គណិតវិទ្យា math

RksYgGb;rM yuvCn nigkILa

viFImYycMnYnsRmab; edaHRsaylMhat; CaCMnYydl;sisS fñak;TI 12 2015-2016

រមភកថ វធ ិ េី

ះ្រ

យលំ

ត់េនះ្រគន់ែតជករបំេពញបែនថមេទេលើេមេរៀនែដលអនកបនសិក

េលើ្រគប់មូល ្ឋ ន្រគឹះៃនគណិតវទយ។ ករេលើកេឡើងនូវវធ ួ ចំនួនកនុងករេ ិ ិ ីមយ

ះ្រ

យលំ

ត់

ែផនកខងេឆ្វងជចេម្លយ ើ េ

យ

យេនខងេ្រកមេយើងខញុំបនេរៀបចំជលំ

ត់

គ្រឺ គន់ែតជជំនួយដល់អក ន សិក េដម ើ បម ី នលទធភពយល់បនេលឿន នង ិ បនេ្រចន ើ រេបៀបបែនថម

េលើអ្វីែដលអនកបនជួប្របទះេហើយ។ កនុងករេរៀបចំឯក

មនករបក្រ

រេនះ

យ ឯែផនកខង

េយើងខញុប ំ នែចកជពីរែផនកគឺ

្ត ំគជ ិ ស ឺ ករេលើកេឡើងនូវវធ ី ្រមប់េ

ពីចេម្លយ ិ ីស្រមប់េ ើ នង ិ ករេលើកេឡើងនូវវធ អនុវត្តនៃ៍ នវធ ិ េី

ះ្រ

ះ្រ

យេនះ។

សូ មបញជក់ជូនថអនកសិក ពត ិ ជនង ឹ

របស់េយើងខញុំ។ អំពីេ

េដម ើ បឲ ី យឯក

ចរកេឃញ ិ ែី ប្លកៗ ើ វធ

ះ្រ

យលំ

ត់េនះ។ បន្ត

នង ិ ល្អជងករេរៀបេរៀង

រេនះកន់ែតល្អ្របេសើរ េយង ំ ទួលនូវមតរិ ះគន់ នង ើ ខញុំរង់ចទ ិ ិ ែកលម្អបែនថម

ក្រគូ អនក្រគូ និងអនកសិក ទំង

យេ

យក្តីេ

មនស រក ី យបំផុត។

្រកុមអនកេរៀបេរៀង

មាតិកា វ ិធីដ

ោះស្រាយលំហាត់ តាមដោលការណ៍នៃវ ិចារអៃុ មាៃរួមគណិតវ ិទ្យា.......................................................... 2

វ ិធីកំណត់លីមីតនៃស្ីុត ................................................................................................................................................ 3 វ ិធីកំណត់លីមីតនៃស្ីុតដ វ ិធីកំណត់លីមីតដ

យដធ្ើការដ្រៀរដធៀរ ................................................................................................... 5

យដ្រើ ្រមាណវ ិធី ..................................................................................................................... 7

វ ិធីគណនាលីមីត ........................................................................................................................................................... 9 វ ិធីដ្រើលកខណោះពិជគណិតនៃអៃុ គមៃ៍ អុិចស្បូណង់ ស្សែល............................................................................... 11 វ ិធីសិកាអៃុគមៃ៍ដ

យរញ្ូច លអៃុ គមៃ៍ អុិចសប្ូណង់ ស្សែល .......................................................................... 12

វ ិធីសិកាអៃុគមៃ៍្រដេទ្យ f ( x )  eu ( x ) .................................................................................................................... 14 វ ិធីដ្រើអៃុគមៃ៍ដោការ ីតដៃស្ពដ ើ មបីដ

ោះស្រាយសមីការ ឬ វ ិសមីការ ............................................................ 16

វ ិធីសិកាអៃុគមៃ៍ស្ លមាៃអៃុគមៃ៍ ដោការ ីតដៃស្ព ......................................................................................... 19 វ ិធីកំណត់្ពីមីទ្យីវ ......................................................................................................................................................... 21 វ ិធីដ្រើទ្យ្មង់ ពីជគណិតនៃចំៃួៃកុំផ្ិលច ..................................................................................................................... 23 វ ិធីដ

ោះស្រាយសមី ការកនុង

សំណុំចំៃួៃកុំផ្ិច ល .................................................................................................. 24

1

វ ិធីដ

ោះស្រាយលំហាត់តាមដោលការណ៍នៃវ ិចារអៃុមាៃរួមគណិតវ ិទ្យា

លំហាត់៖ ដគមាៃ a ជាចំ ៃួៃពិ តវ ិជជមាៃ ។ ស្រាយរំ េឺ ដល

យដ្រើ វ ិចារអៃុមាៃរួមគណិតវ ិទ្យា

ោះ្គរ់ចំៃួៃគត់ធមមជាតិ n , 1  a   1  na ។

ថាចំដ

n

ចដមលើយ ចំដ

វ ិធី ដ

ោះ្គរ់ចំៃួៃគត់ធមមជាតិ n ដយើងតាង P(n)

លកខណោះ " 1  a   1  na " ។ ដយើងចង់ស្រាយ រំេឺដល

យដ្រើវ ិចារអៃុ មាៃរួមគណិតវ ិទ្យាថាចំ ដ

ោះ

-

ោះ n  0 ដគបាៃ 1  a   1

ដផ្តើម : ចំដ

ូដចនោះ 1  a   1  0  a ។

-

លកខណោះ P(n) ពិតឬដទ្យ?

0

លកខណោះដៃោះពិតចំដ

ោះ n  0

-

រៃត : ដយើងឧរមាថា P(n) ពិតចំដ

យ P(n) , n ជាចំៃួៃគត់ធមមជាតិ ។

ដ្កាយពីតាងឲ្ែ P(n) រួចស្ស្ងយល់ដតើ

0

ៃិង 1  0  a  1 ។

យដ្រើ វ ិចារអៃុមាៃ

ដ ើមបីងាយយល់ដយើងតាងលកខណោះ ដ

្គរ់ចំៃួៃគត់ធមមជាតិ n , P(n) ពិត ។ -

ោះស្រាយលំហាត់ ដ

រួមគណិតវ ិទ្យា ៖

n

កំណត់សមាគល់៖ កាលណាដយើងដ្រើសមមតិ កមមនៃវ ិចារអៃុមាៃរួមដយើង្តូវស្តយល់ថា

ោះតនមល

n  0 (ដយើងដៅថាសមតិកមមនៃវ ិចារអៃុ

P(n) ពិតចំដ

មាៃរួមគណិតវ ិទ្យា) ។ ដយើងស្រាយរញ្ជ ជ ក់

្គរ់ n ដនាោះដទ្យ ។ ដរើពុំដនាោះដទ្យគឺដយើងបាៃ

ថា P(n) ពិតនាំឲ្ែ P(n  1) ពិត។

អៃុមតិរច ួ ជាដស្រសចៃូវលកខណោះស្ លដយើង

P(n  1) : 1  a 

្តូវស្រាយរំេឺល ។

1  a 

n 1

n 1

 1   n  1 a ។ ស្ត

 1  a 1  a  ៃិង តាមសមតិ n

-

ោះ n ស្តមួយមិៃស្មៃចំដ

ោះ

ដយើងសរដសរ P(n  1) ៃិងាកលបងដធ្ើ

កមមនៃវ ិចារអៃុមាៃរួមគណិតវ ិទ្យា

ឲ្ែដ

1  a 

ថាវាពិត ដ ើមបីឲ្ែដយើងអាចដ្រើសមតិកមម

ដ

n

 1  na ។ ដ

យគុណអងគទំងពីរ

យ 1  a  ស្ លវ ិជជមាៃ

ើញលកខណោះ P(n) ស្ លដយើងឧរមា

នៃវ ិចារអៃុ មាៃរួមគណិតវ ិទ្យា ។

ច់ ខាតដយើង

បាៃ : 1  a 1  a   1  a 1  na  n

ឬ 1  a 

ឬ 1  a 

n 1

 1  na  a  na 2

n 1

 1   n  1 a  na 2

ស្ត na 2  0

(1)

ូដចនោះ

1   n  1 a  na 2  1   n  1 a

(2)

តាមវ ិសមភាព (1) ៃិង (2) ដយើងបាៃ

1  a 

n 1

 1   n  1 a បាៃ​ៃ័យថា

P(n  1) ពិត ។

n

ូដចនោះ P(n) ចំដ

ោះ្គរ់

។

លំហាត់អៃុ វតតៃ៍វ ិធី ដ

ោះស្រាយលំហាត់ តាមដោលការណ៍នៃវ ិចារអៃុ មាៃរួមគណិតវ ិទ្យា

លំហាត់ទ្យី១៖ ស្រាយរំេឺលថាចំដ

12  22 

 n2 

ោះ្គរ់ចំៃួៃគត់ធមមជាតិ n  1 ,

n  n  1 2n  1 6 2

លំហាត់ទ្យី២៖ ស្រាយរំេឺ ដល

យដ្រើ វ ិចារអៃុមាៃរួមគណិតវ ិទ្យាថាចំ ដ

ោះ្គរ់ ចំៃួៃគត់

ធមមជាតិ n , 23n  1 ជាពហុគុណនៃ 7 ។ លំហាត់ទ្យី៣៖ ដគមាៃស្ីត ុ u កំណត់ដ

យ u0  1 ៃិងចំដ

ោះ្គរ់ចំៃួៃគត់ធមមជាតិ n ,

un1  un  2n  3 ។

ោះ្គរ់ចំៃួៃគត់ធមមជាតិ n, un   n  1 ។

ស្រាយរំេឺលថាចំដ

2

លំហាត់ទ្យី៤៖ ស្រាយរំេឺ តា ល មវ ិចារអៃុមាៃរួមគណិតវ ិទ្យាថាចំដ

ោះ្គរ់ចំៃួៃគត់ ធមមជាតិ n  1 :

n 2  n  1 1. 1  2   n  ។ 4 n  n  3 1 1 1     2. ។ 1 2  3 2  3  4 n   n  1   n  2  4  n  1 n  2  2

