ТРИГОНОМЕТРИСКИ ФУНКЦИИ ОД ОСТАР АГОЛ ВО ПРАВОАГОЛЕН ТРИАГОЛНИК
ОСНОВНИ ТРИГОНОМЕТРИСКИ ИДЕНТИТЕТИ
Presmetuvawe na ostanatite trigonometriski funкcii ako e poznata vrednosta na edna od niv cosα =√ 1− sin 2 α sinα tg α = cosα 1 ctg α = tg α ¿ sin αalignl { ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿
cosα sinα = √ 1−cos 2 α sinα tg α = cosα 1 ctg α = tg α ¿ ¿ { ¿ {¿ ¿ ¿
sinα = cosα =
ctg α
tg α
√ 1+tg
2
α
sinα=
√ 1+tg 2 α
cosα =
1
ctg α =
1 tg α
¿ tg αalignl { ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿
1
√ 1 + ctg 2 α ctg α
√ 1+ ctg 2 α 1 tg α = ctg α ¿ ¿ {¿ { ¿ ¿ ¿
Trigonometriski funkcii od komplementni agli o
sin(90 - a)= cosa
cos(90 o - a)= sina
tg(90 o - a)= ctga
ctg(90 o - a)= tga
КОМПЛЕКСНИ БРОЕВИ Алгебарска форма на комплексен број
Конјугиран број на z = a +bi е
z = a +bi z = a - bi a = Re(z);b = Im(z)
z + z = 2a = 2Re(z) ,
Степенување на имагинарната единица
z - z = 2bi = 2Im(z)i 2
z� z = a +b
i
2
2
def
=-1 i
4k
= 1; i 4k+1 = i; i 4k+2 = -1; i 4k+3 = -i
Модул на комплексен
z = a 2 +b 2 број
z� z= z
2
Операции со комплексни броеви
(a +bi)± (c+ di)= (a ± c)+(b ± d)i
(a +bi) � (c + di)= (ac - bd)+(ad + bc)i
c + di a - bi (c + di) � (a - bi) (ac +bd)+(ad - bc)i � = = 2 a +bi a - bi a +b 2 a 2 +b 2
КВАДРАТНИ РАВЕНКИ 2
Општ вид на квадратна равенка
ax + bx + c = 0, a �0
Решенија (корени) на квадратна равенка:
2
2
x1,2 =
-b ± b - 4ac 2a
Дискриминанта на квадратна равенка:
D = b 2 - 4ac x1,2 =
-b ± D 2a
ВИЕТОВИ ФОРМУЛИ ax 2 + bx + c = 0, a �0/ : a b c x2 + x + = 0 a a b c p= q= a a 2 x + px + q = 0 x + px + q = 0 2
Нормален вид на квадратна равенка
-p ± p 2 - 4q p �p � x1,2 = = - � � �- q 2 2 �2 � Виетови формули b x1 + x2 = a c x1 � x2 = a за квадратната равенка
ax 2 + bx + c = 0 x1 + x2 = -p x1 � x2 = q
за квадратната равенка
x + px + q = 0 2
2 2 1. Ако D = b - 4ac > 0 тогаш решенијата на квадратната равенка ax + bx + c = 0, a �0 се реални и различни
2 2 2. Ако D = b - 4ac = 0 тогаш решенијата на квадратната равенка ax + bx + c = 0, a �0 се реални и еднакви(двоен или двократен ) корен
2 2 ax + bx + c = 0, a �0 се комплексно конјугирани броеви D = b 4ac < 0 3. Ако тогаш решенијата на квадратната равенка
