hipÓtesis 1 by Hipotesis Uniandes

hipOte Apuntes de la

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Rhodnius prolixus adulto, vector del mal de Chagas, alimentándose de sangre. WHO/TDR/Stammers

tesis

contenido

la Facultad de Ciencias 5 6 8 9 10

Editorial Bio-notas Química práctica Rompecabezas y problemas Artículos

10-20 La conexión Sierpinski Encuentros entre fractales y otras áreas de las matemáticas

22-32 Carbón activado Un enigma de miles de metros cuadrados

33-41 La física y las películas de jabón 42-49 Detectives del mal de Chagas ¿Qué tienen en común un habitante del valle del Río Magdalena y un investigador uniandino?

50 Facultad de Ciencias Programas académicos Áreas de investigación

51 Graduandos de maestría y doctorado 2000-2003

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hipOtesis

Una explicación desde las ciencias

hipOtesis

portada

No. 1

Mayo de 2003.

ISSN: 1692-729X 2003 COPYRIGHT

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra sin la autorización escrita de los editores.

hipOtesis

Hipótesis: Apuntes Científicos Uniandinos

hipOtesis

Director: Hernando Echeverri Dávila Profesor asociado, Departamento de Matemáticas

Comité Editorial: José M. Rolando Roldán Decano, Facultad de Ciencias Profesor titular, Departamento de Física

Leonardo Venegas

Profesor asistente, Departamento de Matemáticas

Luis Quiroga Puello

Profesor titular Departamento de Física

Adolfo Amézquita

Profesor asistente, Departamento de Ciencias Biológicas

J. Efraín Ruiz S.

Profesor asistente, Departamento de Química

Universidad de los Andes Facultad de Ciencias Carrera 1ª No. 18A-10 Apartado Aéreo 4976 Bogotá D.C., Colombia Teléfonos: (571) 332 4533 339 4949 339 4999 Ext.: 2700

E mail: hipotesis@uniandes.edu.co Ediciones Uniandes

hipOtesis

Edición Diagramación Impresión Proceditor Ltda.. Calle 1 No. 27 A 05 220 4275 / 76 Diseño gráfico Luis Arisa E-mail: proceditor@yahoo.es

Cra 1ª. No 19-27. Edificio AU 6 Bogotá D.C., Colombia Teléfono: (571) 339 4949 339 4999 Ext.: 2181 2071 2099

E mail: infeduni@uniandes.edu.co

Impreso y hecho en Colombia Printed and made in Colombia

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Sin embargo la revoluc científica, que comenzó adelfinales siglo XVI, no sólo se propuso descifrar la naturalez sino también utilizar el conocimie adquirido para cambiarla

Me honra mucho presentar la revista de la Facultad de Ciencias de la Universidad de los Andes. Tendrá un carácter divulgativo dirigida a estudiantes y profesores de los últimos años del bachillerato a los primeros de universidad, con el objetivo de mostrar la ciencia en acción. Esta primera edición expone el quehacer de las ciencias en contextos muy diversos que no sólo cubren cuatro disciplinas sino que van de lo muy utilitario a lo completamente académico. Por una parte, se muestra un aporte aplicado a una situación endémica colombiana en el control de la enfermedad de Chagas, a través de técnicas muy sofisticadas de comparación de ADN. Esta investigación, que pertenece a la epidemiología, tiene mucho que ver con la química de la vida.

editOrial El artículo sobre el carbón activado tiene una aplicación más global y ecológica, por su utilidad en la limpieza de la atmósfera y de las aguas. Se aprenden y se adaptan técnicas de aplicación inmediata, con la colaboración de científicos extranjeros.

La investigación sobre las películas de jabón se inserta más en el área básica. Busca entender un fenómeno haciendo uso de modelos de la fisicoquímica con una estructura matemática que permite calcular posibles resultados. Los cálculos se comparan con la realidad y su acierto se contrasta con modelos anteriores. No se menciona una aplicación directa, aunque existe la posibilidad de ayudar a la comprensión del funcionamiento de las membranas celulares con un modelo parecido.

tendrá un hipótesis, carácter del griego divulgativo dirigida a estudiantes y suposición; profesores de literalmente, los últimos años del se lo que bachillerato a pone los primeros de debajo oa universidad, con el objetivo la base de mostrar la de algo. ciencia en acción.

hypothesis:

Finalmente, el artículo acerca del triángulo de Sierpinski aborda un tema actual en las matemáticas: los fractales. Su desarrollo introspectivo busca patrones y semejanzas, aspecto que ha sido un afán constante de las matemáticas, pero dentro de la misma disciplina. Son las matemáticas por las matemáticas, la razón por la razón en sí. Todas estas actividades son fundamentales en el desarrollo de la ciencia. No pueden jerarquizarse puesto que conforman un mecanismo social que requiere masa crítica en todos los aspectos para poder florecer. Cuando Galileo hizo sus experimentos con planos inclinados, cuando Descartes expuso los primeros conceptos de la geometría analítica, cuando Darwin describió la evolución de las especies, no estaban pensando en la aplicación ni en la utilidad de lo que pregonaban. Sin embargo, la revolución científica, que comenzó a finales del siglo XVI, no sólo se propuso descifrar la naturaleza sino también utilizar el conocimiento adquirido para cambiarla. Desde entonces, la humanidad ha enfocado sus fuerzas, con estas dos metas, hacia una ciencia universal, con una cooperación que no conoce fronteras políticas.

tendrá un carácter divulgativo dirigida a estudiantes y profesores de los últimos años del bachillerato a los primeros de universidad, con el objetivo de mostrar la ciencia en acción.

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hipOtesis

Con el nombre de Hipótesis hemos querido enfatizar también el repudio de la revolución científica a las verdades reveladas para explicar el mundo. En las ciencias naturales el término hipótesis se refiere a una conjetura tentativa que se somete a refutación, o se corrobora con 5 una mejor sustentación. Este concepto refleja cómo toda afirmación científica, lejos de ser dogmática, puede cederle el puesto a otra que explique mejor lo observado. En matemáticas, la hipótesis, como premisa o punto inicial de cualquier argumento lógico, revela la visión moderna de que todas sus afirmaciones son condicionales. La tesis de un teorema se cumple, si se cumplen las hipótesis y los supuestos básicos; y si se cambian los supuestos puede llegarse a otras conclusiones y teorías igualmente válidas. De esta manera, ciencia y matemáticas se refuerzan para negar el dogmatismo en la explicación de la naturaleza. Por lo contrario, al menos idealmente, con la razón entrenada, cualquiera es capaz de aportarle a la ciencia, y la validez de sus aportes los juzga la comunidad científica de acuerdo con la solidez de su sustentación. Con la revista queremos contribuir a esta democratización del conocimiento.

biO-notas

biO-notas por

Carlos Enrique Guarnizo

Estudiante de la maestría de biología.

Alexandra Delgadillo

Estudiante de las carreras de microbiología y de biología.

Amenaza ecológica

Rana catesbeiana

www.cortland.edu/herp/ keys/frogpix.htm

Rana terrible

Phyllobates terribilis

www.werther.dk/Dartfrog/ galleri.htm

La rana más venenosa del mundo vive únicamente en la cuenca del río Saijá, en el Pacífico colombiano y su nombre es Phyllobates terribilis. Su veneno es tan potente que antiguamente era utilizado por los indígenas emberas para envenenar los dardos de sus cerbatanas; por esto, muchas especies de este grupo también se conocen como ranas de dardo venenoso. El veneno está compuesto por un alcaloide denominado batracotoxina, el cual también ha sido encontrado en otros organismos como peces y aves, y está estudiándose en la actualidad con fines terapéuticos. Lastimosamente, esta rana está en peligro crítico de extinción.

Comunicación eléctrica

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Apteronotus albifrons

www.soma.npa.uiuc.edu/ labs/nelson/

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Cuando el ser humano introduce algún tipo de organismo en nuevos lugares, pueden presentarse efectos catastróficos para la fauna local. Éste es el caso de la rana toro (Rana catesbeiana) traída desde Norteamérica a Colombia, con el fin de desarrollar zoocriaderos y promover su consumo. Algunas de estas ranas lograron escapar y ahora son una amenaza, ya que se reproducen con mucho éxito y sus descendientes se alimentan de otras especies de ranas que sí son nativas. Si nada hacemos para acabar con la rana toro, podríamos perder muchas de nuestras especies autóctonas.

En los Llanos orientales de Colombia existen peces que usan pequeñas descargas eléctricas para comunicarse o para localizar su presa. Estas descargas pueden contener información sobre la especie, el sexo y el tamaño del individuo que las produce. La probable razón de esta característica es que estos peces habitan aguas muy rápidas o muy oscuras, en donde la visibilidad es escasa. No hay que confundir estos peces con otros, como las anguilas eléctricas, que usan descargas más fuertes para defenderse o para atrapar a su presa.

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Mimetismo mata-mata

Chelus fimbriatus www.acquariofiliaitalia.it/ anfibirettili/236.html

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Las tortugas mata mata (Chelus fimbriatus), que habitan en el Amazonas y los Llanos, son carnívoras pero no poseen dientes. Sólo esperan mucho tiempo bajo el agua y luego, súbitamente, abren la enorme boca y succionan como una potente aspiradora a los peces que pasan por el frente de ellas. Los peces no las ven porque tienen un caparazón con apariencia de hojas o piedras en el fondo del agua, lo que les permite camuflarse.

Control biológico

Bacillus thuringiensis: sporos y cristales de toxina www.helios.bto.ed.ac.uk/ bto/microbes/bt.htm

Simbiosis vegetal

Amanita muscaria

www.dipbot.unict.it/funghi_etna/ photogallery/

Como una estrategia para crecer en lugares que resultan pobres en nutrientes, muchas plantas han desarrollado asociaciones con hongos del suelo denominadas micorrizas. Dentro de los beneficios que reciben las plantas se encuentra una mayor tolerancia frente a factores estresantes como sequías, exceso de viento y organismos patógenos. En la sabana de Bogotá es posible observar una de estas asociaciones entre un pino y un hongo denominado Amanita muscaria, especie venenosa para el ser humano, pero muy benéfica para los pinos.

Tuberculosis en Colombia

Bacterias petroleófagas

Cuando se realizan excavaciones en pozos petrolíferos, generalmente se producen derrames que causan efectos nocivos en el medio ambiente. Actualmente se conocen microorganismos que son capaces de degradar el petróleo utilizando los hidrocarburos como fuente de carbono. Algunos de estos microorganismos han sido aislados de suelos contaminados y luego cultivados en laboratorio. En estos cultivos se ha hallado que la concentración de contaminantes disminuye hasta en el 100 %. En Colombia, el CIMIC (Centro de Investigaciones Microbiológicas) de la Universidad de los Andes investiga en esta área.

Bioplásticos

Doe Joint Genome Institute www.jgi.doe.gov/ JGI_microbial/ html/.

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Es posible producir plásticos a base de microorganismos. Estos bioplásticos, completamente degradables, presentan características muy similares a las de los plásticos utilizados convencionalmente. Dentro de los microorganismos productores se encuentra la Azotobacter sp., una bacteria común en los suelos colombianos. Esta bacteria, que se alimenta de melaza de caña de azúcar (un residuo del proceso de elaboración de azúcar y panela), puede cultivarse en grandes tanques (fermentadores) y, en condiciones especiales, puede almacenar sus biopolímeros (plásticos) como reservas, de modo análogo como los mamíferos almacenan grasas.

Mycobacterium tuberculosis www.faperj.brinterna.phtml?obj_id=421).

Según datos recopilados en el 2002 por el Instituto Nacional de Salud, en Colombia se presentan aún cerca de 10000 casos anuales de tuberculosis. Esta enfermedad, causada por la bacteria Mycobacterium tuberculosis se llama, también, la enfermedad de la pobreza por presentarse comúnmente entre habitantes de escasos recursos económicos. Esta bacteria se propaga por el aire, cuando la persona infectada tose, estornuda o habla, y el aire liberado es respirado por otra persona. Los principales síntomas son cansancio constante, pérdida de peso, tos persistente, fiebre, sudoración nocturna.

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Azotobacter

Bacillus thuringiensis, una bacteria presente en suelos colombianos se utiliza para controlar insectos plaga de cultivos agrícolas. Este microorganismo produce una toxina que actúa en el intestino de las larvas de escarabajos conocidas como chisas que atacan, entre otros, los cultivos de papa. Cuando las larvas se alimentan de hojas rociadas con esporas de Bacillus thuringiensis, éstas pueden penetrar en su cuerpo y causar una infección generalizada.

práctica

química practica

quimic

por

Efraín Ruiz

Profesor asociado del Departamento de Química.

El pH o potencial de hidrógeno

El término pH se utiliza hoy día en contextos que van desde la cosmetología hasta la ecología. El potencial de hidrógeno o pH de una sustancia es una medida de su acidez o alcalinidad.

