Exponencijalna i logaritamska funkcija

Eksponencijalna i logaritamska funkcija.

---------------------------------------------------------------------------------------------- Eksponencijalna i logaritamska funkcija  Eksponencijalna funkcija Mnogu procesi vo prirodata mo`at da se opi{at so pomo{ na ekponencijalna funkcija.Toa se procesite na radioaktivnoto raspa|awe, menuvaweto na atmosverskiot pritisok so zgolemuvaweto na nadmorskata viso~ina,zgolemuvaweto na brojot na bakteriite vo procesot na nivnoto razmno`uvawe, prekr{uvaweto na svetlinata pri minuvawe niz voden sloj i dr.

Ztoa od interes e ispituvaweto na ovie funkcii.

 Tek i grafik na eksponencijalna funkcija.

Vo prethodnata u~ebna godina ja izu~ivme funkcijata f(x)=x2 , kade osnovata na stepenot e promenliva x,a pokazatelot e konstanta, neja ja narekuvavme kvadratna funkcija. Ovde }e ja obrabotime funkcijata od oblik f(x)=2x (i sli~ni na nea) kade osnovata e konstanta a pokazatelot (eksponentot ) e promenlivat x, neja }e ja narekuvame eksponencijalna funkcija.

 Pro{iruvawe na poimot za stepen.

Poznato e deka i za stepeni so pokazatel cel, odnosno racionalen broj va`at slednite svojstva: 10

a m  a n  a m n ;

60

2

am  a mn , a  0; n a

7

30

(a m ) n  a mn ;

80

0

0

4

50

0

(a  b)  a  b ; a n an ( )  n ,b  0; b b n

n

n

0

9

100

a1  a; def

a  0; a  0 ; 1 a n  n , a  0 a 0

m n

a  n a m , a  0; a  1; ako

a0

toga{

an  0

I na krajot od ova razgleduvawe da zabele`ime deka za stepen so realen pokazatel va`i: -Za sekoj a  R, a  0 i x  R takov {to r  x  s, kade r i s se racionalni broevi, a x e realen broj za koj va`i a r  a x  a s .

-Za a  1i x  R va`i a x =1.

--Za sekoj a  R, 0  a  1 i x  R takov {to r  x  s, kade r i s se racionalni broevi a x e realen broj za koj va`i a r  a x  a s .

1

Eksponencijalna i logaritamska funkcija.

----------------------------------------------------------------------------------------------Primeri: 10

1 4

3 i3

5

osnovata na stepenite e 3 pri {to 3>1 toga{ 1

1  5 kade 5  2.236 zna ~ i 3 4  3 5 4

20

0,2

2

i 0,2 0 ,1 osnovata na stepenite 0,2 pri {to 0<0,2<1 toga{ 0,1  2

zna~i 0,2 0,1  0,2 2 .

30

  2

2

8

 16, 2

2 8

 16 , 2

28

 16  2

16

 16

 2 4  16  2  2  2  2  16  16  16 .

40

52  53  5 23  55  5  5  5  5  5  3125

50

34 : 32  34 2  32  9

 Poom i osnovni svojstva na eksponencijalna funkcija.

Definicija: Funkcijata f : R  R  , zadadena so f ( x)  a x kade a  R, a  0 i a  1 se narekuva esponencijalna funkcija.

Od definicijata kako i od svojstvata 10 do 100 koi va`at i za stepen so pokazatel realen broj mo`eme da gi navedeme slednite svojstva na eksponencijalna funkcija: 10 Domenot Df (definicionata oblast) za esponencijalna funkcija f ( x)  a x e mno`estvoto na realni broevi t.e Df =R. 20

Mno`estvoto Vf na vrednosti na esponencijalna funkcija f ( x)  a x e: Vf =R+.

30 Za x=0, esponencijalna funkcija f ( x)  a x e ima vrednost f (0)  1 40 Esponencijalna funkcija f ( x)  a x , za a  0 monotono raste dodeka za 0  a  1 , monotono opa|a na celiot domen Df .

