Plostina na ramninski figuri

Plo{tina na ramninski figuri

1.Poim za plo{tina na ramninski figuri Sekojdnevniot `ivot ~esto pati nametnuva problemi za opredeluvawe na plo{tina na odredeni objekti {to imaat forma na mnoguagolnici i krug. Na nekakov na~in, sekoj od nas si sozdal pretstava za poimot plo{tina i za toa deka taa se iska`uva so nekoj broj.

Vo matematikata poimot plo{tina e osnoven poim kakvi {to se, na primer, poimite to~ka,prava, ramnina, broj, mno`estvo i dr. Takviot poim, kako {to e poznato, ne se definira, tuku obi~no, se sogleduva i se osmisluva {to, prosto se nametnuvaat.

Za pomot plo{tina na mnoguagolnik se prifa}aat slednive osnovni svojstva {to, site zaedno, se poznati pod imeto aksioma za plo{tina: 1. Plo{tinata R na mnoguagolnikot e sekoga{ pozitiven realen broj t.e. R>0 2. Plo{tinata na mnoguagolnikot ne zavisi od negovata mestopolo`ba, t.e. skladnite mnoguagolnici imaat ednakvi plo{tini.

3. Ako mnoguagolnikot e sostaven od dva ili pove}e mnoguagolnici {to ne se preklopuvaat, toga{ negovata plo{tina e zbir od plo{tinite na tie delovi.

4. Za kvadratot so strana a se zema deka ima plo{tina a2 . ^etvrtoto svojstvo ovozmo`uva da se utvrdi takanare~ena merna edinici zap lo{tina. I pokraj toa za takva edinica mo`e da se zeme koj bilo kvadrat, so Svetskiot sistem merki (SI) e prifateno taa da bide kvadrat so strana 1m {to e nare~en kvadraten metar i se ozna~uva so 1m2 .

Poimot plo{tina na krug se osmisluva koristej}i go poimot plo{tina na mnoguagolnik.

Sega }e razgledame kako se presmetuva plo{tina na razni vidovi ~etiriagolnici, pravilni mnoguagolnici i plo{tina na krug i delovi od krug.

2.Plo{tina na parallelogram Plo{tinata R na kvadrat presmetuva so formulate

so strana a, spored 4

od Aksiomata, se

P=a2 Taka, kvadrat so strana a=25 cm ima plo{tina 625 cm2 =0,0625 m2 .

D

C

d

A

a 

Crte` 1

B

Dijagonalata d i stranata a na kvadratot (crt.1) se povrzani so relacijata d  a 2 ,pa, plo{tinata na toj kvadrat mo`e da se presmeta i so formulata d2 P 2

Plo{tinata, pak, na pravoagolnik mo`e da se presmeta so formulata iska`ana so slednava teorema: Teorema 1: Plo{tinata R na pravoagolnik so dimenzii a i b e brojot aďƒ— b t.e. P=ab.

Dokaz: Neka e daden pravoagolnikot ABCD so strani a i b kako na crt.2, a negovata plo{tina da ja ozna~ime so R.

str1

Plo{tina na ramninski figuri Za da ja doka`eme teoremata }e nacrtame kvadrat A1 EGK so strana a + b, kako na crt.3, ~ii sostavni dlovi se dva pravoagolnika (A1 B1 C1 D1 i FGHC1 ), skladni so dadeniot i dva kvadrata ( D1 C1 HK i B1 EFC1) so strana a odnosno b. Spored svojstvoto 2 i 3 od Aksiomata zap lo{tinata R* na kvadratot A1 EGK imame R* =R1+R2+2R A koristej}i ja formulate za plo{tina na kvadrat, dobivame ( a b ) 2  a 2  2 ab b 2  a 2  b 2  2P od kade {to sleduva deka P  ab .

So toa, teoremata e doka`ana.

C

D

K

H

G

P P1

A

a Crte` 2

P

a

B C1

D1

F

P

A1

a

P2 B1

b

b E

Crte` 3

Primer 1: Da se presmeta plo{tinata na pravoagolnikot so strana a = 12 cm i dijagonala d=13 cm.

