PAR nr 4/2017

PAR P O M I A RY • A U T O M AT Y K A • R O B O T Y K A

4/2017 ISSN 1427-9126 Indeks 339512

Cena 25,00 zł w tym 5% VAT

Technical Sciences Quarterly | Measurements Automation Robotics

W numerze:

3 5 15

Od Redakcji Wojciech Lisowski, Piotr Kohut

Positions

The problem of state constraints in designing the discrete time sliding mode controller

23

33

! " " #

Low-cost air levitation laboratory stand using MATLAB/Simulink and Arduino

! " #

41

PorĂłwnanie metod estymacji stanu systemĂłw dynamicznych

$ Informacje dla Autorów – 81 | Informacje dla Autorów – 89 | Komitet Automatyki i Robotyki PAN – 93 |

95 |

! " 96 | # $

% & % ' ' & 100 | Kalendarium – 103 | " % ( ) *

& %' % + % ' % 104

Rada Naukowa

Rok 21 (2017) Nr 4(226) ISSN 1427-9126, Indeks 339512

Redaktor naczelny

& . 0 * ' ! =

>J & . 1

Y Z & [ \C 8 ]

% &' " *

& . 2 ' 3 # G G & ^ _

$ %& # '

& . 4 . 5

D ? Y Z & = \: 8 ]

+' . ! *

$ &() # * +' * % &' / 8 : . ;

% &' ! & +' . ! * ; < . = > ; 8# % &' ? ; . % &' " * ; @

#) + # * , '

6 74 4 Y Z & \D ] & .

) 8 ' #

G = J G= / & . . 8 , 4 * D Y ! Z \Y ] & . 7 9. 8

# * / + C " #

& . 0. 2 1 , G & \ . ] & . 0 # 1

Y Z \C 8 ]

Druk " : A ?

B C%' ' ' D EFF . '

& . ' * 1 ) #

/ G + 8 /

Wydawca

. 1

Y Z & \: 8 ]

G = H J G= = ' MFM FMOQTE /

Kontakt B 8 O . = B @ = ' MFM FMOQTE / ' MM TUQ FV QE

X% '% '% '%

& . $ ' ) 1 #

/ G ` & . 0 * ' " ' # / " _

& .

. " 4 # 4 G & C \B 8 ] & . , 9 #, # a Z Z b D Y Z \Y ] & . ' * ' # / G + " _ / + C . " _ / & . 0 ' : # Y Z \! ]

Pomiary Automatyka Robotyka 8 % O @ O

VllU ' VT # 8 # ' =

% 8_ H% % % O@

8

@ . '

& .

,

f Y Z \/ ] & . ; # # / G + 8 . %

#

=? ; G & =%% C ? . : @g \D ]

!

O =

B @ 8 H @ ="? g : . C GDm p BDG YC \G q MFVE$ Uv MQ]

+ H@ @ + % % =BG=D?=' 8 D C/ % @ 8 T % \% ' VMQQ]' _ 8_ # 8 8 D

#% @ %

% @ H

O = B @ '

& . ' <

= #

/ ? . ^ _

/ 8_ % _ \ & 8 _] 8 8 % % ' Y #% + % 8# =B mG:G?= ; 8# _ % '

& . * 2. # a! Z b D Y Z \Y ]

& . 9 >4 C Z = & C \C 8 ] & . 8 ' ' 2 , = G G & = B @

/ & . ; * , ;) #

B G? Y Z @ \= ]

= B @ GCCD VQMUOlVME B' MV D Q<MFVU

3

Od Redakcji

5

Wojciech Lisowski, Piotr Kohut A Low-Cost Vision System in Determination of a Robot End-Effectorâ&#x20AC;&#x2122;s Positions Niskokosztowy system wizyjny do wyznaczenia pozycji chwytaka robota

15

23

33

41

49

The problem of state constraints in designing the discrete time sliding mode controller .

.

Diagnostics of analog systems using Artificial Neural Networks m . J .

neuronowych

Low-cost air levitation laboratory stand using MATLAB/Simulink and Arduino D @ + @ 8 8 % 8 = % % . =? = <C

! " # PorĂłwnanie metod estymacji stanu systemĂłw dynamicznych % & & C

q Z " . ' /

pomiaru energii gazu ziemnego C & . % % & O & . energy measurement

59

" . ' / C /' " @

Z & Y & ? % m @

@ Â&#x20AC;

67

g D _.

B & !

! & " .J

!"#

$ %& w cyklu adaptacyjnym EDM =D q= & . & & %

. m % Z . & . C

75

B * ! ' ( )

â&#x20AC;&#x201C; projekt, realizacja, badania eksploatacyjne Z & & @ Â&#x20AC; % % . ; % 8

Â&#x20AC;%

1

C GC ?B ^ G

83

/ B * m

Electronically aided violin practice Y % . 8_ # . %

89

Informacje dla Autorรณw

93

Organizacje i stowarzyszenia Komitet Automatyki i Robotyki PAN

95

Awans naukowy *

+ '

' . $0 (0 1

96

Wspomnienia

) % *

100 Q'F ย G + Q'F Proces rekrutacyjny w nowej perspektywie 103

Kalendarium

104 _+ Robotyzacja procesรณw produkcyjnych

M

P

O

M

I

A

R

Y

โ ข

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

โ ข

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

m B m=! G

8 # J 8

kwartalnika naukowo-technicznego Pomiary = B @ ' m 8_

% @ 8 % % 8 8

. _ % ' ? % + * _$ % . . .

% % J

8 J

wyznaczanie pozycji chwytaka robota za % _ 8 . . @J ' ? J J 8 _

' % 8 8 %# . + 8 & % 8 8 . %

.

. % . 8_ . # . % '

% 8_ @ 8 + 8_ % 8_ % ' ! 8 . J . ' #

J % 8 % % # .

. ' / . 8 # % % @ + ! = B @ =D ; 8 . 8# # % _ . 8_ 8 @ 8 ' / % J + # & " . .

J @ _ % 8 . % VllU ' ; % @ B D 8' / %J % & * # MM % Â&#x2026; MFVU ' _ . ' m .

8 _ \ ] 8 % 8 % % 8 % . Â&#x2020; # % ' 8# + J %

J 8 _ * 8_ . @ ' Â&#x2021; 8 '

Redaktor naczelny kwartalnika Pomiary Automatyka Robotyka % &' @' +' " *

3

4

P

O

M

I

A

R

Y

•

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

•

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R /201 7

Pomiary Automatyka Robotyka, ISSN 1427-9126, R. 21, Nr 4/2017, 5â&#x20AC;&#x201C;13, DOI: 10.14313/PAR_226/5

/ ( 0 6 " " 7 8 9 ; 0;< = Wojciech Lisowski, Piotr Kohut />? # ! 7 @ * A 7 B ; * * 8 9 / % B $& $&0&CD E F

Abstract: Vision systems are commonly used in robotics. The most often, they are applied as sensory systems, but they can also be used for experimental determination of a manipulator end-effectorâ&#x20AC;&#x2122;s pose. In this paper, application of an exemplary low-cost vision system for position measurement was tested. The considered vision system was composed of a pair of CMOS cameras. The applied experiment procedure consisted in recording of a set of pictures captured after consequent approaches of a robot end-effector (grasping a cube with markers on it) to the command pose repeatedly from the same direction. Processing of the pictures led to determination of position of the markers. Analysis of position measurement precision contained: determination of spatial distribution of consequently captured positions, assessment of quality of the captured pictures according to a set of 4 indicators, and comparison of measurement techniques employing the considered vision system and a professional measurement system (for this purpose the experiment was repeated with use of a laser tracker and a local estimate of the unidirectional positioning repeatability RP was determined). The reported investigation indicated that low-cost stereovision systems might be successfully applied for a robotic manipulator position measurement with accuracy of approximately 0.1 mm, which is often satisfactory in the engineering practice.

Surprisingly, analysis of the achieved experimental results led to reasonable estimation of the RP value (approx. 0.02 mm according to the robotâ&#x20AC;&#x2122;s manufacturer).

8 X " * 9 ! " " " 7 0 < * 9

1. Introduction Satisfactory precision of industrial manipulating robots is a condition for achieving the expected quality of the robotsâ&#x20AC;&#x2122; operation. Parameters that characterize robot precision are defined by the standard [7]. Assessment of the robotic manipulatorsâ&#x20AC;&#x2122; precision bases on their end-effector pose measurement. That is why the appropriate pose measurement system is necessary to make the assessment possible.

Currently, two types of such the measurement systems are used in engineering practice [1]. These are either laser trackers or vision systems. Originally, the laser trackers performed only the incremental measurement based on application of an interferometer and leading to determination of variation of the distance between

# & *: X ' ( ) * % %

# ) ' +$%&+%,&+- % &.%&$%,&+- %

! "" # $%&

the sensor and the end-effector. Later, the indirect distance determination method basing on measurement of the â&#x20AC;&#x2DC;time of flightâ&#x20AC;&#x2122; of the light beam or on analysis of phase of a set of the single-frequency components of the reflected light beam traveling between the sensor and the end-effector, there and back, were introduced. In case of the vision systems a set of linear cameras, of pre-calibrated mutual locations, proved to be the most effective in this kind of measurements. The accuracy of the considered measurement varies between 0.01 mm and 0.05 mm per 1 m of the distance between the measuring device and the robot end effector. The precision of the measurement is limited mainly by tolerances of manufacturing and assembly of mechanical parts of the measuring devices, as well as by the achievable time of buildup of the response signal of optical sensors used in case of the measurement carried out during motion of a manipulator.

The measurement of the end-effector pose is directly used by robotsâ&#x20AC;&#x2122; manufacturers in manufacturing quality control procedures. The robotsâ&#x20AC;&#x2122; users the most often carry out the measurement of position to determine the positioning repeatability [7] of the robot or to perform the external calibration of the robots [1]. The positioning repeatability is the most important precision type parameter of the manipulating robots. The external calibration is conducted with respect to the Cartesian reference coordinate frame and it aims at improvement of the manipulating robotsâ&#x20AC;&#x2122; positioning accuracy.

It should be noted that the advanced pose measurement services as well as a purchase of the position measuring devi-

5

= O q C m & B @ O f Â&#x17D;

ces generally are costly. For many robot owners, the use a low cost measuring system can be a reasonable alternative. In such the case application of the stereovision system might be considered [13].

Additionally, more and more often, the autocalibration (or on-line calibration) techniques are used to improve positioning accuracy of robots and/or enable cooperation of multiple positioning devices [4]. It requires continuous presence of a position measurement system in a robotic cell, what indicates applications of low cost measuring systems.

Vast applicability of vision systems in mechatronic systems and own experience in that matter [8, 9] as well as the above mentioned reasons have motivated the authors to carry out their own investigation on applicability of a low-cost stereovision system to an end-effector position measurement.

Fig. 1. The overview of the test stand Rys. 1. Widok stanowiska badawczego

Y. 9

The aim of the reported research was to estimate the precision of determination of position of an end-effector of a manipulating robot with use of an exemplary low-cost stereovision system.

The main obstacle to accomplish that aim was that the authors had no possibility to use a positioning system of sufficiently high accuracy (about 0.001 mm) to verify directly, by the concurrent measurement, the measurement precision achieved by the tested system. That was why it was decided to assess precision of the position measurement in an indirect way, basing on recording of a set of pictures captured after consequent approaches of a robot end-effector (grasping a cube with markers on it) to the command pose repeatedly from the same direction.

It should be noted that positions recorded in the above described procedure were appropriate for local estimation of the unidirectional positioning repeatability [7] understood as a measure of dispersion of the attained poses in a series of repeated approaches to the command position from the same direction.

The assumed experimental data analysis procedure consisted of: â&#x2C6;&#x2019; preliminary analysis of spatial distribution of measured positions, â&#x2C6;&#x2019; analysis of precision of position measurement based on properties of the captured pictures, â&#x2C6;&#x2019; analysis of precision of position measurement basing on determination of the local estimate of RP and its comparison with the value specified for the tested robot type by its manufacturer.

The additional measurement was carried out for the purpose of comparison of functionality of a low cost measurement system and of a professional one. For data recorded with use of a laser tracker the RP value was estimated as well.

Fig. 2. The specification of the set-up of the test stand Rys. 2. Schemat stanowiska badawczego

Fig. 3. External camera parameters determined as a result of relative camera orientation procedure Rys. 3. ZewnÄ&#x2122;trzne parametry kamery otrzymane w wyniku procedury kalibracji â&#x20AC;&#x17E;wzglÄ&#x2122;dnej orientacji kameryâ&#x20AC;?

3. Procedure of testing The following assumptions concerning the procedure of testing were made: â&#x2C6;&#x2019; measurement in 3 non-collinear measuring points â&#x2C6;&#x2019; for each measuring point 3 partial tests conducted â&#x20AC;&#x201C; approaches from the 3 mutually perpendicular directions â&#x2C6;&#x2019; 30 repetitions for each approach direction and all the measuring points â&#x2C6;&#x2019; position measurement executed after completing the approach â&#x20AC;&#x201C; in stand-still â&#x2C6;&#x2019; for each approach 2 pictures taken to lower the odds of insufficient picture quality for analysis

6

P

O

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

â&#x2C6;&#x2019; 30 pictures taken with the aim of the assessment of quality of the measurement for the first approach to every measuring point.

The examination was carried out by means of the developed stereo-vision system composed of two DSLR Canon cameras equipped with Canon lenses, a lighting system and TEMA Automotive motion analysis software (Fig. 1) [14]. TEMA Automotive is a professional motion analysis software used for crash and sled tests, measurements of deformations, airbag volume etc. Using the TEMA Automotive program, photo/ A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

/ 8 !

4. Results of testing

Fig. 4. Quadrant symmetry adjustment Rys. 4. Ustawienia moduĹ&#x201A;u Ĺ&#x203A;ledzenia â&#x20AC;&#x17E;quadrant symmetryâ&#x20AC;?

video material can be analyzed to obtain the trajectories, velocities and accelerations of analyzed markers. The software is equipped with broad set of tools to track markers and advanced post-processing tools.

The developed vision system was calibrated (internally and externally) in compliance with procedures of TEMA software [14]. After system calibration, the next step of the software usage is composed of image sequences reading, image markers tracking employing â&#x20AC;&#x153;quadrant symmetryâ&#x20AC;? method and resulting objects trajectories analysis using TEMA post-processing tools.

The overview of the used test stand is presented in Fig. 1.

The test stand was composed of the following elements: â&#x2C6;&#x2019; a Mitsubishi RV2AJ robot, â&#x2C6;&#x2019; 2 digital SLR cameras: Canon EOS 5D Mark II, 21.1 Megapixel, equipped with Canon EF 24â&#x20AC;&#x201C;70 mm f/2.8L II USM lenses, â&#x2C6;&#x2019; 2 halogen lamp (500 W each), â&#x2C6;&#x2019; an analyzed object: a cube with stuck markers.

Figure 2 presents the mutual position and orientation of the components of the test stand.

In order to make the processing of the captured pictures possible it was necessary to start with determination of selected internal and external camera parameters estimation [6, 15]. Estimation of the internal cameraâ&#x20AC;&#x2122;s parameters with lensesâ&#x20AC;&#x2122; distortion was carried out by means of a flat calibration plate with square patterns [16]. External camera calibration was performed using relative camera orientation procedure implemented in TEMA software [14]. An example result of external camera parametersâ&#x20AC;&#x2122; estimation is depicted in Fig. 3.

An important measure of the quality of the resulting external camera solution is indicated by parallax error, which in this case amounted to a very low value (0.00537 mm).

After calibration, the actual measurement consisting in capturing the images started.

The next step of the data processing consisted in tracking the points indicated by the markers on the captured images.

It was executed employing the quadrant symmetry tracker method [14]. Example of the tracer setting is shown in Fig. 4.

The 3D positions of markers detected on the captured pictures were determined with use of the TEMA software package.

The experiment consisting in acquisition of series of pictures of the robot end-effector grasping the cube with markers was carried out in the course of the Bachelor thesis activity [10]. Geometrical data (3D positons of markers) obtained in the result of picture analysis were the base for analysis of the achieved experimental results.

In order to assess the properties of the recorded experimental data the analysis of spatial distribution of the positions recorded during the experiment was carried out. The exemplary locations of the identified positions for the measurement point No. 2 (approach in z direction) are presented in Fig. 5.A. The total (for all measuring points and approach directions) dispersion of positions of the measuring points corresponding to the consequent pictures taken during the first approach (denoted by â&#x20AC;&#x2DC;+â&#x20AC;&#x2122; on the picture) was 36%â&#x20AC;&#x201C;98% of the dispersion of positions (denoted by â&#x20AC;&#x2DC;oâ&#x20AC;&#x2122;) corresponding to the consequent 30 approaches to the command position.

Figure 5.B. presents the exemplary sequence of estimates of the command position evaluated basing on the consequent pictures taken after the first approach to the command position

A

B

Fig. 5. Distribution of recorded positions (point 2, approach direction z): A. (+) 30 pictures taken during the 1st approach, (o) the first picture for each of the 30 approaches, B. consequent positions corresponding to 30 pictures of the 1st approach joined with a straight line segments Rys. 5. RozkĹ&#x201A;ad przestrzenny zarejestrowanych poĹ&#x201A;oĹźeĹ&#x201E; (punkt nr 2, kierunek zbliĹźenia z) na podstawie: A. (+) 30 zdjÄ&#x2122;Ä&#x2021; wykonanych kolejno w trakcie pierwszego dojĹ&#x203A;cia, (o) pierwszego zdjÄ&#x2122;cia dla 30 dojĹ&#x203A;Ä&#x2021; do pozycji zadanej, B. kolejne poĹ&#x201A;oĹźenia odpowiadajÄ&#x2026;ce 30 zdjÄ&#x2122;ciom wykonanym kolejno w trakcie pierwszego dojĹ&#x203A;cia poĹ&#x201A;Ä&#x2026;czone odcinkami linii prostej

7

= O q C m & B @ O f Â&#x17D; A

A

B

B

Fig. 6. Normal probability plot of: A. measured positions, B. measurement noise, (point 2, approach direction z) Rys. 6. Wykresy normalnoĹ&#x203A;ci rozkĹ&#x201A;adu prawdopodobieĹ&#x201E;stwa A. pozycje zarejestrowane, B. szum pomiarowy (punkt nr 2, kierunek zbliĹźenia z)

Fig. 7. Histogram of: A. measured positions, B. measurement noise, (point 2, approach direction z) Rys. 7. Histogram: A. zarejestrowanych poĹ&#x201A;oĹźeĹ&#x201E;, B. Szumu pomiarowego (punkt nr 2, kierunek zbliĹźenia z)

(consequent positions are connected by a straight line segments forming a broken line). Qualitative assessment of a shape of the broken line from the Fig. 5.B led the authors to the conclusion that the dispersion of the consequent estimates of the positions is considerably irregular, what suggested the random type of the distribution of the considered estimates of the command position.

The analysis showed that the dispersion of the estimates related to the measurement noise was less than dispersion of the estimates of the measured position, but they were of the same order of magnitude of 0.01 mm. The dispersion characterizes the tested measurement system spatial resolution.

In Fig. 6, the result of assessment of randomness of the positions recorded during the conducted experiments is presented.

The normal probability plots, which based on quantiles, were used [12] for the assessment.

Qualitative analysis of the above pictures let the authors to the conclusion that the normal plot showed in Fig. 6.A confirmed that, apart from 2 outliers, the other measuring points fitted well the random distribution. Figure 6.B showed that the distribution of the measurement noise was random but it differed a bit more from the normal distribution than distribution of the measured positions.

Figure 7 presents histograms approximating probability density functions of the sets of measuring positions and positions corresponding to measurement noise. Classification into 9 bins was used.

The histogram showed in Fig. 7.A qualitatively well corresponds to the normal probability distribution when the mentioned 2 outliers are disregarded. The similarity of the histogram presented in Fig. 7.B to the normal distribution function is smaller, but the presented data may correspond to some random distribution as well.

Basing on the above assessment the authors stated that the spatial distribution of the positions recorded during the experiment as well as the spatial distribution of the measurement errors was of random type close to the normal distribution.

8

P

O

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

Z. &

precision The properties of the experimental data recorded with use of the low cost stereovision system were analyzed with the aim of characterization of the achieved position measurement precision. The analysis scope covered the following indicators: â&#x2C6;&#x2019; spatial resolution Rs, â&#x2C6;&#x2019; measurement resolution (including subpixel) Rm, â&#x2C6;&#x2019; average measurement noise Nma, â&#x2C6;&#x2019; theoretical TEMA measurement accuracy Ta. The actual experiment was preceded by estimation of position measurement precision of the considered stereovision system.

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

/ 8 !

Initially, the a priori spatial resolution and the measurement resolution were estimated basing on the stereovision system settings [2]. The following settings were assumed for the analysis (see Fig. 2): â&#x2C6;&#x2019; baseline 1319 mm, â&#x2C6;&#x2019; focal length 69 mm, â&#x2C6;&#x2019; distance between the camera and the analyzed object: 1200 mm, â&#x2C6;&#x2019; subpixel measurement capability Mp = 0.1 pixel (the systemâ&#x20AC;&#x2122;s measurement resolution capability in a fraction of a pixel), â&#x2C6;&#x2019; field of view (FOV) 589 mm Ă&#x2014; 393 mm, â&#x2C6;&#x2019; image resolution Ri 5616 Ă&#x2014; 3744 pixels.

The estimates of the first 2 indicators were obtained with use of the following formulas: Rs =

FOV Ri

of position with accuracy of 0.1 mm being one order of magnitude greater.

[.

&

&

9 For estimation of positioning repeatability RP the following formulas were applied [7]. The coordinates of the measuring points were denoted by xi, yi and zi, i = 1, â&#x20AC;Ś, n (n = 30).

First, the position of the centre of the cluster of recorded positions was determined:

(1)

Rm = Rsâ&#x2039;&#x2026;Mp

(2)

The obtained values of Rs and Rm are listed in tab. 1.

(4) Tab. 1. Estimates of precision of the measurement of position Tab. 1. Estymaty precyzji pomiaru poĹ&#x201A;oĹźenia

Next, the distances of each of the attained positions from the centre of the cluster were estimated:

Spatial resolution Rs [mm/px]

Subpixel measurement resolution Rm [mm]

plane (y-z)

0.12

0.012

plane (x-z)

0.11

0.011

li =

(x i

â&#x2C6;&#x2019; x )2 + (y i â&#x2C6;&#x2019; y )2 + (z i â&#x2C6;&#x2019; z )2

The average distance from the centre of the cluster was calculated as: l =

Next, the third indicator, the measurement noise Nma, was estimated. Standard deviations were calculated for 30 images acquired by the stereo system. The supposed sources of the noise were: â&#x2C6;&#x2019; fluctuation of illumination, â&#x2C6;&#x2019; camerasâ&#x20AC;&#x2122; CMOS sensor artifacts, â&#x2C6;&#x2019; errors of the sub-pixel â&#x20AC;&#x153;quadrant symmetryâ&#x20AC;? tracking algorithm [14].

The assessment based on distribution of the position determined for consequent 30 pictures taken for the 1st approach to each target position. The average measurement noise Nma related to the applied vision system was calculated as an average of the standard deviation of the recorded coordinates of the measured positions, and it amounted to Nma = 0.009 mm.

Basing on the values of: â&#x2C6;&#x2019; the quadrant tracker uncertainty Tqtu = 0.1 mm, â&#x2C6;&#x2019; the cameras orientation angle: ÇŠ = °, an estimate of the last indicator, the theoretical TEMA measurement accuracy Ta, was evaluated with use of the formula below [14]: Ta =

1.5Tqtu sin Îą

Mp

(5)

(3)

The obtained value of the theoretical precision Ta was 0.015Â mm. The carried out partial analyses showed that the resolution of the considered position measurement was approximately equal to 0.015 mm. That indicated that the considered measurement system could be recommended to measurement

1 n

n

â&#x2C6;&#x2018; li

(6)

i =1

The estimate of the standard deviation of the distance li was determined according to the following formula:

â&#x2C6;&#x2018; (l j â&#x2C6;&#x2019; l ) n

Sl =

i =1

2

n â&#x2C6;&#x2019;1

(7)

Finally, an estimate of the positioning repeatability was calculated as: (8)

The RP values were estimated for data acquired during 2 separate experiments with use of either the low-cost vision system or the laser tracker.

[.\.

9

, , 4

Figure 8 presents exemplary measuring data â&#x20AC;&#x201C; positions recorded during 30 consequent approaches to the point No. 2 along z direction.

The detected points are grouped in a regularly shaped cluster, slightly elongated along y axis. The clusters determined for the remaining points, as well as directions of approach, proved to be qualitatively similar.

9

= O q C m & B @ O f Â&#x17D;

A

Tab. 2. Estimated values of the unidirectional positioning repeatability RP [mm] based on the stereovision system measurement Tab. 2. Wyestymowane wartoĹ&#x203A;ci jednokierunkowej powtarzalnoĹ&#x203A;ci pozycjonowania RP [mm] wyznaczone na podstawie pomiaru systemem stereowizyjnym

C

Fig. 8. Positions recorded during the conducted experiment determination for point No. 2 in z direction (o â&#x20AC;&#x201C; measured positions, * â&#x20AC;&#x201C; indicates the centre position, radius of the circle is equal to RP) Rys. 8. PoĹ&#x201A;oĹźenia zarejestrowane w czasie przeprowadzonego eksperymentu w punkcie nr 2 w kierunku z (o â&#x20AC;&#x201C; pozycja zmierzona, * â&#x20AC;&#x201C; wskazuje pozycjÄ&#x2122; Ĺ&#x203A;rodkowÄ&#x2026;, promieĹ&#x201E; okrÄ&#x2122;gu odpowiada wartoĹ&#x203A;ci RP)

The estimated values of RP for all used measuring points and approach directions are presented in tab. 2.

In Fig. 8 the radius of the presented circle corresponds to RP. The value of RP proved to be visibly greater that the maximum distance of the measured point from the centre of the cluster. All the measured points were located within the sphere of the centre being the centre of the cluster and the radius equal to the estimated RP value.

The estimated values of RP listed in tab. 2 were compared to the value corresponding to the tested robot type. The listed P

O

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

x

y

z

Point No. 1

0.016

0.020

0.028

Point No. 2

0.023

0.018

0.018

Point No. 3

0.017

0.023

0.014

determined estimates of the RP values vary in the range of 0.014â&#x20AC;&#x201C;0.028 mm which contains a value of RP = 0.02 mm (the greatest repeatability error in the whole workspace) reported by the robotâ&#x20AC;&#x2122;s manufacturer. The repeatability depends on position of the end effector in the workspace, so the presence of variation of the RP estimates was in accordance with the engineering practice. Surprisingly, despite the recommended accuracy of measurement of the considered vision system equal to 0.1 mm, the estimation of the RP value was considerably good (mean: 0.02 mm, median: 0.018 mm, and variation 50% of the mean). The upper bound of the range was greater than the manufacturerâ&#x20AC;&#x2122;s estimate of RP, what might be a result of insufficient accuracy of the used vision system, imperfection of the applied experimental procedure, as well as of wear of the manipulatorâ&#x20AC;&#x2122;s mechanisms. The values of RP estimated basing on the conducted experiment results and the RP estimate provided by the robot manufacturer were of the same order of magnitude and considerably close.

Next, the analysis of distribution of the attained positions in space was enhanced. Figure 9 presents 3 sets of 3 spheres.

Centres of these spheres are the centre positions calculated for positions recorded during multiple approaches to the command position from each of the 3 perpendicular directions. Radii of the spheres correspond to the RP estimates obtained for each approach direction.

In case of the point No. 1 the spheres are closer to each other than in the case of the points No. 2 and 3 where the spheres corresponding to approach in x and z directions are most distant one from the other.

The fourth picture presents the actual distribution of attained poses for the 2nd measuring point. The middle cluster (positions denoted by circles) possessed an outlier on the top.

This outlier considerably increased RP represented by the corresponding sphereâ&#x20AC;&#x2122;s radius.

The dependence of the attained end-effectorâ&#x20AC;&#x2122;s position on the approach direction is common in practice. The measure of dependence of the attained end-effector position on the approach direction is assessed according to [7] by the multi-directional pose accuracy variation vAP, which is the maximum distance between the sphere centersâ&#x20AC;&#x2122; pairs. The estimated values of vAP are listed in tab. 3.

There was no reference value of vAP found for the tested robot. The estimated values of vAP are approximately 2 times greater than the reference RP value, what seems to be a reasonable result.

B

10

Approach directions

Tab. 3. Multi-directional positioning accuracy variation vAP [mm] Tab. 3. Wielokierunkowa zmiennoĹ&#x203A;Ä&#x2021; dokĹ&#x201A;adnoĹ&#x203A;ci pozycjonowania vAP [mm]

A

T

Y

Point No. 1

Point No. 2

Point No. 3

0.038

0.046

0.052

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

/ 8 !

A

B

C

D

Fig. 9. Distribution of the attained end-effectorâ&#x20AC;&#x2122;s positions in terms of the approach direction for measuring points (A.) No. 1, (B.) No. 2, (C.) No. 3, and (D.) No. 2 Rys. 9. RozkĹ&#x201A;ad przestrzenny osiÄ&#x2026;gniÄ&#x2122;tych pozycji chwytaka/narzÄ&#x2122;dzia w zaleĹźnoĹ&#x203A;ci o kierunku zbliĹźania do punktĂłw pomiarowych (A.) nr 1, (B.) nr 2, (C.) nr 3 i (D.) nr 2

[.Y.

9

, , # The carried out measurement was repeated with use of the laser tracker (Leica AT 401), and RP was estimated once more. The same robot program (command poses and sequences of approaches) and RP value estimation procedure were used. The achieved estimates of RP are listed in tab. 4.

The values of RP listed in tab. 4 were of the same order of magnitude but approximately 50% greater than that evaluated basing on measurement made with use of the low-cost stereovision system. The value of RP was overestimated (mean: 0.03 mm, median: 0.031 mm, and variation 80% of the mean). Despite the reported quantitative differences the considered RP estimates are of the order of magnitude of the reference value of RP. The laser tracker, which, depending on type and installed software option, is approximately 3̽10 times more expensive than the developed vision system, is considerably easier to be applied in conditions present in a robotic cell. It is also much more efficient due to automated calibration and

Tab. 4. Estimated values of the unidirectional positioning repeatability RP [mm] basing on the laser tracker measurement Tab. 4. Wyestymowane wartoĹ&#x203A;ci jednokierunkowej powtarzalnoĹ&#x203A;ci pozycjonowania RP [mm] wyznaczone na podstawie pomiaru trakerem laserowym

Approach directions

x

y

z

Point No. 1

0.026

0.031

0.016

Point No. 2

0.025

0.032

0.035

Point No. 3

0.030

0.034

0.040

position estimation procedures. Additionally, the tracker provides possibility of measurement during motion with tracking of the object, what is not available for the low-cost vision system.

11

= O q C m & B @ O f Â&#x17D;

Regarding the achieved reasonable estimation of RP = 0.02 mm with the measurement system of approximately 0.1 mm accuracy, the authors suppose that it was a result of the random measurement noise and of the random dispersion of the positions measured during the consequent approaches to the command pose. In the procedure of determination of RP the estimates of parameters (mean and standard deviation) of random distribution of the measured positions were used, not the actual distances between the recorded positions, what could cause that the value of RP corresponding to the resolution of the measuring system was effectively estimated.

of the experimental procedure, and if it would improve effectiveness of the considered system when compared with more sophisticated and costly measurement systems.

].

References

In the paper, the authors focused on application of the exemplary low-cost vision system to determination of the manipulator end-effectorâ&#x20AC;&#x2122;s position. The carried out analysis comprised: â&#x2C6;&#x2019; assessment of properties of spatial distribution of the measurement results, â&#x2C6;&#x2019; theoretical calculation based assessment of position measurement error, â&#x2C6;&#x2019; the experimental data based determination of the tested manipulator end-effectorâ&#x20AC;&#x2122;s local estimates of positioning repeatability RP and multidirectional positioning accuracy vAP. The theoretical analysis led to determination of the resolution of the measurement system of order of magnitude of 0.01 mm. The obtained results indicated that the tested measurement system could be recommended to position measurement with the demanded accuracy of 0.1 mm.

Surprisingly, the experimental analysis led to estimation of RP value, which was very close to the robot manufacturerâ&#x20AC;&#x2122;s reference value (0.02 mm).

The main benefit of use of the considered low-cost system is obviously the cost saving. Additionally, the open structure of the systemâ&#x20AC;&#x2122;s hardware and software makes possibility of easy introduction of required modifications.

The main drawback of the considered system is the testing complexity and time-consuming preparation of measurement as well as of experimental data analysis. One of the most time-consuming steps is the calibration of cameras, though there are reported the trials to speed-up this procedure by automation [5]. The measurement in various, distant parts of a robot workspace requires manual rearrangement of the measurement set-up, what is also time consuming. On the other hand it is possible to assemble the cameras to the dedicated fixture. This would provide no need of repeating calibration after redirecting the vision system to another object.

Some steps of the procedure are considerably operator dependent (e.g. selection of parameters of processing) who must have sufficient knowledge to make the proper choice.

Additional disadvantages like necessity of placement of markers on the tested structure (e.g. a manipulator), which during removal may damage the surface of the structure or may leave stains of glue after removal should be also considered.

Taking into account the mentioned above benefits and disadvantages, the considered low-cost vision system is recommended rather for occasional application by experienced users or for auto calibration, than for standard services or usage as a portable measuring system.

Regarding the future investigation, the authors think that it would be interesting to assess how much determination of orientation together with position would influence complexity

1.

12

P

O

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

#

The research reported in this paper has been financed from the state budget for science. The authors wish to acknowledge Wojciech Kusak and Dawid Gurgul for participation in the reported experiments. The authors wish to thank RCC NOVA for possibility of use the companyâ&#x20AC;&#x2122;s laser tracker in the course of the conducted research.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

A

T

Abderrahim M., Khamis A., Garrido S., Moreno L., Accuracy and calibration issues of industrial manipulators, in Industrial robotics: programming, simulation and application, Ed. Low K.-H., plV pro literatur Verlag Robert Mayer-Scholz, 2007, 131â&#x20AC;&#x201C;146, DOI: 10.5772/4895.

Batchelor B.G. Ed., Machine Vision Handbook, Springer-Verlag 2012.

Cyganek B., Siebert J.P., An Introduction to 3D Computer Vision Techniques and Algorithms, 2009.

Du G. Zhang P., Online robot calibration based on vision measurement, â&#x20AC;&#x153;Robotics and Computer-Integrated Manufacturingâ&#x20AC;?, Vol. 29, Issue 6, 2013, 484â&#x20AC;&#x201C;492, DOI: 10.1016/j. rcim.2013.05.003.

Garbacz P., Mizak W., A novel approach for automation of stereo camera calibration process, â&#x20AC;&#x17E;Pomiary Automatyka Robotykaâ&#x20AC;?, Vol. 17, No. 2/2013, 234â&#x20AC;&#x201C;238.

Hartley R., Zisserman A., Multiple View Geometry in Computer Vision, Cambridge Univ. Press, 2004.

ISO 9283:1998 Manipulating industrial robots â&#x20AC;&#x201C; Performance criteria and related test methods.

Kohut P., Metody wizyjne w robotyce (cz. 2), Vision methods in robotics, (part II), â&#x20AC;&#x17E;PrzeglÄ&#x2026;d Spawalnictwaâ&#x20AC;?, Stowarzyszenie InĹźynierĂłw i TechnikĂłw MechanikĂłw Polskich, R. 81, Nr 1, 2009, 31â&#x20AC;&#x201C;38.

Kohut P., Mechatronics systems supported by vision techniques, â&#x20AC;&#x153;Solid State Phenomenaâ&#x20AC;?, Vol. 196, 2013, 62â&#x20AC;&#x201C;73, DOI: 10.4028/www.scientific.net/SSP.196.62.

Kusak W., Testing of positioning repeatability of a manipulator (in Polish), Bachelor thesis, WIMIR AGH-UST, Krakow, Poland 2014.

Ma Y., Soatto S., Kostecka J., Sastry S., An invitation to 3D Vision, Springer-Verlag, New York 2004.

Mendenhall W., Scheaffer E.L., Wackerly D.D., Mathematical statistics with applications, Duxbury Press 1986.

Svaco M., Sekoranja B., Suligoj F., Jerbic B., Calibration of an industrial robot using stereo vision system, 24th DAAAM International Symposium on Intelligent Manufacturing and Automation, 2013, 459â&#x20AC;&#x201C;463.

TEMA userâ&#x20AC;&#x2122;s guide, Image Systems AB, 2011.

Trucco E., Verri A., Introductory Techniques for 3D Computer Vision, Prentice-Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 1998.

Zhang Z., A flexible new technique for camera calibration, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol.22, Issue 11, 2000, 1330â&#x20AC;&#x201C;1334, 10.1109/34.888718.

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

/ 8 !

I " 9 Streszczenie: Systemy wizyjne sÄ&#x2026; powszechnie stosowane w robotyce. NajczÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;ciej peĹ&#x201A;niÄ&#x2026; rolÄ&#x2122; ukĹ&#x201A;adĂłw sensorycznych, chociaĹź mogÄ&#x2026; byÄ&#x2021; teĹź uĹźyte do pomiaru pozycji chwytaka/narzÄ&#x2122;dzia robota.

W artykule przestawiono przykĹ&#x201A;ad zastosowania niskokosztowego systemu wizyjnego do pomiaru poĹ&#x201A;oĹźenia chwytaka. Wykorzystany system wizyjny skĹ&#x201A;adaĹ&#x201A; siÄ&#x2122; z pary aparatĂłw z matrycÄ&#x2026; CMOS. Przeprowadzony eksperyment polegaĹ&#x201A; na rejestracji serii statycznych obrazĂłw po dojĹ&#x203A;ciu chwytaka robota (przenoszÄ&#x2026;cego szeĹ&#x203A;cian wzorcowy z zestawem markerĂłw) do pozycji zadanej, powtarzalnie z tego samego kierunku. Analiza precyzji wyznaczania pozycji szeĹ&#x203A;cianu wzorcowego obejmowaĹ&#x201A;a: wyznaczenie rozkĹ&#x201A;adu przestrzennego kolejnych pozycji szeĹ&#x203A;cianu, oceny jakoĹ&#x203A;ci zarejestrowanych obrazĂłw za pomocÄ&#x2026; 4 kryteriĂłw oraz porĂłwnania techniki pomiarowej wykorzystujÄ&#x2026;cej rozwaĹźany ukĹ&#x201A;ad wizyjny i profesjonalny system pomiarowy (w tym celu powtĂłrzono pomiar z wykorzystaniem trakera laserowego i lokalnie wyestymowano jednokierunkowÄ&#x2026; powtarzalnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; pozycjonowania â&#x20AC;&#x201C; RP).

Analiza wynikĂłw przeprowadzonych badaĹ&#x201E; pokazaĹ&#x201A;a, Ĺźe niskokosztowy system stereowizyjny moĹźe byÄ&#x2021; pomyĹ&#x203A;lnie zastosowany do pomiaru poĹ&#x201A;oĹźenia chwytaka robota z dokĹ&#x201A;adnoĹ&#x203A;ciÄ&#x2026; okoĹ&#x201A;o 0,1 mm.

Taka dokĹ&#x201A;adnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; jest czÄ&#x2122;sto wystarczajÄ&#x2026;ca w warunkach przemysĹ&#x201A;owych. Dodatkowo, wyniki pomiaru pozwoliĹ&#x201A;y dobrze oszacowaÄ&#x2021; powtarzalnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; pozycjonowania robota RP, ktĂłra dla typu wykorzystanego robota wynosi 0,02 m. &

X 9 " " " G H

Wojciech Lisowski

Piotr Kohut

) * % %

) * % %

B 7 B ; * *

/ " 8 9

B % +DJ- />? # ! 7 @ 0 * % ? 7 " 7 7 " 770 9 * "0 " * K " ! 0 * 7 ! 9 " %

? ! * / " 8 9 7 " A 7 B ; * * 8 9 />? # ! 7 @ 0 * ,&&,% I

" 7 8 9 B 0 % ? 7 7 " ! " " 7 " * * $

" " L %

13

NR 3/2015

14

P

O

M

I

A

R

Y

•

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

•

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

Pomiary Automatyka Robotyka, ISSN 1427-9126, R. 21, Nr 4/2017, 15â&#x20AC;&#x201C;22, DOI: 10.14313/PAR_226/15

@ 9 " 7 * * " * " - & & " - & . / NF ' ; ; % 7 * +JG,, D&0D,O NF P

& %&) In this paper we study the problem of state constraints in discrete time sliding mode control. We present a sufficient condition for the strategy that drives the representative point monotonically to the sliding hyperplane in finite time. The advantage of this strategy is that disturbances do not have to fulfill the matching conditions. Our approach is based on the so-called reaching law technique.

8 X ! 9 " * " " " *

1. Introduction In recent years, sliding mode control has become a popular regulation technique as a result of its computational efficiency and robustness guarantee [1â&#x20AC;&#x201C;13]. In the first place this method was analyzed on continuous systems [14, 15]. Further, discrete time systems [16â&#x20AC;&#x201C;18] were considered due to their wide application in practice. In order to apply the sliding mode control technique we start with choosing parameters of the sliding hyperplane. These parameters determine the eigenvalues of the closed-loop system matrix, which is connected with the system dynamics. The main goal is to control the system in such a way that the representative point will reach that predefined hyperplane and remain in its certain neighborhood. The control signal is usually computed using one of two well-known methods. In the first one the control law, which guarantees the stable sliding motion is introduced. The other one involves the so-called reaching law technique. In this approach the control signal is computed in order to satisfy a predefined evolution of the sliding variable. Originally, the reaching law method was introduced for continuous time systems [19], and then developed for discrete time ones [20]. Recently, a large number of new reaching laws were presented [21â&#x20AC;&#x201C;30].

The sliding mode control can be divided in two phases: the reaching phase and the sliding phase. The first one refers to the evolution of the representative point from the initial position to the predefined sliding hyperplane. The second one is connected with the motion of the state point along the sliding manifold to the destination point. During the control process external disturbances may interfere with the behavior of the representative point and cause large values of state variables

# & *: X B M +$)*" % "

# ) ' +D%&D%,&+- % ,-%++%,&+- %

! "" # $%&

or oscillations. In the sliding phase, the impact of disturbances implicates the quasi-sliding mode i.e. the representative point cannot move precisely along the sliding hyperplane, but it can stay in a certain neighborhood of that hyperplane. In this paper we define the quasi-sliding mode [24, 31, 32], i.e. we do not require crossing the sliding hyperplane in each consecutive step.

The issue of limiting state variables is an important problem in the sliding mode control due to its frequent occurrence in practice [33â&#x20AC;&#x201C;40]. Usually, during the sliding mode controller design, the problem of constraining the state variables is omitted in favor of limiting the control signal. Our work focuses on finding the best strategy for limiting all of the state variables.

In particular, we can select the state variables that are crucial to our system and constrain only these ones.

This paper is an extension of the article [41] and is organized as follows. Section 2 presents the sliding mode controller design based on the reaching law technique. Moreover, the state constraints problem is analyzed. The sufficient condition for the monotonic, finite time convergence to the sliding hyperplane is introduced in Section 3. Section 4 deals with the selection of the convergence rate of the representative point to the sliding hyperplane. In Section 5 the sufficient condition is extended to the form, which is easier to apply. A simulation example is presented in Section 6. Section 7 comprises the conclusions of this paper.

2. Sliding mode controller design Let us consider the discrete time system affected by unknown, bounded external disturbances. Its dynamics is described by the following state equation x (k + 1) = Ax (k) + bu (k) + d (k),

(1)

where x(k) = [x1(k), â&#x20AC;Ś, xn(k)]T is the state vector, A is the state matrix of the dimension n Ă&#x2014; n, b is the input distribution vector of dimension n Ă&#x2014; 1, u(k) is a scalar control signal, d(k) = [d1(k), â&#x20AC;Ś, dn(k)]T is the external disturbance vector and max |di(k)| = Di for any i â&#x2C6;&#x2C6; {1, â&#x20AC;Ś, n}. Let us observe, that our

15

The problem of state constraints in designing the discrete time sliding mode controller

system does not have to fulfill the matching conditions, i.e. the external disturbance vector affects the whole system dynamics and not only the control signal. We design the discrete time sliding mode controller in order to obtain finite time, monotonic convergence of the representative point to the sliding hyperplane s (k) = cT x (k) = 0,

Further in this paper we will modify the parameter K in order to include the influence of external disturbances.

Y.\.

The purpose of this paper is to limit each state variable xi (k), i â&#x2C6;&#x2C6; {1, â&#x20AC;Ś, n} for any k â&#x2C6;&#x2C6; Ôł. We want to immunize our system to external disturbances. Therefore, we alter the parameter K. Let us assume that the absolute value of the state variable xi(0) is limited by ri for any i â&#x2C6;&#x2C6; {1, â&#x20AC;Ś, n}. We will calculate the parameter K so that if the absolute value of the state variable xi(k) is limited by ri, then the absolute value of the state variable xi(k + 1) is also limited by ri, i.e.

(2)

where cT = [c1, â&#x20AC;Ś, cnâ&#x20AC;&#x201C;1, 1]. Vector c is selected in such a way that cTb z 0. The quasi-sliding mode is defined likewise in [31, 32]. This definition says that crossing the sliding hyperplane is not required in each consecutive step. We select the following reaching law in order to compute the control signal

s (k + 1) = s (k) â&#x20AC;&#x201C; Ksgn [s (k)] + cTd (k),

â&#x20AC;&#x201C;ri d xi(k + 1) d ri.

We assume that Di < ½ ri for any i â&#x2C6;&#x2C6; {1, â&#x20AC;Ś, n}. From (1) and (5) we get

(3)

where K is a positive, real number and the function sgn(x) is given as follows â&#x17D;§â&#x2C6;&#x2019; 1, for x < 0 â&#x17D;Şâ&#x17D;Ş sgn(x ) = â&#x17D;¨ 0, for x = 0 â&#x17D;Ş â&#x17D;Şâ&#x17D;Š 1, for x > 0

(10)

x(k + 1) = Ax(k) â&#x20AC;&#x201C; b(cT b)â&#x20AC;&#x201C;1 cTAx(k)+ + b(cT b)â&#x20AC;&#x201C;1cTx(k) â&#x20AC;&#x201C; b(cT b)â&#x20AC;&#x201C;1K sgn[cT x(k)]+ d(k).

Let us define the matrix G as follows

(4)

G = A + b(cT b)â&#x20AC;&#x201C;1 (â&#x20AC;&#x201C;cTA + cT) From (1), (2) and (3) we can compute the following control signal

xi(k + 1) = ei {Gx(k) â&#x20AC;&#x201C; K(cT b)â&#x20AC;&#x201C;1 b sgn[cT x(k)] + d(k)}. (13)

In order to obtain finite time convergence to the sliding hyperplane, we require that

We want to calculate the largest time-varying K which guarantees the fulfillment of (10). Using (13) and the substitution gi = eiG we get

(6)

is fulfilled during the reaching phase, where Îť is a real, positive constant. Analyzing signs of s (k), s (k + 1) and using (3) we can rewrite (6) in the following form K â&#x20AC;&#x201C; cT d (k) sgn [s (k)] â&#x2030;Ľ Îť.

gi x(k) â&#x20AC;&#x201C; ri + di(k) d K(cT b)â&#x20AC;&#x201C;1 ei b sgn[cT x(k)] d gi x(k) + + ri + di(k).

(14)

(7)

The value of di(k) is unknown, therefore we have to require that the following conditions are satisfied

Let us denote the biggest influence on the sliding variable caused by external disturbances by

Dmax = |c1|D1 + â&#x20AC;Ś + |cnâ&#x20AC;&#x201C;1|Dnâ&#x20AC;&#x201C;1 + Dn.

gi x(k) â&#x20AC;&#x201C; ri + Di d K(cT b)â&#x20AC;&#x201C;1 ei b sgn[cT x(k)] d gi x(k) + ri â&#x20AC;&#x201C; Di.

Let us observe, that when ei b = 0 for i â&#x2C6;&#x2C6; {1, â&#x20AC;Ś, n}, then K has no influence on the behavior of the i-th state variable and (15) is true if â&#x20AC;&#x201C; ri + Di d gi x(k) d ri â&#x20AC;&#x201C; Di.

K â&#x20AC;&#x201C; Dmax â&#x2030;Ľ Îť.

P

O

M

I

A

(15)

(8)

Hence, in order to fulfill (7) we require

16

(12)

and the vector ei (dim ei = 1 Ă&#x2014; n) as the versor of the i-th axis of a Cartesian coordinate system, i.e. the i-th element of the vector ei is equal to one, while remaining elements of this vector are equal to zero. Then we can write the state equation for the i-th variable

(5)

|s (k)| â&#x20AC;&#x201C; |s (k + 1)| â&#x2030;Ľ Îť,

(11)

(16)

(9)

R

Y

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

Consider the case when ei b z 0. Using (15) and analyzing the sign of the expression (cT b)â&#x20AC;&#x201C;1 ei bsgn[cT x(k)] we obtain that for each i â&#x2C6;&#x2C6; {1, â&#x20AC;Ś, n} the largest possible K (denoted by Ki) is given by the equation Ki = cT b(ei b)â&#x20AC;&#x201C;1 sgn[cT x(k)] gi x(k) + + | cT b(ei b)â&#x20AC;&#x201C;1 |(ri â&#x20AC;&#x201C; Di).

(17)

We can observe that Ki is a function of k. Therefore, from now on, we will write Ki(k) instead of Ki in order to emphasize that it is a time-varying coefficient. From (17) we conclude that in order to calculate (5) it is necessary to know only the maximum absolute value of external disturbances and the current state. Therefore, the measurement of external disturbances is not needed.

Proof. One can observe that if

gi x(k) = sgn[cTb(eib)â&#x20AC;&#x201C;1] sgn[cTx(k)] (|gi1|r1 + â&#x20AC;Ś + |gin|rn), (22) then (17) has the following form

Ki(k)= |cT b(ei b)â&#x20AC;&#x201C;1| [ri â&#x20AC;&#x201C; Di + (|gi1|r1 + â&#x20AC;Ś + |gin|rn)].

(23)

Otherwise, if

gi x(k) = â&#x20AC;&#x201C; sgn[cTb(eib)â&#x20AC;&#x201C;1] sgn[cTx(k)] (|gi1|r1 + â&#x20AC;Ś + |gin|rn), (24)

3. Sufficient condition then In this section we will formulate and prove two theorems which specify the sufficient condition for Ki(k) â&#x20AC;&#x201C; Dmax t Îť for any i â&#x2C6;&#x2C6; {1, â&#x20AC;Ś, n} and k â&#x2C6;&#x2C6; Ôł â&#x2C6;Ş {0}.

Theorem 1. Denote by gij the expression in the i-th row and j-th column of the matrix G. In order to obtain Ki(k) â&#x20AC;&#x201C; Dmax > 0 in each consecutive step it is sufficient that inequalities

Ki(k)= |cT b(ei b)â&#x20AC;&#x201C;1 | [ri â&#x20AC;&#x201C; Di â&#x20AC;&#x201C; (|gi1|r1 + â&#x20AC;Ś + |gin|rn)].

(25)

Noting that |gij|rj > 0 for any j â&#x2C6;&#x2C6; {1, â&#x20AC;Ś, n} we conclude that ri â&#x20AC;&#x201C; Di + (|gi1|r1 + â&#x20AC;Ś + |gin|rn) > ri â&#x20AC;&#x201C; Di â&#x20AC;&#x201C; (|gi1|r1 + â&#x20AC;Ś + |gin|rn).(26)

(18) Using (26) one can observe that if |gi x(k)| d |gi1|r1 + â&#x20AC;Ś + |gin|rn, then are satisfied for any i â&#x2C6;&#x2C6; {1, â&#x20AC;Ś, n}.

Ki(k) = | cT b(ei b)â&#x20AC;&#x201C;1 | [ri â&#x20AC;&#x201C; Di â&#x20AC;&#x201C; (|gi1|r1 + â&#x20AC;Ś + |gin|rn)]. (27)

Proof. From (17) we observe that if

gi x (k ) < ri â&#x2C6;&#x2019; Di â&#x2C6;&#x2019;

Dmax

c b (ei b )â&#x2C6;&#x2019;1 T

,

(19)

It can be seen from (27) that Ki(k) â&#x20AC;&#x201C; Dmax t | cT b(ei b)â&#x20AC;&#x201C;1| [ri â&#x20AC;&#x201C; Di â&#x20AC;&#x201C; (|gi1|r1 + â&#x20AC;Ś + |gin|rn)] â&#x20AC;&#x201C; Dmax.

(28)

then Ki(k) â&#x20AC;&#x201C; Dmax > 0. Hence, our goal is to satisfy inequalities (19) for any i â&#x2C6;&#x2C6; {1, â&#x20AC;Ś, n}. Let us derive the greatest possible value of the left-hand side of (19)

Furthermore, multiplying (18) by |cT b(ei b)â&#x20AC;&#x201C;1| we obtain |cT b(ei b)â&#x20AC;&#x201C;1 | [ri â&#x20AC;&#x201C; Di â&#x20AC;&#x201C; (|gi1|r1 + â&#x20AC;Ś + |gin|rn)] â&#x20AC;&#x201C; Dmax > 0. (29)

(20) Using (19) and (20) we obtain that if (18) is true, then Ki(k) â&#x20AC;&#x201C; Dmax > 0. This ends the proof. Ĺś In order to prove the finite time convergence of the representative point to the sliding hyperplane we will determine the parameter Îťi such that Ki(k) â&#x20AC;&#x201C; Dmax t Îťi > 0.

Theorem 2. Assume that (18) is satisfied. Then Ki(k) â&#x20AC;&#x201C; Dmax t Îťi > 0 in each consecutive step. Parameter Îťi = | cT b(ei b)â&#x20AC;&#x201C;1 | [ri â&#x20AC;&#x201C; Di â&#x20AC;&#x201C; (|gi1|r1 + â&#x20AC;Ś + |gin|rn)] â&#x20AC;&#x201C; Dmax (21) for i â&#x2C6;&#x2C6; {1, â&#x20AC;Ś, n}.

Hence, the representative point arrives to the neighborhood of the sliding hyperplane in finite time and the parameter Îťi is of the form (21). This ends the proof. Ĺś

^. 1 _

4 , 4

In this section we will formulate a theorem, which states that choosing a smaller value of K(k) does not affect the fulfillment of the state constraints.

Theorem 3. Assume that Ki(k) > Dmax, i â&#x2C6;&#x2C6; {1, â&#x20AC;Ś, n} is defined by (17). Then for any K(k) â&#x2C6;&#x2C6; (Dmax; Ki(k)] the limit condition is fulfilled for the i-th state variable.

17

The problem of state constraints in designing the discrete time sliding mode controller

From (35) and inequalities Ki â&#x20AC;&#x201C; Dmax > λi for any i â&#x2C6;&#x2C6; {1, â&#x20AC;¦, n} we conclude that K(k) â&#x20AC;&#x201C; Dmax â&#x2030;¥ λ = min{λ1, â&#x20AC;¦, λn}. Therefore, the finite time convergence to the sliding hyperplane, without violating the state constraints is obtained.

Proof. Let us define the parameter Kε(k) as follows Kε(k) = cTb(eib)â&#x20AC;&#x201C;1 sgn[cTx(k)] gix(k) + |cTb(eib)â&#x20AC;&#x201C;1|(ri â&#x20AC;&#x201C; Di â&#x20AC;&#x201C; ε).

(30) For any K(k) â&#x2C6;&#x2C6; (Dmax; Ki(k)] there exists ε t 0 such that Kε(k) = K(k). Note that Kε(k) < Ki(k). From (13) and (30) we have x(k + 1) = Gx(k) â&#x20AC;&#x201C; (eib)â&#x20AC;&#x201C;1 bgix (k) + + d(k) â&#x20AC;&#x201C; sgn(cTb) sgn [cT x(k)] |(eib)â&#x20AC;&#x201C;1 |b(ri â&#x20AC;&#x201C; Di â&#x20AC;&#x201C; e). (31)

Z. 7 & 4

,

condition In this section we will weaken the sufficient condition presented in this paper. Let us observe that it is possible that

Multiplying both sides of (31) by ei we obtain and Ki â&#x20AC;&#x201C; Dmax > 0. xi(k + 1) = â&#x20AC;&#x201C; sgn(cTb) sgn[cTx(k)] sgn(eib)(ri â&#x20AC;&#x201C; Di â&#x20AC;&#x201C; ε) + di(k).

(32) We can rewrite (17) in the following form Therefore, using the equation Di = max |di(k)| we conclude that

Ki = sgn[cT b(eib)â&#x20AC;&#x201C;1 cT x(k)gix(k)] | cTb(eib)â&#x20AC;&#x201C;1| â&#x2039;&#x2026; |gix(k)| +

xi(k + 1) â&#x2C6;&#x2C6; [ â&#x20AC;&#x201C; sgn(cTb) sgn[cTx(k)] sgn(eib)(ri â&#x20AC;&#x201C; Di â&#x20AC;&#x201C; ε) â&#x20AC;&#x201C; Di â&#x20AC;&#x201C; sgn(cTb) sgn[cTx(k)] sgn(eib)(ri â&#x20AC;&#x201C; Di â&#x20AC;&#x201C; ε) + Di].

(33)

+|cTb(eib)â&#x20AC;&#x201C;1|(ri â&#x20AC;&#x201C; Di).

Hence, if sgn[cTb(eib)â&#x20AC;&#x201C;1 cTx(k)gix(k)] = 1, then

One can observe that â&#x20AC;&#x201C; sgn(cTb) sgn[cTx(k)] sgn(eib) can only be equal to â&#x20AC;&#x201C;1, 0 or 1. Furthermore, the maximum value of ε has to be smaller or equal to 2ri â&#x20AC;&#x201C; 2Di. Hence, â&#x20AC;&#x201C; ri + ε d xi(k + 1) d ri â&#x20AC;&#x201C; ε.

(36)

Ki â&#x20AC;&#x201C; Dmax t | cTb(ei b)â&#x20AC;&#x201C;1 | (ri â&#x20AC;&#x201C; Di) â&#x20AC;&#x201C; Dmax > 0.

(37)

Denote by X i+ and X iâ&#x2C6;&#x2019; subsets of the state space in which

(34)

Therefore, the constraint of the state variable xi is satisfied.

This ends the proof. Ŷ

sgn[cTb(eib)â&#x20AC;&#x201C;1 cTx(k)gix(k)] = 1,

(38)

sgn[cTb(eib)â&#x20AC;&#x201C;1 cTx(k)gix(k)] = â&#x20AC;&#x201C;1

(39)

Our goal is to satisfy all of the state constraints and select the largest value of K(k). Hence, respectively, and K(k) = min{K1(k), â&#x20AC;¦, Kn(k)}.

(35)

Fig. 1. First state variable Rys. 1. Pierwsza zmienna stanu

18

P

O

Fig. 2. Second state variable Rys. 2. Druga zmienna stanu

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;¢

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;¢

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

|xi| d ri

(40)

for the i-th state variable. X iâ&#x2C6;&#x2019; is the only set in which Ki â&#x20AC;&#x201C; Dmax may take a negative value.

Theorem 4. In order to obtain Ki â&#x20AC;&#x201C; Dmax â&#x2030;Ľ Îť > 0 and |xi| d ri it is sufficient that inequalities

(41)

and

max gi x â&#x2030;¤ ri â&#x2C6;&#x2019; Di + x â&#x2C6;&#x2C6;X i+

Dmax

(42)

c b (eib )â&#x2C6;&#x2019;1 T

Proving the fact that Ki â&#x20AC;&#x201C; Dmax â&#x2030;Ľ Îť > 0 is similar to the proof of the Theorem 2.

We have to guarantee that the minimal possible convergence rate, that satisfies the i-th state constraint which is equal to cT b(eib)â&#x20AC;&#x201C;1 sgn[cT x(k)] gix(k) â&#x20AC;&#x201C; | cT b(eib)â&#x20AC;&#x201C;1|(ri â&#x20AC;&#x201C; Di). (44) has to be lower or equal to Dmax. Otherwise, the selected K(k) does not have to satisfy at least one of the state constraints, even if it would drive the representative point monotonically to the sliding hyperplane in finite time.

If x â&#x2C6;&#x2C6; X iâ&#x2C6;&#x2019; , then (44) is negative, so we can only consider our condition in the set X i+ . Therefore, we want to satisfy inequalities |cT b(eib)â&#x20AC;&#x201C;1| (gix(k) â&#x20AC;&#x201C; ri + Di) d Dmax

are satisfied for any i â&#x2C6;&#x2C6; {1, â&#x20AC;Ś, n}.

Proof. Let x â&#x2C6;&#x2C6; X iâ&#x2C6;&#x2019; , i.e. sgn[cT b(eib)â&#x20AC;&#x201C;1 cT x(k)gix] = â&#x20AC;&#x201C;1. Hence, (36) is of the form

(45)

for any i â&#x2C6;&#x2C6; {1, â&#x20AC;Ś, n}. We can rewrite (45) in the form of (42), which ends the proof.

[.

_ & Ki = â&#x20AC;&#x201C; | cT b(eib)â&#x20AC;&#x201C;1|â&#x2039;&#x2026;|gix| + | cT b(eib)â&#x20AC;&#x201C;1|(ri â&#x20AC;&#x201C; Di).

(43) Consider the system given by (1), where

Therefore, if (46) max x â&#x2C6;&#x2C6;X â&#x2C6;&#x2019; g i x < ri â&#x2C6;&#x2019; Di â&#x2C6;&#x2019; i

Dmax

c b (eib )â&#x2C6;&#x2019;1 T

,

then Ki â&#x20AC;&#x201C; Dmax > 0 for any i â&#x2C6;&#x2C6; {1, â&#x20AC;Ś, n}. Moreover, if x = 0 then Ki = | cT b(eib)â&#x20AC;&#x201C;1|(ri â&#x20AC;&#x201C; Di). Using (41) one can observe that in this case Ki â&#x20AC;&#x201C; Dmax > 0. If x â&#x2C6;&#x2030; X iâ&#x2C6;&#x2019;, then Ki >|cT b(eib)â&#x20AC;&#x201C;1|(ri â&#x20AC;&#x201C; Di).

From previous considerations Ki â&#x20AC;&#x201C; Dmax > 0 for any i â&#x2C6;&#x2C6; {1, â&#x20AC;Ś, n}.

Fig. 3. State trajectory Rys. 3. Trajektoria stanu

In order to apply the strategy that allows us to constrain both state variables at level r1 = 50 and r2 = 5, we start from calculating the matrix

â&#x17D;Ą0.9909 0.0909â&#x17D;¤ G=â&#x17D;˘ â&#x17D;Ľ. â&#x17D;˘â&#x17D;Ł0.0909 0.0909â&#x17D;Ľâ&#x17D;Ś

(47)

Fig. 4. Sliding variable Rys. 4. Zmienna Ĺ&#x203A;lizgowa

19

The problem of state constraints in designing the discrete time sliding mode controller

3. Bartoszewicz A., Patton R. (eds.), Sliding mode control, Special issue: â&#x20AC;&#x153;International Journal of Adaptive Control and Signal Processingâ&#x20AC;?, Vol. 21, 2007, 635â&#x20AC;&#x201C;822.

