E.N.P.O-MA Département de F.P.S.T 1ere année
Année univ 2020/2021 Matière: Algèbre 1
Fiche de TD 3 (Anneau des polynômes) Exercice 1: 1. E¤ectuer la division euclidienne de A = X 5 + X + 1 par B = (X
1)3 :
2. Déterminer le paramètre réel m pour que la division du polynôme: A = 2mX 2
(m + 1)X
m
par X + 2 donne un reste égal à 11. 3. Factoriser les polynômes suivants autant que possible: P = 2X 3
3X 2
4
3
P = 4X
8X
11X + 6; 13X 2 + 2X + 3:
Exercice 2: 1. Soit P = X 3 8X 2 + 23X 28 2 C [X]. Déterminer les racines de P sachant que la somme de deux des racines est égale à la troisième. 2. Soit Q = X 4 + 12X 1 + 2 = 2.
5 2 C [X]. On note
Déterminer la valeur de
1
2;
3
4
et
1;
3
2;
+
3;
4
les racines de Q. Sachant que
4.
En déduire les valeurs des racines. Exercice 3: Soit P = X 6 + X 5 + 3X 4 + 2X 3 + 3X 2 + X + 1 un polynôme de C [X]. Montrer que i est une racine de P: Déterminer l’ordre de multiplicité de i: Exercice 4: Considérons le polynôme P = X 4 Véri…er que 1
4X 3 + 11X 2
14X + 10.
i est une racine simple de P .
Factoriser P en produit de polynômes irréductibles dans R[X], puis dans C[X]:
1
Exercice 5: Soit P = X 4
6X 3 + 9X 2 + 9 :
Factoriser X 4
6X 3 + 9X 2 en produit de polynômes irréductibles dans R[X]:
En déduire une factorisation de P en produit de polynômes irréductibles dans C[X], puis dans R[X]: Exercice 6: En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer le P GCD des polynômes: A = X 5 + 2X 4 + 2X 3 B = X 4 + 3X 3 + 3X 2
X2 2
2X
2
Déterminer deux polynômes U et V tels que U A + V B = P GCD(A; B): En déduire les factorisations de A et B dans R [X] : Exercice 7 (Devoir): 1. Soient P 2 R [X] et Montrer que
2 R. est une racine double de P si et seulement si P ( ) = P 0 ( ) = 0 et P 00 ( ) 6= 0:
(P 0 et P 00 désignent la dérivée et la dérivée seconde de P respectivement). 2. Soit P = (X + 1)7
X7
Montrer que 1 + j =
1 2
1 et posons j =
+i
j 2 ; j = j 2 et 1+ j =
cos + i sin = ei et ei
n
p
3 2
2
= ei 3 :
j: Indication, pour tout
2 R on a
= ein = cos(n ) + i sin(n ):
Montrer que j et j sont des racines doubles de P et trouver deux racines réelles évidentes de P: Sachant que (X + 1)7 = X 7 + 7X 6 + :::; factoriser P en facteurs irréductibles dans C [X] puis dans R [X] : Exercice 8 (Devoir): 1. Factoriser dans R [X] puis dans C [X] les polynômes X 4 + 1 et X 4 2. En déduire la liste des racines huitièmes de l’unité.
2
1.