Las sustancias ácidas se reconocen por su sabor ácido característico; además, por liberar iones H + cuando se encuentran en solución, son electrolitos (conducen la corriente eléctrica) que aceptan electrones o ceden protones. Entre los ácidos más comunes se encuentran el ácido cítrico de las frutas, el vinagre (ácido acético), el ácido carbónico en las bebidas carbonadas y el ácido láctico del yogur. Las sustancias alcalinas o bases se reconocen por su sabor amargo y por ser resbalosas al tacto; además, liberan iones OH- cuando se encuentran en solución, al ser electrolitos que ceden electrones o aceptan protones. Ejemplos de bases son los jabones, detergentes, la lejía (NaOH) y el amoniaco en solución. Los ácidos reaccionan con las bases para producir sales, neutralizándose así la acidez aquéllos y la alcalinidad éstas1 . Como lo muestra la figura 1, el pH se mide según una escala que va de 0 a 14, donde el punto neutro es 7 (agua pura). El pH superior a 7 corresponde a sustancias alcalinas o básicas y el inferior a 7 a sustancias ácidas. La figura 1 también registra la relación entre la medida del pH y la concentración de iones H+, así como su relación inversa con el pOH o potencial de hidróxido (OH -).

hipOtesis

Figura 1

Relación de pH, pOH y concentración de H + y OH www.avantel.net/~arbolag/ph.htm

Técnicamente, se dice que la escala del pH es una escala logarítmica2. En efecto, según la figura 1: pH = -log([H+])

donde la notación [H+] representa la concentración molar de H+ 3.

Así, si la concentración de H + es muy baja, como le correspondería a una sustancia alcalina, por ejemplo [H+] = 1x10-13 = 0,0000000000001 moles,

el pH será menos el logaritmo en base 10 de este número, es decir, 13. En el agua neutra, muy pocas moléculas de H2 O se disocian en H + y OH - y la concentración de iones de ambos tipos es la misma, e igual a 1x10-7 a los 25 ºC. Para conocer el pH de una sustancia, la manera más precisa es con un pH-metro, que mide el potencial generado en un electrodo sensible a la concentración de iones H+. También existen papeles y líquidos que cambian de color según el pH de la sustancia, como los tornasoles y la fenolftaleína. Un reactivo casero para medir la acidez es el agua de repollo morado o rojo (obtenida al cocinar el repollo rallado en agua hasta que el agua tome un color morado intenso). Esta agua puede usarse en expe-

Figura 2

pro

www.miamisci.org/ph/hexplore1.html

rimentos con niños, pues no es tóxica, y toma una gama de colores, según el pH, similar a la figura 2.

En los cuerpos naturales de agua, por lo general, se encuentran valores de pH que fluctúan entre 4,5 y 9,0, dependiendo de la presencia de carbonatos o bicarbonatos. Un pH demasiado alto o bajo puede ser indicio de contaminación agrícola o industrial.

1. Las sustancias muy ácidas o básicas no deben probarse ni tocarse porque son muy tóxicas y abrasivas.

2. Las escalas logarítmicas son muy económicas. En este caso, en lugar de tener una escala de concentración de iones entre 0,00000000000001 y 1, se tiene una escala entre 0 y 14. 



3. Por las propiedades del logaritmo, también puede definirse el potencial de hidrógeno como: pH = log  +  , es decir, el logaritmo  [H ]  del inverso de la concentración molar de H +.

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problemas

pr r

rompecabezas blemas

mpecabezas por Carlos Montenegro

Profesor asociado del Departamento de Matemáticas.

Siempre se ha afirmado que los juegos de niños entrenan para la vida futura como adulto. Para los futuros matemáticos, este entrenamiento vital se reduce a resolver problemas y rompecabezas. Es un reto que para muchos se convierte en adicción, probablemente porque el cerebro libera algún tipo de epinefrina cuando descubre la solución. Es una modalidad de viaje muy económica y saludable, pues agudiza la razón, y un juego al que los matemáticos nunca renuncian, ni viejos. Para los iniciados, sobra una introducción más extensa de esta sección de la revista. A continuación se proponen tres problemas en niveles ascendentes de dificultad. Pueden comunicar sus soluciones a Carlos Montenegro, cmontene@uniandes.edu.co; también pueden enviarle más problemas.

Problema 2

Doblar mapas es un reto para todos. Doble por las líneas de la figura 3 hasta lograr un cuadrado de 1x1 de tal forma que se pueda elaborar el plegable que muestra la figura 4.

Figura 3

Problema 1

Este es un antiguo problema que tiene tres soluciones distintas. Disponga seis monedas según la figura 1.

Figura 1

En cuatro movimientos, se desea obtener la configuración que muestra la figura 2.

Figura 2

Cada una de las monedas sólo puede deslizarse sobre la mesa; al ponerlas en la configuración, deben tocar dos monedas de la configuración y al mover una moneda, no se pueden mover otras. La curiosidad de este problema radica en que muchas personas no lo pueden hacer, incluso después de mostrarles la solución.

oblemas Figura 4

Un reto adicional para este problema:

¿de cuántas formas distintas puede quedar doblado este plegable?

& rompecabezas 9

El siguiente es un juego entre dos jugadores. De un montón de piedras se retiran 1, 2 ó 3 en cada turno (lo que quiera hacer el jugador en su turno). Se alternan turnos hasta que se agoten las piedras del montón. El jugador que gana es quien termine con un número impar de piedras. Suponga que se juega con 15 piedras: a. Decida si es mejor jugar primero o segundo. b. ¿Cuál sería una estrategia ganadora?

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hipOtesis

Problema 3

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Detalle del fractal de Mandelbrot

hipOtesis Tomado de: The Beauty Of Fractals. p. 77, mapa 25.

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i scar Bernal OESTUDIANTE

La conexiรณn

Sierpinski

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Encuentros entre fractales y otras รกreas de las matemรกticas

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La figura que resulta cuando el número de pasos tiende a infinito es el triángulo de Sierpinski

Los fractales están de moda L

os fractales están de moda. Aunque su origen es bastante anterior, su auge comenzó con el advenimiento de los computadores y con el trabajo en la década del setenta de Benoit Mandelbrot, un francés de origen polaco que trabaja en los Estados Unidos. El asunto rápidamente atrajo la imaginación de muchos no iniciados en matemáticas, por la belleza de sus figuras y porque prometía un futuro brillante y vistoso. Ya ha sido utilizado en la compresión de imágenes digitales, con cierto éxito. Pero lo que más inspira es cómo un sistema que parte de unos principios muy sencillos puede manifestar tanta complejidad y en ocasiones parecerse tanto a la naturaleza. La posibilidad de obtener modelos matemáticos de fenómenos complejos de la realidad ha hecho que esta área sea de las más investigadas actualmente en matemáticas. Sin embargo, la intención de este artículo no es mostrar las aplicaciones de los fractales en otras disciplinas sino examinar cómo se manifiestan dentro de las mismas matemáticas.

El triángulo de Sierpinski, uno de los fractales más conocidos, está construido con base en triángulos puestos de manera que al magnificar la visión en un área de la figura se tendrá una vista muy similar a la que se tenía antes de ampliarla. Esta característica de autosemejanza es una de las que definen a los fractales. Resulta que este famoso triángulo aparece en situaciones matemáticas diferentes de la que le dio su origen a principios del siglo XX. El profesor Ian Stewart, de la Universidad de War wick (Inglaterra), en el artículo Four encounters with Sierpinski s Gasket [1], muestra cómo aquél es consecuencia natural en va rias ramas de las matemáticas, dejando en claro, de paso, que éstas no pueden considerarse aisladas y no pueden estudiarse de forma totalmente independiente, pues la interdependencia permea a todas las matemáticas. Para ubicarnos dentro del contexto se comenzará con una definición del triángulo de Sierpinski, la misma dada por Sierpinski en un artículo publicado en Comptes Rendus, en 1915. El fractal se construye como sigue: se toma un triángulo equilátero relleno y se elimina el triángulo que tiene por vértices los tres puntos medios de los lados 1 , dejando tres triángulos más pequeños rellenos después del proceso. Para cada uno de esos triángulos se realiza una operación idéntica y se procede iterando infinidad de veces. La figura que resulta cuando el número de pasos tiende a infinito es el triángulo de Sierpinski.

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Figura 1

En la figura 1 se muestran el triángulo inicial y cuatro pasos de construcción del triángulo de Sierpinski. Cuando la cantidad de pasos en el proceso tiende a infinito, el triángulo toma un aspecto semejante al de la figura 2.

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Figura 2

El triángulo de Sierpinski y las torres de Hanoi El análisis de la similitud entre el triángulo de Sierpinski y el juego de las torres de Hanoi muestran las matemáticas que pueden estar escondidas tras un pasatiempo aparentemente de nivel infantil. El juego tiene un trasfondo religioso que se refleja en la siguiente leyenda: En el gran templo de Benares, bajo la cúpula que marca el centro del mundo, se encuentra una bandeja de bronce en la que están fijas tres agujas de diamante con el grosor del cuerpo de una abeja. En una de las agujas, al momento de la creación, Dios colocó sesenta y cuatro discos de oro puro, el más grande descansando sobre la bandeja y los otros haciéndose cada vez más pequeños hasta quedar el menor en la parte superior. Ésta es la torre de Brahma. Día y noche, sin descanso, los monjes del templo transportan los discos de una de las agujas a otra en un proceso acorde con las inmutables leyes de Brahma, que indican que no se moverá más de un disco a la vez, y que el disco que esté moviéndose debe colocarse en otra de las agujas de modo que no haya ningún disco de tamaño menor bajo él. Cuando los sesenta y cuatro discos hayan sido transferidos de esta forma, desde la aguja en la cual los colocó Dios al momento de la creación a otra cualquiera de las agujas, en el mismo momento que se coloque el último de los discos en la pila, torre, templo y monjes se desvanecerán en una nube de polvo, y con un relámpago el mundo se desvanecerá con ellos.

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1. Está asumiéndose la definición más sencilla, porque no es requisito que los vértices del segundo triángulo sean los puntos medios de los lados del primero.

M. de Parville La nature, 1884

La leyenda, además, describe la mecánica del conocido juego llamado Las torres de Hanoi. Hoy día, existen muchas versiones para computador como la que aparece en <http:// www.mazeworks.com/hanoi/>. Tranquiliza obser var que aun si la leyenda fuese cierta, al mundo le restan todavía más de quinientos mil millones de años, asumiendo que se logre mover un disco cada segundo. La razón de estos cálculos es la siguiente: si la torre de Brahma tuviera un solo disco, se necesitaría un solo movimiento. Si tuviese dos discos, se necesitaría mover primero un disco (un movimiento), después mover el disco inferior para luego mover nuevamente el primer disco (un movimiento más), para un total de 1 + 1 + 1 = 3 movimientos. Si tuviese tres discos, primero habría que mover dos de ellos a otra aguja (tres movimientos como lo acabamos de ver), después mover el tercer disco y por último volver a mover los dos menores encima del tercero (tres movimientos más), para un total de 3 + 1 + 3 = 7 movimientos. Como se puede ver fácilmente, para completar los movimientos necesarios en una torre de m discos se debe hacer dos veces el proceso de traslado de los m - 1 discos menores, haciendo en la mitad el movimiento de traslado del disco mayor. Así, si llamamos J m el número de movimientos para la torre de m discos, tenemos:

J m= 2 J m-1 +1 = 2 (2 J m-2 +1) +1 = 2 (2 (2 J m-3 +1) +1) +1 .= 2 m-1J 1 + 2 m-1 -1. Lo que unido a la condición J 1 = 1 determina que J m = 2 m - 1. De esta forma, para la torre de Brahma descrita en la leyenda se necesitarían 2 64 - 1 movidas, es decir, 18.446.744.073.709.551.615 traslados. Esto, suponiendo que pueda realizarse exactamente un movimiento por segundo, equivale aproximadamente a quinientos ochenta y cuatro mil millones de años. Si se consideran acertadas las mediciones que calculan la edad del universo en quince mil millones de años, aún restan muchos miles de millones de años de existencia del mundo. Para establecer la relación entre las torres de Hanoi y el triángulo de Sierpinski es bueno observar la figura 3.

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Los dos primeros dibujos muestran las posiciones de los tres discos en las diferentes torres. Dos posiciones están unidas por una línea si se puede pasar de una a la otra con un movimiento. Los dos últimos dibujos muestran cómo se obtiene, a partir del primero, lo que llamaremos grafo de Hanoi de orden dos (en anaranjado), un grafo 2 con 9 vértices representados por círculos, cada uno de los cuales tiene una posible configuración dentro del juego de las torres con dos discos. En él, dos vértices están conectados si y solamente si se puede llegar de una configuración a la otra en un solo movimiento. El tercer dibujo muestra la relación entre el triángulo de Sierpinski en su segundo paso con el grafo de Hanoi de orden dos.

Figura 3

2. Un grafo es una figura compuesta de vértices y arcos que conectan pares de vértices.

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En general, puede construirse el grafo de Hanoi de orden n, que representa en cada uno de sus vértices una de las posibles configuraciones de los discos en el juego de n discos. Para el grafo de orden n + 1, lo único que se necesita hacer es unir tres grafos de orden n para formar un triángulo, con el grafo de orden n de la parte superior como está, el de la parte inferior izquierda rotado 120° en sentido horario y el de la parte inferior derecha 120° en sentido contra horario. Hecho esto, al grafo superior se le agrega un disco mayor en la parte inferior de la columna 1, al grafo inferior izquierdo un disco mayor en la segunda columna y al grafo inferior derecho un disco mayor en la tercera columna. La figura 4 muestra la relación entre el triángulo de Sierpinski y los grafos de Hanoi de orden tres y cuatro (sin mostrar los discos dentro del grafo de Hanoi para mayor claridad). El grafo de Hanoi de orden tres se compone de tres copias unidas del grafo de orden dos, como se había advertido, mientras que el de orden cuatro se obtiene con tres copias del de orden tres.

