx

 







t  

t  

t 0

0

t

f ( x )dx  lim  0  lim  xe  x dx t  

t

t  

1

Utilisant l’intégration par parties, en posant u = x et v’ On trouve :

= e –x, 4



0

t

 f ( x )dx  lim  f ( x )dx  lim  f ( x )dx t  



t  

t

0 t

Equipe de probabilités Medjati

Coordinateur : Mr



 lim [ x .e ]  lim  e dx  lim  e x t 0

t  









t  

x

t  



x t 0

0



f ( x )dx  lim  e  t  1  1



t  

Donc la fonction f définit une densité de probabilité sur R. Remarque :

Pour la continuité par morceaux dans les deux cas, on peut se contenter de dire juste que :

- Dans le 1er cas f est continue et sur [1,+[ .

- Dans le 2eme cas f est continue et sur [0,+[ .

5

Solution de l’exercice 2 : Equipe de probabilités Medjati

Coordinateur : Mr

1- Soit I l’intervalle [ 1 ; 10 ] et f la fonction définie sur I par :

f (x) =  x -2 . Déterminer le réel  pour lequel f est une densité de probabilité.

2- Même question avec I = [ 1 ; + [ .

Réponses au questions 1- la fonction f est continue sur l’intervalle [ 1 ; 10 ], de plus f sera une densité de probabilité si : 1erement

: f(x)  0; x  [ 1 ; 10 ]

   0 1

2ement : il est nécessaire que;

 x

2

1  2 0 x

10

f 1



( x )dx  1.

6

10

  1   f  ( x )dx   2 dx  1       1 x  x 1 1 1 10  1   2      1  1    9  10  10

10

Equipe de probabilités Medjati

Coordinateur : Mr

Donc la vérification de (1) est (2) implique le conclusion suivante :

Conclusion :

10 f est une densité de probabilité si et seulement si   .

9 2- la fonction f est continue sur l’intervalle [1 ; + [, de plus f sera une densité de probabilité si : 1erement

: f(x)  0; x  [1 ; + [

   0 1

 x

2

1  2 0 x 7



2ement : il est nécessaire que;

f



( x )dx  1.

1





f

t



( x )dx  lim 

1

t  

1

t

Equipe de probabilités Medjati

Coordinateur : Mr

  1 dx  1   lim     1 2 t   x  x 1

 1    lim    1   1    1 2  t    t  Donc la vérification de (1) est (2) implique le conclusion suivante :

Conclusion : f est une densité de probabilité si et seulement si   1.

8

Solution de l’exercice 3 :

La variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [ 0 ; 1 ] ,

Equipe de probabilités Medjati

Coordinateur : Mr

donc la densité de probabilité de X est la fonction :  1 si a  x  b  f ( x)   b  a  0 si non

avec a = 0 et b = 1

(voir cours loi de probabilité uniforme U(a ; b) paragraphe 2.5.1 page 67)

1 si 0  x  1  f ( x)   0 si non

1- P  X  0,5  





 P  X  0,5   



0,5

0,5

f ( x )dx  

1

0,5

donc :

f ( x )dx  



1

f ( x )dx   dx  0  0,5.

f ( x )dx

1

0,5

9

23-

P 0,2  X  0,6   

0,6

0, 2

P  X  0,6   

f ( x )dx  

0,6

0, 2

dx  0,4.

Equipe de probabilités Medjati

Coordinateur : Mr

0,6

0,6

f ( x )dx  0.

10

Solution de l’exercice 4 : La variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre  ( > 0), donc la densité de probabilité de X est la fonction :  x

Equipe de probabilités Medjati

Coordinateur : Mr

 e si x  0 f ( x)   0 si non

(voir cours loi de probabilité exponentielle de paramètre



( > 0) E () paragraphe 2.5.2 page 71), Réponses au questions 1- Trouver le paramètre  de cette loi sachant que

P(X  70) = 0,05. Cette égalité se traduit par : P  X  70   

0



f ( x )dx  



 P  X  70    e

 x



70

0

70 0

f ( x )dx  0   e  x dx  0,05.

 0,05.

70

0

11



 P  X  70    e

 x



70 0

 1  e  70   0,05.

 e 70   0,95  70  ln( 0,95)

Equipe de probabilités Medjati

Coordinateur : Mr

ln( 0,95)  70 2- Déduisez P( X > 30 ) .

P  X  30   1  P  X  30   1  

30

0

f ( x )dx

   1 e  1   e e  1  e

 x

30

0

30 x

  0

30 

 1  e 30 

ln( 0,95) En utilisant la valeurs    on obtient : 70

P  X  30   e

30

ln  0 , 95  70

e

3 ln  0 , 95  7

 0,978

12

Réponses au questions 1- La fonction f est continue par morceaux sur

R car

est continue sur R .

Equipe de probabilités Medjati

Coordinateur : Mr

Donc pour que la fonction f soit une densité de probabilité

il faut que : f(x)  0  x  R ce qui donne k  0 et que : 

 f ( x )dx  1

 

 f ( x )dx 

 





0

lim

y  





k x x 2

3



 0

23 0

y

 f ( x )dx   f ( x )dx  lim  f ( x )dx  1

y 2 3

f ( x )dx  0 

2 3

y  

0

2 3

2 3

f ( x )dx  0 

2 k ( 2 x  3 x )dx  1  0

4 8  27  1  k    1  k   6,75 4  9 27  13

3 2 1  2.1- Est-ce que les événements A   X   et B    X   5 2 5  sont indépendants. C’est-à-dire les événements vérifient :

P  A  B   P  A  P B . ?