Dokaz: Svojstvata 10 i 2 0 sleduvaat direktno od definicijata. Od a 0  1 , sleduva svojstvoto 3 0 .

Poslednoto svojstvo 40 }e go doka`eme so doka`uvawe na implikaciite:

a)

a  1  x1  x2  a x1  a x2 ,t.e. f(x1 )  f(x2 )

b)

0  a  1  x1  x2  a x1  a x2 ,t.e. f(x1 )  f(x2 )

2

Eksponencijalna i logaritamska funkcija.

----------------------------------------------------------------------------------------------a)

Neka a  1, x1 x2  R  x1  x2 t.e. x 2  x1  h, kade h  o

Od a h  1 sleduva : a x2  a x1 h  a x1  a h  a x1 Kako posledica od svojstvoto 4 0 se izveduvaat i svojstvata: 50 Ako a  1  a x1  a x2  x1  x2 , 60 Ako 0  a  1  a x1  a x2  x1  x2 , 70 Ako a  0, a  0  a x1  a x2  x1  x2 .

Dokaz: ]e ja doka`eme samo prvata posledica, bidej}i ostanatite dve se doka`uvaat analogno.

Neka a  1 i a x1  a x2 za, x1 i x1 gi imame slednite mo`nosti x1  x2 , x1  x2 ili

x1  x2 .

10 x1  x2 ne e vozmo`en bidej}i toga{ od svojstvoto 40 sleduva a x1  a x2 {to protivre~i na uslovot.

20 x1  x2 isto taka x1  x2 ne e vozmo`en bidej}i toga{ bi imale a x1  a x2 zna~i ostanuva samo x1  x2 .

Primeri: Da ja odredime definicionata oblast na funkciite: 10 y  3 x1  Definicionata oblast D e sekoe a  R, t.e D=R 0

2

y4

1 x 3

 D  R\{ 3 } 5

0

3

1 2 y  ( ) x 4  D  R\{  2,2 } 3

Da ja opredelime monotonosta na funkcijata: x

x

1

0

y  0,3 , 2 x

0

y  ( 2) , 3 x

0

y4

x 1

,

0

4

2 y   , 3

0

5

 1   , y 5 , 6 y   0,2  2x

0

-Funkciite pod 10 i 40 monotono opa|aat bidej}i osnovata na stepenite e brojot pome|u 0 i 1 (svojstvo 4 0 ) a funkciite pod 20, 30, 40 i 50 monotono rastat bidej}i osnovata na stepenot e broj pogolem od 1.

3

Eksponencijalna i logaritamska funkcija.

---------------------------------------------------------------------------------------------- Grafik na eksponencijalna funkcija.

Sega ostanuva da go konstruirame grafikot na eksponencijalnata funkcija f(x)=x2 vo odnos na zadaden pravoagolen koordinaten sistem xOy. Grafikot na funkcijata f(x)=x2 e mno`estvoto na to~ki x, a x , x  R t.e G= x, a x , x  R Za grafikot na eksponencijalnata funkcija f(x)=x2 spored dosega ka`anoto imame: - grafikot na eksponencijalnata funkcija f(x)=x2 se nao|a nad x-oskata.

- grafikot na eksponencijalnata funkcija f(x)=x2 ja se~e y-oskata vo to~kata (0,1) bidej}i a 0  1 za sekoe a  R i a  1 .











Primeri: Da go konsruirame grafikot na eksponencijalnata funkcija f ( x)  2 x f ( x)  y

f (2)  2 2 

10

1 1  , 22 4

f( 0 )  2 0  1,

f( 1 )  21  2

x

...

-2

-1

0

1

2

…

f ( x)  2 x

…

1/4

1/2

1

2

4

…

Od ovoj slu~aj oskata Ox se narekuva asimptota na krivata, grafik na razgleduvanata funkcija f ( x)  2 x . x

0

2

x

x

x

x

 3 5 1 1 1 y  4 , y  3 , y  2 , y    , y    , y  1, y    , y    , y    ,  2  4 4  3  2 x x  2 4 y   ,y    3 5 x

x

x

4

Eksponencijalna i logaritamska funkcija.

