Tout le cours Algebra 1

Algèbre 1 Cours déstiné aux étudiants de la première année F.P.S.T (Section B) Ecole Nationale Polytechnique d’Oran-Maurice Audin

W. Batat 2020-2021

Table des matières 1 Logique, ensembles et applications 1.1 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1 Propositions mathématiques . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.3 Quanti…cateurs universel et existentiel . . . . . . . . .

1.1.4 Types de raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Ensembles et partie d’un ensemble . . . . . . . . . . .

1.2.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.3 Règles de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.4 Produit cartésien de deux ensembles . . . . . . . . . .

1.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1 Composition de deux applications . . . . . . . . . . . .

1.3.2 Image directe et image réciproque . . . . . . . . . . . .

1.3.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.4 Injection, surjection, bijection et application réciproque

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3 3 3 4 6 7 10 10 11 11 12 13 14 14 15 16

2 Structures algébriques 2.1 Loi de composition interne . . . . . . . .

2.1.1 Propriétés des lois de composition 2.2 Structure de groupe . . . . . . . . . . . .

2.2.1 Sous-groupes . . . . . . . . . . .

2.3 Structure d’anneau . . . . . . . . . . . .

2.3.1 Règles de calculs dans un anneau 2.3.2 Sous-anneaux . . . . . . . . . . .

2.4 Structure de corps . . . . . . . . . . . .

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20 20 20 22 22 24 24 25 25

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26 26 27 29 30 31

. . . . . interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Anneau des polynômes 3.1 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Opérations sur les polynômes . . . . . . .

3.3 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . .

3.4 Division suivant les puissances croissantes 3.5 Fonction polynomiale et notion de racine .

1

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2 3.6 3.7 3.8 3.9

Factorisation des polynômes . . . . . . . . . . .

Plus grand commun diviseur de deux polynômes Algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . .

Polynômes premiers entre eux . . . . . . . . . .

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4 Fractions rationnelles 4.1 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Opérations sur les fractions rationnelles . . . . . . . .

4.2.1 Fonction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.2 Racine et pôle d’une fraction . . . . . . . . . .

4.3 Décomposition en éléments simples-Cas réel . . . . .

4.4 Décomposition en éléments simples-Cas complexe . .

4.4.1 Méthode de recherche des coe¢ cients inconnus

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de la D.E.S

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34 36 37 38

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40 40 40 41 42 42 43 44

Chapitre 1 Logique, ensembles et applications – Logique – Propositions mathématiques et connecteurs logiques – Quanti…cateurs universel et existentiel – Types de raisonnement – Ensembles – Ensembles et partie d’un ensemble – Opérations sur les parties d’un ensemble – Applications – Généralités – Composition de deux applications – Image directe et image réciproque – Injection, surjection, bijection et application réciproque

1.1 1.1.1

Logique Propositions mathématiques

– Une proposition mathématique ou une assertion est un énoncé mathématique qui peut être vrai ou faux mais jamais les deux à la fois.

– Si la proposition est vraie, on lui attribue la valeur logique (1).

– Si la proposition est fausse, on lui attribue la valeur logique (0).

– Une proposition mathématique se note P; Q; R; ::: – Les deux possibilités de valeurs logiques sont consignées dans une table appelée table de vérité : P 1 0 – Voici quelques exemples de propositions mathématiques : – "6 + 4 = 10" est une proposition vraie.

– "pour tout x 2 R; on a x2 < 0" est une proposition fausse.

3

4

1.1.2

Connecteurs logiques

Il existe cinq connecteurs logiques : La négation – À toute proposition P , on peut associer une autre proposition, appelée négation de P et notée (P ) ou (non P ), qui prend les valeurs : – Vraie si P est fausse.

– Fausse si P est vraie.

– La table de vérité de la négation est donnée par P 1 0

P 0 1

– La négation de la proposition "3 2" est dé…nie par "3 < 2".

– La négation de la proposition "56 est un multiple de 7" est dé…nie par "56 n’est pas un multiple de 7".

– La négation de la proposition " 12 2 Z" est dé…nie par " 12 2 = Z".

Soit P et Q deux propositions, nous allons dé…nir de nouvelles propositions à partir de P et Q La conjonction – La proposition "P et Q", notée "P ^ Q", est appelée conjonction de P et Q, c’est une proposition qui est : – vraie lorsque P et Q sont vraies simultanément, – fausse dans tous les autres cas.

– La table de vérité de la conjonction est donnée par P 1 1 0 0

Q 1 0 1 0

P ^Q 1 0 0 0

La disjonction – La proposition "P ou Q", notée "P _ Q", est appelée disjonction de P et Q, c’est une proposition qui est : – fausse lorsque P et Q sont fausses simultanément, – vraie dans tous les autres cas.

5

– La table de vérité de la disjonction est donnée par P 1 1 0 0

Q 1 0 1 0

P _Q 1 1 1 0

L’implication – La proposition "P ou Q", notée "P ) Q", est appelée implication de P vers Q. C’est une proposition qui est : – fausse lorsque P est varie et Q est fausse, – vraie dans les autres cas.

– On dit que P est une condition su¢ sante pour Q, ou encore Q est une condition nécessaire pour P .

– "Q ) P " s’appelle l’implication réciproque de "P ) Q": – "Q ) P " s’appelle la contraposée de l’implication "P ) Q": – La table de vérité de l’implication "P ) Q" est donnée par P 1 1 0 0

Q 1 0 1 0

P 0 0 1 1

P _ Q i.e. P ) Q 1 0 1 1

L’équivalence – La proposition "P , Q", est appelée équivalence de P et de Q. C’est une proposition qui est : – vraie lorsque P et Q sont simultanément vraies ou fausses, – fausse dans les autres cas.

– La table de vérité de l’équivalence "P , Q" est donnée par P 1 1 0 0

Q 1 0 1 0

P ,Q 1 0 0 1

Voici quelques propriétés des connecteurs logiques

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Soient P; Q et R trois propositions logiques. On a les équivalences logiques suivantes : 1) P , P 2) (P ^ Q) , (Q ^ P ) 3) (P _ Q) , (Q _ P )

4) P ^ Q , P _ Q Règle de Morgan

5) P _ Q , P ^ Q Règle de Morgan 6) [(P ) Q) ^ (Q ) R)] ) (P ) R) 7) [P ^ (Q _ R)] , [(P ^ Q) _ (P ^ R)] 8) [P _ (Q ^ R)] , [(P _ Q) ^ (P _ R)] 9) (P ) Q) , Q ) P 10) [(P ) Q) ^ (Q ) P )] , (P , Q)

Toutes ces propriétés se démontrent à l’aide de tables de vérité.

– Nous allons démontrer, par exemple, la propriété 4) qui est la première règle de Morgan : P ^Q , P _Q P 1 1 0 0

Q 1 0 1 0

P 0 0 1 1

Q 0 1 0 1

P ^Q 1 0 0 0

P ^Q 0 1 1 1

P _Q 0 1 1 1

P ^Q , P _Q 1 1 1 1

– Ce tableau nous permet de constater que les valeurs logiques prises par la propriété P ^ Q coïncident avec celles de la propriété P _ Q. On a alors montrer l’équivalence demandée.

– Les autres propriétés se démontrent de la même façon.

1.1.3

Quanti…cateurs universel et existentiel

Prédicat Soit E un ensemble. Pour un élément x de E, on note P (x) une proposition dont la valeur logique dépend d’une variable notée x.

– P (x) est appelé un prédicat.

– Par exemple, pour E = R, le prédicat P (x) : "x > 0" est vrai pour la valeur x = 1, et faux pour la valeur x = 1.

Quanti…cateur universel Le quanti…cateur universel, noté 8 (quelque soit) est dé…nit par : 8x 2 E : P (x) signi…e que le prédicat P (x) est vrai pour toute valeur de x de E.

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Quanti…cateur existentiel Le quanti…cateur existentiel, noté 9 (il existe) est dé…nit par : 9x 2 E : P (x) signi…e que P (x) est vrai pour au moins une valeur de x de E. La négation des quanti…cateurs On exprime la négation des quanti…cateurs de la manière suivante : – La négation de "8x 2 E : P (x)" est "9x 2 E : P (x)".

– La négation de "9x 2 E : P (x)" est "8x 2 E : P (x)".

Voici quelques exemples : – La négation de "8x 2 [1; +1[: x2 1" est "9x 2 [1; +1[: x2 < 1".

– La négation de "8x 2 R; 9y > 0 : x + y > 10" est "9x 2 R; 8y > 0 : x + y

10".

Remarque 1 On peut inverser deux quanti…cateurs de même nature : "8x 2 E; 8y 2 E : P (x; y)" est "8y 2 E; 8x 2 E : P (x; y)": "9x 2 E; 9y 2 E : P (x; y)" est "9y 2 E; 9x 2 E : P (x; y)": Cependant l’ordre des quati…cateurs est très important quand ils sont di¤érents. Par exemple : "8x 2 E; 9y 2 E : x + y > 0" et "9y 2 E; 8x 2 E : x + y > 0" sont di¤ érentes. En e¤et, la première a¢ rme que pour tout réel x, il existe un réel y tel que x + y > 0: Par contre la deuxième se lit "il existe un réel y; tel que pour tout réel x; x + y > 0"

1.1.4

Types de raisonnement

Raisonnement déductif Le raisonnement déductif consiste à montrer que la proposition "P ) Q" est vraie.

– On suppose donc que P est vraie et on montre que, Q est vraie.

– Voici un exemple. Montrer l’implication suivante : (a; b 2 Q ) a + b 2 Q).

– Soit alors a; b 2 Q : p 9p 2 Z; 9q 2 Z : a = q p0 0 0 9p 2 Z; 9q 2 Z : b = 0 q – Ainsi donc

p p0 pq 0 + qp0 + 0 = q q qq 0 – De plus, on a pq 0 + qp0 2 Z et qq 0 2 Z ; ce qui signi…e que a+b=

a+b2Q

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Raisonnement par disjonction (cas par cas) Le but de raisonnement par disjonction est de montrer qu’une proposition P (x) est vraie pour tous les x dans un ensemble E. On commence donc par montrer la proposition pour les x dans une partie A de E, puis pour les x n’appartenant pas à A. – Voici un exemple. Montrer la proposition suivante : "8x 2 R; jx 1j x2 x + 1".

– Soit alors x 2 R, deux cas peuvent se présenter : – Si x 1. Alors, jx 1j = x 1. On a alors x2

– Si x < 1. Alors, jx x2

jx

x+1

1j =

x + 1 (x 1) 2x + 2 1)2 + 1 0

1). On a alors

(x

x+1

1j = x2 = x2 = (x

jx

1j = x2

x + 1 + (x

1) = x2

0

– On a alors montrer la proposition pour tout x 2 R. Raisonnement par contraposée Le raisonnement par contraposée consiste à montrer que la proposition "P ) Q" est vraie.

– Le principe de ce raisonnement repose sur le fait que l’implication "P ) Q" est équivalente à l’implication "Q ) P ". C’est la contraposée de l’implication "P ) Q".

– On suppose donc que Q est vraie et on montre que, P est vraie.

– Voici un exemple. Montrer l’implication suivante : 8n 2 N : n2 impair ) n impair – On suppose donc que n est pair (n’est pas impair) et on montre que n2 est pair (n’est pas impair).

– n étant pair, il existe alors k 2 N tel que n = 2k: – On a alors n2 = 4k 2 = 2(2k 2 ). C’est à dire n2 est pair.

Raisonnement par l’absurde Le raisonnement par l’absurde consiste à montrer qu’une propriété P est vraie.