4. Basin M., Fridman L., Shi P. (eds.), Optimal sliding mode algorithms for dynamic systems, Special issue: â&#x20AC;&#x153;Journal of the Franklin Instituteâ&#x20AC;?, Vol. 349, 2012, 1317â&#x20AC;&#x201C;1616.

5. Gao W. (ed.), Variable structure control, Special issue: â&#x20AC;&#x153;IEEE Transactions on Industrial Electronicsâ&#x20AC;?, Vol. 40, 1993, 1â&#x20AC;&#x201C;165.

6. Kaynak O., Computationally intelligent methodologies and sliding â&#x20AC;&#x201C; mode control, Special issue: â&#x20AC;&#x153;IEEE Transactions on Industrial Electronicsâ&#x20AC;?, Vol. 48, 2001, 2â&#x20AC;&#x201C;151.

7. Kaynak O., Bartoszewicz A., Utkin V.I. (eds.), Sliding mode control in industrial applications, Special issue: â&#x20AC;&#x153;IEEE Transactions on Industrial Electronicsâ&#x20AC;?, Vol. 56, 2009, 3271â&#x20AC;&#x201C;3274.

8. Misawa E., Utkin V.I. (eds.), Variable structure systems, Special issue: Transactions of ASME â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x153;Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Controlâ&#x20AC;?, Vol. 122, 2000, 585â&#x20AC;&#x201C;819.

9. Shtessel Y., Fridman L., Zinober A. (eds.), Advances in higher order sliding mode control, Special issue: â&#x20AC;&#x153;International Journal of Robust and Nonlinear Controlâ&#x20AC;?, Vol. 18, 2008, 381â&#x20AC;&#x201C;585.

10. Shtessel Y., Spurgeon S., Fridman L., Advances in sliding mode observation and estimation, Special issue: â&#x20AC;&#x153;International Journal of Systems Scienceâ&#x20AC;?, Vol. 38, 2007, 845â&#x20AC;&#x201C;942.

11. Utkin V.I. (ed.), Sliding mode control, Special issue: â&#x20AC;&#x153;International Journal of Controlâ&#x20AC;?, Vol. 57, 1993, 1003â&#x20AC;&#x201C;1259.

12. Yu X. (ed.), Adaptive learning and control using sliding modes, Special issue: â&#x20AC;&#x153;Applied Mathematics and Computer Scienceâ&#x20AC;?, Vol. 8, 1998, 5â&#x20AC;&#x201C;197.

13. Yu X., Wang B., Li X., Computer-controlled variable structure systems: the state of the art, â&#x20AC;&#x153;IEEE Transactions of Industrial Informaticsâ&#x20AC;?, Vol. 8, 2012, 197â&#x20AC;&#x201C;205, DOI: 10.1109/TII.2011.2178249.

14. Emelyanov S.V., Variable structure control systems, Nauka, Moscow 1967.

15. Utkin V.I., Variable structure systems with sliding modes, â&#x20AC;&#x153;IEEE Transactions on Automatic Controlâ&#x20AC;?, Vol. 22, 1977, 212â&#x20AC;&#x201C;222, DOI: 10.1109/TAC.1977.1101446.

16. Furuta K., Sliding mode control of a discrete system, â&#x20AC;&#x153;Systems & Control Lettersâ&#x20AC;?, Vol. 14, 1990, 145â&#x20AC;&#x201C;152, DOI: 10.1016/0167-6911(90)90030-X. 17. Milosavljevi Ä&#x152;., General conditions for the existence of a quasisliding mode on the switching hyperplane in discrete variable structure systems, â&#x20AC;&#x153;Automation and Remote Controlâ&#x20AC;?, Vol. 46, 1985, 307â&#x20AC;&#x201C;314.

18. Utkin V.I., Drakunov S.V., On discrete-time sliding mode control, IFAC Conference on Nonlinear Control, 1989, 484â&#x20AC;&#x201C; 489.

19. Gao W., Hung J.C., Variable structure control of nonlinear systems: A new approach, â&#x20AC;&#x153;IEEE Transactions on Industrial Electronicsâ&#x20AC;?, Vol. 40, Iss. 1, 1993, 45â&#x20AC;&#x201C;55, DOI: 10.1109/41.184820.

20. Gao W., Wang Y., Homaifa A., Discrete-time variable structure control systems, â&#x20AC;&#x153;IEEE Transactions on Industrial Electronicsâ&#x20AC;?, Vol. 42, Iss. 2, 1995, 117â&#x20AC;&#x201C;122, DOI: 10.1109/41.370376.

21. Bartoszewicz A., LatosiĹ&#x201E;ski P., Discrete time sliding mode control with reduced switching â&#x20AC;&#x201C; a new reaching law approach, â&#x20AC;&#x153;International Journal of Robust and Nonlinear Controlâ&#x20AC;?, Vol. 26, Iss. 1, 2016, 47â&#x20AC;&#x201C;68, DOI: 10.1002/rnc.3291.

We select the initial point at the intersection of lines that describe the upper limits of the state constraints, i.e. x(0) = [50 5]T. External disturbances are d1(k) = sin (k â&#x2039;&#x2026; 40 rad) and d2(k) = sin (k â&#x2039;&#x2026; 30 rad). One can observe, that in this example the matching conditions are not satisfied. In this example we modified the reaching law (3) to the form s(k + 1) = s(k) â&#x20AC;&#x201C; min{K(k), |s(k)|} sgn[s(k)] + cTd(k).

(48)

Let us observe, that in the special case if external disturbances are equal to zero, then the representative point is driven precisely on the sliding hyperplane. After calculations we obtain that (41) and (42) are true. Moreover,

max gi x > ri â&#x2C6;&#x2019; Di â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2C6;&#x2C6;X i+

Dmax

(49)

.

c b (eib )â&#x2C6;&#x2019;1 T

Hence, we conclude that in our example (18) is not satisfied, which shows that in this paper the previous sufficient condition was weakened. From Fig. 1 one can observe that the first state variable is always smaller than 50. In addition, after a certain period of time it reaches the neighborhood of its demand value and remains in it. The evolution of the second state variable is shown in Fig. 2. Starting from its initial value 5 it decreases, but is always greater than its minimal admissible value equal to â&#x20AC;&#x201C;5. Further, the second state variable increases to its demand value. Figure 3 presents the trajectory of both state variables. In our example r2 â&#x20AC;&#x201C; D2 = 4. Therefore, the control strategy causes that the second state variable may take a value from the interval [â&#x20AC;&#x201C;4, 4], without the influence of external disturbances. Hence, in the presence of perturbations (D2 = 1), the second state variable in the worst case will reach the value â&#x20AC;&#x201C;5. From Fig. 4 we can observe that the monotonic convergence to the sliding hyperplane in finite time is obtained. The representative point is not driven precisely on the sliding hyperplane, due to the occurrence of disturbances. During the sliding phase the sliding variable may take a value from the interval [â&#x20AC;&#x201C;Dmax, Dmax].

].

In this paper the issue of limiting the state variables in discrete time sliding mode control influenced by perturbations was analyzed. In our system external disturbances did not have to fulfill the matching conditions, which is beneficial from the practical point of view. Sufficient condition for the fastest, monotonic convergence of the representative point to the sliding hyperplane in finite time was introduced. A simulation example was presented in order to illustrate theoretical considerations. In the future we are going to improve our approach by involving the impact of the initial conditions and modify constant state constraints to the function form.

References 1. Bartolini G., Ferrara A., Spurgeon S. (eds.), New trends in sliding mode control, Special issue: â&#x20AC;&#x153;International Journal of Robust Nonlinear Controlâ&#x20AC;?, Vol. 7, 1997, 297â&#x20AC;&#x201C;427.

2. Bartoszewicz A., Kaynak O., Utkin V.I. (eds.), Sliding mode control in industrial applications, Special section: â&#x20AC;&#x153;IEEE Transactions on Industrial Electronicsâ&#x20AC;?, Vol. 55, 2008, 3805â&#x20AC;&#x201C;4103.

20

P

O

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

22. Bartoszewicz A., LatosiĹ&#x201E;ski P., Reaching law for DSMC systems with relative degree 2 switching variable, â&#x20AC;&#x153;International Journal of Controlâ&#x20AC;?, Vol. 90, Iss. 8, 2017, 1626â&#x20AC;&#x201C;1638, DOI: 10.1080/00207179.2016.1216606.

23. Bartoszewicz A., LeĹ&#x203A;niewski P., Reaching law approach to the sliding mode control of periodic review inventory systems, â&#x20AC;&#x153;IEEE Transactions on Automation Science and Engineeringâ&#x20AC;?, Vol. 11, Iss. 3, 2014, 810â&#x20AC;&#x201C;817, DOI: 10.1109/TASE.2014.2314690.

24. Bartoszewicz A., LeĹ&#x203A;niewski P., Reaching law-based sliding mode congestion control for communication networks, â&#x20AC;&#x153;IET Control Theory & Applicationsâ&#x20AC;?, Vol. 8, Iss. 17, 2014, 1914â&#x20AC;&#x201C;1920, DOI: 10.1049/iet-cta.2014.0503.

25. Bartoszewicz A., LeĹ&#x203A;niewski P., New switching and nonswitching type reaching laws for SMC of discrete time systems, â&#x20AC;&#x153;IEEE Transactions on Control System Technologyâ&#x20AC;?, Vol. 24, Iss. 2. 2016, 670â&#x20AC;&#x201C;677, DOI: 10.1109/TCST.2015.2440175.

26. Chakrabarty S., Bandyopadhyay B., A generalized reaching law for discrete sliding mode control, â&#x20AC;&#x153;Automaticaâ&#x20AC;?, Vol. 52, 2015, 83â&#x20AC;&#x201C;86, DOI: 10.1016/j.automatica.2014.10.124.

27. Chakrabarty S., Bandyopadhyay B., A generalized reaching law with different convergence rates, â&#x20AC;&#x153;Automaticaâ&#x20AC;?, Vol. 63, 2016, 34â&#x20AC;&#x201C;37.

28. Chakrabarty S., Bartoszewicz A., Improved robustness and performance of discrete time sliding mode control systems, â&#x20AC;&#x153;ISA Transactionsâ&#x20AC;?, Vol. 65, 2016, 143â&#x20AC;&#x201C;149, DOI: 10.1016/j.isatra.2016.08.006.

29. Golo G., Milosavljevi Ä&#x152;., Robust discrete-time chattering free sliding mode control, â&#x20AC;&#x153;Systems & Control Lettersâ&#x20AC;?, Vol. 41, Iss. 1, 2000, 19â&#x20AC;&#x201C;28, DOI: 10.1016/S0167-6911(00)00033-5.

30. Niu Y., Ho D.W.C., Wang Z., Improved sliding mode control for discrete-time systems via reaching law, â&#x20AC;&#x153;IET Control Theory & Applicationsâ&#x20AC;?, Vol. 4, Iss. 11, 2010, 2245â&#x20AC;&#x201C;2251, DOI: 10.1049/iet-cta.2009.0296.

31. Bartolini G., Ferrara A., Utkin V.I., Adaptive sliding mode control in discrete-time systems, â&#x20AC;&#x153;Automaticaâ&#x20AC;?, Vol. 31, Iss. 5, 1995, 769â&#x20AC;&#x201C;773, DOI: 10.1016/0005-1098(94)00154-B. 32. Bartoszewicz A., Discrete-time quasi-sliding-mode control strategies, â&#x20AC;&#x153;IEEE Transactions on Industrial Electronicsâ&#x20AC;?, Vol. 45, Iss. 4, 1998, 633â&#x20AC;&#x201C;637, DOI: 10.1109/41.704892.

33. Bartoszewicz A., Time-varying sliding modes for second order systems, Proc. IEE Proceedings â&#x20AC;&#x201C;Control Theory and Applications, Vol. 143, Iss. 5, 1996, 455â&#x20AC;&#x201C;462, DOI: 10.1049/ip-cta:19960535.

34. Bartoszewicz A., Design of a nonlinear time-varying switching line for second order systems, 37th IEEE Conference on Decision and Control, Tampa, USA, 1998, 2404â&#x20AC;&#x201C;2408, DOI: 10.1109/CDC.1998.757765.

35. Bartoszewicz A., Nowacka A., Shifted switching plane design for the third-order system subject to velocity, acceleration and input signal constraints, International Journal of Adaptive Control and Signal Processing, Vol. 21, 2007, 779â&#x20AC;&#x201C;794.

36. Bartoszewicz A., Nowacka A., VSC of the third order system with state and input signal constraints, European Control Conference, Kos, Greece, 2007, 3203â&#x20AC;&#x201C;3210.

37. Bartoszewicz A., Nowacka-Leverton A., ITAE optimal sliding modes for third order systems with input signal and state constraints, â&#x20AC;&#x153;IEEE Transactions on Automation Controlâ&#x20AC;?, Vol. 55, Iss. 8, 2010, 1928â&#x20AC;&#x201C;1932, DOI: 10.1109/TAC.2010.2049688.

38. Corradini M.L., Orlando G., Linear unstable plants with saturating actuators: Robust stabilization by a time varying sliding surface, â&#x20AC;&#x153;Automaticaâ&#x20AC;?, Vol. 43, Iss. 1, 2007, 88â&#x20AC;&#x201C;94, DOI: 10.1016/j.automatica.2006.07.018.

39. Nowacka-Leverton A., Bartoszewicz A., ITAE optimal transient performance in SMC of third order systems with state and input constraints, IEEE Conference on Decision Control, Shanghai, China, 2009, 6720â&#x20AC;&#x201C;6725, DOI: 10.1109/CDC.2009.5400109.

40. Nowacka-Leverton A., Pazderski D., MichaĹ&#x201A;ek M., Bartoszewicz A., Experimental results in sliding mode control of hoisting crane subject to state constraints, SIBIRCON, Irkuck, Russia, 2010, 842-847, DOI: 10.1109/SIBIRCON.2010.5555016.

41. Pietrala M., JaskuĹ&#x201A;a M., LeĹ&#x203A;niewski P., Bartoszewicz A., Sliding Mode Control of Discrete Time Dynamical Systems with State Constraints, Trends in Advanced Intelligent Control, Optimization and Automation, Proc. KKA 2017 â&#x20AC;&#x201C; The 19th Polish Control Conference, KrakĂłw, Poland, 2017, 4â&#x20AC;&#x201C;13, DOI: 10.1007/978-3-319-60699-6_2.

R* " " * " 0& % ) W artykule przeanalizowany zostaĹ&#x201A; problem ograniczenia zmiennych stanu w dyskretnym sterowaniu Ĺ&#x203A;lizgowym. Do zaprojektowania regulatora zastosowano reguĹ&#x201A;Ä&#x2122; osiÄ&#x2026;gania ruchu Ĺ&#x203A;lizgowego. Zaprezentowano warunek dostateczny na monotonicznÄ&#x2026; zbieĹźnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; stanu obiektu do pĹ&#x201A;aszczyzny Ĺ&#x203A;lizgowej w skoĹ&#x201E;czonym czasie. ZaletÄ&#x2026; przedstawionej metody jest to, Ĺźe zakĹ&#x201A;Ăłcenia nie muszÄ&#x2026; speĹ&#x201A;niaÄ&#x2021; warunkĂłw dopasowania. &

X " * * * " * Q* * *

21

The problem of state constraints in designing the discrete time sliding mode controller

- S%

& & " - S%

+$)*" % "

" % )*" % "

B M ! B% % * " " 7 " NF P # ! 7 @ * NF P ,&+C% * % % * " 9 " # ! % ? " 0 0 " * " %

B ! B% % * " " 7 " NF P # ! 7 @ * NF P ,&+C% * % % * " 9 NF P # ! 7 @ * % ? " 0 0 " 0 * " %

& . / - 1 % ) % % ( ! B% % * ,&+, % % * ,&+. 9 " 9 7 " NF P # ! 7 @ * NF P % * * NF P # ! 7 @ 0 * % ? " 0 " ! 9 " 0 " %

22

P

O

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

Pomiary Automatyka Robotyka, ISSN 1427-9126, R. 21, Nr 4/2017, 23â&#x20AC;&#x201C;32, DOI: 10.14313/PAR_226/23

* 7 * " * / T I I Piotr Bilski ' ' ; @ U 7 " % I +CG+D V>" ; X &&0..C '

Abstract: The paper presents the diagnostic applications of artificial neural networks (ANN).

Aims and problems present in the contemporary diagnostics are introduced. The structure of the artificial intelligence-based system is presented and discussed in detail. Various approaches to design the on-line fault detection and location system using artificial intelligence approaches are introduced. The generic architecture of the ANN and its variations are presented. Next, their diagnostic applications, advantages and drawbacks are discussed. Application of RBF ANN-based diagnostic module to detect and identify faults of the 5th order lowpass filter is presented. Finally, usability and limitations of the ANN-based diagnostic system are provided.

8 X T * T 7 * " *

1. Introduction Diagnostics of analog systems is currently a wide domain with numerous applications, closely related to the types of analyzed objects. With the increasing number of such systems (including mechanical and electronic elements), the set of usable approaches also increases. Contrary to the digital object, its analog counterpart is characterized by the continuous transmission and processing of information. Therefore the system may also be in the infinite number of states, generating continuous signals. This makes the diagnostics of analog systems especially difficult. The most popular approaches used in the domain belong to Artificial Intelligence (AI). Their advantages include the autonomous operation (without the input of the human operator), high accuracy with generalization abilities and (in most cases) the ability to update knowledge through the additional learning procedure. Disadvantages include the dependency of the acquired diagnostic knowledge on the available data (use cases) presented during the training of the diagnostic module. Sometimes explanation of the reasoning process (i.e. how the premises were used to draw conclusions) is required. The most popular diagnostic methods, exploited in practice, are Artificial Neural Networks (ANN) [1, 2]. This paper presents the taxonomy, structural and operational details of ANN used for the diagnostic purposes. The structure of the paper is as follows. Section 2 presents diagnostic principles important from the AI-application point of view. In Section 3

# & *: X S 9 ) % % %

# ) ' +,%&J%,&+- % &C%+&%,&+- %

! "" # $%&

the generic diagnostic architecture is introduced with the focus on internal modules. Section 4 covers the ANN work regime from the diagnostic point of view. In Section 5 the main architectures of ANN with their applications are presented. Section 6 presents diagnostics of the 5th order lowpass filter using the RBF ANN-based classifier. In Section 7 summary and future prospects of the discussed ANN are provided.

2. Aims of the diagnostics Diagnostics is aimed at determining the actual state of the analyzed System Under Test â&#x20AC;&#x201C; SUT, based on the observations of the measured signals y(t) being responses to the known excitation x(t). Similarly to the medical and veterinary diagnostics, in technical sciences non-invasive approaches are preferred, where the information about the systemâ&#x20AC;&#x2122;s behavior is available only through the input and output (accessible and partially accessible) nodes (with the maximum set of nodes being hidden, i.e. inaccessible). Therefore the diagnostic system is expected to establish relations (in the form of the unknown function f()) between the observable features of output signals and configuration of parameters p defining the SUTâ&#x20AC;&#x2122;s work regime [1]. The latter can be based on the human expertâ&#x20AC;&#x2122;s experience or the mathematical description of the system.

Alternatively, simulations of the SUT model may provide the information about how it works and how changes in parameters influence behavior of the whole object. Such heuristic models are currently an important source of knowledge about the operating system, used to create data sets for AI-based classifiers. y(t) = f[x(t), p, t]

(1)

As analog systems are widely exploited and belong to the multiple technical domains, it is difficult to propose one universal diagnostic solution for all of them. Criteria determining usage of specific approaches include, among others, the ability to apply excitation signals to the SUT input (impossible in closed

23

m . & . . = A D D loop systems, such as DC motor or industrial installation), character of measured responses (occupation of the frequency band or physical nature – acoustic, electrical, etc. – of the generated signal), or work regime, allowing (or not) for dismantling the system for repairs. In Figure 1 the example of the electronic lowpass 5th order filter is presented. It contains 9 nodes, which, depending on the designer’s choice may be made accessible or not. The excitation is put to the node No. 1, while from the output node (No. 9) responses are measured. Ten elements (resistances and capacitances) determine the frequency characteristics (Fig. 2), therefore their values should be identified during the diagnostic procedure. Nominal values for the 10 kHz cutoff frequency of all elements, are as follows: R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 1 k , C1 = 16 nF, C2 = 19 nF, C3 = 13 nF, C4 = 51 nF and C5 = 49 nF.

− fault location is the process of determining, which parameter is beyond the tolerance margins and therefore the source of the fault. The aim is to determine the discrete number – the identifier of the parameter responsible for the incorrect behavior of the SUT. In the process diagnostics the term “fault isolation” is used. It is important during monitoring of large installations or machines that must operate constantly and can be turned off for repairs only for a short amount of time. − fault identification is aimed at determining, what is the deviation of the faulty parameter from the designed value. This is the most detailed information especially useful in the diagnostics of systems, which cannot be easily opened and disassembled. It allows for compensating the parameter responsible for the fault with the additional signal (which is done in the feedback loops). − fault prediction – based on the current measurement information obtained from the SUT, it is sometimes required to determine, how will the SUT behave in the nearest future.

This aim requires determining trends and considering time and dynamics of changes. It is then used in large installations, such as power plants, but can also be applied to predict the life cycle of complex systems and devices.

Fig. 1. Scheme of the 5-th order lowpass filter Rys. 1. Schemat filtru dolnoprzepustowego 5. rzędu

According to (1), it is assumed that responses measured at accessible nodes are enough to determine the SUT state, which is not always true, as will be discussed later. From response signals characteristic features, which bear information about faults (further called symptoms) are extracted (see Fig. 3). Their form depends on the analyzed domain. For instance, in the time domain these can be positions of extreme values of the signal and the time instances of zero crossings. In the frequency domain spectral components at specific frequencies are used.

Depending on the expected diagnostic accuracy and application of the diagnostic process, the following detailed aims are exploited:

Fig. 3. Extraction of symptoms from the response of the electronic filter from Fig. 1 Rys. 3. Ilustracja pozyskiwania symptomów z odpowiedzi filtru elektronicznego z Rys. 1

All these aims refer to the nominal (compliant to the design specifications) and actual states of the SUT. In the system operating correctly both should be considered the same state.

Determining whether the SUT is in the nominal state or distinguishing between various faulty states is usually difficult because of two factors: − existence of the noise related to the operation of the SUT and the surrounding environment. The noise influences the measurement accuracy, degrading the fault detection and identification. In most cases, the noise is eliminated from the measured signals by de-noising. − tolerances in the values of SUT parameters. They influence behavior of the system leading to changes in the symptoms’ values, which may be misleading for the diagnostic system.

Tolerances are the problem in the real systems (contrary to the computer models), as all constituent elements of the SUT are produced with the finite accuracy. Therefore each produced device or system is slightly different. It may be considered faulty if responses are beyond the predefined margins.

Both phenomena impose application of the diagnostic module operating in the uncertainty conditions (see Section 3). Reaching diagnostic aims is also impeded by Ambiguity Groups (AG),

Fig. 2. Frequency characteristics of the 5-th order lowpass filter from Fig. 1 Rys. 2. Charakterystyka częstotliwościowa filtru dolnoprzepustowego 5. rzędu z Rys. 1

− fault detection, i.e. determining if the analyzed SUT is working correctly or not. This is the main aim in all production processes, where the newly created object must be checked if it meets the design requirements and can be sold. If the SUT is considered faulty, it is disposed of. In the case of on-line diagnostics of constantly working objects (such as motors, servomechanisms) or continuous processes, fault detection is the first step to the more detailed analysis.

24

P

O

M

I

A

R

Y

•

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

•

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

Piotr Bilski which are subsets of SUT parameters hardly distinguishable from each other [2]. Elimination of AG is done by increasing the number of accessible nodes or introducing additional symptoms, which allow for separating various faults.

The types of diagnosed faults are distinguished into parametric and catastrophic ones. The former refer to changes in the SUT parameters that do not modify its topology. Such faults are related with deviations slowly progressing in the SUT because of changing environmental conditions and wearing out its constituent elements. They can be used for determining the actual state of the system after the specified time of operation (to verify if it still meets the designer’s assumptions). Such faults are more difficult to detect and identify especially because it is not easy to determine when the SUT goes out of the nominal state (while the process of changes is continuous). Identification and localization of parametric faults assumes the changes in the parameter are measurable based on output signals and their values proportional to the values of symptoms. Sometimes it does not hold, when the SUT’s behavior has low sensitivity to the particular parameter. On the other hand, catastrophic faults (such as the short circuit in the electronic filter) change structure of the SUT, therefore abruptly influence its behavior.

Such faults are easier to detect and identify.

Most diagnostic approaches (not only AI-based) exploit the SUT model simulation to confront it against the actual system.

Two methods are used here: Simulation Before Test (SBT) and Simulation After Test (SAT) [3]. The first one relies on the extensive exploitation of the model to find dependencies between its internal structure and observable behavior. This is the widely used methodology for all data-driven methods, including the ones using AI. The SAT paradigm uses the SUT model in parallel with the actual system measurement. The residual information is the difference between the simulated and measured symptoms. This scheme is more challenging, as it introduces time limitations for making the decision. The on-line simulation is used in the monitoring systems of large and complex objects, such as nuclear power plants [4, 5]. In this case, ANN are attractive, as they are fast and provide the acceptable accuracy. The ANN presented in this paper are in most cases (with exceptions presented in Section 4) used in the SBT methodology.

3. Diagnostic architecture The general scheme of the diagnostic system is presented in Fig. 4, usually implemented as the combination of software and hardware modules. We assumed here the ability to select excitation signals, adjusted to the specific SUT, which is not always possible (for instance, in electrical machines, or industrial installations). The most important part is the diagnostic algorithm, although its efficiency depends on the set of symptoms used for distinguishing between faults. The symptoms belong to one of the following domains: time (like the duration of the impulse), frequency (values of harmonic components) or mixed (like wavelet coefficients). Based on the set of symptoms s = {s1, …, sm} and knowledge about dependencies between them and values of parameters p = {p1, …, pk}, the diagnostic decision can be made. The source of knowledge may be human- or machine learning – originated. In both cases, the automated diagnostic system is treated as the expert system (Fig. 5), able to perform deductive process on the vector of actual data extracted from the monitored SUT. The automated knowledge extraction from the learning data set allows for creating the knowledge base. It is then used to make decision about the state of the SUT based on the vector of actual symptoms sa. The additional explanation mechanism may be present to describe the deductive process to the human operator. It is used to check if the diagnostic system operates correctly. If needed, changes can be made to the reasoning

mechanism. Implementation of the diagnostic system depends on the exploited AI algorithm. Despite multiple differences between the particular approaches, their advantages include the adaptation to the available data, autonomous operation and, in most cases, ability to extract knowledge from the training data sets. In each category there is usually at least one method tackling data measured in the uncertainty conditions.

y(t)

SUT

response signals

x(t) EXCITATION SIGNALS

DIAGNOSTIC ALGORITHM

s

DAQ AND FEATURES EXTRACTION

decision

Fig. 4. Generic diagnostic architecture Rys. 4. Ogólna architektura diagnostyczna

The diagnostic procedure is implemented in off-line or on-line conditions. In the former, the SUT may be disconnected from the operating environment and then thoroughly tested.

Regarding the moment of collecting knowledge by the diagnostic module, this operation uses the SBT scheme. In the on-line case (when the diagnosed system must be monitored during its normal operation), the SAT approach is applied.

AI is widely used in the diagnostics. Among multiple approaches the most popular are presented in Fig. 6. This taxonomy distinguishes the form of knowledge used during the reasoning process. The rule-based approaches exploit IF THEN structures, combining premises (i.e. conditions that must be met if the rule is to be activated or fired) with conclusions (in this case the diagnostic decision). This gives the legible form of the diagnostic process, which is true for Decision Trees (DT) or Rules Inference (RI) modules. Fuzzy Logic (FL) [6] is the most sophisticated method, operating in the uncertainty conditions, but is devoid of the machine learning algorithm. Therefore knowledge must be provided to the system by human or the additional method. Rough Sets (RS) operate on the similar principle as FL, but require the preceding discretization of symptoms’ continuous values. Numerical approaches mainly cover the Artificial Neural Networks (ANN) and their versions (as will be presented in Sections 4 and 5). Statistical approaches are based on the Bayes theorem and allow for making decision based on the established a priori knowledge and observed a posteriori data. The simplest algorithm is the Naïve Bayes Classifier (NBC), although Bayesian Networks (BN), used mainly in the analysis of industrial systems [7] and Hidden Markov Models (HMM) [8] are applied as well. Finally, distance-based approaches make decision about the fault of the SUT by calculating the distance between the symptoms’ vectors forming the dictionary (data set L containing n labeled vectors of m symptoms – see (2)) and the actual set of measured symptoms sa.

Expert System SUT

y(t)

sa SIGNAL CONDITIONING

REASONING MECHANISM

KNOWLEDGE BASE

EXPLANATION MECHANISM

decision

Fig. 5. Architecture of the AI-based diagnostic system Rys. 5. Architektura systemu diagnostycznego wykorzystującego sztuczną inteligencję

25

m . & . . = A D D

− Classification – the aim here is to determine (based on the values of selected symptoms) the discrete state of the SUT (represented by the category being usually the integer number). The binary classification (“0” or “1” category) is performed only to detect the fault, without the detailed analysis of its source. In the case of catastrophic faults, the multi-class categorization can be performed to determine the faulty element. In the case of parametric faults, the classification requires determining at least the identifier of the faulty element (for the location) and (in the case of the fault identification) its deviation degree from the nominal value. This is more complicated, requiring division of the continuous range of each parameter’s changes into a number of intervals. In the most general configuration, each parameter or element is represented by two codes, determining its value being greater or lesser than the nominal one. To increase the diagnostic resolution, more discrete values to identify may be introduced, such as “much lesser than”, “lesser than”, “greater than” or “much greater than” the nominal value. This way fault codes, usable during the machine learning, can be prepared. For the purpose of AI methods, these values are used to create categories in the data sets (the last column in L (2)). − Regression – the aim is to determine the actual values of the SUT parameters based on the values of symptoms. The operation consists in mapping the vector of features into one or more real-valued parameters.

The additional issue regarding the classification task in diagnostics is that multiple parameters may be the source of the fault. This requires application of specific algorithms able to point out multiple fault codes simultaneously. To achieve that in the ANN-based diagnostic system, the specific coding scheme must be used (see below). Majority of ANN are one-directional networks, where vector of symptoms enters the ANN-based diagnostic system (see Fig. 7). Its neurons are usually organized into layers, between which signals are transmitted, starting from inputs (where no actual calculation is performed), through a number of hidden layers, concluding with the output layer.

This way the ANN can be seen as the “black box”, because the direct relation between the set of symptoms provided to the input of the network and the diagnostic information, produced by the output layer is not known.

Most ANN configurations presented in Fig. 6 are used to perform classification and regression, although prediction is also tried. The number of neurons in hidden layers is the parameter of the network, optimized depending on the data provided during the training. Although there are algorithms of adjusting the number of layers and their neurons in the process, the typical

The most popular method here is the k Nearest Neighbor (kNN) classifier. Among all these methods ANN are the most popular because of their easy implementation (multiple software libraries exist for virtually all programming languages). They will be presented in detail.

(2)

4. Characteristics of ANN All ANN are structures containing neurons (or computational units) strongly interconnected with each other. They are able to perform complex computations using simple mathematical operations, such as multiplication and addition. Each neuron is represented by the activation function, producing the output value o depending on l input values qi [9].

(3)

Activation functions are usually continuous (with exception of Heavyside and signum functions). The simplest one is the linear function, where the output o is just the result of multiplying the matrix W and the input vector q (4). The sigmoidal functions produce continuous values, respectively, between 0 and 1, and –1 and 1. Another popular version is the Gaussian function, used in RBF networks.

(4)

Knowledge obtained during the ANN training has the form of the weights’ matrices W (4), representing connections between particular neurons. Values of weights are optimized during the training to adjust the ANN structure to the solved problem.

According to (4), the ANN signal processing consists in the matrix multiplication, which makes such a system computationally efficient fast and feasible to the on-line diagnostics.

Because of the ability to learn and fast on-line operation, ANN are widely used in two main problems, which are also present in the diagnostics:

Rule-based

Numerical

DT

Distance-based NBC

ANN

kNN

BN HMM

RI FL RS Fig. 6. Taxonomy of AI methods for the diagnostics of analog systems Rys. 6. Klasyfikacja metod sztucznej inteligencji w diagnostyce systemów analogowych

26

P

O

M

I

A

R

Y

•

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

•

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

Piotr Bilski

hidden layers inputs

outputs

s1

d1

sa …

SUT

output layer

sm Bias

dk

Fig. 7. Structure of the ANN-based diagnostic module Rys. 7. Struktura modułu diagnostycznego wykorzystującego sztuczne sieci neuronowe

approach for the design of the optimal diagnostic system is to perform training on the same data set multiple times, for different number of neurons and layers. The type of applied hidden neurons (sigmoidal, Gaussian, etc.) depends on the particular architecture. The number of neurons in the output layer is adjusted to the solved task. In the regression, the number of neurons is the number of predicted parameters. The linear activation function is used here. In the classification task (fault detection, location and identification) the situation is more complex. The sole fault detection is the binary classification problem, therefore the single sigmoidal neuron is enough to do the job.

In the multi-class problem (fault identification and location), there is the need to use multiple binary-valued neurons, which values form binary combinations attributed to the particular fault code. Various coding schemes are used, among which the most popular are One versus All (where each neuron represents the separate category) and Minimum Output Coding (where the combination of outputs forms the identifier). The former is simple and potentially allows for detecting multiple faults. The latter uses the minimum number of neurons. To minimize the probability of classification error, at the expense of additional neurons, the Error Correcting Output Coding may be used [1].

Another aspect of the ANN application in diagnostics is the training mode (see Fig. 8). Most structures are applied in the supervised learning, where the data analyzed to extract knowledge is labeled, i.e. the relation between the set of symptoms and the specific SUT state is known and written into the set, of the form like (2). In some cases such an information is not known and the aim of learning is to determine the relations within data.

Supervised learning RBF

Unsupervised learning SOM

MLP SVM FNN HNN RNN Fig. 8. Taxonomy of the ANN used in diagnostics Rys. 8. Klasyfikacja sztucznych sieci neuronowych wykorzystywanych w diagnostyce

The most popular is supervised learning, where each example in the training set is labeled, i.e. the category of each vector of symptoms is known. In the diagnostics of industrial processes the relation between symptoms and the fault is rarely known, which makes this type of learning not applicable.

In the unsupervised learning no labels of examples are given, so the task for the network is to find dependencies in data (in the form of clusters of similar vectors of symptoms). The base for the process is the set L (2) without the last column. This way fault categories may be created during the training and next used to determine the state of the actual SUT.

5. Diagnostic applications of ANN This section introduces the particular ANN configurations and their diagnostic applications. Each network type is presented, its advantages and drawbacks discussed in detail. All abbreviations refer to the taxonomy of Fig. 8. − Multilayered Perceptrons (MLP) – these are the oldest and the best established networks, used to solve various problems in biological, environmental and technical domains. These are the most general architectures, with potentially multiple hidden layers. The widely used efficient training method of MLP includes the Levenberg-Marquardt algorithm. The MLP were mainly used in fault detection and fault location tasks [10]. They were also implemented in hardware, such as digital signal processor or FPGA [11]. Their typical diagnostic applications include the fault detection in industrial processes, where the failures of particular elements of the system (such as the actuator or the sensors) are monitored [12]. Other applications include classification of faults in the automotive engine [13] based on the vibration signals. Obtained results show the MLP is comparable to the Kalman Filter, often used as the SAT approach in the on-line diagnostics. In [14] the MLP was used to detect catastrophic faults in the measurement instruments being the part of the more complex system.

The number of hidden layers in the applied networks is no greater than two. − Radial Basis Function (RBF) networks – are mainly used in the parameter identification (i.e. regression task) [15], although the classification was tried as well [16]. The RBF architecture contains the single layer with Gaussian activation function and the linear functions in the output layer. RBFs are considered as equally accurate to MLP with the simpler training algorithms. On the other hand, training requires larger data sets, which can be suppressed, using, for instance, correlation method [17]. − Support Vector Machines (SVM) – because analysis of actual SUTs considers uncertainty conditions, methods able to tackle this problem were introduced. The most popular is the

27

m . & . . = A D D

advanced type of ANN, which, through the quadratic programming, positions the hyperplane separating vectors of symptoms belonging to different categories so that the error is minimal, SVM are widely used for both fault identification and regression tasks. The structure of the single SVM, processing m symptoms and producing one output value is presented in Fig. 9. The key operation is the transformation from the original space of features into the optimal one, where various SUT states are easier distinguishable. This is done using the parameterized kernel function K (equivalent of the activation function in the traditional networks). The most popular kernels are linear, polynomial and RBF, although many other can be used [18]. In the case of classification, coding schemes are the same as for other networks. The SVM provide optimal classification and regression results when environmental noise or tolerances of elements are employed. Their disadvantages include a long and complex optimization process, involving selection of the most suitable kernel and its parameters.

Applications of SVM are wide, starting from the analysis of analog circuits [19], through the electrical machines [20], up to industrial installations [21]. During the SVM-based diagnostic system the most important problem is selection of the best values of kernel parameters. Among many approaches tried there are genetic algorithm or simulated annealing [22]. − Fuzzy Neural Networks (FNN) – this is another structure, allowing for operation in the uncertainty conditions. This network is a combination of FL inference system with the training algorithm typical for the ANN. This way five layers are created, each responsible for a single operation in the FL module. The structure of the typical FNN is in Fig. 10.

w1

K(s1,sj)

s

The network operates by activating fuzzy rules, which are used to produce output values. Applications of FNN are similar to SVM, where the diagnosed objects are automotive or electrical motors [23], as well as industrial installations [24]. − Self-Organizing Maps (SOM) – this is the most popular unsupervised learning network, which is trained to create categories (forming groups of similar vectors of symptoms) representing SUT states. The network is one-layered (see Fig. 11), where all neurons are positioned on the plane. During the machine learning, the neurons with weights the most similar to the currently presented vector of symptoms (in the sense of selected distance, such as Euclidean) are trained to react even stronger to these vectors. In the end of training, the neurons reacting to any sets of symptoms are treated as the centers of clusters and represent categories. SOM can be used for the fault identification, but also detect ambiguity groups [25]. Recently, such networks were used in the hierarchical diagnostics system as the introductory classifier [26]. − Recurrent Neural Networks (RNN) – these networks are used in the model-based diagnostics. In their structure the feedback loops are present. Templates representing various SUT states are first inserted into the weight matrix and in the process of switching states the network ends up in the steady state. This way the final diagnostic decision is made. Such networks are used as the SAT approaches to diagnose industrial processes (elements of sugar factory [27]). Other architectures include the application of structures similar to MLP, but with the feedback loops inserted. Such networks are used to solve similar problems as more traditional approaches, like the analysis of induction motor [28] or power electronics elements [29]. − Hierarchical Neural Network (HMM) – this is the more complex structure [30] exploiting ANN architectures presented above. Usually multiple networks are used here, trained on various data sets and for different purposes. For instance, one top-level network is trained to detect faults, while networks at the lower level are responsible for isolating specific faults.

In such architectures the ANN is often combined with other approaches, responsible for the detailed fault identification.

For example, logical inference mechanism was used in the second stage of the power transmission system diagnostic module [31]. Such approaches allow for identifying multiple faults in large scale systems.

+

…

K(s2,sj)

d=sgn(g(s))

wm

K(sm,sj)

Fig. 9. Structure of the binary SVM classifier Rys. 9. Struktura binarnego klasyfikatora SVM

hidden layers

output layers

1(s1)

s1

1(s1)

d1

…

1(s1)

…

j(si)

si

j(si)

dl

…

j(si)

K(sm)

sm

K(sm) K(sm)

Fig. 10. Hybrid structure of the FNN Rys. 10. Struktura hybrydowa rozmytej sieci neuronowej

28

P

O

M

I

A

R

Y

•

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

•

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

Piotr Bilski

s1 …

di

sm

Fig. 11. Structure of the Self-Organizing Map Rys. 11. Struktura mapy samoorganizującej się

The important issue is the correct selection of symptoms extracted from measured signals. Their set depends on the particular SUT and domain of analysis (for instance, in the acoustic analysis, cepstral components of the recorded sound are often used). If collected values are not enough to make all faults distinguishable, the additional method can be introduced to preprocess the data, such as transforming it into the new feature space, where the task would be easier. Although SVM have this feature inherent, in other architectures, such as MLP or RBF the external method is added, like Principal Component Analysis (PCA) or Independent Component Analysis (ICA) [32].

To maximize the accuracy of the diagnostic system, the optimization procedure is often employed. Its task may be to adjust the neurons and weights between them to the training data as the alternative to the traditional learning algorithms [16]. Also, the discrete optimization method can be used to adjust the ANN structure (number of neurons in hidden layers), while the continuous optimization is used to set parameters of the activation functions or kernels, which is done before each training process.

6. Experimental example This section presents the numerical example of the diagnostic system presented in Fig. 7, based on the supervised learning RBF network (i.e. containing the single hidden layer with Gaussian activation function neurons). Contrary to its usual application (i.e. the regression), here this network was used for the classification. This is the part of work presented in [17].

The model of the lowpass filter from Fig. 1 was simulated in the Simulink environment, allowing for producing examples for sets L and T. The diagnostic procedure is performed in the off-line mode (after isolating the SUT from the operating environment). Simulations consisted in putting the excitation sinusoid (1 V amplitude and 9 kHz frequency) to the node No. 1 and recording responses on the output node (No. 9), and all other made accessible during the circuit design. Note that during the model simulation there is the full freedom of selecting the set of available nodes. In the real world the consequences of this operation are additional pins in the casing of the integrated circuit, making the design more complex and expensive.

To create the single example (set of symptoms) from the simulation, the selected SUT parameter was first changed to represent the single parametric fault. Values of other parameters maintained nominal. To incorporate the influence of tolerances

c=-i2

c=-i1

on actual elements, each parameter was changed randomly (with the normal distribution) to have deviations within 10 percent of the original value. The range of parameter changes was 80% of the nominal values, leading to examples representing the SUT behavior for values smaller and larger than the nominal one.

The SUT was analyzed in the time domain, therefore from each output sinusoid, the first three extreme values and zero crossings with their time instants were acquired (as in Fig. 4). This way at each node nine features are collected. Depending on the number of accessible nodes, the cardinality of the set of symptoms varied from 9 (only the output node) to 54 (nodes 2, 4, 5, 7, 8, 9 made accessible). All examples were supplemented with fault codes, i.e. discrete values representing the source of the fault and its intensity. The code [1] consists of the number of the faulty element (subsequent resistances were assigned numbers from 1 to 5, while capacitances – from 6 to 10). The deviation from the nominal value is represented by one of four integers: –2, –1, 1 and 2, standing for “much smaller than”, “smaller than”, “larger than” and “much larger than” the nominal state. This way the code –21 means that the second resistor has the value smaller than the nominal value, while 72 is for the second capacitor with the value much larger than the nominal one. The fault-free state (when all SUT parameters are within tolerance margins, i.e. different than nominal values at no more than 10%) is represented by the code 0. The thresholds separating subsequent deviation levels of the parameter pi were set at 50% and 10% of the nominal value pni, as in Fig. 12. This gives 41 fault codes to distinguish for the ANN-based classifier. Each SUT element was deviated the same number of times, which led to the sets with size of 70 and 180 examples, depending on the number of simulations (7 or 18 for each parameter). Examples for the testing set were acquired the same way, but for different values of parameters. This allows for testing the generalization capabilities of the diagnostic system.

Two sizes of data sets were prepared. In the first case, 7 examples were acquired for each parameter, leading to set size of 70 examples. In the latter case, 18 parameter values were simulated, leading to 180 examples in the set. In the presented experiments both sets will be referred to as L1 and L2 (while the testing sets are labeled as T1 and T2, respectively).

The diagnostic accuracy in the presented case is defined as the relative number of correctly classified examples from the set T:

(5)

The presented experiments were aimed at establishing the following goals (especially important for the architecture of the RBF network): − Determining the influence of the training set size on the fault identification accuracy. − Comparing various output layer coding schemes on the identification accuracy. − Selecting the optimal set of accessible nodes ensuring the acceptable diagnostic accuracy.

Three coding schemes in the output layer were used for experiments: One versus All, Minimum Output Coding and One versus One, determining the number of neurons in the output layer o.

c=i1

c=0

c=i2 pi

pni - pni·0.5

pni -p ni·0.1 pni

pni +p ni·0.1

pni + pni·0.5

Fig. 12. Assignment of the fault code regarding the deviation of the parameter from the nominal value Rys. 12. Przydział kodu uszkodzenia na podstawie odchylenia wartości parametru od nominalnej

29

m . & . . = A D D In the first case 41 categories had to be distinguished (one neuron for each fault category), the second one required 6 neurons (as they are able to encode up to 64 categories), while the OvO scheme required to train 820 networks, each with the single output responsible for distinguishing between two categories.

Parameters of networks during their training included the optimal number of hidden neurons k, width of the Gaussian function s and target error e during the training. The RBF network was implemented using the MATLAB Neural Networks toolbox.

Table 1 presents the accuracy of the diagnostic module for the larger set T2 (with 180 examples) using three coding schemes.

The experiments were conducted on six available nodes, i.e. 2, 4, 5, 7, 8 and 9. The OvO coding is the most effective, despite its most complex structure, requiring multiple (though relatively simple) networks. On the other hand, their hidden layers contain the smallest number of neurons (the average is 8). The latter was determined by repeating the training procedure for the increasing number of neurons. After initial increase of the diagnostic accuracy, the further addition of neurons does not improve the network performance. Therefore the minimum number ensuring the maximum accuracy should be selected. This method requires repeating the training-testing scheme many times and therefore is time-consuming. Alternative approaches consist in optimizing the number of neurons using sensitivity approaches [33]. The training error e in all cases should be close to zero, ensuring the proper adjustment to available data.

Fig. 13. Diagnostic accuracy of the RBF ANN-based classifier depending on the training data set size Rys. 13. Dokładność diagnostyki klasyfikatora wykorzystującego sieć RBF w zależności od rozmiaru zbioru danych

neurons in the hidden layer k are given as well. Addition of nodes closer to the output of the circuit increases the accuracy until no significant improvement can be obtained. This leads to the set of nodes important from the diagnostic point of view, while all others don’t have to be accessible. Note that similar analysis must be performed for every circuit separately. For larger circuits, automated node selection methods are proposed [35].

Table 2. Diagnostic accuracy of the RBF ANN-based classifier (OvA coding) depending on the set of accessible nodes Tabela 2. Dokładność diagnostyki klasyfikatora wykorzystującego sieć RBF (schemat kodowania OvA), w zależności od zbioru węzłów dostępnych

Table 1. Diagnostic accuracy for various RBF network coding schemes Tabela 1. Dokładność diagnostyki dla różnych schematów kodowania w sieci typu RBF

Analyzed nodes

s

k

acc [%]

Coding scheme

s

k

o

e

acc [%]

5

0.3

68

39.55

OvA

0.5

82

41

0.0

81.11

8

0.1

136

51.22

OvO

0.6

8

820

0.0

83.33

9

0.1

161

38.99

MOC

0.3

95

6

0.02

80.56

9,5

0.3

78

60.66

9, 5, 8

0.2

100

76.66

9, 5, 8, 7

0.2

92

77.33

9, 5, 8, 7, 4

0.5

104

77.33

9, 5, 8, 7, 4, 2

0.5

104

81.11

In Figure 13 dependency between the diagnostic accuracy and the size of the training set is presented. As RBF networks are susceptible to the amount of training data, it is important to determine, what is the minimal amount of information required to extract significant diagnostic knowledge. Results in Table 2 show accuracy of the optimal networks, trained on the available sets. The set L1 clearly contains not enough data that would allow for the proper generalization. Only larger sets can be used to obtain the acceptable accuracy. Note that it is unknown, which examples ensure the proper accuracy, therefore the size of the set is of the secondary importance. To determine this parameter, the additional analysis of examples must be performed (for example, exploiting the informativeness criterion [34]).

Table 2 presents the analysis of the diagnostic accuracy depending on the set of accessible nodes for the OvA coding.

Initially, only responses at the node No. 9 are recorded (which is the typical for the real system). It is only sufficient to detect the fault but not enough to determine changes in all parameters. To achieve this goal, more nodes have to be added to the analysis. Because they are located in the filter one after another, experiments consisted in adding data from them in the specified order. The greatest increase in the information about faults is expected to be obtained after adding nodes in the middle and closer to the output. Therefore the following sequence was proposed: 9, 5, 8, 7, 4. For the comparison purposes, results for the analysis of selected single internal nodes were added to illustrate the amount of information obtained from subsequent parts of the circuit. Optimal values of the RBF width s and the number of

30

P

O

M

I

A

R

Y

•

A

U

T

O

M

The presented experiments show usefulness of the RBF network as the parametric fault classifier. Its accuracy depends on the quality of the available data, which depends on: − the number of examples, representing behavior of the SUT for different values of parameters, − the number of accessible nodes (determining its testability), − domains of analysis (selected according to the SUT work regime).

Although the optimization process, i.e. adjustment of the network structure to the available data is time consuming and complex, it is performed in the SBT mode, therefore its duration is of secondary importance. The actual classification procedure is fast even for the most complex OvO scheme. To have idea of the proper network structure prior to the training, the data set processing (such as the correlation analysis) should first be performed. Also, comparison between different variants of the ANN-based diagnostic modules should be made. Currently, there are multiple alternative configurations usable for the diagnostic task, such as the RBF network, MLP or SVM. Selection of the best network may depend on the analyzed case.

A

T

Y

K

A

•

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

Piotr Bilski

].

Multiple applications of the neural networks to the diagnostic domain are related to their wide software and hardware implementations and versatility, making them usable in most contemporary problems. Diagnostics of analog systems often uses various architectures, depending on the particular aim, and specific conditions (like separability of faults based on the available set of symptoms). Although knowledge stored in the ANN structure is illegible for the human expert, ANN are a handy tool, which (after sometimes time consuming optimization) provide high accuracy. The duration of operation is short enough to make them usable in the on-line mode.

Future implementations and development of ANN should cover simplification of architectures with the increase of the generalization ability. Such effects as tolerance of elements or environmental noise require more sophisticated approaches, like RNN or SVM. Hierarchical approaches, although seemingly more complex, may include simple structures of classification/regression machines. This leads to the overall simple and fast diagnostic module. Also, combination of ANN with other AI-based methods should be investigated. Such solutions may be required to solve problems still existing in the domain, such as isolation of multiple faults at the same time [36] or accurate diagnostics of complex systems [1, 37].

References 1.

Bilski P., Artificial intelligence methods in the diagnostics of analog systems, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2013.

2. Stenbakken G.N., Souders T.M., Stewart G.W., Ambiguity groups and testability, IEEE Trans. Instr. and Meas., Vol. 38, Iss. 5, 1989, 941â&#x20AC;&#x201C;947.

3. Grzechca D., Golonek T., Rutkowski J., Analog Fault AC Dictionary Creation â&#x20AC;&#x201C; The Fuzzy Set Approach, Proc. ISCAS 2006, 5744â&#x20AC;&#x201C;5747.

4. Santhosh P.M., Kumar M., Thangamani I., Mukhopadhyay D., Verma V., Rao V.V.S.S., Vaze K.K., Ghosh A.K., Neural network based diagnostic system for accident management in nuclear power plants, Proc. 2nd International Conference on Reliability, Safety and Hazard (ICRESH), Mumbai, India, 14â&#x20AC;&#x201C;16 Dec. 2010, DOI: 10.1109/ICRESH.2010.5779613.

5. Kim K., Bartlett E.B., Nuclear power plant fault diagnosis using neural networks with error estimation by series association, IEEE Trans. on Nuclear Science, 1996, Vol. 43, No. 4, 2373â&#x20AC;&#x201C;2388, DOI: 10.1109/23.531786.

6. Kulkarni M., Abou S.C., Stachowicz M., Fault Detection in Hydraulic System Using Fuzzy Logic, Proc. World Congress on Engineering and Computer Science (WCECS) 2009, Oct. 20â&#x20AC;&#x201C;22, San Francisco, USA. 7. Garza Castanon L.E., Nieto Gonzalez J.P., Garza Castanon M.A., Morales-Menendez R., Fault Diagnosis of Industrial Systems with Bayesian Networks and Neural Networks, â&#x20AC;&#x153;LNCSâ&#x20AC;?, MICAI 2008: Advances in Artificial Intelligence, Oct. 27â&#x20AC;&#x201C;31, Mexico, 2008, 998â&#x20AC;&#x201C;1008.

8. Marwala T., Mahola U., Nelwamondo F.V., Hidden Markov Models and Gaussian Mixture Models for Bearing Fault Detection Using Fractals, Proc. International Joint Conference on Neural Networks, July 16â&#x20AC;&#x201C;21, 2006, Vancouver, Canada, 3237â&#x20AC;&#x201C;3242.

9. Engelbrecht A.P., Computational Intelligence: An Introduction, John Wiley & Sons, 2007.

10. Khomfoi S., Tolbert L.M., Fault diagnosis system for a multilevel inverter using a neural network, Proc. 31st Annual Conference of IEEE Industrial Electronics Society, Raleigh, NC, USA, 6â&#x20AC;&#x201C;10 Nov., 2005.

11. Sahin S., Becerikli Y., Yazici S., Neural Network Implementation in Hardware Using FPGAs, â&#x20AC;&#x153;LNCSâ&#x20AC;?, 4234, ICONIP 2006, Part III, 2006, 1105â&#x20AC;&#x201C;1112.

12. Maki Y. Loparo K.A., A Neural-Network Approach to Fault Detection and Diagnosis in Industrial Processes, â&#x20AC;&#x153;IEEE Trans. Control Systems Techn.â&#x20AC;?, Vol. 5, No. 6, Nov 1997, 529â&#x20AC;&#x201C;541.

13. Ahmed R.M., El Sayed M.A., Gadsden S.A., Habibi S.R., Fault Detection of an Engine Using a Neural Network Trained by the Smooth Variable Structure Filter, Proc. IEEE Int. Conf. Control Applications (CCA), Denver, CO, USA. September 28â&#x20AC;&#x201C;30, 2011, 1190â&#x20AC;&#x201C;1196.

14. Bernieri A., Betta G., Pietrosanto A., Sanson C., A Neural Network Approach to Instrument Fault Detection and Isolation, â&#x20AC;&#x153;IEEE Trans. Instr. Meas.â&#x20AC;?, Vol. 44, No. 3, 1995, 747â&#x20AC;&#x201C;750.

15. Yang M.-S., Yang J.-H., On Parameter Estimation of Control Chart Patterns Using RBF Neural Network, 4th IEEE Conference on Industrial Electronics and Applications, ICIEA, 25â&#x20AC;&#x201C;27 May 2009, Xiâ&#x20AC;&#x2122;an, China, 1498â&#x20AC;&#x201C;1502.

16. Cui L., Wang C., Yang B., Application of RBF Neural Network Improved by PSO Algorithm in Fault Diagnosis, â&#x20AC;&#x153;Journal of Theoretical and Applied Information Technologyâ&#x20AC;?, Vol. 46, No. 1, 2012, 268â&#x20AC;&#x201C;273.

17. PoĹ&#x201A;ok B., Bilski P., Optimization of the neural RBF classifier for the diagnostics of electronic circuit, 15th IMEKO TC10 Workshop, 6â&#x20AC;&#x201C;7 July, 2017, Budapest, Hungary, 121â&#x20AC;&#x201C;126.

18. Drewnik M., Pasternak-Winiarski Z., SVM Kernel Configuration and Optimization for the Handwritten Digit Recognition, Proc. CISIM 2017, 16â&#x20AC;&#x201C;18 June 2017, BiaĹ&#x201A;ystok, Poland, 87â&#x20AC;&#x201C;98.

19. B. Long M. Li, H. Wang, S. Tian, Diagnostics of Analog Circuits Based on LS-SVM Using Time-Domain Features, â&#x20AC;&#x153;Circuits, Systems, and Signal Processingâ&#x20AC;?, Dec. 2013, Vol. 32, No. 6, 2683â&#x20AC;&#x201C;2706.

20. Kurek J., Osowski S., Support vector machine for fault diagnosis of the broken rotor bars of squirrel-cage induction motor, â&#x20AC;&#x153;Neural Computing and Applicationsâ&#x20AC;?, Vol. 19, Iss. 4, 2010, 557â&#x20AC;&#x201C;564, DOI: 10.1007/s00521-009-0316-5 21. DeĂĄk K., Kocsis I., VĂĄmosi A., Keviczki Z., Failure Diagnostics with SVM in Machine Maintenance Engineering, â&#x20AC;&#x153;Annals of the Oradea Universityâ&#x20AC;?, No. 1, 2014, 19â&#x20AC;&#x201C;24.

22. Bilski P., Automated selection of kernel parameters in diagnostics of analog systems, â&#x20AC;&#x153;PrzeglÄ&#x2026;d Elektrotechnicznyâ&#x20AC;?, No. 5, 2011, 9-13.

23. Dong M., Cheang T., Chan S., On-Line Fast Motor Fault Diagnostics Based on Fuzzy Neural Networks, â&#x20AC;&#x153;Tsinghua Science and Technologyâ&#x20AC;?, Vol. 14, No. 2, 2009, 225â&#x20AC;&#x201C;233.

24. Calado J.M.F., Sa da Costa J.M.G., A Hierarchical Fuzzy Neural Network Approach for Multiple Fault Diagnosis, UKACC International Conference on CONTROL â&#x20AC;&#x2DC;98, 1â&#x20AC;&#x201C;4 September 1998, 1498â&#x20AC;&#x201C;1503.

25. Bilski P., Ambiguity groups detection in analog systems diagnostics using Self-Organizing Maps, Proc. IMEKO TC10 Workshop, June 27â&#x20AC;&#x201C;28 2016, Milan, Italy, 294â&#x20AC;&#x201C;299.

26. Bilski P., Unsupervised learning-based hierarchical diagnostics of analog circuits, 15th IMEKO TC10 Workshop, 6-7 July, 2017, Budapest, Hungary, 99â&#x20AC;&#x201C;104.

27. Mirea L., Ron J. Patto, Recurrent Wavelet Neural Networks Applied to Fault Diagnosis, 16th Mediterranean Conference on Control and Automation Congress Centre, Ajaccio, France June 25â&#x20AC;&#x201C;27, 2008, 1774â&#x20AC;&#x201C;1779.

28. Xuhong W., Yigang H., Diagonal Recurrent Neural Network Based On-line Stator Winding Turn Fault Detection for Induction Motors, Proc. Eighth International Conference on Electrical Machines and Systems, 27â&#x20AC;&#x201C;29 Sept. 2005, Nanjing, China, 2266â&#x20AC;&#x201C;2269.

31

m . & . . = A D D

29. Xu X., Chen R., Recurrent Neural Network Based On-line Fault Diagnosis Approach for Power Electronic Devices, Third International Conference on Natural Computation (ICNC 2007).

30. Patan K., Obuchowicz A., Korbicz J., Cascade network of dynamic neurons in fault detection systems, European Control Conference (ECC), 1999, 4232â&#x20AC;&#x201C;4237.

31. Huang Y.-C., Yani H.-T., Huang C.-L., A New Intelligent Hierarchical Fault Diagnosis System, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 12, No. 1, 1997, 349â&#x20AC;&#x201C;356.

32. Dai H., He J., A Novel Fault Diagnosis Method for Rolling Element Bearings Using Kernel Independent Component Analysis and Genetic Algorithm Optimized RBF Network, â&#x20AC;&#x153;Research Journal of Applied Sciences, Engineering and Technologyâ&#x20AC;?, Vol. 6, No. 5, 2013, 895â&#x20AC;&#x201C;899.

33. LeCun Y., Denker J., Solla S., Optimal brain damage, Advances in NIPS2, Morgan Kaufman, San Mateo, 1900, 598â&#x20AC;&#x201C;605.

34. Bilski P., Mazurek P., Wagner J., Application of k Nearest Neighbors Approach to the Fall Detection of Elderly People Using Depth-Based Sensors, Proc. IDAACS 2015 Conference, 24â&#x20AC;&#x201C;26 Sept. 2015, Warsaw, Poland, 733â&#x20AC;&#x201C;739.

35. Bilski A., Wojciechowski J., Automatic parametric fault detection in complex analog systems based on a method of minimum node selection, â&#x20AC;&#x153;Int. J. Appl. Math. Comput. Sci.â&#x20AC;?, Vol. 26, No. 3, 2016, 655â&#x20AC;&#x201C;668, DOI: 10.1515/amcs-2016-0045.

36. Korbicz J., KoĹ&#x203A;cielny J.M., Kowalczuk Z., Cholewa W., Fault Diagnosis. Models. Artificial Intelligence. Applications, Springer Verlag, 2004.

37. BartyĹ&#x203A; M., Chosen Issues of Fault Isolation. Theory, Practice and Applications, PWN, Warszawa 2014.

* "F * "

Streszczenie: W artykule przedstawiono zastosowania sztucznych sieci neuronowych w diagnostyce systemĂłw analogowych. Opisano gĹ&#x201A;Ăłwne cele diagnostyki oraz problemy spotykane obecnie podczas detekcji i lokalizacji uszkodzeĹ&#x201E;. Wprowadzono ogĂłlnÄ&#x2026; strukturÄ&#x2122; systemu diagnostycznego opartego na metodach sztucznej inteligencji. Przedstawiono róşne metody inteligentne, ktĂłre mogÄ&#x2026; zostaÄ&#x2021; zastosowane w systemie dziaĹ&#x201A;ajÄ&#x2026;cym w trybie on-line. NastÄ&#x2122;pnie omĂłwiono ogĂłlnÄ&#x2026; architekturÄ&#x2122; sztucznej sieci neuronowej oraz jej cechy szczegĂłlnie istotne z punktu widzenia detekcji i lokalizacji uszkodzeĹ&#x201E;. Specyficzne architektury sieci wraz z ich zastosowaniami diagnostycznymi przedstawiono w szczegĂłĹ&#x201A;ach. Na przykĹ&#x201A;adzie filtru dolnoprzepustowego 5. rzÄ&#x2122;du przedstawiono dziaĹ&#x201A;anie metody diagnostycznej wykorzystujÄ&#x2026;cej sieÄ&#x2021; neuronowÄ&#x2026; typu RBF. OmĂłwiono moĹźliwoĹ&#x203A;ci i ograniczenia stosowalnoĹ&#x203A;ci sztucznych sieci neuronowych jako narzÄ&#x2122;dzia diagnostycznego. &

X * * "F *

Piotr Bilski, PhD, DSc 9 ) % % % ? 9 +D-- R % ? * 7 " ' # !