Re{enie: Za da se presmeta plo{tinata, potrebno e prethodno da se najde stranata b:

b  d 2  a 2  169  144  25  5cm ; R=12.5=60cm2 .

Primer 2: Da se presmeta plo{tinata na pravoagolnikot ABCD so strana AB  14,3cm i agolot me|u dijagonalite sproti stranata AB, =120o 46’.

Re{enie: Stranata b mo`e da se opredeli od pravoagolniot triagolnik AVS (crt 4) , na koj mu e poznata stranata a; agolot  mo`e da se opredeli so pomo{ na dadeniot agol .       180 o ;2  180 o  120 o 46' ;   29 o 37' ; b  atga  14,3 tg 29 o 37'  8,13cm P  14,3  8,13  116cm 2

Plo{tinata na romboidot mo`e da se presmeta kako proizvod na negovata osnova i soodvetnata visina h, t.e.

P  ah Taka plo{tinata na romboidot ABCD na crt.5 so osnova AB  a i DE  h1 , odnosno so osnova BC  b i DE1  h2 mo`e da se presmeta so formulata P  ah1  bh2 str2

Plo{tina na ramninski figuri

Vo zavisnost od toa kade }e padne podno`jeto E na visinata DE, se razlikuvaat slu~aite kako na crt. 6:

Crte` 6

Primer 3: Da se presmeta plo{tinata na romboidot so strana a=9cm i b =4 cm i agolot me|u niv =36o 20’.

Re{enie: Od pravoagolniot triagolnik AVE (crt 7) , lesno se uo~uva kako }e se najde visinata h so pomo{ na stranata b i agolot .

h  h  bsinα ottuka sleduva deka P  absin  b Toa e u{te edna formula za presmetuvawe plo{tina na romboid koga ni se zadadeni stranite i agolot me|u niv.

Spored toa, P=9.4sin36o 20’ 21,16cm2 .

Lesno se sogleduva deka formulata P  ah va`i i za rombot, za{to istite slu~ai {to gi razgledavme za romboidot se javuvaat i kaj nego. Bidej}i taa va`i za pravoagolnik i kvadrat, sleduva deka so nea mo`e da se presmeta plo{tina na sekoj parallelogram.

Na crt.8 e daden rombot ABCD. Potoa e konstruiran ~etiriagolnikot KLMN , taka {to negovite strani se paralelni so dijagonalite na rombot. Vrz osnova na ovoj crte` mo`e da se izvedi formulate za plo{tina na romb. Bidej}i dijagonalite na rombot se zaemno normalni sleduva deka ~etiriagolnikot KLMN e pravoagolnik ~ii strani se d1 i d2 . Ottuka plo{tinata na pravoagolnikot e ednakva na d1 .d2 . Bidej}i pravoagolnikot e sostaven od osum skladni triagolnici, a rombot od ~etiri skladni triagolnici toga{ plo{tinata na rombot i plo{tinata na pravoagolnikot se odnesuvaat kako 1: 2, sinα 

str3

Plo{tina na ramninski figuri t.e plo{tinata na rombot e dvapati pomala od plo{tinata na pravoagolnikot.

Pa zatoa plo{tinata na rombot se presmetuva po formulata:

P

d1 d 2 2

Primer 4: Da se presmeta plo{tinata na rombot so strana a=10cm i dijagonala d1 =12cm .

Re{enie: Za da ja opredelime plo{tinata potrebno e prethodno da ja opredelime i drugata dijagonala. Od pravoagolniot triagolnik OAV (crt 8) 2

d2 16  12 d   a 2   1   100  36  8cm  d 2  16cm..Spored toa P   96cm 2 2 2 2   Plo{tinata na rombot so strana a i agol  (<90o) {to go zafa}aat stranite mo`e da se presmeta i so formulata P  a 2 sin  , koja sleduva od formulata P  ab sin  , bidej}i a=b.