3

3

3

វ ិធីកំណត់លីមីតនៃស្ីត ុ

លំហាត់៖ ដគមាៃស្ីុត u, v, w កំណត់ដលើ

2n  3 ។ n  5 1. កំ ណត់ លីមីតនៃស្ីត ុ u ។

ដ

យ៖ un  2n 2  3n  1 , vn  3n3  4n  2

ៃិង wn 

2. a.កំ ណត់ លីមីតនៃស្ីុត v ។

b.រញ្ជ ជ ក់ ថាស្ីត ុ v ជាស្ីត ុ ដកើ ៃចារ់ ពី n  1 ។

3. កំ ណត់ លីមីតនៃស្ីុត w ។

1. lim 2n 2   , lim 3n   ; lim 1  1 n

n

ដ

ដ ើ មបីកំណត់ លីមីតនៃស្ីត ុ មួ យ

n

1. កាលណាពុំ មាៃរាងមិ ៃកំ ណត់ ដយើងដធ្ើ

យដ្រើលទ្យធផ្លនៃផ្លរូក ដយើងបាៃ៖

lim un  

ការសៃនិ ា ៃតាម្ទ្យឹសីរ ត ទ្យនៃដមដរៀៃ ។

n

2.a.ដ

2. ដយើងរស្មលងកដៃាមដ ើ មបីរំបាត់រាងមិ ៃ

យទ្យ្មង់ដ ើមនៃ vn មាៃរាងមិៃកំណត់ ។

ដយើង្តូវ

កំណត់ ។ ជាទ្យូដៅដយើង

ក់ជាកតាតរួមតួស្ លមាៃ ឺដ្កធំជាងដគ។

តួណាស្ ល្គរសងកត់ដគដៅ  ។

 3n 3 4n 2  ចំដ ោះ្គរ់ចំៃួៃ n  0 , vn  n   3  3  3  n n   n 4 2  vn  n 3   3  2  3  n n   4 2  lim n3   ៃិង lim  3  2  3   3 n n  n n   ដយើងដ្រើលីមីតនៃផ្លគុណដយើងបាៃ lim vn   3

n

b. ចំ ដ

ោះ្គរ់ចំៃួៃគត់ធមមជាតិ n , vn  f (n)

ស្ ល f ជាអៃុគមៃ៍កំណត់ដលើ

ដ

យ

f ( x)  3x 3  4 x  2 ៃិង f មាៃដ រ ីដវ f ( x)  9 x 2  4 ។ ចំដ

ោះ្គរ់ចំៃួៃពិត x 

ក់ជាកតាតរួម

2 , 3 3

2  f ( x)  0 ; f ជាអៃុគមៃ៍ដកើៃដលើចដនាលោះ  ;   ។ 3  ូដចនោះ v ជាស្ីុតដកើ ៃចារ់ពី n  1 ដ ើងដៅ ។

3.ទ្យ្មង់ ដ ើ មនៃ wn មាៃរាងមិ ៃកំ ណត់ ដយើង

ជាកតាតភាគយកៃិងភាគស្រងដ

ក់

យកតាតស្ លមាៃ

ឺដ្កធំជាងដគៃិងដយើងស្មួលចំដ

ោះ n ចំៃួៃគត់

 2n 3  n   2  3 n n n ធមមជាតិ n  0 , wn     n 5  1  5 n   n  n n 3 5   lim  2    2 ៃិង lim  1    1 ដ យដ្រើ n n  n n   លីមីតនៃផ្លស្ចកដយើងបាៃ lim wn  2 ។ n

លំហាត់អៃុ វតតៃ៍វ ិធីកំណត់ លីមីតនៃស្ីត ុ

លំហាត់ទ្យី១៖ កំ ណត់ លីមីតនៃស្ីុតស្ លមាៃតួ ទ្យូដៅ un : a. un   2n  1

2

b. un 

3 2 n 5

លំហាត់ទ្យី២៖ កំ ណត់ លីមីតនៃស្ីុតដៅអៃ​ៃតនៃស្ីុតស្ លមាៃតួ ទ្យូដៅ un :

2n 2  5n  3 4n  1 u  a. un  b. n n4 n4 លំហាត់ទ្យី៣៖ កំ ណត់ លីមីតនៃស្ីុត u ៃិង v ស្ លមាៃតួទ្យូដៅ : a. un  4n  6

b. vn  n 2  3n  5

c. un  n n

d. vn  n 3  n 2

e. un 

3 2n  1 3n  5 g. un  2n  1 n i. un   1

f. vn  5 

1 n 1 3 3 m. un  2   2 n n

l. vn 

k. un  n 2 

3n  1 n2  n  1 3  n  q. un  2n 2  1 o. un 

2 n 1 2 n  2n h. vn  3 n j. vn  n  1  n 1 2 n n2 1 n. vn  n  n 2 3n  n  1 p. vn  2 n  2n  1 1  n 1  r. vn   n     n   2n 2  

4

វ ិធីកំណត់លីមីតនៃស្ីត ុ ដ

យដធ្ើការដ្រៀរដធៀរ

លំហាត់៖ កំ ណត់ លីមីតនៃស្ីុត u , v ៃិង w ស្ លដគឲ្ែតួទ្យូដៅររស់វាខាងដ្កាម ៖ a. un

n 1

វ ិធី កំណត់ លីមីតដ

n

យ  n  1 វ ិជជមាៃ

យស្ចកដ

1  1 1 1 1   ស្ត lim  lim 0 n n  1 n n  1 n 1 n 1 n 1 តាមវ ិធីអមដយើងបាៃស្ីត ុ u ដទដៅរក 0 ។ ូដចនោះ

-

n

1  cos  n   1

n 

ៃឹង n  3 (វ ិជជមាៃ

1  sin  n   1 -

យស្ចក

ររស់វា ។ -

ោះ្គរ់ចំៃួៃគត់ធមមជាតិ n , 1   1  1 n

ៃឹង n  5 (វ ិជជមាៃ

យស្ចក

ច់ ខាត) ដគបាៃ ៖

n 1 n 1  wn  n5 n5 2

រាល់ការសៃនិ ា ៃដយើងដ្រើ្ទ្យឹសីរ ត ទ្យ ដធៀរ ៃឹ ងចំៃួៃធំជាង ឬ តូចជាង ឬ អម ។

n

n

ក់ចំៃួៃអមឬដ្រៀរដធៀរដៅៃឹង

ស្ លតូចជាងស្ីុតស្ លដយើង្តូវរកលីមីត

ូដចនោះ lim vn  1 ។

ដយើងបាៃ n 2  1  n 2   1  n 2  1 ។ ដ

ដយើង

ចំៃួៃមួយស្ លធំជាង ឬ ដៅៃឹងចំៃួៃមួយ

ច់ ខាត) ដយើងបាៃ

n  1 n  cos  n  n  1 n 1 n 1    vn  ឬ n3 n3 n3 n3 n3 1 1 1 1 n 1 n  1 n ៃិង n ចំដ ោះ្គរ់ n  0 ,   3 n  3 1 n  3 1 3 n n n 1 n 1  lim 1 ដនាោះ lim n n  3 n n  3 តាមវ ិធីអមដយើងបាៃស្ីត ុ v ដទដៅរក 1 ។ c. ចំ ដ

ោះ្គរ់ចំៃួៃគត់ធមមជាតិ n :

1   1  1

n

ដនាោះដយើងបាៃ n  1  n  cos  n   n  1 ដ

យដធ្ើការរដ្រៀរដធៀរ ឬ

ដយើងដ្រើ វ ិធី ដ្រៀរដធៀរងាយៗ ឧទហរណ៍ចំដ

0 ។ n 1 ោះ្គរ់ចំៃួៃគត់ធមមជាតិ n , 1  cos  n   1

b. ចំ ដ

n

វ ិធី អម ។

ច់ខាត

n

 1 lim

n 2   1 c. wn  n5

n  cos  n  b. vn  n3 ចដមលើយ

n

ោះ្គរ់ចំៃួៃគត់ធមមជាតិ n , 1   1  1

a.ចំ ដ

ដ

 1 

2

1  n 1  2  n 1 n  ចំដ ោះ្គរ់ n  0 ,   5 n5 1 n 2 n 1   ដ យតួតូចដទដៅរក  ដនាោះ lim n n  5 ូដចនោះ lim wn   ។ 2

n

5

កំណត់សមាគល់៖ វ ិសមភាព wn 

n2  1 មិៃអាច n5

ឲ្ែដយើងសៃនិ ា ៃបាៃដទ្យ ។ លំហាត់អៃុ វតតៃ៍វ ិធីកំណត់ លីមីតនៃស្ីត ុ ដ

យដធ្ើការដ្រៀរដធៀរ

លំហាត់ទ្យី១៖ កំ ណត់ លីមីតនៃស្ីុតខាងដ្កាម ៖ a. un 

sin  n  n

n  cos  n  n

b. vn 

n 2  3n  5 n3 ោះ្គរ់ចំៃួៃគត់ធមមជាតិ n , un  n  6 ។

លំហាត់ទ្យី២៖ ដគមាៃស្ីត ុ u កំណត់ដលើ 1.a.ស្រាយរំ េឺលថាចំ ដ

ដ

b.ទញយកលីមីតនៃស្ីុត u ។

2.កំ ណត់ លីមីតនៃស្ីុត u ដ

យ

យ un 

ក់ជាកតាតភាគយកៃិងភាគស្រងដ

យ n ។

លំហាត់ទ្យី៣៖ ដគមាៃស្ីត ុ u ។ កនុងករណីៃី មួយៗខាងដ្កាមកំ ណត់លីមីតនៃស្ីុត u ។ b. un   cos  n   2   n

a. un  n 2   1 n n

លំហាត់ទ្យី៤៖ ដគមាៃស្ីត ុ u កំណត់ដលើ n

un   k 1

1 1 1  1   k 2 3

*

ដ

យ៖



1 ។ n

1. យកចំ ៃួៃគត់ n  1 ។ រញ្ជ ជ ក់ថាចំដ

ដគបាៃ

ោះ្គរ់ចំៃួៃគត់ធមមជាតិ k ,1  k  n

1 1  ។ k n

2. ទញរងា​ាញថាចំ ដ

ោះ្គរ់ចំៃួៃគត់ n  1 , un  n ។

3. កំ ណត់ លីមីតនៃស្ីត ុ u ។

លំហាត់ទ្យី៥៖ កំ ណត់ លីមីតនៃស្ីុត u ៃិង v ខាងដ្កាម ៖ a. un

 1 

n

b. vn 

n 1 លំហាត់ទ្យី៦៖ ដគមាៃស្ីត ុ u កំណត់ដលើ

cos  n  n2 * ដ យ៖

n

1 1 1    n 1 n  2 k 1 n  k

un  

1. រងា​ាញថាចំ ដ



1 n n

ោះ្គរ់ចំៃួៃគត់ធមមជាតិ n មិៃសូៃែ :

n n  un  n 1 n n 2. កំ ណត់ លីមីតនៃស្ីត ុ u ។

6

វ ិធីកំណត់លីមីតដ

យដ្រើ្រមាណវ ិធី

លំហាត់៖ 1. ដគមាៃអៃុ គមៃ៍ f កំ ណត់ ដលើ

ដ

យ : f ( x)  x2  2 x ។

គណនាលីមីតនៃ f ្តង់  ៃិង្តង់  ។ 2. ដគមាៃអៃុ គមៃ៍ g កំ ណត់ ចំដ

ោះ្គរ់ចំៃួៃពិត x  1 ដ

យ g ( x) 

x2 ។ x 1

a. គណនាលីមីតនៃ g ្តង់  ៃិ ង  ។ b. គណនាលីមីតខាងាតំ ៃិ ង ខាងដវ្ងនៃ g ្តង់ 1 ។

ចដមលើយ 1.