-----------------------------------------------------------------------------------------------

0

3

1 y   2

x

x

...

-2

-1

0

1

2

…

f ( x)  (1 / 2) x

…

4

2

1

1/2

1/4

…

5

Eksponencijalna i logaritamska funkcija.

----------------------------------------------------------------------------------------------40

Vo ist koordinaten sistem da gi nacrtame graficite na funkciite:

y  2 x i y  2 x

0

5

y2

x

ye

x

y  3 x i y  3 x

y 3

0

x

6

6

1 y    2

x

1 y    3

x

1 y    4

x

Eksponencijalna i logaritamska funkcija.

---------------------------------------------------------------------------------------------- Grafici na eksponencijalnite funkcii. y  a x p i

y  a x  m,

y  a x p  m

Vo slednite primeri }e ja sogledame polo`bata na grafikot na funkcijata spored analiti~kiot zapis.

Primeri: Vo ist koordinaten sistem da gi nacrtame graficite na funkciite: x

1

0

x

x

1 1 1 y    , y     2, y     1  2 2  2

x

1 y   2

-2

-1

0

1

2

X

-2

-1

0

1

2

4

2

1

1 2

1 4

y  3x

1 9

1 3

1

3

9

6

4

3

5 2

9 4

y  3 x 1

1 3

1

3

9

27

3

1

0

y  3 x2

1 81

1 27

1 9

1 3

1

x

x

1 y    +2 2 x

1 y    -1 2

20 y  3 x , y  3 x1 , y  3 x 2 ,



1 2



3 4

7

Eksponencijalna i logaritamska funkcija.

----------------------------------------------------------------------------------------------30

y  3 x1  2

40

y  3 x  2, y  3 x , y  3 x  1,

50

y  2x , y  2 x2 , y  2 x 2  1,

8

Eksponencijalna i logaritamska funkcija.

---------------------------------------------------------------------------------------------- Eksponencija ravenka.

Definicija: Ravenkata vo koja nepoznatata se nao|a vo stepenoviot pokazatel na barem eden stepen , so osnova pozitiven realen broj, razli~en od 1 se narekuva eksponencijalna ravenka.

10 Eksponencijalnata ravenka koja so identi~ni transformacii mo`e da se dovede vo vidot: a f ( x )  a g ( x ) , a  0, i a  1.

Vrz osnova na monotonosta na eksponencijalnata funkcija sleduva deka za a  0, i a  1. ravenkata (10 ) e evivalentna na ravenkata f ( x)  g ( x) .

Zna~i ovde stepenite vo ekponencijalnite ravenki gi dobivame od ednakvite osnovi.

Primeri: 10

5 x  25  5 x  5 2  x  1

20

2 x3  4  2 x3  2 2  x  3  2  x  5 x

0

3

40

x

2

x

9  2  2  3  2  2            4  3  3  2  3  3

2

 x  2

2 x  2 x 1  2 x  2  56  2 x  2 x  2  4  2 x  56  7  2 x  56  2 x  8  2 x  2 3  x  3

20 Eksponencijalnata ravenka od vidot F[a f ( x ) ]  0 kade a  0 i a  1 koja so smena a = y preminuva vo ravenkata F[ y]  0 .

Ako re{enijata na ravenkata f[y]  0 se y i (i  1,2,...) toga{ re{avaweto na ravenkata f ( x)

F[a f ( x ) ]  0 se sveduva na re{avawe na vkupnosta na ravenkite a f ( x )  y i (i  1,2,...) .

Vo ovoj slu~aj velime deka eksponencijalnata ravenka ja re{avame so voveduvawe na smena.