Figura 4

Una forma más simple de considerar el grafo de Hanoi (que de paso simplifica la aplicación computacional del juego) es considerar cada configuración como una cadena de longitud n cuyos caracteres son 1, 2 y 3, donde el primer carácter representa la torre en la que está puesto el disco de mayor tamaño, el segundo carácter la torre en la que está puesto el segundo disco de mayor tamaño y así sucesivamente. Por ejemplo, si el grafo es de orden 6, 233212 representa la siguiente posición de los discos en las torres: · En la primera torre sólo está el disco número cinco en tamaño de mayor a menor. Esto está indicado por que el 5° carácter es un 1.

· En la tercera torre están el segundo disco y el tercero.

Figura 5

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· La segunda torre tiene: en la posición de abajo, el disco número uno (el mayor de todos), luego le sigue e l número cuatro y después e l nú mero seis (el menor de todos).

De esta manera, cada cadena de números representa una única configuración de discos y, viceversa, cada configuración tiene una sola representación en cadena de números. Además, como sólo puede moverse un disco cuando todos los discos más pequeños que él estén en una misma pila en una torre diferente a la del disco en cuestión, sólo puede cambiarse un carácter cuando todos los caracteres que están a su izquierda sean iguales entre sí, pero diferentes a él. Así, por ejemplo, el primer carácter de la cadena siempre puede cambiarse, y el segundo carácter se puede cambiar cuando el que está a su izquierda es diferente a él. Con esta regla, se establece una codificación computacional sencilla que corresponde a las movidas permitidas. Un ejemplo de cadenas para tres discos, con movidas permitidas, se representa en la figura 5. Asimismo, las cadenas de números de las figuras 3 y 4 mantienen estas reglas de representación.

Una de las aplicaciones más importantes que ha tenido la interacción entre los grafos de Hanoi y la construcción del triángulo de Sierpinski es que a través de esta similitud se ha logrado calcular la distancia promedio entre dos puntos cualesquiera del triángulo de Sierpinski cuyo lado mide 1. Este resultado se obtuvo de la siguiente afirmación acerca de los grafos de Hanoi que, según la referencia [1], ha sido sustentada independientemente por los matemáticos Andreas Linz y Hat-Tun Chan: Si se suma el número de pasos de los caminos mínimos entre todas las posibles parejas de vértices en un grafo de Hanoi de grado n, el total es:

(

)

(

)

466 n 1 n 3 n  12 18 18    1  12  1 18 − 9 − 3 +  + 17   5 + 17  +  − 17   5 + 17  885 3 5  59 1003  2  59 1003  2  

3n 

Dividiendo por el número total de parejas de vértices del grafo, que son  2  se obtiene la longitud prome  466 dio de los caminos 3 . Este promedio tiende asintóticamente a 885 2 n. Ahora, como un paso en el grafo de Hanoi corresponde a una distancia de n1 en el triángulo de Sierpinski, al multiplicar estos dos valores, en el límite 2 −1 cuando n tiende a infinito, se obtiene que la distancia promedio entre dos puntos cualesquiera del triángulo de Sierpinski es 466

885

Éste es un resultado que sólo ha sido obtenido a través de los grafos de Hanoi, lo que destaca aún más la importancia de su interrelación.

El triángulo de Sierpinski y el triángulo de Pascal El triángulo de Pascal es una figura conocida del bachillerato que muestra los coeficientes del polinomio que se obtiene al expandir el binomio (a + b) n. Cada uno de los números del triángulo de Pascal lleva el nombre de coeficiente binomial, acompaña al término en a mb n-m en el polinomio y depende tanto de n como de m. La manera como se construye es la siguiente: se comienza con 1 en el vértice superior y en los dos lados del triángulo adyacentes a este vértice; estos unos corresponden a los coeficientes de a n y de b n comenzando con n = 0 en el vértice. En la tercera línea de coeficientes aparece un 2 en el centro, que es la suma de los dos coeficientes que se encuentran inmediatamente encima en el triángulo y corresponde al coeficiente 2 en la expansión a 2 + 2ab + b 2 de (a + b) 2 . De la misma manera se construyen las líneas siguientes sumando, para cada posición, los dos coeficientes inmediatamente encima.

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La figura 6 muestra un triángulo de Pascal (para las potencias, n, de 0 a 7) en el cual se han encerrado en un pequeño triángulo azul todos los coeficientes binomiales impares y se han dejado sobre el fondo blanco los coeficientes pares. Inmediatamente salta a la vista su relación con el triángulo de Sierpinski.

Figura 6

Para explicar esta similitud basta mirar lo que sucede después de una línea en la que todos los coeficientes son impares (como la que contiene 1, 3, 3, 1). En la línea siguiente, al sumarse dos impares aparecerán sólo pares con la excepción de los extremos (1, 4, 6, 4, 1). Aquí comenzará un triángulo blanco que irá estrechándose porque la suma de impar con par en los extremos es impar hasta que de nuevo queden sólo impares.

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De esta manera, después de la última línea que se muestra en la figura anterior sigue una línea que fuera de los unos en los extremos tiene siete coeficientes pares, iniciando un nuevo triángulo blanco, mayor que el anterior, que termina en la fila 15. Este tipo de fenómeno ocurre también cuando hay fragmentos con sólo impares en una fila. Una explicación más rigurosa de este resultado puede darse con el si guiente corolario al teorema de correspondencia de Lucas, donde se debe utilizar p = 2 para este caso 4 . Corolario.

Si p es un número primo, y m y n son dos números enteros positivos que se escriben como m k m k −1 L m1 m0 y n k n k −1 L n1n 0 en base p, entonces k n  n p divide a ∏  i  si y sólo si p divide a   i =0

 mi 

 m

Fractales, topología y análisis El triángulo de Sierpinski fue inventado en 1915 en un afán que existía en ese entonces por extender el concepto de curva a su máxima generalización. Se buscaban ejemplos de curvas que fueran continuas en todos sus puntos p e r o q u e n o f u e r a n d e r i v a b l e s e n n i n g u n o . E n e s t a b ú s queda se encontraron curvas extrañas que rellenaban re giones del plano de manera a tener área. Uno de los alumnos más dedicados de Sierpinski, Mazurkiewicz, se ideó el que hoy se llama tamiz (o tapete) de Sierpinski en el cual la frontera o borde de la figura es una curva de Jordan, una curva simple cerrada, topológicamente equivalente a una circunferencia. En la figura 7 se presenta el tamiz con su versión tridimensional y la del triángulo, conocidas como esponja de Menger y Tetrix o tetraedro de Sierpinski [2].

Tetrix de Sierpinski

hipOtesis

Tamiz de Sierpinski

Esponja de Menger

n

3. El término  m  representa al (m+1)-ésimo coeficiente binomial de la fila n en el triángulo   de Pascal. Se usa la convención de que el coeficiente binomial vale cero si m y n no cumplen la desigualdad 0 ≤ m ≤ n . Si la cumplen, se puede mostrar que  n  = n!  m  m! (n − m)! donde n! = n(n-1)(n-2)(n-3) 3 2 1. 4. El teorema de correspondencia de Lucas parte de las mismas hipótesis de este corolario, k pero su conclusión es más fuerte: p divide a ∏  ni  =  n  i=0

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 mi 

m

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Figura 7

Fractales tomados de: The Beauty Of Fractals. p. 84, mapa 42; p. 82, mapa 38; p. 85, mapa 44 y p. 83, mapa 40.

Estas investigaciones, como también las efectuadas alrededor de 1920 por Gaston Maurice Julia sobre la iteración de funciones polinómicas y racionales, cayeron al olvido por cerca de 50 años hasta que fueron revividas por Mandelbrot en otro contexto; con lo que podemos citar el adagio popular: Nadie sabe para quién trabaja . La iteración de funciones de Julia genera una infinidad d e f r a c t a l e s l l a m a d o s c o n juntos de Julia. Son, sin duda, los más bellos, como también el fractal de Mandelbrot del cual se muestran detalles en la figura 8.

más siste

Existen muchas otras conexiones del triángulo de Sierpinski y de los fractales, en general: con teoremas de punto fijo, con iteraciones aleatorias, etcétera. Sin duda, la conexión más estrecha ha sido con los sistemas dinámicos caóticos, pero eso sería tema de otro artículo.

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La iteración de funciones de Julia genera una infinidad de fractales llamados conjuntos de Julia. Son, sin duda, los más bellos 18

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Figura 8 Cuatro detalles del Fractal de Mandelbrot

รกs estrecha ha sido con los stemas dinรกmicos caรณticos

hipOtesis

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Referencias

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[1]

Stewart, Ian. Four Encounters with Sierpinski s Gasket . The Mathematical Intelligencer, 17, 1: 52-64 (1995).

[2]

Bourke, Paul. Sierpinski Gasket. March, 1993. <http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/gasket/>

[3]

Mazeworks. Towers of Hanoi . <http://www.mazeworks.com/hanoi/>

[4]

Donahue, Manus J. III. An Introduction to Mathematical Chaos Theory and Fractal Geometry . <http://www.duke.edu/~mjd/chaos/chaos.html>

[5]

Mendelson, Jonathan and Blumenthal, Elana. Chaos Theory and Fractals . <http://www.mathjmendl.org/chaos/ >

[6]

Softology Julia Set Fractal Galery . <http://www.softology.com.au/galleryjulia.htm>

[7]

Peitgen, H. O. y Richter, P. H. The Beauty Of Fractals. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo, 1986.

Reseña del Autor Oscar Bernal Es estudiante de último año de la carrera de matemáticas. Su encuentro más cercano con los fractales ha sido a través del curso Temas de fractales de la profesora Luz Myriam Echeverry.

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Horno de carbonización activación

Ju Ma no rCe anrol oP.s PROFESOR ASOCIADO DEPARTAMENTO DE QUÍMICA

hipOtesis

CarbOn activado:

un enigma de miles de metros cuadrados

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hipOtesis

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La utilización de materiales c L

a utilización de materiales cuya estructura fundamental son átomos de carbono data de tiempos prehistóricos. Estos materiales se encuentran en estado mineral o como producto de la combustión de diversos materiales. Actualmente se conocen cuatro formas alotrópicas del carbono según su estructura cristalina: el carbono amorfo, el grafito, el diamante y los fulerenos. Estos últimos constituyen una novedad, con 60 átomos enlazados como las costuras de una pelota de fútbol, con un prometedor futuro en la nanotecnología, ciencia muy reciente 1 que se ocupa de la fabricación de aparatos de escala atómica o molecular.

El uso del carbono para purificar o filtrar es también muy antiguo. Los antiguos hindúes lo usaron para filtrar el agua y los egipcios lo utilizaron como antiséptico. Las propiedades purificadoras del carbono se refieren específicamente a ciertas estructuras del material que denominamos carbón activado. Su uso hoy día se encuentra muy extendido en: filtros de las campanas extractoras de olores en casas; filtros de seguridad industrial; convertidores catalíticos de los automóviles; trajes térmicos y militares; partes para aviones militares; partes para elementos deportivos como bicicletas, patines, etcétera. Actualmente se producen cientos de tipos de carbón activado para un número similar de aplicaciones. Este versátil material se obtiene de carbones minerales o de material vegetal con alto contenido en carbono fijo. Debe su aplicación a dos fenómenos de superficie: su alta porosidad y la existencia de grupos químicos superficiales que le permiten una interacción tanto física como química con un sinnúmero de moléculas. El carbón activado es un material carbonáceno no grafitizable que luego del proceso de obtención posee una vasta red de poros que le confiere una gran área superficial y capacidad de volumen. Las impurezas o materiales que se desea filtrar se adhieren a la extensa superficie del interior de los poros mediante un proceso llamado adsorción; el carbón activado se llama entonces el adsorbente y el material adherido, el adsorbato.

hipOtesis

Un esquema que permite visualizar la estructura del carbón activado y elucidar sus propiedades es la estructura propuesta por Oberlein (véase figura 1) [1]. Por cada gramo de carbón activado, el volumen total de los poros es generalmente mayor de 0,2 cm 3 mientras que el total de su área superficial es mayor que 400 m 2 . El diámetro de los poros fluctúa de 0,3 a varios miles de nanómetros. Es justamente la diferencia en el tamaño de los poros lo que hace de éste un material tan interesante y genera así un área de estudio en continuo progreso. Según la IUPAC (Internacional Union of Pure and Applied Chemistry), los poros en un carbón activado, de acuerdo con su tamaño, pueden clasificarse así [2]:

1. El premio Nobel de química por el descubrimiento de los fulerenos fue otorgado en 1996 a Robert Curl y Richard Smalley de EE.UU. y Sir Harold Kroto, de Gran Bretaña.

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M ICROPOROS : son poros cuyo radio medio es menor a dos nanómetros (r < 2 nm). Una clasificación más precisa la diferencia entre microporos estrechos (inferiores a 0,2 nm) y microporos amplios (de 0,7 nm a 2,0 nm). En ellos se realiza propiamente el fenómeno de adsorción.