វ ិធី កំណត់ លីមីតដ



គណនា lim x 2  2 x ស្មារ់



x 

-

អៃុគមៃ៍ f ( x)  x  2 x ពុំមាៃរាងមិៃ 2

្តង់  ដយើងដ្រើ វ ិធីរូកលីមីត ។

x 

lim  2 x    ។ ូដចនោះដយើងដ្រើផ្ល

-

x 

រូកនៃពីរអៃុគមៃ៍ដយើងបាៃ lim f ( x)   ចំដ





-

ោះមុខនៃរាងមិៃកំណត់    ។ ដយើង ក់ x 2 ជាកតាត : -

x

តនមលអវ ិជជមាៃ(ដគតាង 0 ) ។ ដយើងសៃនិ ា ៃ

2.

ចំដ

k ្តូវសិកាសញ្ជានៃភាគស្រង 0 ដ ើមបីដធ្ើការសៃនិ ា ៃ ។ កាលណាកដៃាម ដរើមាៃរាង

តនមលវ ិជជមាៃ(ដគតាង 0 ) ឬដពលខលោះវារកា

គុណនៃពីរអៃុគមៃ៍ lim f ( x)   ។ គណនា lim g ( x ) ៃិង lim g ( x )

ដ

x 

 ។   2 x 1   1  2 x x  ោះ x  0 , g ( x )    1  1 1 x 1   x  x

ដយើងដ

 ដគ ក់កតាតភាគ  យកៃិងភាគស្រងតួស្ លមាៃ ឺដ្កធំរច ួ ដរើមាៃរាងមិៃកំណត់

មួយដទដៅរកសូៃែវាអាចដពលខលោះវារកា

x 

x 

ក់ជា

ស្មួល ។

 2 ចំដ ោះ x  0 , f ( x )  x 1    x 2  2 ដ យ lim  0 ដគបាៃ lim  1    1 x  x x   x 2 ស្ត lim x   ។ ូដចនោះ ដ យដ្រើផ្ល 2



ដរើមាៃរាងមិៃកំណត់    ដគ កតាតតួណាស្ ល ឺដ្កធំជាងដគ ។

x

គណនា lim x 2  2 x ដយើងដៅ x 

ដរើពុំមាៃរាងមិៃកំណត់ដទ្យដយើងគណនា តាម្រមាណវ ិធី លីមីតធមមតា ូ ចករណី

កំណត់ដទ្យ ។ lim x 2   ៃិង



យដ្រើ ្រមាណវ ិធី

ើញរាងមិៃកំណត់

 2  1 lim  1    1 ៃិង lim  1    1 x  x   x  x ដយើងបាៃ lim g ( x)  1 x 

 2  1 lim  1    1 ៃិង lim  1    1 x   x  x

x 

7

យដ្រើ កបួៃសញ្ជានៃផ្លស្ចក ។

ដយើងបាៃ lim g ( x)  1 x 



គណនា lim g ( x ) ដគបាៃ x 1

lim  x  2   1 ៃិង lim  x  1  0 x 1

ដ

x 1

យសិកាសញ្ជានៃ x  1

 1 0   ូរ្តង់ 1 ។ អៃុគមៃ៍ g

x  x 1 យសញ្ជានៃ x  1

ដ

ោមៃលីមីត្តង់ 1 ស្តដយើងអាចសិកាលីមីតខាង យ lim  x  2   1

ដវ្ងៃិង ខាងាតវា ំ បាៃ ។ ដ

x 1

(អវ ិជជមាៃ) ៃិង lim  x  1  0 ជាផ្លស្ចក 

x 1 x 1

ូចោនស្ រ lim  x  1  0

lim g ( x )   ។

x 1 x 1

x 1 x 1

ូដចនោះ lim g ( x )   ។ x 1 x 1

លំហាត់ អៃុ វតតៃ៍វ ិធីកំណត់ ឬគណនាលីមីតដ x3  x x  x  2

យដ្រើ ្រមាណវ ិធី

លំហាត់ទ្យី១៖ គណនា lim



លំហាត់ទ្យី២៖ គណនា lim x  x x 



លំហាត់ទ្យី៣៖ គណនាលីមីតខាងដ្កាម ៖ a. lim x  x  3 x 

2 b. lim   x  x  2   1 x 

លំហាត់ទ្យី៤៖ កំណត់ លីមីតនៃអៃុគមៃ៍ខាងដ្កាម ៖ 



1

4 



a. lim  x 3  1   3   x  x x   

3 



b. lim  3x  x    x  x   

លំហាត់ទ្យី៥៖ គណនាលីមីតនៃអៃុគមៃ៍ខាងដ្កាម ៖ 2

  1x  4 





2. lim   x  5  x  x  

1. lim x 2  3  x 

លំហាត់ទ្យី៦៖ កំណត់លីមីត្តង់  ៃិង ្តង់  នៃអៃុគមៃ៍ f , g ៃិង h ស្ លកំណត់ ដលើ

ដ

យ។ b. g ( x ) 

a. f ( x)   x 3  2 x 2  4

x 2  3x 2

c. h( x ) 

9 x3  1 x2  4x  5

លំហាត់ទ្យី៧៖ កំណត់លីមីតនៃអៃុគមៃ៍ខាងដ្កាម ៖ a. lim x 2 x2

x 4  x2

b. lim x 2 x 2

x 4  x2

c. lim

x 2 x 2

x 4  x2

8

d. lim

x 2 x 2

x x e. lim 2  x 4 x 4  x2

វ ិធីគណនាលីមីត លំហាត់៖ គណនាលីមីតនៃអៃុគមៃ៍ខាងដ្កាម ៖

 

1. lim  3  x 0 x 0

2 5   x x2 



x2  x  1

3. lim



x 1  x

x 

3. lim  x  sin x 

x 

x 



2. lim



ចដមលើយ វ ិធី គណនាលីមីត

2 5 កាលណា x  x x2 ខិតជិត 0 ខាងាតមា ំ ៃរាងមិៃកំណត់

1. ដយើងតាង f ( x )  3 

1. -ដយើង្តូវដចោះដ្រើ ្រមាណវ ិធី ដលើលីមីត ។ -ដយើងរស្មលងកដៃាមនៃ f ( x ) ។

5 2   ៃិង lim 2   x 0 x x 0 x x 0 x 0

   ពីដ្

ោះ lim

ដយើងត្មូវភាគស្រង ។ ដយើងបាៃចំដ

-ដរើ ជួររាងមិៃកំ ណត់ ដយើងមិ ៃអាច

សៃនិ ា ៃបាៃដទ្យ ។ ដគអាចដ្រើវ ិធី ដផ្េងៗ

ោះ

ដៅតាមទ្យ្មង់នៃអៃុគមៃ៍ ។

3x 2  2 x  5 x2 ដគបាៃ lim 3x 2  2 x  5  5 (អវ ិជជមាៃ)

្គរ់ x  0 , f ( x )  x 0 x 0



2. ដគាកលបងសរដសរអៃុ គមៃ៍ជា



ៃិង lim x 2  0 ។

ូដចនោះដ

x 0 x 0

រណា ត ក់នៃពីរអៃុគមៃ៍ គឺ អៃុគមៃ៍ x 2  x  1 ៃិង អៃុគមៃ៍ឬសកាដរ ្ រួចដយើង

យដ្រើ្រមាណ

អៃុវតតៃ៍្ទ្យឹសីរ ត ទ្យ ។

វ ិធីនៃលីមីត lim f ( x )   ។

3. ដ្រៀដធៀរអៃុគមៃ៍ ដៅៃឹងអៃុ គមៃ៍

x 0 x 0

2. ដយើងតាង g ( x ) 

ដ

ដោលរួចអៃុវតតៃ៍្ទ្យឹសីរ ត ទ្យនៃការដ្រៀរ

x2  x  1



ដធៀរ ។



យ lim x 2  x  1 x 

4. កដៃាមនៃអៃុគមៃ៍មាៃឬសកាដរ ្​្តូវ

  1 1   lim  x 2  1   2     x  x x    ៃិង lim X  

គិត ល់ការគុណកដៃាមឆ្លលស់ ។

X 

ដយើងបាៃ lim g ( x)   ។ x

3. ដយើងតាង h( x)  x  sin x

ចំដ

ោះ្គរ់ចំៃួៃពិត x , 1  sin x  1

ូដចនោះ្គរ់ចំៃួៃពិត x ,

x  1  x  sin x  x  1 ឬ x  1  h( x)  x  1 ដ

យ lim  x  1   ដគទញបាៃដ x 

យ

វ ិធីដ្រៀរដធៀរ lim h( x)   ។ x

4. ដយើងតាង k ( x) 

x  1  x កាលណា

x   វាមាៃរាងមិៃកំណត់    ។ ពីដ្ ដ

ោះ lim

x 

x  1   ៃិង lim x  

យគុណៃិងស្ចកដ

x 

យកដៃាមឆ្លលស់នៃ 9

k ( x ) ដយើងបាៃ ៖



k ( x)  