– On suppose pour cela qu’elle est fausse, c’est à dire, sa négation, P , est vraie et on essaie d’en déduire une contradiction.

– Voici un exemple. Montrer que 0 n’est pas racine de A(x) = x4 + 12x – On raisonne par l’absurde.

– Supposons que 0 soit racine de A.

1:

9

– Par dé…nition, on aurait donc A(0) = 0 ; – or le calcul montre que A(0) = 1, d’où 1 = 0. On obtient une contradiction.

– Voici un deuxième exemple. Montrer par l’absurde la proposition "8a; b – Soit alors a; b a

0, supposons que a 1+b

0; a 1+b

= 2

a b = ) a = b" 1+b 1+a =

b 1+a 2

b 1+a

et a 6= b et cherchons une contradiction. On

) a(1 + a) = b(1 + b)

)a b = a+b ) (a b) (a + b) = (a b) ) (a b) (a + b + 1) = 0 ) [a = b] _ [a + b = 1] Ce qui est impossible, puisque a 6= b et a; b

0.

Raisonnement par contre exemple Le raisonnement par contre exemple consiste à montrer qu’une proposition de la forme 8x 2 E : P (x) est fausse.

– On montre donc que, sa négation 9x 2 E : P (x) est vraie. Il s’agit donc de trouver un élément x 2 E tel que P (x) est fausse.

– Voici un exemple. Montrer que la proposition "8x 2 R; x2 + 2x + 1 6= 0" est fausse.

– Il su¢ t de trouver un réel x rendant nulle l’expression x2 + 2x + 1.

– En e¤et, cette expresion s’annule pour x = 1.

Raisonnement par récurrence On note N l’ensemble des entiers naturels.

– Le raisonnement par récurrence s’applique aux propositions P (n) dont l’énoncé dépend d’un entier naturel n.

– Ce raisonnement se déroule en deux étapes : – l’initialisation : on prouve P (0).

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– l’étape d’hérédité : on suppose que P (n) est vraie jusqu’à n, et on démontre que P (n+1) est vraie.

– Voici un exemple. Montrer la propriété "8n 2 N : 2n > n".

– Pour n = 0, on a 20 = 1 > 0.

– On suppose que la propriété est vraie jusqu’à n et montre qu’elle varie pour n + 1. On a alors 2n > n ) 2 (2n ) > 2 (n) ) 2n+1 > n + n ) 2n+1 > n + 1 puisque n

1.2 1.2.1

1

Ensembles Ensembles et partie d’un ensemble

– Un emsemble est une "collection d’objets" à laquelle peut appartenir (ou non) un objet donné. Par exemple fA; B; C; Dg; fnoir,blancg; N = f0; 1; 2; :::g – Lorsque x appartient à l’ensemble E, on note x 2 E et on dit que x est un élément de E. Dans le cas contraire, on note x 2 = E. – Un ensemble particulier est l’ensemble vide, noté ; qui est l’ensemble ne contenant aucun élément.

– Un ensemble st dit …ni lorsqu’il contient un nombre …ni d’éléments.

– On peut aussi dé…nir un ensemble par une collection d’éléments qui véri…ent une propriété. Par exemple fx 2 R; jx + 3j > x2 g; fn 2 N; n est pairg – On dit qu’un ensemble F est inclus dans un ensemble E ou F est une partie (ou un sous-ensemble) de E, et on note F E, si tout élément de F appartient à E : 8x : x 2 F ) x 2 E – On a toujours ; E et E E. – Soient E; F et G des parties d’un ensemble donné, on a (E

F ) ^ (F

G) ) E

G:

– De manière usuelle, on écrit : – F E , F ( E , (9x 2 F; x 2 = E).

– E = F , [(E F ) ^ (F E)] , (8x : x 2 E , x 2 F ).

– F ( E , [(F E) ^ (E 6= F )].

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– Ensemble des parties de E. On note P(E) l’ensemble des parties de E. Par exemple si E = f1; 2; 3g : P(E) = f;; f1gf2g; f3g; f1; 2g; f1; 3g; f2; 3g; Eg Soient E un ensemble et A; B 2 P(E).

1.2.2

Opérations sur les ensembles

– On appelle réunion des ensembles A et B, notée A [ B, l’ensemble constitué des éléments qui appartiennent à au moins l’un des deux ensembles A ou à B : A [ B = fx 2 E; x 2 A ou x 2 Bg – On appelle intersection des ensembles A et B, notée A \ B, l’ensemble constitué des éléments qui appartiennent à la fois à A et B : A \ B = fx 2 E; x 2 A et x 2 Bg – On appelle di¤érence A de B, notée A A

B, l’ensemble

B = fx 2 E; x 2 A et x 2 = Bg

– On appelle complémentaire de A dans E, noté {E A, l’ensemble {E A = E

A = fx 2 E; x 2 = Ag

– On appelle di¤érence symétrique de A et B, notée A 4 B, l’ensemble A 4 B = (A

1.2.3

B) [ (B

A)

Règles de calculs

Soient A; B; C des parties d’un ensemble E. On a les propriétés suivantes : Avec l’intersection A\A=A A\;=; A\B =B\A (A \ B) \ C = A \ (B \ C) A\B =A,A B Avec la réunion A[A=A A[;=A A[B =B[A (A [ B) [ C = A [ (B [ C) A[B =A,B A

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Avec la réunion et l’intersection A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C) A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) A \ (A [ B) = A [ (A \ B) = A Avec le complémentaire {E ; = E {E E = ; {E {E A = A {E (A \ B) = {E A [ {E B la loi de Morgan {E (A [ B) = {E A \ {E B la loi de Morgan Avec la di¤érence A A A

;=A B=;,A B B = A \ {E B = A

(A \ B)

– Nous allons démontrer, par exemple, la loi de Morgan suivante : {E (A \ B) = {E A [ {E B – Pour ce faire, nous devons passer par les éléments comme suit : x x x x x x x

2 2 2 2 2 2 2

{E (A \ B) , x 2 = A\B {E (A \ B) , x 2 A \ B {E (A \ B) , (x 2 A) ^ (x 2 B) {E (A \ B) , (x 2 A) _ (x 2 B) {E (A \ B) , (x 2 = A) _ (x 2 = B) {E (A \ B) , x 2 {E A _ x 2 {E B {E (A \ B) , x 2 {E A [ {E B

– Les autres règles se démontrent de la même façon.

1.2.4

Produit cartésien de deux ensembles

On appelle produit cartésien de deux ensembles E et F l’ensemble noté E (x; y) où x est un élément de E, et y un élément de F : E

F des couples

F = f(x; y); x 2 E et y 2 F g

– Ce produit n’est pas commutatif, c’est-à-dire que E

F est di¤érent de F

E.

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– Par exemple, si E = f1; 2g et F = fa; b; cg, alors F = f(1; a); (1; b); (1; c); (2; a); (2; b); (2; c)g E = f(a; 1) ; (b; 1); (c; 1); (a; 2); (b; 2); (c; 2)g

E F

– Le nombre d’éléments de E F est le produit du nombre d’éléments de E et du nombre d’éléments de F .

– Le produit cartésien se généralise au produit d’un nombre …ni d’ensembles E1 ; E2 ; :::; En quelconques : E1

1.3

E2

:::

En = f(x1 ; x2 ; ::; xn ); x1 2 E1 ; x2 2 E2 ; ::; xn 2 En g

Applications

On se donne deux ensembles E et F .

– Une application f de E dans F , notée f : E ! F , est la donnée d’une coresspondance qui associe à tout élément x de E un, et un seul élément y de F , noté f (x): Autrement dit : 8x 2 E; 9!y 2 F : y = f (x) ( ! signi…e unique) – E : est appelé ensemble de départ de f , – F : est appelé ensemble d’arrivée de f , – y = f (x) : est appelé image de x par f , – x : est appelé antécédent de y de F .

– On appelle graphe de f , le sous-ensemble suivant = f(x; f (x)); x 2 Eg

E

F

– On note F(E; F ) l’ensemble des applications de E vers F .

Voici quelques exemples d’applications 1. L’application qui à tout élément x d’un ensemble E; associe x s’appelle l’apllication identique de E, et se note IdE : IdE : E ! E x ! IdE (x) = x 2. Soit E un ensemble et P(E) l’ensemble des parties de E: On peut dé…nir l’application : f : P(E) ! P(E) A ! f (A) = {E A 3. Si E et F sont deux ensembles non vide et si a 2 F , alors on peut dé…nir une application f; dite application constante de E dans F , qui associe à tout élément x de E l’élément a : f :E!F x ! f (x) = a

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Egalité de deux applications Soient E; F; E 0 et F 0 des ensembles et f : E ! F et g : E 0 ! F 0 deux applications. f et g sont égales si et seulement si elles ont même ensemble de départ (E = E 0 ), même ensemble d’arrivée (F = F 0 ) et mêmes images, i.e.

8x 2 E : f (x) = g(x) Restriction d’une application Soit E et F deux ensembles et A un sous-ensemble de E; et soit f : E ! F une application.

La restriction de f à A, notée f=A , est l’application de A dans F qui à tout élément x de A associe l’élément f (x) de F : f=A : A ! F x ! f=A (x) = f (x)

1.3.1

Composition de deux applications

Soient E; F et G des ensembles et f : E ! F et g : F ! G deux applications. La composée de f et g est l’application, notée g f , et dé…nie par g f :E!F x ! (g f ) (x) = g (f (x)) Exemple Soient f : R f 1; 1g ! R x ! f (x) = x21 1

et

g:R!R x ! g(x) = x2 + 1

On a alors g f : R f 1; 1g ! R x ! (g f ) (x) = g

1 x2 1

=

2 1 x2 1

+1

Remarque 2 Il est à noter que la composée des applications est associative, i.e. si f : E !

F; g : F ! G et h : G ! H sont trois applications, alors (h g) f = h (g f )

1.3.2

Image directe et image réciproque

Soit f : E ! F une application d’un ensemble E dans un ensemble F et soit A une partie de E et B une partie de F .

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– On appelle image directe (ou image) de la partie A, le sous-ensemble de F noté f (A), et dé…ni par : f (A) = fy 2 F; 9x 2 A : y = f (x)g F ou encore

f (A) = ff (x); x 2 Ag

F

C’est l’ensemble des images par f des éléments de la partie A. – On appelle image réciproque de la partie B, le sous-ensemble de E noté f par : f 1 (B) = fx 2 E; f (x) 2 Bg E C’est l’ensemble des antécédents par f des éléments de la partie B.