Figura 1

M ESOPOROS : son poros cuyo radio medio está comprendido entre dos y cincuenta nanómetros (2 nm < r < 50 nm). En el caso de adsorción de moléculas pequ eñas, los mesoporos se comportan como canales para el transporte del adsorbato hacia los microporos.

s cuy Figura 1a Estructura de un carbón activado, según Oberlein. La estructura se compone de láminas de grafito que se entrelazan formando un enrejado que deja entre cada pared poros de diverso tamaño.

M ACROPOROS : son poros cuyo radio es superior a 50 nanómetros (r > 50 nm). No son importantes para el proceso de adsorción en la mayoría de los casos; sin embargo, su importancia se debe a la capacidad que le imparten al carbón activado de poseer un alto grado de accesibilidad de sustancias químicas, lo que identifica a los macroporos como poros alimentadores de moléculas de adsorbato.

a estructura fundam Los poros se ramifican como lo muestra la figura 2, a manera de árbol: el tronco corresponde a los macroporos, las ramas que salen del tronco son los mesoporos y aquellas diminutas ramillas que conducen hasta las hojas son los microporos. El grado de desarrollo de la porosidad y sus características son función de la estructura del material inicial utilizado, de la presencia de impurezas inorgánicas catalíticas en el carbón, del agente activante que se usa, de la temperatura y duración de la activación y del tamaño de las partículas de carbón.

Figura 2 Distribución de poros en un carbón activado [3].

Figura 1b. Microfotografía tomada a través de un microscopio electrónico de un grano de carbón activado www.ars.usda.gov/is/AR/archive/sep99/carb0999.htm

Aunque la porosidad es la principal razón por la cual el carbón activado presenta una alta capacidad de retención, la composición química desempeña igualmente un papel importante en el comportamiento de la adsorción. Invariablemente, al carbón activado se le asocian átomos de otros elementos, especialmente oxígeno, llamados heteroátomos. Estos heteroátomos modifican la superficie química del carbón, influenciando las interacciones adsorbato -adsorbente y, por tanto, las propiedades adsortivas.

hipOtesis

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Obtención de un carbón activado Para obtener un carbón activado se parte de un precursor que puede ser un carbón mineral o un material lignocelulósico (es decir, leñoso) con alto contenido de carbono. Las características del material de partida constituyen variables que al final van a determinar las características del carbón activado y sus posibles aplicaciones. La obtención se lleva a cabo en dos grandes etapas: carbonización y activación, para las cuales se requiere el equipo 2 que se presenta esquemáticamente en la figura 3.

Figura 3 Esquema del sistema de carbonización-activación empleado en la Universidad de los Andes. El sistema de carbonización-activación está compuesto de un sistema de trampas para retener los compuestos que se generan durante la carbonización del material (básicamente alquitranes). Se destacan los siguientes componentes: 1. Trampas de soluciones de NaOH concentradas. 2. Trampa de baja temperatura. 3. Horno con atmósfera inerte de nitrógeno. 4. Bala de nitrógeno para proveer atmósfera del horno. 5. Sistema de captura de datos: programador de las rampas de temperatura. 6. Computador.

Carbonización La carbonización es un proceso de incremento de aromaticidad 3 y de eventual polimerización 4 del material a temperaturas por debajo de 1.000 oC, en ausencia de oxígeno, que involucra la descomposición térmica del material eliminando las especies no carbonadas y produciendo una masa de carbono fijo con una estructura de poro rudimentaria [6,7].

hipOtesis

Los parámetros que deben controlarse du rante la carbonización, pues determinan la calidad y rendimiento del producto, son la velocidad de calentamiento, la temperatura final, el tiempo de permanencia de la temperatura de carbonización y la naturaleza y el estado físico del material.

2. Este equipo fue diseñado y construido en colaboración de J.I. Huertas del Departamento de I. Mecánica de la Universidad de los Andes, Alexander Valencia Alvarán, estudiante de maestría de la Universidad de los Andes y Liliana Giraldo del Departamento de Química de la Universidad Nacional de Colombia, dentro del convenio marco entre las dos universidades. 3. Propiedad química que resulta en una mayor estabilidad, consecuencia del enlace de los átomos en una estructura de anillo como en el benceno. 4. Proceso químico que genera como resultado sustancias de alto peso molecular.

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La activación química puede realizarse con la carbonización o despuésde esta.

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Activación física La activación física es el desarrollo de la porosidad por medio de la gasificación con un gas oxidante, como el vapor de agua, el dióxido de carbono, gases de combustión, el aire o una combinación de éstos, a una temperatura en el rango de 700 o C 1.100 o C. Para los tres primeros gases, el proceso es endotérmico, es decir, absorbe calor; es fácil de controlar y usado ampliamente. Con el aire, las reacciones son exotérmicas (producen calor) y por tanto es un proceso difícil de controlar [8].

Activación química La activación química puede realizarse con la carbonización o después de esta. El material se impregna con una solución concentrada o se mezcla físicamente con el agente activante, que en estos casos es un compuesto deshidratante u oxidante como los hidróxidos o cloruros metálicos (KOH, ZnCl 2, SnCl 2 , etcétera) y los ácidos fosfórico, sulfúrico o clorhídrico. La activación química se realiza generalmente a temperaturas entre 400 o C y 800 o C [9], después de la cual se remueve la solución. A este último proceso también se le dice lixiviación o lavado. A la temperatura de activación los agentes activantes pueden introducirse en la estructura y su posterior remoción crea una nueva porosidad interna. Por tanto, el área superficial del carbón activado, que puede ser despreciable antes del proceso de lixiviación, aumenta considerablemente al multiplicarse la estructura de poros después de la remoción de estos agentes activantes [3]. El producto obtenido, después de un lavado riguroso para extraer el reactivo, tiene las propiedades adsorbentes de un buen carbón activado [2]. Así, pues, la viabilidad del proceso de activación química depende de la recuperación del reactivo en los lavados seguido por el secado del carbón lavado. Algunas veces es interesante experimentar con una activación en una etapa. Este método de activación se fundamenta en que el reactivo, al estar mezclado íntimamente con el material de partida, altera el proceso de carbonización respecto al que ocurriría en ausencia de éste de forma que aumente el rendimiento del proceso y a la vez se desarrolle la porosidad [2]. Por otra parte, si se tiene en cuenta que el papel del reactivo es, de por sí, el hecho diferenciador respecto a un proceso de activación física, no es de extrañar que variables como la concentración de reactivo, tiempo y temperatura d e l a i m p r e g n a c i ó n , e s d e c i r, t o d o s a q u e l l o s factores que determinen la cantidad de reactivo q u e se va a incorporar al precursor durante la preparación serán determinantes en el desarrollo de la porosidad.

hipOtesis

La figura 4 muestra un horno de carbonización activación para laboratorio, de construcción local (asesorada por el INCAR) con una capacidad de 150 gramos. En la figura 5 se presenta un horno similar al anterior de marca Carbolite (inglesa), que puede funcionar horizontal o verticalmente, y tiene una mayor capacidad (500 gramos de material).

Figura 4 Horno de carbonización activación I Encuentre la Figura 5 en la página siguiente

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el grupo de investigación en sólidos porosos y calorimetría se propone llevar a cabo el desarrollo de carbones activados para retención de contaminantes

Figura 5 Horno de carbonización activación II

Caracterización del carbón activado Una parte importante dentro de la interacción de un carbón activado es su estructura química, la cual es función del precursor usado, la impregnación, la activación, así como del tiempo que ésta se extienda. La naturaleza y cantidad de los compuestos formados en la superficie del carbón son afectadas por su área superficial, tamaño de partícula y contenido de ceniza, lo mismo que la temperatura y el grado de carbonización [4,5]. 28

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Ésta es justamente la parte más interesante del mundo de los carbones activados, ya que un ligero cambio en una de las variables durante su síntesis ocasiona un cambio en sus características físicas y químicas y por ende su aplicación final. Las variables que intervienen son la temperatura tanto de carbonización, como de activación y la velocidad de calentamiento; el flu jo del gas inerte, el tipo y la cantidad del agente químico utilizado y el precursor de partida. Por esta razón, después de obtener un carbón activado experimentalmente, éste debe caracterizarse para ubicar su campo de aplicación, que va a depender del área superficial, de la forma y distribución de los poros, de la actividad química de superficie y de la capacidad de retención de diferentes tipos de moléculas.

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Con el propósito de conocer el contenido de grupos funcionales de oxígeno, se i utiliza la técnica de desorción térmica programada

El área superficial es una de las propiedades más importantes del carbón activado, pues indica la capacidad de retención, la cual constituye la más amplia de sus aplicaciones en la purificación de gases y líquidos. Esta área superficial se expresa generalmente en m 2 g -1 y cuanto mayor sea su valor, mayor la capacidad de adsorción. Para realizar la caracterización de área superficial se ha construido un equipo cuyo diseño fue suministrado por la Universidad de Alicante, en donde se pueden determinar cuatro isotermas de adsorción5 simultáneamente, y cuyos datos se capturan a través de un computador. El equipo se muestra en la figura 6.

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hipOtesis

5. Representación gráfica de la cantidad adsorbida de un adsorbato en función de la presión relativa.

el grupo de investigación en sólidos porosos y calorimetría se propo-

Figura 6 Equipo para determinar isotermas de adsorción.

Otra interacción importante que debe caracterizarse en los carbones activados es la de tipo químico, es decir, la que se produce gracias a la presencia, en la superficie del carbón, de grupos oxigenados que le confieren al material características ácidas o básicas y que ayudan a la retención de moléculas con cierta polaridad. Con el propósito de conocer el contenido de grupos funcionales de oxígeno, se utiliza la técnica de desorción térmica programada, proceso por el cual se eliminan ciertas sustancias utilizando calor para convertirlas en gas, que luego es analizado por un cromatógrafo de gases. Éste posee un detector de conductividad térmica (DCT) que acoplado a un horno permite la determinación de CO y CO 2 directamente relacionados con los grupos funcionales de superficie del carbón activado (véase figura 7).

Figura 7 Cromatógrafo de gases para la desorción térmica programada

Un análisis de grupos superficiales 6 , también se efectúa mediante el uso de técnicas de determinación de grupos fun cionales de tipo orgánico. La figura 8 muestra un moderno equipo infrarrojo FTIR al cual se le puede acoplar una celda de reflectancia difusa, que permite el estudio de muestras como materiales carbonosos.

hipOtesis Figura 8 FTIR con reflectancia difusa.

Finalmente, en la figura 9 se ilustra un diagrama de un microcalorímetro de conducción de calor con el cual pueden determinarse variables termodinámicas asociadas al mojado de los carbones [10], que a su vez pueden relacionarse con la energía superficial que se desarrolla cuando entran en contacto un sólido poroso, como el carbón activado, y una molécula específica en estado líquido o gaseoso.

6. Grupos químicos que suelen encontrarse sobre una superficie de carbón activado.

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Figura 9a Despieze del microcalor铆metro de conducci贸n de calor

Figura 9b Microcalor铆metro de conducci贸n de calor

hipOtesis

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En el Departamento de Química de la Universidad de los Andes ha venido construyéndose, en etapas iniciales, la infraestructura necesaria para obtener carbones activados del tipo granular y en polvo. A corto plazo, el grupo de investigación en sólidos porosos y calorimetría se propone llevar a cabo el desarrollo de carbones activados para retención de contaminantes derivados de fenoles y metales pesados, los cuales abundan en nuestros cuerpos de aguas, y a mediano plazo se espera desarrollar fibras de carbono activadas con el mismo objetivo. Para ello se ha logrado recibir asesoría para diseñar y construir equipos, con la colaboración española de los doctores Juan Manuel Diez-Tascón del Instituto Nacional del Carbón de Oviedo y Francisco Rodríguez-Reinoso del D e p a r t a m e n t o d e Q u í m i c a I n o r g á n i c a d e l a U n i v e r s i d a d d e A l i cante, a t r a vés de la Silla Sanford de la Facultad de Ciencias de la Universidad de los Andes. Hoy estos equipos permiten obtener carbones activados en el laboratorio del Departamento de Química y de llevar a cabo su caracterización, con la posibilidad de comprobar su validez con estos dos importantes laboratorios internacionales.

Referencias

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[1]

Stoeckli, H.F. Microporous carbons and their characterization: the present state of art . Carbon, 28: 1 (1990).

[2]

Sing, K.S.W., et al. Assessment of surface area in porous solids . Pure and Applied Chemistry, 57: 603 (1985).

[3]

Marsh, H. Heintz, E.A. and Rodriguez-Reinoso, F. (eds). Introduction to carbon technologies. Publicaciones de la Universidad de Alicante, Alicante, 1997.

[4]

Lahaye, J. and Ehrburger, P. (eds). Fundamental issues in control of carbon gasification reactivity. Kulver Academia, London, 1990: 533.

[5]

Figueiredo, J.L. and Moulin, J.A. (eds). Carbon and coal gasification. Martinus Nijhoff, Dordrecht, 1986.

[6]

Rodríguez Reinoso, F. and Molina Sabio, M.. Textural and chemical characterization of microporous carbons . Advanced Colloid Interface Science, 77: 271 (1998).