Разложување на квадратен трином:
ax 2 +bx + c = a(x - x1 )(x - x2 )
4 2 ax + bx + c = 0, a �0 Решенија на биквадратна равенка
-b ± b 2 - 4ac x1,2,3,4 = � 2a
КВАДРАТНА ФУНКЦИЈА Каноничен вид на квадратна функција
f ( x) = ax 2 + bx + c = 0, a �0
b 4ac - b 2 f ( x) = a( x - a ) 2 + b каде што a = - 2a , b = 4a
T (a, b ) - теме на параболата
График и знак на квадратна функција:
РАЗНОСТРАН ТРИАГОЛНИК
ФИГУРИ ВО РАМНИНА РАМНОКРАК ТРИАГОЛНИК
РАМНОСТРАН ТРИАГОЛНИК
L=a+ b+c
P=√ s ( s−a )( s−b )( s−c )
s=
a+ b+c L = 2 2
ХЕРОНОВА ФОРМУЛА ha =bsinγ hb =csinα hc =asin β
P=
a⋅ha 2
=
b⋅hb 2
=
c⋅hc 2
ab ac bc P= sinγ = sinβ= sinα 2 2 2
L=3 a P=
a⋅ha 2
=
2
b⋅hb
L=a+ 2b
2
√
a h= b − 2 2
P=
ab 4R
2
()
h= R=
a √3 2
2 h a √3 = 3 6 каде што Rе радиус на опишаната кружница околу триаголnикот
h a 3 r= = √ 3 6 каде што r е радиус на впишаната кружница во триаголnикот
Плоштина на триаголник ако е даден радиусот на опишаната кружница и страните
Плоштина на триаголник ако е даден радиусот на впишана кружница и полупериметарот
s=
a+ b+c L = 2 2
P=rs , ка
де што и r е радиус на впишаната кружница во триаголnикот P=
abc 4R
каде што R е радиус на опишаната кружница околу триаголnикот
ПРАВОАГОЛЕН ТРИАГОЛНИК
P=
a⋅b 2
L=a+ b+c
ПИТАГОРОВА ТЕОРЕМА 2
2
c =a + b
2
ЕВКЛИДОВИ ТЕОРЕМИ a2 = pc b2 =qc P,q-ортогонални проекции на катетите врз хипотенузата 2 hc = pq
КВАДРАТ
d= √ a 2 +b 2
d 2 a= √ 2
d=a √2 L=4 a
ПРАВОАГОЛНИК
P=a
2
L=2(a+b )
P=a⋅b
2
d P= 2
ТРАПЕЗ
РАМНОКРАК ТРАПЕЗ
1 1 PCDA = bh, P ABC = ah, 2 2 1 1 P=P ABCD= ah+ bh P= a+b⋅h. 2 2 2 L=a+ b+c +d
a−b 2
( )
L=a+ b+c +d
h2 =c 2 −
L=a+b+2 c P=
m=
a+b 2
a+b ⋅h. 2
m-средна линија на трапез P=m⋅h
РОМБ
a=
√(
2
d1 d2 + 2 2
ПАРАЛЕЛОГРАМ
2
) ( )
L=4 a d ⋅d P= 1 2 2
P=a⋅h
ПРАВОАГОЛЕН ТРАПЕЗ
L=2(a+b ) P=a⋅ha =a⋅h b
ТРАПЕЗОИД
L=a+ b+c +d
P=
a+b ⋅h 2
L=a+ b+c +d f⋅g P= sinϕ 2
f,g -дијагонали
ТРАПЕЗОИД
ДЕЛТОИД
ПРАВИЛЕН ШЕСТАГОЛНИК
a=R
L=2(a+b ) P=
h=r , каде што R е радиус на
опишаната кружница околу правилниот шестаголник а r е радиус на впишаната кружница во правилниот шестаголник
L= AB+BC +CD+DA P=P Δ ABC +P Δ ADC
d 1⋅d 2
L=6a
2
2
P=
КРУЖНИЦА И КРУГ
L=2r
ПРАВИЛЕН n-АГОЛНИК
КРУЖЕН ИСЕЧОК