ស្ត lim

x 



x 1  x



x 1  x



x 1  x x 1 x 1  x 1  x x 1  x



x  1  x  

ូដចនោះ lim k ( x)  0 ។ x 

លំហាត់អៃុ វតតៃ៍វ ិធីគណនាលីមីត លំហាត់ទ្យី១៖ ដគមាៃអៃុគមៃ៍ f : x

x ។ x 1

គណនា lim f ( x ) x 

2   លំហាត់ទ្យី២៖ រកលីមីត lim  3cos    x   x  



លំហាត់ទ្យី៣៖ កំណត់ lim x  2 x 2  3 x 



លំហាត់ទ្យី៤៖ ដគមាៃអៃុគមៃ៍ f កំណត់ដលើ (1; ) ដ

យ f ( x) 

x 1 ។ x 1

គណនាលីមីតនៃអៃុគមៃ៍ f ្តង់  ៃិង្តង់ 1 ។ លំហាត់ទ្យី៥៖ កំណត់លីមីតខាងដ្កាម ៖ a. lim

x 

c. lim

x 

x2  5 4x  1 3

b. lim

x2  x  1

d. lim

x x 1

x 

x 1

x 

2

លំហាត់ទ្យី៦៖ ដគមាៃអៃុគមៃ៍កំណត់ដលើ

ដ

យ f ( x)  x 2  4  x ។

1. កំ ណត់ លីមីតនៃ f ្តង់  ។ 2. រងា​ាញថាចំ ដ

ោះ្គរ់ចំៃួៃពិត x , f ( x ) 

4 x 4  x 2

ទញយកលីមីតនៃអៃុគមៃ៍ f ្តង់  ។ លំហាត់ទ្យី៧៖ កំណត់លីមីតនៃ f ្តង់  កនុងករណីៃី មួយៗខាងដ្កាម ៖ 2 a. f ( x )   2  sin x   x b.

f ( x) 

3x cos x  3

លំហាត់ទ្យី៨៖ 1. រងា​ាញថាចំ ដ

ោះ្គរ់ចំៃួៃពិត x ,

2. ទញយកលីមីតខាងដ្កាម

x x  2  cos x

a. lim

1 1  1 3 2  cos x

x  cos x x  2  cos x

b. lim

10

លំហាត់ទ្យី៩៖ 1. រងា​ាញថាចំ ដ

ោះ្គរ់ចំៃួៃពិត x  1 ដគបាៃ

1 x  1 2 x 1

2. ទញយកលីមីតខាងដ្កាម ៖

lim

x 

x x x ៃិង lim x  x 1 x  x  1

វ ិធីដ្រើលកខណោះពិជគណិតនៃអៃុគមៃ៍អុិចស្បូណង់ស្សែល

លំហាត់៖

1. ស្មួលកដៃាមខាងដ្កាមស្ ល x ជាចំៃួៃពិត ៖

A

e2 x e3 x

B  e x 1  2e x 

C

e x 2 e x 1

D   e x  e x 

2

E

e 2 x 1

e 

x 2

e x  e x 2. ដគមាៃអៃុ គមៃ៍ f កំ ណត់ ដលើ ដ យ f ( x)  2 ស្រាយរំេឺលថាចំដ ោះ្គរ់ចំៃួៃពិត x , f (2 x)  2( f ( x))2  1 ។ ចដមលើយ 1.

វ ិធី ដ្រើ លកខណោះពិ ជគណិតនៃអៃុគមៃ៍អុិច

e2 x  e 2 x 3 x  e  x 3x e B  e x 1  2e x   e x  2e x e x  e x  2 A

ស្បូណង់ ស្សែល ។ 1.

e x 2 C  x 1  e x 2 x 1  e1  e e

D   e x  e x    e x   2e x e x   e x  2

2

ex  e x y ។ ey B.្គរ់ ចំៃួៃពិ ត x , e x e x  1 ។

2

 e2 x  2  e2 x e2 x 1 e2 x 1 1 E  2 x  e2 x 12 x  e 1  2 e ex  e 2.

A .្គរ់ចំៃួៃពិត x , ្គរ់ចំៃួៃពិត y

C.ចំ ដ

ោះ្គរ់ចំៃួៃពិត x , enx   e x  ។ n

ដយើងដ្រើរង្ង់្កចក :

 e    e  e   e x 2

e x  e x f ( x)  2

E.ចំ ដ

2

e e  2( f ( x ))2  1  2   1  2  x

x

x

x

2x

ោះ្គរ់ចំៃួៃពិត x ដគបាៃ e  x 

 e2 x  2  e 2 x   2  1 4   2x 2 x e e   f (2 x ) 2 លំហាត់អៃុ វតតៃ៍ វ ិធី ដ្រើលកខណោះពិ ជគណិតនៃអៃុ គមៃ៍ អុិចសប្ូណង់ ស្សែល លំហាត់ទ្យី១៖ ស្មួលកដៃាមខាងដ្កាម ៖ a. A  e  e 2x

2 x

b. B  e

2 x 1

1 x

e

11

e x 2 c. C   x  2 e

e3 x  e x d. D  2 x e 1

1 ex

លំហាត់ទ្យី២៖ ស្រាយរំេឺលថាចំដ

ោះ្គរ់ចំៃួៃពិត x ដគបាៃ

e x  1 1  e x e x  1  x 2 x   e e 2. e x  1 1  e x e2 x លំហាត់ទ្យី៣៖ ចូរដវលើយថាពិត ឬមួយមិៃពិត ៖ 1.

3 ex   1 3 x a.  x   e b.  e2 x 1 e e  លំហាត់ទ្យី៤៖ ដគកំណត់ដលើ អៃុគមៃ៍ ៖ 2

c. e x 1  e1 x  1

d.

e3 x  e3 x e

e x  e x e x  e x f ( x)  ៃិង g ( x )  2 2 រងា​ាញថាចំដ ោះ្គរ់ចំៃួៃពិត x ៖ b.

 f ( x)2   g ( x)2  1 2 2  f ( x)  1  f (2 x)

c.

g (2 x)  2 g ( x)  f ( x)

a.

លំហាត់ទ្យី៥៖ ស្មួលកដៃាមខាងដ្កាម ៖

e  a.

2 5

1 e 1 1  c.

1  e 1  e 1 e 2 e9 លំហាត់ទ្យី៦៖ ស្មួលកដៃាមខាងដ្កាម ៖ e2 

b.

a.

f ( x)   e x  e x    e x  e x 

b.

g ( x) 

c.

h( x)   e x  1  e4 x  1

2

2

1  e2 x e  x  e x  1  ex 1  e x 2

វ ិធីសិកាអៃុគមៃ៍ដ

យរញ្ូច លអៃុគមៃ៍អុិចសប្ូណង់ស្សែល

លំហាត់៖ ដគមាៃអៃុគមៃ៍ f កំណត់ដលើ

ដ

យ f ( x) 

តាងអៃុគមៃ៍ f កនុងត្មុយ  0, i , j  ។

ex  1 ។ ដគតាង (C ) ស្ខេដកាង ex  1

1. គណនាលីមីតនៃអៃុ គមៃ៍ f ្តង់  ។ ទញរងា​ាញថាស្ខេដកាង (C ) មាៃអាសុីម

តូត្តង់  ស្ លដគរញ្ជ ជ ក់សមីការវា ។ 2. គណនាលីមីតនៃ f ្តង់  ។ ទញរងា​ាញថាស្ខេដកាង (C ) មាៃអាសុីមតូ ត្តង់

 ស្ លដគរញ្ជ ជ ក់សមីការវា ។ 3. ស្រាយរំ េឺលថាចំ ដ

ណាចំដ

ោះ្គរ់ចំៃួៃពិត x , f (  x)   f ( x) ។ ដតើដគអាចទញបាៃយ្ ង

ោះអៃុគមៃ៍ f ៃិងចំដ

ោះស្ខេដកាងររស់វា ។

4. គណនាដ រ ីដវ f  នៃ f ៃិ ង រញ្ជ ជ ក់សញ្ជាររស់វា ។ ទញយកតារាងអដេរភាព

នៃ f ។

12

ចដមលើយ 1.

lim e x  0

x 

វ ិធី ស្ លដយើងដ្រើ

ូដចនោះ lim f ( x)  1 ។ ដយើង x

1. ដរើ lim f ( x )  a ស្ ល a ជាចំ ៃួៃពិ តដនាោះ

អាចសៃនិ ា ៃបាៃថា (C ) មាៃអាសុីមតូត

x 

្តង់  គឺរនា​ាត់ស្ លមាៃសមីការ y  1

ស្ខេដកាងតាងអៃុគមៃ៍ f មាៃដៅ  អា

(អាសុីមតូតដ ក) ។

សុីមតូតដ កស្ លមាៃសមីការ y  a ។

2. កដៃាម f ( x ) មាៃរាងមិ ៃកំណត់ ្តង់ 

2. ្តង់  ដយើងដ

ូដចនោះដគសរដសរ

e x ទំងដៅភាគយកៃិងដៅភាគស្រង ។

x x e x  1 e 1  e  1  e  x f ( x)  x   e  1 e x 1  e  x  1  e  x

ដយើង្តូវ 3. ដរើ ចំដ

1  0 ពីដ្ ោះ lim e x   x x  e ូដចនោះ lim f ( x)  1 ៃិង (C ) មាៃ្តង់  x 

4. ចំ ដ

រនា​ាត់ស្ លមាៃសមីការ y  1 ជាអាសុីម តូតដ ក ។

 x 1 1  1 e  x  1 x e 1 e e  f ( x)   x    1 1 e 1  1 e x  x  1 ex e  x 1 e    f ( x) 1  ex ូដចនោះ f ជាអៃុគមៃ៍ដសស ។ ស្ខេដកាង x

(C ) តាង f មាៃ O ជាផ្ចិតវលុោះ ។ 4.

f ( x ) 

 ចំដ

e x  e x  1   e x  1 e x

e

x

 1

2

e2 x  e x  e2 x  e x

e

x

 1

ោះ្គរ់ x 

អៃុគមៃ៍ដកើៃដលើ x   f ( x)

2



e

2e x x

 1

2

, f ( x)  0 ។ f ជា

។





1 f ( x)

ោះ្គរ់ចំៃួៃពិត x , f ( x)   f ( x)

ដនាោះ f ជាអៃុគមៃ៍ដសស ។

x 

3.