Primeri: Da se re{at ekponencijalnite ravenki: 10

7 2 x  8  7 x  7  0 7 2 x  7 x 

2

y 2  8 y  7  0 y1, 2 



7 x  1, 7 x  7 0



72x  8  7 x  7  0

y  7x

 8  64  28 8  6   1,7 y1  1 y 2  7 2 2

7 x  7, (7 x  71 )

x1  0

9

x2 1

Eksponencijalna i logaritamska funkcija.

----------------------------------------------------------------------------------------------20

3 2 x 5  2  3 x  2 32 x41  3 x2  2  0 3  32 x  4  3 x  2  2  0  3  32( x  2)  3 x  2  2  0 3y 2  y  2  0

y1, 2 

3 x2  1  x  2 30

32

x

 43

x

3 40

x

1

1  1  24 1  5 2   1.  6 6 3

3 0

y2  4  y  3  0

3

x

2 x  2 x3  72

y 3 y1,2 

3

y  3 x2  0

2 y1  1, y 2   , 3

x

4  16  12 4  2   1,3 2 2 x 0 x 1

2 x  2 x  23  72

y1  1, y 2  3

2x  8

2 x (1  8)  72

x3

 Logaritamska funkcija Logaritamskata funkcija e u{te edna funkcija so koja }e se zapoznaeme.Taa nao|a golema primena, kako vo matematikata taka i vo drugite nauki. No najnapred potrebno e da se zapoznaeme so noviot poim, poimot logaritam.

 Poim za logaritam Definicija: Logaritam na pozitiven realen broj b , za osnova a, (a  0 i a  1 ) , e realniot broj x, so koj treba da se stepenuva osnovat a a za da se dobie brijot b .

log a b  x  a x  b Ako vo ravenstvoto a  b, x go zamenime so log a b ja dobivame relacijata: a Neposredno od definicijata za logaritam sleduva: x

10

log a 1  0, bidej}i a 0  1

20

log a a  0, bidej}i a 1  a log a a n  n, bidej}i a n  a n .

30

log a b

b.

-Koristej}i ja definicijata za logaritam da se proveri to`nosta na slednive ravenki: 10

log 5 5  0  51  5

2 20 log 3 27  2 ne e to~no bidej}i 3  27

-Da se opredeli logaritmandot na logaritmite: 30

log 3 b  2  32  b  b  9

40

10

log

2

b4

 2

4

bb4

Eksponencijalna i logaritamska funkcija.

----------------------------------------------------------------------------------------------5

0

5

1 1 log 1 b  5     b  b  32 2 2

-Da se opredeli osnovata na logaritmite: 60

log a 4  2  a 2  4  a1  2, a2  2

70

1 log a 125  3  a 3  125  a 3   5

3

a

1 5

-Da se opredelat logaritmite: 80 90

log 2 8  x  2 x  8  2 x  2 3  x  3 1 1 log 5  x  5x   5 x  5 2  x  3 25 25

-Koristej}i go osnovniot logaritamski identitet da se presmeta:

21log2 3  21  2 log2 3  2  3  6

100

7 log 7 2  2

120

52log5 2  52  5log5 2  25  2  50

130

32log 3 5  32  3log 3 5  9 

110

1 1 9  9  3 log 3 5 5 5

 Osnovni pravila na logaritmiraweto -Algebarskite izrazi se logaritmiraat vrz osnova na slednite pravila: Teorema1: Logaritam za osnova a, a  0, a  1, od proizvodot na dva pozitivni realni broja e ednakov na zbirot od nivnite logaritmi za istata osnova t.e log a xy  log a x  log a y .

Dokaz: Soglasno so osnovniot logaritamski identitet za broevite x i y imame:

x  a log a x i y  a log a y mno`ej}i gi soodvetnite strani na ravenstvoto dobivame: x  y  a log a x  a log a y = a log a xlog a y toga{ na ravenstvata log a a n  n i log a a  1 log a ( x  y)  log a a log a log a y  log a x  log a y Teorema1: Logaritam za osnova a, a  0, a  1, od koli~nik na dva pozitivni realni broja e ednakov na razlikata od logaritmite na delenikot i delitelot za istata osnova t.e:

log a

x  log a x  log a y . y

11

Eksponencijalna i logaritamska funkcija.