1.3.3

Exemple

Considérons l’application f :R!R x ! f (x) = x2

Déterminer f ([0; 2]); f ([0; 4]) et f ([ 3; 2]. On a alors

f ([0; 2]) = ff (x); x 2 [0; 2]g = fx2 ; 0 x 2g = [0; 4] f ([0; 4]) = ff (x); x 2 [0; 4]g = fx2 ; 0 x 4g = [0; 16] f ([ 3; 2]) = = = =

ff (x); x 2 [ 3; 2]g fx2 ; ( 3 x 0) ou (0 fx2 ; 0 x2 9 ou 0 [0; 9]

x x2

2)g 4 g

Exemple Considérons l’application

Déterminer f

1

(f1g) ; f

1

f :R!R x ! f (x) = x2

([0; +1[) et f

f

1

(f1g) = = = = =

1

(]

1; 0[). On a alors

fx 2 R; f (x) 2 f1gg fx 2 R; f (x) = 1g fx 2 R; x2 = 1g fx 2 R; x = 1g f 1; 1g

1

(B), et dé…ni

16 1

f

f

1

([0; +1[) = fx 2 R; f (x) 2 [0; +1[g = fx 2 R; x2 0g = R 1; 0[) = fx 2 R; f (x) 2] 1; 0[g = fx 2 R; x2 < 0g = ;

(]

Propriétés Soit f : E ! F une application d’un ensemble E dans un ensemble F et soit A; A0 deux parties de E et B; B 0 deux parties de F . On a les propriétés suivantes : A0 ) f (A)

1. A

f (A0 )

2. f (A [ A0 ) = f (A) [ f (A0 ) 3. f (A \ A0 )

B0 ) f

4. B 5. f

1

6. f

1

7. f

1

f (A) \ f (A0 ) 1

(B)

(A [ A0 ) = f (A \ A0 ) = f

1 1

({E A) = {F (f

f

1

(B 0 )

(A) [ f (A) \ f 1

1

(A0 )

1

(A0 )

(A)) :

Remarque 3 En général f (A \ A0 ) 6= f (A) \ f (A0 ). Voici un contre exemple : f : x ! x2 avec A = [ 3; 2] et A0 = [0; 4]. On a alors f (A \ A0 ) = [0; 4]; f (A) = [0; 9] et f (A0 ) = [0; 16]:

1.3.4

Injection, surjection, bijection et application réciproque

Injection – Une application f d’un ensemble E dans un ensemble F est dite injective, ou encore est une injection, si tout élément de l’ensemble d’arrivée de f a au plus un antécédent (peut-être aucun) dans l’ensemble de départ par f , ce qui peut s’écrire : 8x1 ; x2 2 E : f (x1 ) = f (x2 ) ) x1 = x2 – Cette propriété peut aussi s’écrire (par contraposition) : 8x1 ; x2 2 E : x1 6= x2 ) f (x1 ) 6= f (x2 ) – Une autre façon de formuler cette dé…nition est de dire que, pour tout y 2 F , l’équation y = f (x) admet toujours au plus une solution.

17

Exemple 1. Considérons l’application f :R!R x ! f (x) = 3x

1

Cette application est injective. En e¤et, si x1 ; x2 2 R tels que f (x1 ) = f (x2 ) alors 3x1 3x2 1. D’où, 3x1 = 3x2 , soit x1 = x2 .

Exemple 2. Considérons l’application

1=

g:R!R x ! g(x) = x2 Cette application n’est pas injective parce que (par exemple) g(1) = 1 = g( 1). En revanche, si on prend h = g=R+ , la restriction de g sur R+ : h : R+ ! R x ! h(x) = x2 alors l’application h est injective. Une explication est que, pour x1 ; x2 2 R+ , si (x1 )2 = (x2 )2 , alors jx1 j = jx2 j, ainsi x1 = x2 .

Surjection – Une application f d’un ensemble E dans un ensemble F est dite surjective, ou encore est une surjection, si tout élément de l’ensemble d’arrivée de f a au moins un antécédent dans l’ensemble de départ par f , ce qui peut s’écrire : 8y 2 F; 9x 2 E : y = f (x) – En d’autres termes, l’application f : E ! F est surjective si et seulement si l’image de l’ensemble de départ est l’ensemble d’arrivée tout entier : f (E) = F – Si E et F sont des ensembles …nis, l’existence d’une surjection de E sur F implique que le nombre d’éléments de F est inférieur ou égal au nombre d’éléments de E. Exemple 1. Considérons l’application f :R!R x ! f (x) = 3x

1

Cette application est surjective, puisque, pour tout réel arbitraire y, il existe des solutions à l’équation y = 3x 1 d’inconnue x; qui est x = (y + 1) =3.

Exemple 2. Considérons l’application g:R!R x ! g(x) = x2

18

Cette application n’est pas surjective car certains réels ne possèdent pas d’antécédent. Par exemple, il n’y a pas d’antécédent réel x tel que g(x) = 7. Mais si on change la dé…nition de g en donnant comme ensemble d’arrivée R+ : h : R ! R+ x ! h(x) = x2 alors elle devient surjective car pour chaque réel positif y; il existe au moins un antécédent p x= y: Bijection – Une application f d’un ensemble E dans un ensemble F est dite bijective, ou encore est une bijection, si tout élément de l’ensemble d’arrivée de f a un et un seul antécédent dans l’ensemble de départ par f , ce qui peut s’écrire : 8y 2 F; 9!x 2 E : y = f (x) ( ! signi…e unique) En d’autres termes, l’application f : E ! F est bijective si et seulement si, elle est à la fois injective et surjective. Si de plus E et F sont …nis, E et F doivent alors avoir le même nombre d’éléments.

– L’application identique IdE : E ! E est bijective et on a (IdE )

1

= IdE :

Application réciproque – Si f : E ! F est bijective, alors, et seulement dans ce cas, on peut dé…nir une application de F dans E qu’on appelle application réciproque de f et qu’on note f 1 qui véri…e les propriétés suivantes : 8x 2 E; 8y 2 F : y = f (x) , x = f 1

– A noter que l’application f (f

1

)

1

1

(y)

est elle même une bijection. De plus

= f,

f

1

f = IdE et f

f

1

= IdF

– Soient E; F et G trois ensembles et soit f : E ! F et g : F ! G deux applications. Si f et g sont deux bijectives, alors la composée g f est bijective et on a (g f )

1

=f

1

g

1

– Attention à ne pas confondre image réciproque d’une partie par l’application f (celleci existe toujours) et application réciproque f 1 (qui n’existe que si f est bijective).

19

Exemple 1. Considérons l’application f :R!R x ! f (x) = 3x

1

Cette application est bijective, puisque, pour tout réel arbitraire y, il existe une unique soultion à l’équation y = 3x 1 d’inconnue x; qui est x = (y + 1) =3.

L’appliquation réciproque de f est donnée par f

1

:R!R y ! f 1 (y) =

y+1 3

Exemple 2. Considérons l’application g:R!R x ! g(x) = x2 Cette application n’est pas bijective car elle est ni injective ni surjective. En revanche, l’application h : R + ! R+ x ! h(x) = x2

est bijective. L’explication est que pour y 2 R+ , il existe exactement une solution réelle positive p de l’équation y = x2 , qui est x = y. L’application racine carrée est donc la bijection réciproque de l’application carré sur ces ensembles : h

1

: R+ ! R+ p y ! h 1 (y) = y

Chapitre 2 Structures algébriques – Loi de composition interne.

– Structure de groupe, sous-groupe.

– Structure d’anneau, sous-anneau.

– Structure de corps, sous-corps.

2.1

Loi de composition interne

Soit E un ensemble non vide. Une loi de composition interne (ou loi interne) sur E est une application de E E dans E, notée généralement ; T; ; ::; et on écrit x y; xT y; x y; ::: Si

est une loi de composition interne sur E, on dit que E est muni de la loi et on écrit (E; ).

Exemples – L’addition dans N; N ; Z; Q; R et C est une loi interne, mais pas dans Z / ; Q ; R et C .

– La soustraction dans Z est une loi interne, mais pas dans N. – La multiplication dans N; Z; Q; R et C est une loi interne.

– Soit E est un ensemble non vide, alors l’intersection \, la réunion [ et la di¤érence symétrique sont des lois internes dans P(E); l’ensemble des parties de E. – La composition des fonctions réelles est une loi interne dans F(R; R).

2.1.1

Propriétés des lois de composition interne

On se donne (E; ) un ensemble non vide muni d’une loi interne .

1. Commutativité :

est dite commutative si, 8x; y 2 E : x y = y x

2. Associativité :

est dite associative si, 8x; y; z 2 E : (x y) z = x (y z) 20

21

3. Elément neutre : On dit que

admet un élément neutre e 2 E si, 8x 2 E : x e = x = e x

4. Symétrique d’un élément : Soit x 2 E, on dit que x admet un élément symétrique (symétrisable ou inversible) pour la loi , si 9x0 2 E : x x0 = e = x0 x Un tel x0 s’appelle un symétrique (ou un inverse) de x. Le symétrique (ou l’inverse) de x est généralement noté x 1 . Si la loi est notée additivement on le note x plutôt que x 1 .

Exemples classiques – L’addition et la multiplication dans R sont – commutatives, – associatives, – possèdants pour éléments neutres respectifs 0 et 1.

– Tout nombre réel x possède un symétrique pour l’addition, noté x.

– Tout nombre réel non nul possède un symétrique pour la multiplication, noté x1 .

– La soustraction sur R n’est ni commutative ni associative.

– L’intersection \, la réunion [ et la di¤érence symétrique sur P(E) sont associatives et commutatives. Elles admettent pour neutres respectifs ;, E, et ;.

– L’addition des fonctions réelles est associative, commutative, et admet comme élément neutre, l’application nulle. Toute fonction f admet un symétrique pour l’addition f – La loi de composition des fonctions réelles est associative, mais n’est pas commutative, et admet comme élément neutre, l’application identique IdR .

Quelques commentaires – Si admet un élément neutre, celui-ci est unique. En e¤et, soient e et e0 deux éléments neutres. Alors, e étant un élément neutre : e0 e = e e0 = e0 e0 étant un élément neutre : e e0 = e0 e = e

) e = e0

– Si on sait que la loi est commutative, alors pour montrer que e est un élément neutre il su¢ t de satisfaire une seule des deux égalités de la dé…nition, i.e. x e = x ou e x = x – L’élément neutre est toujours symétrisable (inversible) et il est symétrique (inverse) de lui-même.

– Soit x un élément de E. Si est associative, possèdeun élément neutre e et si x admet un symétrique pour , celui-ci est unique. En e¤et, soient x; et x00 deux éléments symétriques de x. Alors, x00 = e x00 = (x0 x) x00 = x0 (x x00 ) = x0 e = x0

22

2.2

Structure de groupe

– Soit G un ensemble non vide muni d’une loi interne . On dit que (G; ) est un groupe si les conditions suivantes sont satisfaites : – est associative : 8x; y; z 2 G : (x y) z = x (y z) –

possède un élément neutre dans G : 9e 2 G; 8x 2 G : x e = x = e x

– tout élément de G possède un symétrique pour 8x 2 G; 9x

1

2G:x x

dans G : 1

=e=x

1

x

– Si de plus, est commutative, le groupe (G; ) est dit groupe commutatif ou groupe abélien.

– Soit (G; ) un groupe. On a les propriétés suivantes : – Pour tout x 2 G : (x 1 ) 1 = x – Pour tout x; y; z 2 G : x z = y z ) x = y – Pour tout x; y 2 G : (x y) 1 = y 1 x 1 Exemples classiques de groupes – (Z; +) ; (Q; +) ; (R; +) et (C; +) sont des groupes abéliens.

– (N; +) et (N; :) ne sont pas des groupes car l’opposé et l’inverse d’un nombre naturel ne sont pas des nombres naturels.

– (Q ; :) ; (R ; :) et (C ; :) sont des groupes abéliens.

– (Z ; :) n’est pas un groupe, car l’inverse d’un entier relatif non nul n’est pas un entier.

– (F (R; R) ; +) l’ensemble des applications de R sur R; muni de la l’addition usuelle est un groupe abélien.

– (F (R; R) ; ) l’ensemble des applications de R sur R; muni de la loi de composition des applications n’est pas un groupe, car – L’ensemble des bijections de R sur R; muni de la loi de composition des applications est un groupe qui n’est pas abélien.

2.2.1

Sous-groupes

– Soient (G; ) un groupe, H une partie de G et e l’élément neutre de G. On dit que H est un sous-groupe de G et on note H G, si : 1) e 2 H (ou H 6= ?)