3.Plo{tina na triagolnik Plo{tinata na triagolnik se presmetuva so formulata P

A

ah 2

Navistina ako triagolnikot AVS (crt.9) go dopolnime do h pralelogramot ABCD, taka {to AD BC i CD AB toga{ stranata AC  e negova dijagonala i go deli na dva B C a skladni triagolnika. Poradi toa, Crte` 9 od 2 i 3 od Aksiomata, za plo{tinata R na triagolnikot ah AVS imame 2P=ah od kade {to sleduva deka P  .

2 Sekoja strana na triagolnikot AVS mo`e da se zeme za osnova i zatoa e to~no deka ah bh ch P a  b  c 2 2 2 D

Primer 5: Da se presmeta stranata na ramnostraniot triagolnik so plo{tina 43,25 cm2 .

str4

Plo{tina na ramninski figuri Re{enie:

Plo{tinata na ramnostran triagolnik se presmetuva so 2

a a 3a2 a a2    ah a2 3 2 2 formulata P  a  . Od tuka stranata a se   2 2 2 4 4 P 3 4  43,24  1,73 presmetuva a    99,76cm .

3 3 Plo{tinata R na triagolnikot mo`e da se opredeli i so koristewe na trigonometriskite funkcii, koga triagolnikot e zadaden so dve strain i agolot me|u niv. Taka , za triagolnikot AVS na crt. 10 imame : ch P  c . No, od pravoagolniot triagolnik b a 2 hc ' ACC i BCC' mo`e da se najde deka    hc  bsinα  asinβ , pa za plo{tinata R na A B ’ c C Crte` 10 AVS dobivame : bc sin  ac sin  P i P 2 2 ab sin  Na sli~en na~in mo`e da se dobie i formulata P  .

2 Primer 6: Da se presmeta plo{tinata na pravoagolniot triagolnik so kateti a=8cm i b=13cm.

Re{enie: Bidej}i agolot =90o i sin90o=1, zatoa plo{tinata na ab pravoagolen triagolnik se presmetuva so formulata P  . Vo konkretniov 2 8 13 primer plo{tinata na pravoagolniot triagolnik e P   52cm 2 .

2 Primer 7: Da se presmeta plo{tinata na triagolnik AVS zadaden so stranite b=8cm, c=12cm i agolot =36o40’.

Re{enie: Zamenuvaj}i vo formulata bc sin  8  12 sin 36 o 40' P   48  0,59716  28,66cm 2 .

2 2 Za sli~nite triagolnici va`i slednava teorema: Teorema 2 : Plo{tinite na dva sli~ni triagolnici se odnesuvaat kako kvadratite na nivnite soodvetni strani.

Dokaz: Neka triagolnicite AVS i A1 V 1 S1 (crt. 11) se sli~ni. So R da ja ozna~ime plo{tinata na AVS, a so R1 plo{tinata na A1 V1S1 .

b A

C 

C1 1

a



b1 

c

B

A1

1

c1

a1 1

B1

Crte` 11

bcsinα P bc b c 2     P1 b1 c1 sinα b1 c1 b1 c1 2

str5

Plo{tina na ramninski figuri No, od sli~nosta imame b:b1 =c:c1 , pa se dobiva P b2 P c2  i  P1 b1 P1 c1 P a2 P a2 b2 c2 . Zna~i    P1 a1 P1 a1 b1 c1 Primer 8: Plo{tinata na dva sli~ni triagolnici AVS i A1V1 S1 , so osnovi a i a1 , se soodvetno 49 i 36. Osnovata a=7. Da se odredi osnovata a1 i visinite h i h1..

Re{enie: Vrz osnova na teorema 2, P:P1 =a2 :a1 2 . Zamenuvaj}i gi dadenite vrednosti vo ovaa proporcija dobivame 49:36=49:a1 2 od kade {to a12= 36; a1=6.

Od formulata za plo{tina na triagolnik, za visinte na ovie triagolnici, dobivame: 2 P 2  36 2 P 2  49 h   14 i h1  1   12 . a 7 a 6

Na sli~en na~in se poka`uva deka

4.Drugi formuli za plo{tina na triagolnik 1. Presmetuvawe plo{tina na triagolnik zadaden sodol`inite negovite strani(Heronova formula) Neka e daden triagolnikot AVS i neka se poznati dol`inite na negovite strani.