7 @ * U 7 8 0 9 * B * ,&&+ V X * ,&&. V X * ,&+O "0 % / 0 7 U 7 8 0 B " @ 0 * ' # ! 7 @ * % ? 7 * 7 * " * 7 ! " 7 7 * " * " ! " % ? " "9 7 U;;; UB;ER @ +& R( /8 ! 7 0 B " U;;; @ U " B 0 " ;K " / % ? 7 0 + 9 C$ V+D 7 " M 8 X .- 7 0 - 9 %

32

P

O

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

Pomiary Automatyka Robotyka, ISSN 1427-9126, R. 21, Nr 4/2017, 33â&#x20AC;&#x201C;39, DOI: 10.14313/PAR_226/33

( 0 ! 9 * B/@(/SG " / 2 " 3

% - 4

" # @ * ' ; E " F % * $- -&0$+$

& %&) In this paper, low cost air levitation project is presented as a teaching tool for control engineering. Air levitation control system is built as a classroom demonstration device and laboratory stand. The laboratory stand provides a new plant to control for students of control engineering.

It is comprised of Arduino Mega 2560, plexiglass, metal elements and 3D printed parts.

8 X 0 9 * * ! 0 " " "

1. Introduction Student access to laboratory experiments is critical in education because engineering is a practical discipline. Universities give huge financial support in providing traditional laboratory stands for physics, mathematics, robotics and other fields of science. Advanced learning technologies have emerged to enhance learning, support new inventions and improve interest in engineering studies. Laboratories are a common part of engineering education, therefore more and more universities began to build more low-cost laboratory stands. Research shows that hands-on laboratory experiments help students understand and apply course material [1, 2]. A classroom demonstration device is always very helpful in teaching engineering courses particularly for control engineering and robotics. With the rise in popularity of using low-cost hardware there are new alternatives to teach control engineering in practice. Some affordable laboratory devices for engineering education have already been developed [3â&#x20AC;&#x201C;11], such as the Mobile Studio IOBoard used in introductory circuits courses [6]. One of the devices which are able to teach a wide range of algorithms used in control engineering are levitation laboratory stands. Levitation project systems have long been used in control system laboratories [12â&#x20AC;&#x201C;14]. Levitation is a process in which an object is suspended against gravity by a physical force. Many methods can be used as the levitating medium, including magnetic repulsion, viscous liquids, sound waves and air currents. Interesting example of levitation is based on air flow. Air levitation uses an air stream provided by a fan to obtain the levitating force on a ping-pong ball. This phenomenon stems from Bernoulli principle [15]. Controlling the ping-pong ball is a challenging task and it requires a control

# & *: X ; % )*" % "

# ) ' &.%++%,&+- % +,%+,%,&+- %

! "" # $%&

system. The air levitation control system is considered as an interesting and impressive device for educational purpose.

These projects are appropriate for lab stations, but they require custom construction of the stand and dissipate considerable power. This kind of projects are good teaching tools and help to teach control theory. In addition, the system is simple and small that is very convenient to be carried from class to class. Moreover, it requires a little space and little amount of power. This kind of laboratory stand can be an environment for implementing a variety of controllers, for instance: proportional-integral-derivative controller, hybrid controller, predictive controller, fuzzy logic controller and others which are used for nonlinear systems.

In this paper, portable and affordable laboratory stand is designed to support the accompanying curriculum for the introductory controls course in control engineering at the Faculty of Electrical Engineering at West Pomeranian University of Technology in Szczecin. In particular, a description of the air levitation laboratory stand is presented and some example with identification, optimization and proportional-integral-derivative controller. The objective is to design low-cost stand with educational functionality. The laboratory stand uses new technology tools: Arduino Mega 2560 and MATLAB/Simulink. This stand increases the accessibility of the controls laboratory experience for students, can result in improvement of the level of teaching and is a good teaching tool for general engineering students. The stand design consists of Arduino Mega 2560, an axial box fan usually used for cooling electrical equipment, sonar sensor and the various circuits to drive the motor, to measure speed, and perform identification. The objective of this system is to enable endto-end student implementation of a variety of control systems. This includes implementation of sophisticated system identification, design of control algorithms, and experimental verification. One of the primary objectives in designing the air levitation lab stand was to ensure that it could be easily adopted by any student, regardless of how they want to learn.

A primary objective of the air levitation stand is to provide students with a testbed on which they can develop and empirically verify control algorithms.

33

Low-cost air levitation laboratory stand using MATLAB/Simulink and Arduino

Fig. 1. Scheme of air levitation laboratory stand Rys. 1. Schemat stanowiska laboratoryjnego do realizacji zadania lewitacji powietrznej

Fig. 2. An assembled air levitation system. The controller senses the position of the object with ultrasonic sensor and drives the current in the fan to maintain levitation Rys. 2. Zbudowane stanowisko laboratoryjne do lewitacji powietrznej.

Sterownik wyznacza poĹ&#x201A;oĹźenie obiektu za pomocÄ&#x2026; czujnika ultradĹşwiÄ&#x2122;kowego i wypracowuje sygnaĹ&#x201A; sterujÄ&#x2026;cy do wentylatora, tak aby obiekt lewitowaĹ&#x201A; w powietrzu

Y. 9,

,

The air levitation laboratory stand presented in this paper has a minimalist design in order to be cheap and easy to replicate, rebuild and repair. The system has been built using the following components presented in fig.1: 1) an ultrasonic sensor, 2) a plexiglass tube, 3) a ping-pong ball, 4) a wooden plate with a hole 5) a 3D printed cylinder, 6) plexiglass plates, 7) a fan, 8) a control unit and 9) threaded rods.

Figure 2 shows an assembled air levitation system. In order to achieve an air stream capable of levitating a ping pong ball, a fan with high air volume and static pressure was required.

Several fan styles were considered for this project including a centrifugal and a axial fan. The final source of air is an DC axial fan with radius of 4.5 cm. It is inserted into a hole in a horizontal sheet of plexiglass, blowing upwards. 3D printed element in the shape of roller and cone (black element in the bottom of the pipe) is to concentrate the air flow directly from the fan in the bottom. The fan is controlled by Pulse-Width Modulation (PWM) signal. The Low-Voltage H-Bridge Driver DRV883x can supply up to 1.8 A of output current. It operates on a motor power supply voltage from 0 V to 11 V. Once the fan is chosen, a proper outlet port and connector is needed. In particular, the system is designed with Arduino self-designed shield. The main controller of the system is Arduino Mega 2560.

To measure the distance of the ping-pong ball from the device, both sonar and infrared sensors were tested. Tested Infra-Red (IR) Sharp distance sensors. have inadequate detection ranges for the ball levitation task, with a deadband of about 10â&#x20AC;&#x201C;20 cm for measurement up to 100 cm, while sonar offered detection at distances from 2 cm to 200 cm with a ranging accuracy that can reach up to 3 mm. Other components of the system are plexiglass, metal bars, leds, buttons and metal holder for sensor, which provides stable position over the pipe to allow air flow.

34

P

O

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

Diagram of the air levitation system is shown in fig. 3. In this system, the position of the levitated object is measured by a ultrasonic sensor. The output voltage of the motor drives the input of a low-cost motor drive, which produces a pulsewidth modulated signal for fan control. This PWM signal controls air flow in the pipe.

{.

The dynamic equation for air levitation system is obtained on the basis of the Newtonâ&#x20AC;&#x2122;s second law of motion. The aerodynamic lift has been studied in [16â&#x20AC;&#x201C;18]. Air levitation is system

Fig. 3. Diagram of air levitation system. The position of the levitated object is sensed by the ultrasonic sensor: HC-SR04. The output voltage of the sensor drives the input of the fan. The controller produces a PWM signal to the fan which controls the air flow Rys. 3. Schemat systemu lewitacji powietrznej. Pozycja obiektu lewitujÄ&#x2026;cego jest mierzona przez czujnik ultradĹşwiÄ&#x2122;kowy: HC-SR04.

NapiÄ&#x2122;cie wyjĹ&#x203A;ciowe czujnika wpĹ&#x201A;ywa na wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; sygnaĹ&#x201A;u sterujÄ&#x2026;cego wentylatorem. Sterownik wytwarza sygnaĹ&#x201A; PWM dla wentylatora, ktĂłry z kolei steruje przepĹ&#x201A;ywem powietrza

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

consists of a ping-pong ball of mass m, which is placed underneath the fan at distance x in plexiglass. The current flowing into the fan will generate air flow force to attract the ball bearing. The net force between the air flow force and gravitational force will induce an up or down motion of the ball bearing. The ultrasonic sensor measures the distance between the bottom of the pipe and the ball. In this way, sensor provides the information about position of the ball. The systemâ&#x20AC;&#x2122;s dynamic equations can be obtained as:

results for the designed control system. Due to the complexity of the system, linear model is obtained. Determining the response of a system at an operating point is a critical step in system and controller design. To find a linear model of the designed system, linearization of air levitation is calculated.

The operating point has the following values: x0 = 45 cm (3) u0 = 230

(1) where: Fw â&#x20AC;&#x201C; air flow force (function), w â&#x20AC;&#x201C; speed of the fan, t â&#x20AC;&#x201C; delay associated with the moment of inertia of a fan, c â&#x20AC;&#x201C; fan coefficient (shape, number of blades and radius), m â&#x20AC;&#x201C; mass of the ball, g â&#x20AC;&#x201C; gravitational acceleration, x â&#x20AC;&#x201C; distance between ultrasonic sensor and ball.

The air levitation system is an unstable nonlinear system.

The air flow force is a function of three parameters: speed of the fan, fan coefficient (shapes, blades and radius) and delay associated with the moment of inertia. As control systems are concerned, this system is with one input and one output (SISO). The input signal is the air flow force generated by fan and output is the distance between the sensor and the top of the ball. The system dynamic equations are nonlinear.

This is due to nonlinear description of the air stream, which subjects to the Bernoulliâ&#x20AC;&#x2122;s equation [19]. This equation makes an interesting prediction about the relationship between the pressure and the speed of a moving ideal fluid: (2) where: p1, p2 â&#x20AC;&#x201C; static pressure of air at the cross section (pressure energy), r â&#x20AC;&#x201C; density of the flowing air, h1, h2 â&#x20AC;&#x201C; distance between ultrasonic sensor and ball, v1, v2 â&#x20AC;&#x201C; mean velocity of fluid flow at the cross section The air levitation works on Bernoulli principle: the faster air moves, the lower static pressure is, and the higher is dynamic pressure. In the experiments, one side of the ping balls is in contact with a low pressure (due to the airflow) which creates a pressure gradient, the other side of the ball is in contact with a higher pressure which results in the ball being pushed towards the region of low pressure. Placing ball in the tube allow to achieve higher heights but the Bernoulli principle still works. This is because the tube accumulates the air increasing the speed around the ball and allow the ball to go higher. As air is blown out from the fan, air flow at high speed and this creates a region of low pressure across the top of the pipe. The still air around the ball is at a higher pressure and pushes on the ball and causes it to stay in the air.

where u0 is a PWM output signal, which ranges from 0 to 255 and represents the value of the PWM duty cycle. The point (3) is chosen because it provides stable behavior of the system: the ball is able to float slightly in the center of the pipe for a few seconds. In fact, operating points with a strongly nonlinear character are not suitable for linearization. Next, an offset in model output and model input have to be included:

(4)

Input-output data from real-time experiment is used to apply least-squares method to the process of identification.

First, the input signal in fig. 4 is generated.

In the next step of identification process, having input and output data from the same experiment allows conducting model identification. However, before that, the proper model structure is selected. For discrete-time model estimation, transfer function with one pole and without zeros is chosen.

This model is selected by an empirical method â&#x20AC;&#x201C; it shows relatively good fit to the process at the smallest possible order of the model. Nonetheless, higher-order models has been also tested. In this way, the discrete-time transfer function is obtained in the following form:

(5)

The identification provides percent fit to estimation data equals 77.32%. The model identified around the operating point is linear and has a sample time of 0.2 s.

Figure 5 depicts data collected directly from the designed real-time system and the response of the calculated model described by (5).

^. _&

_ & In this section the results of the real-time research are presented. The objective of the experiment is to levitate a ping pong ball in a transparent tube. An aerodynamic force is produced by an axial fan and applied to a ping pong ball in a plexiglass tube. The ball position in the tube is measured with a distance sensor. A proportional-integral-derivative controller (PID) is designed in Simulink and implemented on Arduino Mega 2560. System identification and optimization techniques are used to control this nonlinear system. The main purpose of this section is to show the identification and the optimization

Fig. 4. Input signal for the identification experiment Rys. 4. Zadany sygnaĹ&#x201A; wejĹ&#x203A;ciowy na potrzeby eksperymentu identyfikacyjnego

35

Low-cost air levitation laboratory stand using MATLAB/Simulink and Arduino There is a input signal for verification in fig. 6. and results are presented in fig. 7. It can be seen, that the obtained model has similar output signal as the real-time system. Thus, the calculated model is correct and can be used in the next task: optimization.

In order to tune parameters of PID controller, the optimization model is needed. First, the optimization task is explained.

In fig. 8 the optimization model is presented where k1, k2, k3 are all non-negative coefficients for the proportional, integral, and derivative terms. This is an example of model for students which can be used as an introduction to control systems and optimization. In the optimization model, the error is presented as following equation:

It is important to highlight that, verification of new model is necessary to fulfill the identification task. It examines the behavior of the model with a different input signal. This step is crucial because it shows the estimation error, decides the correctness of the model and its usefulness.

e~ = x~ref − x~

(6)

where ~ xref is the set point and is an actual reading from the sensor and ~ x is the process value (current position of the ball).

By tuning the three parameters of the model, a PID controller can deal with specific process requirements. Consider, the problem of finding the optimal values of the parameters of a dynamic system in fig. 8. In the case of air levitation system cost function can be defined by the following relations: Fig. 5. Model output and plant output – identification Rys. 5. Sygnał wyjściowy modelu i obiektu rzeczywistego – identyfikacja

[

]

J = ∑ x~ref (k ) − x~ (k ) 2 k

(7)

The optimization problem can be defined in the following form: (8) where optimization variables and constraints are dependent on the controller structure: k = [k1, k2, k3], k1 t 0, k2 t 0, k3 t 0

(9)

Tuning of the control system is based on the genetic algorithm optimization with default parameters: population size: 50, initial population range: [–10; 10] and crossover fraction: 0.8. In the result of optimization process, the PID coefficients have following values: Fig. 6. Input signal for the verification of the evaluated model in the process of identification Rys. 6. Sygnał wejściowy do weryfikacji wyznaczonego modelu w procesie identyfikacji

k1 = 5.6, k2 = 0.0004, k3 = 0.0025 (10) The primary software package is MATLAB and Simulink.

A useful set of MATLAB/Simulink and Arduino Support

Fig. 7. Model output and plant output – verification Rys. 7. Sygnał wyjściowy modelu i obiektu rzeczywistego – weryfikacja

Fig. 8. Model used for the optimization problem described by (8) Rys. 8. Model zastosowany do problemu optymalizacji opisanego zależnością (8)

36

P

O

M

I

A

R

Y

•

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

•

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

for Simulink package tools provides communications blocks.

These libraries are very helpful in setting up built in functions. There are also several predefined functions in MATLAB and Simulink that make it easier for students to develop code.

Students can manually tune a PID controller in simulation

Fig. 9. Control loop of air levitation control in Simulink Rys. 9. PÄ&#x2122;tla sterowania obiektem lewitacji powietrznej w programie Simulink

Fig. 10. Reference value of height and real-time air levitation system response Rys. 10. WartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; referencyjna wysokoĹ&#x203A;ci i odpowiedĹş systemu lewitacji w czasie rzeczywistym

before verifying its performance in real time system. All of the models are run in Simulinkâ&#x20AC;&#x2122;s external mode or are deployed to hardware via USB connection and work standalone. External mode allows the data to be viewed while the simulation is running. When the Simulink model is run in External mode, data can collected and viewed as the code runs via scopes or other sinks provided in Simulink. The models were built and tested in MATLAB Release 2014b. An S-function builder block is used to generate the signal from ultrasonic sensor. Communication blocks from Arduino Support package for Simulink are used for manual interface and fan control. The real-time closed loop control system is presented in fig. 9.

The designed control system uses PID to keep the ball in the reference position. To observe the performance on a physical air levitation stand, the obtained coefficients (10) are used.

The reference value and output of the air levitation real-time system are shown in fig. 10.

It can be seen in fig. 10 that, values from the sonar sensor are with some noise. Despite of this, the ping-pong ball reaches the reference position with small oscillations. The input signal of the air levitation system is presented in fig. 11.

Output of the PID controller is limited: from 212 to 255 because for this values of speed, ping-pong ball is able to achieve different positions. The value of 229.5 corresponds to position in which the ball is in the center of the tube.

Z.

An intuitive interface and easy programming environment in Simulink is proper for control engineer who do not have an advanced knowledge in programming but in control theory.

This low-cost air suspension stand provides students with a plant for implementing control algorithms. Moreover, the ultrasonic sensor and a PC fan is an inexpensive and adequate solution to make the laboratory stand replicable and mobile. The total cost of the laboratory stand provided to the students is under $80. Meeting these goal made it possible to let the students deeper their knowledge about control systems using real-time hardware and software. These components enabled students to work providing all the capabilities of a traditional laboratory. The results of the work can be seen in the video [20]. The great success of this stand has trigger improvements in other laboratories. In addition, there are also plans to use the designed laboratory stand as low-cost platform for research.

References

Fig. 11. Input signal of real-time air levitation system Rys. 11. SygnaĹ&#x201A; wejĹ&#x203A;ciowy systemu lewitacji w czasie rzeczywistym

1. Ma J., Nickerson J.V., Hands-on, simulated, and remote laboratories: A comparative literature review, â&#x20AC;&#x153;ACM Computing Surveysâ&#x20AC;?, Vol. 38, No. 3, 2006, DOI: 10.1145/1132960.1132961.

2. Feisel L.D., Rosa A.J., The role of the laboratory in undergraduate engineering education. Journal of Engineering Education, Vol. 94, Iss. 1, 2005, 121â&#x20AC;&#x201C;130, DOI: 10.1002/j.2168-9830.2005.tb00833.x.

3. Wojtulewicz A., Chaber P., Ĺ awryĹ&#x201E;czuk M., Multiple-input multiple-output laboratory stand for process control education. [in:] 21st International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR), 2016, 466â&#x20AC;&#x201C;471.

4. Artigas J.I., BarragĂĄn L.A., Llorente S., Marco A., LucĂ­a O., Low-Cost Magnetic Levitation System for Electronics Learning, 4th IEEE International Conference on E-Learning in Industrial Electronics, 2010, 55â&#x20AC;&#x201C;60, DOI: 10.1109/ICELIE.2010.5669845.

37

Low-cost air levitation laboratory stand using MATLAB/Simulink and Arduino

13. Lundberg K.H.; Lilienkamp K.A.; Marsden G., Low-cost magnetic levitation project kits. â&#x20AC;&#x153;IEEE Control Systemsâ&#x20AC;?, Vol. 24, Iss. 5, 2004, 65â&#x20AC;&#x201C;69, DOI: 10.1109/MCS.2004.1337863.

14. Glehn G., Appunn R., Hameyer K., A small scale magnetically levitated train for project-based laboratory education. â&#x20AC;&#x153;Archives of Electrical Engineeringâ&#x20AC;?, Vol. 64, Nr 4, 2015, 617â&#x20AC;&#x201C;628, DOI: 10.1515/aee-2015-0046.

15. Waltham C., Bendall S., Kotlicki A., Bernoulli levitation. â&#x20AC;&#x153;American Journal of Physicsâ&#x20AC;?, Vol. 71, No. 2, 2003, 176179, DOI: 10.1119/1.1524162.

16. Timmerman P., van der Weelea J.P., On the rise and fall of a ball with linear or quadratic drag. â&#x20AC;&#x153;American Journal of Physicsâ&#x20AC;?, Vol. 67, Iss. 6, 1999, 538â&#x20AC;&#x201C;546, DOI: 10.1119/1.19320.

17. Jernigan S.R., Fahmy Y., Buckner G.D., Implementing a Remote Laboratory Experience Into a Joint Engineering Degree Program: Aerodynamic Levitation of a Beach Ball. â&#x20AC;&#x153;IEEE Transactions on Educationâ&#x20AC;?, Vol. 52, Iss. 2, 2009, 205â&#x20AC;&#x201C;213, DOI: 10.1109/TE.2008.924217.

18. EscaĂąo J.M., Ortega M.G., Rubio F.R., Position control of a pneumatic levitation system. Proceedings of the 10th IEEE International Conference on Emerging Technologies and Factory Automation, Catania, Italy, 19â&#x20AC;&#x201C;22 September 2006, DOI: 10.1109/ETFA.2005.1612568.

19. Qin R., Duan C., The principle and applications of Bernoulli equation. Journal of Physics: Conference Series (Vol. 916, No. 1, p. 012038), 2017, IOP Publishing, DOI: 10.1088/1742-6596/916/1/012038.

20. ChoĹ&#x201A;odowicz E., Air levitation of ping-pong PID and inverse model control in MATLAB/Simulink, [on-line] https://www.youtube.com/watch?v=-ym_oQwLcf0, available 1.09.2017.

5. Knapkiewicz P., Melnyk M., Teslyuk V., Dziuban J., Lobur M., Szermer M., Mechatronic laboratory stand. [in:] XII International Conference on Perspective Technologies and Methods in MEMS Design (MEMSTECH), 2016, 31â&#x20AC;&#x201C;33, DOI: 10.1109/MEMSTECH.2016.7507514.

6. Millard D., Chouikha M., Berry F., Improving student intuition via Rensselaerâ&#x20AC;&#x2122;s new mobile studio pedagogy. [in:] Proceedings of the 114th Annual ASEE Conference and Exposition, Honolulu, HI, 2007.

7. Czyba R., Niezabitowski M., Sikora S., Construction of laboratory stand and regulation in ABS car system. [in:] 17th International Carpathian Control Conference (ICCC), 2016 140â&#x20AC;&#x201C;145, DOI: 10.1109/CarpathianCC.2016.7501082.

8. Reck R.M., Sreenivas R.S., Developing an Affordable and Portable Control Systems Laboratory Kit with a Raspberry Pi. â&#x20AC;&#x153;Electronicsâ&#x20AC;?, 5(3), 2016, 36, DOI: 10.3390/electronics5030036.

9. Aktan B., Bohus C.A., Crowl L.A., Shor M.H., Distance learning applied to control engineering laboratories. IEEE Transactions on Education, Vol. 39, Iss. 3, 1996, 320â&#x20AC;&#x201C;326, DOI: 10.1109/13.538754.

10. Dixon W.E., Dawson D.M., Costic B.T., Queiroz M.S.D., A MATLAB-based control systems laboratory experience for undergraduate students: Toward standardization and shared resources. â&#x20AC;&#x153;IEEE Transactions on Educationâ&#x20AC;?, Vol. 45, Iss. 3, 2002, 218â&#x20AC;&#x201C;226, DOI: 10.1109/TE.2002.1024613.

11. Gunasekaran M., Potluri R., Low-Cost Undergraduate Control Systems Experiments Using Microcontroller-Based Control of a DC Motor. â&#x20AC;&#x153;IEEE Transactions on Educationâ&#x20AC;?, Vol. 55, Iss. 4, 2012, 508â&#x20AC;&#x201C;516, DOI: 10.1109/TE.2012.2192441.

12. Lilienkamp K.A., Low-cost magnetic levitation project kits for teaching feedback system design. Proceedings of the 2004 American Control Conference, IEEE, Vol. 2, 1308â&#x20AC;&#x201C; 1313, 2004.

I 9 Y 9 " / * " B/@(/SG " 0& % ) W pracy przedstawiono projekt stanowiska laboratoryjnego do lewitacji powietrznej.

Obiekt zostaĹ&#x201A; zaprojektowany oraz zbudowany dla celĂłw edukacyjnych oraz naukowych w dziedzinie szeroko pojÄ&#x2122;tej automatyki oraz teorii sterowania. Ukazane w pracy stanowisko wykorzystuje nowoczesne narzÄ&#x2122;dzia inĹźynierskie: Arduino Mega 2560 oraz MATLAB/Simulink. Celem tego projektu jest umoĹźliwienie studentom wdraĹźania róşnych systemĂłw sterowania. ObejmujÄ&#x2122; to implementacjÄ&#x2122; identyfikacji systemu, opracowanie algorytmĂłw sterowania oraz przeprowadzenie weryfikacji eksperymentalnej. &

X 9 Y 9 Y

38

P

O

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

2 " 3

%

4 - 1- 10%

% )*" % "

) % %

A 7 ; ; * 0 * ' " # ! 7 @ * % ' 7 B 7 7 7 Z [U [U6 % ' 7 B 7 ? * ; ,&+CG,&+. ,&+.G,&+-% 8 " * " 7 " " %

/ 7 " 7 B " ' " 0 # ! 7 @ * % @

7 " 0 0 " " " 0! * " 0 " " 9 " %

39

NR 3/2015

40

P

O

M

I

A

R

Y

•

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

•

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

Pomiary Automatyka Robotyka, ISSN 1427-9126, R. 21, Nr 4/2017, 41â&#x20AC;&#x201C;47, DOI: 10.14313/PAR_226/41

F " " "F " Jacek Michalski1, Piotr Kozierski2, 1- 7& % 1 +

' ; U / " 8 9 U Y U 7 " % $ .&0D.C ' U 7 " U / " 8 9 % $ .&0D.C

,

Streszczenie: W pracy poruszono problem estymacji stanu dla ukĹ&#x201A;adĂłw dynamicznych oraz przedstawiono wybrane jego rozwiÄ&#x2026;zania. Zaproponowano cztery metody estymacji: rozszerzony filtr Kalmana, bezĹ&#x203A;ladowy filtr Kalmana, filtr czÄ&#x2026;steczkowy oraz filtr Kalmana, stosowany dla obiektĂłw liniowych. Metody te zastosowano dla trzech obiektĂłw nieliniowych oraz dla dwĂłch obiektĂłw liniowych (systemy jedno- i wielowymiarowe). Wszystkie obiekty zostaĹ&#x201A;y opisane za pomocÄ&#x2026; rĂłwnaĹ&#x201E; stanu.

Przedstawiono takĹźe trzy róşne wskaĹşniki jakoĹ&#x203A;ci, reprezentujÄ&#x2026;ce bĹ&#x201A;Ä&#x2122;dy wzglÄ&#x2122;dne oraz bezwzglÄ&#x2122;dne, a takĹźe porĂłwnano ich dziaĹ&#x201A;anie dla róşnego typu obiektĂłw. W wyniku przeprowadzonych symulacji stwierdzono, Ĺźe najlepszÄ&#x2026; jakoĹ&#x203A;Ä&#x2021; estymacji zapewnia filtr czÄ&#x2026;steczkowy, ale jednoczeĹ&#x203A;nie ta metoda jest najwolniejsza. ) # ' X " " T E " T E " 9 T E " T Q P

1. Wprowadzenie Estymacja stanu jest to bardzo waĹźna dziedzina nauki, szczegĂłlnie przy analizie systemĂłw dynamicznych w Ĺ&#x203A;rodowisku, gdzie oddziaĹ&#x201A;ujÄ&#x2026; takĹźe czynniki stochastyczne. Metody estymacji majÄ&#x2026; szerokie zastosowania w nauce i technice, np. do analizy sieci elektroenergetycznej [1, 2], w napÄ&#x2122;dzie elektrycznym [3] czy teĹź do analizy lotĂłw robotĂłw latajÄ&#x2026;cych [4, 5].

Estymacja stanu jest stosowana w praktycznych rozwiÄ&#x2026;zaniach od ponad 50 lat. W 1960 r. Schweppe opublikowaĹ&#x201A; trzy artykuĹ&#x201A;y [6â&#x20AC;&#x201C;8], w ktĂłrych uzasadniaĹ&#x201A; potrzebÄ&#x2122; zastosowania estymacji stanu sieci elektroenergetycznej, a takĹźe zaproponowaĹ&#x201A; konkretne rozwiÄ&#x2026;zanie â&#x20AC;&#x201C; metodÄ&#x2122; waĹźonych najmniejszych kwadratĂłw WLS (ang. Weighted Least Squares). Jest to jednak metoda estymacji statycznej, ktĂłra znacznie ustÄ&#x2122;puje metodom dynamicznym.

W 1960 r. Rudolf Kalman zaproponowaĹ&#x201A; algorytm do estymacji stanu obiektĂłw dynamicznych [9], ktĂłry staĹ&#x201A; siÄ&#x2122; powszechnie wykorzystywanym standardem, podobnie jak jego algorytm przeznaczony do obiektĂłw nieliniowych â&#x20AC;&#x201C; rozszerzony filtr Kalmana EKF (ang. Extented Kalman Filter). W 1993 r.

Gordon, Salmond i Smith zaproponowali inny algorytm estymacji dynamicznej, tj. filtr czÄ&#x2026;steczkowy PF (ang. Particle Filter) [10]. CaĹ&#x201A;y czas tworzone sÄ&#x2026; nowe metody estymacji dynamicznej, gĹ&#x201A;Ăłwnie bÄ&#x2122;dÄ&#x2026;ce modyfikacjami tych juĹź istniejÄ&#x2026;-

# & *: X M B % ) %

# ) ' ,J%&J%,&+- % +.%+&%,&+- %

! "" # $%&

cych, jak na przykĹ&#x201A;ad zmieszana metoda czÄ&#x2026;steczkowego filtru Kalmana MKPF (ang. Mixed Kalman Particle Filter) [11].

W artykule autorzy omĂłwili podstawowe metody estymacji dynamicznej, tj. trzy filtry Kalmana (liniowy, rozszerzony oraz bezĹ&#x203A;ladowy) oraz filtr czÄ&#x2026;steczkowy. PorĂłwnano te metody wykorzystujÄ&#x2026;c trzy wskaĹşniki jakoĹ&#x203A;ci, a takĹźe pod wzglÄ&#x2122;dem szybkoĹ&#x203A;ci obliczeĹ&#x201E;. W drugim rozdziale sformuĹ&#x201A;owano rozwiÄ&#x2026;zywany problem, w trzecim rozdziale przedstawiono zastosowane metody estymacji oraz ich algorytmy. W czwartym i piÄ&#x2026;tym pokazano odpowiednio modele uĹźytych obiektĂłw i wykorzystane wskaĹşniki jakoĹ&#x203A;ci. RozdziaĹ&#x201A; szĂłsty zawiera wyniki symulacji z uĹźyciem róşnych metod oraz obiektĂłw. Wnioski i uwagi koĹ&#x201E;cowe zawarte sÄ&#x2026; w rozdziale siĂłdmym.

Y. ) & RozwaĹźany jest ukĹ&#x201A;ad dany rĂłwnaniami stanu:

(

)

â&#x17D;§â&#x17D;Şx (k +1) = f x (k ) , u (k ) ; k + v (k ) â&#x17D;¨ (k ) â&#x17D;Şâ&#x17D;Šy = h x (k ) + n (k )

( )

(1)

gdzie: x(k) â&#x20AC;&#x201C; wektor stanu w k-tej chwili prĂłbkowania, u(k) â&#x20AC;&#x201C; wektor wejĹ&#x203A;Ä&#x2021;, y(k) â&#x20AC;&#x201C; wektor wyjĹ&#x203A;Ä&#x2021; (pomiarĂłw), v(k) â&#x20AC;&#x201C; wektor szumĂłw wewnÄ&#x2122;trznych, n(k) â&#x20AC;&#x201C; wektor szumĂłw pomiarowych, f(¡) i h(¡) to wektory funkcji nieliniowych, odpowiednio: przejĹ&#x203A;cia oraz wyjĹ&#x203A;cia. Postawionym w artykule zadaniem jest odtworzenie wartoĹ&#x203A;ci zmiennych stanu na podstawie dostÄ&#x2122;pnych pomiarowo wyjĹ&#x203A;Ä&#x2021; i znanych wejĹ&#x203A;Ä&#x2021; ukĹ&#x201A;adu.

{.

*

{.\. |

8 Filtr Kalmana KF (ang. Kalman Filter) stosuje siÄ&#x2122; do obiektĂłw danych rĂłwnaniem róşnicowym liniowym. ZarĂłwno w KF, jak i caĹ&#x201A;ej reszcie omawianych filtrĂłw Kalmana, wejĹ&#x203A;cia i wyj-

41

PorĂłwnanie metod estymacji stanu systemĂłw dynamicznych

{.{. } '~

8

Ĺ&#x203A;cia ukĹ&#x201A;adĂłw muszÄ&#x2026; byÄ&#x2021; dostÄ&#x2122;pne pomiarowo. NaleĹźy rĂłwnieĹź zaĹ&#x201A;oĹźyÄ&#x2021;, Ĺźe zakĹ&#x201A;Ăłcenia oddziaĹ&#x201A;ujÄ&#x2026;ce na stan ukĹ&#x201A;adu oraz szumy pomiarowe majÄ&#x2026; rozkĹ&#x201A;ad normalny o znanych wariancjach i zerowych wartoĹ&#x203A;ciach oczekiwanych. Wektory szumĂłw wewnÄ&#x2122;trznych i pomiarowych muszÄ&#x2026; byÄ&#x2021; wzajemnie niezaleĹźne. W filtrze Kalmana obiekt jest dany rĂłwnaniami stanu w postaci liniowej:

â&#x17D;§â&#x17D;Şx (k +1) = Ax (k ) + Bu (k ) + v (k ) â&#x17D;¨ (k ) â&#x17D;Şâ&#x17D;Šy = Cx (k ) + n (k )

OprĂłcz dwĂłch podstawowych krokĂłw zawartych w EKF, UKF zawiera takĹźe wybĂłr punktĂłw sigma oraz bezĹ&#x203A;ladowÄ&#x2026; transformacjÄ&#x2122; (ang. unscented transformation). ZaĹ&#x201A;oĹźenia odnoĹ&#x203A;nie szumĂłw sÄ&#x2026; takie, jak w dwĂłch poprzednich metodach. Algorytm UKF dla modelu (1) przedstawia siÄ&#x2122; nastÄ&#x2122;pujÄ&#x2026;co: stan poczÄ&#x2026;tkowy â&#x20AC;&#x201C; wektor wartoĹ&#x203A;ci losowych o znanych wartoĹ&#x203A;ciach oczekiwanych:

(2)

[

P

[

]

= I â&#x2C6;&#x2019;K C P

)(

)

{(

XË&#x2020; (k â&#x2C6;&#x2019;1|k â&#x2C6;&#x2019;1) = xË&#x2020;j(k â&#x2C6;&#x2019;1|k â&#x2C6;&#x2019;1),W j

)

| j = 0, ..., 2N x

}

(13)

(3)

xË&#x2020;(k |k ) = xË&#x2020;(k |k â&#x2C6;&#x2019;1) + K (k ) y (k ) â&#x2C6;&#x2019; CxË&#x2020;(k |k â&#x2C6;&#x2019;1) (k )

(

]

wybĂłr punktĂłw Sigma:

(14)

(4)

â&#x17D;&#x203A; â&#x17D;&#x17E; Nx xË&#x2020;i(k â&#x2C6;&#x2019; 1|k â&#x2C6;&#x2019; 1) = xË&#x2020;(k â&#x2C6;&#x2019; 1|k â&#x2C6;&#x2019; 1) + â&#x17D;&#x153; P (k â&#x2C6;&#x2019; 1|k â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x17D;&#x; , â&#x17D;&#x153; 1 â&#x2C6;&#x2019; W0 â&#x17D;&#x; â&#x17D;? â&#x17D; i

i = 1, ..., N x (15)

(5)

â&#x17D;&#x203A; â&#x17D;&#x17E; Nx xË&#x2020;i(k+â&#x2C6;&#x2019;N1x|k â&#x2C6;&#x2019;1) = xË&#x2020;(k â&#x2C6;&#x2019;1|k â&#x2C6;&#x2019;1) â&#x2C6;&#x2019; â&#x17D;&#x153; P (k â&#x2C6;&#x2019;1|k â&#x2C6;&#x2019;1) â&#x17D;&#x; , â&#x17D;&#x153; 1 â&#x2C6;&#x2019; W0 â&#x17D;&#x; â&#x17D;? â&#x17D; i

i = 1, ..., N x (16)

â&#x2C6;&#x2019; etap filtracji (rĂłwnania aktualizacji pomiarĂłw):

(k |k )

Îź (0|0 ) = E xË&#x2020;(0|0 )

T P (0|0 ) = E â&#x17D;Ą xË&#x2020;(0|0 ) â&#x2C6;&#x2019; Îź (0|0 ) xË&#x2020;(0|0 ) â&#x2C6;&#x2019; Îź (0|0 ) â&#x17D;¤ â&#x17D;˘â&#x17D;Ł â&#x17D;Ľâ&#x17D;Ś

gdzie: AN x Ă&#x2014;N x â&#x20AC;&#x201C; macierz stanu, BN x Ă&#x2014;N u â&#x20AC;&#x201C; macierz wejĹ&#x203A;Ä&#x2021;, C N v Ă&#x2014;N x â&#x20AC;&#x201C; macierz wyjĹ&#x203A;Ä&#x2021;, Nx â&#x20AC;&#x201C; wymiar przestrzeni stanu, Nu â&#x20AC;&#x201C; liczba wejĹ&#x203A;Ä&#x2021;, Ny â&#x20AC;&#x201C; liczba wyjĹ&#x203A;Ä&#x2021; ukĹ&#x201A;adu.

Algorytm filtru Kalmana skĹ&#x201A;ada siÄ&#x2122; z dwĂłch etapĂłw: â&#x2C6;&#x2019; etap predykcji (rĂłwnania aktualizacji czasu):

xË&#x2020;(k |k â&#x2C6;&#x2019;1) = AxË&#x2020;(k â&#x2C6;&#x2019;1|k â&#x2C6;&#x2019;1) + Bu (k â&#x2C6;&#x2019;1)

[

xË&#x2020;(0|0 ) :

]

(6) gdzie:

(k |k â&#x2C6;&#x2019;1)

â&#x17D;&#x203A; â&#x17D;&#x17E; Nx â&#x17D;&#x153; P (k â&#x2C6;&#x2019;1|k â&#x2C6;&#x2019;1) â&#x17D;&#x; â&#x17D;&#x153; 1 â&#x2C6;&#x2019; W0 â&#x17D;&#x; â&#x17D;? â&#x17D; i

(7)

gdzie: Q â&#x20AC;&#x201C; macierz kowariancji szumĂłw przetwarzania (diagonalna), R â&#x20AC;&#x201C; macierz kowariancji szumĂłw pomiarowych (diagonalna), K(k) â&#x20AC;&#x201C; wzmocnienie Kalmana, P(k|k) â&#x20AC;&#x201C; macierz kowariancji, I â&#x20AC;&#x201C; macierz jednostkowa o wymiarach Nx Ă&#x2014; Nx.

â&#x20AC;&#x201C; i-ta kolumna macierzy pierwiastkĂłw kwadratowych z wyraĹźenia Nx P (k â&#x2C6;&#x2019;1|k â&#x2C6;&#x2019;1) , 1 â&#x2C6;&#x2019; W0

{.Y. ' ' '

8 Ta metoda (a takĹźe wszystkie nastÄ&#x2122;pne) przeznaczona jest do wykorzystania w obiektach nieliniowych (1). ZaĹ&#x201A;oĹźenia odnoĹ&#x203A;nie szumĂłw sÄ&#x2026; takie same jak dla KF. Algorytm takĹźe skĹ&#x201A;ada siÄ&#x2122; z dwĂłch etapĂłw: â&#x2C6;&#x2019; etap predykcji (rĂłwnania aktualizacji czasu):

(

xË&#x2020;(k |k â&#x2C6;&#x2019;1) = f xË&#x2020;(k â&#x2C6;&#x2019;1|k â&#x2C6;&#x2019;1), u (k â&#x2C6;&#x2019;1) ; k

)

Wj =

(9)

(

[H

P (k |k â&#x2C6;&#x2019;1)H (k ) + R

(k )

T

[

(

xË&#x2020;(k |k ) = xË&#x2020;(k |k â&#x2C6;&#x2019;1) + K (k ) y (k ) â&#x2C6;&#x2019; h xË&#x2020;(k |k â&#x2C6;&#x2019;1)

]

â&#x2C6;&#x2019;1

)

xË&#x2020;j(k |k â&#x2C6;&#x2019;1) = f xË&#x2020;j(k â&#x2C6;&#x2019;1|k â&#x2C6;&#x2019;1) , u (k â&#x2C6;&#x2019;1) ; k ,

etap filtracji (rĂłwnania aktualizacji pomiarĂłw): T

j = 1, ... , 2N x

(17)

â&#x2C6;&#x2019; etap prognozowania modelu (aktualizacji czasu):

T

K (k ) = P (k |k â&#x2C6;&#x2019;1)H (k )

1 â&#x2C6;&#x2019; W0 , 2N x

(8)

P (k |k â&#x2C6;&#x2019;1) = F (k â&#x2C6;&#x2019;1)P (k â&#x2C6;&#x2019;1|k â&#x2C6;&#x2019;1)F (k â&#x2C6;&#x2019;1) + Q â&#x2C6;&#x2019;

odpowiadajÄ&#x2026;ca za i-tÄ&#x2026; zmiennÄ&#x2026; stanu. Wagi muszÄ&#x2026; speĹ&#x201A;niaÄ&#x2021; warunek:

P (k |k â&#x2C6;&#x2019; 1) =

(10)

xË&#x2020;(k |k â&#x2C6;&#x2019;1) =

2N x

â&#x2C6;&#x2018;W j xË&#x2020;j(k |k â&#x2C6;&#x2019;1)

(18)

j =0

â&#x2C6;&#x2018;W j (xË&#x2020;j(k |k â&#x2C6;&#x2019;1) â&#x2C6;&#x2019; xË&#x2020;(k |k â&#x2C6;&#x2019;1) ) (xË&#x2020;j(k |k â&#x2C6;&#x2019;1) â&#x2C6;&#x2019; xË&#x2020;(k |k â&#x2C6;&#x2019;1) ) 2n

T

+ Q (19)

j =0

)]

(11)

(20)

(12)

(21)

gdzie: F (kâ&#x2C6;&#x2019;1) â&#x20AC;&#x201C; macierz jakobianowa obliczana jako F (k â&#x2C6;&#x2019;1) = â&#x2C6;&#x2021;fk â&#x2C6;&#x2019;1 (k â&#x2C6;&#x2019;1|k â&#x2C6;&#x2019;1 ), H(k) â&#x20AC;&#x201C; macierz jakobianowa obliczana jako

(22)

[

]

P (k |k ) = I â&#x2C6;&#x2019; K (k )H (k ) P (k |k â&#x2C6;&#x2019;1)

xË&#x2020;

H (k ) = â&#x2C6;&#x2021;hk

42

xË&#x2020;(k |k â&#x2C6;&#x2019;1 ).

P

O

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

! " #

^. } #

â&#x2C6;&#x2019; krok estymacji pomiarĂłw: (23)

(

xË&#x2020;(k |k ) = xË&#x2020;(k |k â&#x2C6;&#x2019;1) + K (k ) y (k ) â&#x2C6;&#x2019; yË&#x2020;(k |k â&#x2C6;&#x2019;1)

P (k |k ) = P (k |k â&#x2C6;&#x2019;1) â&#x2C6;&#x2019; K (k )Py~(k |k â&#x2C6;&#x2019;1)K (k )

)

(24)

T

(25)

{.^. |

': '# Ta metoda róşni siÄ&#x2122; od poprzednich tym, Ĺźe szumy wewnÄ&#x2122;trzne oraz pomiarowe nie muszÄ&#x2026; mieÄ&#x2021; rozkĹ&#x201A;adu Gaussa. Zasada dziaĹ&#x201A;ania filtru czÄ&#x2026;steczkowego opiera siÄ&#x2122; na dziaĹ&#x201A;aniu rekursywnego filtru Bayesa:

(

)

p x (k ) | Y (k ) =

(

) (

p y (k ) | x (k ) â&#x2039;&#x2026; p x (k ) | Y (k â&#x2C6;&#x2019;1) p y (k ) | Y (k â&#x2C6;&#x2019;1)

(

)

)

(26)

gdzie: Y(k) â&#x20AC;&#x201C; zbiĂłr pomiarĂłw wyjĹ&#x203A;cia z k chwil poczÄ&#x2026;tkowych, â&#x20AC;&#x201C; funkcja gÄ&#x2122;stoĹ&#x203A;ci prawdopodobieĹ&#x201E;stwa PDF (ang. Probability Density Function) a posteriori, â&#x20AC;&#x201C; wiarygodnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; (ang. likelihood), â&#x20AC;&#x201C; PDF a priori, â&#x20AC;&#x201C; wspĂłĹ&#x201A;czynnik normujÄ&#x2026;cy (ang. evidence).

W algorytmie filtru czÄ&#x2026;steczkowego PDF jest reprezentowana przez zestaw czÄ&#x2026;steczek. KaĹźda czÄ&#x2026;steczka jest zĹ&#x201A;oĹźona z wartoĹ&#x203A;ci xi (wektor zmiennych stanu) oraz wagi qi (im wiÄ&#x2122;ksza jest waga czÄ&#x2026;steczki, tym wiÄ&#x2122;ksze prawdopodobieĹ&#x201E;stwo, Ĺźe czÄ&#x2026;steczka przyjmuje prawdziwa wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; wektora stanu). StÄ&#x2026;d i-ta czÄ&#x2026;stka moĹźe zostaÄ&#x2021; zapisana jako {xi, qi}. Gdy liczba czÄ&#x2026;steczek Np jest wystarczajÄ&#x2026;co duĹźa, PDF a posteriori moĹźna zapisaÄ&#x2021; jako:

Pierwsze dwa obiekty nie majÄ&#x2026; sygnaĹ&#x201A;Ăłw wejĹ&#x203A;ciowych, zatem sÄ&#x2026; autonomiczne, a ich zmiana stanu spowodowana jest szumem wewnÄ&#x2122;trznym. Ob1 jest wykorzystywany bardzo czÄ&#x2122;sto do badania filtrĂłw czÄ&#x2026;steczkowych. ZostaĹ&#x201A; wykorzystany m.in. w [10, 13], a w publikacji [15] autor napisaĹ&#x201A;, Ĺźe obiekt ten pierwotnie zostaĹ&#x201A; zaproponowany przez Netto, Gimeno i Mendes w 1978 r. Ob2 róşni siÄ&#x2122; od Ob1 funkcjÄ&#x2026; pomiarowÄ&#x2026;, ktĂłra w tym obiekcie jest liniowa. Uproszczona zostaĹ&#x201A;a teĹź postaÄ&#x2021; funkcji przejĹ&#x203A;cia przez usuniÄ&#x2122;cie funkcji trygonometrycznej.

Systemy wielowymiarowe â&#x20AC;&#x201C; nieliniowy Ob3 oraz liniowy Ob4 â&#x20AC;&#x201C; zostaĹ&#x201A;y zaproponowane w [16]. Nie sÄ&#x2026; to obiekty autonomiczne, majÄ&#x2026; bowiem sygnaĹ&#x201A;y wejĹ&#x203A;ciowe losowane z rĂłwnomiernych PDF. Ob5 jest to zdyskretyzowany z okresem prĂłbkowania Tp = 1 ms model silnika prÄ&#x2026;du staĹ&#x201A;ego [17]. Parametry obiektu to: R = 4,5 :, L = 79 mH, k = 1,36 Vs, J = 0,024 kg¡m2, b = 0,005 kg¡m2/s. Zmienne stanu to odpowiednio prÄ&#x2026;d twornika i prÄ&#x2122;dkoĹ&#x203A;Ä&#x2021; kÄ&#x2026;towa waĹ&#x201A;u. Na wyjĹ&#x203A;cie wyprowadzono prÄ&#x2122;dkoĹ&#x203A;Ä&#x2021; kÄ&#x2026;towÄ&#x2026;, a wejĹ&#x203A;ciem sterujÄ&#x2026;cym byĹ&#x201A;o napiÄ&#x2122;cie na zaciskach.

System symulowano w zamkniÄ&#x2122;tej pÄ&#x2122;tli sprzÄ&#x2122;Ĺźenia zwrotnego, wraz z regulatorem PI, zdyskretyzowanym z takim samym okresem Tp. Jako wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; zadanÄ&#x2026; podano 100 rad/s.

(Ob1)

v(k) ~ N(0; 10), n(k) ~ N(0; 1), x(0) = 0,1 (Ob2)

(27)

gdzie: d(¡) â&#x20AC;&#x201C; delta Diraca. v(k) ~ N(0; 10), n(k) ~ N(0; 1), Algorytm dziaĹ&#x201A;ania PF przedstawia siÄ&#x2122; nastÄ&#x2122;pujÄ&#x2026;co: 1. Inicjalizacja. Wylosowanie wartoĹ&#x203A;ci poczÄ&#x2026;tkowych x i,(0) z rozkĹ&#x201A;adu gÄ&#x2122;stoĹ&#x203A;ci prawdopodobieĹ&#x201E;stwa p(x(0)), ustawienie numeru iteracji k := 1.

2. Prognoza. Wylosowanie Np nowych czÄ&#x2026;steczek z modelu przejĹ&#x203A;cia xi,(k) ~ p(x(k)|xi,(kâ&#x2C6;&#x2019;1)).

3. Aktualizacja. Obliczenie wagi kaĹźdej z nowych czÄ&#x2026;steczek na podstawie modelu pomiarowego qi,(k) = p(y(k)|xi,(k)). RozkĹ&#x201A;ad p(y(k)|xi,(k)) jest zaleĹźny od rodzaju zmiennej losowej, czyli moĹźna napisaÄ&#x2021;, Ĺźe p(y(k)|xi,(k)) = p(n(k)).

4. Normalizacja. Skalowanie wag w taki sposĂłb, by ich suma byĹ&#x201A;a rĂłwna 1.

5. Resampling (powtĂłrne losowanie). Ponowne losowanie Np nowych czÄ&#x2026;steczek, ale tylko spoĹ&#x203A;rĂłd tych juĹź istniejÄ&#x2026;cych.

PrawdopodobieĹ&#x201E;stwo wylosowania danej czÄ&#x2026;steczki jest rĂłwne jej znormalizowanej wadze (wykorzystano resampling systematyczny â&#x20AC;&#x201C; patrz [12]).

6. Koniec iteracji. Obliczenie estymaty dla kroku k, uaktualnienie numeru iteracji k := k+1, przejĹ&#x203A;cie do kroku 2.

WiÄ&#x2122;cej informacji na temat dziaĹ&#x201A;ania PF moĹźna znaleĹşÄ&#x2021; w pracach [13, 14].

x(0) = 0,1 (Ob3)

v 1(k/)2 / 3 ~ N(0; 0,1), n1(k/)2 ~ N(0; 0,1), u 1(k/)2 / 3 ~ U [â&#x20AC;&#x201C;1; 1], x(0) = [0,1 0,1 0,1]T

43

PorĂłwnanie metod estymacji stanu systemĂłw dynamicznych

(Ob4)

3

3

3

3

3

3

3

gdzie: k â&#x20AC;&#x201C; numer kroku symulacji, M â&#x20AC;&#x201C; liczba krokĂłw symulacji, i â&#x20AC;&#x201C; numer zmiennej stanu (lub wyjĹ&#x203A;cia â&#x20AC;&#x201C; w Ξz), Nx â&#x20AC;&#x201C; liczba zmiennych stanu, Ny â&#x20AC;&#x201C; liczba wyjĹ&#x203A;Ä&#x2021; ukĹ&#x201A;adu. WartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; yË&#x2020;i(k ) to wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; wyjĹ&#x203A;cia obliczona na podstawie estymowanej wartoĹ&#x203A;ci wektora stanu xË&#x2020;i(k ), a wartoĹ&#x203A;ci z plusem oznaczajÄ&#x2026; wartoĹ&#x203A;ci prawdziwe.

v 1(k/)2 / 3 ~ N(0; 0,1), n1(k/)2 ~ N(0; 0,1), u 1(k/)2 / 3 ~ U [â&#x20AC;&#x201C;1; 1] x(0) = [0 0 0]T

â&#x2C6;&#x2019; (Ob5)

v 1(k/)2 ~ N(0; 0,01), n (k ) ~ N(0; 1) w(k) = 100

Rys. 1. PorĂłwnanie wskaĹşnikĂłw jakoĹ&#x203A;ci dla Ob1 Fig. 1. Comparison of quality indices for Ob1

x(0) = [0 0]T gdzie: U[a, b] â&#x20AC;&#x201C; rozkĹ&#x201A;ad rĂłwnomierny z przedziaĹ&#x201A;u <a, b>, N(m, Ď&#x192;2) â&#x20AC;&#x201C; rozkĹ&#x201A;ad normalny o wartoĹ&#x203A;ci oczekiwanej m i wariancji Ď&#x192;2, w(k) â&#x20AC;&#x201C; sygnaĹ&#x201A; zadany.

Z. ; # # * # ~

WskaĹşnik (30) reprezentuje bĹ&#x201A;Ä&#x2026;d bezwzglÄ&#x2122;dny, natomiast (31) oraz (32) to bĹ&#x201A;Ä&#x2122;dy wzglÄ&#x2122;dne. PochodzÄ&#x2026; one z pozycji [11, 18, 19].

(28) Rys. 2. PorĂłwnanie wskaĹşnikĂłw jakoĹ&#x203A;ci dla Ob2 Fig. 2. Comparison of quality indices for Ob2

RMSE i = MSE i

aRMSE =

βi =

Ξi =

44

1 Nx

Nx

â&#x2C6;&#x2018; RMSE i

xË&#x2020;i(k ) â&#x2C6;&#x2019; x i+ (k ) , x i+ (k )

M

yË&#x2020;(k ) â&#x2C6;&#x2019; y + (k )

1 M

k =1

1 M

â&#x2C6;&#x2018; y i(k ) â&#x2C6;&#x2019; y i+ (k ) ,

k =1

i

P

β =

Ξz =

i

O

M

(30)

i =1

â&#x2C6;&#x2018;

M

(29)

I

A

R

Nx

1 Nx

â&#x2C6;&#x2018; βi

1 Ny

â&#x2C6;&#x2018; Ξi

Y

(31)

i =1

Ny

(32)

Rys. 3. PorĂłwnanie wskaĹşnikĂłw jakoĹ&#x203A;ci dla Ob3; wskaĹşnik aRMSE zostaĹ&#x201A; powiÄ&#x2122;kszony 10 razy Fig. 3. Comparison of quality indices for Ob3; aRMSE indicator has been increased 10 times

i =1

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

! " #

Tabela 2. Zestawienie czasĂłw obliczeĹ&#x201E; dla wszystkich metod i obiektĂłw (czas 1000 powtĂłrzeĹ&#x201E;) Table 2. The calculation times for all methods and objects (time of 1000 repetitions)

Rys. 4. PorĂłwnanie wskaĹşnikĂłw jakoĹ&#x203A;ci dla Ob4; wskaĹşnik aRMSE zostaĹ&#x201A; powiÄ&#x2122;kszony 10 razy Fig. 4. Comparison of quality indices for Ob4; aRMSE indicator has been increased 10 times

Obiekt

EKF (KF)

UKF

PF

Ob1

9,6 s

59,2 s

642,4 s

Ob2

9,4 s

58,6 s

147,2 s

Ob3

71,0 s

115,4 s

1640,1 s

Ob4

57,9 s

154,0 s

4601,4 s

Ob5

35,6 s

127,8 s

3579,4 s

6. Wyniki przeprowadzonych symulacji ZostaĹ&#x201A;y przeprowadzone symulacje o dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci M = 1000 krokĂłw.

Symulacje dla kaĹźdego filtru i obiektu zostaĹ&#x201A;y powtĂłrzone 1000 razy, za kaĹźdym razem dla innego, losowo wygenerowanego przebiegu sygnaĹ&#x201A;Ăłw. Podane wskaĹşniki jakoĹ&#x203A;ci obliczono jako wartoĹ&#x203A;ci Ĺ&#x203A;rednie, a wyniki podano wraz z odchyleniem standardowym wartoĹ&#x203A;ci Ĺ&#x203A;redniej na podstawie twierdzenia, Ĺźe wariancja wartoĹ&#x203A;ci Ĺ&#x203A;redniej jest m razy mniejsza od wariancji m-elementowej prĂłby [20]. W PF dla Ob2 liczba czÄ&#x2026;steczek wynosiĹ&#x201A;a Np = 100, natomiast dla wszystkich pozostaĹ&#x201A;ych przypadkĂłw Np = 500.

WskaĹşniki jakoĹ&#x203A;ci dla kaĹźdego z obiektĂłw i róşnych metod zostaĹ&#x201A;y przedstawione na rysunkach 1â&#x20AC;&#x201C;4, kaĹźdy dla kolejnego obiektu. Naniesiono rĂłwnieĹź 95% przedziaĹ&#x201A; ufnoĹ&#x203A;ci, czyli odchylenie o 2 w kaĹźdÄ&#x2026; stronÄ&#x2122;.

Rys. 5. PorĂłwnanie wskaĹşnikĂłw jakoĹ&#x203A;ci dla Ob5; wskaĹşnik aRMSE zostaĹ&#x201A; powiÄ&#x2122;kszony 10 razy, β â&#x20AC;&#x201C; 100 razy Fig. 5. Comparison of quality indices for Ob5; aRMSE indicator has been increased 10 times, β â&#x20AC;&#x201C; 100 times

Tabela 1. Zestawienie wartoĹ&#x203A;ci wskaĹşnikĂłw jakoĹ&#x203A;ci z zakresem 95% prawdopodobieĹ&#x201E;stwa Table 1. The values of quality indicators with the 95% probability range Obiekt

Ob1

Ob2

Ob3

Metoda

EKF

UKF

PF

aRMSE

16,0822 Âą0,0506

6,2825 Âą0,0066

4,7100 Âą0,0178

b

5,8264 Âą1,1100

3,5953 Âą0,8606

1,2634 Âą0,1044

xz

22,1054 Âą3,5220

29,1577 Âą2,3966

12,5996 Âą2,0674

aRMSE

10,5043 Âą0,1050

10,0117 Âą0,0956

5,2705 Âą0,0308

b

2,5132 Âą0,5122

2,0963 Âą0,1640

1,9678 Âą0,8432

xz

4,4690 Âą0,6716

5,7627 Âą2,2584

1,7058 Âą0,1852

aRMSE

0,3421 Âą4,1020 10â&#x2C6;&#x2019;4

0,3729 Âą3,6876 ¡ 10â&#x2C6;&#x2019;4

0,3013 Âą3,0648 10â&#x2C6;&#x2019;4

b

6,4033 Âą1,9786

8,8330 Âą1,1628

4,1604 Âą0,3228

xz

6,5105 Âą2,6078

9,1185 Âą1,3480

5,3449 Âą1,4752

Metoda

KF

aRMSE Ob4

UKF

0,2436 Âą2,2094 10

â&#x2C6;&#x2019;4

PF

0,2829 Âą2,9470 10

â&#x2C6;&#x2019;4

0,2448 Âą11,3208 10â&#x2C6;&#x2019;5

b

4,1329 Âą1,3202

4,1252 Âą0,8986

4,0455 Âą1,0426

xz

5,7933 Âą2,0694

9,5940 Âą2,9182

5,3920 Âą0,7014

Metoda

KF

UKF

PF

aRMSE

0,9548 Âą1,3340 10â&#x2C6;&#x2019;3

0,7233 Âą1,1470 10â&#x2C6;&#x2019;3

0,55342 Âą6,7472 10â&#x2C6;&#x2019;4

b

0,1019 Âą0,0124

0,0395 Âą0,0118

0,0285 Âą0,0025

xz

1,1524 Âą0,0419

1,9168 Âą0,2235

4,5748 Âą0,5813

Ob5

45

Porównanie metod estymacji stanu systemów dynamicznych

]. ; #

Analizując wyniki, dla poszczególnych obiektów najlepiej posłużyć się wskaźnikiem aRMSE, ponieważ daje on najstabilniejsze wyniki, z najmniejszymi odchyleniami. Z wartości aRMSE można odczytać, że najlepsze efekty estymacji dla obiektów nieliniowych Ob1–3 daje filtr cząsteczkowy, dla którego w większości przypadków wskaźniki jakości były najmniejsze. Najlepszą jakość estymacji uzyskuje się tu jednak kosztem największych, spośród ww. filtrów, nakładów obliczeniowych.

Dwie odmiany filtru Kalmana dawały podobne efekty, z tym że częściej UKF okazywało się minimalnie lepsze (ale to także jest okupione dłuższym czasem obliczeń). Dla obiektu liniowego Ob4 we wszystkich metodach estymacji aRMSE dawało podobne wartości. Dla takich obiektów metody estymacji mają zbliżone właściwości i optymalne jest stosowanie metody KF, ponieważ jest ona najszybsza. Dla układu zamkniętego z regulatorem i obiektem Ob5 w torze głównym metoda KF daje zauważalnie gorsze wyniki od UKF i PF. Pozostałe dwa wskaźniki, dane wzorami (31) i (32), reprezentują błędy względne. W badanych obiektach natomiast, zarówno zmienne stanu, jak i pomiary, miały wartości bardzo małe, czasem zbliżone do zera. Gdy wartość taka znalazła się w mianowniku, powodowało to gwałtowny wzrost wartości wskaźnika przy stosunkowo niewielkiej wartości reprezentowanej przez błąd bezwzględny aRMSE. Wyniki tych wskaźników dla 1000 powtórzeń dawały podobne wyniki jak aRMSE, jednak odchylenia standardowe mają tu dużo większe wartości. Dla pojedynczych symulacji zdarzały się przypadki, gdzie wskaźniki te nie odzwierciedlały prawdziwych rezultatów. Z tego powodu autorzy w przyszłości planują przestać korzystać z tych wskaźników, bądź też trochę je zmodyfikować.

W tabeli 2 zamieszczono czasy obliczeń dla 1000 powtórzeń działania algorytmów. Najszybciej działała metoda EKF (dla Ob4, Ob5 metoda KF), ponieważ sprowadza się ona jedynie do obliczeń macierzowych. Nieco dłuższe czasy obliczeń obserwowano w przypadku UKF, ze względu na dodatkowy etap wyboru punktów Sigma oraz bezśladową transformację. Największych nakładów obliczeniowych wymagał filtr cząsteczkowy ze względu na wybór dość dużej liczby cząsteczek. Gdyby te liczbę zmniejszyć, czas obliczeń mógłby być podobny do czasu UKF, ale kosztem pogorszenia jakości estymacji. W przypadku każdej z metod zwiększenie długości wektora stanu powodowało znaczne wydłużenie czasu obliczeń.

5. Marantos P., Koveos Y., Kyriakopoulos K.J., UAV State Estimation using Adaptive Complementary Filters, “IEEE Transactions on Control Systems Technology”, Vol. 24, No. 4, 2016, 1214–1226.

6. Schweppe F.C., Wildes J., Power System Static-State Estimation, Part I: Exact Model, “IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems”, Vol. 89, No. 1, 1970, 120–125.

7. Schweppe F.C., Rom D.B., Power System Static-State Estimation, Part II: Approximate Model, “IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems”, Vol. 89, No. 1, 1970, 125–130, DOI: 10.1109/TPAS.1970.292679.

8. Schweppe F.C., Power System Static-State Estimation, Part III: Implementation, “IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems”, Vol. 89, No. 1, 1970, 130–135.