2) 8x; y 2 H : x y 2 H (H est stable pour la loi ) 3) 8x 2 H : x 1 2 H (H est stable par passage à l’inverse)

23

– On peut aussi réunir les deux dernières conditions en une seule : 1) e 2 H 2) 8x; y 2 H : x y

H est un sous-groupe de G ,

1

2H

– Une conséquence immédiate de la dé…nition : – feg et G sont des sous-groupes de G, appelés sous-groupes triviaux.

– Tout sous-groupe d’un groupe est un groupe. Il est donc plus facile de montrer qu’un ensemble muni d’une loi interne est un groupe en montrant qu’il est un sous-groupe d’un groupe connu.

Quelques exemples Exemple 1 – Considérons dans Z, le sous-ensemble H = f2n; n 2 Zg H est un sous-groupe de (Z; +). En e¤et, – On a 0 2 H car 0 = 2:0 et 0 2 Z. – Soient à pérsent x; y 2 H, montrons que x

y 2 H. On a

x 2 H , x = 2:n et n 2 Z y 2 H , y = 2:m et m 2 Z Par conséquent x

y = (2n)

m) et n

(2m) = 2(n

m2Z

On a alors x y 2 H: – H est un sous-groupe de (Z; +).

Exemple 2 – Considérons dans C , le sous-ensemble U = fz 2 C; jzj = 1g U est un sous-groupe de (C ; :). En e¤et, – On a 1 2 U car j1j = 1.

– Soient à pérsent z; z 0 2 U , montrons que z (z 0 )

1

2 U . On a

z 2 U , jzj = 1 z 0 2 U , jz 0 j = 1 Par conséquent z (z 0 )

1

= jzj (z 0 )

On a alors z (z 0 ) 1 2 U: – U est un sous-groupe de (C ; :).

1

= jzj jz 0 j

1

= 1:1 = 1

24

2.3

Structure d’anneau

– Soit A un ensemble non vide muni de deux lois internes et T . On dit que le triplet (A; ; T ) est un anneau si : – (A; ) est un groupe abélien.

– T est associative 8x; y; z 2 A : (xT y) T z = xT (yT z) – T est distributive sur

:

8x; y; z 2 A : xT (y z) = (xT y) (xT z) distributive à gauche 8x; y; z 2 A : (x y)T z = (xT z) (yT z) distributive à droite – Si de plus, la deuxième loi interne T est commutative, l’anneau (A; ; T ) est dit anneau commutatif.

– Si la deuxième loi interne T possède un élément neutre, l’anneau (A; ; T ) est dit anneau unitaire.

– Les lois et T seront notées, respectivement "+" et ":". Les éléments neutres quant à eux seront notés "0A " et "1A ".

– (Z; +; :); (Q; +; :); (R; +; :) et (C; +; :) sont des anneaux commutatifs unitaires.

2.3.1

Règles de calculs dans un anneau

– Soit (A; +; :) un anneau. On a les propriétés suivantes : 1) 8a 2 A : a:0A = 0A = 0A :a 2) 8a; b 2 A : ( a) :b = (a:b) = a:( b) 3) 8a; b 2 A; 8k 2 Z : (ka) :b = k(a:b) = a:(kb) – En général, si a; b 2 A et n 2 N : (a + b)2 6= a2 + 2ab + b2 (a:b)n 6= an :bn – Si A est commutatif, alors (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a:b)n = an :bn Anneau intègre – Soit (A; +; :) un anneau, on dit que A est un anneau intègre si 8a; b 2 A : (a:b = 0A ) a = 0A ou b = 0A )

25

2.3.2

Sous-anneaux

– Soient (A; +; :) un anneau, B une partie de A et 0A l’élément neutre de (A; +). On dit que B est un sous-anneau de A, si : 1) 0A 2 B 2) 8a; b 2 B : a b 2 B 3) 8a; b 2 B : a:b 2 B

(ou B 6= ?)

(B est stable pour la loi +) (B est stable pour la loi :)

– On peut aussi réunir les deux premières conditions en une seule : B est un sous-anneau de A ,

1) B (A; +) 2) 8a; b 2 B : a:b 2 B

– Une conséquence immédiate de la dé…nition : – f0A g et A sont des sous-anneaux de A. – Tout sous-anneau d’un anneau est un anneau. Il est donc plus facile de montrer qu’un ensemble muni de deux lois internes est un anneau en montrant qu’il est un sous-anneau d’un anneau connu.

2.4

Structure de corps

– Soit | un ensemble non vide muni de deux lois internes "+" et ":". On dit que le triplet (|; +; :) est un corps si : – (|; +; :) est un anneau unitaire.

– Tout élément de | f0| g est inversible, i.e.

8a 2 |

f0| g; 9a

1

2|

f0| g : a:a

1

= 1| = a 1 :a

– Si de plus, la deuxième loi interne ":" est commutative, le corps (|; +; :) est dit corps commutatif.

– (Q; +; :); (R; +; :) et (C; +; :) sont des corps commutatifs.

– (Z; +; :) n’est pas un corps, car l’inverse d’un entier relatif non nul n’est pas un entier.

Sous-corps – Soient (|; +; :) un corps, L une partie de | et 0| l’élément neutre de (|; +). On dit que L est un sous-corps de |, si : 1) L est un sous-anneau unitaire de | 2) 8a 2 L f0| g : a 1 2 L f0| g

Chapitre 3 Anneau des polynômes – Polynômes.

– Opérations sur les polynômes.

– Diverses propriétés.

– Division euclidienne.

– Division suivant les puissances croissantes.

– Racine d’un polynôme.

– Factorisation d’un polynôme sur R. – Factorisation d’un polynôme sur C. – Plus grand commun diviseur de deux polynômes.

– Algorithme d’Euclide.

3.1

Polynômes

Soit A un anneau unitaire commutatif. En général A = R ou C. – Un polynôme à coe¢ cients dans A, noté P , est une expression de la forme X P = ai X i = a0 + a1 X + a2 X 2 + ::: + an X n + :: i 0

où n 2 N; X 2 A et (ai )i 0 est une suite d’éléments, de A, qui s’annule à partir d’un certain rang.

– Les ai ; i = 1::n; sont appelés coe¢ cients du polynôme.

– Le symbole X est appelé indéterminée.

– Les polynômes comportant un seul terme non nul de type ai X i sont appelés monômes.

– Les polynômes à coe¢ cients dans A et à une indéterminée X, seront notés P (X); Q(X); R(X) ou simplement P; Q; R: – L’ensemble des polynômes à coe¢ cients dans A et à une indéterminée X, sera noté A[X].

– Le polynôme constant est un polynôme de la forme P = a0 . Si de plus, a0 = 1, on dira que P = 1 est le polynôme unité.

– Un polynôme est nul ssi tous ses coe¢ cients sont nuls. On le note 0A[X] , ou simplement 0.

26

27

– Deux polynômes sont égaux ssi les coe¢ cients des termes de même puissance sont deux à deux égaux, c’est le principe d’identi…cation.

– Soit P = a0 + a1 X + a2 X 2 + ::: + an X n un polynôme non nul, on appelle degré de P , noté deg P , le plus grand des entiers naturels n tels que an 6= 0.

– Soit p = deg P , ap est appelé le coe¢ cient dominant de P et ap X p est appelé terme dominant.

– L’ensemble des polynômes à coe¢ cients dans A et de degré n, sera noté An [X].

– On dit que P est unitaire si et seulement si le coe¢ cient dominant de P vaut 1 – Le degré d’un polynôme constant non nul est 0.

– On pose par convention deg 0 = 1.

3.2

Opérations sur les polynômes

– On munit maintenant l’ensemble des polynômes de trois lois.

P P i – Soient P = ai X et Q = bi Xi deux polynômes de A[X]. i 0

i 0

Addition de deux polynômes La somme de ces deux polynômes est le polynôme P P P + Q = ci X i , où le coe¢ cient ci = (ai + bi ) i 0

i 0

Multiplication par un scalaire Le produit d’un polynôme P =

P

ai X i par un scalaire , noté P , est le polynôme obtenu

i 0

en multipliant chaque coe¢ cient ai de P par P = ( a0 ) + ( a1 ) X + ::: + ( an ) X n + :: Multiplication de deux polynômes Le produit de deux polynômes P et Q est le polynôme P P P:Q = ck X k , où le coe¢ cient ck = ai b j k 0

k i+j

Diverses propriétés 1. A[X] muni de l’addition est un groupe abélien : P +Q=Q+P (P + Q) + R = P + (Q + R) P + 0A[X] = P = 0A[X] + P P + ( P ) = 0A[X] = ( P ) + P

commutativité associativité élément neutre symétrique d’un polynôme

28

2. La multiplication de deux polynômes satisfait : P:Q = Q:P (P:Q):R = P:(Q:R) P:(Q + R) = P:Q + P:R P:1 = P = 1:P

commutativité associativité distributivité élément neutre

3. (A[X]; +; :) est un anneau commutatif unitaire, appelé anneau des polynômes.

4. Si A est un anneau intègre, alors A[X] est un anneau intègre : 8P; Q 2 A[X] : P:Q = 0A[X] , (P = 0A[X] ou Q = 0A[X] ) Exemples Soient P = 1 + X + 3X 2 et Q = 2X Calculons P + Q : P +Q = = =

5X 2 + 4X 3 :

1 + X + 3X 2 + 2X 5X 2 + 4X 3 1 + (1 + 2)X + (3 5)X 2 + 4X 3 1 + 3X 2X 2 + 4X 3

Calculons P:Q : P:Q = 1 + X + 3X 2 2X 5X 2 + 4X 3 = ( 1) 2X 5X 2 + 4X 3 + X 2X 5X 2 + 4X 3 +3X 2 2X 5X 2 + 4X 3 = 2X + 5X 2 4X 3 + 2X 2 5X 3 + 4X 4 + 6X 3 15X 4 + 12X 5 = 2X + 7X 2 3X 3 11X 4 + 12X 5 Encore des propriétés Soient P et Q deux polynômes non nuls de A[X]. On a les propriétés suivantes : 1. Si deg P 6= deg Q, alors deg(P + Q) = max(deg P; deg Q) 2. Si deg P = deg Q, il est possible qu’on ait deg(P + Q) < max(deg P; deg Q), par exemple P = X2 X Q = X 2 + 2X + 3

) P +Q=

X +3

) deg(P + Q) = 1 < max(deg P; deg Q) 3. Pour tout

2A =A

f0A g : deg( P ) = deg P

4. Si A est un anneau intègre ou si P:Q 6= 0, alors deg(P:Q) = deg P + deg Q

29

3.3

Division euclidienne

Dans cette section, on va voir que tous les résultats connus sur l’arithmétique des entiers, à savoir, la divisibilité, le pgcd, les nombres premiers, peuvent s’adapter au cadre des polynômes.

Dans toute la suite A = R ou C. – Soient A et B deux polynômes de A[X] avec B 6= 0. On dit que B divise A et on note B=A; s’il existe Q 2 A[X] tel que A = Q:B B=A , 9Q 2 A[X] : A = Q:B – On dit également que A est divisible par B ou A est un multiple de B. – A est appelé le dividende, B le diviseur, Q est le quotient et R est le reste de la division euclidienne de A par B. – Tout polynôme non nul est divisible par lui même.

– Tout polynôme est divisible par le polynôme unité 1.

– Le polynôme nul est divisible par tout polynôme, mais il ne divise aucun polynôme.