Od pravoagolnite triagolnici AVA1 i ASA1 A so zaedni~ka kateta AA1 , {to e visina na AVS(crt.12) imame: b c h h 2  c 2  x 2 i h 2  b 2  ( a x ) 2 ..........................(1) od kade {to  x C 2 2 2 a b c B A1 a .

Akjo b 2  ( a x ) 2  c 2  x 2 ,  x  Crte` 12 2a dobienata vrednost za h ja zamenime vo (1), po sreduvaweto doa|ame do ravenstvoto 2 2 2 2 2 2 2 4 a h  4 a b  (a  b  c ) . Zasmenuvaj}i za ah=2P i razlo`uvaj}i ja desnata strana na prosti mno`iteli, dobivame: 16 P 2  (2 ab a 2  b 2  c 2 )(2 ab a 2  b 2  c 2 )  (( a  b ) 2  c 2 )( c 2  ( a  b ) 2 )

16 P 2  ( a  b c )( a  b c )( a  b c )(  a  b c )..............................................(2) Ako ja vovedeme oznakata 2s  a b c , toga{  a b c  2( s a ) , a b c  2( s b ) a b c  2( s c ) , pa so zamena vo (2) dobivame

16 P 2  2 s 2(s a)  2(s b)  2(s c) t.e. P  s(s a)(s b)(s c) Formula P  s ( s  a )( s  b )( s  c ) e nare~ena Heronova formula vo ~est na starogr~kiot matemati~ar Heron Primer 9: Presmetaj ja plo{tinata triagolnik so strani 12cm,35cm, 37cm.

Re{enie: 2s  12  35  37  84  s  42 , a P  42(42  12)(42  35)(42  37) P  44100  210cm 2 .

2. Presmetuvawe plo{tina na triagolnik ako poluperimetarot i radiusot na vpi{anata kru`nica

e

daden

str6

Plo{tina na ramninski figuri Na crt. 13 e nacrtan AVS i vo nego e vpi{ana kru`nica so radius r . Od centarot C O na kru`nicata se povle~eni ostse~kite OA,OV i OS i so toa se dobieni b a triagolnicite: AOV, VOS, SOA. Ako r nivnite plo{tini gi ozna~ime so R1 , R2 , R3 , A  cr ar br B toga{ pa, spored P1  , P2  , P3  c 2 2 2 Crte` 13 svojstvoto 3 od Aksiomata sleduva cr a r br r P  P1  P2  P3     ( a  b c )  sr t.e. P  sr .

2 2 2 2 Primer 10: Presmetaj radiusot na vpi{anata kru`nica vo triagolnikot so strani 12cm, 15cm, 17cm.

Re{enie: 2s  12  15  17  44  s  22 , a P  22(22  12)(22  15)(22  17) P P 87 ,75 P  87 ,75cm 2 . Od P  sr  r  t.e. r   3,99cm . s 22 3. Presmetuvawe plo{tina na triagolnik ako se dadeni stranite na triagolnikot i radiusot na opi{anata kru`nica A

c B

ha  A’

b O C

a

Crte` 14

M

Na crt.14 okolu AVS e opi{ana kru`nica so radius R. Niz temeto A i centarot O e povle~ena prava do presek so kru`nicata i pritoa e dobiena to~kata M ( AM  2R ).

AMS e pravoagolen so periferen (prav) agol vo temeto S na dijametarot i e sli~en so AM (Talesova teorema) pravoagolniot triagolnik AVA’ ( AVS= AMS kako periferni agli nad ist kru`en lak). Poradi toa, ha :c=b:2R, od ade bc 1 {to ha  ,. Bidej}i P  aha , sleduva 2R 2 abc abc deka P  ,a ottuka R  .