[7]

Rodríguez Reinoso, F., Garrido, J., Martín Martínez, J.M., Molina Sabio, M. and. Torregrosa, R Pre-adsorption method with n-nonane in activated carbons . Carbon, 27: 23 (1989).

[8]

González, M.T. Rodríguez Reinoso, F. and Molina Sabio, M. Exclusion measurements for gas adsorption and immersion calorimetry . Carbon, 32: 1407 (1994).

[9]

Elliot, M. Chemistry of coal utilization. John Wiley and sons, New York,1981.

[10]

Moreno, J.C. and Giraldo, L. Determination of the immersion enthalpy of activated carbon by microcalorimetry of the heat conduction . Instrumentation Science and Technology, 28(2): 171 (2000).

Reseña del Autor Juan Carlos Moreno Piraján Químico (1989) y doctor en ciencias-química (1997) de la Universidad Nacional de Colombia. Actualmente ejerce como profesor asociado y director del Departamento de Química de la Universidad de los Andes. Sus áreas de interés son los carbones activados y el desarrollo en calorimetría en las cuales trabaja en coordinación con el INCAR (Oviedo-España), Universidad de Alicante (España) y la Universidad Nacional de Colombia. Además, es punto focal para Colombia del CYTED (Programa Iberoamericano de Ciencia y Tecnología para el Desarrollo) de la sub-red V.F. (catalizadores y adsorbentes para la protección ambiental). jumoreno@uniandes.edu.co

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Ga b r i e l

Téllez

PROFESOR ASOCIADO DEPARTAMENTO DE QUÍMICA

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hipOtesis

jabOn

La física y las películas de

Una de las cosas apasionant U

na de las cosas apasionantes de las ciencias y en particular de la física, es que nos permite entender y explicar una gran variedad de fenómenos naturales. La física no sólo nos permite describir fenómenos exóticos que tengan o puedan tener aplicaciones tecnológicas importantes, sino también fenómenos naturales con los cuales nos encontramos todos los días. Un ejemplo son las películas de jabón. ¿Qué más natural que el jabón con que nos bañamos a diario? Sin embargo, al tratar de entender sus propiedades se puede aprender mucho de diversos campos de la física como la óptica, la termodinámica, la mecánica estadística y hasta la física matemática.

El jabón disuelto en agua, además de su función natural que es facilitar el lavado, reduce la tensión superficial del agua lo que posibilita la creación de burbujas y películas. Estas últimas han sido y son objeto de muchos estudios en física y matemáticas. En matemáticas, el problema de las superficies mínimas es inspirado muy de cerca por las burbujas de jabón que constituyen una realización natural de estos objetos matemáticos. Pero aquí quiero hablar más bien de sus propiedades físicas. Alguna vez, al observar una película o burbuja de jabón de lado, el lector habrá notado que ésta presenta unos colores muy llamativos, como lo muestran las figuras 1, 2 y 3. Este fenómeno lo estudiaron, entre otros, Newton y Hooke, hace ya más de tres siglos. Los colores no se deben a que el jabón tiña el agua sino a un fenómeno de óptica llamado interferencia. Antes de explicar en detalle este fenómeno, debemos primero saber cómo está constituida una película de jabón.

Figura 2 La misma película de jabón en la cual se creó una turbulencia al soplar sobre ella.

hipOtesis La película de jabón se ha dejado reposar unos segundos. La parte superior es ya muy delgada y se nota el fenómeno de creación de película negra.

Una película de jabón suspendida verticalmente muestra franjas con los colores de Newton. Cada color corresponde a un grosor de la película diferente, empezando por la parte de arriba que es la más delgada hasta la parte de abajo que es la más gruesa.

¿Qué es el jabón y cómo se forman las películas de jabón?

Figura 3

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Figura 1

La fórmula química de una molécula típica de jabón está representada en la parte superior de la figura 4. Aunque los detalles de la fórmula son importantes en química, para nuestros propósitos la representación de la molécula de jabón de la parte inferior de la figura 4 es suficiente. Lo importante para notar es que esta molécula tiene dos partes, una cabeza y una cola. Cuando el jabón está en forma sólida, no disuelta, la cabeza tiene un ion de sodio (Na + ). Al disolverse en agua, el ion de sodio, de carga positiva, se desprende. Queda la cabeza de la molécula de jabón, con carga negativa, que tiene tendencia a disolverse muy bien en el agua. Por el contrario, la cola de la molécula está compuesta de una cadena de hidrocarburos, es de constitución similar a las grasas y aceites y no se disuelve bien en el agua. Decimos que la cola es hidrófoba (no le gusta el agua) mientras que la cabeza

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es hidrófila (le gusta el agua). Una molécula con estas propiedades se la denomina anfipática.

Figura 4 La fórmula química de una molécula típica de jabón. La parte superior muestra la fórmula abreviada, luego sigue la fórmula más detallada en medio. Finalmente en la parte inferior, hay una representación gráfica de la molécula donde se muestra su particular forma: tiene una cabeza hidrófila y una cola hidrófoba.

Este comportamiento antagónico de las dos partes de la molécula típica de jabón genera propiedades muy particulares, empezando por su propiedad de agente de limpieza. Esto funciona así: una grasa es poco soluble en agua, de ahí la dificultad para limpiarla con sólo agua. Al agregar jabón en el agua, las colas de las moléculas de jabón que no les gusta el agua, pero sí las grasas, van a tener tendencia a rodear la grasa formando una especie de capa alrededor de ella, con las colas hacia la grasa (adentro) y las cabezas hacia el agua (afuera), como lo muestra la figura 5. Ahora tenemos ya no una masa de grasa sino una masa de grasa envuelta en jabón. Pero en la parte externa de este envuelto están las cabezas de las moléculas de jabón. Estas cabezas sí se disuelven bien en el agua, y así se logra disolver la grasa recubierta de jabón, lo que permite la limpieza.

Figura 5 El jabón en acción. La grasa, representada en verde se ve rodeada por las moléculas de jabón, con sus colas apuntando hacia la grasa y sus cabezas hacia el agua (afuera).

hipOtesis

El carácter anfipático de las moléculas de jabón explica también la formación de películas y burbujas de jabón. La figura 6 muestra un corte transversal de una burbuja de jabón. Una película de jabón tiene una estructura similar. Como se ve en la figura, la película es esencialmente una capa de agua rodeada de capas de jabón de lado y lado. Las cabezas de las moléculas de jabón están en contacto con el agua, por lo que son hidrófilas, mientras que las colas están al exterior

Figura 6 Un corte a través del grosor de una burbuja de jabón. Una película o burbuja de jabón está compuesta por una capa de agua rodeada de dos capas de moléculas de jabón.

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del agua hacia el aire, debido a su carácter hidrófobo. En el agua que está entre las dos capas de jabón se localizan los iones de sodio que liberaron las cabezas al disolverse el jabón, y también quedan algunas moléculas de jabón residuales que no se fueron a los bordes de la película.

Un poco de óptica Para entender los colores llamativos que presentan las películas de jabón, hay que hablar un poco de óptica. La luz, como lo sabemos desde finales del siglo XIX gracias a la teoría electromagnética de Maxwell, es una onda electromagnética. Existen muchos tipos de ondas electromagnéticas, como las ondas de radio y telecomunicaciones, las microondas (de los hornos), los rayos X y gamma, y la luz visible. Lo que diferencia unas de otras es la longitud de onda, es decir la distancia entre dos cres tas de las ondas. La luz visible tiene longitudes de ondas entre los 400 nm y 700 nm 1 . Entre estas longitudes de onda, cada una corresponde a un color de los que se ven en el arco iris, empezando por el rojo (700 nm) y descendiendo hasta el violeta (400 nm). La figura 7 muestra el espectro de luz visible. Una luz con longitud de onda bien determinada se llama una luz monocromática. La luz blanca no es monocromática; por el contrario, es policromática: está compuesta de todos los colores que aparecen en el arco iris.

Figura 7 El espectro de luz visible y las longitudes de onda correspondientes a cada color.

Supongamos primero que se ilumina una película de jabón con una luz monocromática. Recordemos que la película de jabón es esencialmente una doble capa. Una parte de la luz incidente va a ser reflejada por la primera capa (llamémosla onda 1) y otra parte por la segunda capa (onda 2). La luz reflejada total es la superposición de las dos ondas reflejadas. Pero estas dos ondas no necesariamente tienen sus máximos y mínimos coincidentes, ya que la onda 2 recorrió un camino mayor. Esto lo ilustra la figura 8. Decimos que las ondas están desfasadas.

Hay dos casos especiales: (1) si la onda 1 tiene sus máximos coincidentes con los mínimos de la onda 2, al sumarlos las dos se cancelan. No se obtiene luz. Decimos que hay interferencia destructiva (véase figura 9); (2) si los máximos de la onda 1 coinciden con los de la onda 2, al sumarlos obtenemos una onda de doble amplitud, y sí hay luz. Decimos que hay interferencia constructiva (véase figura 10). Lo que determina

hipOtesis

precisamente si hay interferencia destructiva o constructiva es cómo se compara el grosor de la película con la longitud de onda de la luz incidente. Para una película de grosor dado, algunas longitudes de ondas serán tales que haya interferencia destructiva y para otras constructiva.

Figura 8

1. Un nanómetro = 1 nm = 10 -9 m.

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La reflexión de una onda luminosa sobre una película de jabón. La onda se divide al ser reflejada por la parte anterior de la película y por la parte posterior. Las dos ondas que resultan interfieren.

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Figura 9 Dos ondas en oposición de fase interfieren destructivamente.

Figura 10 Dos ondas en fase interfieren constructivamente.

¿Qué pasa ahora si se ilumina la película con luz blanca? La luz blanca es una superposición incoherente de ondas de todas las longitudes de onda del espectro visible. Al ser reflejada por la película de jabón, algunas ondas sufrirán interferencia destructiva y serán eliminadas, mientras que otras persistirán porque pasaron por una interferencia constructiva. La luz que sale es una luz blanca a la que le faltan algunos colores: en realidad ya no es luz blanca, tendrá el color complementario de los colores que fueron eliminados por interferencia destructiva. Por ejemplo, si el grosor de la película es tal que se eliminó el rojo, el color que resulta en la película será un azul-violeta. El color de la luz reflejada depende directamente del grosor de la película de jabón. Con una tabla de los colores complementarios y la longitud de onda a la que corresponden (estos colores se llaman colores de Newton), uno podría determinar el grosor de la película con sólo obser var su color. En la práctica, en varios laboratorios del mundo en donde hacen experimentos con películas de jabón usan un método muy parecido a éste para medir el grosor de las películas, salvo que en vez de usar luz visible utilizan rayos X. Una película de jabón rara vez tiene un grosor uniforme, de ahí que se vea coloreada: cada color corresponde a regiones de la película de diferentes grosores. En la figura 1 la película está en posición vertical. Por efecto de la gravedad la parte superior de la película es menos gruesa que la inferior, de ahí que se vean franjas con los diferentes colores de Newton. La figura 2 muestra la misma película a la cual se le sopló. El aire soplado hizo que el grosor de la película ya no sea tan uniforme, de grueso abajo a delgado arriba, sino que creó algunas turbulencias que se notan en los colores de Newton correspondientes.

Figura 1

Si volvemos a la figura 8, el lector atento habrá notado que la onda reflejada sobre la primera capa de jabón fue invertida mientras que la reflejada sobre la segunda no lo fue. Éste es otro fenómeno de las leyes de reflexión. Cuando hay reflexión de un medio incidente con índice óptico menor (aire) que el medio que refleja (agua) hay una inversión de la onda. Así, si la película es muy delgada la diferencia de camino óptico entre las dos ondas es esencialmente debido al desfase por la reflexión. Como una onda fue invertida y la otra no, las dos van a interferir destructivamente. El resultado: el color negro de la película.

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hipOtesis

La figura 3 muestra un fenómeno interesante. Se trata de la misma película de jabón que se ha dejado reposar un rato (varias decenas de segundos). La parte superior de la película se ve negra. Este fenómeno se llama formación película negra. ¿Por qué se ve negra la película? Si usted realiza el experimento, que es muy sencillo, notará que al principio tiene una película como la de la figura 1 que va evolucionando: las franjas de los colores de Newton van descendiendo. Esto es porque el grosor de la película va disminuyendo con el paso del tiempo, empezando por la parte de arriba. Cuando se obtiene la película negra, se ha adelgazado tanto que la interferencia es destructiva para todas las lon gitudes de onda visible.

Las películas de colores tienen grosores que son del orden de la longitud de onda visible, es decir, unos cientos de nanómetros. Las películas negras son mucho más delgadas. Se clasifican en dos: la película negra común o de segunda especie cuya capa interna de agua tiene un grosor de alrededor de unos 27Å y la película negra de Newton o de primera especie cuya capa interna tiene grosor de apenas 3,7Å 2 . Esta última no tiene una capa de agua líquida realmente, pues en ese espacio no cabe agua en estado líquido. Es apenas una capa de hidratación: los iones de sodio se encuentran hidratados por un par de moléculas de agua.