----------------------------------------------------------------------------------------------Dokaz: Delej}i gi soodvetnite strani na ravenstvoto dobivame:

 x x a log a x log x log a y = log y  a log a x log a y toga{ log a    log a a a  log a x  log a y y a a  y Teorema1: Logaritam za osnova a, a  0, a  1, od stepen na pozitiven realen broj

x n , (n  R) e ednakov na proizvodot od pokazatelot na stepenot n i logaritmot za osnova log a x n  n log a x. a na osnovata x na stepenot t.e Dokaz: Vo osnovniot logaritamski identitet x  a log a x dvete strani gi stepenuvame na n-ti



stepen, pa imame: x n  a log a x



n

 

 a n log a x toga{ log a x n  log a a n log a x  n log a x .

Posledica: Logaritam za osnova a, a  0, a  1, od koren na pozitiven realen broj e ednakov na logaritmot za osnova a od potkorenoviot broj, podelen so korenoviot pokazatel t.e:

log a

x

log a x n

Primeri: Da gi logaritmirame izrazite: 10 0

3

0

4

50 60 70

5x  log 5x  log 5  log x x2 y z

3

 log

2 x3 y 2 w 4

x2 y z

 log

3

20

3( x  y)  log 3( x  y)  log 3  log(x  y)

1  log x 2  log y  log z 3  2 log x  log y  3 log z 2

2 x3 y 2 w 4

2 1  log 2  log x  log y  log w  4 log z 3 3

z z 4 xyz 4 xyz  log  log 4  log x  log y  log z  log 3 3 3 2 xy 2 z 2  log 2 xy 2 z 2  log 2  log x  2 log y  2 log z x=5,43•13,573 logx=log(5,43•13,573) logx=log5,433 +log13,573 logx=log5,43+3log13,57 logx=0,734799829+3•1,132579848 logx=0,734799829+3,397739543 logx=4,132539372  x=13+68,73535

12

Eksponencijalna i logaritamska funkcija.

----------------------------------------------------------------------------------------------Sli~no za bilo koj pozitiven realen broj x imame lg x  k  lg a , k -se narekuva karakteristika , lg a se narekuva mantisa na logaritam od brojot x i se ozna~uva so m.

Bidej}i 1  a  10 imame deka lg a e broj ne pomal od 0 i pomal od 1.

Kratko }e zapi{eme lg x  k  m, kade x  R  ,k  Z,m  [ 0,1) .

Za nao|awe na karakteristika za bilo koj pozitiven realen broj va`i: 1) Karakteristikata na dekaden logaritam na brojot x , 0<x<1, e negativen broj ~ija apsolutna vrednost e ednakva na brojot na nulite pred prvata cifra na x {to ne e nula.

2) Karakteristikata na dekaden logaritam na brojot x ,x>1 e za eden pomala od brojot na cifrite na negoviot cel del.

 Vrski me|u logaritmi so razli~ni osnovi. ]e poka`eme deka e dovolno da gi znaeme logaritmite so edna osnova (naj~esto 10) za da mo`eme da premineme na logaritmi so druga osnova.

Preminuvaweto od logaritmi so edna osnova kon logaritam so druga osnova e dadeno so slednava vrska me|u logaritmite so razli~ni osnovi:

log a b 

log c b , log c b

a,b,c  R  ,

a,c  1

 b go logaritmirame so osnova s i pritoa log c b log b . dobivame: log c (a a )  log c b  log a b  log c a  log c b  log c a Dokaz: Osnovniot logaritamski identitet a

log a b

Direktna posledica od osnovnata vrska me|u logaritmi so razli~ni osnovi e slednava:

log a b 

1 , a , b  R  , a, b  1 . log a

Vo osnovnata vrska me|u logaritmi so razli~ni osnovi }e go izbereme b za nova osnova na logaritmite:

log a b 

log b b 1  . log b a log a b

Primeri: Na najednostave na~in da presmetame: 10 log 81 3 

1 1  log 3 81 4

1 1 log 2 2 log 2 2 3 log 2 1 3 3 2 3 0    2 log 32 2  log 2 32 log 2 2 5 5 log 2 2 15 lg 5 lg 7 lg 11 lg 13 lg 15      30 log 3 5  log 5 7  log 7 11  log11 13  log13 15  lg 3 lg 5 lg 7 lg 11 lg 3 lg 3  5 lg 3  lg 5 lg 5   1  1  log 3 5 lg 3 lg 3 lg 3

13

Eksponencijalna i logaritamska funkcija.

----------------------------------------------------------------------------------------------lg 2 lg 9 lg 32 2 lg 3 4 log 3 2  log 2 9     2 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 0

50 log 7 8  log 4 49 

lg 8 lg 49 lg 2 3 lg 7 2 3 lg 2 2 lg 7      3 lg 7 lg 4 lg 7 lg 2 2 lg 7 2 lg 2

-Od osnovnata vrska me|u logaritmi so razli~ni osnovi sleduvaat i slednive vrski:

1 log a b k log 1 b   log a b log a kb 

a)

b)

a

log a kbk  log a b

c) Dokaz:

a)

b)

c)

lg b lg a k lg b log 1 b   1 a lg a lg b k k log a kb  lg a k

lg b 1  log a b k lg a k lg b lg b    log a b 1 lg a lg a

log a kb 





k lg b lg b   log a b k lg a lg a

-Koristej}i gi vrskite me|u logaritmi so razli~ni osnovi da presmetame: Primeri:

10

log

20

log 2 3

1 log a 3  2 log a 3  2b 1 2 1 1 1 1 a  log 2 a 3  log 2 a  log 23 a  log 8 a   3 log a 8 b

a

3  log

3

1 a3

-Vo vrska so logaritmi so razli~ni osnovi mo`eme da ka`eme i slednovo: Mno`estvoto od logaritmi na site pozitivni realni broevi so ista osnova a, (a  0, a  1) se vika logaritamski sistem so osnova a .

log 1 4 30

log

4 ako log 1 3  a log 3 2

4 3

2

log 1 3



2

0

4

log 30 8 ako lg 5  a i

lg 3  b

log 2 2 2 2 4   1 1 3 log 1 3 log 1 3 2 2 2 2

10 lg 8 lg 2 3 lg 2 5  3(lg 10  lg 5)  3(1  a) log 30 8     lg 30 lg(10  3) lg 10  lg 3 1  b 1 b 1 b 3

3 lg

14

Eksponencijalna i logaritamska funkcija.

---------------------------------------------------------------------------------------------- Tek i grafik na logaritamska funkcija Da se potsetime,pri definiraweto na logaritam }e ka`eme deka log a x, kade a  0 i a  1 , ima smisla za sekoj pozitiven realen broj x, a vrednosta na log a x, mo`e{e da bide koi da bilo realen broj bidej}i pokazatelot b na stepenot ab =x , e koj i da bilo realen broj.

Sega mo`eme da ja dodademe slednata definicija: Definicija: Funkcijaata f:R+ R, zadadena so f(x)= log a x, kade a>0 i a 1 e realen broj i x e nezavisna realna promenliva se narekuva logaritamska funkcija.

1) Domenot Df (definicionata oblast) za logaritamskata funkcija f(x) = log a x, e mno`estvoto na pozitivni realni broevi t.e Df= R+.

2) Mno`estvoto Vf na vrednosti na logaritamskata funkcija f(x) = log a x, e sekoj realen broj, t.e Vf = R. 3) Za x= 1, logaritamskata funkcija f(x) = log a x, ima vrednost f(1) =0 4) Logaritamskata funkcija f(x) = log a x, za x>, monotono raste dodeka za 0<x<1 monotono opa|a na celiot domen Df. Dokaz: Svojstvata 1) i 2) sledat direktno od definicijata na logaritamska funkcija.