4R 4P

Primer 11: Presmetaj radiusot na opi{i{anata kru`nica vo triagolnikot so strani 5cm, 8,4cm, 9,6cm.

Re{enie: 2s  5  8,4  9,6  s  11,5 , a P  11,5(11,5  5)(11,5  8,4)(11,5  9,6) abc P  20,98cm 2 . Radiusot na vpi{anata kru`nica e R   4,8cm .

4P 4. Presmetuvawe plo{tina na triagolnik ako se dadeni visinite na triagolnikot i radiusot na opi{anata kru`nica 1 2 ha hb hc R 2 5. Presmetuvawe plo{tina na triagolnik ako e dadena edna strana i aglite na triagolnikot a 2 sinβ sin  b 2 sinα sin  c 2 sinα sinβ P   2 sinα 2 sinβ 2 sinγ P

str7

Plo{tina na ramninski figuri 6. Presmetuvawe plo{tina na triagolnik ako se dadeni aglite na triagolnikot i radiusot na opi{anata kru`nica P  2 R 2 sin  sin  sin  7. Presmetuvawe plo{tina na triagolnik ako se dadeni aglite na triagolnikot i radiusot na vpi{anata kru`nica α β γ P  r 2 ctg ctg ctg 2 2 2 8. Presmetuvawe plo{tina na triagolnik ako se dadeni aglite na triagolnikot i poluperimetarot α β γ P  s 2 tg tg tg 2 2 2 9. Presmetuvawe plo{tina na triagolnik ako se dadeni visinite na triagolnikot i poluperimetarot s P 1 1 1  ha hb hc

5.Plo{tina na trapez i trapezoid ]e razgledame nekolku dokazi na formulata za presmetuvawe plo{tina na trapez: Teorema: Plo{tinata na trapezot e ednakva na proizvodot od poluzbirot na osnovite a i b i visinata h t.e . P 

ab  h.

2

Prv dokaz: So dijagonalata AS , trapezot ABCD so osnova AB  a i CD  b i visina CG  h (crt.15) go razbivame na dva triagolnika : ABC so osnova a i visina h i CDA so osnova b i visina h.

1 1 1 1 Toga{, PCDA  bh, PABC  ah, P  PABCD  ah bh 2 2 2 2 Crte` 15

t.e. P 

ab  h.

2

Vtor dokaz: So visinate CG  h i DH  h , trapezot ABCD e razbien na dva triagolnika i eden pravoagolnik (crt.16) pa imame: P  PADH  PHGCD  PGBC 

1 1 xh  bh  yh  2 2

1 1 ( x  2b  y )h  ( x  b  y  b)h .

2 2 Crte` 16

Crte` 17

bidej}i x+b+y=a,sleduva P 

ab h 2

Tret dokaz: Neka Y e sredina na krakot VS na trapezot ABCD , a E e presek na pravite DS i AB(crt.17).Triagolnicite SBE i SDC se skladni SB  SC , spored priznakot ASA(B=C, BSE=DSC) pa nivnite plo{tini se ednakvi ,t.e.

1 PSCD  PSBE P  PAED  ( a x ) bidej}i x=b,sleduva 2 P

ab h 2

str8

Plo{tina na ramninski figuri

Crte` 18

^etvrti dokaz: Neka M i Y e sredina na kracie AD i VS na a b trapezot ABCD ,toga{ MS  m  e sredna 2 linija na toj trapez.Niz Y povlekuvame prava r paralelna so so krakot AD i vo presecite so pravite AV i CD gi dobivame to~kite K i L , soodvetno (crt.18).Bidej}i triagolnicite SBK i SCL se skladni spored priznakot