Estudios de películas de jabón Como se mencionó, ya en el siglo XVII Newton y Hooke estudiaron propiedades de las películas de jabón, en particular, respecto a su adelgazamiento y al fenómeno de la formación de la película negra. Sin embargo, en la actualidad, no se entienden todas sus propiedades y en muchos laboratorios del mundo hacen experimentos relacionados con ellas. En hidrodinámica, por ejemplo, ha sido muy interesante utilizar películas de jabón para observar y estudiar flujos bidimensionales turbulentos. Ha habido muchos estudios para entender en detalle la estructura interna de las películas de jabón. Se pueden mencionar, por ejemplo, los trabajos experimentales de Belorgey, Benattar y Sentenac del Ser vicio de Física del Estado Condensado del Centro de Estudios Nucleares de Saclay, Francia [1, 2]. Ellos han estudiado la estructura de las películas negras de Newton. También han estudiado cómo la presión a la que se somete la película determina su grosor, en un experimento en el cual crean una película de jabón suspendida horizontalmente dentro de una cámara presurizada. Se puede hacer variar la presión al interior de esta cámara y observar cómo cambia el grosor de la película. Por otra parte, ha habido muchos esfuerzos teóricos en este campo que proponen modelos para explicar los resultados experimentales sobre las películas de jabón y su estructura. Como se ha visto, una solución acuosa de jabón está constituida por las moléculas de jabón que tienen carga negativa, los iones de sodio de carga positiva y las moléculas de agua. Las moléculas de jabón son bastante más grandes que los iones de sodio y las moléculas de agua. Esta situación en la cual se tienen moléculas grandes cargadas en solución acuosa y con iones más pequeños es muy corriente en muchos campos de la física, la fisicoquímica y la biología. Las propiedades macroscópicas de estas soluciones están esencialmente determinadas por las leyes microscópicas que rigen el movimiento de los diferentes iones y moléculas en solución.

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La película de jabón, como cualquier solución, tiene un gran número de iones y moléculas, del orden de 10 23 . Por tanto, es imposible pretender describir el movimiento individual de cada una de sus moléculas. Para abordar el problema, los físicos adoptaron herramientas de la estadística y así nació la mecánica estadística a finales del siglo XIX, en particular con los trabajos de Boltzmann. La mecánica estadística es ahora una rama establecida de la física que se usa en gran cantidad de problemas relacionados con las propiedades de la materia, ya sea en su estado sólido, líquido o gaseoso. 38

hipOtesis

Para el estudio de las películas de jabón, y más generalmente de las soluciones de iones y macromoléculas cargadas eléctricamente, se han desarrollado muchos trabajos desde principios del siglo XX usando las herramientas de la mecánica estadística. Generalmente, para estudiar estos sistemas se utiliza la teoría DLVO, llamada así por las iniciales de los físicos que la desarrollaron (Der yaguin, Landau, Ver wey y Overbeek). Es una teoría aproximada, que se conoce en física como teoría de campo medio, en la cual en vez de considerar que todos los iones y moléculas interactúan entre ellos, se supone que interactúan sólo con el campo eléctrico promedio que ellos mismos crean.

2. Un angstrom = 1Å = 10-10 metros = 0,1 nm.

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Nuestro trabajo La teoría DLVO y otras teorías de campo medio como la de Debye y Hückel han sido aplicadas con éxito al estudio de las películas de jabón. Explican bastante bien las propiedades de películas gruesas de jabón pero fallan al describir la transición de una película gruesa a una película delgada negra. Esta falla se debe a que la teoría es aproximada y no exacta. En el Grupo de Física Teórica de la Materia Condensada del Departamento de Física de la Universidad de los Andes, el autor de este artículo y la estudiante de maestría en física, Lina Merchán, abordamos el problema. Propusimos un modelo teórico para la película de jabón que trata de explicar la transición a una película negra. Nuestro modelo propone varias simplificaciones respecto a la realidad, pero tiene la propiedad interesante de poder ser resuelto exactamente; es decir, no requiere ninguna aproximación para obtener resultados exactos, contrariamente a la teoría DLVO usual. Nos concentramos, sobre todo, en ver qué papel desempeñan las interacciones eléctricas entre las moléculas negativas de jabón y los iones positivos de sodio. Como es bien sabido, por la ley de Coulomb, dos cargas opuestas se atraen y dos cargas del mismo signo se repelen con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Los sistemas compuestos de partículas cargadas eléctricamente se llaman genéricamente sistemas de Coulomb y la película de jabón es un tal sistema. En nuestro estudio aprovechamos la existencia de algunos modelos sencillos de sistemas de Coulomb que pueden resolverse exactamente usando herramientas de la teoría de campos cuánticos, un área que se utiliza mucho en física de partículas elementales. El estudio de modelos que pueden ser resueltos exactamente de teorías de campo cuántico está en la frontera de la física teórica y la física matemática. Así, el análisis de un problema muy real y concreto, las películas de jabón, nos llevó a estudiar problemas de la física matemática. Nuestros resultados fueron publicados en la referencia [3]. Aquí presentamos los más importantes. Pudimos calcular los perfiles de densidad de carga al interior de una película de jabón, dependiendo de su grosor. La figura 11 muestra la densidad de carga eléctrica total al interior de la película contra la distancia a la mitad interior de la película. En los extremos está la mayoría de las moléculas de jabón que son negativas (no representada en la figura).

Figura 11 El perfil de densidad de carga eléctrica al interior de una película de jabón. Las diferentes curvas representan casos con más o menos moléculas de jabón conformando las dos capas externas de la película.

Luego, al interior de la capa acuosa, nuestros resultados muestran que los iones de sodio positivos están muy cerca de los bordes, tratando de apantallar (o neutralizar) las cargas negativas de las cabezas de jabón. Este fenómeno es muy corriente en sistemas de Coulomb. La naturaleza aborrece tener cargas eléctricas y siempre que hay una, el resto del sistema trata de apantallarla. Este efecto de apantallamiento hace que el interior de la película sea, para la práctica, eléctricamente neutro. Nuestro modelo

propone varias simplificaciones respecto a la realidad, pero tiene la propiedad interesante de poder ser resuelto exactamente

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También calculamos cómo depende el espesor de la película como función de la presión. Esto lo muestra la figura 12. Las diferentes curvas de esta figura corresponden a diferentes casos en los cuales hay más o menos moléculas de jabón en las extremidades de la película conformando las dos capas externas de jabón. Las dos curvas superiores, que corresponden a muchas moléculas de jabón en los extremos, muestran un comportamiento normal. Al aumentar la presión disminuye el espesor. Pero las cur vas inferiores muestran una parte con comportamiento anormal, en la cual un aumento de presión daría una película más gruesa. Esta parte de las curvas, en que además la

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tro elo one fices ecto ealidad,

presión es negativa, no corresponde a la realidad y señala toda una región en que la película de jabón no es estable. Es decir, si se tratara de crear una película con un grosor dentro de la región inestable, la película colapsaría inmediatamente a una película delgada dentro de la región permitida, en donde la presión es positiva y una función decreciente del espesor. Así nuestro modelo teórico reproduce, en determinadas condiciones, la transición de una película de jabón gruesa a una película negra delgada, de manera más correcta que los resultados de la teoría de campo medio usual.

Conclusión

Figura 12 La presión al interior de la película de jabón en función de su grosor. Las diferentes curvas representan diferentes casos en que hay más moléculas de jabón conformando las dos capas externas de la película. Las dos curvas superiores muestran un comportamiento normal (cuando la presión aumenta, disminuye el grosor), mientras que las tres inferiores muestran ciertas regiones con comportamientos patológicos (cuando la presión aumenta, aumenta el grosor): estas regiones no son físicas y la película es inestable en esta región.

Hemos visto cómo un fenómeno natural tan común como las películas de jabón puede llevar al estudio de muchos y muy variados campos de la física. La historia no termina aquí. Las películas de jabón son inspiración para muchos estudios en química y en biología. Su estructura se asemeja a las membranas de las células. La membrana de una célula también está constituida por una doble capa de moléculas similares a las de jabón, excepto que se encuentran invertidas: las colas hidrofóbicas están hacia adentro enfrentándose en el interior de la membrana, en vez de hacia afuera como en la película de jabón. Éste es sólo un ejemplo de cómo fenómenos naturales con los cuales nos encontramos todos los días dan lugar a investigaciones científicas interesantes, ya sea sobre el fenómeno en sí o como herramienta para otros estudios en los que, por ejemplo, se utilizan películas de jabón como herramienta de visualización para flujos turbulentos.

Referencias [1] Belorgey, O. and Benattar, J. J. Structural properties of soap black films investigated by x-ray reflectivity . Physical Review Letters 66: 313 (1991). [2] Sentenac, D. and Benattar, J. J. Long range hydration effects in electrolytic free suspended black films . Physical Review Letters 81: 160 (1998). [3] Téllez, G. and Merchán, L. Solvable model for electrolytic soap films: the two-dimensional two-component plasma . Journal of Statistical Physics 108: 495 (2002). [4] En internet se encuentran muchos sitios con información adicional sobre las películas de jabón y bellas fotografías. Algunos vínculos interesantes: Searles, John. Bubble photography March 29, 2002. <http://www.bubblephotography.com/index.htm>. Rutger, M. Maarten Rutgers web site <http://home.earthlink.net/~marutgers/>.

hipOtesis

Carlisle, Paul. Flowing soap films Paul Carlisle. January 27, 1999. <http://www.ameritech.net/users/paulcarlisle/soapfilms.html>.

R eseña del Reseña del Autor Autor Gabriel Téllez Doctor en física teórica de la Universidad de París XI, Francia. Actualmente es profesor asociado del Departamento de Física de la Universidad de los Andes. Su área de especialización es la mecánica estadística de sistemas cargados, y trabaja en proyectos de investigación en esta área con Colciencias y en cooperación internacional entre la Universidad de los Andes y el Laboratorio de Física Teórica de la Universidad de París XI. Véase http://wwwprof.uniandes.edu.co/~gtellez/ principal.html.

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driana Díaz AJEFA OFICINA DE COMUNICACIONES

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Rhodnius Prolixus Insecto que transmite los parásitos que causan la enfermedad de Chagas

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Qué tienen en común Q

Figura 1

Fotomicrografía de Trypanosoma cruzi, el parásito que causa la enfermedad de Chagas. Créditos: WHO/TDR www.who.int/tdr/index.html.

¿ ué tienen en común un habitante del valle del río Magdalena y un investigador de la Facultad de Ciencias de la Universidad de los Andes? La respuesta está en un asunto que les interesa por diferentes razones: la enfermedad de Chagas. El primero habita, probablemente, en una casa de bahareque y techo de palma, en la que el insecto que transmite esta enfermedad encuentra el hábitat ideal para vivir. El investigador está interesado en conocer más sobre ese insecto y cada uno, desde su punto de vista, se preocupa por lo mismo: la vida humana. La enfermedad de Chagas se da únicamente en Latinoamérica, está relacionada con zonas de bajo desarrollo económico y debe su nombre al médico brasileño Carlos Chagas, quien en 1909 describió por primera vez el parásito que la causa. Según los cálculos de la Organización Mundial de la Salud [3], esta enfermedad afecta entre 16 y 18 millones de personas en todos los países de América Latina, donde es endémica (la enfermedad sólo se presenta en es tos países), y 100 millones están en riesgo de contraer la infección [3]. En Colombia, el 7% de la población se encuentra afectada y el 23% está en alto riesgo de contraerla [1]. La enfermedad, que ataca el corazón y otros ór ganos, es causada por un parásito, Trypanosoma cruzi (véanse figuras 1 y 2), y transmitida por un insecto de la familia de los triatominos, llamado comúnmente el pito (véanse figuras 3 y 4), que se alimenta de sangre de vertebrados. El ser humano puede infectarse de varias maneras: por medio de las heces que contienen parásitos, al rascarse en el lugar de la picadura del insecto, por transfu sión sanguínea, por infección congénita, o por contaminación en el laboratorio.

La enfermedad, que ataca el corazón y otros órganos, es causada por un parásito 44

hipOtesis

La variedad de reacciones frente a la infección va desde no desarrollar ningún síntoma, hasta la muerte. La diferencia en las reacciones aún es motivo de investigación, pero lo explorado muestra que esa reacción depende de la interacción entre la constitución genética del parásito y la del huésped.

Figura 2 Trypanosoma cruzi en un extendido de sangre (tinción de Leishman). Se observa un tripomastigote, el cual posee un flagelo libre. Créditos: WHO/TDR/Stammers www.who.int/tdr/index.html.

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Figura 3 y 4 Rhodnius prolixus adulto alimentándose de sangre a través de piel humana. El insecto transmite los parásitos que causan la enfermedad de Chagas en las heces que se observan en la fotografía, las cuales son depositadas cerca del sitio de la picadura. Cuando la persona que ha sido picada se rasca, puede transferir los parásitos a la herida. Créditos: WHO/TDR/Stammers www.who.int/tdr/index.html.