ក់ e x ជាកតាតទំងភាគយកៃិង

ភាគស្រង ។

lim e x  lim

x 

ើញតួស្ ល្គរ ណតរ់គឺ

1

13

ោះ្គរ់ចំៃួៃពិត x , e x  0 ។

លំហាត់អៃុ វតតៃ៍វ ិធីសិកាអៃុ គមៃ៍ ដ

យរញ្ូច លអៃុ គមៃ៍ អុិចសប្ូណង់ ស្សែល លំហាត់ទ្យី១៖ f ជាអៃុគមៃ៍កំណត់ដលើ ដ យ f ( x)  e x  x  1 ។ កំណត់សមីការរ្ងួមនៃរនា​ាត់រ្ោះដៅស្ខេដកាងតាងអៃុគមៃ៍ f ្តង់ចំណុច ស្ លមាៃអារ់សុីស 1 ។ លំហាត់ទ្យី២៖ គណនាលីមីតនៃអៃុគមៃ៍ខាងដ្កាម ៖



a. lim e x 

x

 x



e x  e x x  2

1 x  1  e  x

 1  x2  x e 2  1 x 

d. lim  x 

c. lim

b. lim

លំហាត់ទ្យី៣៖ គណនាលីមីតនៃអៃុគមៃ៍ខាងដ្កាម 1 e2 x  1 x lim e d. x  e x  2 x  x  x  លំហាត់ទ្យី៤៖ ដគមាៃអៃុគមៃ៍ f កំណត់ដលើ ដ យ f ( x)  1  e x ។

a. lim e1 x

b. lim e

x 2  x 1

c. lim

a. ស្រាយរំ េឺលថាចំ ដ

ោះ្គរ់ចំៃួៃពិត x  0, f ( x)  0 ។

b. ស្រាយរំ េឺលថាចំ ដ

ោះ្គរ់ចំៃួៃពិត x  0,0  f ( x)  1 ។

លំហាត់ទ្យី៥៖ គណនាលីមីត្តង់ a កដៃាមខាងដ្កាម ៖ a.

e x ចំដ

b.

e2 x  1 ចំដ e2 x  1

c.

e x ចំដ

2

1

2

ោះ a   ។ ោះ a   ។

ោះ a   ។

1 ចំដ ោះ a   ។ 1  ex លំហាត់ទ្យី៦៖ ដគមាៃអៃុគមៃ៍ f កំណត់ដលើ [0;2] ដ d.

យ f ( x)  x  3  e x ។

1. សិកាសញ្ជាដ រ ីដវររស់ f ។ 2. សង់ តារាងអដេរភាពនៃ f ។ 3. ស្រាយរំ េឺលថាសមីការ f ( x)  0 មាៃចដមលើយ  ស្តមួ យគត់ដលើ [0;2] ។

វ ិធីសិកាអៃុគមៃ៍្រដេទ្យ លំហាត់៖ ដគមាៃអៃុគមៃ៍ f កំណត់ដលើ

ដ

f ( x )  eu ( x )

យ f ( x)  e x

ស្ខេដកាងររស់វាកនុងត្មុយ (o, i , j ) ។

1. គណនាលីមីតររស់ f ( x ) ្តង់  ៃិ ង  ។

2. គណនា f ( x ) ៃិ ង កំ ណត់ សញ្ជាររស់វា ។ 3. សង់ តារាងអដេរភាពនៃ f ។ 4. ដ

ោះស្រាយសមីការ f ( x)  1 ។

14

2

2 x

។ ដគតាងដ

យ (C )

ចដមលើយ វ ិធី សិកាអៃុ គមៃ៍ ្រដេទ្យ f ( x )  eu x 

1. -គណនា lim f ( x ) x 

 2 lim  x 2  2 x   lim x 2  1   x  x  x   2 ស្ត lim x 2   ៃិង lim  1    1 x  x  x  2 ូដចនោះ lim x  2 x   ។

1. ដ ើ មបីរំបាត់ រាងមិ ៃកំ ណត់ ដៅអៃ​ៃតកុនង

ដយើង ឹងថា lim e x  

2.

x 



ករណីពហុធាដយើងទញកតាត ឺដ្កខពស់ ជាងដគ តួ នទ្យ ។



x 

ូដចនោះ lim e x

2

2 x

x 

ក់ជាកតាតស្ លវា្គរ់ ណតរ់ដលើ

 e   u  e u

u

e a  eb  a  b 4. ដ ោះស្រាយសមីការ 3.

  ។

-គណនា lim f ( x )

f ( x)  1 គឺរកអារ់សុីសនៃចំណុចស្ ល

x 

lim  x  2 x    (មិៃមាៃរាងមិៃ 2

មាៃអរដ

x 

កំណត់ដទ្យ) ។ រួច lim e   x

ដៃ 1 ដៅដលើស្ខេដកាង ។

x 

ូដចនោះ lim e

x 2 2 x

x 

2.

  ។

f ( x )   2 x  2  e x

ពិត x , e x

2

2 x

2

2 x

ដយើង ឹងថា្គរ់ចំៃួៃ

ូដចនោះសញ្ជានៃ f ( x )

0

គឺសញ្ជានៃ  2 x  2  ។

3. សង់ តារាងអដេរភាពនៃ f

f (1)  e1 2  e 1  2



x  f ( x)

1 e



1 0







f ( x)

4.



1 e

f ( x)  1  e x

2

2 x

1

 e x  2 x  e0  x 2  2 x  0 សមីការ x 2  2 x  0 មាៃចដមលើយ x  0 2

ឬ x2 ។

ូដចនោះសំណុំចដមលើយររស់

សមីការ S  0;2 ។

លំហាត់អៃុ វតតៃ៍វ ិធីសិកាអៃុ គមៃ៍ ្រដេទ្យ f ( x )  e

u x 

លំហាត់ទ្យី១៖ គណនាដ រ ីដវនៃអៃុគមៃ៍ f កនុងករណីៃី មួយៗខាងដ្កាម ៖ 1 2 a.្គរ់ x  , f ( x )  e12 x b.្គរ់ x  , f ( x )  e  x 2 x c.្គរ់ x  (0; ) , f ( x )  e d.្គរ់ x  , f ( x )  ecos x

15

លំហាត់ទ្យី២៖ 1. សង់ តារាងអដេរភាពនៃអៃុ គមៃ៍ f កំ ណត់ ដលើ

ដ

យ f ( x)  e x  x ។ 3

2

2. កំ ណត់ សមី ការរ្ងួមនៃរនា​ាត់ រ្ោះដៅស្ខេដកាងតាងអៃុគមៃ៍ ដៃោះ្តង់ចំណុចស្ ល

មាៃអារ់សុីស 1 ។ លំហាត់ទ្យី៣៖ គណនាលីមីតខាងដ្កាម ៖



x a. lim e  x x 

e2 x  e x x 0 x



c. lim e x  x  5

b. lim

x 

1

d. lim e

1 x

x 

លំហាត់ទ្យី៤៖ a. ស្រាយរំ េឺលថាអៃុ គមៃ៍ f កំ ណត់ ដលើ

ដ

យ f ( x)  e3 x ជាអៃុគមៃ៍ចុោះដលើ

។

1

b. ស្រាយរំ េឺលថាអៃុ គមៃ៍ f ( x )  e x ជាអៃុ គមៃ៍ ដកើៃដលើ (0; ) ៃិ ង ដលើ ( ;0) ។ c. ស្រាយរំ េឺលថាអៃុ គមៃ៍ f ( x )  ecos x ជាអៃុ គមៃ៍ ចុោះដលើ [0; ] ។

លំហាត់ទ្យី៥៖ ដតើពិត ឬមួយមិៃពិត ? កនុងករណីៃីមួយៗខាងដ្កាមស្ លដគឲ្ែកដៃាមអៃុ គមៃ៍

ជ ក់ដតើកដៃាមនៃ f ( x ) f មាៃដ រ ីដវដលើចដនាលោះ I ៃិង អៃុគមៃ៍ដ រ ីដវ f  ររស់វា ។ រញ្ជ

្តឹម្តូវឬដទ្យ ? f ( x)  e3 x 1 , I 

1.

f ( x )  e3 x 1

2.

f ( x)  e

3.

f ( x)  e x

,

4.

f ( x )  ecos x

,

x

, ,

1

e x , I  (0; ) f ( x )  2 x 1 1 f ( x )   2 e x , I  (;0) x cos x f ( x)  e sin x , I 

វ ិធីដ្រើអៃុគមៃ៍ដោការ ីតដៃស្ពដ ើមបីដ លំហាត់៖ ដយើងមាៃ k ជាចំ ៃួៃពិតវ ិជជមាៃ ដ

ោះស្រាយសមីការ ឬ វ ិសមីការ

ច់ ខាត ។ ដគមាៃអៃុ គមៃ៍ កំណត់ ដលើ 0; 

យ ៖ f k ( x)  e x  kx ។

1. ដៅកនុងសំណួរដៃោះដគតាង k  2 ។ សិកាអដេរភាពនៃអៃុ គមៃ៍ f 2 ( x )  e x  2 x

ដៅដលើ 0;  ។

2. កនុងករណីទ្យូ ដៅ ។

a. រងា​ាញថាអៃុគមៃ៍ f k មាៃអរបររមាដលើ 0;  ្តង់ ចំៃួៃពិ ត  k ស្ លដគ

ៃឹងរញ្ជ ជ ក់ ។ b. ដគតាង uk  f (k ) ។ គណនា uk ជាអៃុ គមៃ៍ នៃ k ។ c. កំ ណត់ លីមីតនៃ uk ្តង់  ។

1.

f 2 មាៃដ រ ីដវដលើ 0;  ៃិងដគបាៃ

f 2( x)  e x  2 ។ ដគបាៃ

ចដមលើយ វ ិធី ដ្រើ អៃុ គមៃ៍ ដោការ ីតដៃស្ពដ ើ មបីដ ស្រាយសមី ការ ឬ វ ិសមីការ

f 2( x)  0  e  2  x  ln 2 x

16

ោះ

ដគក៏បាៃ f 2( x)  0  e x  2

ដ ើមបីដ

 e x  eln 2  x  ln 2 f 2 (ln 2)  eln 2  2ln 2  2  2ln 2

ូដចនោះដគបាៃតារាងអដេរភាពខាងដ្កាម ៖ x 0  ln 2 0   f 2( x )

-

ដរើ a  0 សមីការជាសមីការមិៃអាច ។

-

ដរើ a  0 ដយើងអៃុវតតៃ៍អៃុគមៃ៍ ln ដៅ អងគទំងពីរររស់សមីការស្ លដយើងបាៃ ln e x  ln a មាៃ​ៃ័យថា x  ln a ។

ោះស្រាយវ ិសមី ការរាង e x  a

ដ ើមបីដ

1 f 2 ( x)

