НИЗИ И ПРОГРЕСИИ Zbir na prvite n ~lenovi na aritmeti~ka progresija se presmetuva Op{t ~len na aritmeti~ka progresija
n S n = ( a1 + an ) 2
an =a1 +(n−1 )d
n
q −1 S n =a1 q≠1 q−1
n−1
АРИТМЕТИЧКА СРЕДИНА
Zbir na ~lenovite na beskraen geometriski red se presmetuva po formulata
S=
a1
1−q
|q|<1
n 2 a +(n−1)d ) 2( 1
Zbir na prvite n ~lenovi na geometriska progresija se presmetuva
Op{t ~len na geometriska progresija
an =a1 q
ili
S n=
n
n→∞
1 =e n
( )
lim 1+
x + x + x + ........ xn X= 1 2 3 n
ГЕОЕМЕТРИСКА СРЕДИНА
ХАРМОНИСКА СРЕДИНА
H=
G = n x1 � x2 � x3 � ........ � xn
H �G �X
n 1 1 1 1 + + + ........... + x1 x2 x3 xn
НЕКОИ КАРАКТЕРИСТИЧНИ ГРАНИЦИ
sinx lim =1 x→0 x
x
1 lim 1+ =e x x→∞
sinkx lim =k x→ 0 x
( )
НЕПРЕКИНАТОСТ НА ФУНКЦИЈА-ДЕФИНИЦИЈА Фunkcijata 10
f (x )
y=f ( x )
e definirana vo to~kata
0
2 postoi granicata 3
0
lim f ( x )=f (a) x →a
e neprikinata vo to~kata
lim f ( x ) x →a
x=a
a∈Df
x=a
ako se ispolnat slednive uslovi:
1 x
lim ( 1+ x ) =e x→0
НАРАСНУВАЊЕ НА ФУНКЦИЈА
Δf =f ( x0 +Δx )−f ( x 0 ) ИЗВОД НА ФУНКЦИЈА
f ( x +Δx )−f ( x ) Δf f ' (x )= lim = lim Δx Δx Δx→0 Δx→ 0
ТАБЛИЧНИ ИЗВОДИ
n '
1. ( x ) = n⋅x
n−1
1 2. ( √ x ) = 2√ x x ' 3. ( a ) = a x ⋅lna '
, n∈R .
1 6. ( lnx ) = x '
'
7. ( sinx ) = cosx '
8. ( cosx ) = − sinx 1 ' x ' x 4. ( e ) = e 9. ( tgx ) = 2 cos x 1 1 1 ' ' 5. ( log a x ) = log a e = 10. ( ctgx ) = − 2 x xlna sin x
ИЗВОД ОД ЗБИР, РАЗЛИКА ПРОИЗВОД И КОЛИЧНИК НА ДВЕ ФУНКЦИИ '
СЛОЖЕНА ФУНКЦИЈА
'
1. ( C⋅U ) = C⋅U , C−konst . 2. ( U ± V )' = U ' ± V ' ' ' ' 3 . ( U⋅ V ) = U V + U V ' ' U ′ U V−UV 4. = 2 V V
Neka
y=f ( ϕ ( x ) ) −
e slo`ena funkcija . Neka
toga{ :
y=f ( u )
IZVOD NA SLOЖENA FUNKCIJA SE ODREDUVA SO FORMULATA
y'= f '(u)⋅u'( x)
( )
Tablica na izvodi na slo`ena funkcija
1.
(
2.
(
3. 4. 5.
)
u n '= n� u n -1 �u ' , n �R .
)
1
u '=
( a )'= a ( e )' = e (
2 u
6. (log a u ) ' =
1 log a e � u' u
�u '
7.
( sin u ) ' = cos u �u '
u
u
� ln a � u'
8.
( cos u ) ' = - sin u �u '
u
u
� u'
9.
( tg u ) ' =
1 ln u ) ' = � u' u
u= ϕ ( x)
10.