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Aporte de la academia

En Colombia, la enfermedad de Chagas empezó a investigarse hace unos 60 años y en esa labor el Centro de Investigacio nes en Microbiología y Parasitología Tropical (CIMPAT), del Departamento de Ciencias Biológicas de la Universidad de los Andes, por intermedio de profesores y estudiantes, ha realizado numerosos estudios. Sus resultados han inci dido en decisiones estatales, como la tomada en 1995 (Decreto 001738) de realizar una prueba de tamizaje a tod a s l a s u n i dades de sangre del país que se utilizan en transfusiones, como una manera de controlar la propagación de la enfermedad. Actualmente y después de años de investigaciones, los lineamientos de la Organización Mundial d e l a S a l u d ( O M S ) s e ñ a l a n q u e l a m a n e r a m á s e f i caz de controlar la enfermedad es erradicar al insecto de la vivienda humana. Además de la fumigación que se practica, es clave la vigilancia epidemiológica que permite establecer su efectividad, labor en la que es fundamental la relación entre la academia y las autoridades de salud.

Figura 4

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hipOtesis

Al respecto, el aporte de la biología molecular, ciencia que trata de comprender el fenómeno de la vida en términos de la estructura y funcionamiento de las moléculas, ha sido muy importante. Investigaciones del CIMPAT [2] han diseñado técnicas que permiten diferenciar fácilmente especies muy parecidas en su forma como R. prolixus y R. colombiensis, que pertenecen a la misma familia (Triatominae) y al mismo género (Rhodnius). La primera especie se encuentra asociada al ambiente doméstico y la segunda, al ambiente silvestre. Poder identificar con precisión los insectos transmisores es fundamental para orientar correctamente los programas de control y vigilancia epidemiológica.

La técnica electrofor utiliza para ciar el AD obtenido 2os espe triatomino

Figura 5 Proceso de amplificación Adaptado de www.CEandCEC.com/.

hipOtesis

Las técnicas se parecen mucho a las que utilizan los forenses para comparar el ADN de fuentes diferentes. El procedimiento consta de dos partes: en la primera, etapa llamada de amplificación, se multiplica el ADN tomad o de las muestras para obtener volúmenes apropiados para analizar; en una segunda, se identifican algunos rasgos del ADN, suficientes para distinguir un tipo de ADN del otro, mediante un proceso llamado electroforesis. En la amplificación, el CIMPAT emplea un procedimiento denominado reacción en cadena de la polimerasa que fue desarrollado en 1985. Esta técnica permite obtener, in vitro, millones de copias idénticas de fragmentos específicos de ADN, usando una enzima llamada ADN-polimerasa, encargada de replicar el ADN en las células. La más usada es taq polimerasa obtenida de la bacteria Thermus aquaticus.

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ca de oresis se ara diferenADN o de las pecies de nos

El proceso consta de 35 ciclos iguales de tres pasos cada uno (véase figura 5). En el primer paso de denaturación, los fragmentos de ADN de la muestra se separan en sus dos cadenas o hebras, bajo la acción del calor (95°C). A cada una de estas cadenas se le da el nombre de ADN-molde por la función que desempeña en el proceso. En el segundo paso de anillaje, cortas secuencias conocidas de nucleótidos (adenina, timina, guanina, citosina), llamadas iniciadores o primers, que fueron introducidas intencionalmente en la mezcla con los fragmentos de ADN, se pegan a los ADN-moldes en puntos específicos donde existe complementariedad entre los nucleótidos de uno y de otro. Para que se efectúe la amplificación se requieren dos iniciadores, complementarios con la región del ADN molde que se quiere replicar, de manera que el molde y los iniciadores puedan unirse.

Finalmente, en la tercera etapa, la ADN-polimerasa actúa provocando la elongación de las cadenas de los iniciadores, pegando más y más nucleótidos a los ADN-moldes, de acuerdo con la secuencia que poseen éstos, hasta completar una copia exacta del fragmento inicial. Al repetir este ciclo, las copias de ADN se multiplican exponencialmente. El proceso de reacción en cadena se realiza en un aparato que controla la temperatura y los tiempos de los ciclos, según una programación que se le asigna de antemano cuando se introducen los tubos con la mezcla d e todos los ingredientes que se requerirán: las muestras de ADN, los iniciadores, la polimerasa, los nucleótidos, etcétera. Esto permite producir en muy poco tiempo (unas cuantas horas) millones de copias de un mismo fragmento de ADN.

La enfermedad, que ataca el corazón y otros órganos, es causada por un parásito

La técnica de electroforesis se utiliza para diferenciar el ADN obtenido de las dos especies de triatominos, R. prolixus y R. colombiensis. El material ADN amplificado en la etapa anterior se siembra en un gel que es sometido a un campo eléctrico. Los fragmentos de ADN, que tienen carga negativa, se deslizan hacia el polo positivo del campo. Los de mayor masa lo hacen a menor velocidad que los de menor masa y al cabo de un tiempo se establece una diferencia en la distancia recorrida (véase figura 6). Como previamente han sido impregnados con un tinte fluorescente, puede registrarse una fotografía de las bandas que aparecen en el gel, donde se distingue con facilidad el material ADN que proviene de una y otra especie. La fotografía de la figura 7 muestra las bandas obtenidas para ADN provenientes de individuos de Rhodnius prolixus y de Rhodnius colombiensis.

Figura 6

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Proceso de electroforesis Los diferentes fragmentos de ADN se siembran en un gel que está inmerso en un campo eléctrico (paso 1). Como tienen carga negativa, tienden hacia el polo positivo del campo en los pasos 2 a 5. Los de menor masa lo hacen más rápido que los de mayor masa y al cabo de un tiempo se han distanciado, formando franjas distintas e identificables.

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Para el habitante del valle del río Magdalena y para quienes viven en otras regiones como el Catatumbo, la Sierra Nevada de Santa Marta, el piedemonte llanero y la Serranía de la Macarena, donde se ha detectado presencia permanente del Trypanosoma cruzi, la importancia del descubrimiento hecho en los laboratorios del CIMPAT radica en que con esta información pueden tomarse decisiones más acertadas en cuanto al control de la enfermedad. Si después de fumigar vuelven a aparecer insectos, se tiene certeza de si son Rhodnius prolixus y la fumigación fue mal hecha, o si se trata de Rhodnius colombiensis de ambiente silvestre que ingresó en la casa después de la fumigación.

Diferenciación de Rhodnius prolixus y Rhodnius colombiensis mediante marcadores moleculares

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Figura 7 48

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Bandas obtenidas de la electroforesis para elADN proveniente de Rhodnius prolixus (Rp) y de Rhodnius colombiensis (Rc).

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En esta tarea de contribuir desde el laboratorio a solucionar un pro b l e ma social del país están comprometidos profesores y estudiantes de pregrado y posgrado del Departamento de Ciencias Biológicas de la Universidad de los Andes. Son varios los trabajos de grado que se han hecho respecto al tema y algunos de ellos han obtenido reconocimiento nacional e internacional por el impacto de sus resultados. Así mismo, e l C I M PAT ( c re a d o e n 1 9 6 9 ) e s re c o n o c i d o p o r C o l c i e n c i a s c o m o g r u p o de excelencia en investigación.

21/04/2004, 12:30

a información omarse deciaa informainformaeden tomás acertadas eden todecisiones decisiones al control de ertadas en ertadas en enfermedad al control al control fermedad Entre las distinciones obtenidas se cuentan: una mención de honor en el IX Congreso Colombiano de Parasitología y Medicina Tropical, II Congreso Latinoamericano de Malaria, I Jornada de Microbiología en Medellín en 1997, otorgada a María Fernanda Montaña (estudiante pregrado), Carlos Jaramillo y Felipe Guhl; segundo puesto nacional en trabajos de investigación en el Primer Encuentro Nacional de Investigación en Enfermedades Infecciosas en 1998, otorgado a María Fernanda Montaña (estudiante maestría), Carlos Jaramillo, Felipe Guhl; mejor proyecto en el área de enfermedad de Chagas, según informe del Tropical Diseases Research (TDR) Organización Mundial de la Salud, en 2000, otorgado a Carlos Jaramillo, Felipe Guhl, Gustavo Vallejo, María Fernanda Montaña (estudiante maestría), Lyda Castro (estudiante pregrado); tesis de maestría laureada Estudio de la estructura genética de poblaciones domésticas, peridomésticas y silvestres de Triatoma dimidiata, de una zona endémica del departamento de Boyacá (2002), de Carolina J. Ramírez Higuera bajo la dirección de Felipe Guhl y codirección de Carlos Jaramillo; tesis de maestría laureada Diseño de iniciadores de PCR para la diferenciación de Rhodnius prolixus y Rhodnius colombiensis, vectores de la enfermedad de Chagas , de Carolina Vergel, bajo la dirección de Carlos Jaramillo y codirección de Felipe Guhl.

Referencias

[1]

Guhl, F y Nicholls, S. Manual de procedimientos para el diagnóstico de la enfermedad de Chagas. Primera edición. Universidad de los Andes, Bogotá, 2001.

[2]

Jaramillo, C., Montaña, M. F., Castro, L. R., Vallejo, G., Guhl, F.. Differentiation and genetic analysis of Rhodnius prolixus and Rhodnius colombiensis by rDNA and random amplified polymorphic DNA amplification . Memorias do Instituto Oswaldo Cruz, 96: 1043-1048 (2001).

[3]

World Health Organization. Chagas Disease: Report of an expert committee. WHO Technical Report Series 811, World Health Organization, Geneva, 1991.

fermedad

49 Carlos Jaramillo M.Sc. en Biología de la Universidad de los Andes y profesor titular del Departamento de Ciencias Biológicas; importante colaborador del Centro de Investigaciones en Microbiología y Parasitología Tropical (CIMPAT). Adriana Díaz Jefa Oficina de Comunicaciones, Universidad de los Andes.

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hipOtesis

Reseña del Autor

Facultad de Ciencias Programas académicos Pregrados: Biología Física Matemáticas Microbiología Química (en tramitación)

Áreas de Investigación Depar tamento de Ciencias Biológicas Biología molecular Biología molecular de plantas Botánica sistemática Etología y fisiología animal Fisiología vegetal Genética de poblaciones Genética humana

Posgrados:

Limnología Maestría en Ciencias-Biología. Maestría en Ciencias Biomédicas. Maestría en Ciencias-Física. Maestría en Matemáticas. Doctorado en Ciencias-Biología. Doctorado en Ciencias-Física. Doctorado en Matemáticas (propuesta en desarrollo).

Parasitología tropical

Depar tamento de Física Física de altas energías o partículas elementales (teórica y experimental) Materia condensada (teórica) Radioastronomía (teórica y experimental) Fundamentos de mecánica cuántica y teoría de la información

Depar tamento de Matemáticas

Opciones:

Análisis funcional

Opción en Biología. Opción en Estudios de Biodiversidad y Ciencias Ambientales.

Microbiología ambiental e Industrial

Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y métodos numéricos Lógica y calculabilidad

hipOtesis

Opción en Física.

Probabilidad

Opción en Matemáticas.

Procesos estocásticos y estadística

Opción en Matemáticas Aplicadas (en trámite).

Biomatemáticas

Opción en Microbiología de Alimentos e Industria.

Geometría diferencial

Opción en Química.

Depar tamento de Química Calorimetría y diseño calorimétrico Carbones activados Limnología Aromas Fluidos supercríticos Polímeros conductores Sistemas fotosensibles

GRADUANDOS DE MAESTRÍA Y DOCTORADO F AC U LTA D D E C I E N C I A S 2000 - 2003

Departamento de Ciencias Biológicas

2000

TESIS

DIRECTOR(ES)

TÍTULO

Diana Mercedes Sicard Suárez

Repair of ultraviolet-induced lesions in SVA40-transformed human cells

Philip C. Hanawalt, Ph.D., Stanford University

Doctorado en Ciencias-Biología

Fanny Esperanza Castañeda Cadena

Prevalencia de Cryptosporidium parvum en terneros de 0 a 10 semanas de edad

C.J. Marinkelle, Ph.D.

Maestría en Microbiología

Helman Castañeda Castañeda

Análisis morfológico comparado con Drosophila starmeri de las poblaciones de Camarones (Guajira), Santa Marta (Magdalena) y la Tatacoa (desierto de la Tatacoa-Huila)

Marina Ordóñez Varela, M.Sc.

Maestría en Biología

Hedna Liliana Chávez Moreno

Caracterización de canales iónicos de Leishmania amazonensis expresados en ovocitos de Xenopus lavéis

Marcela Camacho, Ph.D., Centro de Investigaciones en Física, Universidad Nacional

Maestría en Microbiología

Gloria Leonor Gutiérrez Gómez

¿Cómo se genera el patrón de apareamiento en una población altoandina de la rana Hyla labialis?

Horst Luddecke, Ph.D.

Maestría en Biología

Pedro Eduardo Jáuregui Peña

Evaluación de la reacción en cadena de la polimerasa en el diagnóstico de la enfermedad de Chagas en una banco de sangre

C.J. Marinkelle, Ph.D.

Maestría en Microbiología

Maria Marcela Meléndez Alarcón

Prodromo del género Berberis en Colombia

Santiago Madriñán, Ph.D.

Maestría en Biología

Nohora Marcela Mendoza Lozano

Validación de la prueba de la reacción en cadena de la polimerasa como método diagnóstico para malaria en pacientes procedentes de una zona endémica de Colombia

Carlos Jaramillo, M.Sc.