En effet on a :

0

0,1

2  0,66 3

1  0,5 2

0,2

0,3

0,4

2  0,4 5

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

3  0,6 5

1 2 Donc ; A  B    X   2 5 ?

Vérifiant maintenant ; P  A  B   P  A  P B .

14

1   P  A  P  X    2 

12



12

f ( x )dx 

2 k ( 2 x  3 x )dx 

0

0



1  2 3  P  A  P  X    k x  x 2 



12 0

Equipe de probabilités Medjati

Coordinateur : Mr

27  1 1  27     4  4 8  32

27  P  A   0,844 32 3 2  P B   P   X    5 5



 P B   k x  x 2

3



35



25

35 25

35

f ( x )dx 

2 k ( 2 x  3 x )dx 

25

27  9 27 4 8        4  25 125 25 125 

 P B   0,324 15



1 2 PA  B  P  X    2 5



 PA  B  k x  x 2

3



12 25

 P  A  B   0,196

12



25

12

f ( x )dx 

Equipe de probabilités Medjati

Coordinateur : Mr

2 k ( 2 x  3 x )dx 

25

27  1 1 4 8        4  4 8 25 125 

3  1 2 Et comme P   X    P  X    0,324  0,844  0,273 5  2 5  P  A  B   P  A  P B .

Donc les deux événements A et B ne sont indépendants.

2.2- Calculer V( X ) = ?

16

Commençant par le calcul de E( X ) 

E( X )  E( X ) 



23

0

 x. f ( x )dx   x . f ( x )dx  0 x . f ( x )dx  23 x . f ( x )dx

 

23

2 3



0

0

 x. f ( x )dx  0 

2 3  k ( 2 x  3 x )dx x . f ( x ) dx  0  

23

1  2x3 3x4  27  16 48  E( X )  k     E ( X )  m   0,33     3 4  4  81 324   3 0 23   2  V ( X )    x . f ( x )dx   m 2  0   x 2 . f ( x )dx  0  m 2    0 23

 x 3x  2 V ( X )  k  ( 2 x  3 x )dx  m  k    m  5  2 0 0 27  16 3  32  1 1  0,022 V(X )      V(X )  45 4  81  2 5  81  3  9 2 3

4

3

4

5

2

17

Solution de l’exercice 6 : Avant de commencer je rappelle le théorème 1 page 78

et le théorème 2 page 82 du cours.

Equipe de probabilités Medjati

Coordinateur : Mr

Théorème 1: La variable aléatoire X* normale centrée réduite de moyenne 0 et d'écart-type σ = 1 vérifie : Pour tous réels a et b (a, b  R) tels que a  b, on a : 1- P a  X *  b   (b )  (a ).

2- P  X *  a   1  (a ).





3- P X *   a  1  ( a ).

*

18

Théorème 2: Si la variable X suit une loi normale de moyenne

μ et d'écart-type σ (N(μ; σ)), alors la variable X*  Suit une loi Normale centrée réduite N(0;1).

X 



Autrement dit :

b a b a P a  X  b   P   X*        .          

19

Réponses au questions Notons X la variable aléatoire indiquant « taille » ,

Equipe de probabilités Medjati

Coordinateur : Mr

Comme X suit une loi N(175 ; 8), nous savons que la variable

X   suit une loi normale centrée réduite N(0;1).

X* 



(voir cours Théorème 2 page 82), et on a (a, b  R) :

b a b a P a  X  b   P   X*        .           1- Déterminer la proportion des étudiants dont la taille excède 183 cm. C’est-à-dire :

P(X > 183) =?

183    183  175    Donc P  X  183   P  X *    P X *  .  8     20



183  175   P  X  183  P  X *   8   

P  X  183  P  X *  1 

P  X  183  1  P  X *  1 

P  X  183  1   1  1  0,84134  P  X  183  1  0,84134  P  X  183  0,15866

 P  X  183  15,87% 2- Déterminer la proportion des étudiants mesurant moins de 165 cm. C’est-à-dire : P(X < 165) =?

165  175   P  X  165  P  X *    P  X *  1,25 8  

21



P  X  165  P  X *  1,25

 P  X  165  1  P  X *  1,25 (voir cours Théorème 1 page 78)  P  X  165  1   1,25   P  X  165  1  0,89435

 1,25   0,89435

 P  X  165  0,10565  P  X  165  10,57% 3- Déterminer la proportion des étudiants dont la taille est ,

,

comprise entre 180 cm et 185 cm. C’est-à-dire : P(180 < X < 165) =?

185  175   180  175  P 180  X  185  P   X*   22 8 8  

 P 180  X  185  P 0,625  X *  1,25  P 0,63  X *  1,25  P 180  X  185   1,25    0,63   P 180  X  185  0,89435  0,73565

 0,63   0,73565

P 180  X  185  0,1587

 P 180  X  185  15,87%

23