– Les diviseurs d’un polynôme A non nul sont tous de degré plus petit que celui de A : 8B 2 A[X] : B=A ) deg B

deg A

– Le polynôme nul est le seul polynôme divisible par des polynômes de degré plus grand que le sien, c’est à dire, 8A; B 2 A[X]; B 6= 0 : (B=A et deg B > deg A) ) (A = 0) Division euclidienne Soient A et B deux polynômes de A[X] avec B 6= 0. Il existe un unique couple de polynômes véri…ant A = Q:B + R et deg R < deg Q – Les polynômes Q et R s’appellent respectivement quotient et reste dans la division euclidienne de A par B. – A est divisible par B si et seulement si le reste de la division euclidienne de A par B est nul.

Exemple 1 E¤ectuons la division euclidienne de A = X 3 +2X 2 +3X +4 par le polynôme B = X 2 +X +1: Le calcul s’e¤ectue de la manière suivante : X3 X3

+2X 2 X2 X2 X2

+3X X +2X X X

+4

X2 + X + 1 X +1

+4 1 +3

30

On a alors A = Q:B + R A = (X + 1):B + (X + 3) et deg R < deg Q | {z } | {z } Q

R

Exemple 2 E¤ectuons la division euclidienne de A = X 4 Le calcul s’e¤ectue de la manière suivante : X4

3X 3

X4 3

3X +3X 3

3X 3 + X + 1 par le polynôme B = X 2 + 2:

+X 2X 2 2X 2 2X 2 +2X 2

+1

X2 + 2 X2

+X +6X +7X 7X

3X

2

+1 +1 +4 +5

On a alors A = Q:B + R

3.4

A = X2 |

3X {z Q

2 :B + (7X + 5) et deg R < deg Q | {z } } R

Division suivant les puissances croissantes

Il s’agit d’une forme de division autre que la division euclidienne : – Soient A et B deux polynômes de A[X], supposons que B(0) 6= 0, c’est à dire, le terme constant de B est non nul, et soit n 2 N . Il existe alors un unique couple de polynômes (Q; R) véri…ant : A = Q:B + X n+1 :R et deg Q n – La division selon les puissances croissantes s’e¤ectue comme suit : – On pose cette division un peu comme la division euclidienne, mais en écrivant les polynômes suivant les puissances croissantes.

– Ensuite, on fait disparaître un par un les termes de plus bas degré de dividende, et ce, en multipliant le diviseur par la quantité appropriée.

– Contrairement à la division euclidienne, on peut la continuer indé…niment : on doit décider donc d’arrêter la division à un ordre ou une étape donnée selon nos besoins.

– À quoi cela peut-il bien servir ?

– La division suivant les puissances croissantes est par exemple utilisée pour obtenir les décompositions en éléments simples des fractions.

31

Exemple E¤ectuons la division suivant les puissances croissantes, jusqu’à l’ordre 3, de A = 1 + 2X + 3X + 4X 3 par le polynôme B = 1 + X + X 2 : 2

1

1

+2X

+3X 2

X X X

X2 +2X 2 X2 X2 X2

+4X 3

+4X 3 X3 +3X 3 X3 2X 3 2X 3

1 + X + X2

1 + X + X 2 + 2X 3 X4 X4 2X 4 3X 4

2X 5 2X 5

On a alors A = Q:B + X 4 R A = 1 + X + X 2 + 2X 3 :B + X 4 ( 3 2X) et deg Q | {z } | {z } R

Q

3.5

3

Fonction polynomiale et notion de racine

Soit P 2 A[X]; A = R ou C. Fonction polynomiale – À tout polynôme P =

n P

i=0

ai X i de A[X], on peut associer une fonction polynomiale, d’en-

semble de dé…nition et d’arrivée A : Pe : A ! A x ! Pe(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ::: + an xn

– Il est fréquent de confondre le polynôme avec la fonction polynomiale. n P – Soit à présent P (x) = ai xi une fonction polynôme. On dé…nit la fonction polynôme i=0

dérivée de P par :

8x 2 A : P 0 (x) =

nP1

(i + 1) ai+1 xi

i=1

– Pour P fonction polynôme, on dé…nit par récurrence : P (0) = P et P (k+1) = (P (k) )0

32

Racines d’un polynôme On dit que 2 A est une racine (ou un zéro) de P si, P ( ) = 0.

– est une racine de P si et seulement si P est divisible par X est une racine de P , P ( ) = 0 , (X – Soit m 2 N , on dit que (X )m divise P et (X

: ) =P

est une racine d’ordre m, (ou de multiplicité m) de P si )m+1 ne divise pas P :

est une racine d’ordre m , (X

)m =P et (X

)m+1 - P

– Autrementdit, l’ordre de multiplicité est le plus grand entier m tel que P soit divisible par (X )m .

– Lorsque m = 1, la racine sera dite racine simple.

– Lorsque m = 2, la racine sera dite racine double.

– On peut aussi caractériser l’ordre de multiplicité comme suit : )m :Q et Q ( ) 6= 0

est d’ordre m , 9Q 2 A[X] : P = (X Exemples 1. Soit P = X 2

X4 +

p

2X 5 , 0 est une racine de P car P (0) = 0.

5 2. Soit P = 1 + 2X 27 X 3 , 3 est une racine simple de P . En e¤et, on a P (3) = 0: Ainsi P est divisible par (X 3) et on a

P = (X

3) |

5 2 X 27

{z

5 1 X+ 9 3

Q

et Q(3) 6= 0

}

3. Soit P = 2X 4 + 3X 3 + 3X 2 + 5X + 3, -1 est une racine double. On doit alors montrer que P est divisible par (X + 1)2 et que (X + 1)2 ne divise pas P : 2X 4

+3X 3 +3X 2 + 5X + 3 0

X 2 + 2X + 1 2X 2 X + 3

On a alors P = (X + 1)2 (2X 2 X + 3) et Q( 1) = 6 6= 0. | {z } Q

Caractérisation d’une racine multiple

On va donner une caractérisation de l’ordre de multiplicité d’une racine, à l’aide des polynômes dérivés : – Soit P 2 A[X] et 2 A : est d’ordre m , P ( ) = P 0 ( ) = :::P (m

1)

( ) = 0; P (m) ( ) 6= 0

33

Exemple – Soit P = X 4 + 5X 3 + 6X 2 4X 8 – On peut montrer que : – 1 est une racine simple. En e¤et, P (1) = 0 P 0 (X) = 4X 3 + 15X 2 + 12X

4 et P 0 (1) 6= 0

– -2 est une racine d’ordre de multiplicité 3. En e¤et, P ( 2) = P 0 ( 2) = P 00 ( 2) = 0 P (3) (X) = 24X + 30 et P (3) ( 2) 6= 0 Théorème : de d’Alembert-Gauss – Tout polynôme à coe¢ cients complexes de degré n 1 admet au moins une racine complexe. Il admet exactement n racines en tenant compte de leurs ordres de multiplicité.

– Pour l’anneau des polynômes R[X], nous avons le résultat plus faible suivant : – Tout polynôme à coe¢ cients réels de degré n 1 admet au plus n racines réelles.

– Soit un polynôme à coe¢ cients réels. Ses racines, dans C, sont – soit réelles – soit complexes, non réelles, conjuguées deux à deux, une racine et sa conjuguée ayant le même ordre de multiplicité. Autrement dit, si 2 C est une racine de P de multiplicité m, alors est aussi une racine de P avec la même multiplicité.

Polynômes irréductibles – Un polynôme P 2 A[X] est dit irréductible s’il n’est pas constant et si les seuls diviseurs de P sont les polynômes constants et les polynômes du type P; 2 A . Dans le cas contraire, on dira que le polynôme est réductible, i.e. Il se factorise en produit de deux polynômes non constants.

– Dans C[X], les polynômes irréductibles sont exactement les polynômes du premier degré.

– Dans R[X], les polynômes irréductibles sont exactement les polynômes du premier degré et les polynômes du deuxième degré à discriminant strictement négatif (rappelons que le discriminant du polynôme P = aX 2 + bX + c vaut b2 4ac).

Exemples – X 2 1 = (X – X 2 + 1 = (X R[X].

1) (X + 1) est un polynôme irréductible dans R[X]. i) (X + i) est un polynôme réductible dans C[X], mais irréductible dans

34

3.6

Factorisation des polynômes

Factorisation en polynômes irréductibles dans C[X] Tout polynôme non constant, P; de C[X] s’écrit d’une manière unique sous la forme P =

(X

m1 1)

: (X

m2 2)

:::: (X

mr r)

et

r P

mi = deg P

i=1

où 2 C , 1 ; 2 ; ::; r sont des racines complexes de P; distincts deux à deux et m1 ; m2 ; ::; mr leurs ordres de multiplicités.

Factorisation en polynômes irréductibles dans R[X] Tout polynôme non constant, P; de R[X] s’écrit d’une manière unique sous la forme P =

m1 1)

(X

::: (X

mr r)

l

l

(X 2 + b1 X + c1 ) 1 ::: (X 2 + bs X + cs ) s

où 2 R , 1 ; 2 ; ::; r sont des racines réelles de P; distincts deux à deux et les m1 ; m2 ; ::; mr leurs ordres de multiplicités, et pour tout i = 1; ::; s on a (bi )2 4ci < 0.

Exemples classiques 1. Factoriser dans R puis dans C le polynôme P = X 4 – Factorisation dans R : X4

1 = (X

1.

1) (X + 1)

|

X2 + 1 {z }

irréductible dans R

– Factorisation dans C : X4

1 = (X

1) (X + 1) (X

i) (X + i)

2. Factoriser dans R puis dans C le polynôme P = X 4 + X 2 + 1.

– Factorisation dans R : X4 + X2 + 1 = X2 + X + 1 X2 X + 1 {z }| {z } | irréductible dans R irréductible dans R

– Factorisation dans C : 4

2

X + X + 1 = (X

j) X

j (X + j) X + j

avec j =

p 1 3 +i : 2 2

35

Exemple Factoriser dans R le polynôme P = X 4 + 1.

Ce polynôme n’a pas de racines réelles, puisque s’il en avait une, soit a, ce réel véri…erait l’égalité a4 = 1, ce qui est impossible dans R. Mais ce polynôme n’est pas irréductible puisqu’il n’est pas de l’un des deux types connus. Donc on sait d’avance que ce polynôme est le produit de deux polynômes de degré 2 sans racines réelles, i.e. de discriminant négatif.

Pour trouver sa factorisation en polynômes irréductibles, on peut l’écrire sous la forme du produit de deux polynômes de degré 2 avec des coe¢ cients à identi…er. Posons P = (aX 2 + bX + c)(a0 X 2 + b0 X + c0 ) = aa0 X 4 + (ab0 + ba0 ) X 3 + (ac0 + bb0 + ca0 ) X 2 + (bc0 + cb0 ) X + cc0 Cela aboutit au système suivant aa0 = cc0 = 1 ab0 + ba0 = ac0 + bb0 + ca0 = bc0 + cb0 = 0 On en déduit la factorisation en polynômes irréductibles, de P dans R P = X2 +

p

2X + 1

X2

p

2X + 1

Astuce de factorisation Quand un polynôme est à coe¢ cients réels, ses racines non réelles peuvent être regroupées par paires de conjuguées de même multiplicié.

– On pourra donc factoriser ce polynôme dans C, – puis déduire sa factorisation dans R en regroupant les facteurs conjuguées. Plus précisément, – si est une racine complexe non réelle de P alors le conjugué est aussi une racine de P et on a (X ) (X ) = X 2 2 (Re ) X + j j2 | {z } polynôme irréductible dans R

Exemple

Reprenons l’exemple précédent.