Od log a 1  0 sleduva svojstvoto 3) dodeka svojstvoto 4) }e go doka`eme so doka`uvawe na implikacijata: a) a>1 x1 <x 2 log a x1 < log a x2 , t.e f(x1 )<f(x2 ) b) 0< a<1

x1 <x2 log a x1 < log a x2 , t.e f(x 1 )>f(x2 )

Kako posledica od svojstvoto 4) se izveduvaat i slednive svojstva: 5) Ako a>1

log a x1 < log a x2 , toga{ x 1<x 2 6) Ako 0<a<1 log a x1 < log a x2 , toga{ x 1 > x2 7) Ako log a x1 = log a x2 , toga{ x 1 =x2 Dokaz: ]e ja doka`eme samo prvata posledica, bodej}i drugite se doka`uvaat analogno.

Neka a>1 i log a x1 < log a x2 , za x 1 i x2 gi imame slednite mo`nosti x 1 >x2 , x1 =x 2 ili x1<x2 Prviot slu~aj x 1 >x 2 ne e mo`en bidej}i toga{ od svojstvoto 4) sleduva log a x1 > log a x2 , {to protivre~i na uslovot. Vtoriot slu~aj x 1 =x2 isto taka ne e vozmo`en bidej}i toga{ bi imale log a x1 = log a x2 , zna~i ostanuva samo x 1<x2.

Primeri: Da ja odredeime definicionata oblastna funkciite: 1) log 2 ( x  3)  x  3  0  x  3. zna ~ i D f  ( 3,) 2) log 5 (4  x)  4  x  0  x  4. zna ~ i D f  (,4 ) 3) log 3 ( x)   x  0  x  0. zna ~ i D f  (  ,0 ) 2 2 4) log 7 ( x  4)  x  4  za sekoe x  R zna ~ i D f  (  , )

15

Eksponencijalna i logaritamska funkcija.

----------------------------------------------------------------------------------------------Da ja opredelime monotonosta na funkciite: 1) y=lgx,

2) y=log0,2x, 3) y=log5 (2+x) 4) y=log1/2x 5) log0,3 (x-4) 6) y=log7 (1+x 2 )

Funkciite pod 1), 3), 5) monotono rastatat bidej}i osnovata na logaritmite e broj polem od 1 dodeka funkciite po 2), 4), 6) monotono opa|aat bidej}i osnovata na logaritmite e broj pome|u 0 i 1. (svojstvo 40 )).

5) log2 (1-x 2 ), 1-x2 >0 6) log 1 3

(1-x) (1+x)>0

D f = (-1, 1).

x2  ( x  2)( x  1)  0 D f  (,1)  (2, ) x 1

 Grafik na logaritamska funkcija

Sega ostanuva da go konstruirame grafikot na logaritamskata funkcija f ( x)  log a x vo odnos na pravoagolen koordinaten sistem xOy. Grafikot na funkcijata f ( x)  log a x e mno`estvoto od to~ki (x, log a x), x R+, t.e G={(x, log a x), x R+}.

Za grafikot na logaritamskata funkcija f ( x)  log a x , a>0, a 1,spored dosega ka`anoto imame : -od svojstvoto 1) sleduva deka toj se nao|a desno od ordinantnata oska x.

-od svojstvoto 2) sleduva deka toj se nao|a i pod i nad apscisnata oska y.

-od svojstvoto 3) sleduva deka toj se~e x oskata vo to`kata (1,0).

Primeri: 1) Da go konstruirame grafikot na funkcijata: f ( x)  log 2 x Na primer za x=4 imame f(x)=log2 4=2, za x=

1 1 1 f( )=log2 =-1 2 2 2

lg 3 0,477   1,585 lg 2 0,301 3  3 3 za x= , f    log 2  log 2 3  log 2 2  1,585  1  0,585 2  2 2 za x=3, f(3)=log2 3=

x

1 4

1 2

1

3 2

2

3

4

y=log2 x

-2

-1

0

0,585

1

1,585

2

y=log2 x

16

Eksponencijalna i logaritamska funkcija.