9. Kalman R.E., A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems, “Journal of Basic Engineering”, Vol. 82, No. 35, 1960, 35–45, DOI: 10.1155/1.3662552.

10. Gordon N.J., Salmond D.J., Smith A.F.M., Novel Approach to Nonlinear/non-Gaussian Bayesian State Estimation, “IEE Proceedings-F”, Vol. 140, No. 2, 1993, 107–113, DOI: 10.1049/ip-f-2.1993.0015.

11. Chen H., Liu X., She C., Yao C., Power System Dynamic State Estimation Based on a New Particle Filter, “Procedia Environmental Sciences”, Vol. 11, Part B, 2011, 655–661, DOI: 10.1016/j.proenv.2011.12.102.

12. Kozierski P., Lis M., Ziętkiewicz J., Resampling in Particle Filtering – Comparison, “Studia z Automatyki i Informatyki”, Vol. 38, 2013, 35–64.

13. Arulampalam S., Maskell S., Gordon N., Clapp T., A Tutorial on Particle Filters for On-line Non-linear/ Non-Gaussian Bayesian Tracking, “IEEE Transactions on Signal Processing”, Vol. 50, No. 2, 2002, 174–188. DOI: 10.1109/78.978374.

14. Doucet A., Johansen A.M., A Tutorial on Particle Filtering and Smoothing: Fifteen years later, Handbook of Nonlinear Filtering 2009/12, 656–704.

15. Kitagawa G., Monte Carlo Filter and Smoother for Non-Gaussian Nonlinear State Space Models, “Journal of computational and graphical statistics”, Vol. 5, No. 1, 1996, 1–25.

16. Yadaiah N., Sowmoya G., Neural Network Based State Estimation of Dynamical Systems, International Joint Conference on Neural Networks (IJCNN ’06), 2006, 1042–1049, DOI: 10.1109/IJCNN.2006.246803.

17. Moseler O., Isermann R., Application of model-based fault detection to a brushless DC motor, “IEEE Transactions on industrial electronics”, Vol. 47, No. 5, 2000, 1015–1020.

18. Valverde G., Terzija V., Unscented Kalman Filter for Power System Dynamic State Estimation, “IET Generation, Transmission & Distribution”, Vol. 5, Iss. 1, 2011, 29–37, DOI: 10.1049/iet-gtd.2010.0210.

19. Kozierski P., Lis M., Horla D., Wrong Transition and Measurement Models in Power System State Estimation, “Archives of Electrical Engineering”, Vol. 65, No. 3, 2016, 559–574. DOI: 10.1515/aee-2016-0040.

20. Florek A., Mazurkiewicz P., Sygnały i systemy dynamiczne, wyd. 2, Poznań 2015, ISBN: 978-83-7775360-6.

}

1. Abur A., Exposito A.G., Power System State Estimation: Theory and Implementation, Marcel Dekker, Inc., 2004, 17–49, DOI: 10.1201/9780203913673.ch2.

2. Udupa H.N., Minal M., Mishra M.T., Node Level ANN Technique for Real Time Power System State Estimation, “International Journal of Scientific & Engineering Research”, Vol. 5, No. 1, 2004, 1500–1505.

3. Zawirski K., Deskur J., Kaczmarek T., Automatyka napędu elektrycznego, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2012.

4. Weiss S., Achtelik M.W., Lyen S., Achtelik M.C., Kneip L., Chli M., Siegwart R., Monocular Vision for Long-term Micro Aerial Vehicle State Estimation: A Compendium, “Journal of Field Robotics”, Vol. 30, No. 5, 2013, 803–831.

46

P

O

M

I

A

R

Y

•

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

•

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

! " #

" 7 " " 7 " " Abstract: In this paper the problem of state estimation of dynamical systems has been discussed and selected solutions have been presented. Four methods of state estimation have been proposed: Extended Kalman Filter, Unscented Kalman Filter, Particle Filter and Kalman Filter for a linear system.

These methods have been applied to three nonlinear objects and to two linear objects (one- and multivariable systems). All plants have been described using state equations. Three quality indices has been used, which present relative and absolute errors. They were compared for different objects. As a result of the simulation, it was found that the best estimation quality is provided by the particle filter, but this method is also the slowest.

KeywordsX " " " E " A ;K E " A # E " A A L

Jacek Michalski

! & 8

% ) %

% )*" % "

* F U % 9 " Q " 9 F V 0 X " " " 7 E " 7 Q 0 * F Y Q * %

0 % > F 9 0 " 9 F V " " 7 Q * 9 H * X 0 " Q* V " " X%

7& % % ) % % /9 ' ; * % ' ,&+O % 0

% M 0 Q * 9 " Q0 " " 0 " % ' *F

" " 0 Q Y F 0 Y 7 Q 9 F 9 " " " " %

47

NR 3/2015

48

P

O

M

I

A

R

Y

•

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

•

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

Pomiary Automatyka Robotyka, ISSN 1427-9126, R. 21, Nr 4/2017, 49â&#x20AC;&#x201C;57, DOI: 10.14313/PAR_226/49

S

" * " " " " " * * " * Orest Serediuk, Vitaliy Malisevych U 0A I # @ I 7 > #

Zygmunt L. Warsza " U / " " F U/ / % M " ,&, &,0OJ. '

Streszczenie: Przedstawiono termoanemometrycznÄ&#x2026; metodÄ&#x2122; bezpoĹ&#x203A;redniego pomiaru wartoĹ&#x203A;ci energetycznej przepĹ&#x201A;ywajÄ&#x2026;cego gazu ziemnego. Jest ona oparta na zastosowaniu dwu przetwornikĂłw: termoanemometrycznego i róşnicy ciĹ&#x203A;nieĹ&#x201E;. Opisano konstrukcjÄ&#x2122; i dziaĹ&#x201A;anie laboratoryjnego stanowiska przeznaczonego do badania tej metody. Na podstawie wynikĂłw badaĹ&#x201E; doĹ&#x203A;wiadczalnych wyznaczono charakterystykÄ&#x2122; kalibracyjnÄ&#x2026; przetwornika termoanemometrycznego i zaleĹźnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; jego sygnaĹ&#x201A;u wyjĹ&#x203A;ciowego od zmian wartoĹ&#x203A;ci energetycznej gazu naturalnego dla zakresu wartoĹ&#x203A;ci opaĹ&#x201A;owej (7759â&#x20AC;&#x201C;8538) kcal/m3 i przepĹ&#x201A;ywĂłw do 0,6 m3/h. Przeprowadzono analizÄ&#x2122; skĹ&#x201A;adowych niepewnoĹ&#x203A;ci pomiarĂłw typu B tÄ&#x2026; metodÄ&#x2026; i oszacowano jej niepewnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; standardowÄ&#x2026;. Jest to przykĹ&#x201A;ad metody poĹ&#x203A;redniej, ktĂłra polega na pomiarze innego parametru gazu, zaleĹźnego od zmian jego skĹ&#x201A;adu, gdy parametr wĹ&#x201A;aĹ&#x203A;ciwy jest trudny do okreĹ&#x203A;lenia, lub nie moĹźna go zbadaÄ&#x2021; bezpoĹ&#x203A;rednio.

Taka metoda moĹźe znaleĹşÄ&#x2021; wiele innych zastosowaĹ&#x201E;. ) # ' X * " H * " * * " " " 9

H " F

1. Wprowadzenie RozwĂłj energooszczÄ&#x2122;dnych technologii spowodowaĹ&#x201A; koniecznoĹ&#x203A;Ä&#x2021; wprowadzenia jednolitego systemu rozliczania dostaw gazu ziemnego z uwzglÄ&#x2122;dnieniem jego kalorycznoĹ&#x203A;ci. Na Ukrainie system ten opiera siÄ&#x2122; na normie ukraiĹ&#x201E;skiej [1] opublikowanej w 2011 r. Reguluje ona sposĂłb i procedurÄ&#x2122; obliczania pĹ&#x201A;atnoĹ&#x203A;ciach handlowych za energiÄ&#x2122; pobieranego gazu. Jest ona zharmonizowana z normami europejskimi [2], [3], podobnie jak obowiÄ&#x2026;zujÄ&#x2026;ce w Polsce rozporzÄ&#x2026;dzenie Ministra Gospodarki [4]. Z tego powodu na Ukrainie wprowadzona juĹź zostaĹ&#x201A;a norma miÄ&#x2122;dzypaĹ&#x201E;stwowa dotyczÄ&#x2026;ca funkcjonowania stacji pomiarowych gazu ziemnego [3]. Planuje siÄ&#x2122; wyposaĹźyÄ&#x2021; te stacje w Ĺ&#x203A;rodki do pomiaru wartoĹ&#x203A;ci opaĹ&#x201A;owej (ciepĹ&#x201A;a spalania) i energii przepĹ&#x201A;ywajÄ&#x2026;cego gazu ziemnego.

PeĹ&#x201A;ne wdroĹźenie obowiÄ&#x2026;zujÄ&#x2026;cych przepisĂłw jest jednak utrud-

# & *: X *" (% ' ) %

# ) ' ,.%&D%,&+- % &,%++%,&+- %

! "" # $%&

nione, w tym gĹ&#x201A;Ăłwnie wskutek braku Ĺ&#x203A;rodkĂłw technicznych o prostej konstrukcji sĹ&#x201A;uĹźÄ&#x2026;cych w praktyce do wyznaczania na bieĹźÄ&#x2026;co energetycznej wartoĹ&#x203A;ci gazu ziemnego u duĹźych odbiorcĂłw i dla wyodrÄ&#x2122;bnionych czÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;ci sieci dystrybucji gazu.

Jest to szczegĂłlnie istotne, gdy gaz pochodzi z kilku róşnych ĹşrĂłdeĹ&#x201A; i jego skĹ&#x201A;ad szybko zmienia siÄ&#x2122;. UrzÄ&#x2026;dzenia pomiarowe stosowane u odbiorcĂłw na Ukrainie, jako parametr obrotu handlowego mierzÄ&#x2026; objÄ&#x2122;toĹ&#x203A;Ä&#x2021; gazu ziemnego, ktĂłrÄ&#x2026; sprowadza siÄ&#x2122; do warunkĂłw znormalizowanych (293,15 K i 101,325 kPa).

W Polsce dominuje gaz pochodzÄ&#x2026;cy z jednego ĹşrĂłdĹ&#x201A;a.

Jego skĹ&#x201A;ad i wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; energetyczna zmieniajÄ&#x2026; siÄ&#x2122; niewiele i sÄ&#x2026; doĹ&#x203A;Ä&#x2021; powolne. Dlatego teĹź rozliczenia z konsumentami prowadzi siÄ&#x2122; wedĹ&#x201A;ug energii gazu, stosujÄ&#x2026;c metodÄ&#x2122; obliczeniowÄ&#x2026; [4], na podstawie pomiarĂłw objÄ&#x2122;toĹ&#x203A;ci z okresowÄ&#x2026; korekcjÄ&#x2026; na ciepĹ&#x201A;o spalania. Dane o skĹ&#x201A;adzie gazu dla danej czÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;ci sieci dystrybucji gazu uzyskuje siÄ&#x2122; za pomocÄ&#x2026; analizy chromatograficznej.

Analiza, rozwĂłj sposobĂłw i udoskonalenie urzÄ&#x2026;dzeĹ&#x201E; umoĹźliwiajÄ&#x2026;cych tanie i proste w obsĹ&#x201A;udze bezpoĹ&#x203A;rednie monitorowanie wartoĹ&#x203A;ci energetycznej gazu ziemnego wymaga prowadzenia badaĹ&#x201E;. MoĹźe ono stworzyÄ&#x2021; nowe sposoby bardziej racjonalnego wykorzystywania zasobĂłw energetycznych gazu i zapewniÄ&#x2021; wyĹźszÄ&#x2026; efektywnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; ekonomicznÄ&#x2026; przedsiÄ&#x2122;biorstw gospodarczych, gdyĹź poprawi siÄ&#x2122; rzetelnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; i dokĹ&#x201A;adnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; pomiarĂłw zuĹźycia energii gazu i odbiorcy uzyskajÄ&#x2026; moĹźliwoĹ&#x203A;Ä&#x2021; porĂłwnywania jej z energiÄ&#x2026; innych noĹ&#x203A;nikĂłw.

49

. 8 % . . .

Y. ; ~Â&#x20AC; ' '

Stosuje siÄ&#x2122; rĂłwnieĹź przepĹ&#x201A;ywowy kalorymetr gazowy Lab Q1 [13], [21]. SĹ&#x201A;uĹźy on zarĂłwno do wyznaczania gĂłrnego ciepĹ&#x201A;a spalania gazu, jak teĹź do pomiaru gÄ&#x2122;stoĹ&#x203A;ci gazu w warunkach normalnych oraz zawartoĹ&#x203A;ci dwutlenku wÄ&#x2122;gla w skĹ&#x201A;adzie gazu. W przyrzÄ&#x2026;dzie tym wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; opaĹ&#x201A;owÄ&#x2026; uzyskuje siÄ&#x2122; przez pomiar zaleĹźnoĹ&#x203A;ci miÄ&#x2122;dzy absorpcjÄ&#x2026; promieniowania podczerwonego i przewodnictwem cieplnym analizowanej prĂłbki gazu.

GĹ&#x201A;Ăłwne zalety tego kalorymetru to: brak otwartego ognia przy pomiarze, szybka ciÄ&#x2026;gĹ&#x201A;a analiza gazĂłw, niskie koszty instalacji i obsĹ&#x201A;ugi. BĹ&#x201A;Ä&#x2026;d graniczny pomiaru gĂłrnego ciepĹ&#x201A;a spalania nie przekracza 0,4%. WadÄ&#x2026; jest tu koniecznoĹ&#x203A;Ä&#x2021; wykorzystywania metanu do automatycznej kalibracji.

Do bezpoĹ&#x203A;redniego pomiaru objÄ&#x2122;toĹ&#x203A;ciowego dolnego ciepĹ&#x201A;a spalania gazĂłw palnych przeznaczony jest teĹź kalorymetr gazowy typu SAB [13], [21]. PrzyrzÄ&#x2026;d ten mierzy metodÄ&#x2026; kalorymetrycznÄ&#x2026; przez porĂłwnanie czasu spalania jednostkowej objÄ&#x2122;toĹ&#x203A;ci badanego gazu i gazu uĹźywanego do kalibracji. Gaz dostarcza siÄ&#x2122; do spalania w taki sposĂłb, Ĺźeby byĹ&#x201A;a staĹ&#x201A;a moc wydzielajÄ&#x2026;ca siÄ&#x2122; w komĂłrce pomiarowej bloku termicznego w wyniku reakcji chemicznej utleniania gazu palnego. Dopuszczalny bĹ&#x201A;Ä&#x2026;d wzglÄ&#x2122;dnego kalorymetru nie przekracza Âą0,45%.

WadÄ&#x2026; urzÄ&#x2026;dzenia jest doĹ&#x203A;Ä&#x2021; dĹ&#x201A;ugi cykl pracy (ok. 4 godzin) i nieciÄ&#x2026;gĹ&#x201A;oĹ&#x203A;Ä&#x2021; dziaĹ&#x201A;ania wskutek porcjowania badanego gazu. Rozliczania kosztĂłw gazu ziemnego wedĹ&#x201A;ug wartoĹ&#x203A;ci jego energii jeszcze nie realizuje siÄ&#x2122; na Ukrainie w peĹ&#x201A;ni, tak jak w Polsce, gdyĹź brak kosztownej aparatury do jej pomiarĂłw, ale ten system rozliczeĹ&#x201E; juĹź teĹź rozpoczÄ&#x2122;to wprowadzaÄ&#x2021;.

Dwu z autorĂłw przedstawiĹ&#x201A;o podstawy teoretyczne i zaproponowaĹ&#x201A;o oryginalnÄ&#x2026; metodÄ&#x2122; [14] do ciÄ&#x2026;gĹ&#x201A;ego monitorowania energetycznej wartoĹ&#x203A;ci gazu ziemnego. Wykorzystuje ona skorelowanie zmian jego parametrĂłw termofizycznych i ciepĹ&#x201A;a spalania wraz ze zmianÄ&#x2026; skĹ&#x201A;adu gazu. W rozwiÄ&#x2026;zaniach konstrukcyjnych przyrzÄ&#x2026;dĂłw do realizacji tej metody trzeba uĹźyÄ&#x2021; dwĂłch rodzajĂłw czujnikĂłw: do pomiaru przepĹ&#x201A;ywu i do pomiaru ciepĹ&#x201A;a spalania [15]. Jako pierwszy z nich moĹźna na przykĹ&#x201A;ad wykorzystaÄ&#x2021; przetwornik róşnicy ciĹ&#x203A;nienia (rys. 1) lub przetwornik naporowy [17, 21]. Natomiast ciepĹ&#x201A;o spalania gazu ziemnego wyznacza siÄ&#x2122; poĹ&#x203A;rednio przez pomiar wspĂłĹ&#x201A;czynnika przewodzenia ciepĹ&#x201A;a za pomocÄ&#x2026; przetwornika termoanemometrycznego. Ta metoda, po jej wdroĹźeniu, umoĹźliwi bezpoĹ&#x203A;redni pomiar energii gazu i poszerzy zbiĂłr Ĺ&#x203A;rodkĂłw pomiarowych stosowanych do monitorowania wartoĹ&#x203A;ci energetycznej gazu ziemnego.

W niniejszej pracy podaje siÄ&#x2122; podstawy teoretyczne oraz opisuje siÄ&#x2122; badania podstawowych parametrĂłw metrologicznych metody termoanemometrycznej z punktu widzenia jej przydatnoĹ&#x203A;ci do budowy systemĂłw pomiarowo-informatycznych przeznaczonych do zliczania na bieĹźÄ&#x2026;co wartoĹ&#x203A;ci energii dostarczanego gazu ziemnego.

Energia wydzielajÄ&#x2026;ca siÄ&#x2122; w procesie spalania w powietrzu okreĹ&#x203A;lonej objÄ&#x2122;toĹ&#x203A;ci (lub masy) gazu ziemnego jest jednÄ&#x2026; z najwaĹźniejszych jego cech jakoĹ&#x203A;ciowych. Charakteryzuje siÄ&#x2122; jÄ&#x2026; przez tzw. gĂłrnÄ&#x2026; i dolnÄ&#x2026; (po uwzglÄ&#x2122;dnieniu poboru czÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;ci z ciepĹ&#x201A;a spalania na kondensacjÄ&#x2122; wody) wartoĹ&#x203A;ci opaĹ&#x201A;owe. Z doĹ&#x203A;wiadczeĹ&#x201E;, na ktĂłrych bazuje norma europejska [2] i wzorowane na niej normy krajowe, w tym ukraiĹ&#x201E;ska [1], wynika, Ĺźe w pomiarach dystrybucji gazu ziemnego naleĹźy mierzyÄ&#x2021; energiÄ&#x2122; zawartÄ&#x2026; w jego objÄ&#x2122;toĹ&#x203A;ci lub masie, wyraĹźanÄ&#x2026; w MJ lub kWh. MiarÄ&#x2026; tej energii jest wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; ciepĹ&#x201A;a spalania gazu ziemnego na jednostkÄ&#x2122; jego objÄ&#x2122;toĹ&#x203A;ci lub masy, wyraĹźana w MJ/m3 lub MJ/kg.

W rozliczeniach i transporcie gazu ziemnego stosuje siÄ&#x2122; pojÄ&#x2122;cie jego wartoĹ&#x203A;ci energetycznej. Jest to energia gazu przepĹ&#x201A;ywajÄ&#x2026;cego na jednostkÄ&#x2122; czasu. Mierzy siÄ&#x2122; jÄ&#x2026; w MJ/s lub w kcal/s â&#x20AC;&#x201C; jednostce spoza systemu SI stosowanej jeszcze w praktyce.

CaĹ&#x201A;kowanie tej wielkoĹ&#x203A;ci w dziedzinie czasu daje iloĹ&#x203A;ciowÄ&#x2026; wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; energii mierzonego gazu ziemnego. Oblicza siÄ&#x2122; jÄ&#x2026; jako iloczyn zmierzonej objÄ&#x2122;toĹ&#x203A;ci (lub masy) gazu i jego wartoĹ&#x203A;ci opaĹ&#x201A;owej, czyli ciepĹ&#x201A;a spalania w okreĹ&#x203A;lonych warunkach.

WedĹ&#x201A;ug norm [1, 2], wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; energii e dla strumienia gazu, ktĂłry przepĹ&#x201A;ynÄ&#x2026;Ĺ&#x201A; przez poprzeczny przekrĂłj pomiarowy rurociÄ&#x2026;gu, wyznacza siÄ&#x2122; ze wzoru e = q H

(1)

gdzie: q â&#x20AC;&#x201C; objÄ&#x2122;toĹ&#x203A;Ä&#x2021; gazu w m3; H â&#x20AC;&#x201C; ciepĹ&#x201A;o spalania (wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; opaĹ&#x201A;owa) gazu ziemnego w J/m3.

Tylko nieliczne publikacje z ostatnich kilku lat [5â&#x20AC;&#x201C;12] dotyczÄ&#x2026;ce pomiarĂłw przepĹ&#x201A;ywu gazu ziemnego, w tym polskie [11, 12], omawiajÄ&#x2026; rozliczanie zuĹźycia z uwzglÄ&#x2122;dnieniem jego energii. Jest to teĹź tematyka badaĹ&#x201E; naukowych podjÄ&#x2122;tych w Ivano-Frankivskim Uniwersytecie Technicznym na Ukrainie [13, 14].

Najbardziej rozpowszechniona jest metoda obliczeniowa [11, 13] wyznaczania ciepĹ&#x201A;a spalania gazu ziemnego, ktĂłra wykorzystuje dane o skĹ&#x201A;adzie gazu uzyskane za pomocÄ&#x2026; analizy chromatograficznej. OddziaĹ&#x201A;y nadzoru sieci gazowej sÄ&#x2026; wyposaĹźone w odpowiednie do tego zadania chromatografy. MonitorujÄ&#x2026; one okresowo jakoĹ&#x203A;Ä&#x2021; gazu ziemnego i dokonujÄ&#x2026; oceny jej zgodnoĹ&#x203A;ci z obowiÄ&#x2026;zujÄ&#x2026;cymi przepisami i normami.

Chromatografy wystÄ&#x2122;pujÄ&#x2026; teĹź w zestawie wyposaĹźenia pomiarowego stacji [3] realizujÄ&#x2026;cych dystrybucjÄ&#x2122; gazu metodÄ&#x2026; zmiennej róşnicy ciĹ&#x203A;nieĹ&#x201E;. Na przykĹ&#x201A;ad w stacji pomiarowej gazu â&#x20AC;&#x17E;Grebenikiâ&#x20AC;? na Ukrainie, do analizy in-line jakoĹ&#x203A;ci gazu ziemnego stosuje siÄ&#x2122; automatyczne przepĹ&#x201A;ywowe chromatografy gazowe ENCAL firmy INSTROMET. JednakĹźe takÄ&#x2026; metodÄ&#x2122; oznaczania ciepĹ&#x201A;a spalania gazu ziemnego moĹźna stosowaÄ&#x2021; tylko w duĹźych punktach pomiaru gazu wyposaĹźonych w drogi sprzÄ&#x2122;t. Nie nadaje siÄ&#x2122; ona do bezpoĹ&#x203A;rednich pomiarĂłw. Gdy gaz pochodzi z kilku róşnych ĹşrĂłdeĹ&#x201A;, to jego skĹ&#x201A;ad u duĹźych odbiorcĂłw przemysĹ&#x201A;owych oraz dla wyodrÄ&#x2122;bnionej czÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;ci sieci gazowej dla domowych i innych drobnych konsumentĂłw zmienia siÄ&#x2122; doĹ&#x203A;Ä&#x2021; czÄ&#x2122;sto.

Obecnie w przemyĹ&#x203A;le ukraiĹ&#x201E;skim, do pomiarĂłw wartoĹ&#x203A;ci opaĹ&#x201A;owej gazu ziemnego stosuje siÄ&#x2122; systemy pomiarowe z seryjnie produkowanymi kalorymetrami do ciÄ&#x2026;gĹ&#x201A;ego automatycznego pomiaru. SkĹ&#x201A;adajÄ&#x2026; siÄ&#x2122; one z jednostki gĹ&#x201A;Ăłwnej, jednostki sterujÄ&#x2026;cej, rejestratora i zasilacza i mierzÄ&#x2026; ciepĹ&#x201A;a spalania okreĹ&#x203A;lonej objÄ&#x2122;toĹ&#x203A;ci róşnych gazĂłw palnych. Parametry tych kalorymetrĂłw sÄ&#x2026; opisane w pracy [14]. Obok szeregu zalet, takich jak maĹ&#x201A;e gabaryty, brak specjalnych wymagaĹ&#x201E; dla instalacji, szeroki zakres temperatury 5â&#x20AC;&#x201C;50 °C, szybki czas pomiaru 20â&#x20AC;&#x201C;30 s i bĹ&#x201A;Ä&#x2026;d pomiaru wartoĹ&#x203A;ci ciepĹ&#x201A;a spalania gazu nieprzekraczajÄ&#x2026;cy Âą0,5%, wystÄ&#x2122;puje ograniczenie â&#x20AC;&#x201C; praca tylko przy niskim ciĹ&#x203A;nieniu gazu roboczego, tj. do 20 kPa.

50

P

O

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

{. 6&

# & ' & ' , = Do przeprowadzenia badaĹ&#x201E; doĹ&#x203A;wiadczalnych wykorzystano stanowisko laboratoryjne z produkowanym seryjnie przetwornikiem termoanemometrycznym [16]. DziaĹ&#x201A;anie stanowiska omĂłwi siÄ&#x2122; w oparciu o jego schemat funkcjonalny podany na rys. 2, a wyglÄ&#x2026;d zasadniczej czÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;ci stanowiska przedstawiono na rys. 3.

Stanowisko to zawiera: krĂłciec wlotowy 1 (rys. 2), zbiornik cylindryczny 2 ze skroplonÄ&#x2026; mieszaninÄ&#x2026; propan-butan, ĹşrĂłdĹ&#x201A;o dopĹ&#x201A;ywu powietrza 3, zawory ustalajÄ&#x2026;ce przepĹ&#x201A;yw 4, 6, 12, reduktor ciĹ&#x203A;nienia 5, nagrzewacz przepĹ&#x201A;ywowy gazu roboczego 7, sekcjÄ&#x2122; 10 do pomiarĂłw termo-anemometrycznych ze zwÄ&#x2122;ĹźkÄ&#x2026; 8 i pierwotnym przetwornikiem 9 ciĹ&#x203A;nienia p, temperatury T i róşnicy ciĹ&#x203A;nienia Î&#x201D;p na termoanemometrycznym przetworniku tu zastosowanym, wzorcowy licznik objÄ&#x2122;toĹ&#x203A;ci gazu robo-

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

C

q Z " . ' /

Rys. 1. PrzykĹ&#x201A;ad rozwiÄ&#x2026;zania technicznego systemu do pomiaru zawartoĹ&#x203A;ci energii gazu za pomocÄ&#x2026; przepĹ&#x201A;ywomierza róşnicy ciĹ&#x203A;nienieĹ&#x201E;: 1 â&#x20AC;&#x201C; rurociÄ&#x2026;g; 2 â&#x20AC;&#x201C; medium robocze â&#x20AC;&#x201C; badany gaz; 3 â&#x20AC;&#x201C; kryza pomiarowa; 4 â&#x20AC;&#x201C; kanaĹ&#x201A; obejĹ&#x203A;ciowy; 5, 6 â&#x20AC;&#x201C; zawory odcinajÄ&#x2026;ce; 7 â&#x20AC;&#x201C; czujnik termoanemometryczny; 8, 9 â&#x20AC;&#x201C; przetworniki ciĹ&#x203A;nienia i temperatury gazu przepĹ&#x201A;ywajÄ&#x2026;cego; 10 â&#x20AC;&#x201C; przetwornik ciĹ&#x203A;nienia róşnicowego na kryzie pomiarowej; 11, 12 â&#x20AC;&#x201C; ukĹ&#x201A;ady standaryzujÄ&#x2026;ce sygnaĹ&#x201A;y wyjĹ&#x203A;ciowe z pomiarowych przetwornikĂłw temperatury; 13 â&#x20AC;&#x201C; komputer PC Fig. 1. Example of technical solution of the measurement system for determination of the gas energy content based on differential pressure flow meter: 1 â&#x20AC;&#x201C; pipeline; 2 â&#x20AC;&#x201C; working medium â&#x20AC;&#x201C; gas tested; 3 â&#x20AC;&#x201C; measuring flange; 4 â&#x20AC;&#x201C; bypass channel; 5, 6 â&#x20AC;&#x201C; shutoff valves; 7 â&#x20AC;&#x201C; thermo-anemometer; 8, 9 â&#x20AC;&#x201C; pressure and temperature of flow gas transducers; 10 â&#x20AC;&#x201C; differential pressure transducer on the measuring cone; 11, 12 â&#x20AC;&#x201C; systems of conditioning output signals of temperature sensors; 13 â&#x20AC;&#x201C; PC

Rys. 2. Schemat stanowiska laboratoryjnego do pomiaru wartoĹ&#x203A;ci energetycznej gazu ziemnego Fig. 2. Diagram of a laboratory stand for measuring the energy value of natural gas

czego 11, krĂłciec wylotowy 13 i komputer 14. Dane o ciĹ&#x203A;nieniu p i temperaturze T gazu roboczego, spadku ciĹ&#x203A;nienia Î&#x201D;p na zwÄ&#x2122;Ĺźce oraz wartoĹ&#x203A;ci U sygnaĹ&#x201A;u wyjĹ&#x203A;ciowego z przetwornika termoanemometrycznego doprowadzane sÄ&#x2026; do komputera PC. W badaniach eksperymentalnych na stanowisku laboratoryjnym uzyskiwano maksymalny przepĹ&#x201A;yw 2,45 m3/h przy ciĹ&#x203A;nieniu do 2,5 kPa. Ponadto konstrukcja stanowiska umoĹźliwiaĹ&#x201A;a badanie wartoĹ&#x203A;ci energetycznej róşnych rodzajĂłw gazu roboczego. Elementy 4, 6, 12 sĹ&#x201A;uĹźÄ&#x2026;ce do ustawiania natÄ&#x2122;Ĺźenia przepĹ&#x201A;ywu i reduktor ciĹ&#x203A;nienia 5 pozwalajÄ&#x2026; podczas badaĹ&#x201E; tworzyÄ&#x2021; róşne wydatki gazu i róşne jego ciĹ&#x203A;nienie. Badania moĹźna byĹ&#x201A;o przeprowadzaÄ&#x2021; dla trzech rodzajĂłw pĹ&#x201A;ynĂłw roboczych, tj. gazu ziemnego, propanu-butanu i jego mieszaniny z powietrzem o zadanym skĹ&#x201A;adzie oraz dla strumieni tych pĹ&#x201A;ynĂłw o róşnej wartoĹ&#x203A;ci energii. ĹšrĂłdĹ&#x201A;em gazu ziemnego moĹźe byÄ&#x2021; sieÄ&#x2021; domowa, do ktĂłrej doĹ&#x201A;Ä&#x2026;cza siÄ&#x2122; stanowisko laboratoryjne przez krĂłciec wlotowy 1. WĂłwczas gaz ziemny, przez zawĂłr nastawczy 4 dopĹ&#x201A;ywa do sekcji pomiarowej 10, a stanowisko pracuje pod niskim ciĹ&#x203A;nieniem do 2,5 kPa.

Podczas pracy na stanowisku z gazem propan-butan, jego skroplonÄ&#x2026; postaÄ&#x2021; ze zbiornika 2, podaje siÄ&#x2122; przez reduktor 5 regulujÄ&#x2026;cy ciĹ&#x203A;nienie juĹź w stanie gazowym do przewodu sekcji pomiarowej stanowiska. Pojemnik 2 moĹźna teĹź zastosowaÄ&#x2021; jako ĹşrĂłdĹ&#x201A;o sprÄ&#x2122;Ĺźonego gazu ziemnego. UmoĹźliwia to zwiÄ&#x2122;kszenie ciĹ&#x203A;nienia i szybkoĹ&#x203A;ci przepĹ&#x201A;ywu gazu roboczego i w konsekwencji wzrasta zakres pomiarowy jego wartoĹ&#x203A;ci energetycznej.

NaleĹźy wtedy stosowaÄ&#x2021; termoanemometryczny przetwornik o odpowiednio dopuszczalnej wartoĹ&#x203A;ci ciĹ&#x203A;nienia roboczego.

MoĹźliwe jest teĹź uĹźycie powietrza jako gazu roboczego. Doprowadza siÄ&#x2122; je z dmuchawy i moĹźna tworzyÄ&#x2021; mieszaniny z gazem ziemnym o róşnych wartoĹ&#x203A;ciach energii. WĂłwczas do utworzenia pĹ&#x201A;ynu roboczego stosuje siÄ&#x2122; rĂłwnoczeĹ&#x203A;nie dwa lub trzy spoĹ&#x203A;rĂłd wystÄ&#x2122;pujÄ&#x2026;cych tu ĹşrĂłdeĹ&#x201A; gazu. Wydatki poszczegĂłlnych skĹ&#x201A;adnikĂłw ustawia siÄ&#x2122; odpowiednio stopniem otwarcia zaworĂłw regulacyjnych 4, 5, 6. W trakcie pracy stanowiska, wzorcowym miernikiem objÄ&#x2122;toĹ&#x203A;ci gazu roboczego byĹ&#x201A; wykalibrowany indywidualnie licznik 11, zaĹ&#x203A; natÄ&#x2122;Ĺźenie przepĹ&#x201A;ywu gazu w sekcji pomiarowej wyznaczano za pomocÄ&#x2026; miernika czasu â&#x20AC;&#x201C; blok 14.

51

. 8 % . . .

Rys. 3. Widok ogĂłlny stanowiska laboratoryjnego do badaĹ&#x201E; przydatnoĹ&#x203A;ci metody termoanemometrycznej w kontroli wartoĹ&#x203A;ci energetycznej gazu ziemnego Fig. 3. General view of a laboratory bench for testing the suitability of the thermo-anemometric method in controlling the natural gas energy value

Badania wymagaĹ&#x201A;y wstÄ&#x2122;pnej kalibracji przetwornika termoanemometrycznego dla róşnych cech jakoĹ&#x203A;ciowych gazu ziemnego. Zastosowano gaz ziemny o trzech róşnych wartoĹ&#x203A;ciach opaĹ&#x201A;owych. ĹšrĂłdĹ&#x201A;em gazu w badaniach byĹ&#x201A;y oddzielne zbiorniki uĹźyte do odbioru jego prĂłbek o skĹ&#x201A;adzie okreĹ&#x203A;lonym przez analizÄ&#x2122; chromatograficznÄ&#x2026; (tabela 1).

Zbiorniki ze sprÄ&#x2122;Ĺźonym gazem ziemnym o znanej wartoĹ&#x203A;ci ciepĹ&#x201A;a spalania podĹ&#x201A;Ä&#x2026;czano naprzemiennie do otworu wlotowego 1 stanowiska laboratoryjnego, (rys. 3) oraz przez reduktor 2 do toru pomiarowego. W torze tym byĹ&#x201A; umieszczony czujnik temperatury 6, przetwornik termoanemometryczny 8, licznik gazu 9 (gazomierz miechowy wielkoĹ&#x203A;ci G 1,6 indywidualnie wykalibrowany). Wymagane wartoĹ&#x203A;ci prÄ&#x2122;dkoĹ&#x203A;ci przepĹ&#x201A;ywu i ciĹ&#x203A;nienia strumienia medium roboczego w stanowisku laboratoryjnym zadawano nastawami zaworĂłw 2 i 10. Wylot 11 podĹ&#x201A;Ä&#x2026;czono do instalacji utylizujÄ&#x2026;cej uĹźyty gaz naturalny z palnikiem gazowym na jej wyjĹ&#x203A;ciu. Do pomiaru temperatury doprowadzanego gazu sĹ&#x201A;uĹźyĹ&#x201A; miernik cyfrowy 5 z czujnikiem 6. Do pomiaru ciĹ&#x203A;nienia w torze pomiarowym zamontowano czujnik 7 tak, aby poprzedzaĹ&#x201A; on pierwotny przetwornik przepĹ&#x201A;ywu gazu 8. SygnaĹ&#x201A; wyjĹ&#x203A;ciowy (napiÄ&#x2122;cie) z termoanemometrycznego przetwornika mierzono za pomocÄ&#x2026; oscyloskopu cyfrowego 12. SĹ&#x201A;uĹźyĹ&#x201A; on jednoczeĹ&#x203A;nie do kontroli stabilnoĹ&#x203A;ci tego sygnaĹ&#x201A;u i uĹ&#x203A;redniania za czas pomiaru.

Tabela 1. Wyniki analizy chromatograficznej skĹ&#x201A;adu prĂłbek gazu uĹźytych w badaniach eksperymentalnych Table 1. Results of chromatographic analysis of the composition of gas samples used in experiments Wyniki analizy gazu, % objÄ&#x2122;toĹ&#x203A;ci

Fizykochemiczne skĹ&#x201A;adniki gazu

PrĂłbka 1

PrĂłbka 2

PrĂłbka 3

metan (C1)

97,0410

96,6670

92,7140

etan (C2)

0,0980

1,7900

3,4980

propanu (C3)

0,0050

0,5510

1,4610

izo-butan (is4)

0,0010

0,0860

0,2530

n-butan (NC4)

0,0000

0,0890

0,4500

neo-pentan (neoS4)

0,0000

0,0010

0,0020

izo-pentan (i C5)

0,0010

0,0160

0,1360

n-pentan (NS5)

0,0000

0,0110

0,1160

heksan+wyĹźsze (C6+wyĹźsze)

0,0000

0,0110

0,1520

tlen (O2)

0,0220

0,0040

0,0060

azot (N2)

2,6820

0,6750

0,6290

ditlenek wÄ&#x2122;gla (CO2)

0,1490

0,0990

0,5830

wzglÄ&#x2122;dna gÄ&#x2122;stoĹ&#x203A;Ä&#x2021;, kg/m3

0,5678

0,5761

0,6142

chromatograficzna gÄ&#x2122;stoĹ&#x203A;Ä&#x2021; kg/m3

0,6842

0,6943

0,7402

7759

8145

8538

kcal/m3

Dolne ciepĹ&#x201A;o spalania (w warunkach normalnych)

32,4854

34,1015

35,7469

Rys. 4. ZaleĹźnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; sygnaĹ&#x201A;u wyjĹ&#x203A;ciowego zestawu do pomiaru wartoĹ&#x203A;ci energetycznej gazu ziemnego od natÄ&#x2122;Ĺźenia przepĹ&#x201A;ywu przy róşnym cieple spalania i nadciĹ&#x203A;nieniu 0,1 kPa Fig. 4. Relation of the output signal of the set for the measurement of the natural gas energy value from flow rate at various heat fluxes and overpressure of 0.1 kPa

MJ/m3 liczba Wobbego (wyĹźsza) cal/m3

52

P

O

M

11433

I

A

11902

R

Y

â&#x20AC;˘

A

12062

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

C

q Z " . ' /

Widoczne na rys. 2 krĂłÄ&#x2021;ce 3, 4 sĹ&#x201A;uĹźÄ&#x2026; do doprowadzania dodatkowego medium roboczego do instalacji laboratoryjnej.

Na rysunku 4 przedstawiono sygnaĹ&#x201A; wyjĹ&#x203A;ciowy przetwornika termoanemometrycznego w postaci wartoĹ&#x203A;ci napiÄ&#x2122;cia U. Uzyskano je dla trzech kompozycji skĹ&#x201A;adu gazu ziemnego, o wartoĹ&#x203A;ci opaĹ&#x201A;owej (cieple spalania) 7759 kcal/m3, 8138 kcal/m3 i 8538 kcal/m3. Otrzymane wykresy (rys. 4) wykazujÄ&#x2026;, Ĺźe wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; energii gazu jest funkcjÄ&#x2026; dwu jego parametrĂłw (przepĹ&#x201A;ywu objÄ&#x2122;toĹ&#x203A;ciowego lub masowego i ciepĹ&#x201A;a spalania). Jest to zaleĹźnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; nieliniowa.

Wyniki badaĹ&#x201E; eksperymentalnych i analiza metrologiczna potwierdzajÄ&#x2026; moĹźliwoĹ&#x203A;Ä&#x2021; budowy ukĹ&#x201A;adu pomiarowego z przetwornikiem termoanemometrycznym do bezpoĹ&#x203A;redniego zliczania wartoĹ&#x203A;ci energetycznej przepĹ&#x201A;ywajÄ&#x2026;cego gazu ziemnego.

Przy okreĹ&#x203A;leniu wartoĹ&#x203A;ci energii gazu e na podstawie algorytmu (1) zwykle nie dysponuje siÄ&#x2122; zbiorami wartoĹ&#x203A;ci pomiarĂłw wielokrotnie powtarzanych w róşnych warunkach. Nie ma wiÄ&#x2122;c moĹźliwoĹ&#x203A;ci obliczenia oceny statystycznej dla przetwarzania wynikĂłw wielu pomiarĂłw rzeczywistych. MoĹźna natomiast dokonaÄ&#x2021; heurystycznej analizy skĹ&#x201A;adowych niepewnoĹ&#x203A;ci typu B w oparciu o wiedzÄ&#x2122; juĹź posiadanÄ&#x2026; oraz zdobytÄ&#x2026; doĹ&#x203A;wiadczalnie na stanowisku badawczym. MiÄ&#x2122;dzy przypadkowymi zmianami wartoĹ&#x203A;ci parametrĂłw qS i HS nie wystÄ&#x2122;puje korelacja i dla standardowej niepewnoĹ&#x203A;ci uB(e) otrzyma siÄ&#x2122; nastÄ&#x2122;pujÄ&#x2026;cÄ&#x2026; zaleĹźnoĹ&#x203A;Ä&#x2021;: 2

â&#x17D;&#x203A; â&#x2C6;&#x201A;e â&#x17D;&#x17E; â&#x17D;&#x203A; â&#x2C6;&#x201A;e â&#x17D;&#x17E; u B (e) = â&#x17D;&#x153;â&#x17D;&#x153; u B (q S ) â&#x17D;&#x;â&#x17D;&#x; + â&#x17D;&#x153;â&#x17D;&#x153; u B (H S ) â&#x17D;&#x;â&#x17D;&#x; â&#x2C6;&#x201A; q â&#x2C6;&#x201A; H S â&#x17D;? S â&#x17D; â&#x17D;? â&#x17D;

^. ' #) ~

PodstawÄ&#x2122; budowy metrologicznego modelu pomiarĂłw stanowi zaleĹźnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; (1). Przyjmuje siÄ&#x2122; teĹź, Ĺźe wg przybliĹźenia [14, 18], wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; opaĹ&#x201A;owa gazu ziemnego HS, w warunkach standardowych i przy zastosowaniu przetwornika termoanemometrycznego, jest zwiÄ&#x2026;zana z jego wspĂłĹ&#x201A;czynnikiem wymiany ciepĹ&#x201A;a nastÄ&#x2122;pujÄ&#x2026;cÄ&#x2026; funkcjÄ&#x2026; liniowÄ&#x2026; [J/m3],

(2)

gdzie: aS â&#x20AC;&#x201C; wspĂłĹ&#x201A;czynnik przenikania ciepĹ&#x201A;a przetwornika hot-wire w warunkach standardowych gazu o parametrach TS = 293,15 K, pS = 101 325 Pa, w W/(m2¡K).

w ktĂłrej:

(3)

gdzie: IW â&#x20AC;&#x201C; prÄ&#x2026;d przepĹ&#x201A;ywajÄ&#x2026;cy przez drut przetwornika; RW â&#x20AC;&#x201C; rezystancja elektryczna przetwornika hot-wire; lW, dW â&#x20AC;&#x201C; dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;Ä&#x2021; i Ĺ&#x203A;rednica gorÄ&#x2026;cego drutu przetwornika; k â&#x20AC;&#x201C; wspĂłĹ&#x201A;czynnik temperaturowy RW; T, TS â&#x20AC;&#x201C; temperatury gazu w warunkach roboczych i standardowych.

ZwiÄ&#x2026;zek wspĂłĹ&#x201A;czynnika wymiany ciepĹ&#x201A;a aS w warunkach standardowych, z wspĂłĹ&#x201A;czynnikiem a w warunkach pracy opisuje siÄ&#x2122; wyraĹźeniem KaS [21]. Bierze ono pod uwagÄ&#x2122; zmianÄ&#x2122; przekazywania ciepĹ&#x201A;a przez przetwornik warunkach roboczych w zaleĹźnoĹ&#x203A;ci od ciĹ&#x203A;nienia, temperatury i prÄ&#x2122;dkoĹ&#x203A;ci przepĹ&#x201A;ywu gazu.

Drugim parametrem wykorzystywanym do okreĹ&#x203A;lenia wartoĹ&#x203A;ci energii gazu ziemnego jest natÄ&#x2122;Ĺźenie przepĹ&#x201A;ywu gazu qS w rurociÄ&#x2026;gu. Przy uĹźyciu gazomierza oblicza siÄ&#x2122; je ze wzoru:

(5)

â&#x2C6;&#x201A;e â&#x2C6;&#x201A;e i â&#x20AC;&#x201C; wspĂłĹ&#x201A;czynniki wpĹ&#x201A;ywu niepewnoĹ&#x203A;ci â&#x2C6;&#x201A;q S â&#x2C6;&#x201A;H S

parametrĂłw qS i HS. NiepewnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; standardowÄ&#x2026; uB(HS) oblicza siÄ&#x2122; ze wzoru:

2

â&#x17D;&#x17E; â&#x17D;&#x203A; â&#x2C6;&#x201A;H u B (H S ) = u Bâ&#x20AC;˛ (H S )2 + â&#x17D;&#x153; S â&#x2039;&#x2026; u B (Îą )â&#x17D;&#x; + u B (KÎą S )2 â&#x17D; â&#x17D;? â&#x2C6;&#x201A;Îą

gdzie: ZaleĹźnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; wspĂłĹ&#x201A;czynnika aS od dolnej wartoĹ&#x203A;ci opaĹ&#x201A;owej dla róşnych wariantĂłw kompozycji skĹ&#x201A;adu gazu ma bĹ&#x201A;Ä&#x2026;d aproksymacji Âą0,24% [20]. WartoĹ&#x203A;ci wspĂłĹ&#x201A;czynnika a anemometru w warunkach roboczych moĹźna wyznaczyÄ&#x2021; metodÄ&#x2026; poĹ&#x203A;redniÄ&#x2026;.

Oblicza siÄ&#x2122; go ze wzoru (3)

2

â&#x2C6;&#x201A;H S â&#x2C6;&#x201A;Îą

(6)

â&#x20AC;&#x201C; wspĂłĹ&#x201A;czynnik wagi dla skĹ&#x201A;adowej niepewnoĹ&#x203A;ci

u B (Îą ) ; uâ&#x20AC;˛B (H S ) = 48 530,95 J/m â&#x20AC;&#x201C; standardowa niepewnoĹ&#x203A;Ä&#x2021;

aproksymacji funkcjÄ&#x2026; (2) ciepĹ&#x201A;a spalania gazu ziemnego [21]; â&#x2C6;&#x201A;H S â&#x2039;&#x2026; u B (Îą ) â&#x20AC;&#x201C; standardowa niepewnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; wyznaczenia wspĂłĹ&#x201A;â&#x2C6;&#x201A;Îą

czynnika przenikania ciepĹ&#x201A;a czujnika termo-anemometrycznego hot-wire; uB(KaS) = 2,828 â&#x20AC;&#x201C; standardowa niepewnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; przeliczenia wspĂłĹ&#x201A;czynnika a do warunkĂłw standardowych wymiany ciepĹ&#x201A;a [21].

Przy wyznaczaniu wspĂłĹ&#x201A;czynnika a w oparciu o algorytm (3) i braku korelacji miÄ&#x2122;dzy przypadkowymi zmianami wartoĹ&#x203A;ci poszczegĂłlnych parametrĂłw, z zasady propagacji wariancji otrzymuje siÄ&#x2122; nastÄ&#x2122;pujÄ&#x2026;ce wyraĹźenie dla niepewnoĹ&#x203A;ci uB(a): 2

uB (Îą ) =

2

2

â&#x17D;&#x203A; â&#x2C6;&#x201A;Îą â&#x17D;&#x17E; â&#x17D;&#x203A; â&#x2C6;&#x201A;Îą â&#x17D;&#x17E; â&#x17D;&#x203A; â&#x2C6;&#x201A;Îą â&#x17D;&#x17E; â&#x17D;&#x153; â&#x17D;&#x; â&#x17D;&#x153; â&#x17D;&#x; â&#x17D;&#x153; â&#x17D;&#x; â&#x17D;&#x153; â&#x2C6;&#x201A;I uB (IW )â&#x17D;&#x; + â&#x17D;&#x153; â&#x2C6;&#x201A;R uB (RW ) â&#x17D;&#x; + â&#x17D;&#x153; â&#x2C6;&#x201A;d uB (d W )â&#x17D;&#x; + â&#x17D;? W â&#x17D; â&#x17D;? W â&#x17D; â&#x17D;? W â&#x17D; 2

2 â&#x17D;&#x203A; â&#x2C6;&#x201A;Îą â&#x17D;&#x17E; â&#x17D;&#x203A; â&#x2C6;&#x201A;Îą â&#x17D;&#x17E; + â&#x17D;&#x153;â&#x17D;&#x153; uB (l W )â&#x17D;&#x;â&#x17D;&#x; + â&#x17D;&#x153; uB (T )â&#x17D;&#x; â&#x17D; â&#x17D;? â&#x2C6;&#x201A;l W â&#x17D; â&#x17D;? â&#x2C6;&#x201A;T

(7) gdzie:

â&#x2C6;&#x201A;Îą â&#x2C6;&#x201A;Îą â&#x2C6;&#x201A;Îą â&#x2C6;&#x201A;Îą â&#x2C6;&#x201A;Îą , , , , â&#x20AC;&#x201C; wspĂłĹ&#x201A;czynniki wagi â&#x2C6;&#x201A;I W â&#x2C6;&#x201A;R W â&#x2C6;&#x201A;d W â&#x2C6;&#x201A;l W â&#x2C6;&#x201A;T

wpĹ&#x201A;ywu parametrĂłw IW, RW, dW, lW, T; uB(IW), uB(RW), uB(dW), uB(lW), uB(T) â&#x20AC;&#x201C; odpowiednio ich niepewnoĹ&#x203A;ci standardowe.

(4)

gdzie: qS â&#x20AC;&#x201C; objÄ&#x2122;toĹ&#x203A;ciowe natÄ&#x2122;Ĺźenie przepĹ&#x201A;ywu gazu w warunkach normalnych; V â&#x20AC;&#x201C; objÄ&#x2122;toĹ&#x203A;Ä&#x2021; gazu, ktĂłra przepĹ&#x201A;ynÄ&#x2122;Ĺ&#x201A;a w czasie t, mierzona przez gazomierz; KqS â&#x20AC;&#x201C; wspĂłĹ&#x201A;czynnik przeliczenia wartoĹ&#x203A;ci strumienia gazu z warunkĂłw roboczych do standardowych.

We wzorze (7) nie wystÄ&#x2122;pujÄ&#x2026; niepewnoĹ&#x203A;ci standardowe uB(r), uB(k), uB(TC) i uB(Ď&#x20AC;), gdyĹź moĹźna zaĹ&#x201A;oĹźyÄ&#x2021;, Ĺźe rezystywnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; elektryczna r materiaĹ&#x201A;u drutu (platyna), wspĂłĹ&#x201A;czynnik temperaturowy k tej rezystancji i temperatura T warunkĂłw standardowych majÄ&#x2026; staĹ&#x201A;e wartoĹ&#x203A;ci, tj.: r = 11 10â&#x20AC;&#x201C;8 Ί m, k = 3,9 10â&#x20AC;&#x201C;3 Kâ&#x20AC;&#x201C;1, TC = 293,15 K, podawane w podrÄ&#x2122;cznej literaturze technicznej.

53

. 8 % . . .

SzczegĂłĹ&#x201A;owy model metrologiczny, przyjÄ&#x2122;ty w tej pracy do oszacowania niepewnoĹ&#x203A;ci typu B dla pomiarĂłw wartoĹ&#x203A;ci energetycznej gazu ziemnego rozpatrywanÄ&#x2026; metodÄ&#x2026; z przetwornikiem termoanemometrycznym typu hot-wire przedstawiono na rysunku 5.

energetycznej gazu. W tabeli 2 dla rozpatrywanego przykĹ&#x201A;adu podano postacie wzorĂłw uĹźytych do obliczania i otrzymane wartoĹ&#x203A;ci ocen skĹ&#x201A;adowych niepewnoĹ&#x203A;ci standardowej uB(a) oraz ich wspĂłĹ&#x201A;czynniki.

Dla przyjÄ&#x2122;tych tu danych wspĂłĹ&#x201A;czynnik przenikania ciepĹ&#x201A;a a = 2312,9592 W/(m2â&#x2039;&#x2026;K). Po podstawieniu wartoĹ&#x203A;ci skĹ&#x201A;adowych jego niepewnoĹ&#x203A;ci do wzoru (7), uzyskano standardowÄ&#x2026; niepewnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; uB(Îą) = 6,809 W/(m2â&#x2039;&#x2026;K) i z wzoru (6) niepewnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; standardowÄ&#x2026; uB(HS) = 9,899¡105 J/m3.

Tabela 2. SkĹ&#x201A;adowe i wspĂłĹ&#x201A;czynniki wagi dla standardowej niepewnoĹ&#x203A;ci wspĂłĹ&#x201A;czynnika wymiany ciepĹ&#x201A;a Îą anemometru uĹźytego w pomiarach energii gazu ziemnego Table 2. Components and their weight coefficients of the standard uncertainty of the heat transfer coefficient Îą for an anemometer used in the measurement of natural gas energy Parametr

WzĂłr

IW δ (IW )

uB(IW) Rys. 5. Model skĹ&#x201A;adowych niepewnoĹ&#x203A;ci w pomiarach wartoĹ&#x203A;ci energii gazu ziemnego Fig. 5. Model of uncertainty components in measurement of the natural gas energy

54

P

O

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

3,3¡10â&#x20AC;&#x201C;4 A

100 â&#x2039;&#x2026; 3

RW δ (RW )

uB(RW)

0,003 Ί

100 â&#x2039;&#x2026; 3

Î&#x201D;(T )

uB(T)

Praca ta jest pierwszym wstÄ&#x2122;pnym etapem rozpoznania metrologicznych moĹźliwoĹ&#x203A;ci metody pomiaru wartoĹ&#x203A;ci energetycznej gazu ziemnego z wykorzystaniem termoanemometrycznych przetwornikĂłw typu hot-wire. OcenÄ&#x2122; wartoĹ&#x203A;ci liczbowych niepewnoĹ&#x203A;ci standardowej tej metody dokona siÄ&#x2122; na przykĹ&#x201A;adzie.

Aby wyznaczyÄ&#x2021; standardowÄ&#x2026; niepewnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; uB(a) naleĹźy najpierw oszacowaÄ&#x2021; iloĹ&#x203A;ciowo wszystkie skĹ&#x201A;adniki niepewnoĹ&#x203A;ci ze wzoru (7), ktĂłre mogÄ&#x2026; wystÄ&#x2026;piÄ&#x2021; w praktyce. Dla przykĹ&#x201A;adu przyjÄ&#x2122;to nastÄ&#x2122;pujÄ&#x2026;ce nominalne wartoĹ&#x203A;ci parametrĂłw oraz temperaturÄ&#x2122; pracy przetwornika i gazu, np.: IW = 0,2 A, RW = 1,8195 Ί, dW = 30â&#x2039;&#x2026;10-6 m, lW = 0,01 m, T = 303,15 K. NiepewnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; pomiaru prÄ&#x2026;du elektrycznego IW, temperatury T gazu, oporu elektrycznego RW, Ĺ&#x203A;rednicy dW i dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;Ä&#x2021; drutu lW okreĹ&#x203A;la siÄ&#x2122; na podstawie danych metrologicznych uĹźytego oprzyrzÄ&#x2026;dowania. W eksperymentalnym stanowisku (rys. 3) prÄ&#x2026;d mierzono amperomierzem o bĹ&#x201A;Ä&#x2122;dzie granicznym (klasie) δ(IW) = ¹0,5%, rezystancjÄ&#x2122; elektrycznÄ&#x2026; â&#x20AC;&#x201C; omomierzem o bĹ&#x201A;Ä&#x2122;dzie granicznym δ(RW) = ¹0,5%. Ĺ&#x161;rednicÄ&#x2122; drutu oblicza siÄ&#x2122; na podstawie pomiaru mostkiem jego rezystancji z bezwzglÄ&#x2122;dnym bĹ&#x201A;Ä&#x2122;dem granicznym Î&#x201D;(dW) = ¹1 â&#x2039;&#x2026; 10â&#x20AC;&#x201C;8 m. AktywnÄ&#x2026; dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;Ä&#x2021; drutu czujnika termo-anemometrycznego mierzono mikroskopem z bĹ&#x201A;Ä&#x2122;dem Î&#x201D;(lW) = ¹1â&#x2039;&#x2026;10â&#x20AC;&#x201C;5 m, a temperaturÄ&#x2122; gazu â&#x20AC;&#x201C; termometrem z bĹ&#x201A;Ä&#x2122;dem Î&#x201D;(T) = Âą0,15 K. Oceny standardowych niepewnoĹ&#x203A;ci uB(IW), uB(RW), uB(T) dla pomiarĂłw prÄ&#x2026;du I, rezystancji RW i temperatury gazu T wyznacza siÄ&#x2122; z wartoĹ&#x203A;ci bĹ&#x201A;Ä&#x2122;dĂłw granicznych (klasy) przyrzÄ&#x2026;dĂłw i zaĹ&#x201A;oĹźeniu rĂłwnomiernego rozkĹ&#x201A;adu bĹ&#x201A;Ä&#x2122;dĂłw (lub z niepewnoĹ&#x203A;ci rozszerzonych i rozkĹ&#x201A;adu normalnego).

Standardowe niepewnoĹ&#x203A;ci typu B uB(dW) i uB(lW) dla Ĺ&#x203A;rednicy dw i dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci drutu lw szacuje siÄ&#x2122; przy zaĹ&#x201A;oĹźeniu trĂłjkÄ&#x2026;tnego rozkĹ&#x201A;adu wynikĂłw, ktĂłry wystÄ&#x2122;puje zwykle w pomiarach wymiarĂłw liniowych obiektĂłw cylindrycznych.

IloĹ&#x203A;ciowe okreĹ&#x203A;lenie wspĂłĹ&#x201A;czynnikĂłw wpĹ&#x201A;ywu wielkoĹ&#x203A;ci wystÄ&#x2122;pujÄ&#x2026;cych we wzorze (7) na niepewnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; parametru badanego Îą otrzymano przy uĹźyciu pakietu standardowego oprogramowania Mathcad do obliczania pochodnych czÄ&#x2026;stkowych. Ze wzglÄ&#x2122;du na doĹ&#x203A;Ä&#x2021; skomplikowane postacie nie podano w tabeli 2 zaleĹźnoĹ&#x203A;ci matematycznych, a tylko ich oceny iloĹ&#x203A;ciowe dla powyĹźej zaĹ&#x201A;oĹźonych warunkĂłw pracy przy pomiarze wartoĹ&#x203A;ci

WartoĹ&#x203A;Ä&#x2021;

0,05 K

3

Î&#x201D;(dW )

uB(dW)

4,08¡10â&#x20AC;&#x201C;7 m

6

Î&#x201D;(lW )

uB(lW)

4,08¡10â&#x20AC;&#x201C;6 m

6

δV â&#x2039;&#x2026;V

uB(V)

9,584¡10â&#x20AC;&#x201C;5 m3

100 â&#x2039;&#x2026; 3 Î&#x201D;(Ď&#x201E; )

uB(Ď&#x201E;)

0,058 s

3

*

23 129,0 W/(m2KA)

*

â&#x20AC;&#x201C;10 143,0 W/(m2KΊ)

*

â&#x20AC;&#x201C;1,462¡109 W/(m3K)

*

1,462¡106 W/(m3K)

*

69,278 W/(m2K2)

* WzorĂłw o duĹźym rozmiarze tu nie podawano. Pochodne czÄ&#x2026;stkowe obliczono za pomocÄ&#x2026; programu Mathcad.

Po zróşniczkowaniu wyraĹźenia (4) otrzyma siÄ&#x2122; wzĂłr dla niepewnoĹ&#x203A;ci standardowej objÄ&#x2122;toĹ&#x203A;ciowego przepĹ&#x201A;ywu gazu:

(8)

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

C

q Z " . ' /

gdzie:

,

,

â&#x20AC;&#x201C; parametry wpĹ&#x201A;ywu niepewnoĹ&#x203A;ci

standardowych uB(V), uB(KqS), uB(t) parametrĂłw V, KqS, t na niepewnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; uB(qS) przepĹ&#x201A;ywu qS. NiepewnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; standardowÄ&#x2026; pomiaru gazomierzem objÄ&#x2122;toĹ&#x203A;ci gazu oblicza siÄ&#x2122; ze wzoru:

u B (V ) =

δV â&#x2039;&#x2026; V 100 â&#x2039;&#x2026; 3

(9)

gdzie: V â&#x20AC;&#x201C; zmierzona objÄ&#x2122;toĹ&#x203A;Ä&#x2021; gazu; dV â&#x20AC;&#x201C; dopuszczalny wzglÄ&#x2122;dny bĹ&#x201A;Ä&#x2026;d pomiarowy gazomierza w warunkach pracy.

Zastosowany na stanowisku laboratoryjnym gazomierz miechowy miaĹ&#x201A; bĹ&#x201A;Ä&#x2026;d dV = Âą2%. NiepewnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; objÄ&#x2122;toĹ&#x203A;ci gazu zadawanej w badaniach V = 8,3¡10â&#x20AC;&#x201C;3 m3, uB(V) = 9,584¡10â&#x20AC;&#x201C;5 m3.

DokĹ&#x201A;adnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; uĹźytego cyfrowego chronometru wynosiĹ&#x201A;a Î&#x201D;(t)Â =Â Âą0,1 s. StÄ&#x2026;d wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; standardowej niepewnoĹ&#x203A;ci pomiaru czasu uB(t): u B (Ď&#x201E; ) =

Î&#x201D;(Ď&#x201E; ) 3

= 0,058 s

(10)

NiepewnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; standardowa przeliczenia wspĂłĹ&#x201A;czynnika KqS przepĹ&#x201A;ywu gazu do warunkĂłw standardowych wynosi uB(KqS) = 3,5¡10â&#x20AC;&#x201C;3 [18]. W stosunku do jej wartoĹ&#x203A;ci maksymalnej (zbliĹźonej do jednoĹ&#x203A;ci), wynosi to 0,35%. Dla obliczonych wartoĹ&#x203A;ci liczbowych niepewnoĹ&#x203A;ci skĹ&#x201A;adowych ze wzoru (8) otrzymano niepewnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; standardowÄ&#x2026; natÄ&#x2122;Ĺźenia przepĹ&#x201A;ywu uB(qS) = 1,903 10â&#x20AC;&#x201C;6 m3/s.