Factoriser dans R le polynôme P = X 4 + 1.

On commence par le factoriser dans C, on doit alors résoudre l’équation z 4 + 1 = 0 pour z2C: z4 = 1 ) z 4 = cos + i sin ) z 4 = exp(i ) = exp(i (2k + 1) ); k 2 Z (i (2k + 1) ) ) z = exp 4

36 D’après le théorème de d’Alembert Gauss, l’équation z 4 + 1 = 0 admet 4 racines, il su¢ t donc de prendre k = 0 et k = 1; on aura donc deux racines, et on récupère les deux autres en passant par le conjugué. On a k = 0 : z1 = exp(i 4 ) = k = 1 : z2 = exp(i 34 ) =

p

2 2

+ p

2 2

p

2 i 2 p

+

; z1 = exp( i 4 ) =

2 i 2

p

2 2

; z2 = exp( i 34 ) =

p

2 i 2 p 2 2

; p

2 i 2

Par conséquent, P se factorise dans C comme suit P = (X

exp(i ))(X 4

exp( i ))(X 4

exp(i

3 ))(X 4

exp( i

3 )): 4

On pourra donc déduire la factorisation dans R en regroupant deux à deux les facteurs conjugués : (X (X

p exp(i ))(X exp( i )) = X 2 2X + 1; 4 4 p 3 3 exp(i ))(X exp( i )) = X 2 + 2X + 1: 4 4

Ainsi, P se factorise dans R comme suit : P = X2

3.7

p

2X + 1

X2 +

p

2X + 1 :

Plus grand commun diviseur de deux polynômes

Soient A et B sont deux polynômes non nuls de A[X], Il existe un unique polynôme unitaire D, tel que – D est un diviseur commun de A et B : D=A et D=B – tout diviseur commun de A et B divise D : 8D 2 A[X] : D=A et D=B ) D=D – Cet unique polynôme D est appelé le plus grand commun diviseur (en abrégé, pgcd) de A et B. On le note pgcd(A; B) ou encore A ^ B. Le pgcd de deux polynômes satisfait les mêmes propriétés que le pgcd de deux entiers. En particulier, on a les propriétés suivantes 1. pgcd(A; B) =pgcd(B; A) 2. Pour tout

2 A : pgcd( A; B) =pgcd(A; B)

3. Si A=B alors pgcd(A; B) = 1 A; où

désigne le coe¢ cient dominant de A.

37

3.8

Algorithme d’Euclide

Comme pour les entiers, le pgcd (plus grand commun diviseur) de deux polynômes s’obtient par l’algorithme d’Euclide, et ce, en utilisant des divisions euclidiennes successives.

Cet algorithme est basé sur le fait que si R est le reste dans la division euclidienne de A par B, alors pgcd(A; B) =pgcd(B; R).

– 1. On calcule les divisions euclidiennes successives, le degré du reste diminue à chaque division : A R1

B Q1

B R2 Rk Rk

R1 R3

R1 Q2 Rk Qk

2

1

R2 Q3 Rk 0

1

Rk Qk+1

2. On arrête l’algorithme lorsque le reste est nul.

3. Le pgcd de A et B est le dernier reste non nul rendu unitaire.

Exemple Déterminons le pgcd des deux polynômes suivants A = X 5 + 2X 4 + 2X 3 B = X 4 + 3X 3 + 3X 2 2.

En e¤ectuant les di¤érentes divisions euclidiennes successives, on trouve X 5 + 2X 4 + 2X 3 2X 3 + 2X 2 4

X2

2X

X 4 + 3X 3 + 3X 2 X 2 + 2X + 2 2X 3 + 2X 2 0

2 4

X 4 + 3X 3 + 3X 2 X 1

2

2X 3 + 2X 2 1 X +1 2

X2

2X

2 et

2

4

X 2 + 2X + 2 2X 2

Le dernier reste non nul est le polynôme X 2 + 2X + 2. On a alors pgcd (A; B) = X 2 + 2X + 2 Théorème de Bézout Soient A et B deux polynômes non tous les deux nuls. Soit D le pgcd de A et B. Alors il existe deux polynômes U et V de A[X] tels que : D = A:U + B:V

38

Algorithme de détermination des polynômes U et V Soit A et B deux polynômes non nuls.

L’algorithme d’Euclide permet de donner un procédé pratique pour trouver des polynômes U et V tels que : D = A:U + B:V où D est le pgcd de A et B: Le principe est d’exprimer à chaque étape de l’algorithme d’Euclide les restes successifs en fonction de A et B, en explicitant à chaque étape les polynômes coe¢ cients de A et de B mais en gardant A et B, sans les expliciter.

Exemple Reprenons l’exemple précédent : A = X 5 + 2X 4 + 2X 3

X2

2X

2 et B = X 4 + 3X 3 + 3X 2

2

On a alors, A = B(X 1) + R1 B = R1 ( 21 X + 1) + R2 R1 = (2X 2)R2

avec R1 = 2X 3 + 2X 2 4 avec R2 = X 2 + 2X + 2 ainsi pgcd (A; B) = R2

A présent, on exprime à chaque étape de l’algorithme d’Euclide les restes successifs en fonction de A et B : R1 = A B(X 1) R2 = B R1 ( 21 X + 1) On remplace R1 dans la deuxième égalité : R1 ( 12 X + 1) (A B(X 1)) ( 21 X + 1) 1 1 1 R2 = B X + X 2 + A X 1 2 2 2 | {z } | {z }

R2 = B R2 = B

U

3.9

V

Polynômes premiers entre eux

On dit que deux polynômes non tous deux nuls sont premiers entre eux si leur pgcd est égal à 1.

On peut caractériser les polynômes premiers entre eux à l’aide de l’identité de Bézout. Soient alors A et B deux polynômes non nuls. On a A et B sont premiers entre eux , 9U; V 2 A[X] : A:U + B:V = 1 Une conséquence immédiate du théorème de Bézout est le théorème de Gauss

39

Théorème de Gauss Si un polynôme divise le produit de deux polynômes et si, de plus, il est premier avec l’un d’eux, il divise l’autre. Autrement dit, si U ,V et W sont des polynômes alors : U= (V:W ) ) U=W pgcd(U; V ) = 1

Chapitre 4 Fractions rationnelles – Fractions rationnelles.

– Opérations sur les fractions rationnelles.

– Décomposition en éléments simples sur R. – Décomposition en éléments simples sur C.

4.1

Fractions rationnelles

Dans ce cours, A désignera R ou C. P – Une fraction rationnelle à coe¢ cients dans A est le quotient Q de deux polynômes P et Q de A[X] avec Q 6= 0.

– Les polynômes sont des fractions rationnelles particulières.

P – Dans l’écriture Q , on dit que P est le numérateur et Q est le dénominateur.

– Les fractions rationnelles seront notées F; G; H; ::: – L’ensemble des fractions rationnelles à coe¢ cients dans A et à une indéterminée X, sera noté A(X). Ne pas confondre avec A[X].

P – Le degré d’une fraction rationnelle Q est par dé…nition deg(P ) deg(Q). C’est un élément de Z. – On appelle forme irréductible d’une fraction rationnelle F , toute écriture de F de la forme P où P et Q sont premiers entre eux.

Q

4.2

Opérations sur les fractions rationnelles

Egalité de deux fractions Deux fractions

P Q

et

R S

sont égales si P Q

=

R S

, P:S = Q:R

40

41

Addition de deux fractions La somme de deux fractions

P Q

R S

et

est la fraction P Q

+

R S

=

P:S+Q:R Q:S

Multiplication de deux fractions Le produit de deux fractions

P Q

et

R S

est la fraction P R : Q S

=

P:R Q:S

(A(X); +; :) est un corps commutatif, appelé corps des fractions.

4.2.1

Fonction rationnelle

P – À toute fraction rationnelle F = Q de A (X), sous sa forme irréductible. On peut associer une fonction rationnelle, d’ensemble de dé…nition et d’arrivée A :

Fe : A ! A x ! Fe(x) =

P (x) Q(x)

son domaine de dé…nition est A privé de l’ensemble des racines de Q. P – Si une fraction rationnele F = Q est paire, i.e. F ( x) = F (x) alors F (X) = – Si une fraction rationnele F =

P Q

P (X 2 ) Q(X 2 )

est impaire, i.e. F ( x) =

F (x) alors

2

P (X ) F (X) = X Q(X 2)

Exemples 1. Considérons la fraction G =

X4 1 ; X 6 +3X 2 +1

G est alors paire et on a 2

X4 1 (X 2 ) 1 = 3 6 2 X + 3X + 1 (X 2 ) + 3X 2 + 1 A(X 2 ) G = avec A = X 2 1 et B = X 2 + 3X + 1 2 B(X ) G =

2. Considérons la fraction H =

X 4 +1 ; X(X 2 +1)

H est alors impaire et on a 2

X4 + 1 (X 2 ) + 1 H = =X X(X 2 + 1) (X)2 ((X)2 + 1) A(X 2 ) H = X avec A = X 2 + 1 et B = X(X + 1) B(X 2 )

42

4.2.2

Racine et pôle d’une fraction

P – Soit F = Q une fraction rationnelle irréductible.

– Les racines du polynôme P sont appelées les racines ou les zéros de F .

– Les racines du polynôme Q sont appelées les pôles de la fraction rationnelle F .

– Si est un pôle de F , on appelle ordre de multiplicité de en tant que pôle de F l’ordre de multiplicité de en tant que racine de Q. On a alors, si m est l’ordre de multiplicité du pôle : Q( ) = Q0 ( ) = ::: = Q(m 1) ( ) et Q(m) ( ) 6= 0

– Considérons dans R(X) la fraction F =

(X 2 +X+1)(X

2)2

X 3 (X+1)

; on a

2 est une racine double de F 0 est un pôle d’ordre de multiplicité 3 de F ( 1) est un pôle simple de F Partie entière et partie polaire P – Soit F = Q une fraction rationnelle de A(X). Il existe un unique couple (E; R) de polynômes de A(X) tel que

F =E+

R Q

avec deg R < deg Q

– Le polynôme E est le quotient de la division euclidienne de P par Q et R le reste de cette division euclidienne.

R – Le polynôme E est appelé la partie entière de F et Q sa partie polaire.

– Considérons dans R(X) la fraction F = X3

+2X 2

X 3 +2X 2 +3X+4 X 2 +X+1

+3X X

+4 +3

. On a

X2 + X + 1 X +1

Par suite (X + 3) F = (X + 1) + 2 et deg R < deg Q: | {z } X + X + 1 | {z } partie entière partie polaire

4.3

Décomposition en éléments simples-Cas réel

P Soit F = Q 2 R(X) une fraction irréductible, de partie entière E. On considère la factorisation de Q en polynôme irréductibles dans R[X] :

Q=

(X

m1 1)

:: (X

mr r)

n

ns

(X 2 + b1 X + c1 ) 1 ::: (X 2 + bs X + cs )

43

où 2 R , 1 ; 2 ; ::; r sont des pôles réelles de F; distincts deux à deux et les m1 ; m2 ; ::; mr leurs ordres de multiplicités, et (bi )2 4ci < 0 pour tout i = 1; ::; s. On a alors mk r X X

F =E+

Ak;i

+

i

(X |k=1 i=1 {z

k)

}

partie polaire relative au pôle

nl s P P

l=1j=1

Bl;j X+Cl;j (X 2 +bl X+cl )j

k

où (Ak;i ) k=1::r ; (Bl;j ) l=1::s et (Cl;j ) l=1::s sont des réels. i=1::mk

j=1::nl

j=1::nl

Cette écriture est unique et on l’appelle la décomposition en éléments simples (D.E.S) de F _ Les fractions Ak;i i et Bl;j X+Cl;j j sont appelées éléments simples dans R(X). dans R(X ).