ASA(B=C, SB  SC , BSK=CSL) imame pa Nivnite plo{tini se ednakvi ,t.e. PSBK  PSCL. Sledstveno, plo{tinata na trapezot ABCD e ednakva na plo{tinata na paralelogramot AKLD(AKDL i KLAD - po konstrukcija),t.e. P  mh 

ab h 2

Petti dokaz: Trapezot ABCD go preslikuvame so centralna simetrija vo odnos na to~kata Y, sredina na krakot VS na trapezot . Bidej}i ADA1 D1 i AD1 A1 D, ~etiriagolnikot ADA1 D1 e paralelogram (crt.19), so osnova visina negovata DH  h .Pa AD1  a  b i Crte` .19 plo{tina e ednakva na (a+b)h. No trapezot A1 CBD1 e dobien so centralna simetrija na trapezot ABCD , {to zna~i e skladen so nego , t.e. tie imaat ednakvi plo{tini . Zatoa , plo{tinata na na trapezot ABCD e ednakva na polovina od plo{tinata na paralelogramot ADA1 D1 (koj {to se sostoi od dva skladni trapeza), t.e. P 

Crte` 20

ab h 2

[esti dokaz: Neka MY e sredna linija na trapezot ABCD, toga{ i ~etiriagolnikot AVYM i MSCD,se trapezi.Go rotirame trapezot MSCD okolu to~kata Y za agol 1800 i go dobivame trapezot M1 SBD1 , (crt.20), koj e skladen so trapezot MSCD. Zna~i PSMCD  PM1SBD1 . , toga{ plo{tinata na trapezot ABCD e ednakva na plo{tinata na h 2

h 2

paralelogramot AD1 M1 M ~ija osnova AD1  a  b ,a visinata SQ  . P  (a  b) , t.e. P 

ab h 2

Primer 11: Da se presmeta plo{tinata na ramnokrak trapez so osnovi 15cm i 7cm i krak 5cm.

Re{enie: Od dadenite elementi prvo treba da ja najdeme visinata h . Vo a b a b pravoagolniot triagolnik AED (crt. 21) AE  pa, h 2  c 2     9, h  3 .

2  2  15  7 P  3  33cm 2 2 Primer 12: Da se presmeta plo{tinata na ramnokrak trapez so osnovi 15cm i 7cm i agol =75o50’ . str9

Plo{tina na ramninski figuri

D

Re{enie: Od pravoagolniot

C

b

triagolnik AED (crt. 21) h 

h A

pa,



ab E 2

B

a Crte` 21 D

6

3 P1

C 7

A

a b  tgα 2

P2 12 9 Crte` 22

15  7  tg 75 o 50'  4  3,9617  15,85cm 2 15  7 P  15,85  174,35cm 2 .

2 h

Plo{tinata na eden ~etiriagolnik (trapezoid) mo`e da se presmeta so pomo{ na Heronovata formula ako mu se dadeni site strani i edna negova dijagonala.

Primer 13: Da se presmeta plo{tinata na trapezoidot zadaden kako na cr.22.

Re{enie:

P1  8(8  7)(8  6)(8  3)  80  8,94cm 2 P2  14(14  7)(14  9)(14  12)  980  31,3cm 2

B

P  P1  P2  40,24cm 2 .

Ako pak ~etiriagolnikot ima normalni dijagonali kako na crt.23, toga{ negovata plo{tina mo`e da se presmeta D po formulata d d P 1 2 . d1 2  O d  OD d 1  OB A C P  PADC  PABC  1  d2 2 2 d d d t.e. P  1 OD  OB  1 2 Crte` 23 2 2 B





Primer 13: Da se presmeta plo{tinata na deltoidot so strani 17 i 113 i edna dijagonala 30.

Re{enie: Da gi ozna~ime stranite na deltoidot kako na crt.24. AD  CD  b  17 , AB  CB  a  113 . Za stranite na ABD va`i neravenstvoto AD  DB  AB , t.e. 17  DB  113, DB  96 od kade {to sleduva deka dadenata dijagonala ne mo`e da bide oskata na simetrija na deltoidot ( DB  30 ).

Zna~i pa od AC  d1  30 , D ramnokrakite triagolnici ACD i ACB se b d1 dobiva : OD  17 2  15 2  64  8 , O 

A

C

d2

OB  1132  152  12544  112 30  120  1800cm 2 . t.e. DB  d 2  120 . P  2

a Crte` 24

B str10

Plo{tina na ramninski figuri

6.Pravilni mnoguagolnici. Perimetar i plo{tina Definicija 1: Sekoj konveksen mnoguagolnik so ednakvi strani i ednakvi agli se vika pravilen mnoguagolnik.