Po podstawieniu obliczonych ocen niepewnoĹ&#x203A;ci standardowych uB(qS) i uB(HS) do (5), oraz uwzglÄ&#x2122;dniajÄ&#x2026;c, Ĺźe

uzyskano niepewnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; standardowÄ&#x2026; wartoĹ&#x203A;ci energetycznej gazu ziemnego uB(e) = 173,58 J/h. Dla przyjÄ&#x2122;tych w przykĹ&#x201A;adzie Ĺ&#x203A;rednich wartoĹ&#x203A;ci parametrĂłw =1,627¡10â&#x20AC;&#x201C;4 m3/h, = 34,08 106 J/m3, z wzoru (1) otrzymuje siÄ&#x2122; wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; energetycznÄ&#x2026; gazu = 5,543 103 J/h.

WzglÄ&#x2122;dna standardowa niepewnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; pomiaru energii wynosi WzglÄ&#x2122;dna niepewnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; rozszerzona kPδUE bÄ&#x2122;dzie zaleĹźeÄ&#x2021; od wspĂłĹ&#x201A;czynnika rozszerzenia kP dla wypadkowego rozkĹ&#x201A;adu bĹ&#x201A;Ä&#x2122;dĂłw. Dla prawdopodobieĹ&#x201E;stwa P = 0,95 i rozkĹ&#x201A;adu normalnego wspĂłĹ&#x201A;czynnik rozszerzenia wynosi 2.

Oszacowania standardowych niepewnoĹ&#x203A;ci parametrĂłw i niepewnoĹ&#x203A;ci pomiaru energii gazu ziemnego dla przykĹ&#x201A;adowo przyjÄ&#x2122;tych danych zestawiono w tabeli 3.

Z. 9

#

Przedstawiono zasady budowy i funkcjonowanie stanowiska laboratoryjnego do badaĹ&#x201E; eksperymentalnych dokĹ&#x201A;adnoĹ&#x203A;ci

Tabela 3. WartoĹ&#x203A;ci parametrĂłw i ich niepewnoĹ&#x203A;ci standardowe dla przykĹ&#x201A;adowych danych ukĹ&#x201A;adu do zliczania energii przepĹ&#x201A;ywajÄ&#x2026;cego gazu Table 3. Parameter values and their standard uncertainties for given as example data of the system to counting the energy of flowing gas

Parametr

WzĂłr

WartoĹ&#x203A;Ä&#x2021;

a

(3)

2312,96 W/(m2â&#x2039;&#x2026;K)

uB(Îą)

(7)

6,81 W/(m2â&#x2039;&#x2026;K)

H

(2)

34,08¡106 J/m3

uB(HS)

(6)

9, 9¡105 J/m3

q

(4)

1,627¡10â&#x20AC;&#x201C;4 m3/h

uB(qS)

(8)

1,9¡10â&#x20AC;&#x201C;6 m3/s

e

(1)

5,543¡103 J/h

uB(e)

(5)

173,6 J/h

δ UE

u B (e) â&#x2039;&#x2026; 100 e

3,13 %

metody termoanemometrycznej hot-wire przy jej zastosowaniu w pomiarach energii gazu ziemnego. Rezultatem wykonanych badaĹ&#x201E; sÄ&#x2026; charakterystyki kalibracyjne ukĹ&#x201A;adu pomiarowego do realizacji pomiaru wartoĹ&#x203A;ci energetycznej gazu ziemnego przy uĹźyciu tej metody (rys 4). PrzedstawiajÄ&#x2026; one zaleĹźnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; sygnaĹ&#x201A;u wyjĹ&#x203A;ciowego ukĹ&#x201A;adu przetwornika hot-wire od zmian wartoĹ&#x203A;ci energetycznej gazu ziemnego o trzech wartoĹ&#x203A;ciach opaĹ&#x201A;owych w zakresie (7759 â&#x20AC;&#x201C; 8538) kcal/m3 i przepĹ&#x201A;ywach objÄ&#x2122;toĹ&#x203A;ciowych do 0,6Â m3/h.

W szczegĂłlnoĹ&#x203A;ci zrealizowano podane poniĹźej zadania. â&#x2C6;&#x2019; OkreĹ&#x203A;lono zasadÄ&#x2122; funkcjonowania i specyfikÄ&#x2122; stanowiska laboratoryjnego do badaĹ&#x201E; termoanemometrycznej metody pomiaru wartoĹ&#x203A;ci energetycznej przepĹ&#x201A;ywajÄ&#x2026;cego gazu. â&#x2C6;&#x2019; Na podstawie wynikĂłw badaĹ&#x201E; uzyskano parametry do kalibracji przyrzÄ&#x2026;du wykorzystujÄ&#x2026;cego metodÄ&#x2122; termoanemometrycznÄ&#x2026; do pomiaru i zliczania wartoĹ&#x203A;ci energetycznej gazu ziemnego. â&#x2C6;&#x2019; Ustalono eksperymentalnie zaleĹźnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; wyjĹ&#x203A;ciowego sygnaĹ&#x201A;u przetwornika od wartoĹ&#x203A;ci energetycznej gazu naturalnego dla zakresu wartoĹ&#x203A;ci opaĹ&#x201A;owej (7759â&#x20AC;&#x201C;8538) kcal/m3 i natÄ&#x2122;ĹźeĹ&#x201E; przepĹ&#x201A;ywu do 0,6 m3/h. â&#x2C6;&#x2019; Zaproponowano nowe rozwiÄ&#x2026;zanie urzÄ&#x2026;dzenia do realizacji monitorowania wartoĹ&#x203A;ci energetycznej gazu ziemnego metodÄ&#x2026; termoanemometrycznÄ&#x2026; z wykorzystaniem przetwornika przepĹ&#x201A;ywu gazu z czujnikiem róşnicy ciĹ&#x203A;nieĹ&#x201E;. â&#x2C6;&#x2019; Przeprowadzono szczegĂłĹ&#x201A;owÄ&#x2026; analizÄ&#x2122; metrologicznÄ&#x2026; wartoĹ&#x203A;ci skĹ&#x201A;adowych niepewnoĹ&#x203A;ci typu B modelowanego na stanowisku ukĹ&#x201A;adu pomiarowego do bezpoĹ&#x203A;redniego pomiaru energii gazu ziemnego i otrzymano wzglÄ&#x2122;dnÄ&#x2026; niepewnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; standardowÄ&#x2026; 3,13%.

Badania doĹ&#x203A;wiadczalne, analiza metrologiczna uzyskanych wynikĂłw i symulacje [19, 20] potwierdzajÄ&#x2026; poprawnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; wstÄ&#x2122;pnych zaĹ&#x201A;oĹźeĹ&#x201E; teoretycznych [14] o moĹźliwoĹ&#x203A;ci zastosowania proponowanego rozwiÄ&#x2026;zania przetwornika termoanemometrycznego

55

. 8 % . . .

w pomiarach dostarczanej energii gazu ziemnego. Przy wykorzystaniu przetwornikĂłw hot-wire rysuje siÄ&#x2122; moĹźliwoĹ&#x203A;Ä&#x2021; realizacji prostych przyrzÄ&#x2026;dĂłw do bezpoĹ&#x203A;redniego monitorowania wartoĹ&#x203A;ci energetycznej gazu ziemnego. Zastosowanie w praktyce tej koncepcji wymaga jeszcze dalszych badaĹ&#x201E; róşnych rozwiÄ&#x2026;zaĹ&#x201E; konstrukcyjnych i doskonalenia ukĹ&#x201A;adu pomiarowego.

Trudno obecnie przewidzieÄ&#x2021;, czy przetworniki oparte na metodzie termoanemometrycznej bÄ&#x2122;dÄ&#x2026; mogĹ&#x201A;y zastÄ&#x2026;piÄ&#x2021; ktĂłryĹ&#x203A; z dotychczasowych rodzajĂłw aparatury stosowanej do pomiarĂłw ciepĹ&#x201A;a spalania gazu jako podstawy rozliczeĹ&#x201E; energii dostarczonego gazu. JednakĹźe mogÄ&#x2026; je uzupeĹ&#x201A;niÄ&#x2021;, np. gdy technologia u odbiorcy przemysĹ&#x201A;owego wymaga monitorowania i szybkiej sygnalizacji zmian wartoĹ&#x203A;ci tego ciepĹ&#x201A;a w dostarczanym gazie.

W pracy badano oryginalnÄ&#x2026; metodÄ&#x2122; polegajÄ&#x2026;cÄ&#x2026; na wyznaczaniu zmian wartoĹ&#x203A;ci niedostÄ&#x2122;pnego w danych warunkach lub trudno mierzalnego parametru mieszaniny (ciepĹ&#x201A;o spalania gazu ziemnego) na podstawie pomiaru Ĺ&#x201A;atwiej mierzalnego jej parametru (przewodnoĹ&#x203A;ci cieplnej). Parametry te nie sÄ&#x2026; powiÄ&#x2026;zane ze sobÄ&#x2026; bezpoĹ&#x203A;redniÄ&#x2026; zaleĹźnoĹ&#x203A;ciÄ&#x2026; przyczynowo-skutkowÄ&#x2026;, ale znane sÄ&#x2026; ich zaleĹźnoĹ&#x203A;ci od skĹ&#x201A;adu mieszaniny. Metoda taka jest w peĹ&#x201A;ni wiarygodna tylko dla badania parametrĂłw róşnych mieszanin dwuskĹ&#x201A;adnikowych.

MoĹźliwoĹ&#x203A;Ä&#x2021; jej zastosowania i niepewnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; pomiaru przy wiÄ&#x2122;kszej liczbie skĹ&#x201A;adnikĂłw wymaga modelowania i badaĹ&#x201E; statystycznych.

OmĂłwione w tej pracy badania i modelowanie zmian parametrĂłw gazu ziemnego przy dopuszczalnych zmianach jego skĹ&#x201A;adu [20] powinny zainteresowaÄ&#x2021; nie tylko osoby zajmujÄ&#x2026;ce siÄ&#x2122; pomiarami gazĂłw palnych, ale i innych czytelnikĂłw.

10. Rupnik K., Kutin J., BajsiÄ&#x2021; I., A method for gas identification in thermal dispersion mass flow meters. â&#x20AC;&#x153;StrojniĹĄki vestnik â&#x20AC;&#x201C; Journal of Mechanical Engineeringâ&#x20AC;?, Vol. 60, No. 9, 2014, 607â&#x20AC;&#x201C;616, DOI: 10.5545/sv-jme.2014.1889.

11. RosĹ&#x201A;onek G., Uwarunkowania wdroĹźenia rozliczeĹ&#x201E; paliw gazowych w jednostkach energii w krajowym systemie gazowniczym. Konferencja FORGAZ 2014: Techniki i technologie dla gazownictwa â&#x20AC;&#x201C; pomiary, badania, eksploatacja, â&#x20AC;&#x17E;Prace naukowe Instytutu Nafty i Gazuâ&#x20AC;?, Nr 194, 2014, 139â&#x20AC;&#x201C;143.

12. RosĹ&#x201A;onek G., Kierunki rozwoju standardĂłw technicznych IGG w obszarze analityki paliw gazowych metodÄ&#x2026; chromatografii gazowej, â&#x20AC;&#x17E;Nafta-Gazâ&#x20AC;?, R. 72, Nr 6, 2016, 431â&#x20AC;&#x201C;435, DOI: 10.18668/NG.2016.06.06.

13. Chekhovskyi S., Serediuk O., Romaniv V., Malisevych V., Calculation of natural gas adjusted for its energy parameters. Konferencja FORGAZ 2014: Techniki i technologie dla gazownictwa â&#x20AC;&#x201C; pomiary, badania, eksploatacja, â&#x20AC;&#x17E;Prace naukowe Instytutu Nafty i Gazuâ&#x20AC;?, Nr 194, 2014, 191â&#x20AC;&#x201C;200.

14. Serediuk O.E., Malisevych V.V., Theoretical basis of using of head flowmeter to determine the energy value of natural gas. â&#x20AC;&#x153;Metrolohiya ta pryladyâ&#x20AC;?. No. 5, 2014, 38â&#x20AC;&#x201C;47 (in Ukrainian: Teoretychni zasady zastosuvannya napirnoho vytratomira dlya vyznachennya enerhetychnoyi tsinnosti pryrodnoho hazu).

15. Serediuk O.E., Malisevych V.V., Partial flowmeter (in Ukrainian: Partsialâ&#x20AC;&#x2122;nyy vytratomir). Patent 99887 C2 Ukraine, IPC (2012.01) G 01 F 1/00 No. a201114278; declared 02.12.11; published 10.10.12, Bulletin No. 19.

16. D6F-V03A1 MEMS Flow Rate Sensor. www.omron.com.

17. Malisevych V.V., Serediuk O.E., Serediuk D.O., Metrological model of a pressure flow meter in controlling the energy value of natural gas. â&#x20AC;&#x153;Ukrayinsâ&#x20AC;&#x2122;kyy metrolohichnyy zhurnalâ&#x20AC;?, No. 1, 2015, 58â&#x20AC;&#x201C;63 (in Ukrainian: Metrolohichna modelâ&#x20AC;&#x2122; napirnoho vytratomira pry kontroli enerhetychnoyi tsinnosti pryrodnoho hazu).

18. Serediuk O.E., Malisevych V.V., Serediuk D.O., Malisevych N.M., The metrological model of measuring of natural gas energy with the using of the variable pressure-drop flow meters. â&#x20AC;&#x153;Systemy obrobky informatsiyiâ&#x20AC;?, No. 6(143), 2016, 139â&#x20AC;&#x201C;142, (in Russian: Metrologicheskaya modelâ&#x20AC;&#x2122; izmereniya energeticheskoy tsennosti prirodnogo gaza s ispolâ&#x20AC;&#x2122;zovaniyem raskhodomerov peremennogo perepada davleniya).

19. Serediuk O., Malisevich V.V., Warsza Z.L., Metrological parameters of the natural gas flow rate standard based on the variable pressure drop flowmeter. (Conference no ID 228), Proceedings of a meeting held 11â&#x20AC;&#x201C;13 September 2013, Cracow, Poland. Measurement and Quality Control. IMEKO TC14 Int. Symposium. 11th 2013. (ISMQC 2013), Currant Associates, Inc (Aug. 2014) USA 251â&#x20AC;&#x201C;254, ISBN: 9781632668172.

20. Seredyuk O., Malisevych V., Warsza Z.L., Symulacja zwiÄ&#x2026;zku wĹ&#x201A;aĹ&#x203A;ciwoĹ&#x203A;ci cieplnych i energii gazu ziemnego w pomiarach jego przepĹ&#x201A;ywu. â&#x20AC;&#x17E;PrzemysĹ&#x201A; Chemicznyâ&#x20AC;?, T. 96, Nr 10, 2017, 2065â&#x20AC;&#x201C;2069, DOI: 10.15199/62.2017.10.6.

21. Serediuk O., Malisevych V., Warsza Z.L., Metoda termoanemometryczna pomiaru wartoĹ&#x203A;ci energetycznej gazu ziemnego. â&#x20AC;&#x17E;PrzemysĹ&#x201A; Chemicznyâ&#x20AC;?, T. 96, Nr 11, 2017, 2243â&#x20AC;&#x201C;2246.

DOI: 10.15199/62.2017.11.5.

}

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

56

DSTU ISO 15112:2009 Norma ukraiĹ&#x201E;ska: Pryrodny haz.

Vyznachennya enerhiyi: [waĹźna od 2011-01-01].

ISO 15112:2007 Natural Gas â&#x20AC;&#x201C; Energy determination.

EN 1776:2015 Gas infrastructure. Gas measuring systems. Functional requirements.

RozporzÄ&#x2026;dzenie Ministra Gospodarki z dn. 28. 06.

2013 r. w sprawie szczegĂłĹ&#x201A;owych zasad ksztaĹ&#x201A;towania i kalkulacji taryf oraz rozliczeĹ&#x201E; w obrocie paliwami gazowymi.

Boguta A.: Application of the LabVIEW environment in testing automotive thermoanemometric flow meters.

Econtechmod. An international quarterly journal. 2017, vol. 06, no. 1, 123â&#x20AC;&#x201C;131.

Cebula A., Experimental and numerical investigation of thermal flow meter. â&#x20AC;&#x153;Archives of thermodynamicsâ&#x20AC;?, Vol. 36, Iss. 3, 2015, 149â&#x20AC;&#x201C;160, DOI: 10.1515/aoter-2015-0027.

Khamshah N. Abdalla A.N., et all, Temperature compensation of hot wire mass air flow sensor by using fuzzy temperature compensation scheme. â&#x20AC;&#x153;Scientific Research and Essaysâ&#x20AC;?. Vol. 8(4), 2013, 178â&#x20AC;&#x201C;188, DOI: 10.5897/SRE11.2211.

Khamshah N. Abdalla A.N., et all, Issues and temperature compensation techniques for hot wire thermal flow sensor: A review. â&#x20AC;&#x153;International Journal of the Physical Sciencesâ&#x20AC;?, Vol. 6(14), 2011, 3270â&#x20AC;&#x201C;3278, DOI: 10.5897/IJPS11.630.

Khamshah N., Abdalla A.N., Badaruddin M., Temperature compensation of a thermal flow sensor by using temperature compensation network. Proceedings of National Conference on Postgraduate Research (NCON-PGR) 2009, 1st Oct. 2009, Malaysia, 10â&#x20AC;&#x201C;17.

P

O

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

C

q Z " . ' /

7 " * 7 " 0 " " " 7 * * " " Abstract: The thermo-anemometric method of direct measurement of the energy value of the flowing natural gas is presented. It is based on two transducers: thermo-anemometric (hot-wire) and differential pressure. The design and operation of the laboratory stand for testing this method has been described. Based on the experimental results, the calibration characteristics of the thermoanemometric transducer and the dependence of its output on the calorific value of the natural gas for the range of (7759â&#x20AC;&#x201C;8538) kcal/m3 and flows to 0.6 m3/h were determined. An analysis of uncertainty components of B-type measurements was carried out using this method and its standard uncertainty was assessed. This is an example of an indirect method for examining changes of the tested parameter dependent on the composition of the gas if its direct measurements are difficult or impossible to perform. Instead, another parameter is measured, which depends in a known manner on the composition of the gas as a mixture. Such method can find many other different applications.

KeywordsX * * ! "9 V T ! X * * " " " 0 " " 9 " "

& % Orest E. Serediuk

kandydat nauk techn. ; & " ' ; " < %

R\ ) %

7 ! ) *% %

# 0 +DD& % 0 V 9 X ,&&D % 0 7 ]B 0

7 F ^ U! 0A ! " I " # 0 @ " I 7 > VUAI@#I>X # % 9 7 % @ " _ 9 Q 9 " 9 * " * " *

" F * " * % / ,&& 9 " $& F , F %

' ,&&J % U! 0 0A ! " @ " # 0 I 7 > VUAI@#I>X " Y 7 0

] Q " 9 0 Q ^% ,&+$ % 0 % E 9 _ Q * 0 * F " F * 9 " * * 0 " % / +D 9 0 %

% ! & . % +D$.)*" % " /9 ' ; * ' +DCD 0 +D.- +D-&% _ U ; +DCJZ+D.$ +DDOZ+DDC ' +D.&Z-& ` +D-&Z+D-J V * ' @ 8 " X R * _ R / 0 " U B 0 * > ' +D-JZ+DJ, / " " F U " " +DJ$Z+DD,% B ; I +DD,Z+DDC 8 " +DJ$Z,&&,% R9 * F " " U 0 / " " F U/ % / ,C& 9 . " * 7 9 ++ F 0 " , F % * @ B * * % /8 / " B * # %

57

NR 3/2015

58

P

O

M

I

A

R

Y

•

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

•

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

Pomiary Automatyka Robotyka, ISSN 1427-9126, R. 21, Nr 4/2017, 59â&#x20AC;&#x201C;65, DOI: 10.14313/PAR_226/59

'

" F " " Q " " " Zygmunt L. Warsza " U / " " F U/ / % M " ,&, &,0OJ. '

Serhii W. Zabolotnii I @ # ! #

Streszczenie: OmĂłwiono w skrĂłcie rodzaje estymatorĂłw parametrĂłw menzurandu wyznaczanych z prĂłbek danych pomiarowych pobranych z populacji o rozkĹ&#x201A;adzie trapezowym.

Zaproponowano uĹźycie metody maksymalizacji wielomianu stochastycznego o symbolu PMM jako niekonwencjonalnego sposobu wyznaczania estymatorĂłw wartoĹ&#x203A;ci i odchylenia standardowego menzurandu dla prĂłbek o rozkĹ&#x201A;adach niegaussowskich. Na przykĹ&#x201A;adach prĂłbek z symetrycznego rozkĹ&#x201A;adu trapezowego Trap oszacowano niepewnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; standardowÄ&#x2026; dla wartoĹ&#x203A;ci Ĺ&#x203A;redniej, Ĺ&#x203A;rodka rozpiÄ&#x2122;cia i estymatora menzurandu obliczonego metodÄ&#x2026; wielomianowÄ&#x2026; PMM z uĹźyciem kumulantĂłw, ktĂłre wyznaczono z danych prĂłbki za poĹ&#x203A;rednictwem momentĂłw centralnych. MetodÄ&#x2026; symulacji Monte Carlo (MC) dokonano analizy porĂłwnawczej ocen wariancji obliczanej klasycznie ze wzorĂłw rozkĹ&#x201A;adu, wg Przewodnika GUM [1], dla Ĺ&#x203A;rodka rozpiÄ&#x2122;cia i metodÄ&#x2026; PPM. W funkcji liczby danych prĂłbki i stosunku podstaw trapezu okreĹ&#x203A;lono granice najefektywniejszego obszaru dla kaĹźdej z metod. ) # ' X " " " " " " "

1. Wprowadzenie Podczas prowadzenia pomiarĂłw, zarĂłwno w obiekcie badanym, jak i w przyrzÄ&#x2026;dzie lub systemie pomiarowym i otoczeniu wystÄ&#x2122;pujÄ&#x2026; zjawiska losowe. OddziaĹ&#x201A;ywajÄ&#x2026; one na wielkoĹ&#x203A;Ä&#x2021; mierzonÄ&#x2026; i na sygnaĹ&#x201A;y pomiarowe. Wskutek tego pojawia siÄ&#x2122; skĹ&#x201A;adowa losowa w sygnale wyjĹ&#x203A;ciowym wielkoĹ&#x203A;ci mierzonej, a ogĂłlniej â&#x20AC;&#x201C; w sygnaĹ&#x201A;ach mierzonych parametrĂłw multimenzurandu. SygnaĹ&#x201A; pomiarowy jest bÄ&#x2026;dĹş ciÄ&#x2026;gĹ&#x201A;y w czasie i nastÄ&#x2122;pnie podlega prĂłbkowaniu, zwykle regularnemu, bÄ&#x2026;dĹş teĹź pomiary sÄ&#x2026; wielokrotnie powtarzane, w tym automatycznie. W obu przypadkach otrzymuje siÄ&#x2122; prĂłbkÄ&#x2122; danych pomiarowych o losowym rozrzucie wartoĹ&#x203A;ci. Wynik pomiaru podlega szacowaniu, zwykle wedĹ&#x201A;ug zaleceĹ&#x201E; miÄ&#x2122;dzynarodowego Przewodnika GUM (Guide for the uncertainty in measurement) [1]. Dane prĂłbki pomiarowej oczyszcza siÄ&#x2122; z bĹ&#x201A;Ä&#x2122;dĂłw systematycznych i oblicza

# & *: X *" (% ' ) %

# ) ' ,.%&D%,&+- % +O%++%,&+- %

! "" # $%&

siÄ&#x2122; estymator wartoĹ&#x203A;ci menzurandu wraz z ocenÄ&#x2026; jego dokĹ&#x201A;adnoĹ&#x203A;ci w postaci przedziaĹ&#x201A;u niepewnoĹ&#x203A;ci o wymaganym prawdopodobieĹ&#x201E;stwie. WedĹ&#x201A;ug Przewodnika GUM wynik pomiarĂłw wyznacza siÄ&#x2122; w postaci

X = X ÂąU

(1)

gdzie: X â&#x20AC;&#x201C; wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; Ĺ&#x203A;rednia, U = k P u = k P u A2 + u B2 â&#x20AC;&#x201C; niepewnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; rozszerzona, kP â&#x20AC;&#x201C; wspĂłĹ&#x201A;czynnik rozszerzenia dla przedziaĹ&#x201A;u o prawdopodobieĹ&#x201E;stwie P, u â&#x20AC;&#x201C; niepewnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; standardowa i jej skĹ&#x201A;adowe: uA â&#x20AC;&#x201C; obliczana z pomiarowych danych metodÄ&#x2026; statystycznÄ&#x2026; i uB â&#x20AC;&#x201C; szacowana na podstawie wiedzy o niezidentyfikowanych bĹ&#x201A;Ä&#x2122;dach, ktĂłre mogÄ&#x2026; wystÄ&#x2026;piÄ&#x2021; w danym eksperymencie pomiarowym.

W praktyce pomiarowej niepewnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; typu A (uA) liczy siÄ&#x2122; tak, jak dla prĂłbek z populacji o rozkĹ&#x201A;adzie normalnym, tj. opisanym funkcjÄ&#x2026; Gaussa, Przewodnik GUM [1] nie wskazuje, jak jÄ&#x2026; liczyÄ&#x2021; dla prĂłbek danych z rozkĹ&#x201A;adĂłw innych niĹź normalny. Do wyznaczenia niepewnoĹ&#x203A;ci rozszerzonej U prĂłbki o wymaganym prawdopodobieĹ&#x201E;stwie okreĹ&#x203A;la siÄ&#x2122; wartoĹ&#x203A;ci wspĂłĹ&#x201A;czynnikĂłw kP. Dla danych z populacji o rozkĹ&#x201A;adzie normalnym i duĹźej liczbie n stosuje siÄ&#x2122; wspĂłĹ&#x201A;czynniki k0,95 = 1,96 i k0,975 = 3.

Ostatnio zaproponowano udoskonalonÄ&#x2026; wersjÄ&#x2122; Przewodnika GUM 2 [2], opartÄ&#x2026; na podejĹ&#x203A;ciu Bayesa, w ktĂłrej zaleca siÄ&#x2122;, aby po eliminacji znanych bĹ&#x201A;Ä&#x2122;dĂłw systematycznych, niepewnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; rozszerzonÄ&#x2026; U wyznaczaÄ&#x2021; jako

59

/ 8 % % J % _ 8

U = kPu = kP

n â&#x2C6;&#x2019;1 2 u A + u B2 n â&#x2C6;&#x2019;3

bolem Trap. RozkĹ&#x201A;ad ten wystÄ&#x2122;puje doĹ&#x203A;Ä&#x2021; czÄ&#x2122;sto w cyfrowych systemach pomiarowych i jest splotem dwu rozkĹ&#x201A;adĂłw rĂłwnomiernych. DĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci podstaw trapezu sÄ&#x2026; sumÄ&#x2026; i róşnicÄ&#x2026; rozstÄ&#x2122;pĂłw V1, V2, czyli szerokoĹ&#x203A;ci tych rozkĹ&#x201A;adĂłw.

(2)

gdzie: n t 4 â&#x20AC;&#x201C; liczebnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; prĂłbki.

WspĂłĹ&#x201A;czynnik a Âş (nâ&#x20AC;&#x201C;1)/(nâ&#x20AC;&#x201C;3) w (2) przy wariancji u A2 wzrasta ze zmniejszaniem siÄ&#x2122; liczby n danych prĂłbki (rys. 1). Wynika to z rozkĹ&#x201A;adu Studenta.

p(x)

-B -A

C

A

0

B

x

Rys. 2. RozkĹ&#x201A;ad trapezowy Trap o podstawach 2a = (â&#x20AC;&#x201C;A, A), 2b = (â&#x20AC;&#x201C;B, B) Fig. 2. PDF of trapeze Trap distribution: 2a = (â&#x20AC;&#x201C;A, A), 2b = (â&#x20AC;&#x201C;B, B)

Charakterystycznym parametrem okreĹ&#x203A;lajÄ&#x2026;cym ksztaĹ&#x201A;t takiego trapezu jest stosunek dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci jego podstaw b Âş a/b.

Przypadkami kraĹ&#x201E;cowymi rodziny rozkĹ&#x201A;adĂłw Trap sÄ&#x2026;: â&#x2C6;&#x2019; rozkĹ&#x201A;ad trĂłjkÄ&#x2026;tny (b = 0) â&#x20AC;&#x201C; dla splecionych jednakowych rozkĹ&#x201A;adĂłw rĂłwnomiernych, â&#x2C6;&#x2019; rozkĹ&#x201A;ad rĂłwnomierny (b = 1), gdy szerokoĹ&#x203A;Ä&#x2021; jednego z tych rozkĹ&#x201A;adĂłw jest pomijalnie maĹ&#x201A;a.

Odchylenia standardowe splatanych rozkĹ&#x201A;adĂłw rĂłwnomiernych wynoszÄ&#x2026; u1 = V1/2â&#x2C6;&#x161;3 i u2 = lu1, (gdzie 0 d l d 1). Standardowa niepewnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; typu A tworzonego przez nie rozkĹ&#x201A;adu trapezowego Trap wynika z sumy ich wariancji i wynosi

Rys. 1. ZaleĹźnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; wspĂłĹ&#x201A;czynnika Îą od liczebnoĹ&#x203A;ci prĂłbki n Fig. 1. Coefficient Îą as function of the number n of sample elements

Taki przebieg wspĂłĹ&#x201A;czynnika a jak na rys. 1 dotyczy prĂłbek z populacji o rozkĹ&#x201A;adzie normalnym. WzĂłr (2) obowiÄ&#x2026;zuje dla prĂłbek o liczbie elementĂłw n Â&#x2022; 4 [3]. W komitecie JCGM d/s przewodnikĂłw metrologicznych zdania o stosowaniu tego wzoru sÄ&#x2026; podzielone i jeszcze nie rekomenduje siÄ&#x2122; go w przewodnikach dla praktyki metrologicznej.

Wyznaczana wg Przewodnika GUM ocena niepewnoĹ&#x203A;ci menzurandu, nie jest wystarczajÄ&#x2026;co efektywna dla prĂłbek pomiarowych modelowanych rozkĹ&#x201A;adami niegaussowskimi. Do modelowania rozrzutu danych pomiarowych, w tym rĂłwnieĹź, gdy wynika on ze zmian wartoĹ&#x203A;ci menzurandu w obiekcie mierzonym, poza rozkĹ&#x201A;adem normalnym, stosuje siÄ&#x2122; teĹź inne rozkĹ&#x201A;ady. W pracy [2], dla wspĂłĹ&#x201A;czynnika kp rozszerzenia niepewnoĹ&#x203A;ci standardowej jako wartoĹ&#x203A;ci Ĺ&#x203A;redniej populacji o rozkĹ&#x201A;adzie symetrycznym jednomodalnym oraz o rozkĹ&#x201A;adzie dowolnym niesymetrycznym proponuje siÄ&#x2122; nastÄ&#x2122;pujÄ&#x2026;ce wzory przybliĹźone kP â&#x2030;¤

2 3â&#x2039;&#x2026; 1â&#x2C6;&#x2019; p

kP â&#x2030;¤

u = u 21 + u 22 = u 1 1 + Îť2 WspĂłĹ&#x201A;czynniki l i b sÄ&#x2026; powiÄ&#x2026;zane zaleĹźnoĹ&#x203A;ciÄ&#x2026;

Îť=

1â&#x2C6;&#x2019;p

Do obliczania niepewnoĹ&#x203A;ci rozszerzonej dla wartoĹ&#x203A;ci Ĺ&#x203A;redniej X rozkĹ&#x201A;adu Trap Botsiura i Zakharov [12], podajÄ&#x2026; nastÄ&#x2122;pujÄ&#x2026;cy wspĂłĹ&#x201A;czynnik rozszerzenia (7)

Obliczona z danych pomiarowych wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; Ĺ&#x203A;rednia jest najbardziej efektywnym estymatorem menzurandu, tj. o najmniejszym odchyleniu standardowym (SD) tylko dla prĂłbek danych pobranych z rozkĹ&#x201A;adu normalnego (funkcja Gaussa). Dla innych rozkĹ&#x201A;adĂłw sÄ&#x2026; inne lepsze estymatory.

Standardowe odchylenie SV/2 Ĺ&#x203A;rodka rozstÄ&#x2122;pu qV/2 = 0,5(xmaxâ&#x20AC;&#x201C; xmin) prĂłbki pobranej z rĂłwnomiernego rozkĹ&#x201A;adu o n elementach wg [4, 5] wynosi (8)

Odchylenie standardowe SV/2 jest mniejsze niĹź S [X ] Ĺ&#x203A;redniej. Ĺ&#x161;rodek rozpiÄ&#x2122;cia jest wiÄ&#x2122;c estymatorem lepszym dla prĂłbek z rozkĹ&#x201A;adu rĂłwnomiernego. Oba te odchylenia i ich wzglÄ&#x2122;dne niepewnoĹ&#x203A;ci standardowe malejÄ&#x2026; wraz ze wzrostem liczebnoĹ&#x203A;ci n prĂłbki. Natomiast S [X ] jest bardziej dokĹ&#x201A;adne od SV/2. Sprawdzono to metodÄ&#x2026; Monte Carlo [6].

MetodÄ&#x2026; symulacyjnÄ&#x2026; Monte Carlo (MC) zbadano teĹź odchylenia standardowe wartoĹ&#x203A;ci Ĺ&#x203A;redniej X , Ĺ&#x203A;rodka rozstÄ&#x2122;pu qV/2 oraz

Symetryczny rozkĹ&#x201A;ad trapezowy o bokach liniowych (rys. 2), oznaczany jest w Suplemencie 1 do Przewodnika GUM symO

M

I

A

R

Y

(6)

(3)

Y.

' '#) '

& '

P

(5)

WedĹ&#x201A;ug p. 4.3.9 w GUM [1] Ĺ&#x203A;rodek qV/2 = 0,5(b+ â&#x20AC;&#x201C; bâ&#x20AC;&#x201C;) dla populacji o rozkĹ&#x201A;adzie Trap ma wariancjÄ&#x2122;

Z wzorĂłw (3) dla p = 0,95 otrzymuje siÄ&#x2122; bardzo duĹźe wartoĹ&#x203A;ci kp = 2,98 i kp = 4,47, gdy dla rozkĹ&#x201A;adu normalnego jest kp = 1,96.

Ponadto w praktyce, obok przypadkĂłw, gdy znany jest rodzaj rozkĹ&#x201A;adu populacji, z ktĂłrej pochodzÄ&#x2026; dane pomiarowe, wystÄ&#x2122;pujÄ&#x2026; sytuacje, gdy jest on a priori nieznany. Jednoznaczna jego identyfikacja jest moĹźliwa tylko dla prĂłbek o bardzo duĹźej liczbie danych n. Trzeba wiÄ&#x2122;c dla rozkĹ&#x201A;adĂłw niegaussowskich stosowaÄ&#x2021; metody alternatywne, ktĂłre wykorzystujÄ&#x2026; wiÄ&#x2122;cej informacji zawartych w prĂłbce niĹź dwa pierwsze jej momenty.

PoniĹźej, na przykĹ&#x201A;adzie prĂłbek z symetrycznego rozkĹ&#x201A;adu trapezowego Trap analizowane bÄ&#x2122;dÄ&#x2026; wyniki, jakie moĹźna uzyskaÄ&#x2021; stosujÄ&#x2026;c podanÄ&#x2026; przez Y. KunczenkÄ&#x2122; [13] metodÄ&#x2122; maksymalizacji wielomianu o symbolu PMM (ang. Polynomial Maksymization Method). W metodzie tej stosuje siÄ&#x2122;, jako prostszy, opis wzorĂłw za pomocÄ&#x2026; kumulantĂłw. Wyznacza siÄ&#x2122; je poĹ&#x203A;rednio z momentĂłw centralnych obliczonych z danych prĂłbki. Zastosowanie metody PMM do szacowania niepewnoĹ&#x203A;ci menzurandu dla prĂłbek z niegaussowskich rozkĹ&#x201A;adĂłw symetrycznych opisali autorzy w [14].

60

1â&#x2C6;&#x2019; β 1+ β

u 2 (x i ) = b 2 (1 + β 2 ) 6

1

(4)

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

" . / C /' " @

mediany Xmed jako jednoelementowych estymatorĂłw wartoĹ&#x203A;ci menzurandu dla prĂłbek danych pomiarowych z populacji o symetrycznych rozkĹ&#x201A;adach trapezowych: Trap â&#x20AC;&#x201C; o bokach liniowych i CTrap â&#x20AC;&#x201C; o bokach krzywoliniowych wklÄ&#x2122;sĹ&#x201A;ych [7â&#x20AC;&#x201C;11].

Wyznaczono je jako funkcje stosunku dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci podstaw trapezu β â&#x2C6;&#x2C6; [0; 1] i liczby danych n prĂłbki. Dla zmiennej losowej o rozkĹ&#x201A;adzie Trap podano je na rys 3. Odchylenie standardowe mediany w caĹ&#x201A;ym zakresie b jest wiÄ&#x2122;ksze od pozostaĹ&#x201A;ych estymatorĂłw i nie podano go na wykresie. Odchylenie standardowe Ĺ&#x203A;redniej S [X ] najmniejsze jest tylko w przedziale 0 < b < 0,35.

Dla wiÄ&#x2122;kszych b, tj. w przedziale 0,35 <Â b d 1, mniejsze od niego jest odchylenie S[qV/2] Ĺ&#x203A;rodka rozstÄ&#x2122;pu.

wartoĹ&#x203A;ci parametru q jest rozwiÄ&#x2026;zanie ukĹ&#x201A;adu rĂłwnaĹ&#x201E; stochastycznych r

â&#x2C6;&#x2018; hi (θ )[ÎąË&#x2020;i i =1

â&#x2C6;&#x2019; Îą i (θ )]

=0

(9)

θ =θË&#x2020;

gdzie: r â&#x20AC;&#x201C; rzÄ&#x2026;d wielomianu uĹźytego do szacowania parametrĂłw, Îąi(q) i ÎąË&#x2020;i =

1 n

n

â&#x2C6;&#x2018; xvi

â&#x20AC;&#x201C; teoretyczne i poczÄ&#x2026;tkowe momenty

v =1

i-tego rzÄ&#x2122;du prĂłbki.

WspĂłĹ&#x201A;czynniki hi(q) (dla i = 1 s) wyznacza siÄ&#x2122; przez rozwiÄ&#x2026;zanie ukĹ&#x201A;adu liniowych rĂłwnaĹ&#x201E; algebraicznych rzÄ&#x2122;du s podanych dla warunkĂłw minimalizacji wariancji poszukiwanej estymaty wartoĹ&#x203A;ci parametru u [13], a mianowicie: s

d

â&#x2C6;&#x2018; hi (θ ) Fi ,j (θ ) = dθ Îą j (θ ) ,

j = 1, s ,

(10)

i =1

Rys. 3. Odchylenia standardowe: â&#x20AC;&#x201C; Ĺ&#x203A;redniej i â&#x20AC;&#x201C; Ĺ&#x203A;rodka â&#x20AC;&#x201C; estymatora dwuelementowego rozstÄ&#x2122;pu oraz prĂłbek o n = 400 danych z rozkĹ&#x201A;adu Trap(a, b) w funkcji stosunku podstaw trapezu β of Fig. 3. Standard deviations: of mean, S[qV/2] of mid range and for the n = 400 data samples from two-element estimator linear trapeze PDF Trap(a, b) as function of a trapeze bases ratio β

Dla prĂłbek z rozkĹ&#x201A;adu Trap [6, 8] wykazano teĹź, Ĺźe odchylenie SD estymatora dwuelementowego XË&#x2020; = 0,5 X + qV 2 jest jeszcze mniejsze, co najmniej o 20% w caĹ&#x201A;ym zakresie b (rys. 3). SyntezÄ&#x2122; tych badaĹ&#x201E; i porĂłwnanie estymatorĂłw kilku innych rozkĹ&#x201A;adĂłw podano teĹź w monografii [15].

(

)

{. 1

' )

& PoniĹźej symbolem θË&#x2020; oznacza siÄ&#x2122; ocenÄ&#x2122; wartoĹ&#x203A;ci menzurandu wyznaczanÄ&#x2026; z prĂłbki rozproszonych danych pomiarowych metodÄ&#x2026; PMM. WartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; tÄ&#x2122; estymuje siÄ&#x2122; przez statystycznÄ&#x2026; analizÄ&#x2122; wektora x = {x 1 , x 2 , ..., x n } . ZakĹ&#x201A;ada siÄ&#x2122;, Ĺźe dane losowe xi sÄ&#x2026; niezaleĹźne, o wartoĹ&#x203A;ciach opisanych modelem Ξ = θ + Ξ 0 .

W modelu tym Ξ 0 jest wycentrowanÄ&#x2026; zmiennÄ&#x2026; losowÄ&#x2026;. Jako przykĹ&#x201A;ad rozpatrzy siÄ&#x2122; prĂłbki o róşnej liczbie danych n z populacji o rozkĹ&#x201A;adzie Trap, tj. w postaci symetrycznego trapezu o liniowych bokach, szerokoĹ&#x203A;ci dolnej podstawy 2b i stosunku dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci podstaw b. Przez prĂłby statystyczne dokonywane metodÄ&#x2026; MC co najmniej M = 104 razy, naleĹźy zbadaÄ&#x2021; estymatory parametrĂłw prĂłbki wyznaczone metodÄ&#x2026; maksymalizacji wielomianu PMM, ich dokĹ&#x201A;adnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; i zbieĹźnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; rozkĹ&#x201A;adu empirycznego do funkcji Gaussa, w zaleĹźnoĹ&#x203A;ci od liczby danych n prĂłbki. Ponadto naleĹźy porĂłwnaÄ&#x2021; te oceny z ocenami niepewnoĹ&#x203A;ci wartoĹ&#x203A;ci Ĺ&#x203A;redniej i Ĺ&#x203A;rodka rozpiÄ&#x2122;cia jako estymatorĂłw menzurandu.

^. ; ' '

( : PMM ^.\. 9

' 911 W pracy, do wyznaczenia niepewnoĹ&#x203A;ci prĂłbki z rozkĹ&#x201A;adu Trap zastosuje siÄ&#x2122; podanÄ&#x2026; przez Y. KunchenkÄ&#x2122; metodÄ&#x2122; maksymalizacji wielomianu PMM [13]. Oszacowaniem poszukiwanej

gdzie Fi , j (θ ) = Îą i + j (θ ) â&#x2C6;&#x2019; Îą i (θ ) Îą j (θ ) .

W [13] wykazano, Ĺźe estymatory θË&#x2020; bÄ&#x2122;dÄ&#x2026;ce rozwiÄ&#x2026;zaniami ukĹ&#x201A;adu rĂłwnaĹ&#x201E; (9) sÄ&#x2026; zgodne i asymptotycznie nieobciÄ&#x2026;Ĺźone.

^.Y.

' , , '#) , ' , 911 Oszacowanie wartoĹ&#x203A;ci skĹ&#x201A;adowej staĹ&#x201A;ej metodÄ&#x2026; PMM w przypadku szczegĂłlnym, tj. przy stopniu wielomianu s = 1, jest rĂłwnowaĹźne oszacowaniu Ĺ&#x203A;redniej arytmetycznej dla dowolnego rozkĹ&#x201A;adu zmiennej losowej [10]. W pracy tej wykazano rĂłwnieĹź, Ĺźe przy symetrii rozkĹ&#x201A;adu otrzymuje siÄ&#x2122; dla nieparzystych kumulantĂłw k wartoĹ&#x203A;ci wspĂłĹ&#x201A;czynnikĂłw rĂłwne zeru, zaĹ&#x203A; dla wielomianĂłw stopnia s = 2 estymaty sprowadzajÄ&#x2026; siÄ&#x2122; do estymat liniowych. W pracy [14] wykazano, Ĺźe przy uĹźyciu wielomianĂłw stopnia s = 3 znalezienie estymat parametrĂłw wg algorytmu PMM dla rozkĹ&#x201A;adĂłw symetrycznych wymaga rozwiÄ&#x2026;zania rĂłwnania stochastycznego trzeciego stopnia o postaci:

aθ 3 + bθ 2 + cθ + d

θ =θË&#x2020;

=0,

(11)

gdzie: a = g4, b = â&#x2C6;&#x2019;3Îł 4ÎąË&#x2020;1 , , ; kumulanty: k1 = m1, k2 = m2, k3 = m3,

,

i ich wspĂłĹ&#x201A;czynniki:

.

We wzorze (11) statystyki , i = 1, 3, podobnie jak i we wzorze (8), sÄ&#x2026; momentami poczÄ&#x2026;tkowymi prĂłbki, zaĹ&#x203A; k2, g4 i g6 â&#x20AC;&#x201C; to kolejno: kumulant rzÄ&#x2122;du 2. i wspĂłĹ&#x201A;czynniki kumulantĂłw rzÄ&#x2122;dĂłw 4. i 6. zmiennej losowej x0. WartoĹ&#x203A;ci kumulantĂłw rozkĹ&#x201A;adu normalnego powyĹźej drugiego rzÄ&#x2122;du sÄ&#x2026; rĂłwne zeru. RĂłwnanie stochastyczne (11) rozwiÄ&#x2026;zuje siÄ&#x2122; analitycznie stosujÄ&#x2026;c wzory Cardana [14].

Prostsze obliczeniowo jest rozwiÄ&#x2026;zanie oparte na wykorzystaniu numerycznych iteracyjnych metod rozwiÄ&#x2026;zywania rĂłwnaĹ&#x201E; nieliniowych. Jako pierwsze przybliĹźenie moĹźna posĹ&#x201A;uĹźyÄ&#x2021; siÄ&#x2122; estymacjÄ&#x2026; Ĺ&#x203A;redniej arytmetycznej (oszacowanie pierwszego momentu poczÄ&#x2026;tkowego). Wraz ze wzrostem liczby elementĂłw prĂłbki wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; statystyki q zbliĹźa do rzeczywistej wartoĹ&#x203A;ci esty-

61

/ 8 % % J % _ 8

mowanego parametru. Zwykle wystarcza tylko jedna iteracja.

StosujÄ&#x2026;c metodÄ&#x2122; Newtona-Raphsona, otrzyma siÄ&#x2122; przybliĹźone rozwiÄ&#x2026;zanie rĂłwnania trzeciego stopnia (11) w postaci

θË&#x2020; â&#x2030;&#x2C6; ÎąË&#x2020;1 â&#x2C6;&#x2019;

aÎąË&#x2020;1 3 + bÎąË&#x2020;1 2 + cÎąË&#x2020;1 + d .

3aÎąË&#x2020;1 2 + 2bÎąË&#x2020;1 + c

WiarygodnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; wynikĂłw symulacji algorytmami estymacji statystycznej zaleĹźy od dwu czynnikĂłw: wielkoĹ&#x203A;ci prĂłbki, czyli liczby n elementĂłw wektora x i od liczby M statystycznych eksperymentĂłw wykonanych w jednakowych warunkach poczÄ&#x2026;tkowych (staĹ&#x201A;a wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; b trapezu).

Obliczenia wartoĹ&#x203A;ci estymat metodÄ&#x2026; wielomianowÄ&#x2026; PMM nie wymagajÄ&#x2026; informacji o rodzaju rozkĹ&#x201A;adu. Korzysta siÄ&#x2122; z wartoĹ&#x203A;ci trzech parametrĂłw modelu: k2, g4 i g6. W badaniach opisanych w pracy [14] wartoĹ&#x203A;ci tych parametrĂłw modelu obliczono z analitycznych wyraĹźeĹ&#x201E; wiÄ&#x2026;ĹźÄ&#x2026;cych parametry rozkĹ&#x201A;adu gÄ&#x2122;stoĹ&#x203A;ci prawdopodobieĹ&#x201E;stwa (pdf), tj. momenty poczÄ&#x2026;tkowe, odpowiednie kumulanty i wspĂłĹ&#x201A;czynniki kumulantĂłw. Jednak w praktyce, gdy informacje na temat rozkĹ&#x201A;adu pdf i/lub wartoĹ&#x203A;ci ich parametrĂłw nie jest znana a priori, moĹźna zastosowaÄ&#x2021; podejĹ&#x203A;cie adaptacyjne wykorzystujÄ&#x2026;c w danym badaniu oszacowania a posteriori. Uzyskuje siÄ&#x2122; je z zaleĹźnoĹ&#x203A;ci asymptotycznych dla populacji

(12)

Otrzymywany metodÄ&#x2026; PMM estymator θË&#x2020; wartoĹ&#x203A;ci menzurandu, podobnie jak inne estymatory dla rozkĹ&#x201A;adĂłw trapezowych [7â&#x20AC;&#x201C;11], bÄ&#x2122;dzie niewiele róşniÄ&#x2021; siÄ&#x2122; od wartoĹ&#x203A;ci Ĺ&#x203A;redniej prĂłbki.

Zwykle mieĹ&#x203A;ci siÄ&#x2122; on przedziale Âą S X jej niepewnoĹ&#x203A;ci standardowej.

[ ]

^.{. #) ~Â&#x20AC;

,

) 911 '#) ( ' ,

Estymator wariancji Ď&#x192; θ2 Ĺ&#x203A;redniej arytmetycznej (identyczny jak dla metody PMM przy s = 1) nie zaleĹźy od wartoĹ&#x203A;ci oszacowania parametru q. OkreĹ&#x203A;la go wariancja drugiego rzÄ&#x2122;du prĂłbki m2 (rĂłwna jej kumulantowi k2) podzielona przez liczbÄ&#x2026; jej danych n, tj.

Ď&#x192; (2θ )1 =

Îş2

,

(13)

n

ÎźË&#x2020;i =

Îş2 â&#x17D;Ą

â&#x17D;¤ Îł 42 â&#x17D;˘1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x17D;Ľ n â&#x17D;Łâ&#x17D;˘ 6 + 9Îł 4 + Îł 6 â&#x17D;Śâ&#x17D;Ľ

Ď&#x192; (θ ) 1 2

g (θ ) 3

Z.

'

( Implementacja modelowania statystycznego zostaĹ&#x201A;a wykonana za pomocÄ&#x2026; pakietu oprogramowania w Ĺ&#x203A;rodowisku MATLAB. Wykorzystuje siÄ&#x2122; tu metodÄ&#x2122; Monte-Carlo (MC) opartÄ&#x2026; na wielokrotnie powtarzanych testach o losowo zmienianych danych.

UmoĹźliwiĹ&#x201A;a ona przeprowadzenie analizy dokĹ&#x201A;adnoĹ&#x203A;ci proponowanych algorytmĂłw statystycznej estymacji wielomianowej i zbadanie wĹ&#x201A;aĹ&#x203A;ciwoĹ&#x203A;ci probabilistycznych uzyskanych oszacowaĹ&#x201E;. Jako kryteria do porĂłwnywania skutecznoĹ&#x203A;ci zastosowano wyznaczane eksperymentalne stosunki wariancji

Ď&#x192;Ë&#x2020; (2θ )3 Ď&#x192;Ë&#x2020; (2θ )1

, qË&#x2020;(θ ) 3 =

Ď&#x192;Ë&#x2020;(2θ ) 3 Ď&#x192;Ë&#x2020;(2θ )V / 2

,

P

O

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;˘

(16)

A

U

T

O

M

qË&#x2020;(θ ) 3 = Ď&#x192;Ë&#x2020;(2θ )3 / Ď&#x192;Ë&#x2020;(2θ )V / 2

n 20

50

200

20

50

200

b =1

0,3

0,56

0,36

0,32

2,15

3,51

10,4

b = 0,75

0,36

0,61

0,45

0,38

1,53

1,29

1,04

b = 0,5

0,55

0,78

0,63

0,57

1,02

0,85

0,74

b = 0,25

0,76

0,97

0,86

0,79

0,9

0,77

0,71

b=0

0,84

1,03

0,95

0,87

0,84

0,76

0,69

WspĂłĹ&#x201A;czynniki ilorazu dwu wariancji gË&#x2020;(θ )3 , qË&#x2020;(θ ) 3 uzyskano doĹ&#x203A;wiadczalne z M = 104 prĂłb wykonanych dla róşnych wartoĹ&#x203A;ci parametru b. Analiza danych otrzymanych metodÄ&#x2026; Monte Carlo wykazuje duĹźÄ&#x2026; korelacjÄ&#x2122; miÄ&#x2122;dzy obliczeniami analitycznymi i wynikami modelowania statystycznego. Wraz ze wzrostem liczby danych n w prĂłbce x, zmniejsza siÄ&#x2122; róşnica miÄ&#x2122;dzy teoretycznymi wartoĹ&#x203A;ciami (dla populacji) wspĂłĹ&#x201A;czynnikĂłw stosunku wariancji g (θ )3 i wartoĹ&#x203A;ciami eksperymentalnymi gË&#x2020;(θ )3 wyznaczanymi z prĂłbki. Na przykĹ&#x201A;ad dla n = 50 róşnica ta nie przekracza 20%, a przy n = 200 spada juĹź poniĹźej 10%. Zmiany stosunku gË&#x2020;(θ ) 3 g (θ )3 w funkcji liczby elementĂłw prĂłbki n dla kilku wartoĹ&#x203A;ci wspĂłĹ&#x201A;czynnika b podaje rys. 4.

Analiza wynikĂłw symulacji statystycznej MC z tabeli 1 potwierdza teĹź, Ĺźe efektywnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; zastosowania danej statystyki do oszacowania niepewnoĹ&#x203A;ci parametrĂłw rozkĹ&#x201A;adu istotnie zaleĹźy od przyjÄ&#x2122;tego modelu opisujÄ&#x2026;cego losowy rozrzut pomiarĂłw i od liczebnoĹ&#x203A;ci n prĂłbki.

gdzie Ď&#x192;Ë&#x2020; (2θ )V / 2 , Ď&#x192;Ë&#x2020; (2θ )1 , Ď&#x192;Ë&#x2020; (2θ ) 3 â&#x20AC;&#x201C; uĹ&#x203A;rednione dla M prĂłb MC wartoĹ&#x203A;ci estymatorĂłw wariancji parametrĂłw q. SÄ&#x2026; one obliczane dla statystyk Ĺ&#x203A;rodka rozpiÄ&#x2122;cia qV/2, Ĺ&#x203A;redniej arytmetycznej X i dla estymatora metody PMM o stopniu wielomianu r = 3.

62

Rezultaty modelowania

gË&#x2020;(θ )3 = Ď&#x192;Ë&#x2020; (2θ )3 / Ď&#x192;Ë&#x2020; (2θ )1

(15)

WartoĹ&#x203A;ci g (θ )3 naleĹźÄ&#x2026; do przedziaĹ&#x201A;u (0; 1]. ZaleĹźÄ&#x2026; one tylko od wĹ&#x201A;aĹ&#x203A;ciwoĹ&#x203A;ci rozkĹ&#x201A;adu prawdopodobieĹ&#x201E;stwa okreĹ&#x203A;lonych przez wspĂłĹ&#x201A;czynniki kumulantĂłw g4 i g6.

gË&#x2020;(θ )3 =

(18)

v =1

Teoret.

Îł 42 6 + 9Îł 4 + Îł 6

=1â&#x2C6;&#x2019;

n

â&#x2C6;&#x2018; (x v â&#x2C6;&#x2019; x )i

Tabela 1. WspĂłĹ&#x201A;czynniki stosunku wariancji estymat Table 1. The coefficients of the variance ratio of estimates

(14)

b

Ď&#x192; (2θ ) 3

1 n

Tabela 1 przedstawia wyniki badaĹ&#x201E; otrzymanych z symulacji Monte Carlo.

Z (11) i (12) otrzymuje siÄ&#x2122; wspĂłĹ&#x201A;czynnik stosunku wariancji:

g (θ )3 =

(17)

gdzie ÎźË&#x2020; i â&#x20AC;&#x201C; moment centralny i-tego rzÄ&#x2122;du prĂłbki

Ze wzoru opisujÄ&#x2026;cego wielkoĹ&#x203A;Ä&#x2021; uzyskanej informacji o badanym parametrze, w pracach [13, 14] otrzymano wyraĹźenie analityczne dla asymptoty wariancji Ď&#x192; (2Îą )3 przy n â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E;, oszacowanej metodÄ&#x2026; PMM jako

Ď&#x192; (2θ )3 =

,

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

" . / C /' " @

a)

Rys. 4. Stosunek wartoĹ&#x203A;ci wspĂłĹ&#x201A;czynnikĂłw wariancji prĂłbek o n danych obliczonych w symulacji MC oraz dla populacji Trap Fig. 4. Ratio of the variance coefficients calculated for n- element samples in MC simulation and theoretical of population Trap

Z wynikĂłw wielu powtĂłrzonych obliczeĹ&#x201E; metodÄ&#x2026; MC prĂłbek o n = 15â&#x20AC;&#x201C;200 danych otrzymano rysunki 5a, b. Rysunek 5a przedstawia dla wartoĹ&#x203A;ci parametrĂłw n i b granice obszarĂłw najwiÄ&#x2122;kszej efektywnoĹ&#x203A;ci trzech estymatorĂłw menzurandu: parametru q wg metody wielomianowej PMM, Ĺ&#x203A;redniej arytmetycznej X i Ĺ&#x203A;rodka rozstÄ&#x2122;pu qV/2. Otrzymano je przy porĂłwnywaniu wedĹ&#x201A;ug kryterium minimalnej wariancji. Dla prĂłbek z rozkĹ&#x201A;adu Trap wystÄ&#x2122;puje tu podana [7, 8, 15] granica obszaru 1t b> 0,35 o mniejszej wartoĹ&#x203A;ci SD dla Ĺ&#x203A;rodka rozpiÄ&#x2122;cia niĹź Ĺ&#x203A;redniej arytmetycznej.

Na rysunku 5b podano teĹź estymator dwuelementowy . W caĹ&#x201A;ym zakresie stosunku podstaw b jest on bardziej efektywny niĹź estymatory jednoelementowe (rys. 3). a)

b)

Rys. 6. Empiryczne rozkĹ&#x201A;ady estymat parametru SD: a) wykres probabilistyczny (Q-Q wykres) przybliĹźenia do funkcji Gaussa; b) wykres typu Box-plot (dla przedziaĹ&#x201A;u ufnoĹ&#x203A;ci 99%) Fig. 6. The empirical distribution of estimates of the SD parameter: a) the probabilistic graph (Q-Q plot) of Gaussian approximation; b) a plot of the type Box-plot (99% confidence interval)

PrzykĹ&#x201A;ady wynikĂłw modelowania podano w postaci wykresĂłw na rysunkach 6 a, b. Rysunki te zawierajÄ&#x2026; oceny parametru q = 0 dla rozkĹ&#x201A;adu Trap przy b = 0,5 i l = 6. Przedstawiono je jako rozkĹ&#x201A;ady otrzymanych eksperymentalnie ocen liczbowych dla wartoĹ&#x203A;ci menzurandu wg metody PMM3 (r = 3) oraz dla Ĺ&#x203A;rodka rozpiÄ&#x2122;cia i Ĺ&#x203A;redniej arytmetycznej. Otrzymano je dla M = 104 prĂłb metodÄ&#x2026; MC dla prĂłbek o n = 50 danych.

HipotezÄ&#x2122; o gaussowskim rozkĹ&#x201A;adzie estymat metody PMM sprawdzono takĹźe za pomocÄ&#x2026; wbudowanego w oprogramowanie MATLAB testu Lillieforsa. Opiera siÄ&#x2122; na statystyce KoĹ&#x201A;mogorowa-Smirnowa. Wyniki tych badaĹ&#x201E; przedstawiono w tabeli 2. b)

Tabela 2. Wyniki kontroli hipotez o gaussowoĹ&#x203A;ci estymat rozkĹ&#x201A;adu empirycznego wyznaczonych metodÄ&#x2026; PMM 3 (s = 3) Table 2. Results of testing hypotheses of Gaussianity of the empirical distribution estimates, found by PMM3 method (for s = 3)

Wyniki testu Lillieforsa LSTAT b

P

CV n 20

50

200

20

50

200

b =1

0,029

0,021

0,008

0,001

0,001

0,12

b = 0.75

0,028

0,016

0,007

0,001

0,002

0,18

0,014

0,007

0,005

0,002

0,18

0,5

b = 0.25

0,01

0,008

0,005

0,006

0,19

0,5

b= 0

0,008

0,007

0,005

0,18

0,21

0,5

b = 0.5 Rys. 5 a, b. Obszary efektywnoĹ&#x203A;ci metod znajdowania estymat standardowego odchylenia rozkĹ&#x201A;adu trapezowego Fig. 5 a, b. Areas of effectiveness of methods for finding estimates of the trapezoidal distribution standard deviation

0,009

63

/ 8 % % J % _ 8

5.

Jest to zestaw parametrĂłw wyjĹ&#x203A;ciowych testu: CV â&#x20AC;&#x201C; krytyczna wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; statystyki testu; LSTAT â&#x20AC;&#x201C; wybrana wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; statystyki testowej; P â&#x20AC;&#x201C; poziom istotnoĹ&#x203A;ci. JeĹ&#x203A;li LSTST < CV to przy zadanym poziomie istotnoĹ&#x203A;ci a0 = 0,05 hipotezy zerowej (Gaussa) nie odrzuca siÄ&#x2122;.

WaĹźnym rezultatem modelowania statystycznego jest teĹź potwierdzenie tezy, Ĺźe rozkĹ&#x201A;ad estymat parametrĂłw wielomianu optymalizowanego metoda PMM dÄ&#x2026;Ĺźy asymptotycznie (przy n â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E;) do rozkĹ&#x201A;adu Gaussa. MoĹźna to zastosowaÄ&#x2021; do wyznaczania niepewnoĹ&#x203A;ci rozszerzonej.

6.

7.

8.

[. ; # # = 9.

We wprowadzeniu dokonano przeglÄ&#x2026;du estymatorĂłw sĹ&#x201A;uĹźÄ&#x2026;cych do oceny wyniku pomiaru menzurandu dla prĂłbek z rozkĹ&#x201A;adu rĂłwnomiernego i rozkĹ&#x201A;adu trapezowego Trap jako splotu dwu rozkĹ&#x201A;adĂłw rĂłwnomiernych. NastÄ&#x2122;pnie omĂłwiono zastosowanie do tego celu niekonwencjonalnej Metody Maksymalizacji Wielomianu o akronimie PMM. Metoda ta, zwana w skrĂłcie wielomianowÄ&#x2026;, opiera siÄ&#x2122; na pierwszych kilku kumulantach wyznaczanych poĹ&#x203A;rednio z momentĂłw centralnych prĂłbki.

Za pomocÄ&#x2026; symulacji metodÄ&#x2026; Monte Carlo zbadano wyniki uzyskiwane przy stosowaniu metody PMM do oceny estymatorĂłw parametrĂłw menzurandu w sytuacji, gdy rozkĹ&#x201A;ad populacji, z ktĂłrej pochodzi prĂłbka, nie jest znany a priori, a liczba danych pomiarowych jest za maĹ&#x201A;a do jednoznacznej jego identyfikacji.