(
1 � u' 2 cos u
1 ctg u ) ' = � u' 2 sin u
ПРИМЕНА НА ИЗВОДИТЕ
Равенката на тангентата на графикот на функцијата
y=f ( x ) која е диференцијабилна во точката хо е
y− y 0 =f '( x 0 )( x−x 0 ), y 0 =f (x 0 ) Равенката на нормала на графикот на функцијата
y− y 0 =−
Neka e dadena krivata
ДОЛЖИНА НА СУБТАНГЕНТА
s t =|
y0
tg α
|=|
y0
| f ' ( x0 )
ДОЛЖИНА НА СУБНОРМАЛА
s n =|y 0⋅f ' ( x 0 )|
y=f ( x ) која е диференцијабилна во точката хо е
1 (x −x0 ), f '( x 0 )≠0 f '( x 0 )
y=f ( x )
ДОЛЖИНА НА ТАНГЕНТА
y0 t=| | 1+ ( f '( x 0 ) )2 f '( x 0 )
√
ДОЛЖИНА НА НОРМАЛА
√
n=|y 0| 1+ ( f ' ( x 0 ) )2
КОСА АСИМПТОТА Правата
y=kx+n
е коса асимптота на кривата што
f (x )
каде
f ( x) k= lim x →±∞ x
ПРАВИЛО ЗА ОДРЕДУВАЊЕ НА МОНОТОНОСТ НА ФУНКЦИЈА Нека функцијата f ( x ) е диференцијабилна на интервалот (a, b ) . Ако f '(x) > 0 за секое x �( a, b) , тогаш функцијата расте во интервалот ( a, b) . Ако f '(x) < 0 за секое x �( a, b) , тогаш функцијата опаѓа во интервалот (a, b)
ПРАВИЛО 1 ЗА ОДРЕДУВАЊЕ НА ЕКСТРМНИ ВРЕДНОСТИ НА ФУНКЦИЈА Ако функцијата f ( x ) е диференцијабилна на интервалот ( a, b) и ако за некоја точка x0 �( a, b) се исполнети следниве два услови : а ) f '(x0 ) = 0 и б ) f '(x0 ) го менува знакот во околината на x0 , тогаш f(x0 ) е екстремна вредност на функцијата f(x) и при тоа ако 1) f '(x) го менува знакот од позитивен во негативен , тогаш функцијата f(x) има максимум ymax = f(x0 ) 2) f '(x) го менува знакот од негативен во позитивен , тогаш функцијата f(x) има минимум ymin = f(x0 )
n= lim ( f ( x )−kx ) x →±∞
ПРАВИЛО 2 ЗА ОДРЕДУВАЊЕ НА ЕКСТРМНИ ВРЕДНОСТИ НА ФУНКЦИЈА Нека функцијата f ( x ) е има прв и втор извод во околината на точката x0 и нека f '(x0 ) = 0 и f ''(x0 ) �0 . Тогаш функцијата f ( x ) има екстремна вредност во точката x0 , при што: 1) Ако f ''(x) < 0 , функцијата има максимум , ymax = f(x0 ) 2) Ако f ''(x) > 0 , функцијата има максимум , ymin = f(x0 )
ПРАВИЛО ЗА ОДРЕДУВАЊЕ НА ИНТЕРВАЛИ НА КОНВЕКСНОСТ, КОНКАВНОСТ И ПРЕВОЈНИ ТОЧКИ НА ФУНКЦИЈА Нека функцијата f ( x ) е има прв и втор непрекинат извод во интервалот ( a, b) .
(I ) . 1) Ако f ''(x) < 0 за секое x �( a, b) , тогаш графикот на функцијата е конвексен на тој интервал ( U) . 2) Ако f ''(x) > 0 за секое x �( a, b) , тогаш графикот на функцијата е конкавен на тој интервал Потрбен услов за кривата y = f(x) да има превојна точка во точката x0 е f ''(x) = 0 , а доволен услов е f ''(x) да го менува знакот во околината на точката x0 .
Одредување на превојните точки на кривата y = f(x) кога f(x) има втор извод се состои во следново: 1) Се одредува f ''(x)
2) Се решава равенката f ''(x) = 0 3) Се испитува знакот на f ''(x) во околината на точките што се решенија на равенката f ''(x) = 0 .
ОПШТА ШЕМА ЗА ИСПИТУВАЊЕ ТЕК НА ГРАФИК НА ФУНКЦИЈА