Teorema 4 : Okolu sekoj pravilen mnoguagolnik mo`e da se opi{e kru`nica.

Dokaz: Neka A1 A2 A3 ….. An e pravilen n-agolnik O An

A3

A1

A2 Crte` 25

(crt. 25) t.e. A1A 2  A 2 A 3  ......A n A1 , A1 = A2 = A3 =….. = An . da gi povle~eme simetralite na aglite A1 i A2 i neka tie se se~at vo to~kata O ; zna~i O A1 A2 e ramnokrak so OA1  OA 2 .

Bidej}i A1A 2  A 2 A 3 , OA 2 - zaedni~ka strana i A1 A2 O = A3 A2 O; sleduva deka OA1 A2  O A2 A3 Od toa mo`e da se zaklu~i deka OA3 e simetrala

na A3 i OA1  OA 2  OA3 . Ako se prodol`i so razgleduvawe na parovite sosedni triagolnici vo mnoguagolnikot, }e se dobie: OA1  OA 2  OA3  ........  OA n . Od toa sleduva deka site temiwa na pravilniot mnoguagolnik le`at na kru`nicata so centar vo to~kata O. So toa teoremata e doka`ana.

Stranata an i radiusite R i rn na opi{anata i vpi{anata kru`nica na pravilniot n-agolnik O se elmenti na eden ramnokrak triagolnik (crt 26) ; toj se vika karakterist~en triagolnik na mnoguagolnikot R R Od OAB na crt 26 to~ni se slednive 180 o rn 180 o 180 o n formuli: a n  2 Rsin , a n  2 rn tg , n n 180 o rn  Rcos .

A an B n Ako vo pravilniot n-agolnik temiwata se Crte` 26 svrzat so negoviot centar, se dobivaat n skladni triagolnici (karakteristi~ni triagolnici). Od tuka mo`e da se presmeta Pn (plo{tinata na pravilniot mnoguagolnikot) i L n (perimetarot na pravilniot mnoguagolnikot) po slednive formuli: 180 o 180 o Ln  2 nRsin ili Ln  2 nrn tg ................................................(1) n n n 2 180 o 180 o 180 o 2 Pn  a ctg ili Pn  nR sin cos ............................(2) 4 n n n 180 o 180 o a n  2 Rsin Formulite (1) i (2) se dobivaat so zamena na , rn  Rcos i n n 180 o a n ctg 180 o n rn  (koja sleduva od a n  2 rn tg so izrazuvawe na rn ) vo op{tite 2 n a r formuli za plo{tina i perimetar na pravilen n-agolnik t.e. vo Pn  n n n , Ln  n a n .

2

str11

Plo{tina na ramninski figuri Primer 14: Da se presmeta plo{tinata na pravilen osumagolnik so strana a8 =5.

8 2 180 o Re{enie: P8  5 ctg  2  25  ctg22 o 30'  120,71cm 2 4 8

7.Perimetar na kru`nica.Plo{tina na krug Za perimetrite na dve kru`nici L1 i L2 so dijametri d1 i d2 mo`e da se L d L L napi{e: 1  1 t.e. 1  2 . Ottuka sleduva deka moi`e da se smeta deka L2 d 2 d1 d 2 odnosot pome|u perimetarot na koja bilo kru`nica i nejziniot dijametar e L ednakov broj, koj se ozna~uva so , t.e.   , Znaej}i deka d=2r, se dobiva L=2r d pri {to r e radius na taa kru`nica.

Zabele{ka: Brojot  ili u{te se vika Ludolfov broj e iracionalen broj i negovta vrednost zaokru`ena na prvite dvaeset decimali e =3.14159265358979323846...

Primer 15: Da se presmeta radiusot na kru`nicata so perimetar 78,5cm.

Re{enie: Od ravenstvoto 78,5=2r . 3,14 se dobiva r 12,5cm .