Jako przykĹ&#x201A;ad wykonano badania symulacyjne dla wielomianu rzÄ&#x2122;du 2. i prĂłbek danych pobranych z kilku rozkĹ&#x201A;adĂłw rodziny trapezĂłw liniowych Trap. Ĺ Ä&#x2026;czna analiza uzyskanych wynikĂłw wykazuje, Ĺźe dla okreĹ&#x203A;lonych wartoĹ&#x203A;ci parametrĂłw opisujÄ&#x2026;cych wĹ&#x201A;aĹ&#x203A;ciwoĹ&#x203A;ci probabilistyczne rozkĹ&#x201A;adu Trap (w caĹ&#x201A;ym zakresie 0 d b d 1 stosunku dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci podstaw trapezu), estymaty odchylenia standardowego SD obliczone metodÄ&#x2026; Monte Carlo dla metody wielomianowej PMM3 sÄ&#x2026; bardziej efektywne (majÄ&#x2026; mniejszÄ&#x2026; wariancjÄ&#x2122;) w porĂłwnaniu do estymat SD obliczonych dla Ĺ&#x203A;redniej arytmetycznej i Ĺ&#x203A;rodka rozstÄ&#x2122;pu.

WzglÄ&#x2122;dne zmniejszenie siÄ&#x2122; wariancji estymat, jak i stopieĹ&#x201E; normalizacji ich rozkĹ&#x201A;adu w duĹźej mierze zaleĹźy od liczby n danych prĂłbki. Na przykĹ&#x201A;ad dla prĂłbek o liczbie elementĂłw n > 50, z populacji TRAP o stosunku dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci podstaw trapezu b Â&#x201D; 0,7, metodÄ&#x2026; PMM otrzymuje siÄ&#x2122; bardziej efektywnÄ&#x2026; wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; menzurandu, tj. o mniejszej wariancji niĹź Ĺ&#x203A;rednia wg Przewodnika GUM i Ĺ&#x203A;rodek rozpiÄ&#x2122;cia â&#x20AC;&#x201C; patrz granice obszaru na rys 2.

OmĂłwione badania pozwalajÄ&#x2026; sformuĹ&#x201A;owaÄ&#x2021; wniosek, iĹź metodÄ&#x2122; wielomianowÄ&#x2026; PMM moĹźna wykorzystywaÄ&#x2021; z powodzeniem do oszacowania przedziaĹ&#x201A;u niepewnoĹ&#x203A;ci standardowej uA oraz niepewnoĹ&#x203A;ci rozszerzonej U menzurandu dla prĂłbek danych z rodziny rozkĹ&#x201A;adĂłw trapezowych Trap.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Novitski P.V., Zograf I.A., Ocenka pogreshnostiej rezultatov izmerenia. Energoatomizdat, Leningrad 1985. Kubisa S., Warsza Z.L., Ĺ&#x161;rodek rozstÄ&#x2122;pu jako estymator menzurandu dla prĂłbek z populacji o rozkĹ&#x201A;adzie rĂłwnomiernym i pĹ&#x201A;asko-normalnym. â&#x20AC;&#x17E;Pomiary Automatyka Kontrolaâ&#x20AC;?, Vol. 60, No. 6, 2014, 398â&#x20AC;&#x201C;401.

Warsza Z.L., Galovska M., About the best measurand estimators of trapezoidal probability distributions. â&#x20AC;&#x153;PrzeglÄ&#x2026;d Elektrotechniczny â&#x20AC;&#x201C; Electrical Reviewâ&#x20AC;?, No. 5, 2009, 86â&#x20AC;&#x201C;91.

Warsza Z.L., Galovska M., The best measurand estimators of trapezoidal PDF. Proceedings of IMEKO World Congress â&#x20AC;?Fundamental and Applied Metrologyâ&#x20AC;?, September 2009, Lisbon Portugal, 2405â&#x20AC;&#x201C;2410.

Warsza Z.L., Dwuelementowe estymatory wartoĹ&#x203A;ci menzurandu prĂłbek danych pomiarowych o trapezowych rozkĹ&#x201A;adach prawdopodobieĹ&#x201E;stwa â&#x20AC;&#x201C; przeglÄ&#x2026;d prac, â&#x20AC;&#x17E;Pomiary Automatyka Kontrolaâ&#x20AC;?, Vol. 57, No. 1, 2011, 105â&#x20AC;&#x201C;108.

Warsza Z.L., Wyznaczanie niepewnoĹ&#x203A;ci prĂłbek pomiarowych o kilku niegaussowskich rozkĹ&#x201A;adach prawdopodobieĹ&#x201E;stwa. Elektronika (Technika Sensorowa), Nr 9, 2012, 135â&#x20AC;&#x201C;140.

Warsza Z.L., Effective Measurand Estimators for Samples of Trapezoidal PDFs. â&#x20AC;&#x153;Journal of Automation, Mobile Robotics and Intelligent Systemsâ&#x20AC;?, Vol. 6, No. 1, 2012, 35â&#x20AC;&#x201C;41.

Botsiura O.A., Zakharov I.P., Peculiarities of evaluation of measurement uncertainty type A based on a Bayesian approach. â&#x20AC;&#x153;Sistemy Obrobotki Informacji (SOI)â&#x20AC;?, Kharkiv 2015, Vypusk 6 (131) 17â&#x20AC;&#x201C;20 (in Russ.)

Kunchenko Y., Polynomial Parameter Estimations of Close to Gaussian Random Variables. Shaker Verlag Aachen Germany, 2002.

Zabolotnii S.W., Warsza Z.L., A polynomial estimation of measurand parameters for samples of non-Gaussian symmetrically distributed data. R. Szewczyk et all (ed.) Proceedings of Automation 2017 â&#x20AC;&#x201C; Innovations in Automation, Robotics and Measurement Techniques. Advances in Intelligent Systems and Computing 550. Springer International Publishing AG 2017, 470â&#x20AC;&#x201C;482.

Warsza Z.L., Metody rozszerzenia analizy niepewnoĹ&#x203A;ci pomiarĂłw. Monografie â&#x2013;  Studia â&#x2013;  Rozprawy. Oficyna Wydawnicza PIAP Warszawa 2016.

}

1.

2.

3.

4.

64

Evaluation of measurement data â&#x20AC;&#x201C; Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM), BIPM, JCGM 100 (2008) + Supplement 1 â&#x20AC;&#x201C; Propagation of distributions using a Monte Carlo method (2007).

Bich W., Cox M., Michotte C., Towards a new GUM-an update. Metrologia 53 (2016) S149â&#x20AC;&#x201C;S159 IOP publ. BIPM. Cox M., Shirono K., Informative Bayesian Type A uncertainty evaluation, especially applicable to a small number of observations. â&#x20AC;&#x153;Metrologiaâ&#x20AC;?, Vol. 54, No. 5, 642â&#x20AC;&#x201C;652.

Cramer H., Mathematical Methods of Statistics, Stockholm University 1946 [Metody matematyczne w statystyce. z ang. tĹ&#x201A;. W. Oktaba, PWN Warszawa 1958].

P

O

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

" . / C /' " @

;! 7 # 7 @ 9 B " 9 " B K " B Abstract: The types of measurand parameter estimators derived from samples of measured data taken from the symmetrical trapezoidal population Trap are briefly discussed. A non-standard approach to finding estimates of the non-Gaussian distributions parameters based on the unconventional method of maximizing the stochastic polynomial (PMM) and using a moment-cumulant description of random variables is proposed. By means of multiple statistical tests of Monte Carlo method, the properties of polynomial estimators are investigated and an analysis of their accuracy is made with compare to estimates of the distributions with arithmetic mean or the mid-range as their centers. As a function of the number of sample data and the basis of trapeze ratio, the boundaries of the areas where these methods are most effective are determined. The PPM method has been proposed to use for determining estimated values of the standard deviation and uncertainties of measurand when distribution of the random errors population is a priori unknown and first few cumulants have to be find from the sample data.

KeywordsX " " ! 9 " " " K " "

% ! & . % +D$.)*" % " # ' ; 0 ' +DCD +D.- +D-&% _ U ; +DCJZ+D.$ +DDOZ+DDC ' +D.&Z-& ` +D-&Z+D-J V * ' @ 0 8 " X R * 0 _ R / " U B * > 0 ' +D-JZ+DJ, / " " F U " " +DJ$Z+DD,%

B ; I +DD,Z+DDC 8 " +DJ$Z,&&,% R9 * F " " U / 0 " " F U/ % / ,C& 9 . " * 7 0 9 ++ F " , F % * @ B * * % 0 /8 / " B * # %

Prof. Dr Tech. Sc., El. Eng. Serhii V. Zabolotnii % 9 ) % % # +D-$ % # % # ' @ "F U 7 " I * # @ 0 * * +DDC % 0 V X "F 7 " 0 " ,&&& % % V F Y 9 0 X ,&+C % Z ' 8 0 I * # @ * * _ 0 ,&&$ % ,&&$ % 7 I#@ ,&+C % / 9 F +&& 9 + " * T - F %

65

NR 3/2015

66

P

O

M

I

A

R

Y

•

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

•

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

Pomiary Automatyka Robotyka, ISSN 1427-9126, R. 21, Nr 4/2017, 67â&#x20AC;&#x201C;74, DOI: 10.14313/PAR_226/67

/ /IR6/ * " 9F ' " ; B = " > % (!- * 8 " - 8 & !+ />? / " >F 0? ' U Y B 8 9 / % B $& $&0&CD E F

0& % ) Czynniki oddziaĹ&#x201A;ujÄ&#x2026;ce na proces ksztaĹ&#x201A;towania EDM materiaĹ&#x201A;Ăłw trudno obrabialnych powodujÄ&#x2026; wzrost niedokĹ&#x201A;adnoĹ&#x203A;ci wymiarowo-ksztaĹ&#x201A;towej, chropowatoĹ&#x203A;ci powierzchni wyrobĂłw, a takĹźe przyspieszone zuĹźycie narzÄ&#x2122;dzia. W artykule przedstawiono analizÄ&#x2122; zaleĹźnoĹ&#x203A;ci odchyĹ&#x201A;ek wykonawczych powierzchni, ktĂłre powstajÄ&#x2026; w cyklicznym procesie ksztaĹ&#x201A;towania EDM, i odchyĹ&#x201A;ek narzÄ&#x2122;dzia od wybranych czynnikĂłw. W analizie zastosowano metodÄ&#x2122; Pareto ANOVA. GeometriÄ&#x2122; oceniano na podstawie odchyĹ&#x201A;ek wymiaru i odchyĹ&#x201A;ek geometrycznych elektrody oraz ksztaĹ&#x201A;towanej niÄ&#x2026; powierzchni wyrobu. Pomiary wykonano na wspĂłĹ&#x201A;rzÄ&#x2122;dnoĹ&#x203A;ciowej maszynie pomiarowej w trybie kontroli po kaĹźdym cyklu obrĂłbki pojedynczego elementu. ObrĂłbkÄ&#x2122; zrealizowano w Zintegrowanym Systemie Wytwarzania (ZSW), pracujÄ&#x2026;cym w Centrum ObsĹ&#x201A;ugi BadaĹ&#x201E; Naukowych i Dydaktyki WIMIR AGH. Przeanalizowano takĹźe wskaĹşniki WRR i MRR, charakteryzujÄ&#x2026;ce efektywnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; procesu i przydatnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; narzÄ&#x2122;dzia. ) # ' X F * " '

\. ; %& Technologia EDM jest powszechnie wybieranym rodzajem obrĂłbki materiaĹ&#x201A;Ăłw trudno obrabialnych takich, jak stale wysokiej twardoĹ&#x203A;ci, twarde stopy metali, diament, wÄ&#x2122;gliki, twarde materiaĹ&#x201A;y przewodzÄ&#x2026;ce prÄ&#x2026;d elektryczny, kompozyty czy ceramika [1]. KsztaĹ&#x201A;towanie czÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;ci maszyn metodÄ&#x2026; klasycznego wgĹ&#x201A;Ä&#x2122;bnego drÄ&#x2026;Ĺźenia elektroerozyjnego nastÄ&#x2122;puje w wyniku odwzorowania ksztaĹ&#x201A;tu elektrody w przedmiocie obrabianym.

W przemyĹ&#x203A;le maszynowym jakoĹ&#x203A;Ä&#x2021; wyrobĂłw jest uwarunkowana zgodnoĹ&#x203A;ciÄ&#x2026; z wymaganiami ujÄ&#x2122;tymi w specyfikacji [2].

DokĹ&#x201A;adnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; obrĂłbki elektroerozyjnej ocenia siÄ&#x2122; tak, jak w przypadkach innych metod wytwarzania, na podstawie odchyĹ&#x201A;ek rzeczywistych cech geometrycznych obrabianych powierzchni od postaci nominalnej wyrobu, opisanej wymiarami, warunkami geometrycznymi (tolerancjami ksztaĹ&#x201A;tu, poĹ&#x201A;oĹźenia, bicia itp.) oraz parametrami mikrogeometrii powierzchni (chropowatoĹ&#x203A;ci, falistoĹ&#x203A;ci).

Zjawiska towarzyszÄ&#x2026;ce obrĂłbce elektroerozyjnej powodujÄ&#x2026; nie tylko erozjÄ&#x2122; przedmiotu, lecz takĹźe ubytek materiaĹ&#x201A;u narzÄ&#x2122;-

# & *: X ? I Q* Q*) * % %

# ) ' ,C%&D%,&+- % ,-%+&%,&+- %

! "" # $%&

dzia oraz deformacjÄ&#x2122; jego postaci geometrycznej. MiarÄ&#x2026; zdolnoĹ&#x203A;ci elektrody do wytworzenia wyrobu w okreĹ&#x203A;lonej klasie dokĹ&#x201A;adnoĹ&#x203A;ci jest utrzymanie w okreĹ&#x203A;lonych specyfikacjÄ&#x2026; przedziaĹ&#x201A;ach wartoĹ&#x203A;ci odchyĹ&#x201A;ek wykonawczych. W artykule nie analizowano mikronierĂłwnoĹ&#x203A;ci, jako aspektu jakoĹ&#x203A;ci powierzchni po obrĂłbce, ktĂłry doĹ&#x203A;Ä&#x2021; wyczerpujÄ&#x2026;co zostaĹ&#x201A; rozpoznany i omĂłwiony w wielu pracach [3].

WielkoĹ&#x203A;Ä&#x2021; odchyĹ&#x201A;ek wykonawczych ksztaĹ&#x201A;towanych elementĂłw zaleĹźy od wielkoĹ&#x203A;ci i postaci zuĹźycia elektrody roboczej, a na to wpĹ&#x201A;ywa wiele czynnikĂłw. NajwaĹźniejsze z nich to parametry procesu technologicznego (napiÄ&#x2122;cie i natÄ&#x2122;Ĺźenie prÄ&#x2026;du elektrycznego, czas wyĹ&#x201A;adowania), wĹ&#x201A;aĹ&#x203A;ciwoĹ&#x203A;ci materiaĹ&#x201A;u elektrody i przedmiotu, wĹ&#x201A;aĹ&#x203A;ciwoĹ&#x203A;ci dielektryka, szerokoĹ&#x203A;Ä&#x2021; szczeliny roboczej [4].

Monitorowanie, jako etap pozyskiwania w trakcie trwania procesu informacji o stanie narzÄ&#x2122;dzia, realizowane jest obecnie na wiele sposobĂłw [5]. Stosownym pod wzglÄ&#x2122;dem wydajnoĹ&#x203A;ci rozwiÄ&#x2026;zaniem jest wyposaĹźanie systemĂłw obrĂłbki w zautomatyzowane systemy nadzorowania. RolÄ&#x2122; takich systemĂłw moĹźe przejÄ&#x2026;Ä&#x2021; wspĂłĹ&#x201A;rzÄ&#x2122;dnoĹ&#x203A;ciowa maszyna pomiarowa, ktĂłra wraz z zautomatyzowanym systemem zaĹ&#x201A;adunkowym i oprogramowaniem dokonuje cyklicznej inspekcji narzÄ&#x2122;dzi roboczych i pozwala wykorzystaÄ&#x2021; jej rezultaty do korekty parametrĂłw procesu. Zautomatyzowana maszyna obrĂłbcza i wymienione elementy, zintegrowane sieciowo, komunikujÄ&#x2026; siÄ&#x2122; miÄ&#x2122;dzy sobÄ&#x2026; na podstawie protokoĹ&#x201A;Ăłw sieciowych.

Opisana struktura jest podstawÄ&#x2026; Zrobotyzowanego Systemu Transportu MiÄ&#x2122;dzystanowiskowego Elastycznego Systemu Wytwarzania, pracujÄ&#x2026;cego w Centrum ObsĹ&#x201A;ugi BadaĹ&#x201E; Naukowych i Dydaktyki IMIR AGH. W skĹ&#x201A;ad systemu wchodzÄ&#x2026; nastÄ&#x2122;pujÄ&#x2026;ce urzÄ&#x2026;dzenia: eletrodrÄ&#x2026;Ĺźarka (ROBOFORM 350 Sp),

67

= =D q= . @J "C/ % 8 m

Ĺ&#x201A;ek geometrycznych narzÄ&#x2122;dzia i detalu. Przeanalizowane zostaĹ&#x201A;y rĂłwnieĹź wskaĹşniki MRR i WRR w celu oceny efektywnoĹ&#x203A;ci procesu i zuĹźycia narzÄ&#x2122;dzia.

Y. 9 2 ,

Eksperyment zaplanowano wedĹ&#x201A;ug ortogonalnej macierzy Taguchiâ&#x20AC;&#x2122;ego. Macierz planu doĹ&#x203A;wiadczeĹ&#x201E; pozwala na wyznaczenie wartoĹ&#x203A;ci czynnika analizowanego dla róşnych poziomĂłw zmiennoĹ&#x203A;ci czynnikĂłw wejĹ&#x203A;ciowych. W metodzie Taguchiâ&#x20AC;&#x2122;ego zakĹ&#x201A;ada siÄ&#x2122;, Ĺźe dla zmiennych wyjĹ&#x203A;ciowych procesu istniejÄ&#x2026; wartoĹ&#x203A;ci optymalne.

Odchylenie od tych wartoĹ&#x203A;ci powoduje powstanie tzw. â&#x20AC;&#x17E;stratyâ&#x20AC;?, ktĂłrÄ&#x2026; moĹźna modelowaÄ&#x2021; funkcjÄ&#x2026; parabolicznÄ&#x2026;. Algorytm metody opiera siÄ&#x2122; na wyznaczeniu wspĂłĹ&#x201A;czynnikĂłw S/N (signal/noise â&#x20AC;&#x201C; stosunek sygnaĹ&#x201A;u do szumu), ktĂłre charakteryzujÄ&#x2026; zmiennoĹ&#x203A;Ä&#x2021; badanego czynnika wyjĹ&#x203A;ciowego spowodowanÄ&#x2026; zakĹ&#x201A;Ăłceniami procesu. Róşnice wspĂłĹ&#x201A;czynnika S/N na poszczegĂłlnych poziomach zmiennoĹ&#x203A;ci danego czynnika umoĹźliwiajÄ&#x2026; m.in. okreĹ&#x203A;lenie odpornoĹ&#x203A;ci na dziaĹ&#x201A;anie zakĹ&#x201A;Ăłcenia [8, 9].

Stosowane sÄ&#x2026; cztery róşne sposoby wyznaczenia wspĂłĹ&#x201A;czynnikĂłw S/N. JeĹ&#x203A;li funkcja straty ma zostaÄ&#x2021; zminimalizowana, czyli wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; docelowa funkcji jest rĂłwna zeru (â&#x20AC;&#x17E;smaller is betterâ&#x20AC;?), to wspĂłĹ&#x201A;czynnik oblicza siÄ&#x2122; wedĹ&#x201A;ug wzoru (1).

Rys. 1. Schemat systemu Fig. 1. System diagram

system mocowania paletowego firmy 3R narzÄ&#x2122;dzia i materiaĹ&#x201A;u (robot Work Master) oraz wspĂłĹ&#x201A;rzÄ&#x2122;dnoĹ&#x203A;ciowa maszyna pomiarowa (Global Silver Performance) (rys. 1). WaĹźnÄ&#x2026; cechÄ&#x2026; systemu, oprĂłcz monitorowania stanu narzÄ&#x2122;dzia i sterowania procesem, jest obsĹ&#x201A;uga palet z obrabianymi wyrobami, skĹ&#x201A;adowanymi w wieloregaĹ&#x201A;owym magazynie. Wytwarzanie elementĂłw powtarzalnych (nie tylko partii wyrobĂłw) jest bardziej wydajne dziÄ&#x2122;ki moĹźliwoĹ&#x203A;ci ustalania ich na jednej palecie, obsĹ&#x201A;ugiwanej przez robota, dziÄ&#x2122;ki czemu minimalizuje siÄ&#x2122; czasy pomocnicze.

Celem przeprowadzonych badaĹ&#x201E; rozpoznawczych [6] byĹ&#x201A;o przyjÄ&#x2122;cie sposobu prognozowania stanu wyrobu po ksztaĹ&#x201A;towaniu EDM, na podstawie wynikĂłw inspekcji geometrii narzÄ&#x2122;dzia, podczas wykonywania powtarzalnych elementĂłw powierzchni, tzw. kieszeni. ObrĂłbka realizowana w ZSW na elektrodrÄ&#x2026;Ĺźarce firmy Aggie Charmilles przebiegaĹ&#x201A;a w jednym przejĹ&#x203A;ciu bez korekcji wymiarowej, z wĹ&#x201A;Ä&#x2026;czonÄ&#x2026; funkcjÄ&#x2026; sterowania adaptacyjnego. W tej strategii obrĂłbki stosowane sÄ&#x2026; gotowe procedury, oparte na doĹ&#x203A;wiadczeniach firmy [7], uruchamiane z poziomu komputera panelowego. Jest to w praktyce produkcyjnej najczÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;ciej stosowany, bo niewymagajÄ&#x2026;cy i niezbyt czasochĹ&#x201A;onny tryb pracy. W celu predykcji zaburzeĹ&#x201E; odwzorowania wymiarowo-ksztaĹ&#x201A;towego elektrody skonfigurowano sieÄ&#x2021; neuronowÄ&#x2026; i przeprowadzono proces jej uczenia przy wykorzystaniu danych eksperymentalnych.

ArtykuĹ&#x201A; jest wynikiem dalszych badaĹ&#x201E; dokĹ&#x201A;adnoĹ&#x203A;ci geometrycznej obrĂłbki EDM i przedstawia analizÄ&#x2122; zaleĹźnoĹ&#x203A;ci odchyĹ&#x201A;ek wykonawczych i odchyĹ&#x201A;ek elektrody roboczej od wybranych czynnikĂłw w cyklicznym procesie ksztaĹ&#x201A;towania wgĹ&#x201A;Ä&#x2122;bieĹ&#x201E;. Tradycyjnie okres trwaĹ&#x201A;oĹ&#x203A;ci narzÄ&#x2122;dzia oceniany jest na podstawie osiÄ&#x2026;gania maksymalnych (dopuszczalnych) wartoĹ&#x203A;ci okreĹ&#x203A;lonych wskaĹşnikĂłw zuĹźycia elektrody. O przydatnoĹ&#x203A;ci narzÄ&#x2122;dzia Ĺ&#x203A;wiadczy zdolnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; wytwarzania za jego pomocÄ&#x2026; wyrobĂłw w zaĹ&#x201A;oĹźonej klasie dokĹ&#x201A;adnoĹ&#x203A;ci, dlatego kryterium prawidĹ&#x201A;owego odwzorowania geometrii powinno przede wszystkim decydowaÄ&#x2021; o dopuszczeniu go do dalszej pracy. Na podstawie cyklicznych pomiarĂłw elektrody powinna zostaÄ&#x2021; wypracowana diagnoza o stanie narzÄ&#x2122;dzia.

W analizie zastosowano metodÄ&#x2122; Pareto ANOVA. Metoda ta jest uproszczonym wariantem analizy wariancji, niewymagajÄ&#x2026;cej speĹ&#x201A;nienia wielu zaĹ&#x201A;oĹźeĹ&#x201E;, stawianych w metodzie klasycznej.

GeometriÄ&#x2122; oceniano na podstawie odchyĹ&#x201A;ek wymiaru i odchy-

68

P

O

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

,

(1)

gdzie: yij â&#x20AC;&#x201C; wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; (zmierzona) i-tej zmiennej dla poziomu j, n â&#x20AC;&#x201C; liczba pomiarĂłw.

JeĹ&#x203A;li celowe jest zwiÄ&#x2122;kszenie tej funkcji, np. w przypadku usuwania materiaĹ&#x201A;u podczas obrĂłbki ubytkowej (â&#x20AC;&#x17E;larger is betterâ&#x20AC;?), to wspĂłĹ&#x201A;czynniki wyznacza siÄ&#x2122; wedĹ&#x201A;ug wzoru (2).

.

(2)

Dalsze postÄ&#x2122;powanie, zgodnie ze schematem Pareto ANOVA, pozwala wyodrÄ&#x2122;bniÄ&#x2021; czynniki wejĹ&#x203A;ciowe wpĹ&#x201A;ywajÄ&#x2026;ce w sposĂłb znaczÄ&#x2026;cy na wybrane wskaĹşniki procesu. Po obliczeniu wartoĹ&#x203A;ci S/N czynnika wynikowego (zmiennej wyjĹ&#x203A;ciowej) dla kaĹźdego czynnika wejĹ&#x203A;ciowego wyznaczane sÄ&#x2026; róşnice miÄ&#x2122;dzy tymi wartoĹ&#x203A;ciami. Stosowane sÄ&#x2026; dwa sposoby scharakteryzowania zróşnicowania tych wartoĹ&#x203A;ci. Przy stosowaniu analizy Pareto ANOVA bardziej odpowiedni wydaje siÄ&#x2122; wskaĹşnik oznaczany przez SSi â&#x20AC;&#x201C; suma kwadratĂłw odchyleĹ&#x201E; wzglÄ&#x2122;dem wartoĹ&#x203A;ci Ĺ&#x203A;redniej i-tego czynnika dla poziomu j, ze wzglÄ&#x2122;du na analogiÄ&#x2122; do miar stosowanych przy wewnÄ&#x2026;trzgrupowym szacowaniu wariancji w klasycznej metodzie ANOVA, tzn.:

,

, N = 9 â&#x20AC;&#x201C; liczba eksperymentĂłw.

gdzie: A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

g D _.

B & !

! & " .J

Zazwyczaj analizowanie róşnych zmiennych procesu wedĹ&#x201A;ug tej metody ma na celu wyznaczenie wartoĹ&#x203A;ci optymalnych, dla ktĂłrych zakĹ&#x201A;Ăłcenia procesu sÄ&#x2026; najmniejsze [10, 11]. W prezentowanej pracy analiza planu czynnikowego wykorzystana zostaĹ&#x201A;a do oceny stopnia oddziaĹ&#x201A;ywania rozwaĹźanych zmiennych wejĹ&#x203A;ciowych na wybrane cechy geometryczne powierzchni, czyli zmierzenia siĹ&#x201A;y ich wpĹ&#x201A;ywu na zmiany geometrii. W podobny sposĂłb badane byĹ&#x201A;y cechy geometryczne narzÄ&#x2122;dzia w celu rozpoznania perspektywy prognozowania na tej podstawie jakoĹ&#x203A;ci powierzchni elementĂłw wykonywanych powtarzalnie.

{. ' # &

W pierwszym etapie badaĹ&#x201E; wytypowano parametry operacyjne procesu (czynniki zmiennych niezaleĹźnych). Na podstawie cytowanych wczeĹ&#x203A;niej prac, a takĹźe w oparciu o wstÄ&#x2122;pne doĹ&#x203A;wiadczenia [6], dokonano wyboru dwĂłch parametrĂłw â&#x20AC;&#x201C; czynnikĂłw sterowalnych, ktĂłre w najwiÄ&#x2122;kszym stopniu mogÄ&#x2026; wpĹ&#x201A;ywaÄ&#x2021; na jakoĹ&#x203A;Ä&#x2021; powierzchni. Czynnik oznaczony â&#x20AC;&#x17E;Raâ&#x20AC;? oznacza zakĹ&#x201A;adanÄ&#x2026; gĹ&#x201A;adkoĹ&#x203A;Ä&#x2021; powierzchni. Parametr ten zadawany jest przed rozpoczÄ&#x2122;ciem obrĂłbki, wskutek czego w cyklu pracy adaptacyjnej zmiennej tej przyporzÄ&#x2026;dkowane zostajÄ&#x2026; wartoĹ&#x203A;ci spoĹ&#x203A;rĂłd stopniowanych nastaw generatora elektrodrÄ&#x2026;Ĺźarki. Czynnik drugi â&#x20AC;&#x17E;L_Kâ&#x20AC;? to liczba elementĂłw wykonywanych jednÄ&#x2026; elektrodÄ&#x2026;, bez zmiany nastaw generatora.

Wprowadzono trzy poziomy wartoĹ&#x203A;ci czynnikĂłw. Czynniki procesu i przyporzÄ&#x2026;dkowane im poziomy wartoĹ&#x203A;ci przedstawiono w tabeli 1 i tabeli 2.

Tabela 1. Zmienne niezaleĹźne wytypowane do badania Table 1. Input variables selected for experiments Zmienne wejĹ&#x203A;ciowe

OznaJednostki

Poziomy eksperymentu

czenie â&#x20AC;&#x201C; symbol

Poziom 1

Poziom 2

Poziom 3

ChropowatoĹ&#x203A;Ä&#x2021;

[Îźm]

Ra

4

5,6

6.3

Liczba gniazd

[â&#x20AC;&#x201C;]

L_K

1

2

4

Tabela 2. Parametry technologiczne procesu â&#x20AC;&#x201C; nastawy generatora Table 2. EDM process parameters â&#x20AC;&#x201C; generator settings Parametry technolo-

Poziomy czynnika Ra

OznaJednostki

giczne

czenie â&#x20AC;&#x201C; symbol1

(1)

(2)

(3)

Amplituda natÄ&#x2122;Ĺźenia

[A]

P(A)

9

13

13

Amplituda napiÄ&#x2122;cia

[V]

RF

25,5

25,5

25,5

Czas trwania impulsu

[Îźs]

A

50

100

100

Czas przerwy impulsu

[Îźs]

B

20

33

33

Tabela 3. Plan wg metody Taguchiâ&#x20AC;&#x2122;ego Table 3. Taguchi experiment plan Eksperyment

Ra

L_K

1

0

0

2

0

1

3

0

2

4

1

0

5

1

1

6

1

2

7

2

0

8

2

1

9

2

2

ZaĹ&#x201A;oĹźono, Ĺźe bÄ&#x2122;dÄ&#x2026; wykonywane proste wgĹ&#x201A;Ä&#x2122;bienia o przekroju prostokÄ&#x2026;tnym i wymiarach: 20 mm Ă&#x2014; 14 mm, w peĹ&#x201A;nym materiale (tzw. kieszenie). DrÄ&#x2026;Ĺźony ksztaĹ&#x201A;t odzwierciedla geometriÄ&#x2122; elektrody. GĹ&#x201A;Ä&#x2122;bokoĹ&#x203A;Ä&#x2021; drÄ&#x2026;Ĺźenia zostaĹ&#x201A;a ustalona dla wszystkich wgĹ&#x201A;Ä&#x2122;bieĹ&#x201E; jednakowa i miaĹ&#x201A;a wynosiÄ&#x2021; 10 mm. WgĹ&#x201A;Ä&#x2122;bienia miaĹ&#x201A;y byÄ&#x2021; powtarzalnie pozycjonowane na trzech elementach testowych. PoĹ&#x201A;oĹźenie wgĹ&#x201A;Ä&#x2122;bienia w odniesieniu do detalu, jak rĂłwnieĹź kierunek osi wgĹ&#x201A;Ä&#x2122;bienia, byĹ&#x201A;y okreĹ&#x203A;lane w ukĹ&#x201A;adzie wspĂłĹ&#x201A;rzÄ&#x2122;dnych przedmiotu.

MateriaĹ&#x201A;em obrabianym byĹ&#x201A;a stal narzÄ&#x2122;dziowa, zahartowana do 56 HRC. Po przygotowaniu prĂłbek opracowany zostaĹ&#x201A; proces obrĂłbki elektrodrÄ&#x2026;Ĺźenia wgĹ&#x201A;Ä&#x2122;bnego. Do wykonania peĹ&#x201A;nego cyklu obrĂłbki kolejno trzech kieszeni przeznaczono jednÄ&#x2026; elektrodÄ&#x2122; (rys. 2). Elektrody w ksztaĹ&#x201A;cie prostopadĹ&#x201A;oĹ&#x203A;cianu wykonano z miedzi M1E. Powierzchnie czoĹ&#x201A;owe i boczne byĹ&#x201A;y frezowane i dogĹ&#x201A;adzane. KaĹźda elektroda zostaĹ&#x201A;a zmierzona przed rozpoczÄ&#x2122;ciem pracy i po wykonaniu kaĹźdego wgĹ&#x201A;Ä&#x2122;bienia.

Wyznaczane byĹ&#x201A;y wymiary oraz odchyĹ&#x201A;ki ksztaĹ&#x201A;tu powierzchni roboczych elektrody.

Po zakoĹ&#x201E;czeniu obrĂłbki zmierzone zostaĹ&#x201A;y wymiary wgĹ&#x201A;Ä&#x2122;bieĹ&#x201E;, ich odchyĹ&#x201A;ki ksztaĹ&#x201A;tu na powierzchni dna i powierzchniach bocznych, oraz dodatkowo chropowatoĹ&#x203A;Ä&#x2021;. Skontrolowano takĹźe dokĹ&#x201A;adnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; pozycjonowania narzÄ&#x2122;dzia wzglÄ&#x2122;dem powierzchni bazowych prĂłbek.

Pomiary wielkoĹ&#x203A;ci geometrycznych byĹ&#x201A;y wykonywane na wspĂłĹ&#x201A;rzÄ&#x2122;dnoĹ&#x203A;ciowej maszynie pomiarowej, wyposaĹźonej w stykowÄ&#x2026; skanujÄ&#x2026;cÄ&#x2026; gĹ&#x201A;owicÄ&#x2122; pomiarowÄ&#x2026;. Wybrane cechy metrolo-

Rys. 2. Elektroda robocza Fig. 2. The working electrode

69

= =D q= . @J "C/ % 8 m

giczne maszyny i jej wyposaĹźenia zamieszczono w tabeli 4.

ChropowatoĹ&#x203A;Ä&#x2021; zmierzono przenoĹ&#x203A;nym profilometrem T1000E firmy Hommel Werke.

bokoĹ&#x203A;ci (W_D) powierzchni ksztaĹ&#x201A;towanych, a takĹźe wskaĹşnikĂłw WRR i MRR. WspĂłĹ&#x201A;czynniki S/N dla zmiennej MRR obliczono wedĹ&#x201A;ug wzoru (2), dla pozostaĹ&#x201A;ych zmiennych wedĹ&#x201A;ug wzoru (1). W wartoĹ&#x203A;ciach wspĂłĹ&#x201A;czynnikĂłw S/N dla czytelnoĹ&#x203A;ci pominiÄ&#x2122;to wystÄ&#x2122;pujÄ&#x2026;cy w wzorze (1) i (2) wspĂłĹ&#x201A;czynnik â&#x20AC;&#x17E;(â&#x20AC;&#x201C;10)â&#x20AC;?, co nie ma wpĹ&#x201A;ywu na wnioskowanie o sile oddziaĹ&#x201A;ywania czynnikĂłw.

WskaĹşnik wzglÄ&#x2122;dnego zuĹźywania siÄ&#x2122; elektrod roboczych WRR zdefiniowany jest za pomocÄ&#x2026; wzoru [12]:

^. ; #

W tablicy 5 zamieszczono wyniki pomiarĂłw wybranych do analizy cech geometrycznych, tzn. wartoĹ&#x203A;ci odchyĹ&#x201A;ki pĹ&#x201A;askoĹ&#x203A;ci (ER_P) powierzchni czoĹ&#x201A;owej, odchyĹ&#x201A;ki wymiaru dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci elektrody roboczej (ER_D) oraz pĹ&#x201A;askoĹ&#x203A;ci dna (W_P) i gĹ&#x201A;Ä&#x2122;-

WRR = Tabela4. Charakterystyka przyrzÄ&#x2026;dĂłw pomiarowych Table 4. CMM characteristics

gdzie: Ve â&#x20AC;&#x201C; objÄ&#x2122;toĹ&#x203A;ciowy ubytek elektrody w mm.

WspĂłĹ&#x201A;rzÄ&#x2122;dnoĹ&#x203A;ciowa Maszyna Pomiarowa Global Silver Performance

ObjÄ&#x2122;toĹ&#x203A;ciowa wydajnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; drÄ&#x2026;Ĺźenia MRR wyraĹźa siÄ&#x2122; wzorem [12]:

MRR =

DEA â&#x20AC;&#x201C; HEXAGON METROLOGY SA

Producent

Ve , t

gdzie: Vm â&#x20AC;&#x201C; objÄ&#x2122;toĹ&#x203A;Ä&#x2021; wyerodowanego materiaĹ&#x201A;u w mm3, t â&#x20AC;&#x201C; czas drÄ&#x2026;Ĺźenia w minutach.

ObjÄ&#x2122;toĹ&#x203A;ciowy ubytek elektrody i objÄ&#x2122;toĹ&#x203A;Ä&#x2021; wyerodowanego materiaĹ&#x201A;u byĹ&#x201A;a obliczona na podstawie róşnicy wymiarĂłw przed i po wykonaniu pojedynczego elementu (kieszeni).

Charakterystyka metrologiczna maszyny pomiarowej Zakres pomiarowy

500 mm Ă&#x2014; 700 mm Ă&#x2014; 500 mm

MPEE

1,5+L/333 Îźm

RozdzielczoĹ&#x203A;Ä&#x2021;

1 Îźm

Oprogramowanie

PCDMIS â&#x20AC;&#x201C; WILCOX INC.

Vm , t

Z. 9

Tabela 6 zawiera wyniki obliczeĹ&#x201E; charakteryzujÄ&#x2026;ce oddziaĹ&#x201A;ywanie czynnikĂłw Ra i L_K. OddziaĹ&#x201A;ywanie czynnikĂłw definiuje siÄ&#x2122; jako zmianÄ&#x2122; reakcji zmiennych wyjĹ&#x203A;ciowych przy zmianach poziomu czynnika. Jest to okreĹ&#x203A;lane jako gĹ&#x201A;Ăłwny efekt, poniewaĹź odnosi siÄ&#x2122; do podstawowych badanych czynnikĂłw [13].

MiarÄ&#x2026; wielkoĹ&#x203A;ci efektu jest Ĺ&#x203A;rednia arytmetyczna wspĂłĹ&#x201A;czynnikĂłw S/N obliczonych dla wybranego poziomu wyodrÄ&#x2122;bnionego czynnika [8]. JeĹ&#x203A;li przy zmianach poziomu jednego czynnika zmiany czynnika wynikowego zaleĹźÄ&#x2026; od poziomu innego czynnika wejĹ&#x203A;ciowego, to miÄ&#x2122;dzy tymi czynnikami zachodzi interakcja. W ostatniej kolumnie tabeli 6 zamieszczono wykresy przedstawiajÄ&#x2026;ce efekty gĹ&#x201A;Ăłwne czynnikĂłw wejĹ&#x203A;ciowych.

Wyniki analizy zestawione w tabeli 7 pokazujÄ&#x2026; oszacowany procentowo wpĹ&#x201A;yw kaĹźdego z rozwaĹźanych czynnikĂłw oddzielnie i interakcjÄ&#x2122; obydwu, na analizowane wskaĹşniki.

Konfiguracja gĹ&#x201A;owicy Producent

TESA TECHNOLOGY

GĹ&#x201A;owica obrotowa zmotoryzowana

TESASTARâ&#x20AC;&#x201C;SM

Producent

LEITZâ&#x20AC;&#x201C;HEXAGON METROLOGY SA

Typ sondy skanujacej

LSPâ&#x20AC;&#x201C;X1

RozdzielczoĹ&#x203A;Ä&#x2021;

0,1 Îźm

Tabela 5. Wyniki pomiarĂłw elektrody, kieszeni i wspĂłĹ&#x201A;czynnikĂłw S/N wg planu ortogonalnego Taguchiâ&#x20AC;&#x2122;ego Table 5. The results of measurements of electrode, pockets and S/N ratios according to Taguchiâ&#x20AC;&#x2122;s orthogonal plan

70

WRR

ER_P

S/N

ER_D

S/N

[mm]

(smaller)

[mm]

(smaller)

1

0,020

â&#x20AC;&#x201C;3,398

â&#x20AC;&#x201C;0,176

â&#x20AC;&#x201C;1,509

2

0,024

â&#x20AC;&#x201C;3,240

â&#x20AC;&#x201C;0,333

3

0,024

â&#x20AC;&#x201C;3,240

4

0,039

5

MRR

S/N

W_P

S/N

W_D

S/N

(smaller)

[mm]

(smaller)

[mm]

(smaller)

0,2328

â&#x20AC;&#x201C;1,266

0,023

â&#x20AC;&#x201C;3,276

â&#x20AC;&#x201C;0,146

â&#x20AC;&#x201C;1,671

0,197

â&#x20AC;&#x201C;1,411

â&#x20AC;&#x201C;0,955

0,2076

â&#x20AC;&#x201C;1,367

0,032

â&#x20AC;&#x201C;2,989

â&#x20AC;&#x201C;0,272

â&#x20AC;&#x201C;1,131

0,171

â&#x20AC;&#x201C;1,534

â&#x20AC;&#x201C;0,492

â&#x20AC;&#x201C;0,616

0,2134

â&#x20AC;&#x201C;1,342

0,035

â&#x20AC;&#x201C;2,912

â&#x20AC;&#x201C;0,464

â&#x20AC;&#x201C;0,667

0,278

â&#x20AC;&#x201C;1,111

â&#x20AC;&#x201C;2,818

â&#x20AC;&#x201C;0,138

â&#x20AC;&#x201C;1,720

0,4058

â&#x20AC;&#x201C;0,783

0,051

â&#x20AC;&#x201C;2,585

â&#x20AC;&#x201C;0,062

â&#x20AC;&#x201C;2,415

0,183

â&#x20AC;&#x201C;1,475

0,061

â&#x20AC;&#x201C;2,429

â&#x20AC;&#x201C;0,260

â&#x20AC;&#x201C;1,170

0,3587

â&#x20AC;&#x201C;0,891

0,077

â&#x20AC;&#x201C;2,227

â&#x20AC;&#x201C;0,180

â&#x20AC;&#x201C;1,489

0,354

â&#x20AC;&#x201C;0,901

6

0,080

â&#x20AC;&#x201C;2,194

â&#x20AC;&#x201C;0,367

â&#x20AC;&#x201C;0,871

0,3255

â&#x20AC;&#x201C;0,975

0,100

â&#x20AC;&#x201C;2,000

â&#x20AC;&#x201C;0,298

â&#x20AC;&#x201C;1,052

0,368

â&#x20AC;&#x201C;0,868

7

0,039

â&#x20AC;&#x201C;2,818

â&#x20AC;&#x201C;0,120

â&#x20AC;&#x201C;1,841

0,3529

â&#x20AC;&#x201C;0,941

0,066

â&#x20AC;&#x201C;2,361

â&#x20AC;&#x201C;0,043

â&#x20AC;&#x201C;2,733

0,127

â&#x20AC;&#x201C;1,792

8

0,061

â&#x20AC;&#x201C;2,429

â&#x20AC;&#x201C;0,253

â&#x20AC;&#x201C;1,193

0,3911

â&#x20AC;&#x201C;0,815

0,097

â&#x20AC;&#x201C;2,026

â&#x20AC;&#x201C;0,164

â&#x20AC;&#x201C;1,570

0,372

â&#x20AC;&#x201C;0,859

9

0,080

â&#x20AC;&#x201C;2,194

â&#x20AC;&#x201C;0,372

â&#x20AC;&#x201C;0,859

0,3498

â&#x20AC;&#x201C;0,912

0,090

â&#x20AC;&#x201C;2,092

â&#x20AC;&#x201C;0,272

â&#x20AC;&#x201C;1,130

0,326

â&#x20AC;&#x201C;0,974

Eksp.

P

O

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;˘

[cm3/ min]

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

[cm3/ min]

S/N (larger)

N R 4 /201 7

g D _.

B & !

! & " .J

Tabela 6. WpÅ&#x201A;yw czynników Ra i L_K, oraz ich wspóÅ&#x201A;dziaÅ&#x201A;ania na parametry ER_P, W_P, ER_D, W_D, WRR, MRR Table 6. Effect of Ra and L_K factors, and their interaction on parameters ER_P, W_P, ER_D, W_D, WRR, MRR Czynniki

Ra

Zmienna

L_K

Ra&L_K

Efekt gÅ&#x201A;ówny czynnika L_K i Ra

ER_P

Poziom 1

â&#x20AC;&#x201C;3,293

â&#x20AC;&#x201C;3,011

â&#x20AC;&#x201C;3,103

Poziom 2

â&#x20AC;&#x201C;2,480

â&#x20AC;&#x201C;2,699

â&#x20AC;&#x201C;2,622

Poziom 3

â&#x20AC;&#x201C;2,480

â&#x20AC;&#x201C;2,699

â&#x20AC;&#x201C;2,622

Max-Min

0,813

0,312

0,481

SS

0,441

0,073

0,157

Ranga

1

3

2

Zmienna

W_P

Poziom 1

â&#x20AC;&#x201C;3,059

â&#x20AC;&#x201C;2,741

â&#x20AC;&#x201C;2,824

Poziom 2

â&#x20AC;&#x201C;2,271

â&#x20AC;&#x201C;2,414

â&#x20AC;&#x201C;2,365

Poziom 3

â&#x20AC;&#x201C;2,160

â&#x20AC;&#x201C;2,335

â&#x20AC;&#x201C;2,278

Max-Min

0,899

0,406

0,546

SS

0,4849

0,0927

0,1723

Ranga

1

3

2

Zmienna

ER_D

Poziom 1

â&#x20AC;&#x201C;1,026

â&#x20AC;&#x201C;1,690

â&#x20AC;&#x201C;1,328

Poziom 2

â&#x20AC;&#x201C;1,254

â&#x20AC;&#x201C;1,106

â&#x20AC;&#x201C;1,182

Poziom 3

â&#x20AC;&#x201C;1,298

â&#x20AC;&#x201C;0,782

â&#x20AC;&#x201C;1,384

Max-Min

0,272

0,575

0,202

SS

0,043

0,203

0,055

Ranga

3

1

2

Zmienna

W_D

Poziom 1

â&#x20AC;&#x201C;1,156

â&#x20AC;&#x201C;2,273

â&#x20AC;&#x201C;1,723

Poziom 2

â&#x20AC;&#x201C;1,652

â&#x20AC;&#x201C;1,396

â&#x20AC;&#x201C;1,531

Poziom 3

â&#x20AC;&#x201C;1,811

â&#x20AC;&#x201C;0,950

â&#x20AC;&#x201C;1,430

Max-Min

0,655

1,323

0,293

SS

0,233

0,907

0,094

Ranga

2

1

3

Zmienna

WRR

Poziom 1

â&#x20AC;&#x201C;1,3247

â&#x20AC;&#x201C;0,9967

â&#x20AC;&#x201C;1,1396

Poziom 2

â&#x20AC;&#x201C;0,8829

â&#x20AC;&#x201C;1,0241

â&#x20AC;&#x201C;0,9661

Poziom 3

â&#x20AC;&#x201C;0,8895

â&#x20AC;&#x201C;1,0763

â&#x20AC;&#x201C;0,997

Max-Min

0,4418

0,0796

0,1735

SS

0,1263

0,0033

0,0171

Ranga

1

3

2

Zmienna

MRR

Poziom 1

â&#x20AC;&#x201C;1,352

â&#x20AC;&#x201C;1,559

â&#x20AC;&#x201C;1,465

Poziom 2

â&#x20AC;&#x201C;1,081

â&#x20AC;&#x201C;1,098

â&#x20AC;&#x201C;1,879

Poziom 3

â&#x20AC;&#x201C;1,203

â&#x20AC;&#x201C;0,984

â&#x20AC;&#x201C;1,868

Max-Min

0,149

0,575

0,403

SS

0,034

0,1854

0,9329

Ranga

3

2

1

71

= =D q= . @J "C/ % 8 m

Tabela 7. WpĹ&#x201A;yw czynnikĂłw wejĹ&#x203A;ciowych na geometriÄ&#x2122; elektrody Table 7. An impact of input factors on electrode geometry

Ra

L_K

Ra&L_K

Zmienne wyjĹ&#x203A;ciowe [%]

Ĺ Ä&#x2026;czny wpĹ&#x201A;yw parametrĂłw procesu (wyszczegĂłlnionych w tabeli 1), okreĹ&#x203A;lonych w planie jako rodzaj â&#x20AC;&#x17E;zespoĹ&#x201A;owegoâ&#x20AC;? predyktora Ra, jest dominujÄ&#x2026;cy w przypadku powstawania odchyĹ&#x201A;ek geometrycznych â&#x20AC;&#x201C; w artykule reprezentowanych za pomocÄ&#x2026; odchyĹ&#x201A;ki pĹ&#x201A;askoĹ&#x203A;ci â&#x20AC;&#x201C; i wyniĂłsĹ&#x201A; ok. 65% dla elektrody i dla wyrobu, a takĹźe rzutuje w duĹźym stopniu na nierĂłwnomiernoĹ&#x203A;Ä&#x2021; zuĹźywania elektrody (86%).

WielkoĹ&#x203A;Ä&#x2021; odchyĹ&#x201A;ek wymiarowych zaleĹźy w wiÄ&#x2122;kszym stopniu niĹź odchyĹ&#x201A;ki geometryczne od zakresu obrĂłbki (liczba wykonanych elementĂłw), osiÄ&#x2026;gajÄ&#x2026;c dla wyrobu wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; 73,49%, podczas gdy udziaĹ&#x201A; czynnika Ra nie przekroczyĹ&#x201A; 20%. Ĺ Ä&#x2026;czne oddziaĹ&#x201A;ywanie obydwu czynnikĂłw jest natomiast znaczÄ&#x2026;ce w przypadku szybkoĹ&#x203A;ci usuwania materiaĹ&#x201A;u.

Zaobserwowano duĹźÄ&#x2026; zgodnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; wynikĂłw analizy odpowiadajÄ&#x2026;cych sobie cech narzÄ&#x2122;dzia i ksztaĹ&#x201A;towanych nim powierzchni.

WartoĹ&#x203A;ci wspĂłĹ&#x201A;czynnikĂłw korelacji miÄ&#x2122;dzy zmiennymi (dla p < 0,05, p â&#x20AC;&#x201C; poziom istotnoĹ&#x203A;ci), obliczone w pakiecie Statistica 13.1 (rys. 3), moĹźna uznaÄ&#x2021; za szacunkowe, poniewaĹź opierajÄ&#x2026; siÄ&#x2122; na nikĹ&#x201A;ych przesĹ&#x201A;ankach z uwagi na maĹ&#x201A;oliczne prĂłby.

Korelacje (Taguchi_3) Oznaczone wspĂłĹ&#x201A;czynniki korelacji sÄ&#x2026; istotne z p < 0,050 N = 9 W_P

W_D

ER_P

0,94820

â&#x20AC;&#x201C;0,03472

ER_D

â&#x20AC;&#x201C;0,07966

0,98297

Rys. 3. WspĂłĹ&#x201A;czynniki korelacji miÄ&#x2122;dzy odchyĹ&#x201A;kami narzÄ&#x2122;dzia i powierzchni Fig. 3. The correlation coefficients between electrode and surface deviations

ER_P

65,70

10,88

23,39

W_P

64,66

12,36

22,97

ER_D

18,28

67,48

14,29

W_D

18,91

73,49

7,59

WRR

86,06

2,25

11,65

MRR

2,95

16,08

80,96

[. ; #

Decyzja o dopuszczeniu elektrody roboczej do dalszej pracy powinna opieraÄ&#x2021; siÄ&#x2122; na ocenie stanu jej geometrii. Wyniki pomiarĂłw elektrody podczas powtarzalnego ksztaĹ&#x201A;towania wyrobĂłw dajÄ&#x2026; obraz jej postÄ&#x2122;pujÄ&#x2026;cego zuĹźycia, jednak mimo to moĹźe ona nadal dobrze odwzorowywaÄ&#x2021; powierzchniÄ&#x2122;, jeĹ&#x203A;li wymagania sÄ&#x2026; niewielkie. WaĹźnÄ&#x2026; kwestiÄ&#x2026; jest ustalenie, w ktĂłrym cyklu stan narzÄ&#x2122;dzia bÄ&#x2122;dzie wskazywaĹ&#x201A; na koniecznoĹ&#x203A;Ä&#x2021; wprowadzenia korekty procesu lub na koniecznoĹ&#x203A;Ä&#x2021; regeneracji powierzchni roboczych, poniewaĹź narzÄ&#x2122;dzie utraciĹ&#x201A;o zdolnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; wytwarzania elementĂłw w zaĹ&#x201A;oĹźonej dokĹ&#x201A;adnoĹ&#x203A;ci. Pomocna w diagnostyce moĹźe okazaÄ&#x2021; siÄ&#x2122; prezentowana w artykule metoda oraz wnio-

72

P

O

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

g D _.

B & !

! & " .J

Wykres Pareto

ski z przeprowadzonych juĹź badaĹ&#x201E;. WystÄ&#x2122;powanie zaleĹźnoĹ&#x203A;ci miÄ&#x2122;dzy czynnikami wejĹ&#x203A;ciowymi a czynnikami wynikowymi jest immanentnÄ&#x2026; cechÄ&#x2026; procesĂłw, natomiast korzystnym rezultatem badaĹ&#x201E; jest kwantytatywny charakter oceny tej relacji.

DziÄ&#x2122;ki zastosowaniu wspĂłĹ&#x201A;czynnikĂłw sygnaĹ&#x201A;/szum oraz analizy Pareto Anova otrzymano liczbowe oszacowanie oddziaĹ&#x201A;ywania poszczegĂłlnych czynnikĂłw, a takĹźe moĹźliwoĹ&#x203A;Ä&#x2021; ich klasyfikacji na podstawie wagi oddziaĹ&#x201A;ywania na okreĹ&#x203A;lony aspekt jakoĹ&#x203A;ci geometrycznej wyrobu. Informacje te mogÄ&#x2026; zostaÄ&#x2021; wykorzystane w dalszych pracach ukierunkowanych na stworzeniu odpowiedniej struktury sieci neuronowych lub ich zespoĹ&#x201A;u. Zgromadzone wyniki pomiarĂłw wybranych cech geometrycznych narzÄ&#x2122;dzia i odpowiadajÄ&#x2026;cych im cech powierzchni ksztaĹ&#x201A;towanej tym narzÄ&#x2122;dziem wykazujÄ&#x2026; istotnÄ&#x2026; korelacjÄ&#x2122;, co pozwala zakĹ&#x201A;adaÄ&#x2021; moĹźliwoĹ&#x203A;Ä&#x2021; prognozowania jakoĹ&#x203A;ci powierzchni uzyskanej w gotowych cyklach adaptacyjnych. UmoĹźliwi to wyznaczenie wartoĹ&#x203A;ci cech geometrycznych wyrobu przy zadanych wartoĹ&#x203A;ciach czynnikĂłw, na podstawie cyklicznej inspekcji elektrody.

}

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Ruszaj A., Skoczypiec S., Tendencje rozwojowe wybranych niekonwencjonalnych procesĂłw wytwarzania, â&#x20AC;&#x17E;Mechanikâ&#x20AC;?, R. 88, Nr 4CD, 2015, 1â&#x20AC;&#x201C;8.

PN-EN ISO 1101: 2012, Geometrical product specifications (GPS) â&#x20AC;&#x201C; Geometrical tolerancing â&#x20AC;&#x201C; Tolerances of form, orientation, location and run-out.

ZagĂłrski K., Kudelski R., Skrzypkowski K., Kapusta M., DokĹ&#x201A;adnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; wymiarowo-ksztaĹ&#x201A;towa oraz warstwa wierzchnia elementĂłw wytwarzanych metodÄ&#x2026; obrĂłbki EDM, â&#x20AC;&#x17E;Logistykaâ&#x20AC;?, Nr 4 CD3, 2015, 9964â&#x20AC;&#x201C;9972, ISSN 1231â&#x20AC;&#x201C;5478.

Jemielniak K., Automatyczna diagnostyka stanu narzÄ&#x2122;dzia i procesu skrawania, OWPW 2002.

Mazurkiewicz S., Czynniki wpĹ&#x201A;ywajÄ&#x2026;ce na jakoĹ&#x203A;Ä&#x2021; wytwarzania technologiÄ&#x2026; elektrodrÄ&#x2026;Ĺźenia, TRANSCOMP â&#x20AC;&#x201C; XIV International Conference Computer Systems Aided Science, Industry and Transport, 2013, Nr 6 CD, 2173â&#x20AC;&#x201C; 2182.

Nieciag H., Kudelski R., ZagĂłrski K., The electrode inspection in integrated manufacturing system, â&#x20AC;&#x153;PrzeglÄ&#x2026;d Elektrotechnicznyâ&#x20AC;?, R. 92, Nr 11, 2016, 1â&#x20AC;&#x201C;6, DOI: 10.15199/48.2016.11.01.

Agie Charmilles Group, Dokumentacja techniczna ROBOFORM 350, 2004.

KorzyĹ&#x201E;ski M., Metodyka eksperymentu, WNT, Warszawa 2017.

Unal R., Dean E., Taguchi approach to design optimization for quality and cost: an overview, Conference of the International Society of Parametric Analysts, 1991, 1â&#x20AC;&#x201C;9.

Tomadi S.H., Hassan M.A., Hamedon Z., Member IAENG, Daud R., Khalid A.G., Analysis of the Influence of EDM Parameters on Surface Quality, Material Removal Rate and Electrode Wear of Tungsten Carbide, International MultiConference of Engineers and Computer Scientists IMECS, 2009, 1808-1803.

Alagarsamy S.V., Arockia Vincent Sagayaraj S., Raveendran P., Optimization of drilling process Parameters on Surface Roughness & Material Removal Rate by using Taguchi Method, â&#x20AC;&#x153;International Journal of Engineering Research and General Scienceâ&#x20AC;?, Vol. 4, Iss. 2, 2016, 290â&#x20AC;&#x201C; 298, ISSN 2091â&#x20AC;&#x201C;2730, Siwczyk M., ObrĂłbka elektroerozyjna. Podstawy technologiczne, KrakĂłw 2000.

Greber T., Statystyczne Sterowanie Procesami â&#x20AC;&#x201C; Doskonalenie JakoĹ&#x203A;ci z Pakietem Statistica, Statsoft, KrakĂłw 2000.

73

= =D q= . @J "C/ % 8 m

/IR6/ 7 * " 7 7 " * ; B ! U * B 7 * " & %&) Factors influencing the process of EDM shaping of hard-to-machine materials result in increased dimensional inaccuracy, surface roughness, and accelerated tool wear. The article presents an analysis of the dependence of the real deviations of the surfaces of the machined parts that are manufactured in the cyclic process of machining EDM, as well as the deviations of the used tools, from selected factors. The analysis uses the Pareto ANOVA method. Geometry was evaluated on the basis of deviations of the tool and the corresponding deviations of the surface. Measurements were performed in the Integrated Manufacturing System working in the WIMIR AGH Scientific Research Center, on the coordinate measuring machine in inspection mode, after each machining cycle of a single element. The WRR and MRR indicators were also analyzed, characterizing the process efficiency and utility of the tool.

KeywordsX L U * B 7 * "

= " > % (!

8 & !+

*) * % %

* ) * % %

/ E "F ' 0 ' U Y B 8 9 />? E

* U 0 @ * ' E % Y ' U Y B 8 9 />? E % ' / 0 " ; U 7 " 0 ` Q > % U F Q Q " Q * " F " F %

' ,&&, % " / " >F 0? E 0

" Q0 F ,&+& % 9 " Q % R9 E 0 "F ' ' U Y 0 B 8 9 / 0 " >F 0? E % M * * F * 9 F9 9 %

* 8 " ) * % % # ,&&D % / 0 " >F 0? "% 0 E % R9 E "F ' 0 ' U Y B 0 8 9 />? E % ' 0 09 " * " " " I 0 " 9 F9 " 0 " " " % ' ,&+- % 9 Q Q Q " " " "%

74

P

O

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

Pomiary Automatyka Robotyka, ISSN 1427-9126, R. 21, Nr 4/2017, 75â&#x20AC;&#x201C;81, DOI: 10.14313/PAR_226/75

I Y 7 * Z 9 % * % ? " # @ * ' ; E U Y "F * F ; % * $- -&0$+$

0& % ) Szafa ekspresyjna to waĹźna czÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; organĂłw piszczaĹ&#x201A;kowych, umoĹźliwiajÄ&#x2026;ca zmianÄ&#x2122; gĹ&#x201A;oĹ&#x203A;noĹ&#x203A;ci dĹşwiÄ&#x2122;ku generowanego przez instrument. W artykule opisano proces zastÄ&#x2026;pienia pneumatycznego systemu sterujÄ&#x2026;cego ĹźaluzjÄ&#x2026; szafy ekspresyjnej, ukĹ&#x201A;adem napÄ&#x2122;du elektrycznego.