ោះស្រាយសមីការរាង e x  a

-

 2  2ln 2 

ដរើ a  0 ដនាោះ្គរ់ចំៃួៃពិតជាចដមលើយ ររស់វ ិសមី ការ ។

2. a. f k មាៃដ រ ីដវដលើ 0;  ៃិ ងដគបាៃ

-

ដរើ a  0 ដយើងអៃុវតតៃ៍អៃុគមៃ៍ ln ស្ ល ជាអៃុគមៃ៍ដកើៃ

f k( x)  e x  k ។

ច់ខាត ដៅអងគទំងពីរ

នៃវ ិសមីការដយើងបាៃ ln e x  ln a ឬ

ូដចនោះ f k( x)  0  e x  k  x  ln k

x  ln a ។

ដគបាៃ f k( x)  0  e x  k  e x  eln k  x  ln k ដយើងបាៃតារាងអដេរភាពខាងដ្កាម ៖ x 0 ln k  0   f k( x )

-

ស្មារ់ការគណនាលីមីតដយើងដ្រើ ដមដរៀៃដលើលីមីត ។

1 fk ( x)

f (ln k )

ូដចនោះ f k មាៃអរបររមាមួយដៅដលើ

0; 

្តង់ k  ln k ។

b.ដយើងបាៃ

uk  f (ln k )  eln k  k ln k  k  k ln k c. uk  k 1  ln k  ។ ស្ត lim ln k   k 

ដនាោះ lim   ln k    ។ k 

ូដចនោះដយើងបាៃ lim uk   k 

លំហាត់អៃុ វតតៃ៍វ ិធី ដ្រើ អៃុ គមៃ៍ ដោការ ីតដៃស្ពដ ើ មបីដ លំហាត់ទ្យី១៖ ដ a. e x  5

ោះស្រាយកនុង

b. e x  4 2

ោះស្រាយសមីការឬវ ិសមីការ

សមីការខាងដ្កាម ៖ c. e x  2

d. e x  2

លំហាត់ទ្យី២៖ ដ

ោះស្រាយកនុង សមីការខាងដ្កាម ៖ a. ln x  5 b. ln x  4 c. ln x  ln  x  1

d. ln 2 x  ln  x  1

លំហាត់ទ្យី៣៖ សិកាអដេរភាពនៃអៃុគមៃ៍ f កំណត់ដលើ

ដ

លំហាត់ទ្យី៤៖ សិកាអដេរភាពនៃអៃុគមៃ៍កំណត់ដលើ

យ f ( x) 

17

ដ

យ f ( x)  e x  2 x 2 ។ 2

ex ។ e2 x  2

លំហាត់ទ្យី៥៖ ដវលើយពិត ឬមួយមិៃពិតចំដ

ោះអំណោះអំណាងខាងដ្កាម ៖

a. ចំ ដ

ោះ្គរ់ចំៃួៃពិត x , ln  e x   x

b. ចំ ដ

ោះ្គរ់ចំៃួៃពិត x , eln x  x

c. ចំ ដ

ោះ្គរ់ចំៃួៃពិត x , ln  e x   0

d. ចំ ដ

ោះ្គរ់ចំៃួៃពិ តវ ិជជមាៃ

ច់ ខាត x , e ln x   x

e. ចំ ដ

ោះ្គរ់ចំៃួៃពិ តវ ិជជមាៃ

ច់ ខាត x , e2ln x  2 x

លំហាត់ទ្យី៦៖ គណនាចំៃួៃពិតខាងដ្កាម ៖

 

 

a. ln e2

b. ln e 3

លំហាត់ទ្យី៧៖ ដ

ោះស្រាយកនុង

a. ln x  3

d. e  ln 3

c. eln 5

e. e2ln 7

f. e 3ln 2

សមីការខាងដ្កាម ៖

b. 2ln x  6  0

c. 1  4ln x  ln x  9

d.  ln x   1 2

សមីការខាងដ្កាម ៖ ោះស្រាយកនុង a. e x  4 b. 5e x  2  8 c. e2 x  2  0 d. e x  3  2e x  1 លំហាត់ទ្យី៩៖ ដ ោះស្រាយកនុង សមីការខាងដ្កាមដ្កាយពីរកស្ ៃកំណត់ររស់វា ៖ លំហាត់ទ្យី៨៖ ដ

a. ln  x  2   ln 2

b. ln  2 x  5  1

c. 4ln 1  x   8

d. ln  3x  8  ln x

ោះស្រាយកនុង a. ln  x  1  ln x  0

សមីការខាងដ្កាមដ្កាយពីរកស្ ៃកំណត់ររស់វា ៖

c. ln  3  x   ln  x  1  0

d. ln  5x  6  2ln x  0

លំហាត់ទ្យី១០៖ ដ





b. ln x 2  1  ln x

លំហាត់ទ្យី១១៖ ដ

ោះស្រាយកនុង សមីការខាងដ្កាម ៖ a. ln  e x  1  ln 2 b. ln  2e x  1  1 c. e1ln x  2 x  1

លំហាត់ទ្យី១២៖ ដ

ោះស្រាយកនុង សមីការខាងដ្កាម ៖ 2 x 1 a. e  3 b. 4e c. 24e2 x  10 1 លំហាត់ទ្យី១៣៖ x 2

1. ដ

ោះស្រាយកនុង សមីការ X 2  3X  2  0 2. ទញយកចដមលើយកនុង ររស់សមីការខាងដ្កាម ៖ a.  ln x   3ln x  2  0 2

b. e2 x  3e x  2  0

លំហាត់ទ្យី១៤៖ 1. ដ

ោះស្រាយកនុង សមីការ X 2  6  0 2. ទញយកចដមលើយកនុង ររស់សមីការខាងដ្កាម ៖ a.  ln x   6  0 2

b. e2 x  6  0

18

d. e2ln x 3  x

វ ិធីសិកាអៃុគមៃ៍ស្ លមាៃអៃុគមៃ៍ដោការ ីតដៃស្ព លំហាត់៖ ដគមាៃអៃុគមៃ៍ f កំណត់ដលើ (0; ) ដ

យ f ( x )   ln x  1 ។ 2

1. កំ ណត់ លីមីតនៃ f ្តង់ 0 ៃិ ង ្តង់  ។ 2. រងា​ាញថាចំ ដ

ោះ្គរ់ចំៃួៃពិត x នៃ (0; ) , f ( x ) 

2ln x  2 ។ x

3. សិកាសញ្ជានៃដ រ ីដវររស់អៃុ គមៃ៍ f ។

ចដមលើយ 1. ដគ ឹ ងថា limln x   ដនាោះ lim  ln x  1   x 0

x 0

ស្ត lim X 2   ។ ូដចនោះ lim  ln x  1   ។ 2

x 0

X 

វ ិធី សិកាអៃុ គមៃ៍ ស្ លមាៃអៃុ គមៃ៍ ដោកា រ ីតដៃស្ព ។ 1. ដ ើ មបីគណនាលីមីតដគដ្រើ រណា ត ក់នៃ

ដគ ឹងថា lim ln x   ដនាោះ x

អៃុគមៃ៍ដ

lim  ln x  1   ស្ត lim X 2  

x 

X 

មាៃតំណាក់កាលពីររៃតរនា​ារ់ ៖

ូដចនោះ lim  ln x  1   ។ 2

x 

x

1 2ln x  2 2. f ( x )  2    ln x  1  x x 3. ដគ ឹ ងថា x  0 ូ ដចនោះ f ( x ) មាៃសញ្ជា ូ ច

 2ln x  2

យគត់សមាគល់ថា f ( x )

 ln x  1

 ln x  1

។

2

2. ដយើងអៃុ វតតៃ៍ររ ូ មៃតនៃដ រ ីដវ u 2   2uu ។

 

3. ដ ើ មបីដ

។

ោះស្រាយវ ិសមីការ្រដេទ្យ ln x  a

2ln x  2  0  2ln x  2

ដគ្តូវ ឹងថាអៃុ គមៃ៍ អុិចសបូណង់ ស្សែល

 ln x  1  x  e1 ដយើងបាៃតារាងអដេរភាព ូចខាងដ្កាម៖

្ចាស់ដៅវ ិញដៅមក ៃិងអៃុ គមៃ៍ អុិចសបូ

x f ( x )

0



e 1 0

ៃិង អៃុគមៃ៍ដោការ ីតដៃស្ពជាអៃុគមៃ៍ ណង់ស្សែលជាអៃុគមៃ៍ដកើៃ







ln x  a  eln x  ea  x  ea ។



f ( x)

0 លំហាត់អៃុវតតៃ៍វ ិធីសិកាអៃុ គមៃ៍ ស្ លទក់ ទ្យងអៃុ គមៃ៍ ដោការ ីតស្ៃស្ព លំហាត់ទ្យី១៖ ដគមាៃអៃុគមៃ៍ f កំណត់ដលើ (0; ) ដ

យ f ( x )   ln x  ។ 2

a.កំ ណត់ លីមីតនៃ f ្តង់ 0 ៃិ ង  ។ b.សិកាអដេរភាពនៃ f ។ c.សង់តារាងអដេរភាពនៃ f ។

លំហាត់ទ្យី២៖ ដគមាៃអៃុគមៃ៍ f កំណត់ដលើ (0; ) ដ a.រកលីមីតនៃ f ្តង់  ។ b.ដគកត់សមាគល់ដ

ើញថាចំដ

យ f ( x)  ln x   ln x  ។

ោះ្គរ់ x  0 , f ( x)   ln x 1  ln x  ។

កំណត់លីមីតនៃ f ្តង់ 0 ។ c.សិកាអដេរភាពនៃ f ។

19

2

ច់ខាត ។

លំហាត់ទ្យី៣៖ ដគមាៃអៃុគមៃ៍ f កំណត់ដលើ (0; ) ដ

យ f ( x) 

ln x ។ x

a.កំ ណត់ លីមីតនៃ f ្តង់ 0 ៃិ ង ្តង់  ។ b.សិកាអដេរភាពនៃ f ។

លំហាត់ទ្យី៤៖ ដគមាៃអៃុគមៃ៍ f កំណត់ដលើ (0; ) ដ

យ f ( x)  x  ln x ។

a.កំ ណត់ លីមីតនៃ f ្តង់ 0 ។

ln x  ោះ្គរ់ x  0 , f ( x )  x  1   ។ x   កំណត់លីមីតនៃ f ្តង់  ។

b.ដគកត់សមាគល់ដ

ើញថាចំដ

c.សិកាអដេរភាពនៃ f ។

លំហាត់ទ្យី៥៖ កនុងករណីៃី មួយៗខាងដ្កាមដគឧរមាថាដគសិកាអៃុគមៃ៍ f ដៅដលើចដនាលោះមួយ ស្ ល f មាៃដ រ ីដវ ។ ចូរញ្ជ ជ ក់ថាចដមលើយខាងដ្កាមពិត ឬ មួយមិៃពិត ។

a.ដរើ f ( x )  ln  4 x  1 ដនាោះ f ( x ) 