Na crte` 27 e dadena kru`nica so radiu r. Da se poka`e daka plo{tinata na krugot {to e ograni~en so nea e ednakva na r 2 π t.e. P  r 2 π .

A4 Vo kru`nicata vpi{uvame pravilen nagolnik. Negovata plo{tina se presmetuva so 1 formulata Pn   Ln  h , kade {to Ln e h An A3 2  perimeter na mnoguagolnikot, t.e. Ln =na, a h e a A2 A1 apotema (visina na negov karakteristi~en triagolnik.) . Plo{tinata na n-agolnik Crte` 27 vpi{an vo dadenata kru`nica zavisi od n i toa kolku {to e n pogolem priroden broj , tolku i plo{tinata e pogolema. Ako so R ja ozna~ime plo{tinata na krugot, toga{ razlikata P-Pn , so rastewe na n, stanuva se pomala i pomala i mo`e da se re~e deka mnoguagolnikot go ispolnuva kru`nicata. Vo vakov slu~aj apotemata h se stremi kon radiusot r, a a perimetarot Ln kon L na kru`nicata {to go 1 zapi{uvame: hn r, Ln  L. Od formulata Pn   Ln  hn spored prethodnoto imame 2 1 1 Pn   L r , no bidej}i Pn  P P   L r . Zamenuvaj}i so L=2r , dobivame 2 2 2 P  r π.

8.Plo{tina na delovi od krug Definicija 2: Delot od krugot {to e zafaten so daden centralen agol se vika kru`en ise~ok ili kru`en sektor.

Na crte` 28, so {rafiraniot del e pretstaven eden kru`en ise~ok. Za da ja presmetame plo{tinata na kru`niot ise~ok , da pretpostavime deka krugot e razdelen na 360 ednakvi ise~oci, sekoj so centralen agol 1 o. Plo{tinata R1 na r 2 takov kru`en ise~ok e 360-del od plo{tinata na krugot, t.e. P1  . Ako, pak, 360 str12

Plo{tina na ramninski figuri

O 

r

l

centralniot agol e , toga{ plo{tinata na soodvetniot kru`en ise~ok }e bide -pati r 2  pogolema od R1 , t.e. P  .

360 Plo{tinata na kru`en ise~ok zadaden so r i  , mo`e da se presmata i so pomo{ na dol`inata na soodvetniot kru`en lak l. Dol`inata na kru`en rππ lak se presmetuva so formulata l  , pa poradi 180 toa plo{tinata na ise~okot mo`e da se presmeta i rl so formulata P  .

2

Crte` 28

Definicija 3: Delot od krugot {to e zafaten so eden negov lak i soodvetnata tetiva se vika kru`en otse~ok ili kru`en segment.

Na crte` 29, so {rafiraniot del e pretstaven eden kru`en otse~ok; vo krugot so radius r, otse~okot e opredelen AV ili centralniot agol .

Plo{tinata na kru`niot ose~ok e razlika od plo{tinata na kru`niot ise~ok i plo{tinata na O ramnokrakiot triagolnik AVO, pa zatoa  r r 2 πα 1 2 1  πα  P  r sinα  r 2   sinα  .

360 2 2  180  A Primer 16: Da se presmeta plo{tinata na kru`niot otse~ok so centralen agol  =30o vo krug so radius 12 cm.

Crte` 29 1  πα  Re{enie: Koristej}i ja formulata P  r 2   sinα  2  180  1 π 1    30  dobivame P   12 2   sin 30 o   72(  )  12(π  3)cm 2 .

2 6 2  180  Definicija 4: Delot ograni~en od dva koncentri~ni krugovi (so razli~ni radiusi) se vika kru`en prsten. [rafiraniot del od krugot na crt. 30 pretstavuva kru`en prsten. Negovata plo{tina mo`e da se presmeta r kako razlika od plo{tinite na koncentri~nite O 1 krugovi so radiusi r i r1 , t.e. P  r 2 π  r12 π  ( r 2  r12 ) π r

Crte` 30

str13