(X ) (X 2 +b X+c ) k

4.4

l

l

Décomposition en éléments simples-Cas complexe

P Soit F = Q 2 C(X) une fraction irréductible, de partie entière E. On considère la factorisation de Q en polynôme irréductibles dans C[X] :

Q=

(X

m1 1)

mr r)

:::: (X

où 2 R , 1 ; 2 ; ::; r sont des pôles de F; distincts deux à deux et les m1 ; m2 ; ::; mr leurs ordres de multiplicités. On a alors mk r P P Ak;i F =E+ (X )i k=1i=1

k

où (Ak;i ) k=1::r ; (Bl;j ) l=1::s et (Cl;j ) l=1::s sont des complexes. i=1::mk

j=1::nl

j=1::nl

Cette écriture est unique et on l’appelle la décomposition en éléments simples (D.E.S) de F _ Les fractions Ak;i i sont appelées éléments simples dans C(X). dans C(X ).

(X ) k

Procédé de décomposition d’une fraction rationnelle Voici un résumé des étapes de la décomposition en éléments simples P 1. S’assurer que la fraction F = Q est sous forme irréductible.

2. Recherche de la partie entière de la fraction – Si deg P < deg Q, la partie entière de F est nulle, – Si deg P deg Q, on fait la division euclidienne de P par Q, la partie entière est alors le quotient de la division euclidienne de P par Q. 3. Factorisation du dénominateur – On recherche les racines (réelles, éventuellement complexes) de Q – On écrit la factorisation de Q en produit de polynômes irréductibles.

4. Ecriture de la forme générale de la D.E.S – On écrit la partie entière et la partie polaire en éléments simples.

5. Recherche des coe¢ cients inconnus de la D.E.S – Déterminer la valeur des constantes intervenant dans la décomposition.

44

4.4.1

Méthode de recherche des coe¢ cients inconnus de la D.E.S

Méthode de base – Cette méthode permet de trouver la constante sur tous les termes d’éléments simples de plus haut degré, c’est à dire, le coe¢ cient de (X 1 )m dans la D.E.S d’une fraction F où est un pôle de F d’ordre de multiplicité m: On procède comme suit : – on multiplie F d’une part, et sa D.E.S d’autre part, par (X )m , – on fait une identi…cation, – on évalue l’égalité obtenue en ramplaçant X par .

1 – Lorsque la D.E.S est dans R(X), on peut avoir des éléments simples de type (X 2 +bX+c) n.

On peut donc trouver le coe¢ cient sur tous les termes d’éléments simples de plus haut degré comme suit : n – on multiplie F d’une part, et sa D.E.S d’autre part, par (X 2 + bX + c) , – on fait une identi…cation, – on évalue l’égalité obtenue en ramplaçant X par la racine complexe non réelle du polynôme irréductible X 2 + bX + c.

Exemple 1 Décomposer en éléments simple la fraction F = X X .

2 4 – La fraction est bien irréductible, – sa partie entière est nulle, – F a deux pôles simples 2 et 2; le dénominateur se factorise donc en (X 2)(X + 2) – La décomposition de F en éléments simples dans R(X) a la forme suivante F =

A X 2

+

B X+2

où A et B des réels à déterminer.

– En multipliant F d’une part, et sa D.E.S d’autre part par (X (X

2)

X

= (X

X2

A

2)

4 X 2 X B (X 2) = A+ X +2 X +2

+

2) : B X +2

– Ensuite on évalue l’égalité obtenue en X = 2 : X X +2

=A+B X=2

(X 2) X +2

X=2

) A=

1 2

– De même, on multiplie F d’une part, et sa D.E.S d’autre part par (X + 2) on obtient (X + 2)

X X2 X

= (X + 2)

4 X 2

=

A X

A (X + 2) +B X 2

2

+

B X +2

45

– Ensuite on évalue l’égalité obtenue en X = X X

2

=B+A X= 2

2:

(X + 2) X 2

X= 2

) B=

1 2

– D’où la décomposition de F F =

1 2

1 X 2

+

1 2

1 X+2

Exemple 2 5

X +1 Décomposer en éléments simple la fraction G = X(X .

1)2 – La fraction est bien irréductible, – La division euclidienne du numérateur par le dénominateur donne la partie entière E de G: E = X 2 + 2X + 3

– G a un pôle simple 0 et un pôle double 1; – La décomposition de G en éléments simples dans R(X) a la forme suivante G = (X 2 + 2X + 3) +

A X

+

B X 1

+

C (X 1)2

où A; B et C des réels à déterminer.

– Pour déterminer A on multiplie F d’une part, et sa D.E.S d’autre part par X et on évalue l’égalité obtenue en X = 0 : X

X5 + 1 B C = A + X X 2 + 2X + 3 + + 2 X(X 1) X 1 (X 1)2 X5 + 1 = A) A=1 (X 1)2 X=0

– Pour déterminer C on multiplie F d’une part, et sa D.E.S d’autre part par (X obtient (X

1)2

X5 + 1 X(X 1)2

= C + (X

1)2

X 2 + 2X + 3 +

ensuite on évalue l’égalité obtenue en X = 1 : X5 + 1 X Reste à déterminer B

X=1

=C) C=2

A B + X X 1

1)2 on

46 2 .

(X 1)2

– Considérons alors la farction G1 = G 2

G1 = G

2

=

On a alors

X5 + 1 X(X 1)2

(X 1) 5 X 2X + 1 = X(X 1)2 (X 4 + X 3 + X 2 + X = X(X 1)

2 (X

1)2

1)

– D’autre part, G1 = G

2 (X

2

1)

= X 2 + 2X + 3 +

En multipliant les deux expressions de G1 ; par (X (X 4 + X 3 + X 2 + X X

1)

= B + (X

1 B + X X 1

1) on obtient 1)

X 2 + 2X + 3 +

1 X

1)

X 2 + 2X + 3 +

1 X

– Ensuite, on évalue l’égalité obtenue en X = 1 : (X 4 + X 3 + X 2 + X X

1)

= B + (X X=1

X=1

On a alors B = 3 – D’où la décomposition de G : G = (X 2 + 2X + 3) +

1 X

+

3 X 1

+

2 : (X 1)2

Remarque – Il est à noter que la méthode de base permet de déterminer le coe¢ cient de (X 1 )m dans la D.E.S d’une fraction F où est un pôle de F d’ordre de multiplicité m. Cependant, on peut également raisonner de proche en proche, et ce, en considérant la fraction F (X A )m où A est le coe¢ cient déja trouvé, on obtient donc une fraction dont sera un pôle d’ordre de multiplicité m 1, on peut donc recommencer la procédure de la méthode de base.

Méthode d’évaluation – Cette méthode est utilisée lorsqu’il ne reste plus que quelques coe¢ cients (un ou deux..) à déterminer, ou encore si on cherche des relations entre les coe¢ cients.

– On peut donc trouver des équations les plus simples possibles, et ce, – en ramplaçant X dans la fraction et sa D.E.S, par des valeurs particulières et, qui ne soient pas des racines du dénominateur (X = 0; X = 1; etc. . . ).

47

Formule de résidu – La formule de résidu consiste à déterminer le coe¢ cient de l’élément simple de type (X 1 ) P dans la D.E.S d’une fraction F = Q avec est un pôle simple de F (et donc Q0 ( ) 6= 0).

Plus précisément, – si est ce coe¢ cient, appelé résidu, alors =

P( ) Q0 ( )

où Q0 désigne le polynôme dérivé du dénominateur Q. – À noter que cette méthode est utilisée que s’il existe des pôle simples pour la fraction en question.

Exemple 3 Décomposer en éléments simple dans R(X) la fraction F = X 31 1 .

– La fraction est bien irréductible, – sa partie entière est nulle puisque le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur.

– F a un seul pôle simple 1 dans R(X). Le dénominateur se factorise dans R comme suit X3

1 = (X

1) X 2 + X + 1

– La décomposition de F en éléments simples dans R(X) a donc la forme suivante F =

A X 1

+

BX+C X 2 +X+1

où A; B et C des réels à déterminer.

– 1 étant un pôle simple de F , on peut alors utiliser la formule de résidu pour déterminer A: A = QP0(1) avec P = 1 et Q0 = 3X 2 (1) – On a alors A = 13 .

– Reste à déterminer B et C, pour ce faire, on applique la méthode d’évaluation, en remplaçant X dans la fraction et sa D.E.S, par X = 0 et X = 1 : 8 1 < X = 0 : 13 = 3 + B(0)+C C = 23 (0) 1 (0) 1 (0)2 +(0)+1 ) 1 1 C B = 13 : X= 1: = 3 + B(2 1)+C 3 ( 1)

– On a alors B =

1 3

et C =

( 1) 1

1

2 3

F =

( 1) +( 1)+1

. D’où la décomposition de F : 1 3

1 X 1

1 3

X+2 X 2 +X+1

48

Exemple 4 Décomposer en éléments simple dans C(X) la fraction F = X n1 1 .

– La fraction est bien irréductible, – sa partie entière est nulle puisque le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur.

– les pôles simples de F sont les racines n-ième de l’unité : ! k = exp(

2ik ) pour k = 0; :::; n n

1

– Le dénominateur se factorise dans C comme suit X

n

1=

n Y1

(X

! k ) avec ! k = exp( 2ikn )

k=0

– La forme de la D.E.S de F dans C(X) a donc la forme suivante F =

nP1 k=0

Ak (X ! k )

où Ak ; k = 0; :::; n 1 des complexes à déterminer.

– ! k ; k = 0; ::; n 1 sont des pôles simples de F , on peut alors utiliser la formule de résidu pour déterminer Ak : Ak =

P (! k ) Q0 (! k )

avec P = 1 et Q0 = nX n

1

– On a alors Ak =

1 n(! k )n

1

=

!k n(! k )n

=

!k n

puisque (! k )n = 1

– D’où la décomposition de F dans C(X) : F =

nP1 k=0

!k n(X ! k )

avec ! k = exp( 2ikn )

Méthode de parité – Soit F une fraction rationnelle paire ou impaire.

– Si est un pôle d’ordre m de F , alors est aussi un pôle d’ordre m de F .

– La méthode de parité consiste à comparer les D.E.S de F (X) et de F ( X) = F (X).

– En utilisant leur unicité, on obtient des relations entre les coe¢ cients de la D.E.S de F .

49

Méthode asymptotique – Soit F une fraction rationnelle de degré négatif, i.e. le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur. Le procédé de cette méthode est comme suit : – à multiplier la fraction F et sa D.E.S, par X; – puis on fait tendre X vers l’in…ni +1.

– On obtient ainsi une équation (simple) entre certains coe¢ cients (ceux de degré maximal).

Exemple 5 Décomposer en éléments simple dans R(X) la fraction 1 (X 2 1)(X 2 +1)2

G=

– La fraction est bien irréductible, – sa partie entière est nulle puisque le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur.

– G a deux pôles simples 1 et 1; dans R(X).

– La D.E.S de G dans R(X) a donc la forme suivante G(X) =

A X 1

+

B X+1

+

CX+D X 2 +1

+

EX+F (X 2 +1)2

où A; B; C; D; E et F des réels à déterminer.