 

b.ដរើ f ( x )  ln x 2 ដនាោះ f ( x ) 



4 ។ 4x 1

1 ។ x2



c.ដរើ f ( x )  ln 3x 2  x  1 ដនាោះ f ( x ) 





d.ដរើ f ( x )  ln x 3  x 2 ដនាោះ f ( x ) 

6x  1 ។ ln  3x 2  x  1

3x  2 x2  x

លំហាត់ទ្យី៦៖ ចូរដ្ជើសដរ ើសចដមលើយស្ លពិត



1. f ( x )  ln 1  x  x 2

ចដមលើយ ៖ a. f ( x ) 





1 1  x  x2

2. f ( x )  ln e x  e x



ចដមលើយ ៖ a. f ( x ) 

1 x e  e x

b. f ( x ) 

1  2x 1  x  x2

b. f ( x ) 

ex 1  ex

c. f ( x ) 

c. f ( x ) 

1 1  2x

e x  e x e x  e x

លំហាត់ទ្យី៧៖ 1.ដ

ោះស្រាយកនុង

សមីការខាងដ្កាម ៖ 1  1  x

a.  ln x   ln  2

b.  ln x   3ln x  0 3

2.រងា​ាញថាសមី ការ e2 x  5e x  7  0 ោមៃចដមលើយកនុង

លំហាត់ទ្យី៨៖ ដគមាៃអៃុគមៃ៍ f កំណត់ដលើ (0; ) ដ

។

យ f ( x)  ln x   ln x  ។ 2

1.កំ ណត់ លីមីតនៃ f ្តង់ 0 ៃិ ង ្តង់  ។ 2.គណនា f ( x ) ។ 3.a.ដ

ោះស្រាយវ ិសមីការ 1  2ln x  0

b.ទញយកសញ្ជានៃដ រ ីដវររស់ f រួចសង់តារាងអដេរភាពនៃអៃុ គមៃ៍ ដៃោះ ។ 4.សង់ ស្ខេដកាងតាងអៃុគមៃ៍ f កនុងត្មុយអរតូណរដម ។

5.កំ ណត់ ជាអៃុ គមៃ៍ នៃចំ ៃួៃពិត k ចំ ៃួៃនៃចដមលើយររស់សមីការ f ( x )  k ។ 20

លំហាត់ទ្យី៩៖ ដគមាៃអៃុគមៃ៍ f កំណត់ដលើ (0; ) ដ

យ f ( x )   ln x  ។ 2

1.កំ ណត់ លីមីតនៃ f ្តង់ 0 ៃិ ង ្តង់  ។ 2.គណនា f ( x ) , សិកាសញ្ជាររស់វា រួចសង់ តារាងអដេរភាពនៃ f ។ 3.ស្រាយរំ េឺថា ល ចំដ

ោះ្គរ់ចំៃួៃពិត k  0 , សមីការ f ( x)  k មាៃចដមលើយពីរ ។

4.ឲ្ែជាអៃុ គមៃ៍ នៃ k ចដមលើយររស់សមីការដៃោះ ។

វ ិធីកំណត់្ពីមីទ្យីវ លំហាត់៖ 1.ស្រាយរំេឺថា ល អៃុគមៃ៍ F : x f :x

xe x  e x  2 ជា្ពីមីទ្យីវមួយដៅដលើ

នៃអៃុគមៃ៍

xe x ។

2.កំ ណត់ ្ពី មីទ្យីវនៃអៃុ គមៃ៍ខាងដ្កាម ៖ a. f ( x)  3x 3  2 x ដៅដលើ

។

b. g ( x)  sin 2 x  cos x ដៅដលើ c. h( x )  xe x  3x ដៅដលើ

។

2

d. j ( x ) 

2x

 x  1 2

3

។

ដៅដលើ I  (1; 1) ។ ចដមលើយ

1. ដយើងដ្រើ ររ ូ មៃតនៃដ រ ីដវដយើងបាៃចំដ

្គរ់ x 

វ ិធី កំណត់ ្ពី មីទ្យីវ

ោះ

1.ដ ើ មបីស្រាយរំ េឺថា ល អៃុគមៃ៍ F ( x ) ជា្ពីមីទ្យីវនៃ

, F ( x )  xe x  e x  e x

 xe x  f ( x )

ូដចនោះ F ( x ) ជា្ពីមីទ្យីវនៃ f ( x ) ដលើ

   nx

2. a.ដយើងគិ ត ល់ររ ូ មៃត x n

ចំដ

។

n 1

ោះ្គរ់ចំៃួៃពិត x ដគបាៃ

3 4 x 3   2 x ។ ូដចនោះ្ពីមីទ្យីវ F ( x )  4 នៃ f ( x ) ដលើ កំណត់ដ យ ៖ f ( x) 

3 4 x  x 2  k , k ជាចំៃួៃពិត 4 ណាមួយ ។

f ( x ) ដលើចដនាលោះ I ណាមួយដគ្តូវរងា​ាញថា

ចំដ

2.a.ដគ្តូវាកលបងដធ្ើឲ្ែដ

ចំដ

ើញរូរមៃតដៅដលើ

តារាងរូរមៃតនៃដ រ ីដវស្ លដយើងដ្រើជាញឹកញារ់ ។ c.ដគ្តូវាកលបងដធ្ើឲ្ែដ

ើញរូរមៃតស្ លដយើង

បាៃសិកា ។

u n 1 d.ដយើងៃឹ ក ល់ ជា្ពីមីទ្យីវនៃ u  u n ស្ ល n 1 n  ៃិង n  1 ដៅដលើចដនាលោះស្ ល u មិៃយក

F ( x) 

b.ដយើងគិត ល់ររ ូ មៃត  cos 2 x   2sin 2 x

ោះ្គរ់ x  I , F ( x)  f ( x) ។

តនមលសូៃែ ។

ោះ្គរ់ចំៃួៃពិត x ដគបាៃ៖

1  2sin 2 x   cos x ូដចនោះ្ពីមីទ្យីវ 2 G( x ) នៃ g ( x ) ដលើ កំណត់ដ យ ៖ g ( x)  

1 G( x )   cos 2 x  sin x  k , k ជាចំៃួៃពិត 2 ណាមួយ ។ 21

c.ដរើ ដយើងតាង u( x )  x 2 ដនាោះ u( x )  2 x

ៃិងដគអាចសរដសរចំដ

ោះ្គរ់ចំៃួៃពិត x ,

1 h( x )  u( x )eu ( x )  3x ។ ូដចនោះ្ពីមីទ្យីវ 2 កំណត់ដ យ៖ H ( x ) នៃ h( x ) ដលើ 1 3 H ( x )  eu ( x )  x 2  k ឬ 2 2 1 x2 3 2 H ( x )  e  x  k ស្ ល k ជាចំៃួៃ 2 2 ពិតណាមួយ ។





d.ដយើងអាចសរដសរ j ( x )  2 x x 2  1

ដ

3

។

យតាង u( x )  x 2  1 ដគបាៃ u( x)  2 x

ៃិង j( x)  u( x)   u( x) 

3

u  u n ដ

ូដចនោះ្ពីមីទ្យីវ J ( x )

យ n  3

ស្ លវាមាៃរាង

នៃ j ( x ) ដលើ ( 1;1) កំណត់ដ

J ( x) 

 u( x ) 

យ

2

k ។

2

ូដចនោះ J ( x )  

1

2  x 2  1

2

 k ស្ ល k ជា

ចំៃួៃពិតណាមួយ ។ លំហាត់អៃុ វតតៃ៍វ ិធីកំណត់ ្ពី មីទ្យីវ លំហាត់ទ្យី១៖ កំណត់្ពីមីទ្យីវដលើចដនាលោះ I នៃអៃុគមៃ៍ខាងដ្កាម ៖ a. f ( x)  3x 3  2 x  2 ដលើ I  b. g ( x )  x  2  c. h( x ) 

។

1 ដលើ I  (0; ) ។ x3

3 ដលើ I  (0; ) ។ x

លំហាត់ទ្យី២៖ កំណត់្ពីមីទ្យីវដលើចដនាលោះ I នៃអៃុគមៃ៍ខាងដ្កាម ៖ 2x

ដលើ I  ។ x2  1 ln x b. g ( x )  ដលើ I  (0; ) ។ x លំហាត់ទ្យី៣៖ រក្ពីមីទ្យីវនៃអៃុគមៃ៍ខាងដ្កាមដៅដលើចដនាលោះស្ លវាជាអៃុគមៃ៍ជារ់ ។ a. f ( x ) 

a. f ( x)  x 3  2 x  2 d. f ( x )  4e3 x  1

1 x3 3x 2  4 x  2 e. f ( x )  x4 b. f ( x )  x  2 

22

c. f ( x)  3e x  3x  1 f. f ( x ) 

x

2x 2

 2

2

លំហាត់ទ្យី៤៖ រក្ពីមីទ្យីវ F នៃអៃុគមៃ៍ f ដលើ

x    cos x ៃិង F    0 4 2 2. f ( x)  2 x  5 ៃិ ង F (0)  1

ស្ លដផ្ាៀងផ្ទាត់ល័កខ ខ ័ ណឌខាងដ្កាម ៖

1. f ( x ) 

3. f ( x )  e x ៃិ ង F (2)  0 4. f ( x)  3x 2  2 ៃិ ងស្ខេដកាងតាងអៃុគមៃ៍ F កាត់ តាមចំ ណុច A( 1;3) ។

វ ិធីដ្រើទ្យ្មង់ពីជគណិតនៃចំៃួៃកុំផ្ិច ល លំហាត់៖ 1.ដ

ោះស្រាយដៅកនុងសំណុំចំ ៃួៃកុំ ផ្ិ ច ល សមីការស្ លមាៃ z ជាអញ្ជាតខាងដ្កាម៖ a. 3z  1  i  7  3i b. 2 z  iz  5  2i

2.ដគមាៃចំៃួៃកុំ ផ្ិច ល z  a  2i ដ a. z 2  i

យ a

b. z  az 

។ កំ ណត់ កុងករណ ន ី ខាងដ្កាម ៖

ចដមលើយ 1. a.

3z  1  i  7  3i  3z  7  3i  1  i 6  4i 4 3z  6  4i  z   2 i 3 3 4   ូដចនោះសំណុំចដមលើយ S  2  i  3   b.ដគតាង z  x  iy ស្ ល x ៃិ ង y ជា

1.