Przedstawione zostaĹ&#x201A;y zaĹ&#x201A;oĹźenia projektowe, koncepcja ukĹ&#x201A;adu sterowania, praktyczna realizacja prototypu urzÄ&#x2026;dzenia i ostatecznie jego wstÄ&#x2122;pne badania. Opisywany system, po procesie optymalizacji pod kÄ&#x2026;tem czynnikĂłw krytycznych, zrealizowano z wykorzystaniem silnika krokowego z regulacjÄ&#x2026; prÄ&#x2026;du opartÄ&#x2026; o modulacjÄ&#x2122; szerokoĹ&#x203A;ci impulsĂłw. CaĹ&#x201A;oĹ&#x203A;ciÄ&#x2026; systemu (m.in. odczytywaniem pozycji pedaĹ&#x201A;u, pozycjonowaniem Ĺźaluzji, eliminacjÄ&#x2026; drgaĹ&#x201E;, obsĹ&#x201A;ugÄ&#x2026; sytuacji bĹ&#x201A;Ä&#x2122;dnych) steruje mikrokontroler 8-bitowy. UkĹ&#x201A;ad poddano ocenie zarĂłwno pod kÄ&#x2026;tem mierzalnych parametrĂłw (gĹ&#x201A;oĹ&#x203A;noĹ&#x203A;Ä&#x2021; pracy, uzyskiwane przyspieszenia), jak i subiektywnych kryteriĂłw podczas testĂłw dokonanych przez organistĂłw w Bazylice Ĺ&#x203A;w. Jana Chrzciciela w Szczecinie, gdzie urzÄ&#x2026;dzenie zostaĹ&#x201A;o zainstalowane. ) # ' X 7 Y * " " F

1. Wprowadzenie Zmiana gĹ&#x201A;oĹ&#x203A;noĹ&#x203A;ci tonu generowanego przez pojedynczÄ&#x2026; piszczaĹ&#x201A;kÄ&#x2122; w tradycyjnych organach piszczaĹ&#x201A;kowych wiÄ&#x2026;Ĺźe siÄ&#x2122; z licznymi problemami. Najprostsze rozwiÄ&#x2026;zanie polegajÄ&#x2026;ce na zmianie wartoĹ&#x203A;ci ciĹ&#x203A;nienia powietrza tĹ&#x201A;oczonego do piszczaĹ&#x201A;ki powoduje niedopuszczalnÄ&#x2026; modyfikacjÄ&#x2122; szeregu innych, subiektywnych parametrĂłw dĹşwiÄ&#x2122;ku, takich jak barwa i wysokoĹ&#x203A;Ä&#x2021; oraz szybkoĹ&#x203A;Ä&#x2021; narastania i opadania amplitudy. SzczegĂłĹ&#x201A;owy opis tych zagadnieĹ&#x201E; moĹźna znaleĹşÄ&#x2021; w [1, 8]. Aby umoĹźliwiÄ&#x2021; granie utworĂłw wymagajÄ&#x2026;cych duĹźej dynamiki (lub w ujÄ&#x2122;ciu subiektywnym â&#x20AC;&#x201C; ekspresji), w organach stosuje siÄ&#x2122; tzw. szafÄ&#x2122; ekspresyjnÄ&#x2026;. Wynalazek ten w swojej pierwotnej formie zastosowany zostaĹ&#x201A; po raz pierwszy przez hiszpaĹ&#x201E;skiego konstruktora Jose EhevarriÄ&#x2122; w XVI wieku [1]. DziaĹ&#x201A;anie tego prymitywnego urzÄ&#x2026;dzenia polegaĹ&#x201A;o na umieszczeniu piszczaĹ&#x201A;ki w skrzyni, ktĂłrej wieko mogĹ&#x201A;o byÄ&#x2021; otwierane i zamykane za pomocÄ&#x2026; dĹşwigni

# & *: X B 8 ",$JD,) % %

# ) ' ,-%&D%,&+- % &.%++%,&+- %

! "" # $%&

noĹźnej. PowodowaĹ&#x201A;o to uzyskanie skokowej zmiany gĹ&#x201A;oĹ&#x203A;noĹ&#x203A;ci.

Konstrukcja szafy ekspresyjnej byĹ&#x201A;a przez nastÄ&#x2122;pne stulecia udoskonalana (gĹ&#x201A;Ăłwnie przez brytyjskich, hiszpaĹ&#x201E;skich, niemieckich i francuskich konstruktorĂłw) i ostatecznie przybraĹ&#x201A;a swojÄ&#x2026; wspĂłĹ&#x201A;czesnÄ&#x2026; formÄ&#x2122; [1, 8]. Zasada dziaĹ&#x201A;ania jest w dalszym ciÄ&#x2026;gu doĹ&#x203A;Ä&#x2021; prosta i polega na zamkniÄ&#x2122;ciu jednej z sekcji piszczaĹ&#x201A;ek organowych w drewnianej skrzyni (pomieszczeniu).

W jej przedniej Ĺ&#x203A;cianie wykonany jest otwĂłr, ktĂłry moĹźna zamykaÄ&#x2021; i otwieraÄ&#x2021; za pomocÄ&#x2026; pedaĹ&#x201A;u (ang. swell pedal) znajdujÄ&#x2026;cego siÄ&#x2122; przy manuale. Zamykanie i otwieranie otworu jest najczÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;ciej uzyskiwane przez uĹźycie Ĺźaluzji (podobnej do Ĺźaluzji weneckiej). Ze wzglÄ&#x2122;du na to, Ĺźe gĹ&#x201A;oĹ&#x203A;noĹ&#x203A;Ä&#x2021; piszczaĹ&#x201A;ek, ktĂłre znajdujÄ&#x2026; siÄ&#x2122; w otwartej szafie ekspresyjnej jest mniejsza niĹź takich samych piszczaĹ&#x201A;ek znajdujÄ&#x2026;cych siÄ&#x2122; na zewnÄ&#x2026;trz, to umieszcza siÄ&#x2122; w niej tylko jednÄ&#x2026; sekcjÄ&#x2122;. PozostaĹ&#x201A;e piszczaĹ&#x201A;ki mogÄ&#x2026; pracowaÄ&#x2021; z peĹ&#x201A;nÄ&#x2026; gĹ&#x201A;oĹ&#x203A;noĹ&#x203A;ciÄ&#x2026;. O ile sama konstrukcja szafy i Ĺźaluzji nie sprawia wiÄ&#x2122;kszych problemĂłw technicznych, to doĹ&#x203A;Ä&#x2021; skomplikowany jest ukĹ&#x201A;ad napÄ&#x2122;du Ĺźaluzji. Szafa ekspresyjna czÄ&#x2122;sto poĹ&#x201A;oĹźona jest w znacznej odlegĹ&#x201A;oĹ&#x203A;ci od manuaĹ&#x201A;u, a sama Ĺźaluzja, w zaleĹźnoĹ&#x203A;ci od wersji, ma masÄ&#x2122; kilkudziesiÄ&#x2122;ciu kilogramĂłw. Zatem zastosowanie w peĹ&#x201A;ni mechanicznego ukĹ&#x201A;adu zapewniajÄ&#x2026;cego pĹ&#x201A;ynne otwieranie i zamykanie Ĺźaluzji jest kĹ&#x201A;opotliwe. W zwiÄ&#x2026;zku z tym w drugiej poĹ&#x201A;owie XIX wieku, zaczÄ&#x2122;to stosowaÄ&#x2021; ukĹ&#x201A;ady pneumatyczne, a nastÄ&#x2122;pnie elektropneumatyczne. PostÄ&#x2122;p w dziedzinie elektrotechniki oraz elektroniki i automatyki w XX wieku, pozwoliĹ&#x201A; na zastosowanie

75

D %# + 8 & % 8 8 . % ; % 8 8 @ % 8

wyĹ&#x201A;Ä&#x2026;cznie elektrycznego ukĹ&#x201A;adu napÄ&#x2122;dowego, niewymagajÄ&#x2026;cego tĹ&#x201A;oczenia powietrza i zapewniajÄ&#x2026;cego lepsze parametry uĹźytkowe szafy ekspresyjnej [1]. Celem artykuĹ&#x201A;u jest przedstawienie procesu projektowania, a nastÄ&#x2122;pnie realizacji i testĂłw prototypu ukĹ&#x201A;adu napÄ&#x2122;dowego z wykorzystaniem prostej, popularnej i taniej maszyny elektrycznej, jakÄ&#x2026; jest silnik krokowy. Jej sterowaniu poĹ&#x203A;wiÄ&#x2122;cona jest liczna literatura [2, 6].

nego otwarcia z pozycji zamkniÄ&#x2122;tej to okoĹ&#x201A;o 6 s. Okres ten byĹ&#x201A; zdecydowanie za dĹ&#x201A;ugi w przypadku koniecznoĹ&#x203A;ci zagrania fragmentu o szybkich i duĹźych zmianach gĹ&#x201A;oĹ&#x203A;noĹ&#x203A;ci (tzw. crescendo lub diminuendo). Wymienione wyĹźej wady skĹ&#x201A;oniĹ&#x201A;y do znalezienia nowego rozwiÄ&#x2026;zania ukĹ&#x201A;adu napÄ&#x2122;dowego.

{. $ ) Â & * # ' ( # & * #) &%

Y. 6& Â '* ' # & * *

&

' :' #) &%

Podstawowe zaĹ&#x201A;oĹźenia projektowe nowego urzÄ&#x2026;dzenia byĹ&#x201A;y nastÄ&#x2122;pujÄ&#x2026;ce: 1. PĹ&#x201A;ynna regulacja poĹ&#x201A;oĹźenia Ĺźaluzji w zakresie od caĹ&#x201A;kowitego otwarcia do zamkniÄ&#x2122;cia; 2. Czas potrzebny na peĹ&#x201A;ne otwarcie Ĺźaluzji z pozycji caĹ&#x201A;kowitego zamkniÄ&#x2122;cia (i odwrotnie) nie przekracza 1 s; 3. HaĹ&#x201A;as generowany przez caĹ&#x201A;oĹ&#x203A;Ä&#x2021; systemu nie zakĹ&#x201A;Ăłca pracy organĂłw (pojÄ&#x2122;cie subiektywne oparte o indywidualne odczucia organisty); 4. DuĹźa wytrzymaĹ&#x201A;oĹ&#x203A;Ä&#x2021; systemu gwarantujÄ&#x2026;ca bezawaryjnÄ&#x2026; pracÄ&#x2122; przez wiele lat. W razie wystÄ&#x2026;pienia uszkodzenia, moĹźliwa szybka i tania naprawa urzÄ&#x2026;dzenia.

Ĺťaluzja, dla ktĂłrej projektowano nowy ukĹ&#x201A;ad napÄ&#x2122;dowy skĹ&#x201A;ada siÄ&#x2122; z dziewiÄ&#x2122;ciu prostopadĹ&#x201A;oĹ&#x203A;ciennych elementĂłw o wymiarach 1,46 m ´ 0,22 m ´ 0,04 m, wykonanych z pĹ&#x201A;yty wiĂłrowej. Dodatkowo krawÄ&#x2122;dzie kaĹźdego elementu pokryte zostaĹ&#x201A;y materiaĹ&#x201A;em zwiÄ&#x2122;kszajÄ&#x2026;cym szczelnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; w stanie zamkniÄ&#x2122;cia.

Oszacowana masa Ĺźaluzji (nie byĹ&#x201A;o moĹźliwoĹ&#x203A;ci dokĹ&#x201A;adnego zwaĹźenia) to okoĹ&#x201A;o 50 kg. Na rys. 1 zaprezentowano widok Ĺźaluzji z zewnÄ&#x2026;trz szafy ekspresyjnej.

W pierwotnym rozwiÄ&#x2026;zaniu, dziaĹ&#x201A;ajÄ&#x2026;cym przez kilkadziesiÄ&#x2026;t lat, napÄ&#x2122;d Ĺźaluzji szafy ekspresyjnej byĹ&#x201A; oparty na ukĹ&#x201A;adzie elektro-pneumatycznym zawierajÄ&#x2026;cym miech, nadmuchiwany za pomocÄ&#x2026; pompy o napÄ&#x2122;dzie elektrycznym, poruszajÄ&#x2026;cy listwÄ&#x2026; drewnianÄ&#x2026; sprzÄ&#x2122;gniÄ&#x2122;tÄ&#x2026; z ĹźaluzjÄ&#x2026;. Ruch posuwisty listwy odbywaĹ&#x201A; siÄ&#x2122; na odcinku 20 cm (od zamkniÄ&#x2122;cia do peĹ&#x201A;nego otwarcia).

Ten ukĹ&#x201A;ad napÄ&#x2122;dowy miaĹ&#x201A; dwie zasadnicze wady. Po pierwsze nie byĹ&#x201A;a moĹźliwa pĹ&#x201A;ynna regulacja poĹ&#x201A;oĹźenia Ĺźaluzji, a jedynie skokowa, pozwalajÄ&#x2026;ca na ustawienie jej w piÄ&#x2122;ciu dyskretnych pozycjach. UkĹ&#x201A;ad kontroli poĹ&#x201A;oĹźenia pedaĹ&#x201A;u skĹ&#x201A;adaĹ&#x201A; siÄ&#x2122; z zestawu piÄ&#x2122;ciu mechanicznych stykĂłw, zwierajÄ&#x2026;cych siÄ&#x2122; i rozwierajÄ&#x2026;cych w zaleĹźnoĹ&#x203A;ci od poĹ&#x201A;oĹźenia pedaĹ&#x201A;u. Po drugie, napÄ&#x2122;d nie zapewniaĹ&#x201A; wystarczajÄ&#x2026;cej prÄ&#x2122;dkoĹ&#x203A;ci ruchu Ĺźaluzji. Czas peĹ&#x201A;-

Rys. 2. Schemat blokowy systemu sterowania Fig. 2. Block diagram of the control system

PĹ&#x201A;ynna regulacja poĹ&#x201A;oĹźenia pedaĹ&#x201A;u wymagaĹ&#x201A;a zastosowania przetwornika analogowo-cyfrowego. SpeĹ&#x201A;nienie warunku 4. narzuciĹ&#x201A;o koniecznoĹ&#x203A;Ä&#x2021; zminimalizowania liczby elementĂłw systemu i wykorzystania Ĺ&#x201A;atwo dostÄ&#x2122;pnych i sprawdzonych podzespoĹ&#x201A;Ăłw. W zwiÄ&#x2026;zku z tym zastosowano tani i bardzo popularny mikrokontroler AVR â&#x20AC;&#x201C; ATmega8 z wbudowanym przetwornikiem analogowo-cyfrowym 10-bitowym. Rozpatrywano trzy potencjalne ĹşrĂłdĹ&#x201A;a napÄ&#x2122;du: â&#x2C6;&#x2019; silnik krokowy, â&#x2C6;&#x2019; serwomechanizm, â&#x2C6;&#x2019; silnik prÄ&#x2026;du staĹ&#x201A;ego.

Silnik prÄ&#x2026;du staĹ&#x201A;ego pozwala uzyskaÄ&#x2021; duĹźe prÄ&#x2122;dkoĹ&#x203A;ci obrotowe. Jego uĹźycie nie pozwala jednak na precyzyjne sterowanie przesuniÄ&#x2122;ciem obiektu w otwartej pÄ&#x2122;tli sprzÄ&#x2122;Ĺźenia zwrotnego, a dodatkowe czujniki poĹ&#x201A;oĹźenia komplikujÄ&#x2026; caĹ&#x201A;oĹ&#x203A;Ä&#x2021; ukĹ&#x201A;adu. Aby uzyskaÄ&#x2021; wiÄ&#x2122;kszÄ&#x2026; trwaĹ&#x201A;oĹ&#x203A;Ä&#x2021; naleĹźaĹ&#x201A;oby zamiast silnika komutatorowego zastosowaÄ&#x2021; silnik bezszczotkowy BLDC (ang. Brushless Direct-Current Motor), co rĂłwnieĹź wpĹ&#x201A;ynÄ&#x2122;Ĺ&#x201A;oby na komplikacjÄ&#x2122; ukĹ&#x201A;adu sterowania. Z kolei zastosowanie serwomechanizmu Ĺ&#x201A;Ä&#x2026;czyĹ&#x201A;oby siÄ&#x2122; z koniecznoĹ&#x203A;ciÄ&#x2026; wykorzystania bardziej zĹ&#x201A;oĹźonego ukĹ&#x201A;adu mechanicznego przeniesienia napÄ&#x2122;du. Jako optymalne rozwiÄ&#x2026;zanie przyjÄ&#x2122;to uĹźycie silnika krokowego umoĹźliwiajÄ&#x2026;cego precyzyjne pozycjonowanie Ĺźaluzji w otwartej pÄ&#x2122;tli sprzÄ&#x2122;Ĺźenia zwrotnego i wymagajÄ&#x2026;cego jedynie prostego ukĹ&#x201A;adu sterowania [2].

OgĂłlnÄ&#x2026; koncepcjÄ&#x2122; caĹ&#x201A;oĹ&#x203A;ci systemu przedstawiono na rys. 2.

Zasilacz zapewnia dwa poziomy napiÄ&#x2122;Ä&#x2021;: 5 V do zasilania czÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;ci

Rys. 1. Widok szafy ekspresyjnej Fig. 1. A view of the swell box

76

P

O

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

B *

mikroprocesorowej oraz 12 V dla ukĹ&#x201A;adu wykonawczego. Pomiar pozycji pedaĹ&#x201A;u jest wykonywany za pomocÄ&#x2026; przetwornika A/C, mierzÄ&#x2026;cego napiÄ&#x2122;cie na potencjometrze, ktĂłry jest mechanicznie poĹ&#x201A;Ä&#x2026;czony z pedaĹ&#x201A;em. UkĹ&#x201A;ad regulacji prÄ&#x2026;du i podwĂłjny mostek tranzystorowy typu H zasilajÄ&#x2026;cy silnik krokowy zrealizowane sÄ&#x2026; z wykorzystaniem dwĂłch ukĹ&#x201A;adĂłw scalonych (typu L297 i L298). Dodatkowym zabezpieczeniem i elementem zapewniajÄ&#x2026;cym wstÄ&#x2122;pnÄ&#x2026; kalibracjÄ&#x2122; systemu po wĹ&#x201A;Ä&#x2026;czeniu zasilania jest wyĹ&#x201A;Ä&#x2026;cznik kraĹ&#x201E;cowy.

^. Â&#x201A;#) #

& : '

# Wybrany silnik krokowy, o symbolu SM 57/76-2008A, charakteryzuje siÄ&#x2122; momentem trzymajÄ&#x2026;cym rĂłwnym 2 Nm. Wyprowadzone przewody umoĹźliwiajÄ&#x2026; poĹ&#x201A;Ä&#x2026;czenie unipolarne lub bipolarne, z szeregowÄ&#x2026; lub rĂłwnolegĹ&#x201A;Ä&#x2026; konfiguracjÄ&#x2026; cewek.

Przy zastosowanym poĹ&#x201A;Ä&#x2026;czeniu szeregowym bipolarnym indukcyjnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; jednego uzwojenia wynosi 14,4 mH, a rezystancja 4,5 Ί. Nominalne napiÄ&#x2122;cie cewki wynosi w takiej konfiguracji 6,3 V, a prÄ&#x2026;d 1,4 A. Obracanie waĹ&#x201A;u silnika krokowego uzyskuje siÄ&#x2122; przez zaĹ&#x201A;Ä&#x2026;czanie w odpowiedniej kolejnoĹ&#x203A;ci jego cewek do napiÄ&#x2122;cia staĹ&#x201A;ego, a wiÄ&#x2122;c podawanie na uzwojenia pewnej sekwencji skokĂłw jednostkowych napiÄ&#x2122;cia [2]. RĂłwnanie róşniczkowe zwyczajne opisujÄ&#x2026;ce narastanie prÄ&#x2026;du w cewce po podaniu skoku jednostkowego napiÄ&#x2122;cia przedstawione jest wzorem (1) [3].

(1)

gdzie: E â&#x20AC;&#x201C; wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; napiÄ&#x2122;cia zaĹ&#x201A;Ä&#x2026;czonego do cewki, i â&#x20AC;&#x201C; prÄ&#x2026;d w cewce, R â&#x20AC;&#x201C; rezystancja cewki, L â&#x20AC;&#x201C; indukcyjnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; cewki.

RozwiÄ&#x2026;zane analityczne rĂłwnania (1) dane jest wzorem (2) i =

E R

R â&#x17D;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; tâ&#x17D;&#x17E; â&#x17D;&#x153;1 â&#x2C6;&#x2019; e L â&#x17D;&#x; â&#x17D;&#x153; â&#x17D;&#x; â&#x17D;? â&#x17D;

(2)

Po podstawieniu podanych wczeĹ&#x203A;niej wartoĹ&#x203A;ci napiÄ&#x2122;cia, indukcyjnoĹ&#x203A;ci i rezystancji, otrzymamy funkcjÄ&#x2122; narastania prÄ&#x2026;du w cewce przedstawionÄ&#x2026; na rys. 3. Eksperymenty wykazaĹ&#x201A;y, Ĺźe aby osiÄ&#x2026;gnÄ&#x2026;Ä&#x2021; wymagany moment obrotowy i w ten sposĂłb zapewniÄ&#x2021; pewny i precyzyjny ruch Ĺźaluzji (bez gubienia krokĂłw), prÄ&#x2026;d musi narosnÄ&#x2026;Ä&#x2021; do wartoĹ&#x203A;ci okoĹ&#x201A;o 1,0 A, co odpowiada czasowi 4,1 ms.

Rys. 3. Narastanie prÄ&#x2026;du w uzwojeniu silnika Fig. 3. Current rising in the motor winding

Rys. 4. Przebiegi napiÄ&#x2122;Ä&#x2021; i prÄ&#x2026;dĂłw przy sterowaniu PWM Fig. 4. Current and voltage waveforms in the PWM control

Zastosowany ukĹ&#x201A;ad mechaniczny (listwa zÄ&#x2122;bata i wspĂłĹ&#x201A;pracujÄ&#x2026;ca z niÄ&#x2026; zÄ&#x2122;batka naĹ&#x201A;oĹźona na waĹ&#x201A; silnika) wymaga wykonania przez silnik 635 krokĂłw, aby osiÄ&#x2026;gnÄ&#x2026;Ä&#x2021; peĹ&#x201A;ne otwarcie Ĺźaluzji z pozycji zamkniÄ&#x2122;tej. Zatem ruch taki trwaĹ&#x201A;by okoĹ&#x201A;o 2,54 s (nie uwzglÄ&#x2122;dniajÄ&#x2026;c czasu rozĹ&#x201A;adowania prÄ&#x2026;du uzwojenia i wytworzonego przezeĹ&#x201E; pola magnetycznego), co nie speĹ&#x201A;nia zaĹ&#x201A;oĹźenia nr 2.

Aby osiÄ&#x2026;gnÄ&#x2026;Ä&#x2021; wiÄ&#x2122;kszy moment obrotowy przy wiÄ&#x2122;kszej prÄ&#x2122;dkoĹ&#x203A;ci obrotowej zastosowano ukĹ&#x201A;ad regulacji prÄ&#x2026;du w uzwojeniu z wykorzystaniem sygnaĹ&#x201A;u PWM (ang. Pulse Width Modulation â&#x20AC;&#x201C; modulacja szerokoĹ&#x203A;ci impulsĂłw). W tym celu uĹźyto podwĂłjnego mostka H opartego o ukĹ&#x201A;ad L298 oraz wspĂłĹ&#x201A;pracujÄ&#x2026;cego z nim ukĹ&#x201A;adu L297, ktĂłry zawiera w swojej strukturze generator sygnaĹ&#x201A;u PWM, dwa komparatory oraz ukĹ&#x201A;ad generacji sekwencji sterujÄ&#x2026;cej silnikiem w trybie pĂłĹ&#x201A;krokowym lub peĹ&#x201A;nokrokowym [7]. Wykorzystano jedynie tryb peĹ&#x201A;nokrokowy. Zrealizowanie ukĹ&#x201A;adu regulacji prÄ&#x2026;du na zewnÄ&#x2122;trznych, dedykowanych ukĹ&#x201A;adach pozwala z jednej strony zmniejszyÄ&#x2021; zapotrzebowanie na zasoby mikrokontrolera i dziÄ&#x2122;ki temu wykorzystaÄ&#x2021; prostszy i taĹ&#x201E;szy ukĹ&#x201A;ad, a z drugiej â&#x20AC;&#x201C; nie przeprowadzaÄ&#x2021; zbytniej komplikacji systemu. SygnaĹ&#x201A;y sterujÄ&#x2026;ce dla ukĹ&#x201A;adu L297 pochodzÄ&#x2026; z mikrokontrolera. Uproszczone przebiegi napiÄ&#x2122;cia podawanego na cewkÄ&#x2122; silnika i prÄ&#x2026;du pĹ&#x201A;ynÄ&#x2026;cego przez uzwojenia przedstawiono na rys. 4. NapiÄ&#x2122;cie ma wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; maksymalnÄ&#x2026; rĂłwnÄ&#x2026; 12 V. W zwiÄ&#x2026;zku z tym prÄ&#x2026;d w cewce narasta szybciej niĹź przy napiÄ&#x2122;ciu nominalnym, a wymaganÄ&#x2026; wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; osiÄ&#x2026;ga juĹź po czasie 1,5 ms. Teoretyczny czas wykonania 635 krokĂłw to okoĹ&#x201A;o 0,95 s. UkĹ&#x201A;ad komparatorĂłw, przerzutnikĂłw, oraz generatora przebiegu prostokÄ&#x2026;tnego, zawarty w ukĹ&#x201A;adzie L297, dokonuje badania prÄ&#x2026;du uzwojeĹ&#x201E; i po przekroczeniu ustalonej wartoĹ&#x203A;ci (Imax) powoduje wyĹ&#x201A;Ä&#x2026;czenie napiÄ&#x2122;cia i w konsekwencji rozpoczÄ&#x2122;cie zmniejszania siÄ&#x2122; wartoĹ&#x203A;ci prÄ&#x2026;du w cewce. Po pewnym czasie prÄ&#x2026;d osiÄ&#x2026;ga wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; minimalnÄ&#x2026; Imin, napiÄ&#x2122;cie zostaje ponownie zaĹ&#x201A;Ä&#x2026;czone, a prÄ&#x2026;d powtĂłrnie zaczyna narastaÄ&#x2021;. W ten sposĂłb udaje siÄ&#x2122; uzyskaÄ&#x2021; wiÄ&#x2122;kszy moment obrotowy przy wyĹźszych prÄ&#x2122;dkoĹ&#x203A;ciach obrotowych, a jednoczeĹ&#x203A;nie stabilizowaÄ&#x2021; prÄ&#x2026;d uzwojenia, wykluczajÄ&#x2026;c

77

D %# + 8 & % 8 8 . % ; % 8 8 @ % 8

przekroczenie bezpiecznej wartoĹ&#x203A;ci (co mogĹ&#x201A;oby mieÄ&#x2021; miejsce przy niskich prÄ&#x2122;dkoĹ&#x203A;ciach obrotowych, a szczegĂłlnie zerowej prÄ&#x2122;dkoĹ&#x203A;ci obrotowej i korzystaniu z tzw. momentu trzymajÄ&#x2026;cego). Do pomiaru wartoĹ&#x203A;ci prÄ&#x2026;du sĹ&#x201A;uĹźÄ&#x2026; rezystory pomiarowe o wartoĹ&#x203A;ci 0,5 Ί. W zwiÄ&#x2026;zku z tym we wzorze (2), za R naleĹźy podstawiÄ&#x2021; sumÄ&#x2122; rezystancji uzwojenia i rezystora pomiarowego.

WartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; maksymalna prÄ&#x2026;du wynosi 1,2 A.

gdzie n oznacza numer prĂłbki. Dodatkowo zastosowano pÄ&#x2122;tlÄ&#x2122; histerezy, aby wyeliminowaÄ&#x2021; pasoĹźytnicze drgania silnika wywoĹ&#x201A;ane np. zakĹ&#x201A;Ăłceniami indukujÄ&#x2026;cymi siÄ&#x2122; na przewodzie Ĺ&#x201A;Ä&#x2026;czÄ&#x2026;cym przetwornik A/C z potencjometrem lub nieumyĹ&#x203A;lnym, lekkim przesuwaniem pedaĹ&#x201A;u podczas trzymania na nim nogi. PÄ&#x2122;tla histerezy powoduje, Ĺźe charakterystyka zastosowanego regulatora jest nieliniowa. RĂłwnanie (7) opisuje jego ostatecznÄ&#x2026; wersjÄ&#x2122;.

Z. Â&#x201A;#) & ' * Â '*

(7)

Ruch Ĺźaluzji ma postÄ&#x2122;powaÄ&#x2021; za ruchem pedaĹ&#x201A;u poruszanego przez organistÄ&#x2122;. Potencjometr liniowy, suwakowy, o rezystancji 1 kΊ i zakresie przesuwu L = 10 cm, zostaĹ&#x201A; sprzÄ&#x2122;gniÄ&#x2122;ty mechanicznie z pedaĹ&#x201A;em. Odczep potencjometru poĹ&#x201A;Ä&#x2026;czony jest z wejĹ&#x203A;ciem mikrokontrolera skonfigurowanym jako wejĹ&#x203A;cie przetwornika analogowo-cyfrowego. KraĹ&#x201E;cowe zaciski potencjometru podĹ&#x201A;Ä&#x2026;czone zostaĹ&#x201A;y miÄ&#x2122;dzy napiÄ&#x2122;cie referencyjne a masÄ&#x2122; za poĹ&#x203A;rednictwem rezystora o tak dobranej rezystancji, aby napiÄ&#x2122;cie na potencjometrze wynosiĹ&#x201A;o dokĹ&#x201A;adnie 2,56 V, co odpowiada napiÄ&#x2122;ciu referencyjnemu wytwarzanemu przez wewnÄ&#x2122;trzny ukĹ&#x201A;ad mikrokontrolera. RozwiÄ&#x2026;zanie to ma dodatkowÄ&#x2026; zaletÄ&#x2122; polegajÄ&#x2026;cÄ&#x2026; na ograniczeniu prÄ&#x2026;du, ktĂłry popĹ&#x201A;ynÄ&#x2026;Ĺ&#x201A;by w przypadku zwarcia przewodĂłw doprowadzajÄ&#x2026;cych napiÄ&#x2122;cie do potencjometru, do wartoĹ&#x203A;ci okoĹ&#x201A;o 1 mA. Dodatkowy kondensator blokujÄ&#x2026;cy ogranicza zakĹ&#x201A;Ăłcenia, ktĂłre mogĹ&#x201A;yby indukowaÄ&#x2021; siÄ&#x2122; w przewodzie o znacznej dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci Ĺ&#x201A;Ä&#x2026;czÄ&#x2026;cym potencjometr z ukĹ&#x201A;adem. Przetwornik A/C zawarty w mikrokontrolerze, bÄ&#x2122;dÄ&#x2026;cy ukĹ&#x201A;adem opartym na metodzie sukcesywnej aproksymacji SAR (ang. successive approximation register), ma rozdzielczoĹ&#x203A;Ä&#x2021; 10 bitĂłw [4]. W opisywanym zastosowaniu zupeĹ&#x201A;nie wystarcza mniejsza rozdzielczoĹ&#x203A;Ä&#x2021;, ktĂłrÄ&#x2026; eksperymentalnie dobrano na 7 bitĂłw. RĂłwnanie (3) przedstawia dostÄ&#x2122;pnÄ&#x2026; liczbÄ&#x2122; kombinacji N. RozdzielczoĹ&#x203A;Ä&#x2021; ta pozwala uzyskaÄ&#x2021; rozróşnianie przesuniÄ&#x2122;cia suwaka o wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; danÄ&#x2026; rĂłwnaniem (4).

N = 27 = 128

Praktyczne dziaĹ&#x201A;anie regulatora opisanego rĂłwnaniem (7) jest nastÄ&#x2122;pujÄ&#x2026;ce. OdpowiedĹş jest niezerowa w dwĂłch przypadkach.

Zawsze w przypadku, gdy wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; bezwzglÄ&#x2122;dna z bieĹźÄ&#x2026;cego uchybu regulacji (zmierzonego w chwili n) jest wiÄ&#x2122;ksza od staĹ&#x201A;ej , ktĂłrej wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; ustalono doĹ&#x203A;wiadczalnie rĂłwnÄ&#x2026; 2. OdpowiedĹş jest niezerowa takĹźe wtedy, gdy wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; bezwzglÄ&#x2122;dna uchybu regulacji jest wiÄ&#x2122;ksza od zera i mniejsza od staĹ&#x201A;ej , ale jednoczeĹ&#x203A;nie w poprzedniej, dyskretnej chwili nâ&#x20AC;&#x201C;1, wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; bezwzglÄ&#x2122;dna uchybu regulacji byĹ&#x201A;a niezerowa. PoniewaĹź staĹ&#x201A;a k ma wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; 5, to niezerowa odpowiedĹş regulatora ma zawsze wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; â&#x20AC;&#x201C;5 lub 5, co odpowiada wykonaniu piÄ&#x2122;ciu krokĂłw w lewo lub w prawo. Obliczanie aktualniej pozycji, polegajÄ&#x2026;ce na zliczaniu wykonanej liczby krokĂłw w danym kierunku wymaga zastosowania wstÄ&#x2122;pnej kalibracji, czyli ustalenia pozycji â&#x20AC;&#x17E;0â&#x20AC;? po kaĹźdym uruchomieniu systemu. SĹ&#x201A;uĹźy do tego wyĹ&#x201A;Ä&#x2026;cznik kraĹ&#x201E;cowy. Algorytm startowy jest nastÄ&#x2122;pujÄ&#x2026;cy. Po zaĹ&#x201A;Ä&#x2026;czeniu zasilania, silnik krokowy rozpoczyna pracÄ&#x2122;, zamykajÄ&#x2026;c ĹźaluzjÄ&#x2122; z maĹ&#x201A;Ä&#x2026; prÄ&#x2122;dkoĹ&#x203A;ciÄ&#x2026; (co jest konieczne, aby nie uszkodziÄ&#x2021; wyĹ&#x201A;Ä&#x2026;cznika kraĹ&#x201E;cowego). CaĹ&#x201A;kowite zamkniÄ&#x2122;cie, ustalone jako umowna pozycja â&#x20AC;&#x17E;0â&#x20AC;?, powoduje zaĹ&#x201A;Ä&#x2026;czenie wyĹ&#x201A;Ä&#x2026;cznika kraĹ&#x201E;cowego i automatyczne zapisanie w pamiÄ&#x2122;ci RAM mikrokontrolera obecnej pozycji, jako rĂłwnej 0. Od tego momentu aktualna pozycja Ĺźaluzji jest obliczana na podstawie wykonanej liczby krokĂłw. Innym rozwiÄ&#x2026;zaniem mogĹ&#x201A;oby byÄ&#x2021; zastosowanie zapamiÄ&#x2122;tywania aktualnej pozycji w pamiÄ&#x2122;ci nieulotnej EEPROM, jednak prosta procedura kalibracyjna z wykorzystaniem mechanicznego wyĹ&#x201A;Ä&#x2026;cznika wydaje siÄ&#x2122; byÄ&#x2021; bardziej niezawodna.

Dodatkowo, wyĹ&#x201A;Ä&#x2026;cznik kraĹ&#x201E;cowy umoĹźliwia obsĹ&#x201A;ugÄ&#x2122; sytuacji bĹ&#x201A;Ä&#x2122;dnych, w przypadku, gdy z jakiĹ&#x203A; przyczyn silnik zostanie przeciÄ&#x2026;Ĺźony, a w zwiÄ&#x2026;zku z tym zafaĹ&#x201A;szowane zostanie obliczenie aktualnej pozycji. W przypadku, gdy wyĹ&#x201A;Ä&#x2026;cznik kraĹ&#x201E;cowy jest zaĹ&#x201A;Ä&#x2026;czony, a obliczona pozycja jest niezerowa, algorytm dokonuje jej korekty. W przypadku gdy obliczona pozycja jest rĂłwna zero, a wyĹ&#x201A;Ä&#x2026;cznik kraĹ&#x201E;cowy nie jest zaĹ&#x201A;Ä&#x2026;czony nastÄ&#x2122;puje automatyczne przesuniÄ&#x2122;cie Ĺźaluzji do pozycji zamkniÄ&#x2122;tej.

Rozpoczynanie ruchu przez ĹźaluzjÄ&#x2122; wymaga pokonania jej bezwĹ&#x201A;adnoĹ&#x203A;ci i w przypadku gdy silnik usiĹ&#x201A;uje rozpoczÄ&#x2026;Ä&#x2021; pracÄ&#x2122; z peĹ&#x201A;nÄ&#x2026; prÄ&#x2122;dkoĹ&#x203A;ciÄ&#x2026; obrotowÄ&#x2026;, skutkuje przekroczeniem dopuszczalnego momentu obciÄ&#x2026;Ĺźenia i zgubieniem krokĂłw. Dodatkowym negatywnym zjawiskiem przy gwaĹ&#x201A;townym ruszaniu, jest generowanie znacznego haĹ&#x201A;asu. Aby ograniczyÄ&#x2021; powyĹźsze problemy, wprowadzono prosty algorytm regulacji prÄ&#x2122;dkoĹ&#x203A;ci obrotowej. Polega on na wprowadzeniu dodatkowej funkcji opóźniajÄ&#x2026;cej odpowiadajÄ&#x2026;cej za wydĹ&#x201A;uĹźenie czasu miÄ&#x2122;dzy wykonaniem kolejnych krokĂłw przez silnik, ktĂłra przyjmuje niezerowe wartoĹ&#x203A;ci w poczÄ&#x2026;tkowej fazie ruchu. RĂłwnanie (8) opisuje dziaĹ&#x201A;anie tej funkcji.

(3)

(4)

UwzglÄ&#x2122;dniajÄ&#x2026;c przekĹ&#x201A;adniÄ&#x2122; otrzymujemy rozróşnienie skoku pedaĹ&#x201A;u o wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; 1,23 mm, co jest wartoĹ&#x203A;ciÄ&#x2026; odbieranÄ&#x2026; przez czĹ&#x201A;owieka jako w zasadzie ciÄ&#x2026;gĹ&#x201A;a zmiana przesuniÄ&#x2122;cia. Ograniczenie rozdzielczoĹ&#x203A;ci przetwornika ma dodatkowÄ&#x2026; zaletÄ&#x2122; w postaci ograniczenia wpĹ&#x201A;ywu zewnÄ&#x2122;trznych zakĹ&#x201A;ĂłceĹ&#x201E;, a takĹźe umoĹźliwia uproszczenie obliczeĹ&#x201E;, gdyĹź maksymalna liczba krokĂłw jest wielokrotnoĹ&#x203A;ciÄ&#x2026; liczby 127. Zastosowany algorytm dokonuje pomiaru poĹ&#x201A;oĹźenia pedaĹ&#x201A;u, obliczenia aktualnej pozycji Ĺźaluzji na podstawie liczby wykonanych krokĂłw w kierunku lewym lub prawym oraz przesuwania Ĺźaluzji w kierunku pozycji zadanej. Ma on postaÄ&#x2021; dyskretnego regulatora o nieliniowej charakterystyce. Klasyczny regulator PID opisany jest rĂłwnaniem (5) [5]. Odpowiednio: u(t) â&#x20AC;&#x201C; odpowiedĹş regulatora, k â&#x20AC;&#x201C; wzmocnienie, e(t) â&#x20AC;&#x201C; uchyb regulacji, Ti â&#x20AC;&#x201C; okres caĹ&#x201A;kowania, Tp â&#x20AC;&#x201C; okres róşniczkowania.

(5)

m >Îł â&#x17D;§â&#x17D;Ş 0, d (m ) = â&#x17D;¨ â&#x17D;Şâ&#x17D;ŠÎ´ â&#x2039;&#x2026; m, m â&#x2030;¤ Îł

Po usuniÄ&#x2122;ciu czĹ&#x201A;onĂłw róşniczkujÄ&#x2026;cego i caĹ&#x201A;kujÄ&#x2026;cego i dyskretyzacji czasu otrzymamy rĂłwnanie (6). u(n) = k e(n)

78

P

O

M

I

A

gdzie: d(m) â&#x20AC;&#x201C; wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; funkcji opóźniajÄ&#x2026;cej, m â&#x20AC;&#x201C; liczba (caĹ&#x201A;kowita) krokĂłw wykonanych od momentu ruszenia (m przyjmuje wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; zero w przypadku, gdy wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; funkcji u(n) we wzorze

(6)

R

Y

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

(8)

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

B *

(7) jest zerowa, co oznacza, Ĺźe Ĺźaluzja nie wykonuje ruchu), g â&#x20AC;&#x201C; staĹ&#x201A;a dobrana eksperymentalnie ma wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; 20, d â&#x20AC;&#x201C; wspĂłĹ&#x201A;czynnik proporcjonalnoĹ&#x203A;ci o wartoĹ&#x203A;ci dobranej rĂłwnej 2.

WartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; funkcji d(m) oznacza liczbÄ&#x2122; dodatkowych, pustych obiegĂłw pÄ&#x2122;tli programu, zatem rzeczywisty czas opóźnienia, zaleĹźny jest od czÄ&#x2122;stotliwoĹ&#x203A;ci, z jakÄ&#x2026; jest taktowany mikrokontroler (w przypadku zrealizowanego prototypu czÄ&#x2122;stotliwoĹ&#x203A;Ä&#x2021; taktowania wynosi 8 MHz).

Prototyp urzÄ&#x2026;dzenia wykonano z wykorzystaniem dwĂłch pĹ&#x201A;ytek drukowanych jednostronnych â&#x20AC;&#x201C; jedna z ukĹ&#x201A;adem mikrokontrolera, druga z ukĹ&#x201A;adami odpowiadajÄ&#x2026;cymi za kontrolÄ&#x2122; prÄ&#x2026;du w uzwojeniach silnika. WyglÄ&#x2026;d urzÄ&#x2026;dzenia moĹźna zobaczyÄ&#x2021; na rys. 5, natomiast na rys. 6 przedstawiono prototyp w czasie testĂłw eksploatacyjnych, po poĹ&#x201A;Ä&#x2026;czeniu z ĹźaluzjÄ&#x2026;.

Dostosowanie urzÄ&#x2026;dzenia do pracy polegaĹ&#x201A;o gĹ&#x201A;Ăłwnie na doborze maksymalnej prÄ&#x2122;dkoĹ&#x203A;ci obrotowej oraz parametrĂłw funkcji opóźniajÄ&#x2026;cej w taki sposĂłb, aby uzyskaÄ&#x2021; moĹźliwie najkrĂłtszy czas otwierania i zamykania, wystarczajÄ&#x2026;cy moment obrotowy silnika oraz najmniejszy haĹ&#x201A;as. Po optymalizacji pod kÄ&#x2026;tem subiektywnych parametrĂłw uĹźytkowych ocenianych przez organmistrza i organistÄ&#x2122;, dokonano pomiaru przyspieszeĹ&#x201E; wystÄ&#x2122;pujÄ&#x2026;cych w systemie. W tym celu na listwie napÄ&#x2122;dowej wykonujÄ&#x2026;cej ruch posuwisty, zainstalowano trzyosiowy akcelerometr analogowy, poĹ&#x201A;Ä&#x2026;czony z kartÄ&#x2026; akwizycji danych NI-PXI 4496. Zawiera ona przetworniki analogowo-cyfrowe o rozdzielczoĹ&#x203A;ci 24 bitĂłw

i umoĹźliwia rejestracjÄ&#x2122; bardzo wolnozmiennych sygnaĹ&#x201A;Ăłw (od 0,5 Hz). Za pomocÄ&#x2026; pedaĹ&#x201A;u, kilkukrotnie wykonywano caĹ&#x201A;kowite zamykanie i otwieranie Ĺźaluzji. Zarejestrowane z czÄ&#x2122;stotliwoĹ&#x203A;ciÄ&#x2026; prĂłbkowania rĂłwnÄ&#x2026; 20 kHz, wyniki z kanaĹ&#x201A;u odpowiadajÄ&#x2026;cemu kierunkowi, w ktĂłrym wystÄ&#x2122;puje ruch listwy, poddano obrĂłbce w programie MATLAB, polegajÄ&#x2026;cej na filtracji dolnoprzepustowej filtrem Butterwortha 5. rzÄ&#x2122;du, o czÄ&#x2122;stotliwoĹ&#x203A;ci granicznej rĂłwnej 10 Hz. Po uwzglÄ&#x2122;dnieniu czuĹ&#x201A;oĹ&#x203A;ci akcelerometru, wynoszÄ&#x2026;cej 300 mV/g, na rys. 7 przedstawiono wykres zaleĹźnoĹ&#x203A;ci przyspieszenia od czasu.

WyraĹşnie moĹźna rozróşniÄ&#x2021; poszczegĂłlne fazy ruchu. RozpoczÄ&#x2122;cie otwierania Ĺźaluzji nastÄ&#x2122;puje w chwili t = 1,2 s, nastÄ&#x2122;pnie po okoĹ&#x201A;o 1,4 s nastÄ&#x2122;puje zatrzymanie. Proces ponownego zamykania rozpoczyna siÄ&#x2122; w chwili t = 3,8 s i trwa do chwili t = 5,1 s.

Od tego momentu proces zamykania i otwierania siÄ&#x2122; powtarza.

Jak Ĺ&#x201A;atwo zauwaĹźyÄ&#x2021;, przyspieszenie w momencie rozpoczynania ruchu jest znacznie mniejsze od przyspieszenia wystÄ&#x2122;pujÄ&#x2026;cego w momencie zatrzymania. Jest to skutkiem zastosowanej funkcji opóźniajÄ&#x2026;cej, a takĹźe tego, Ĺźe zrezygnowano z dodatkowego algorytmu hamowania. Jak pokazaĹ&#x201A;y testy, natychmiastowe zatrzymanie Ĺźaluzji nie powoduje przekroczenia dopuszczalnego momentu obciÄ&#x2026;Ĺźenia. Jest to wynikiem istnienia momentu trzymajÄ&#x2026;cego w silniku krokowym. Kolejnym parametrem, ktĂłrego pomiaru dokonano, jest gĹ&#x201A;oĹ&#x203A;noĹ&#x203A;Ä&#x2021; pracy. Do rejestracji sygnaĹ&#x201A;u ponownie wykorzystano kartÄ&#x2122; akwizycji danych oraz mikrofon pomiarowy typu MK250-SV12L, jego czuĹ&#x201A;oĹ&#x203A;Ä&#x2021; okreĹ&#x203A;lona jest na 50 mV/Pa. CzÄ&#x2122;stotliwoĹ&#x203A;Ä&#x2021; prĂłbkowania wynosiĹ&#x201A;a 44,1 kHz. Ruch Ĺźaluzji miaĹ&#x201A; taki sam charakter, jak podczas pomiaru przyspieszeĹ&#x201E;. Na rys. 8 przedstawiono zarejestrowany sygnaĹ&#x201A;, bez jakiejkolwiek obrĂłbki. Obliczona wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; Ĺ&#x203A;rednia ciĹ&#x203A;nienia aku-

Rys. 5. OgĂłlny wyglÄ&#x2026;d systemu napÄ&#x2122;dowego Fig. 5. General view of the electrical drive system

Rys. 7. ZaleĹźnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; przyspieszenia Ĺźaluzji od czasu Fig. 7. Acceleration of the shutter as a function of time

Rys. 6. System napÄ&#x2122;dowy zainstalowany w szafie ekspresyjnej Fig. 6. Electrical drive system installed in the swell box

Rys. 8. CiĹ&#x203A;nienie akustyczne w funkcji czasu podczas ruchu Ĺźaluzji Fig. 8. Sound pressure level as a function of time during the movement of shutter

[. 8 # * &

& #) &%

# * ~

79

D %# + 8 & % 8 8 . % ; % 8 8 @ % 8

Rys. 11. Widmo ciĹ&#x203A;nienia akustycznego w fazie hamowania Fig. 11. Spectrum of the sound pressure level in the phase of braking

Rys. 9. Widmo ciĹ&#x203A;nienia akustycznego w fazie ruszania Fig. 9. Spectrum of the sound pressure level in the phase of start the movement

przez czÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; uĹźytkownikĂłw byĹ&#x201A;a oceniana jako wystarczajÄ&#x2026;co niska, inni wskazywali na koniecznoĹ&#x203A;Ä&#x2021; jej obniĹźenia. Przeprowadzone testy subiektywne, stwierdziĹ&#x201A;y uĹźytecznoĹ&#x203A;Ä&#x2021; urzÄ&#x2026;dzenia w organach piszczaĹ&#x201A;kowych. Zaprojektowany system napÄ&#x2122;dowy zostaĹ&#x201A; zainstalowany w Bazylice Ĺ&#x203A;w. Jana Chrzciciela w Szczecinie, gdzie juĹź od kilku miesiÄ&#x2122;cy jest eksploatowany i dziaĹ&#x201A;a bezawaryjnie. DĹ&#x201A;uĹźszy okres obserwacji pozwoli wyciÄ&#x2026;gnÄ&#x2026;Ä&#x2021; peĹ&#x201A;niejsze wnioski co do bezawaryjnoĹ&#x203A;ci urzÄ&#x2026;dzenia. DuĹźÄ&#x2026; zaletÄ&#x2026; wykonanego napÄ&#x2122;du jest jego bardzo niska cena. Zrealizowany projekt wskazuje na moĹźliwoĹ&#x203A;Ä&#x2021; stosowania silnika krokowego takĹźe w systemach napÄ&#x2122;dowych, gdzie zaleĹźy nam na duĹźej precyzji pozycjonowania bez uĹźycia zewnÄ&#x2122;trznych czujnikĂłw, a jednoczeĹ&#x203A;nie nie sÄ&#x2026; wymagane duĹźe prÄ&#x2122;dkoĹ&#x203A;ci obrotowe.

Rys. 10. Widmo ciĹ&#x203A;nienia akustycznego w fazie ruchu jednostajnego Fig. 10. Spectrum of the sound pressure level in the phase of monotonous movement

9 ' %#

Autor wyraĹźa podziÄ&#x2122;kowanie Panu dr inĹź. Witoldowi Mickiewiczowi z Katedry InĹźynierii SystemĂłw, SygnaĹ&#x201A;Ăłw i Elektroniki na Wydziale Elektrycznym Zachodniopomorskiego Uniwersytetu Technologicznego w Szczecinie za merytorycznÄ&#x2026; i praktycznÄ&#x2026; pomoc przy realizacji projektu. Autor dziÄ&#x2122;kuje Panu Waldemarowi Wasilewskiemu, organmistrzowi odpowiedzialnemu za proces remontu organĂłw i inicjatorowi powstania nowego ukĹ&#x201A;adu napÄ&#x2122;dowego. PodziÄ&#x2122;kowania skĹ&#x201A;ada takĹźe Panu tech. Adamowi Bellerowi z Katedry InĹźynierii SystemĂłw, SygnaĹ&#x201A;Ăłw i Elektroniki na Wydziale Elektrycznym Zachodniopomorskiego Uniwersytetu Technologicznego w Szczecinie za okazanÄ&#x2026; pomoc w pracach mechanicznych i elektrycznych.

stycznego wyniosĹ&#x201A;a 78 dB. Taki poziom moĹźe wydawaÄ&#x2021; siÄ&#x2122; duĹźy, jednak naleĹźy zauwaĹźyÄ&#x2021;, Ĺźe pomiaru dokonano u wylotu szafy ekspresyjnej przy otwartych drzwiach.

Przeprowadzono takĹźe analizÄ&#x2122; czÄ&#x2122;stotliwoĹ&#x203A;ciowÄ&#x2026; danych.

PoniewaĹź charakter sygnaĹ&#x201A;u jest zupeĹ&#x201A;nie róşny podczas przyspieszania, ruchu jednostajnego i hamowania, to wykonano odrÄ&#x2122;bne analizy FFT dla kaĹźdego z wymienionych etapĂłw.

Wyniki przedstawiono na rys. 9 (ruszanie), rys. 10 (ruch jednostajny) oraz rys. 11 (hamowanie).

Jak moĹźna zauwaĹźyÄ&#x2021;, etap ruszania odpowiada za powstawanie znacznej iloĹ&#x203A;ci skĹ&#x201A;adowych o niskich czÄ&#x2122;stotliwoĹ&#x203A;ciach, co jest logiczne, poniewaĹź rozpoczÄ&#x2122;cie ruchu przez ĹźaluzjÄ&#x2122;, mimo zastosowania funkcji opóźniajÄ&#x2026;cej, ma zawsze charakter zbliĹźony do impulsowego i powoduje pobudzenie caĹ&#x201A;ej konstrukcji mechanicznej do drgaĹ&#x201E;. Z kolei w fazie ruchu jednostajnego wyraĹşnie moĹźna wyróşniÄ&#x2021; dwie skĹ&#x201A;adowe: w okolicach 340 Hz i 1 kHz. SkĹ&#x201A;adowa 1 kHz jest widoczna zarĂłwno w fazie ruszania, jak i ruchu jednostajnego. Niestety czÄ&#x2122;stotliwoĹ&#x203A;Ä&#x2021; ta leĹźy w zakresie wysokiej czuĹ&#x201A;oĹ&#x203A;ci ucha ludzkiego, co jest niewÄ&#x2026;tpliwie zjawiskiem negatywnym. W etapie zatrzymywania, ponownie wystÄ&#x2122;puje znaczne zagÄ&#x2122;szczenie skĹ&#x201A;adowych niskoczÄ&#x2122;stotliwoĹ&#x203A;ciowych, majÄ&#x2026; one jednak niĹźszÄ&#x2026; amplitudÄ&#x2122;, nie pojawia siÄ&#x2122; teĹź skĹ&#x201A;adowa 1 kHz.

}

1. Bush D.E. (editor), Kassel R. (associate editor), The Organ: An Encyclopedia, New York, Routledge Taylor and Francis Group, 2006, ISBN-10: 0415941741.

2. Condit R. (Microchip Technology Inc.), Jones D.W. (University of Iowa), Stepping Motors Fundamentals, Microchip Technology Incorporated, 2004, AN907.

3. LipiĹ&#x201E;ski W., Podstawy Teorii ObwodĂłw Elektronicznych tom 1, Politechnika SzczeciĹ&#x201E;ska, Instytut Elektroniki i Informatyki, Szczecin, 1992.

4. ATmega8A DATASHEET COMPLETE, Atmel Corporation, San Jose, 2015.

5. Discrete PID Controller on tinyAVR and megaAVR devices, Application note, Atmel Corporation, San Jose, 2016.

6. Hopkins T., Stepper motor driving, Application note, STMicroelectronics, 2012, AN235.

7. The L297 stepper motor controller, Application note, STMicroelectronics, 2003, AN470.

8. Barnes W.H., The Contemporary American Organ, Alfred Music, 1995, ISBN-10: 0769242901.

7. Wnioski Zrealizowane urzÄ&#x2026;dzenie w wiÄ&#x2122;kszoĹ&#x203A;ci speĹ&#x201A;nia postawione zaĹ&#x201A;oĹźenia. Uzyskany czas potrzebny na otwarcie Ĺźaluzji z pozycji zamkniÄ&#x2122;tej wyniĂłsĹ&#x201A; niecaĹ&#x201A;e 1,4 s, przy zaĹ&#x201A;oĹźeniu 1,0 s. W wiÄ&#x2122;kszoĹ&#x203A;ci przypadkĂłw(szczegĂłlnie przy utworach liturgicznych, ktĂłre sÄ&#x2026; grane najczÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;ciej), wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; ta jest zupeĹ&#x201A;nie wystarczajÄ&#x2026;ca. Podobnie wyglÄ&#x2026;da kwestia gĹ&#x201A;oĹ&#x203A;noĹ&#x203A;ci dziaĹ&#x201A;ania, ktĂłra

80

P

O

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

B *

; ! 7 7 9 K * Z K & %&) Swell box is the important element of the pipe organs. It allows for regulation of volume of sound generated by the instrument. The paper describes process of replacing the pneumatic control system of swell boxes shutter by the new electrical drive. The project assumptions, concept of electronic control system, practical realization of the prototype device and finally the preliminary tests of the new electrical drive are presented. Described system, after the process of optimization in crucial criteria, was realized using the stepper motor with current control method based on Pulse Width Modulation. Most of processes in the system, inter alia, reading the current position of pedal, positioning the shutter, handling the incorrect situations, are controlled by 8-bit microcontroller.

Circuit had subjected to an examination from the point view of measurable parameters (obtained accelerations and level of noise). Then, the practical tests in the Basilica of St. John the Baptist in Szczecin (where the system has been installed) were conducted by organist.

KeywordsX 9 K ! " * 'B V ' B X

! % * % ? ",$JD,) % % /9 ' ; * " * # @ * * % @ Y " ,&+C % " * Y ,&+. % R9 0 E U Y "F * F ; ' ; " " 0 * # @ * * % Q F " 0 "F " " * " " 0 * F %

81

NR 3/2015

82

P

O

M

I

A

R

Y

•

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

•

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

Pomiary Automatyka Robotyka, ISSN 1427-9126, R. 21, Nr 4/2017, 83â&#x20AC;&#x201C;87, DOI: 10.14313/PAR_226/83

; ! & " % % - % * % ? " # @ * ' ; % * $- -&0$+$

1 % " # B ' I % a OJ -+0,+&

& %&) The project described in the paper rely on creating a small device mounted under violin strings between a fingerboard and a bridge to help beginning violinists in instrument practice on its first stages of music education. This device helps to identify mistakes of wrong intonation and wrong bowing. It notifies the mistakes to the violinist via acoustical signalisation. The working principle of the device, some technical details of its construction and first practical tests results are presented in the paper. The proposition of the development of the prototype device is described.

8 X ! * " "

1. Introduction Regular musical education in the music school is usually connected with playing an instrument. No matter what instrument, first steps in this field are connected with proper sound emission. Depending on the kind of instrument, the way of sound generation is different and a proper sound emission poses to the player specific challenge. As in many other aspects of our life, first steps in some new activity can influence further development very much, so gaining proper habits just from very beginning is very important. Best solution to this problem is playing the new instrument only under control of a master â&#x20AC;&#x201C; music teacher. Of course it is not always possible. So we propose electronically aided instrument practice. In this paper we will look at the problems connected especially with playing violin. With some modification the described device can be used with all strings.

The violin is a bowed string instrument held between a chin and shoulder. Its left side props left side of chin on chin-rest (placed at the left side of tailpiece, on the edge of violin) and usually a rib is used (putted on the back on lower bout of violin). The playerâ&#x20AC;&#x2122;s left hand has to embrace neck of the violin between thumb and index finger without squeezing it on its bottom side in such a way that there is a clearance. The spine of violinist should be straight, shoulders situated naturally and legs in little straddle position. In this place we should say, that the playing position described above is not very natural for human body. Playing violin take place with a bow held in right hand or plucking the strings with right hand fingers (pizzicato).

Left hand fingers press strings to the fingerboard in appropri-

# & *: X B 8 ",$JD,) % %

# ) ' ,-%&D%,&+- % &.%++%,&+- %

! "" # $%&

ate places to shorten the string and the tune the instrument for various notes. Playing violin is a complicated process of the synchronous cooperation of human muscles, auditory system and mind [2]. Violinist has to concentrate on drawing a bow across strings correctly, having good stature, playing in tune and often on reading notes. Beginning violinist has problem with coordinating of all those actions in the same time. Most important things are proper bow drawing (right hand) and good intonation of notes (left hand). Bow should be drawn perpendicularly across the strings what is obtained by moves of the elbow and wrist when shoulder moves only up and down while changing the string. Wrong technique (which is however natural for human body) is to rigidify elbow trying to move bow mainly by moves of arm [1].

At the first stages of musical education all these components are not developed and need education. The main role in the process of education plays the master-teacher, who controls the pupilâ&#x20AC;&#x2122;s efforts, shows the ways of development and point out the mistakes [11]. Unfortunately learning violin (like other instruments) is not only spending time on classes with teacher but mainly on hours spent alone or with inexperienced parent on daily practice routines. And during this homework a very common situation is, that student can not realise that there is something wrong while practicing. The own practicing routines at home are dangerous especially for beginners in gaining wrong habits because of the lack of control from the master side.

In these moments modern technology can help. We came up with an idea to create a small electronic appliance â&#x20AC;&#x201C; Electronic Teacher â&#x20AC;&#x201C; which can help in unassisted learning. During the exercises with Electronic Teacher the student may get information about committed mistakes and refine his technique of playing without a risk of remembering mistakes undetectable for her/him on that level of studying. The regular use of the new device can tellingly rev up a processes of learning music.

In the paper the general idea of the device is presented. The device shall generate acoustical and visual signals providing information about the playing quality in two main aspects: bowing quality and intonation. These two aspects are analysed and signalled independently. The paper is aimed at presenting of new approach to getting these skills. The intonation con-

83

Electronically aided violin practice

{. } Â&#x192;

trol is supported by giving the player reference tones and this approach is presented in the second part of the paper. The bowing supervision is based on the use of matrix of optoelectronic sensors. This idea will be described in the third part of the paper. The prototype of the device was presented to the student of Primary National Music School in Szczecin, Poland. Basing on these tests some improvements and modifications are introduced, what is presented in the fourth part.

Finally, general concept of microcontroller based mobile system is presented.

Straight bowing, which is keeping the bow perpendicular to the string and parallel to the bridge of the violin while playing, is considered as a basic skill to learn by the novice violin player. Firstly let us look at the proper rules of bow moving.

When the player is moving the bow on the string, the angle between them must be equal nearly to 90 degrees. Movement the bow left and right is acceptable if aforementioned angle remains still equal to 90 degrees. Angle between the surface of violin deck and the bow depends on the played string and can change during playing. The good skills in proper bow moving has a major consequences for the achievement of next mastery levels of violin playing.

Initially, we were trying to use MEMS (Micro-Electro-Mechanical-System) sensors â&#x20AC;&#x201C; 3-axis analog output accelerometers type ADXL335 [5] and 2-axis analog output gyroscopes type LPY550AL [6] placed on the bow, to follow the motion of it. The frequency analyse of acquired data proved that the motion of a bow had generated 3 main frequency component groups: very low frequency motion components, low frequency bow vibration components and middle frequency sound components. The motion components were difficult to acquire with sufficient accuracy to retrieve the bow 3D trajectory with simple hardware. The sensor placement directly to the bow was also inconvenient because of changing the bow mechanical balance. Thus, the dynamic detection of the bowing quality using cinematic sensors was very difficult and we decided to find another solution.

We decided to follow the position of the bow in reference to the strings using a static matrix of optoelectronic sensors placed on the violin below the strings, what is shown in fig. 1.

Parallel analysis of the signals obtained from the sensors gave us the information of the position of the bow. The dimensions of the sensor matrix (separation of the sensors in rows and columns) was elaborated taking into account the strings separation, the bow width and required angular resolution.

In the first version we assumed that there are three quality levels which specify the correctness of the bow position: â&#x20AC;&#x2DC;cor-

Y. 7

&&

The proper intonation is the effect of control process in closed feedback loop consisting of the mechanical system of playing person, her/his auditory system and the brain regions responsible of the musical consciousness. At the first stages of musical education all these components are not developed and need education. A special interest have to be put during home practice routines. In the case of intonation control the widely used electronic instruments are called chromatic tuners. They usually show the intonation shift in cent scale (1 cent = 1/100 of semitone) on graphic indicator. This is, however, the main disadvantage because they may get the pupil the habit of visual control of intonation, but it should be exclusively by hearing sense. On the other hand, the young musician often doesnâ&#x20AC;&#x2122;t know, if the played notes have correct intonation, because he/ she is not familiar with sound phenomena that indicate the bad intonation.

Assuming the student possesses a relative musical hearing, the intonation control could be more effective if the student will be able to constantly compare by ear the pitch of played notes with the acoustic pattern. In addition, depending on the progress, this pattern may be the note of the same nominal pitch as played at a given time or a note, which remains in a particular interval relationship (third, fifth, etc.) [1].

The above idea accomplishes the control intonation part of the presented system. The final hardware is going to based on standard microcontroller system equipped with analog to digital and digital to analog conversion and small display.

The system will be complemented with front-end analog part allowing direct connection of microphone and earphone. The block diagram of the system is shown in fig. 7 and will be described later.

The algorithm of the system operation was tested in the MATLAB environment and is as follows. The signal from the instrument is acquired by the microphone. After preamplification and denoising the signal is analysed in the frequency domain and the fundamental frequency of the note is estimated. The value of the instantaneous frequency is compared with the frequency database of the notes in equal temperament system. As the result of the comparison, the tone with nominal pitch is emitted. The player has the opportunity to correct the position of the finger on the string based on what she/he hears. Achieved are therefore two objectives: the student learns the correct position of the fingers on the strings and at the same time, develops the sense of hearing - learns to respond to the acoustic phenomena, which are characteristic for the correct and incorrect intonation. The created application can also visualise intonation deviations on the display screen, what may be needed in the beginning stage, but should be avoided as soon as possible.