3 a √3 2
a n⋅r n Pn =n⋅ ,Ln =n⋅an 2 o o 180 180 an =2Rsin an =2r n tg n n o 180 r n =Rcos n o 180 180o Ln =2nRsin ili Ln =2nr n tg n n o o o n 180 180 180 Pn = a2 ctg ili P n=nR2 sin cos 4 n n n
КРУЖЕН ОТСЕЧОК
КРУЖЕН ПРСТЕН
2
P=r π
l=
2
rπα 180
P= P=
rl 2
r πα 360
r 2 πα 1 2 1 πα P= − r sinα= r 2 −sinα 360 2 2 180
(
)
P=r
2 2 2 π−r 1 π =( r 2−r 1 ) π=( r 2 −r 1 )( r 2 −r 1 ) π 2 2
ОЈЛЕРОВА ТЕОРЕМА: За бројот на рабови (r), ѕидовите(s) и темињата(t) на еден конвексен полиедар важи релацијата t+s=r+2
ГЕОМЕТРИСКИ ТЕЛА КОЦКА
P=6 a
V =a
2
КВАДАР
P=2( ab+ac +bc ) V =abc
ПРИЗМА
ПРАВИЛНА ЧЕТИРИАГОЛНА ПРИЗМА
P=2 B + M
P = 2a 2 + 4aH
V =BH
V = a2 H
3
ПИРАМИДА
ПРАВИЛНА ТРИАСТРАНА ПИРАМИДА
P=B+ M
BH V= 3
2
P=
a
√3 +3 ah
4 2 a2 √ 3 H V= 12
ПРАВИЛНА ЧЕТИРИСТРАНА ПИРАМИДА
2
P=a +2 ah 2
a H V= 3
ПРАВИЛНА ШЕСТАСТРАНА ПИРАМИДА
ПРАВИЛНА ТРИАГОЛНА ПРИЗМА
a2 3 P= + 3aH 2 a2 3 V= H 4
ПРАВИЛНА ШЕСТАГОЛНА ПРИЗМА
P = 3a 2 3 + 6aH 3a 2 3 V= H 2
ПОТСЕЧЕНА ПИРАМИДА
2
3 a √3 P= +3 ah 2 a2 √ 3 H V= 2
P=B+ B1 + M H V = ( B+ √ BB 1 + B1 ) 3
ПРАВИЛНА ЧЕТИРИСТРАНА ПИРАМИДА
ПРАВИЛНА ПОТСЕЧЕНА ЧЕТИРИСТРАНА ПИРАМИДА
2
2
ПРАВИЛНА ПОТСЕЧЕНА ТИСТРАНА ПИРАМИДА
2
P=a +a 1 +2( a+ a1 ) h H V = ( a2 + aa1 + a21 ) 3
P=
√ 3 a2 + a2 +3 ( a+a 1 )h ( 1) 4
V=
2
H √3 2 a +aa 1 +a 21 ) ( 12
ПРАВ ЦИЛИНДАР
РАМНОСТРАН ЦИЛИНДАР
МРЕЖА НА ПРАВ ЦИЛИНДАР
2r = H (осниот пресек е квадрат) 2
P=2 rπ (r+2r )=6 r π
P=2 rπ (r + H )
2
2
V =r πH ПРАВ КОНУС
РАМНОСТРАН КОНУС
P=r π +rπ⋅s=rπ (r + s )
2r = s (осниот пресек е рамностран триаголник)
r 2 πH V= 3
P=r 2 π +rπ⋅s=r 2 π+ r⋅2 rπ ¿ r 2 π +2 r 2 π =3 r 2 π
2
2
2
s =r + H
2
3
V =r π 2 r=2 r π
2
3
r πr √3 r √3 π V= = 3 3
МРЕЖА НА КОНУС
ПОТСЕЧЕН КОНУС
ДЕЛОВИ ОД СФЕРА ТОПКА И СФЕРА
4 R 3 V= P = 4 R 2 3 ТОПКИН ИСЕЧОК(СЕКТОР)
h2 V= ( 3R - h ) 3
КАЛОТА
ТОПКИН ПОЈАС
P = 2 Rh
P = 2 Rh, h = h2 - h1
ДЕЛОВИ ОД ТОПКА ТОПКИН СЛОЈ
h 2 V= 3r1 + 3r22 + h 2 ) ( 6
ТОПКИН ОТСЕЧОК(СЕГМЕНТ)
V=
2 2 R h 3
ПРАВИЛНИ ПОЛИЕДРИ(ПЛАТОНОВИ ТЕЛА)
Tetraedar
Heksaedar (kocka)
Oktaedar
Dodekaedar
Ikoсоedar
Број на ѕидови и нивни облик
4 триаголници
6 квадрати
8 триаголници
12 петаголници
20 триаголници
Број на рабови
6
12
12
30
30
Број на темиња
4
8
6
20
12