----------------------------------------------------------------------------------------------2)

f ( x)  log 1 x

x=3

f(x)= log 1 3  1

3

3

lg 2 lg 2 0,301    0,631 1 lg 1  lg 3 0  0 , 477 3 lg 3 lg 5 lg 5 0,699 x=5 f(5)= log 1 5     1,465 i.t. n.

1 lg 1  lg 3 0 , 477 3 lg 3 x=2 f(2)= log 1 2 

x

1 9

1 3

1

2

3

5

y=log1/3x

2

1

0

-0631

-1

-1,465

y=log1/3x

3)

y  log 2 ( x  1)  2  log 2 x  log 2 ( x  1)  log 2 ( x  1)  2 y  log 2 x

y  log 2 ( x  1) y  log 2 ( x  1)  2

17

Eksponencijalna i logaritamska funkcija.

----------------------------------------------------------------------------------------------4)

y=log3 x

i

y=-log3 x

 Logaritamski ravenki.

Definicija: Ravenkata vo koja nepoznatata se nao|a vo logaritmandot ili vo logaritamskata osnova na barem eden logaritam se vika ligaritamska raven ka.

10 Ligaritamskata ravenka od vidot log a x  b , logaf(x)=b a>0, a 1kade {to a,b R ima edinstveno re{enie x=a b ,sli~no se re{avaat i logaritamskite ravenki od vidot: loga f(x)=b i logf(x)c=b.

Primeri:

1) log5 x=2 x=5 2 x=25 2) lg(x+2)=3 x+2=103 x=998 3) log2 (x 2 -1)=3 x2 -1=23 x2 =9 x1 =-3,x2 =3

20 Logaritamska ravenka koja so pomo{ na nekoi identi~ni transformacii mo`e da se dovede vo vidot: loga f(x)= loga g(x), a>0, a 1 e ekvivalentna so ravenkata f(x)=g(x) pri {to f(x)>0 i g(x)>0 Primeri: 1) lg2+lgx=1 lg2x=lg10 2x=10 x=5 2) log2 x+log2 (x+1)=1 log2 x(x+1)=log2 2 3) lg(x-3)-lg(x-7)=lg5

lg

x(x+1)=2

x 2+x-2=0

x 1 =-2, x2 =1

x 3  lg 5  x  3  5 x  35  x  8 x7

20 Logaritamskata ravenka od vidot F[loga f(x)]=0 a>0, a 1 so smenata loga f(x)=y se sveduva na ravenkata F[y]=0 Ako re{enijata na ovaa ravenka se yi ( i=1,2,…) toga{ re{avaweto na ravenkata F[loga f(x)]=0 se sveduva na re{avawe na vkupnosta na ravenkata: loga f(x)=y; yi ( i=1,2,…)

18

Eksponencijalna i logaritamska funkcija.

----------------------------------------------------------------------------------------------Primeri: 1) logx3+log3 x=2 y2 -2y+1=0

1 1  log 3 x  2   y  2 (smena y=log3x) log 3 x y

y=1 zna~i logx3=1 odtuka x=3

2) log2 x+log4 x=6

1 3 log2 x=6 log2 x=6 log2x=4 x=16 2 2 lg x lg x lg 3 1    (lg x) 2  (lg 3) 2  x1  3, x2  lg 2 lg 3 lg 2 3

log2x+

3) log2 x • log3 x=log2 3

40 Ravenki koi se re{avaat so prethodno logaritmirawe na dvete strani na raven kata: Primeri:

x3 logx=100=lg100

(3-lgx)lgx=2

(lgx)2 -3lgx+2=0

lgx=1 lgx=2 x1 =10 x 2=100

19