The application also provides the emission of pattern tones, which can stay in the relation of any interval to the played note. This can help to develop the auditory sensitivity to correct the intonation on the base of other intervals than an unison.

84

P

O

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

Fig. 1. Presentation of positions of fiddlestick and matrix of sensors Rys. 1. Przedstawienie róşnych pozycji smyczka i poĹ&#x201A;oĹźenia matrycy czujnikĂłw

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

/ B * m'

rectâ&#x20AC;&#x2122; â&#x20AC;&#x201C; angle deviation less than about 10 degrees, â&#x20AC;&#x2DC;little incorrectâ&#x20AC;&#x2122; â&#x20AC;&#x201C; angle deviation between about 10 and 20 degrees, â&#x20AC;&#x2DC;very incorrectâ&#x20AC;&#x2122; â&#x20AC;&#x201C; angle deviation more than about 20 degrees. In the figure 1. these levels are presented in the illustrative manner.

The position of the bow is detected by a matrix of 9 (3 Ă&#x2014; 3) transoptors (type KTIR0711S). Each of them includes an infrared electroluminescent diode and a photo-transistor. To power up the sensor and obtain the voltage output signal from it, very simple electronic circuit is needed [7]. Realized matrix of sensors is presented in the fig. 2.

(2) It is obvious that high accuracy was not necessary, although the number of possible combination drastically increase. In this way, manually creation of table of truth and control algorithm was impossible. Thus we introduced an extra stage of system learning. In this level, the person who had good playing skills (a teacher for example) was moving the bow properly. Simultaneously, the algorithm was creating a database of â&#x20AC;&#x2DC;correctâ&#x20AC;&#x2122; positions. Next, the same person started to move the bow â&#x20AC;&#x2DC;little incorrectâ&#x20AC;&#x2122;. The database of this positions were created by system. The same operation was repeated for â&#x20AC;&#x2DC;very incorrectâ&#x20AC;&#x2122; positions. Collected data were treated to eliminate ambiguities and were then used in the main algorithm to assess bowing quality.

^. |

& 4

Fig. 2. Realised matrix of sensors Rys. 2. Widok zrealizowanej matrycy czujnikĂłw

When there is no object above the sensor, the output voltage is near to positive supply voltage. When an object appears above the sensor, the output voltage will start to decrease.

Collector current (and output voltage) is depended of the distance between object and sensor and its reflectance. During the first stage of the system development the output voltage was measured by National Instruments Data Acquisition Card (DAQ) type NI â&#x20AC;&#x201C; USB 6251. Every sensor was connected to one Analog Input (AI) of the DAQ. Its resolution was 16 bit and maximum sampling frequency 1.25 MHz [8]. Discretised values of output voltage from all sensors were received by the DAQ and send to the MATLAB environment.

We considered two possibilities of analysing collected data.

First approach was easier and assumed that the information from sensor is restricted only to two levels. We introduced a threshold to classify only two states: â&#x20AC;&#x2DC;bow is presentâ&#x20AC;&#x2122; â&#x20AC;&#x201C; 1, and â&#x20AC;&#x2DC;bow is absentâ&#x20AC;&#x2122; â&#x20AC;&#x201C; 0. Next, analysing the matrix pattern, we created a table of truth, which described which positions are â&#x20AC;&#x2DC;correctâ&#x20AC;&#x2122;, which are â&#x20AC;&#x2DC;little incorrectâ&#x20AC;&#x2122; and which are â&#x20AC;&#x2DC;very incorrectâ&#x20AC;&#x2122;. The number of sensors is 9, thus the number of possible combinations is calculated in equation (1).

N = 29 = 512

Described device has been tested in the laboratory. The prototype was created based on data acquisition card and a PC. In tests a schoolgirl of primary music school has participated. The primary purpose of the tests was to estimate the ease of operation and ergonomics of the new device. In order to improve the functionality of the intonation-support-part, the simple sinusoidal tones were replaced with the synthetic violins sounds.

Such pattern significantly facilitate orientation in the pitch imperfections compared with a pure sine tone. This confirms the role of the higher harmonics contained in the signal in the process of tuning to the correct intonation. So pure sine tone generator was replaced with wavetable synthesis.

The part of the device responsible for the bowing quality signalization also required corrections. Although the sensors

Fig. 3. Examples of data classified as â&#x20AC;&#x2DC;impossibleâ&#x20AC;&#x2122; position of fiddlestick Rys. 3. PrzykĹ&#x201A;ady danych zaklasyfikowanych jako â&#x20AC;&#x2DC;niemoĹźliweâ&#x20AC;&#x2122; poĹ&#x201A;oĹźenie smyczka

Fig. 4. Examples of data classified as â&#x20AC;&#x2DC;correctâ&#x20AC;&#x2122; position of fiddlestick Rys. 4. PrzykĹ&#x201A;ady danych zaklasyfikowanych jako prawidĹ&#x201A;owe poĹ&#x201A;oĹźenie smyczka

(1)

It is obvious that not all combinations are possible. In the figures 3â&#x20AC;&#x201C;6 the examples of data pattern classified as: â&#x20AC;&#x2DC;impossibleâ&#x20AC;&#x2122;, â&#x20AC;&#x2122;correctâ&#x20AC;&#x2122;, â&#x20AC;&#x2122;little incorrectâ&#x20AC;&#x2122; and â&#x20AC;&#x2DC;very incorrectâ&#x20AC;&#x2122; are shown.

Data is presented in matrix form of dimensions 3 Ă&#x2014; 3 and every element could be only â&#x20AC;&#x2DC;1â&#x20AC;&#x2122; or â&#x20AC;&#x2DC;0â&#x20AC;&#x2122; (rows are parallel to violin strings, and columns parallel to the properly guided bow).

Creation of table of truth and control algorithm was a result of theoretical assumptions and the diameters of bow and matrix of sensors. All conditions are fixed (constant). There was no the system learning stage in this approach.

Second approach was to analyse the data more accurate. The analog output voltages from sensors varied from 0 V to 3 V during playing. The resolution of analog to digital converter (ADC) was 16 bits, thus it was possible to detect variable of output voltage given by equation (2).

Fig. 5. Examples of data classified as â&#x20AC;&#x2DC;little incorrectâ&#x20AC;&#x2122; position of fiddlestick Rys. 5. PrzykĹ&#x201A;ady danych zaklasyfikowanych jako czÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;ciowo nieprawidĹ&#x201A;owe poĹ&#x201A;oĹźenie smyczka

Fig. 6. Examples of data classified as â&#x20AC;&#x2DC;very incorrectâ&#x20AC;&#x2122; position of fiddlestick Rys. 6. PrzykĹ&#x201A;ady danych zaklasyfikowanych jako caĹ&#x201A;kowicie nieprawidĹ&#x201A;owe poĹ&#x201A;oĹźenie smyczka

85

Electronically aided violin practice were working in infrared range the impact of kind of light in the room on them was considerable. It was the reason to set properly value of threshold before start to use the device. It is possible to create an automatically self-calibration procedure.

Another important question was selection the properly method to signal the position of bow. We had two options: visual or acoustic. As we know, hearing is heavily used by musician, thus our first approach was to present the information as graphical symbol in the display. Experiments with the musicians proved that the continuing need observation of display is very uncomfortable for them. It was the reason to try to use the acoustic signalization. The frequency and spectrum of signal were crucial. It had be completely different from sound generated by violin. After series of experiments, we decided to use simple sinusoidal signal of 800 Hz frequency. Signals from violin and system not interfered with each other.

Algorithm written in MATLAB obtain detection of bow position every 0.5 second. This value was obtained after a series of experiments. After detection, the reaction of system is dependent of obtained position. If the position of bow is â&#x20AC;&#x2DC;correctâ&#x20AC;&#x2122; none acoustic signal is generated. If the position is â&#x20AC;&#x2DC;little incorrectâ&#x20AC;&#x2122; the slow intermittent beep is generated, and if the position is classified as â&#x20AC;&#x2DC;very incorrectâ&#x20AC;&#x2122; the fast intermittent beep is generated. In this form the system is ready to build-in into a small, microcontroller based system with own source of sound.

Fig. 7. General concept of microcontroller based mobile system Rys. 7. OgĂłlna koncepcja mobilnego system mikroprocesorowego

operational amplifiers. Next, gained and filtered signal from microphone is converted to discrete-time domain by analog to digital converter (ADC 1). The sampling rate is set by the timer 2 (TIM 2). Samples are transferred to operational memory (RAM) by the Direct Memory Access module (DMA1) â&#x20AC;&#x201C; channel 1 is used. Data processing algorithms (mainly 1024point FFT) are carried on collected samples by core with floating point unit (CPU+FPU). In the program memory (FLASH) the pattern table of tones is placed. This discrete values are transferred to digital to analog converter (DAC) via DMA 2 module with channel 4. DAC is timing by timer 4 (TIM 4) which set the sampling frequency. The small external power amplifier(Power Amp) is necessary to drive earphone. Data from matrix of sensors are obtain by sampling all 9 sensors by the 9 multiplexed inputs of the analog to digital converter 2 (ADC 2). Low sampling frequency is controlled by timer 3 (TIM 3). Role of DMA 2 module with channel 1 is to transfer data from ADC 2 to RAM memory. Core is responsible of data analyse. Signalisation of bad fiddlestick moving is realised by DAC, power amplifier and earphone.

Z. 4 &

, &

&

&

4

Described experiments have been conducted on prototype system including: data acquisition card, matrix of sensors, external audio amplifier and PC class computer with MATLAB software. It is obvious that practical use of this system will be very uncomfortable. Therefore, we created a concept of microcontroller based, mobile device. Discussed solutions of bowing quality assessment and intonation control support, impose relative high requirements for used microprocessor system. System should simultaneously take data from matrix of sensors, acquire audio signals from microphone, process both streams of data, and communicate with musician. All of this operations must be in real-time executed. To reduce cost of device and decrease time of operations, almost system components should be included inside the microcontroller. As we can see, used microcontroller must have internal analog to digital (ADC) and digital to analog (DAC) converters, and high-performance core to data processing (e.g. Fast Fourier Transform (FFT) computing and learning algorithms have high computing cost [9,10]).

All of this components are included in STM32F303 microcontroller, which we chose to release mobile system. It includes 4, 12-bit ADCs, 3 channels of 12-bit DAC and direct memory access module (DMA) [4]. Advanced RISC (Reduced Instruction Set Computing) Machine (ARM) architecture based core, cooperates with floating point unit (FPU) and radically increases the floating point calculations used in FFT. Reverse bit operation, useful in FFT calculation to divide samples in even and odds are hardware supported (RBIT instruction) by this core [3]. Another important aspect is present of programmable gain amplifiers (PGA) inside the microcontroller, which can cooperate with small condenser microphone (preamplifier and anti-aliasing filter). Use of DMA to transfer data form input to memory, and from memory to output without core activity is very favourable. Table of tones can be placed in flash memory (128 kB). If it will be not enough, table could be placed in external Secure Digital (SD) card. General concept of described system is presented in figure 7.

Condenser microphone is connected to preamplifier antialiasing filter (Preamp Filter) based on internal microcontrollers

86

P

O

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

[.

This article presents the concept and the results of prototype tests of the electronic device meeting the role of the electronic teacher who helps the self-development of young violinist. The presented idea of intonation tuner and optoelectronic bowing qualifier seems to work very well and really helps violin beginners. During the design phase of the device we put special attention to the way of error signalization to the user. Chosen acoustic signalling guarantees the student full concentration only on sense of hearing, which is most important for every musician. In addition, it eliminates the need to use of any display, what makes the miniaturization of the device easier. Modern microprocessor technology allows to integrate the device into a small item that can be put on an upper violin deck under strings. Thus the balance of the bow is not impaired. To communicate with the user only lightweight earphone is needed.

1. van der Linden J., Schoonderwaldt E., Bird J., Johnson R., MusicJacket â&#x20AC;&#x201C; combining motion capture and vibrotactile feedback to teach violin bowing. â&#x20AC;&#x153;IEEE Transactions on Instrumentation and Measurementâ&#x20AC;?, Vol. 60, Iss. 1, 2011, 104â&#x20AC;&#x201C;113, DOI: 10.1109/TIM.2010.2065770.

2. Schoonderwaldt E., Mechanics and acoustics of violin bowing: Freedom constraints and control in performance, KTHSchool Comput. Sci. Commun., 2009.

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

/ B * m'

3. PM0214, Programming manual, STM32F3, STM32F4 and STM32L4 Series CortexŽ-M4 programming manual 4. Cortex-M4 Technical Reference Manual 5. Analog Devices Inc., Small, Low Power, 3-Axis ¹3 g Accelerometer ADXL335, datasheet ,2009 6. STMicroelectronic, LPY550AL MEMS motion sensor: dual axis pitch and yaw ¹500°/s analog output gyroscope, datasheet ID15808, 2009 7. Knigbright, KTIR0711S - SUBMINIATURE, HIGH SENSITIVITY PHOTOINTERRUPTER, datasheet

8. National Instruments, NI 6251 Device Specifications, 2015 9. Lyons G.R., Understanding digital signal processing, third edition, Pearson Education, Inc.,2011 10. Rabiner L.R., Gold B., Theory and Application of Digital Signal Processing, Prentice Hall, 1975.

11. Galamian I., Sally T., Principles of violin playing and teaching, Courier Corp., 2013.

# " * Q * 0& % ) W artykule opisano projekt i realizacjÄ&#x2122; prototypu miniaturowego urzÄ&#x2026;dzenia umieszczanego pod strunami skrzypiec, pomagajÄ&#x2026;cego w nauce gry na tym instrumencie podczas pierwszych etapĂłw edukacji muzycznej. Opisywane urzÄ&#x2026;dzenie peĹ&#x201A;ni podwĂłjnÄ&#x2026; rolÄ&#x2122;: wykrywa i sygnalizuje bĹ&#x201A;Ä&#x2122;dne ruchy smyczka oraz pomaga skorygowaÄ&#x2021; niewĹ&#x201A;aĹ&#x203A;ciwÄ&#x2026; intonacjÄ&#x2122;. W artykule przedstawiono podstawowe zasady nauki gry na skrzypcach, ktĂłre byĹ&#x201A;y podstawÄ&#x2026; opracowania konstrukcji urzÄ&#x2026;dzenia. Zaprezentowano takĹźe waĹźniejsze szczegĂłĹ&#x201A;y konstrukcyjne ukĹ&#x201A;adu oraz zaproponowano koncepcjÄ&#x2122; rozwoju prototypu. &

X Q " * " 9

! % * % ?

& " % %

",$JD,) % %

%" ) % %

/9 ' ; * " * # @ * * % @ Y " ,&+C % " * Y ,&+. % R9 0 E U Y "F * F ; ' ; " " 0 * # @ * * % Q F " 0 "F " " * " " 0 * F %

/9 ' ; 0 * V"* Y% +DDO Y% +DDDX ' U " * / " B V"* ,&&&X% / E U Y "F * F ; '; #@% 0 Q F Y P % R9 Q0 Y Q Q Q 9 F %

1 % % " )*" % " /9 B U "% @ 0 * * 6U ( " R*F Q * "% 7 0 * % R9 0 ' I " * # B 0 * %

87

NR 3/2015

88

P

O

M

I

A

R

Y

•

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

•

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

= B @ GCCD VQMUOlVME B' MV D Q<MFVU

Informacje dla Autorów "

; . !

D

C / + . Ml 8 MFVv ' % J @

% ; + Â&#x2020;

% 8_ . @ * %

@ 8_ % @ 8

J A 8_ % 8_ @

# @ * % @ . % @ .

8 .

% 8

\@ @ . A#]' m J

# + % @ % % . A

% @ % . _ 8 J + . @ % '

Wskazówki dla Autorów & ' *: , # ) # & # *

=

. % @ 8

O Pomiary Automatyka Robotyka % % Â&#x2020; #% 8_ & $ ;

\ % 8_ TF J ] 8# % .

; # = <= J

O A 8 \ 8 % @

% ]

;

\ @8# VÂ&#x2013;F;MFF J ] 8# % .

; \Â&#x2013;;T ] 8#

% 8#

. .

; # Â&#x2020;

; 8#

% \ @ 8' . ]

; % % % 8#

% 8# .

; @ 8# % 8# .

; 8 <. A < 8# 8 @ % & ' % ' '8%. @ ' f

' vFF % ' VFFF % % .

8_ . A '

= % Â&#x2020; @8# Â&#x2020; J _ 8 8 F E .

% % Â&#x2020; @8# V . \QF FFF J % 8 @ vFFF M 8

J ] 8 ' T + .

' / % %

J % 8_ # @8# Â&#x2020; .

8 % # ' Nie drukujemy komunikatów! m

_ @ Â&#x2020; _ @ . A = J \ 8#

] @8# Â&#x2013;FF;UÂ&#x2013;F J

& . A ' B 8 . @ % J J 8# 8 8 . ' % @ 8_ % 8_ * _ % Â&#x2020;

'

' # 9 # * & ' * * ): '

# ) Â&#x2026; ' ~ *

& # , ' & ,Â&#x2026; # ( & ' ') & !# * # * *' = % _ _ % Â&#x2020; Â&#x2020;

' = J % @ 8 _ % % . % . ' " J Â&#x2020; % 8 8

8 8# @ _ Â&#x2020; @ =

%

_ @ Â&#x2020; % .

% # Â&#x2026; J ' 6 ~ & ' *

(

' ( ' #

J .

8 8# ' % J8 % 8 8 ' 8_

8 +

_Â&#x2020;

8_ %

; = J A 8#

@ . A ' m % % 8 % %

. % B J

8 & . % 8# ' / % %

+ % @ J % B 8_'

Kwartalnik naukowotechniczny Pomiary Automatyka Robotyka jest indeksowany w bazach BAZTECH, Google Scholar oraz INDEX COPERNICUS VU 6 ,&+._ -$ ,OX Y w bazie naukowych 9 Y " ARIANTA. Punktacja MNiSW 9 J V % +,,OX% Q Q R I " 9 9 w kwartalniku naukowotechnicznym Pomiary Automatyka Robotyka.

Tl

GD` B = m = =Y? BÂ&#x2DC;/

6~ '

': * ~

*

&

, & ' ' *: , % &

& # *

B 8 O . Pomiary Automatyka Robotyka

+ 8_ % # D

C / + . _ _ # . = J . = <= J J % % % % 8#

8_ . $ 1. *% '

' # Â wymieniowego Autora & '

& # * ; 8 % % J ' a.

%b 8' % = J % @ 8 J@ J

% % @ 8 @ @ .J 8 ' 2. *% ' %

& # * ' # , ( Â&#x2026; # ( )

&) jej powstanie ; 8 $ ; % + @ 8_

% %

. # @ 8 %J @ 8 @

J < # 8_ % % % % @ 8

; % + #% 8 % % a. .b ' #% 8 8 J 8 @ _ %

8 %J

8 8 % #

% % @

J .

% % @ 8 Â&#x2014;

lF

P

O

M

I

A

B 8 8 8 %

% _ #% _ _ + _ % % . @ 8 '

3. *% ( ) , ! =Â&#x2026; # ( ,

# : & '

& # * ; % %

A % @ 8 %

8 O@

@ %

. 8 % & 8 Â&#x2026; J J % #+ ' aA b ; 8 & 8 @ . 8

8 8 * % @ 8 & 8 @ % # A @ *'

$ & ' &()&

% @ 8 J + & 8_

8 & 8 @

@ 8

% &

+ % 8

;

+ Â&#x2020; . Â&#x2020;

' " % < % _+ '

Â&#x201A; &)

przeniesienie praw *: # , ( ' ' :'

'

* }Â&#x2020; " _ % 8#

% @ 8 #% 8 % 8_ %

#' Y 8 % % % %

8 ' / % % .

8

. _ '

Redakcja kwartalnika Pomiary Automatyka Robotyka ) %

$

J % @

O = B @ % % J

% _ # % m G %'$

Wojciech Lisowski, Piotr Kohut, A Low-Cost Vision System in Determination of a Robot End-Effectorâ&#x20AC;&#x2122;s Positions, â&#x20AC;&#x17E;Pomiary Automatyka Robotykaâ&#x20AC;?, ISSN 1427-9126, R. 21, Nr 4/2017, 5â&#x20AC;&#x201C;13, DOI: 10.14313/PAR_226/5.

R

Y

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

czasopisma

pomiary

www sprawdzian

miara

POLSPAR

eksperyment

automatyka PIAP

seminarium

kalendarium

szkolenie

kwartalnik

federacja

nauka

publikacje

automatyka

stowarzyszenie

HORIZON 2020 _+ innowacje organizacja projekt konkurs

konferencje

relacja

POLSPAR

POLSA

publikacje

AutoCAD streszczenie

agencja kosmiczna

dr h.c.

innowacje

IFAC

ZPSA

% Â&#x2026;

profesura

recenzje

relacja

szkolenie

doktorat

robotyka seminarium

sterowanie

Q

esa

szkolenie

92

P

O

M

I

A

R

Y

•

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

•

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

B:=DG"= G C? /=B"Â&#x161;C" DG=

Komitet Automatyki i Robotyki PAN 8 & & & & *

& ' & ' & ( 7 ( C; > F % % % " ' > ' ' 7 -

% %

G % % - &+ " ( /H %' " % % & & 8 & &

PAN â&#x20AC;&#x201C; misja i krótka historia Polska Akademia Nauk 8 % * _

8_ _ 8_ _ +_ 8 % 8 . 8 %

% 8_ # 8

8 @ .

8' = 8 8 % 8 % Â&#x2020;

J 8

% _ @ + 8 + % ' Y vF MFVF ' 8 = D \m 'Y' MFVU ' % ' VTEl]' m 8

8 = D % % G ! .

D 8 VlÂ&#x2013;V ' B 8 % * @ % _ 8_ 8 = Y 8# ? D . / . ' C 8 8

Â&#x2020; %

% Â&#x2020; @ 8 . % % 8 8 . ' J + % Â&#x2020; A @ * J % @ J

8 + 8 % * _ # . _ . 8 8 _

% 8 _ 8_ O _' = D %

_ =D vF % Â&#x2026; VlÂ&#x2013;V ' \m 'Y' VlÂ&#x2013;V ' D Â&#x2013;U % ' vlV]' _ @ % 8_

8 VlEF ' % _ _

8# _ % 8_ _ .J _ % # _ _ 8_ _ _

J ' / VllF ' = D

8 _ 8 8_ # % J % 8_

8 _ J ' = D

# _' ". C = & 8 8 % #Â&#x2020; 8 $ ; / G D g C%

; / GG D . B

; / GGG D ^ D "

; / Gq D ?

; / q D '

8_ ! 8 = D

J _ 8 _ % 8_ J+ % ' G @ _ %

% .J ; A J @ J 8 .J ' =D J 8_ % + Â&#x2020; @ .

%

J @ J + + % 8 . 8 . % % _ @ @ 8 ' %

. % _ # J % _ .

+ @ .

"

%

' Komitet Automatyki i Robotyki PAN / J MV J _ / Gq D ? Komitet Automatyki i Robotyki Polskiej Akademii Nauk' . _ 8 % % % % O@ $ ;

; % 8 J

; 8

; @ * % 8

; J % 8 8

; 8 . 8

; . % J J

; _ * J

; % J

; 8 % 8 * @ J ' ! = B @ 8 8 # J + % . %

% 8 J@ % 8_ % # _ @ _ '

_ % . % % $ ; D C / + .

B 8 _ ! 8# ' C % ?

J

; 8 8_ %

\D D ] @ *

8 % 8 . % \D * B 8 ]' ; % 8_ . %# @ _ ! 8 8 G . 8 C% 8 8 !GCVU = 8 @ % J . ' #)

#

Komitetu Automatyki i Robotyki PAN @ ! = B @ QM J J J _ @ % 8_ + % J =D

% O@ . J % . 8 . % % ' ! 8 _ _ % 8_ % < @ % %

+_ _ .

.

8 ' .

8_ %

_ % _ %

' _ ! =

B @ =D 8 MFVÂ&#x2013;;MFVT 8 % &' @' +' J & ! @ ' %' =D \Y " .J ]' ` 8# #% % _ . % _$ % &' @' +' ! & ! \ * ] % &' @' +' = 8

' %' =D \ >J ]' C %

% ; % &' @' +' / \Y " .J ]' /

#@ Â&#x2020; 8 $ ; C 8 C J = ; % _ % &' \ ^ _ ]

; C 8 ! ; % _ % &'

\ >J ]

; C 8 C J / % . m 8 ; % _ % &' D OC \ / ]

; C 8 B @ ; % _ % &' ! & ? * \ / ]

; C 8 C J G . ; % _ % &' !

\ B ]

; C 8 ? C ; % _ % &' ! \ ^ _ ]'

lv

B:=DG"= G C? /=B"Â&#x161;C" DG=

' ) ~Â&#x20AC; & & ' #

@ _

% # * . 8

' ' International Federation of Automatic Control European Control Association Institute of Electrical and Electronics Engineers' m@ 8_ J8 %J % # 8

+ 8_ _ .

. 8 . ' ! % 8 8 Monografie Komitetu Automatyki i Robotyki PAN' m MV

_ 8 % .

8 ' / @ . & 8

% % + Springer Verlag' ! 8 % % % #Â&#x2020; # 8 8 ; Archives of Control Sciences, ACS \ ; % &' = 8 ^ ]

J MFVE ' 8 8 @ B \G`$ F UFÂ&#x2013;]' % 8 8 J +

International Journal of Applied Mathematics and Computer Science, AMCS \ + 8 % &' J & ! @ ]

\G`$ V QMF \MFVE] Â&#x2013;G`$ V Â&#x2013;lU \MFVE]]' ! % % %

8 # @ . % @ A % & 8 ' D 8 & 8 ; Krajowa Konferencja Automatyki, KKA ; . 8 VlÂ&#x2013;T ' ! & 8 8 .J % # \ &

MFVU '] & % 8 J . % O@ % 8

J @ ' / # 8 !!= pGp 8 8 ! & 8 !!= MFVU \ = B @ D v<MFVE ' Tl]' / J

& 8 %J . % @ . % 8 . % + Â&#x2020; ' ' International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics, MMAR, International Science and Technology Conference on Diagnostics of Processes and Systems, DPS + % 8 IFAC Fault Detection, Supervision and Safety for Technical Processes, SAFEPROCESS Intelligent Autonomous Vehicles, AIV'

* " * T Fault Diagnosis. Models, % & ' && ( & V,&&O % * 06 *X% S " " F 9 T # ; Q "% % " * " R ;8IU # C% * " 8 " * % / " * 9 * T * I I " R # % * " 9 % R +DD$ % " E " / " 8 9 /I " ,&&$Z,&+C 9 Q Q * " ,&+. % * Q "% R /I ,&&$Z,&+C 9 Q " E " 9 @ ,&+. % Q " E " / " U 7 " % R ,&+, % " E " % @ F " ,&+,Z,&+.

7 Q * 6U I @ % M F Q V+DD+ %X " " " * International Journal of Applied Mathematics and Computer Science (AMCS) F ,&&- % Y ] T T ^ V,&+. % Z UA_ + O,& UAC_ + CD-X% R ,&&$ % Y " ( 9 * @ I * >F % ' " " "% % " Y * V B "9 X " * F F VU;;;X " @ .%O% Fault Detection, Supervision and Safety for Technical Processes â&#x20AC;&#x201C; SAFEPROCESS " 7 " VUA/ X% R ,&+$ % * " R*F " European Control Association% M * " Q " +&% " " UA/ Fault Detection, Supervision and Safety for Technical Processes â&#x20AC;&#x201C; SAFEPROCESS, V,DZ$+ ,&+J % ' X% M Q " E " Q * ; ' F Advanced Control and Diagnosis, ACD% S 7 " Q " # / E / A 8 % S " " % *F FP # *F "% M " U "F U 7 " ' U 7 " ; / " % Posiada trzy ministerialne nagrody naukowe oraz " E Y E R R E Y * B E " ; I %

Uniwersytet ZielonogĂłrski; Instytut Sterowania i SystemĂłw Informatycznych Q E " / " 8 9 PAN w kadencji 2015â&#x20AC;&#x201C;2018 Studia w zakresie automatyki i telemechaniki +D-C % E % Stopnie naukowe doktora i doktora habilitowa * " " +DJ& % +DJ. % " 9 % @ 7 +DD$ % U S " /I ' ,&&- % 9 /I% R +D-C % # *F " V *F X% 8 " 9 7 " % Prowadzi badania w obszarze diagnostyki tech " " * " " T " % M "% % F " " * T Esty ! " #

" V+DD+ % 'IX

QY $ # # ! !" sowania V+DDO % / " RT ' X% Y

" * T 9 * F % B " * V,&&, % 'I@X F F " F "% 8

Redakcja kwartalnika Pomiary Automatyka Robotyka

lQ

P

O

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

g= G G?= = Â&#x192; =/=DC D=Y! /Â&#x161;

Metody aproksymacji i analizy systemów, *F " * " F * * % %

& 4 & "% - 8 &

. & % ' 1 " ?

% "

& & Metody aproksymacji i analizy systemów, ( & " #! (&+ # ! ! ( + #

' & & % ! % " " %' % % % %

_ % % % #% @ 8 . _. # % ' Metody aproksymacji i analizy " ! ( & " #! (&+ # ! ! ( + #' D % _. # # VM %

. % #Â&#x2020; % A A8 8 % D C/ & 8 # & 8 A % G _+ ' / # Â&#x2020; % @ . % . . % 8 % ' Projektowanie ! " ! ! ( + # ! # ! ' 8 A J D .

D % % 8 m OMFVv<Fl<m< C?U<FvlEF' / _. # $ V' Y _ . @ % 8 %

J . # ' M' " @ % 8 + 8 % 8 J . # ' v' " % % # % 8

J . # % 8 % % 8 & 8 . Â&#x17D; 8 8 8 ' Q' % % _ 8# % 8

% % 8 8 _ @ _' Â&#x2013;' # & 8 8 8 . . # % 8 . _ @ + Â&#x2020;'

E' % .J 8 A J . #

% % @ 8 8 A 8 . J :' U' C % 8# %JÂ&#x2026;

@

_ % + 8_ % ' T' " % 8# Â&#x203A; @ % 8 @ 8_ . . %JÂ&#x2026;

8 . ' % J % %

J . #

8 J + % @ O 8 ' _

8 J %J # _ %J % A _ " CC= % 8 J aG . " # ; C ? Â&#x153; ? b a " # ;

? Â&#x153; ? b' @ % 8 J 8 @ . % % @ * + 8_ % % _ 8# # 8 + _ @ % . %

# . _ 8# # %# 8 _ @ ' " # 8_ + Â&#x2020; # @ % _ % #+ J MFFF;VÂ&#x2013; FFF D . _ DO D VFlFOM ; a/ 8

# Â&#x2020; M$ / . _

8 b' _ _ 8 @ * 8 % # @ %

M 9 " ' ; / " U 7 " ; / " >F 0? "% E V,&&. %X * ,&+& % 9 Q Odtwarzanie stanu systemów dyna " " " " !"

F " " 9 7% ' B % * * F Q * " " U / " " F U/ ]B U ,&++^ Q Q 9 " F " 9 % ,J

,&+- % 9 * " 9 8 ' ; / " U 7 " U Y S " />? E % R9 " " " * Q " " " " " Q %

% ' @ # # 8

. . % % _' C 8 % _ 8 8 ' @ @ % 8 8_ #% _ @ @ 8_ '

B * E Pomiary Automatyka Robotyka

lÂ&#x2013;

1930â&#x20AC;&#x201C;2017

+ ! ' I ! ' G & ' " G " E

*K (

ñʁɁnjƬʊɁʁ Ŏƞ˘ǔʊȦŘ˹ ÀʁˁǷŘǚʊǘǔ Ŏ ǷȦDŽŽɁǘǔȧ ̉ŘǚƬȧ ɡʁ˘˿ǖDŽǚǔʋȧ˿ ˹ǔŘƞɁȧɁʋƌƙ ̉Ƭ ʹʹ ɡŘ̇ƞ˘ǔƬʁȭǔǘŘ ʹ̋ɍʕ ʁƖ ˘ȧŘʁȦ ˹ ˹ǔƬǘˁ ƶʕ ǚŘǜ ˹˿Žǔǜȭ˿ ǔȭ̉˿ȭǔƬʁ ǔ ȭŘˁǘɁ˹ǔƬƋƙ ˹ʊɡɂȦǜ˹ɂʁƋŘ ˘ƬǷŘʁŘ ȭŘ ĶǔƬ̉˿ Ŏ˿ǷȧˁȭǜɁ˹ʊǘǔƬǖ ŎŘȧǘˁ °ʁɂǚƬ˹ʊǘǔƬǷɁ ˹ ĶŘʁʊ˘Ř˹ǔƬƙ ȭŘǖ˹ǔDŽǘʊ˘˿ ɡɁǚʊǘǔ ˘ƬǷŘʁȧǔʊǜʁ˘ ñʁɁnjƖ ƞʁ ǒŘŽƖ ǔȭ̉Ɩ Ŏƞ˘ǔʊȦŘ˹ ÀʁˁǷŘǚʊǘǔƖ

!"

#$ $" %

&' $

$# # #

(

)

!

*

$

! ! + ,$

.. # ' / # '

0

*1

'! ' $

2

,$ '

' 3 ! + , 4 $ !

!

5 $ 36 #

$7 ! $7

+ $' '# #" / # # $ 8 +

! '

$

' $7 $ 9 $'# '! + $7

#"

2

3

: $# ; ' < & '$7 $7 !3 ) $7 + $' '# #

'

$7 $ '! = $7 $ '! + $7

# > ! !

$ $ 2?

@ $ / 5 2

8 &'

' # $7 9 &

A 3 '! . ' $ $7

5 & $ . ' $7 + $' '# #8 ;' '

' ! $7 $ '! = $7 $ '!"

' ! $7 + $' '# # 5 & $

' $7 8 + $7

#"

$ #

$7B ' 5 2*0 218 0

6

2*

$

$

#

C D ' = &

+ ' 3 + $' '# '$7

) $7 + $' '# #

# ' $ ' = ' , "

' ' 5 210 ?28

?*

'

$7 + $' '# # &

$

'

& ! '$7

& '$7" '

!

C

' = ' ,

;'

#

'$7

$

$7 ' '$7

+ $7 $

#

' ' !

$ # ! ' ' $'C # E

'

5 ?20 ( 8

$ 5 ( 0 8

(*

"

3

'

$7 + $' '# # ' ,

7 & =' '

C

$7 $ '$7

'! * '$

+ $ &'

'

C

'$ # 5 0 (8"

C

'$ # 5 (0 *8

$7 (20 1 &'

!

$

' $7 + $' '# # + $7

#"

6

1

!

'$7

1

'

3 $

+ $7

#

C ' F

' $7 + $' '# # 5 $# &' '#

& # $'

'! $

# '8 F $#

$7 1 0 1(

0

$# "

/ 3 $7

'& '

G ' $7 + $' '# #

) 1(

,$

&'

$ !

G ' '

: + $7

# +

C $# '

. '

$# + ' 3 + $' '# '$7

) '$ '$7 5 0 8

'$ '

'!

' $

$# H , + $' '# '$7" 3 '!

5 0 (8

$7

(?0 &' ! $# /$

$#

,

$' '# '$7 5 & $ ! ! $7 8 ;'

! !

$ ' ! '$7 ' $7

! $7

#

& $# /$ ' !

$

3

$7 $ '$7

$7 1 0 &' $ !

G ' E #

+ !' . ' I ! '

+ !

3

'$7

'$7 ;'

3

!"

?

$ !

$'# ! $ 9 $7 $

+ ! ' I ! ' G & ' " 3

'

!

! $ (

+ !

2

#

C !

0

C

# $7

G ' E #

' ;'

3 $ ' '!

!

0

'$7 3$7 ! $7 ! & $ /$ '

'

&'

!

* & $# "

'!

*

' 3

$ ! $7 '$7

!

$#

& '$7 ! $7 !3

,

$' '# '$7" ! $7 !3

'$7"

& ! '$7

& '$7

! ! $7 !3 ;'

! & 3 !

2

$ 3 ! $ $7" !

! !

J

5 (

8

5 1

8

3 !

! " 5 ?

?

8

!

& '!

'! !

?

$ ,

$'# '$7

-

(

WSPOMNIENIA

% % 8 % @ vF % % _ * % 8 ' @ %J # % J ' %

8_ . % * 8 . / + " .

8 "

! J . / ' J +

. VlUM;VlUQ' " 8 # + 8 . 8_ VlUQ ' " . @ C G + J J \VlÂ&#x2013;v;VllQ] VllF;VllÂ&#x2013; % _ : J 8 ! 8 ' D . J !

J % " _ : J D 8 . 8 ? 8'

8 . % #Â&#x2020; @ _ a+ @_ . J b ; MU % Â&#x2026; . VV'VÂ&#x2013; # . J + @ 8 ' : % # . # J 8 # @ @ .

' D % . @ J @ # T % MFVU ' / @ + . % B # . + .J '

VlTÂ&#x2013; ' 8 . ? ? 8 C 8 \ VlTQ '] VllF ' # .

C g B :GY ; : * ' VllE ' @ !

8 = D ; C 8 !

8 \ VllE '] + . ? g ? \ VlTÂ&#x2013; ' MFFÂ&#x2013;;MFVQ % " _ : J . ] ? D . / . \ MFFÂ&#x2013; ']' + %J + MFFQ ' % ! @ J " . J \ MFVF ' @ % ]' / MFFQ ' % Â&#x2013;F % 8 % / 8 % #'

Â&#x2020; . % # '

Redakcja kwartalnika Pomiary Automatyka Robotyka

4 / ! 1 #( & ( % ; V % VlÂ&#x2013;V ' _ % Â&#x2020; : J G \ @ G ] %

' m 8 v / 8 O @ @ / ' @ % & @ +' \%JÂ&#x2026; 8 % &'] C :#@

; % &' +' G. ' C / 8 % % % ' B ._

% * 8 . 8 % ' m_@ . VF<T'

J + @ @ . . % :G ' / % VlÂ&#x2013;V ' 8

%' \% 8 A /

% /` % @ / 8 ] % # . . %

+ #' / # + 8 #

Â&#x2020;' 8 . 8 % a

% @ @ . % Â&#x2020; _ . Â&#x2020; Â? Â&#x17E;b % #% . _Â&#x2020; % % % # %

/ .

C G + 8 ' / @ .

B % ' D @ ' #

+ V % Â&#x2026; VlÂ&#x2013;V ' # % # / _' G / O! 8 . ' m

@ % &' G. ; J8 . J & G ' 8# J M % Â&#x2026; VlÂ&#x2013;V ' @ 8 % &' / . . ' 8 8 % 8

8 +DC&% # ( % B * F 7 '% @ "

/ VlQl;VlÂ&#x2013;V # * . " . . / ' @ Â&#x2020; $ # % . . ? \+ %JÂ&#x2026; 8 . Y/ % &' C ' ? . ]

. +' / ; 8_ % # J + \ .J C' D ] ? # @ 8 ? # . J ; . +' / ? * J @ 8 . !

8 .

8 . \ !OQ] _ C G + 8 ' / @ .

B ' C # # * @ @ \ J+ ] % a%

% % 8b ; + 8_ % 8# J @ . #% .

8 + 8' % #

J 8 ' ".

lT

P

O

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

% J ' & # % . . + ' # + % 8# Â&#x2020; * 8 .J 8' # .J _ % &' ! / Â&#x2020; % 8 . \%JÂ&#x2026; 8 ] . +' . = ' Â&#x; @ # 8 8 : = \/ ]' % 8 . 8#Â&#x2020; J 8 . +' ' = J Â&#x2020; .

8_ Â&#x2020; * \8 %

+ _ Â&#x2020; # % Â&#x2020; _ ; '] % @ # Â&#x2026;

J 8 8 .J C = .

+ % % Â&#x2020; * + % Â&#x2020; # @ & Â&#x17E; ' =

@ %

. $ ; # % Â&#x17E; ; = . ' ; = .

. @ % @ @ @

8 % & @ # % $ a= . ; Â&#x2020; J Â b = % *

& % $ a% + = . ; % # Â&#x2020; J Â b G + % Â&#x2020; # @ & ' Â&#x; .J 8 % % . ' +' ' =

\

]' # +_ % _ J

J Â&#x2020; % A . % 8 ' D + 8#Â&#x2020; 8 . %

J % . ' D 8 8#Â&#x2020; ' > + J 8 + % JO

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

= B @ B' MV D Q<MFVU

8 +DCO% UUU R B >" " ' B@Â&#x17E; _ M B M S S * " E B * B ' N / E

@ Â&#x2020; .

%

Â&#x17E; a % 8 % 'b # %JÂ&#x2026; 8 + @ % '

J

+ 8 8#Â&#x2020; Â&#x2020; @ ' GG

J @ @ @ Â&#x2020; % 8 Â&#x2020; J _ % # % _ GGG ' C% J % 8 8_ / O! \ % % 8

@ % ] 8@ 8 @ + _ % 8 8 # \ @ ]' / VlÂ&#x2013;v ' 8 = :

: J . @ . @ & 8 % % 8 V % Â&#x2026; . + 8 % 8 / O? . ; 8 8 8 $ a _ % b a _ b am @ _ b' D % 8 J J @ .

J ' " @ % ' g ? @ % $ ' ! : #@ +'

% &' @ ' . / 8 + @ . +' / ? * J % 8 8 % 8 ' + . # % % Â&#x2020; # / O? @ 8_ _ 8

J _ Â&#x2020; + %JÂ&#x2026; 8 /' ? * ' D .J / O! % Â&#x2020; # # % 8 _ . + @ # + % *

J _ % @ 8 @ # 8 ' / C

/ 8 .

/ O! @ 8 @ % . % # % #

_ * % 8 O % ' ' ' % _ . % @ UE ' " . %

/ ' O! 8 # 8 # . #

._ % 8 Â&#x2020; \% _ % ] J # 8 8 8 ' .

8 8 @ ' g ? @ %J J % @ ' '$ % &' ' / ? * ' ] '

. / % &'

% &' @ . +' = C %JÂ&#x2026; 8 + ; ' g ' ' ! $ ; ! % ; % &'

; ! _ J 8 ; ' g ? @ ' ; ! . ; ' . /

/ ! _ J 8

" m @ J _ J \ ' ' / ? * ]' / 8 8 % .J % _ @ % % _ % 8 $ _ % \ % % 8 ; % &' ' ] _ \ %

% 8 ; ' ' / ] m @ _ \ % % 8 ; ' /' ? * ]' D % .J % 8 @ % GG

J % / O? . . / O! 8 . / + J

8_

% 8_ % + . # . + ' 8 J TF J ' % _

' VlÂ&#x2013;v<Â&#x2013;Q # J UM J % .

8_ . ' " / O! 8 . _ % # + ' ' $ m B JÂ&#x2026; ! & ! @ * = !

! # / > * C & C

. / ' V % Â&#x2026; VlÂ&#x2013;v @ 8 + GGG

/ ?' A % 8 Â&#x2020; am @ b' D 8 8 % 8 Â&#x2026; # J + ' ' / ?$ .

!

J % 8 Â&#x2026; # %J # . J

8 8 + + # J % ? ' % + 8_ 8 + . ! ! @ * \ . % _ % ]

+ % 8#

' ' % _ J8 #% 8_ \ ]$ a # .J 8 8

'b ! .J J @ # 8 8 8 _ % 8 Â&#x2020; # & 8 @ '

8 +DCO% I 7 " z okazji 1 Maja; od lewej: "* Y% / 7% M B % ' @

@ 7 *" " 7 +DC+Z+DC. ,&+- % A * 7 " /

99

B" Â&#x161;C> Q'F Â&#x192; GDÂ&#x2021;Â&#x161;DG B Q'F

Proces rekrutacyjny w nowej perspektywie 3 & " %' ' & % %'( (% (%( & % %'

! %' ?% % & /% - (%( %'7

U$ " & & /% & +! H " ' " /% & % " ! /

% "& 7 ' % % 3 & " %' % 7 + - ' ' % ' * +' & % " ! % - & & " ' % & /% % ' & & % ' & " ! %'

(

% & '

" & % ' %

+ & % +

\ & ] % . % 8 8_ 8 % G B

8_ # %J % 8_ @_ Â&#x2026;

# %

& _ +

. # # % 8 ' ? _+ 8 @

+ . . % # . . ' ? % _ % 8 % _ 8 .

J 8 # % 8 A % 8_

' m 8 + _+ . % % _ 8 .

._ % Â&#x2020; % % 8 . % ' / / @ % % 8

J 8 @# _ 8 ' C 8 @_ Q'F 8 J . %

8 \ 8 % ] J8 @ + A % 8 @ 8 % % @ J ' " . + 8 % 8_ % 8 8_ # % + % 8 Q'F . ; % . . J _ * Q'F 8 8 % A % # 8 % A 8 8 % ' " + 8 8 % @ Â&#x2020; + 8 + % \ & ]

. # 8_ J + @ _ 8_ A ' Q'F . . % . + 8 @ 8 8 % 8  % @ % wania kandydatów do pracy.

Wiele osób szuka odpowiedzi na pytania, @ _% _

8_

% ' @ . _ % 8 . _ % 8 Â&#x17E; ! % 8 8 . % 8 # a% b @ 8@ 8

8_ . ' JÂ&#x2026; 8 % 8 # . G % % 8 :

G 8 + 8_ % & '% ' @ % 8 8 # 8 @ + J _ % Â&#x2020; 8 % & ' /

8 # % _ %

Â&#x2020; % # Â&#x2020; ' a" % 8 A ¡ D %

8 .

8

. . 8 % 8 . . ; Â&#x2020; %

J % % 8_b J : ' " & 8 Q'F 8 @ % _ % 8 8_ . 8 A @ 8 8 % .

8 8

' D # 8 -

] 7 "

" Â&#x; I * " " * " * * " * Z " " H F " " Q%^ . . % #@ & 8 8_ . % % 8 % 8_ ' G . 8 & @ J 8 @ A 8_ % A _

VFF

P

O

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;¢

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;¢

R

' ' &

Â&#x20AC; 5 ^.Â&#x160;Â&#x2039; m + @ Â&#x2020; % a ! b 8_ .

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

= B @ GCCD VQMUOlVME B' MV D Q<MFVU

8 8_ % ' ?

@ Â&#x2020; %J

8_ # 8 . % 8 ' " 8 8_ # % _ % _ gB

Â&#x2020; % 8#

@ 8 Â&#x2020; + @ A ' =@ A Â&#x2020; J 8 % % J@ 8 Â&#x2020;' 8 # 8 % 8 8_ # m . 8 gB ; J+ . Â&#x17E; _ # . gBÂ&#x17E;

+ % J+ gB \ .'

] % A Â&#x2020; 8_ # . 8 Â&#x2020; # % % % @

Â&#x2020; _ 8_ % .

. 8 % #@ 8 % 8 8 '

@ Â&#x2020; + 8 + J J @ @ . @ Â&#x2020; _ 8 Â&#x2020; . _ % % _ Q'F' / Â&#x2020; + % .J $ â&#x2C6;&#x2019; m . % ; A 8 % 8 8 .

â&#x2C6;&#x2019; m . % ; % 8 _ & 8 . %J _ % # % 8 _

â&#x2C6;&#x2019; m . ? ; % 8 @ desktopowe w kluczowych obszarach,

8 #

8

@ . ; + J8

% @ A J

â&#x2C6;&#x2019; m . Z % ; A 8 J@ ._ . Â&#x2020;

. 8 % 8_ % 8 % 8 % 8 8 ' _ # 8 % % % % % \=

UOT<MFVU ' ME;vF]' " C

@ % 8 % % 8_ Â&#x2020; 8 @ i elastyczne reagowanie na potrzeby klien J ' " % a % 8_b %J . 8 % _

% 8 % 8 + % _ ' " . 8

% _ _ . 8 % _

. _ . 8 @ . + wania pracowników. = @ 8 + 8 ' ? % # Â&#x2020; 8 @ Q'F % 8 ' =@ @ Â&#x2020; %J # ppG

% @ 8

J ' = 8_ . # J8 . 8 J _. #

8 # + 8

8# Â&#x2020; @ % _ % '

% J ppG

@ % J + Â&#x2020; % .

; . # _ #

% # _' / @ 8_ 8 J %

Â&#x2020; # 8 % 8 _ @# 8 % 8

% ;

8 + ' 8 8_ # 8 _' Â&#x2020;

# % % + 8' B 8 < & 8 8 8 %

8 8 @ 8 '

% % # A 8# J ' A 8 8 % 8_ J+ % J

J 8_ .J & 8 8 J % 8_ 8 . % % 8 %

' B 8 % # 8 # % . % %

8 @ 8 8 % + %' % % 8 @ ' D % 8_ 8 % 8 8 @

@ 8 % 8 8 . ' C . . Â&#x2026; J & 8 % 8 % ' ! 8 . + 8 @

8_ ' # % % % 8 # J@ % .

. % . 8 % % Â&#x2020; % 8 @ A 8 . + Â&#x17E;

" ] Dyrektor Operacyjny w firmie Coders ;K F Q Q%

>? ' V 9 9

"X% B ,&0

F Q 9 9

" +& Q 9 " ?8% Y *

biznesu oraz kreowania innowacyjnej * " Q * Q% ' " QY * %

] F9 H " " Q " Y Q Q H Z Q 9 F Q " Y Q

" " Q% ' P " * F Q F9 H 9 Y Q * * Â&#x17E; Q F Q " 9 Y Q " 9 " Q Q%^

VFV

B" Â&#x161;C> Q'F Â&#x192; GDÂ&#x2021;Â&#x161;DG B Q'F

% Â&#x2020; @ % % Â&#x2020; @ # ' ¢ A

8 %

J . _ # @ ' ! 8 _ 8_ % % 8# Grywalizacja' ! 8 8 _ .

8 . % % %

8 . % 8_ @ + % 8 % %' % % 8 @ 8 . % % 8 8' + . 8 8 & +

@ _ . ; @ # . ' : 8 8 8 8 + 8 J 8@ +szych lat.

% % J

. %

% J % 8 _ *

8 ' @ %

8_ 8 # J J + % _. Â&#x2020; 8 . 8 @

8_ A # # Q'F' 8 % + 8 + # 8' = % %

' m %

% J # % @

8 ' _ _ Â&#x2020; A _ J @# _ % J@ 8_ + @#

Â&#x2020; %J J % @# % _ . #'

' G 8 % 8 % 8 Â&#x2020; # & @ 8 . % % @ % @ . 8 . ' @# 8 . 8 % Â&#x2020; .J % _ . . @# _ % Â&#x2020; . 8#' ? % 8 +

Â&#x2026;Â&#x2020; 8 _ @# Â&#x2020; 8_

8 @

'

(Â ' &

' Â&#x20AC; 8 ' # *: &

9 ' ) ^.Â&#x160; " 8 . %

% + 8 8 + @ % ' m .

J @ J+ % 8 % J

@ J # Â&#x2020; % % 8

8 8 J 8 + # % . Â&#x2020;' " 8 Â&#x2020; 8# J @ Â&#x2020; % # # #

8 %

% ' Â&#x2020; J 8 + %

Â&#x2020; % & % %J % ' = 8 + 8 + 8 @ + 8 8 Â&#x2020; Â&#x2020; 8# Â&#x2020; % . ' / 8_ J+ # @ % 8 '

]/ 7 9 " [[U 9 Q F Q ;K 9 7 Q * " H F 7 Q H H V *% learn, unlearn ]'b 1 * ' '

 ) * Â&#x2039; 2 8

/ . 8 8 8 % . % % J 8

@ 8_ 8 . + % J _ Â&#x2020;

+ @ 8 8 % . % % 8 A + & 8 _ # % 8 %' % J % 8 A 8 8' D 8 + _

+ .

@ 8 @ . + % _' % *

8 @ # @ _

. + % 8 8 # ' # 8 8 q %

% % 8 + ' = @ # % % % 8 % _. 8_ @_ A '

aC% J@ 8 # Â&#x2020;

% _ + _ # _ Â&#x2020; * ; % _ # @ 8 % J _ #

+ _ _' / Â&#x2026; % 8 # % .

J 8_ % # % J@ 8 % Â&#x2020; @ % % 8

+ 8_ 8 8 % # 8 . . %

Â&#x2014; % _ J _ # @# % 8

+ _ # @# 8 8_ % _'b m g' m Z ' ! % % 8 8#' MFVM ' QU % % * 8 % J ' â&#x2C6;&#x2019; + % _ ' ! + Â&#x2020; % + % 8 % _ 8 â&#x2C6;&#x2019; _ .

+ % ' ? @ Â&#x2020; J

Â&#x2020; Â&#x2020; # â&#x2C6;&#x2019; D + Â&#x2020; % J @ # @ % 8_ # @ % % _ # Â&#x2020; J . 8 Q'F

@ . Â&#x2020;' m

8 Q'F J % @ Â&#x2020; % J 8 8 % 8 % J 8 % 8 Â&#x2020; % @ ' C & #

Q'F Â&#x2020; 8 % J@

Â&#x2020; % J ' J+ % J@ 8 Â&#x2020; . # 8_

* ~

' Â&#x2039; C #. % Crowdsourcing ; % % + A MFFE ' % f g Â&#x17D; . a/ b' / J 8# %

8 % % . % * % % J A % % % % 8 J A 8 . %

8 % & . % \ .' % ] % #dzi Web. / Â&#x2020; . % . + . %

% % #@ J+ J @

. + J +

VFM

P

O

M

I

A

R

Y

â&#x20AC;˘

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;˘

R

'% ' * &

'

' :& :Â&#x2039; B @ # _% _ J % 8 8 . 8_ 8 8 %' J % _. % 8 . ' = # % _ 8 % 8 . . a% *b ' m poszukiwany kandydat to taki, ktĂłry poza % 8 8_ @ # 8 Â&#x2020; % 8_ &# &

J % 8_ @# # 8 ' # J8 @ A _ @ Â&#x2020; . @

8 ' ^ J % & 8 Â&#x2020; + . 8

@ Â&#x2020; # 8 % ' a= & @ ppG @# _ J 8_ Â&#x20AC; @ % A_ % . Â&#x2020;

J % A_ # Â&#x2020;

Â&#x2020; \ .'

]b' = Z ? ÂŁ ? & G/ VllU'

' P

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

= B @ GCCD VQMUOlVME B' MV D Q<MFVU

Kalendarium wybranych imprez Nazwa konferencji

Data konferencji ? . *

8

XXII Konferencja Naukowo-Techniczna = 8 ; D % Automation 2018

21â&#x20AC;&#x201C;23 / 03 / 2018 10 / 10 / 2017

/

pGGG G C A Conference Coordinate

. ? Â&#x153; ? ¦VT

11â&#x20AC;&#x201C;13 / 04 / 2018 15 / 01 / 2018

O

3rd IFAC Conference on = Z % O Integral-Derivative Control PID 2018

9â&#x20AC;&#x201C;11 / 05 / 2018 20 / 12 / 2017

Gandawa Belgia

www: %$<< '% VT' . '@

16th G`= <G C %

G & @ in Manufacturing INCOM 2018

11â&#x20AC;&#x201C;13 / 06 / 2018 31 / 11 / 2017

Bergamo /

www: %$<< ' MFVT' . mail: X MFVT' .

18th G`= <G C %

C G A SYSID 2018

9â&#x20AC;&#x201C;11 / 07 / 2018 8 / 12 / 2017

Sztokholm Szwecja

www: ' ' ' < MFVT mail: ' Â&#x153;Z X ' '

15th International Conference G &

= B @ ICINCO 2018

29â&#x20AC;&#x201C;31 / 07 / 2018 13 / 03 / 2018

Porto Portugalia

www: %$<< ' ' . mail: ' X ' .

10th G`= C % `

m C % Z C & & ?

SAFEPROCESS 2018

29â&#x20AC;&#x201C;31 / 08 / 2018 6 / 11 / 2017

/

www: %$<< & % VT' ' . '% mail: & % VTX ' . '%

XXII IMEKO World . MFVT

3â&#x20AC;&#x201C;7 / 09 / 2018 31 / 01 / 2018

& Wielka Brytania

www: %$<< ' MFVT' .<

VÂ&#x2013;' ! 8 ! & 8 B @

15â&#x20AC;&#x201C;19 /10 /2018 15 / 04 / 2018

Polanica-Zdrój

www: %$<< Vv'% ' '% < mail: X% ' '%

VU G`= / % =%% & % = MFVT

15â&#x20AC;&#x201C;19 /10 /2018 15 / 04 / 2018

@ .

B 8

10th G`= C %

G . =

q G=q MFVl

3â&#x20AC;&#x201C;5 / 06 / 2019 19 / 11/ 2018

: *

www: %$<< ' .'. '% < ZMFVl mail: ZMFVlX .'. '%

30 / 06 â&#x20AC;&#x201C; 4 / 07 / 2019 15 / 01 / 2019

Kraków

www: %$<< ª MFVl' mail: . X ª MFVl'

12â&#x20AC;&#x201C;17 / 07 /2020

Berlin Niemcy

www: %$<< ' & MFMF' .

15th IFToMM World . MFVl 21 G`= .

Informacje dodatkowe

www: %$<< '% %'% < mail: & 8 X% %'%

www: %$<< %'% < mail: %X %'%

www: %$<< MFVT' ' <

103

=D !CG«Â&#x2021;!G

Robotyzacja procesów produkcyjnych 8 ( Robotyzacja Procesów produkcyjnych ' & !( %'( *4 4F^8 ' %& > > & ( % % ' ' F % % ' ) '% % 8 %

@

pakowania i paletyzacji, przypisaniu szcze.J * % %

% J + @ @ ; 8 . % + A. 8 8 ' / " ! " ! ( ! + ! & ! ( ; % _ 8 # 8 @ ' ?

J + + 8 % @J @ 8 . % + ' / " ! #( " â&#x20AC;&#x201C; tu % # @ . J @ J@ \% @ J@ ] % @ . % . ' / " ! " ; + % @ Â&#x2020; . m`= \m . ` = @ ] + %

_ @ Â&#x2020; % @ . + ' $ ! 72 " ! "

! # " " ; . # % & 8 @ % . + _ @ J @ J ' Â&#x2020;

% 8_ % %J _ * _ A '

Podobnie jak w przypadku tomu pierwszego (kwartalnik Pomiary Automatyka Robotyka, D v<MFVU ' VFQ] % _+ 8 8 _ %

% 8_ 8_ _ . _ @ 8_ % J % 8 ' / % _ 8 8 _ _

8 Â&#x2026; J & 8 @ ' Â&#x2020; \ %

. ] 8 #

% 8_ % J@ % #% @ 8 8_ . @ 8 % J % ' ? _+ % J ' " . #

Â&#x2020; + % _Â&#x2020; % . + 8_ + % J % 8_ 8 ' + ! ! ; 8 + @ @ Â&#x2020; A ' B % # % @ J J+

A % G = Z 8 % #Â&#x2020;' JÂ&#x2026; 8 A 8# @ @ *' =

% 8_ # @ % A 8_ 8

% 8_ %

8_ @ 8 ' 5 " ! " !" â&#x20AC;&#x201C; to #

J + % + Â&#x2020; @ %'

# % % # ' ? + & 8 % @ _ & J @ % 8_ # ' 2 # # " " ! " !" ; J @ 8 J # # ' ? % 8_ % @ \% + % # Â&#x2020; J

] . % \ ' ' % + 8# % J @ #]' m + 8 % # 8 ' 6" " ! " !" ! !" " & â&#x20AC;&#x201C; zrobotyzowane stanowiska spawalnicze, systemy % % @ %

' & ! " ! ( ! ! & " â&#x20AC;&#x201C;

+ 8 % # % 8

104

P

O

M

I

A

R

' E " M Robotyzacja procesów produkcyjnych, ' 'I ,&+- U SI D-J0J$0&+0+DO,.0& % ,D&%

% % + @ J .# Â&#x2020; @ 8 ' C .J J . J . 8 % 8_ J8 @ 8 ' / J J 8 % J J8 J % % J J @ % * ' / % + % .

J .J % '

@ 8 8 J

J @

_ + % 8 & % J + % J ; % . J @ J

. J

+ J

% 8 J @ + 8 8

% + 8 '

] * QY 8RSR@Â E/ F F9 przedstawia praktyczne aspekty wykorzystania najnowszych technologii automatyki i robotyki " %^ $" " 3 ! ! skach zrobotyzowanych ; % @ + . # J \ ] A J . @ % * J # % . 8_ @ % * ' 8" " (&0 !"

! 0 3 ; % _ % J # 8 ` 8 B @ G`B Y

â&#x20AC;¢

A

U

T

O

M

A

T

Y

K

A

â&#x20AC;¢

R

B * E

O

B

O

T

Y

K

A

N R 4 /201 7

młodzi z

innowacyjni a

Przemysłowy Instytut Automatyki i Pomiarów PIAP ogłasza

X Ogólnopolski Konkurs na

inżynierskie, magisterskie i doktorskie w dziedzinach Automatyka Robotyka Pomiary Zgłoszenie należy przesłać na adres konkurs@piap.pl do dnia 23 lutego 2018 r.

Regulamin konkursu i formularz zgłoszeniowy są dostępne na stronie www.piap.pl Autorzy najlepszych prac otrzymają nagrody pieniężne lub wyróżnienia w kategorii prac doktorskich:

I nagroda 3500 zł

II nagroda 2500 zł

w kategorii prac magisterskich:

I nagroda 3000 zł

II nagroda 2000 zł

w kategorii prac inżynierskich:

I nagroda 2500 zł

II nagroda 1500 zł

Wyniki konkursu zostaną ogłoszone podczas Konferencji AUTOMATION w Warszawie, w dniu 21 marca 2018 r.

Patronat Komitet Automatyki i Robotyki Polskiej Akademii Nauk Komitet Metrologii i Aparatury Naukowej Polskiej Akademii Nauk Polska Izba Gospodarcza Zaawansowanych Technologii Polskie Stowarzyszenie Pomiarów Automatyki i Robotyki POLSPAR

Patronat medialny Kwartalnik naukowy Pomiary Automatyka Robotyka Organizator konkursu

www.piap.pl

Informacji udzielają: Małgorzata Kaliczyńska: mkaliczynska@piap.pl, tel. 22 8740 146

Jolanta Górska-Szkaradek: jgorska-szkaradek@par.pl, tel. 22 8740 191 Bożena Kalinowska: bkalinowska@piap.pl, tel. 22 8740 015

49

! " #

59

Zygmunt L. Warsza, Serhii W. Zabolotnii

67

g D _.

B & !

! & " .J

75

B *

83

Porรณwnanie metod estymacji stanu systemรณw dynamicznych

; ' '

* & ~ & ( '#) '

& ' : # ' *

' 9 "6 , ' , ( # ' ) , $ ; # & * 1

" &% # ' ย '* ' # & * * , & ' ' )# , ย & * # ย ' * ย # & * / B * m

4

&