– De plus, G est une fraction paire. On a alors G( X) =

A ( X) 1

+

B ( X)+1

+

C( X)+D X 2 +1

+

E( X)+F (X 2 +1)2

– Utilisant l’unicité de la D.E.S, et le fait que G( X) = G(X). On obtient A=

B

et

C=E=0

– La D.E.S de G se réduit donc à G=

A X 1

+

A X+1

+

D X 2 +1

+

F (X 2 +1)2

– Pour déterminer F on applique la méthode de base, en multipliant G d’une part, et sa 2 D.E.S d’autre part par (X 2 + 1) et on évalue l’égalité obtenue en X = i : X2 + 1

2

(X 2

1 1) (X 2 + 1)2

On a alors

= F + X2 + 1

1 (X 2

1)

X=i

1 8

2

=F ) F =

X 1 2

1

+

1 8

X +1

+

D : +1

X2

50

– À présent, on calcule F , en multipliant G d’une part, et sa D.E.S d’autre part par (X et on évalue l’égalité obtenue en X = 1 : (X

1)

1 1) (X 2 + 1)2

(X 2

On a alors

= A + (X

1 (X + 1) (X 2 + 1)2

A D F + 2 + : X + 1 X + 1 (X 2 + 1)2

1)

=A) A=

X=1

1)

1 8

– En…n, pour déterminer D on applique la méthode d’évaluation, en remplaçant X dans la fraction et sa D.E.S, par X = 0 : 1

((0)

2

2

2

1)((0) +1)

=

1 8

(0) 1

1 8

+

(0)+1

+

D (0)2 +1

1 2

+

((0)

2

2

+1)

) D=

1 4

– D’où la décomposition de F dans C(X) : G=

1 8(X 1)

1 8(X+1)

1 4(X 2 +1)

1 2(X 2 +1)2

Exemple 6 Décomposer en éléments simple dans R(X) la fraction H=

4X 3 (X 2 1)2

– La fraction est bien irréductible, – sa partie entière est nulle puisque le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur.

– H a deux pôles doubles 1 et 1; dans R(X).

– La D.E.S de H dans R(X) a donc la forme suivante H(X) =

A X 1

+

B (X 1)2

+

C X+1

+

D (X+1)2

où A; B; C et D des réels à déterminer.

– De plus, H est une fraction impaire. On a alors H( X) =

A X+1

+

B (X+1)2

+

C X 1

+

– Utilisant l’unicité de la D.E.S, et le fait que H( X) = A=C

et

B=

D

D (X 1)2

H(X). On obtient

51

– La D.E.S de H se réduit donc à A X 1

H(X) =

+

B (X 1)2

+

A X+1

+

B (X+1)2

– Pour déterminer H on applique la méthode de base, en multipliant G d’une part, et sa D.E.S d’autre part par (X 1)2 et on évalue l’égalité obtenue en X = 1 : (X

1)2

4X 3 (X 2 1)2

= B + (X

A

1)2

X

1

+

A B + : X + 1 (X + 1)2

On a alors

4X 3 =B) B=1 (X + 1)2 X=1 – Reste à calculer A; pour ce faire, on applique la méthode asymptotique sur H : 4X 4 4X 4 =4 = lim X!+1 X!+1 (X 2 1)2 X!+1 X 4 AX X AX X lim XH(X) = lim + 2+ = 2A X!+1 X!+1 X X X X2 lim XH(X) =

lim

– On a alors A = 2 .

– D’où la décomposition de H dans R(X) : H(X) =

2 X 1

+

1 (X 1)2

+

2 X+1

+

1 (X+1)2

Méthode de divisions euclidiennes successives – Si le dénominateur d’une fraction F admet un unique facteur irréductible B tel que A avec A 2 A[X] et k 2 N Bk alors la décomposition en éléments simples de F s’obtient en e¤ectuant la division euclidienne de A par B, soit A = BQ1 + R1 , puis la division euclidienne de Q1 par B, soit Q1 = BQ2 + R2 , etc.

– On calcule les divisions euclidiennes successives, le degré du reste diminue à chaque division : A Qk 1 B Q1 B Q2 B B Q1 Q2 Q3 Qk R1 R2 R3 Rk F =

– On arrête les calculs dès que Qj = 0 ou j = k.

– Par conséquent, l’itération s’arrête avec le calcul de Qk , qui est la partie entière de F .

Exemple 7 Décomposer en éléments simple dans R(X) la fraction F =

X8 (X 2 X+1)3

52

– La fraction est bien irréductible, de partie entière E. – La D.E.S de F dans R(X) a donc la forme suivante A1 X+B1 (X 2 X+1)

F =E+

+

A2 X+B2 (X 2 X+1)2

+

A3 X+B3 (X 2 X+1)3

où A1 ; A2 ; A3 ; B1 ; B2 et B3 des réels à déterminer.

– Le dénominateur de la fraction F admet un unique facteur irréductible X 2 va alors utiliser la méthode de divisions successives.

– On e¤ectue donc les divisions euclidiennes successives : X8 X2 X + 1 6 5 X X3 | {z 1} X | + X {z R1

X 2 + 1}

Q1

On a alors X 8 = (X 2

X + 1) Q1 + R1 . On continue

On a Q1 = (X 2

Q1 X2 X + 1 4 3 X2 | 2X {z+ 5} X | + 2X +{z R2

2X

Q2

X + 1) Q2 + R2 : Encore une fois

4}

Q2 X2 X + 1 2 3X + 3} | + {z | 2X {z 7} X Q3

R3

et on a Q2 = (X 2 X + 1) Q3 + R3 : – Ainsi donc, on remplace X 8 = (X 2 X + 1) Q1 + R1 dans F : F =

X8 (X 2 X+1)3

=

(X 2

X+1)Q1 +R1

(X 2 X+1)3

– A présent, on utilise l’expression de Q1 = (X 2 F = F =

Q1 (X 2 X+1)2

+

R1 (X 2 X+1)3

X + 1) Q2 + R2 :

(X 2

X+1)Q2 +R2 1 + (X 2 RX+1) 3 (X 2 X+1)2 Q2 R2 1 + (X 2 X+1)2 + (X 2 RX+1) 3 (X 2 X+1)

– En…n, de l’expression de Q2 = (X 2 F =

=

X + 1) Q3 + R3 ; on obtient

(X 2

X+1)Q3 +R3 (X 2 X+1)

+

R3 (X 2 X+1)

+

F = Q3 + C’est la D.E.S de F dans R(X).

R2 1 + (X 2 RX+1) 3 (X 2 X+1)2 R2 1 + (X 2 RX+1) 3 (X 2 X+1)2

X + 1. On

53

Méthode de divisions suivant l’ordre croissant – Si une fraction F admet 0; comme un pôle multiple d’ordre n; i.e., P avec P (0) 6= 0 et Q(0) 6= 0 X nQ

F =

– Dans ce cas, les coe¢ cients de la partie polaire relative au pôle 0; dans la D.E.S de F , sont exactement ceux de la division suivant l’ordre croissant de P par Q à l’ordre n-1.

– De façon plus générale, si une fraction F admet ; comme un pôle multiple d’ordre n 3; c’est à dire, P F = avec P ( ) 6= 0 et Q( ) 6= 0 (X )n Q – On commence par poser Y = X F =

, la fraction est donc de la forme

P (Y ) avec P (0) 6= 0 et Q(0) 6= 0 Y n Q(Y )

– Ensuite, on e¤ectue la division suivant l’ordre croissant de P (Y ) par Q(Y ) à l’ordre n-1.

Exemple 8 Décomposer en éléments simple dans R(X) la fraction F =

X+1 X 3 (X 2 +1)

– La fraction est bien irréductible, de partie entière nulle.

– 0 est un pôle de F d’ordre de multiplicité 3; dans R(X).

– La D.E.S de F dans R(X) a donc la forme suivante F =

A1 A2 A3 + 2+ 3 X X} |X {z

+

BX+C (X 2 +1)

partie polaire relative au pôle 0

où A1 ; A2 ; A3 ; B et C des réels à déterminer.

– Comme 0 est un pôle multiple, on poura donc appliquer la méthode de division suivant l’ordre croissant.

– On e¤ectue la division suivant l’ordre croissant de X + 1 par X 2 + 1 à l’ordre 2. On a alors 1

1 + X2

+X 1 X X

X2 X2 2

X +X 2

X3 X3 X3

1+X +X 4 +X 4

X2

54

– Ainsi

1 + X = (1 + X 2 ) (1 + X

X 2) + ( X 3 + X 4)

– Par conséquent, F =

X+1 X 3 (X 2 +1)

F =

1 X3

+

=

1 X2

(1+X 2 )(1+X

X 2 )+(X 4 X 3 ) X 3 (X 2 +1)

1 X

+

X 1 , (X 2 +1)

=

1+X X 2 X3

+

X 1 X 2 +1

c’est la D.E.S de F dans R(X)

Exemple 9 Décomposer en éléments simple dans R(X) la fraction G=

X 2 +1 (X 1)(X+1)3

– La fraction est bien irréductible, de partie entière nulle.

– G a deux pôles : 1 un pôle simple et 1 un pôle d’ordre de multiplicité 3; dans R(X).

– La D.E.S de G dans R(X) a donc la forme suivante A

G=

+

|X {z 1}

partie polaire relative au pôle 1

B1 B2 B3 + 2 + X 1 (X 1) (X 1)3 | {z } partie polaire relative au pôle

1

où A; B1 ; B2 et B3 des réels à déterminer.

– Pour le pôle triple 1, on e¤ectue le changement de variable Y = X + 1 : G(Y ) =

Y 2 2Y +2 Y 3 (Y 2)

– On e¤ectue donc la division suivant l’ordre croissant d’ordre 2, de 2 2Y +Y 2 par 2

2Y 2

– Ainsi

Y2

+Y Y +Y

2Y + 2 = (Y

+Y

2

+Y 2 1 2 Y 2 1 2 +2Y 1 2 Y 2 2)

1 + 12 Y

2+Y

1 + 12 Y + 14 Y 3 + 14 Y 3 1 2 Y 4

+ 14 Y 3 :

– Par conséquent, Y 2 2Y + 2 Y 3 (Y 2) 1 2 (Y 2) 1 + 12 Y Y + 14 Y 3 4 G = Y 3 (Y 2) 1 2 1 1 + 12 Y Y 4 4 G = + Y3 (Y 2) G =

1 2 Y 4

2+Y :

55

– On a alors, 1 Y3

G(Y ) =

+

1 2Y 2

1 4Y

+

1 4(Y 2)

– En…n, on remplace Y = X + 1 dans G(Y ) : On a alors la D.E.S de G dans R(X) est G(X) =

1 (X+1)3

+

1 2(X+1)2

1 4(X+1)

+

1 4(X 1)

Exemple 10 Décomposer en éléments simple dans R(X) la fraction H=

X5 (X 1)4

– La fraction est bien irréductible, de partie entière E. – 1 est un pôle de H d’ordre de multiplicité 3.

– La D.E.S de H dans R(X) a donc la forme suivante H=

E |{z}

+

partie entière

A X |

1

+

B (X

+ 1) (X {z

C

2

3

1)

+

D (X

partie polaire relative au pôle 1

où A; B; C et D des réels à déterminer.

– Rappelons la formule de binôme de Newton (a + b)n =

n P

Ckn an k bk avec Ckn =

k=0

– On a

n! k!(n k)!

H=

X5 (X 1)4

H=

((X 1)+1)5 (X 1)4

H=

(X 1)5 +5(X 1)4 +10(X 1)3 +10(X 1)2 +5(X 1)+1 (X 1)4

– D’où la D.E.S de la fraction H H =X +4+

10 (X 1)

+

10 (X 1)2

+

5 (X 1)3

+

1 (X 1)4

1)4 }