ចំៃួៃពិត ។

-

ោះស្រាយសមីការកនុង

ដយើងដ្រើការគណនាចាំបាច់ដ

យរំស្រក

អញ្ជាតឲ្ែដៅកនុងអងគមួយនៃសមភាព ។ -

ដ ើមបីអាចដ្រើចំៃួៃកុំផ្ិលចឆ្លលស់ដគ្តូវ ដ្រើទ្យ្មង់ពីជគណិតររស់ z ។

2 z  iz  5  2i  2  x  iy   i  x  iy   5  2i  2 x  2iy  ix  y  5  2i   2 x  y    x  2 y  i  5  2i

2 x  y  5 ពីដ្ ោះ 2x  y ៃិង x  2 y   x  2 y  2 ជាចំៃួៃពិត ។ ដយើងដ ោះស្រាយ្រព័ៃធ សមីការតាមវ ិធី ជំៃួស  y  5  2x 2 x  y  5    x  2 y  2  x  2  5  2 x   2  y  5  2x x  4   ដនាោះ z  4  3i ។  3x  12  y  3

ូដចនោះសំណុំចដមលើយ S  4  3i ។ 2. a. z 2   a  2i   a 2  4ai  4  a 2  4  4ai 2

ដ

ូ ចោនៃឹងការដ

យ a ជាចំៃួៃពិត  a 2  4  ៃិង 4a ជា

ចំៃួៃពិត ៃិង  a 2  4   4ai ជាទ្យ្មង់ ពីជគណិតនៃ z 2 ។

23

ចំៃួៃកុំផ្ិលចពីរដសមើោនលុោះ្តាស្តវាមាៃ ស្ផ្នកពិត ូចោនៃិងស្ផ្នកៃិមិតត ូចោន ។

2. a.ចំ ៃួៃកុំ ផ្ិលចមួ យវាៃិ មិតស ត ុទ្យធលុោះ្តាស្ត

ស្ផ្នកពិតររស់វាដសមើសូៃែ ។ b.ចំ ៃួៃកុំផ្ិលចមួយវាពិ តលុោះ្តាស្តស្ផ្នកៃិមិតត

ររស់វាដសមើសូៃែ ។

z 2  i  a 2  4  0  a  2 ឬ a  2 b. z  az  a  2i  a  a  2i 

 a 2  a  i  2  2a  ដយើងបាៃទ្យ្មង់ពីជគណិតនៃ z  az ។

z  az 

 2  2a  0  a  1 ។

លំហាត់អៃុ វតតៃ៍វ ិធីដ្រើទ្យ្មង់ពីជគណិតនៃចំៃួៃកុំផ្ិលច លំហាត់ទ្យី១៖ កំណត់ស្ផ្នកពិត ស្ផ្នកៃិមិតត ៃិងចមាលស់នៃចំៃួៃកុំផ្ិលចខាងដ្កាម ៖ z1  2i  5

;

z2  15

z3  3i

;

z4  i  2  3i 

;

;

z5  1  5i 

2

លំហាត់ទ្យី២៖ សរដសរជាទ្យ្មង់ពីជគណិតចំៃួៃកុំផ្ិលចខាងដ្កាម ៖

z1   2  5i   i  3

z4  1  5i 

2

;

;

z2   3  11i    8  9i  ;

z5  i 1  3i 

2

z3   7  5i  4  3i 

z6  1  i  i 2

;

លំហាត់ទ្យី៣៖ ដ

ោះស្រាយកនុង សមីការខាងដ្កាម ៖ b. iz  3  1  2i c. z 2  2iz  1  0 d. z  i  2 z  1 a. 2 z  i  3  2i លំហាត់ទ្យី៤៖ ដគមាៃ z  x  iy ដ យ x ៃិង y ជាចំៃួៃពិត ។ កំណត់ស្ផ្នកពិត ៃិងស្ផ្នកៃិមិតត នៃចំៃួៃកុំផ្ិលចខាងដ្កាម ៖ b.  3  2i  z

a. 5z  i

c. z 2

e.  2  i  2i  z 

d. 3z  5z

f.  z  1 z  i 

លំហាត់ទ្យី៥៖ កនុងករណីៃី មួយៗខាងដ្កាមកំ ណត់ ស្ផ្នកពិតៃិ ងស្ផ្នកៃិមិតតនៃចំ ៃួៃកុំ ផ្ិ ច ល z ។ 1. z   3  i 

2. z   2i  1 3  i 

2

លំហាត់ទ្យី៦៖ ដ

ោះស្រាយដៅកនុង a. 3z  2  i  z  5  4i d. z 2  z

3. z  3i 1  i   5  2  3i 

សមីការខាងដ្កាម ៖

b. 1  i  z  3  2i

c. 1  z 2  0

e. 2 z  i  z  1

វ ិធីដ លំហាត់៖ ដ

ោះស្រាយសមីការកនុង

ោះស្រាយកនុង 1.  1  2i  z  3  i

សមីការខាងដ្កាមដ

សំណុំចំៃួៃកុំផ្ិច ល យផ្តល់ចដមលើយជាទ្យ្មង់ពីជគណិត ៖

2. z 2  9 3. 4 z 2  16 z  25  0 4.

3z  2 z z 1

ចដមលើយ 1.

3 i 1  2i ក់ចដមលើយជារាងពីជគណិត

វ ិធី ដ

 1  2i  z  3  i  z  ដយើង

ោះស្រាយសមីការដៅកនុង

1. ដគគណនាទល់ស្ត z មាៃទ្យ្មង់ពីជ

គណិត ។ ដគគុណភាគយកៃិងភាគស្រង

 3  i  1  2i   3  6i  i  2 z 1 4  1  2i  1  2i 

ដ 24

យកដៃាមឆ្លលស់គឺ z  z  x 2  y 2

1 7   i 5 5  1 7  ូដចនោះសំណុំចដមលើយ S     i  ។  5 5  2.

z 2  9  z 2   3i   z 2   3i   0 2

2

2.

9 ជាកាដរនៃ 3i ។ ជាផ្លគុណកតាតដ

  z  3i  z  3i   0  z  3i ឬ z  3i

ូដចនោះដគអាចរំស្រក យដ្រើឯកលកខណោះ

ភាព a 2  b2   a  b  a  b  ។

ូដចនោះសំណុំចដមលើយ S  3i;3i ។

ូ ចដៅកនុង

3. ដយើងមាៃសមីការ 4 z 2  16 z  25  0

ស្ រ ផ្លគុណកតាតណាមួយ

ដសមើសូៃែ ។

សមីការដៃោះជាសមីការ ឺដ្កទ្យី ២ស្ លមាៃ

3. ឌី ស្គីមីណង់  ជាចំ ៃួៃអវ ិជជមាៃសមីការ

ដមគុណជាចំៃួៃពិត ។ វាមាៃ   162  4  4  25  144  122 សមីការមាៃចដមលើយពីរដៅកនុង ។

មាៃឬសពី រកនុង

16  12i 3  2  i ឬ 8 2 16  12i 3 z2   2  i 8 2 3 3   ូដចនោះសំណុំចដមលើយ S   2  i; 2  i  2 2   4. ចំ ដ ោះចំ ៃួៃកុំ ផ្ិច ល z  1 : z1 

4.

:

b  i  ឬ 2a

b  i  2a ូចកនុង ស្ រដគ្តូវ កដចញតនមលស្ ល

ដធ្ើឲ្ែភាគស្រងយកតនមលសូៃែ ។

3z  2  z   3z  2   z  z  1 z 1

 z2  2z  2  0   22  4   1   2   4  22

ូដចនោះសមីការមាៃចដមលើយពី រកនុង

2  2i 2  2i  1  i ឬ z2   1 i 2 2 សំណុំចដមលើយ S  1  i;1  i ។ z1 

លំហាត់អៃុ វតតៃ៍វ ិធី ដ

ោះស្រាយសមី ការកនុង

សំណុំចំៃួៃកុំផ្ិលច

លំហាត់ទ្យី១៖ សរដសរជារាងពីជគណិត ចំៃួៃកុំផ្ិលចខាងដ្កាម ៖

1 i លំហាត់ទ្យី២៖ ដ z1 

;

z2 

1 1 z3  ; 2i 2i  1 សមីការខាងដ្កាមដ យផ្តល់ចដមលើយជាទ្យ្មង់ពីជគណិត ។

ោះស្រាយកនុង a. i  z  1  1 b.  2  i  z  3z  i

លំហាត់ទ្យី៣៖ z ជាចំៃួៃកុំផ្ិលចមិៃសូៃែស្ លមាៃរាង x  iy ។ កំណត់ស្ផ្នកពិត ៃិងស្ផ្នកៃិមិតត នៃចំៃួៃកុំផ្ិលចខាងដ្កាម ៖

z iz b. z2  z z លំហាត់ទ្យី៤៖ ដ ោះស្រាយកនុង សមីការខាងដ្កាមដ 2 2 a. z  16  0 b. z  5  0 c. z 4  81 a. z1 

25

យមិៃបាច់គណនាឌីស្គីមីណង់ ៖ d. z 2  2iz  1  0

សមីការខាងដ្កាម ៖ ោះស្រាយកនុង 1. z 2  5z  6  0 2. z 2  5z  6.5  0 3. 4 z 2  4 z  17  0 លំហាត់ទ្យី៦៖ ដ ោះស្រាយកនុង សមីការខាងដ្កាម ៖ លំហាត់ទ្យី៥៖ ដ

z i z2 z b.  z i  zi z z2 លំហាត់ទ្យី៧៖ ដ ោះស្រាយកនុង សមីការខាងដ្កាមដ

4.  z 2  2 z  5  0

a.

1.  2  i  z  1   3  2i  z  i

យផ្តល់ចដមលើយជាទ្យ្មង់ពីជគណិត ៖ 3.  3  2i  z  1  i

2. z  2i  iz  1

លំហាត់ទ្យី៨៖ សរដសរជាទ្យ្មង់ពីជគណិតចំៃួៃកុំផ្ិលចខាងដ្កាម ៖

1  2i 1. z1  3 i

2. z2 

2 1  3i

3. z3

លំហាត់ទ្យី៩៖ ដ

1  i  

2

2  2i

ោះស្រាយកនុង សមីការខាងដ្កាម ៖ 1. 2 z 2  6 z  5  0 2. z 2  6 z  13  0 3. 4 z 2  12 z  9  0 3z  2  z3 5.

6. z 4  16 4. z 2  6 z  7  0 z 1

26