Maestría en Microbiología

Mónica Liliana Peralta Rodríguez

Detección de antígeno de cepas colombianas de Gardia lambia en fluidos de heces humanas, utilizando anticuerpos policlonales ANTI-31, 65 y 170 kDa, específicos del parásito mediante ELISA

Sofía Duque Beltrán. M.Sc., Instituto Nacional de Salud

Maestría en Microbiología

Yenny Marlén Rodríguez Lesmes

Evaluación del daño y de la cinética de reparación del ADN en linfocitos de personas ocupacionalmente expuestas a solventes orgánicos (benceno y tolueno) mediante la prueba del cometa como biomarcador precoz

Helena Groot, M.Sc.

Maestría en Biología

Jorge Lorenzo Sánchez Irreño

Aplicación de la reacción en cadena de la polimerasa (RCP) en el diagnóstico de la tripanosomosis americana (Trypanosoma cruzi, Trypanosoma rangeli) en humanos y reservorios silvestres en el municipio de Coyaima, Tolima

Felipe Guhl, M.Sc.

Maestría en Biología

Claudia Marcela Yánez Gutiérrez

Utilización del ensayo del cometa para medir genotoxidad en individuos expuestos a plomo

Helena Groot, M.Sc.

Maestría en Biología

hipOtesis

GRADUANDO

2001 Germán Aguilera Jaramillo

Dinámica de dispersión de Triatoma dimidiata (Latreille, 1811) en el Municipio de Boavita, Boyacá-Colombia

Felipe Guhl, M.Sc.

Maestría en Microbiología

Camilo Ernesto Andrade Sossa

Efectos de la fluctuación del nivel del agua sobre la estructura de la comunidad de rotíferos plantónicos en el lago Yahuarcaca (Río Amazonas-Colombia)

Ewald Roessler, Ph.D

Maestría en Biología

Maria Consuelo Bernal Lizarazu

Comparación de la variabilidad de marcadores bioquímicos en Trypanosoma rangeli en ciclos de transmisión silvestre y doméstico en Colombia

C.J. Marinkelle,M.D. Ph.D.

Maestría en Microbiología

Ximena Bernal Mattos

Sing me a song and I will tell you where you are from: the case of the Andean frog, Colostethus palmatus

Horst Luddecke, Ph.D.

Maestría en Biología

Martha Emiliana Cárdenas Toquica

Comparación fenotípica y genotípica de cepas de Metarhizium anisopliae aisladas de diferentes hábitats

Jenny Dussán, M.Sc.

Maestría en Microbiología

Sandra Liliana Córdoba Amorocho

Producción, purificación y caracterización de la endopoligalaturonasa de Cryptococcus sp. S-2

Jenny Dussán, M.Sc.

Maestría en Microbiología

Acerca de la taxonomía y ecología de odonata (arthropoda, insecta) en la Ciénaga de Guarinocito (Caldas), Colombia

Ewald Roessler, Ph.D.

Maestría en Biología

Rafael Antonio Forero Molano

Detección de anticuerpos, anti-RaCh nicotínico, presentes en pacientes con miastenia grave

Mauricio Urquiza, Ph.D., Instituto de Inmunología

Maestría en Biología

Maria Cristina Guevara Cardozo

Efectos etofisiológicos a largo plazo de la llamada de advertencia de la rana Hyla labialis sobre machos y hembras

Horst Luddecke, Ph.D.

Maestría en Biología

Luis Carlos Gutiérrez Moreno

Composición, densidad y distribución espacial y temporal de los rotíferos plantónicos en el embalse el Guajaro (Depto. Atlántico-Colombia)

Ewald Roessler, Ph.D.

Maestría en Biología

Sandra Cecilia Pardo Acosta

Microhongos endófitos aislados de hojas de Espeletia grandiflora y Espeletia corymbosa en el páramo de Cruz Verde-Colombia

Maria Caridad Cepero. M.Sc.

Maestría en Microbiología

Raúl Hernando Posada Almanza

Presencia de estructuras de posibles hongos de Micorriza arbuscular en hojarasca de un bosque primario y un sistema agricultural en los Llanos Orientales

Emma Lucía Rivera, M.Sc., Universidad Javeriana

Maestría en Microbiología

Adriana Patricia Rojas Moreno

Análisis del aislamiento reproductivo en las especies cactofílicas del enjambre Martensis, en dos regiones colombianas (costa norte y desierto de la Tatacoa)

Marina Ordóñez Varela, M.Sc.

Maestría en Biología

Hebert Orlando Siachoque Montañez

Ensayo de inmunización con péptidos sintéticos de la proteína P30 (SAG-1) de Toxoplasma gondii en un modelo animal

Fanny Guzmán, M.Sc., Instituto de Inmunología

Maestría en Microbiología

Adolfo Amézquita Torres

Signal diversity and the evolution of the vocal communication system in the high-Andean frog Hyla labialis

Horst Luddecke, Ph.D.

Doctorado en Ciencias-Biología

Primavara Grigoriu de Buendía

Interaction studies between DNA repair deficient mutants in Drosophila melanogaster

Philip C. Hanawalt, Ph.D., Stanford University, Bernard A. Kunz, Ph.D., Deakin University.

Doctorado en Genética

Claudia Patricia Acosta Astaiza

Análisis de los marcadores de susceptibilidad al cáncer gástrico: glutations transferasa en dos poblaciones colombianas

Helena Groot, M.Sc.

Maestría en Biología

Diego Fernando Acosta Alvear

Establecimiento de una metodología para el trabajo con ADN de muestras óseas aplicable a la amplificación de microsatélites del delfín rosado del Amazonas Inia geoffrensis

Helena Groot, M.Sc.

Maestría en Biología

Carolina Arias González

Caracterización del polimorfismo G-308 A del factor de necrosis tumoral a en una población de pacientes con cáncer gástrico e individuos control del Cauca

Helena Groot, M.Sc.

Maestría en Microbiología

Jorge Alirio Cuan Naranjo

2002

hipOtesis

Evaluación del daño u la reparación de lesiones en el ADN inducidas por etoposido en células de fibrosarcoma mediante el ensayo del cometa

Helena Groot, M.Sc.

Maestría en Biología

Lina María Castellanos Torrado

Breeding patterns and sexual selection in physalaemus enesefae2

Adolfo Amézquita, Ph.D.

Maestría en Biología

Luz Helena Castrillón Muñoz

Caracterización de 284 materiales de algodón presentes en el banco de germoplasma de CORPOICA

Alejandro Navas Arboleda, Ph.D. CORPOICA

Maestría en Biología

Daniel Emmerich Marcantonio

Relevamiento de la fauna de Ephemeroptera (Insecta) adultos de cinco sitios de la cordillera oriental

Ewald Roessler, Ph.D.

Maestría en Biología

Tatiana Andrea Espitia Ortiz

Caracterización fenotípica y genotípica de microorganismos indicadores de yacimientos de hidrocarburos

Jenny Dussán G. M.Sc.

Maestría en Microbiología

Sandra Huérfano Meneses

Caracterización fenotípica y genotípica de aislamientos ambientales de Cryptococcus neoformans

Elizabeth Castañeda, Ph.D Instituto Nacional de Salud

Maestría en Microbiología

Sonia Stella Muñoz Miranda

Retardo mental en Agua de Dios (Cundinamarca) ¿Efecto genético o ambiental?

Helena Groot, M.Sc.

Maestría en Biología

Yamile Ordóñez Lozano

Estructura de la comunidad de algas epífitas en dos macrófitas (Paspalum repens y Polygonum densiflorum) en los lagos de Yahuarcaca (Amazonas-Colombia)

Santiago R. Duque, M.Sc., Instituto Amazónico de Investigaciones, Universidad Nacional de Colombia

Maestría en Biología

Victoria Eugenia Pereira Bengoa

La configuración de la presa en la familia dendrobatidae y el efecto del ayuno en la selectividad de la configuración

Horst Luddecke, Ph.D.

Maestría en Biología

Carolina Julie Ramírez Higuera

Estudio de la estructura genética de poblaciones silvestres, peridomésticas y domésticas de Triatoma dimidiata de una zona endémica del departamento de Boyacá (Tesis Laureada)

Felipe Guhl Nannetti, M.Sc.

Maestría en Microbiología

Yudith Carolina Ramírez López

Estructura y uso del hábitat de una comunidad de renacuajos en el piedemonte llanero colombiano.

Horst Luddecke, Ph.D.

Maestría en Biología

Julia del Pilar Rivas Pinedo

Determinación de la susceptibilidad antimicótica de aislamientos clínicos de Candida S.P. en pacientes con cáncer.

Otto Sussmann, Especialista en Infectología. Hospital San Ignacio

Maestría en Microbiología

Beatriz Ximena Rodríguez Franco

Frecuencias genotípicas de los polimorfismos nulos GSTTIGSTM1 en las diferentes poblaciones colombianas

Helena Groot, M.Sc.

Maestría en Biología

Camilo Andrés Salazar Clavijo

Aislamiento reproductivo en tres especies de mariposa (lepidoptera: nynphalidae) del género Heliconius; H.cydno, H.melpomene y H. Heurippa (Tesis Laureada)

Mauricio Linares Porto, Ph. D.

Maestría en Biología

Jesús Alfredo Uribe Ardila

Estudios bioquímicos de los desórdenes del metabolismo de los mucopolisacaridos en Colombia.

Helena Groot, M.Sc.

Maestría en Biología

Martha Patricia Vela Flórez

Efecto de la aplicación de rhizobacterias en la resistencia del cultivo de la papa a infección foliar por Phytophthora infestans

Celsa García, Ph.D. Universidad Nacional de Colombia

Maestría en Microbiología

Martha Carolina Vergel Monsalve

Diseño de indicadores de PCR para la diferenciación entre Rhodnius prolixus y Rhodnius colombiensis, vectores de la enfermedad de Chagas. (Tesis Laureada)

Carlos A. Jaramillo Henao, M.Sc.

Maestría en Microbiología

Yarima Contreras Mercado

Prevalencia de la infección toxoplásmica en gatos en la ciudad de Montería.

C.J. Marinkelle, Ph.D.

Maestría en Microbiología

Liliana Galeano Petro

Localización y cuantificación del daño cromosómico inducido por inhibidores naturales de topoisomerasa II (bioflavonoides): apigenina, baicaleina, ficetina, genisteina, genistina, kaemferol, luteolina, miricetina y quercetina en linfocitos humanos.

Gonzalo Guevara, M.D. M.Sc. Instituto Nacional de Cancerología

Maestría en Biología

2003

hipOtesis

Julia Cecilia Arroyo Tamayo

Andrea María Garavito Espejo

Asociación del silenciamiento post-transcripcional de genes y la reacción de hipersensibilidad, con la resistencia transgénica al virus de la hoja blanca del arroz (Oryza sativa L.).

Lee A. Calvert Ph.D. Centro Internacional de Agricultura Tropical-CIAT

Maestría en Biología

Gloria Garavito González

Evaluación de enfermedad residual mediante RT-PCR para RNAm de tiroglobulina como marcador tumoral en el cáncer bien diferenciado de tiroides.

Gonzalo Guevara, M.D. M.Sc. Instituto Nacional de Cancerología

Maestría en Biología

Carlos Enrique Guarnizo Caro

Mitochondrial phylogeography of the high Andean frog Hyla labialis.

Adolfo Amézquita, Ph.D.

Maestría en Biología

Mónica del Pilar Medina Medina

Comportamiento de las células epiteliales del tracto respiratorio expuestas al lipopolisacarido de Bordetella Bronchiseptica. Modelo in vitro de explantes de traquea.

Carlos Iregui Castro, Ph.D. Facultad de Veterinaria-Universidad Nacional de Colombia

Maestría en Microbiología

Diana Marcela Pava Cortés

Taxonomía y algunos aspectos ecológicos de la comunidad del orden trichoptera en la zona alta de la quebrada la Playaparque natural Chicaque.

Emilio Realpe, M.Sc.

Maestría en Biología

Claudia Patricia Rosas Mesa

Evaluación de las técnicas de RT-PCR e IM-RT-PCR, para la detección de los principales virus que afectan el cultivo de la papa».

Fabio Aristizábal, Ph.D. Universidad Nacional de Colombia

Maestría en Biología

Oscar Daniel Tole Clavijo

Estudios sobre la biodiversidad y patrones de emergencia de efemeropteros en un río colombiano de primer orden.

Emilio Realpe, M.Sc.

Maestría en Biología

Gloria Uribe Botero

Frecuencia de polimorfismos genéticos de la glutation S-transferasa T1, M1 y de la CYP2E1 en un grupo de niños con leucemia linfoide aguda y su relación con la enfermedad.

Helena Groot de Restrepo, M.Sc.

Maestría en Biología

Departamento de Física

2000 * 2001 * 2002 * 2003

GRADUANDO

TESIS

DIRECTOR(ES)

TÍTULO

Patricia Soto

Comportamiento electrostático de un péptido sintético en un solvente polar

Ramón Fayad, Ph.D.

Maestría en Ciencias-Física

Milena C. Cuéllar Sánchez

Degradación de observaciones durante el proceso de medición de sistemas caóticos

Philippe Binder, Ph.D.

Maestría en Ciencias-Física

Juan Carlos Hurtado Betancourt

Decaimientos del mesón B®Kp

Javier Magnin, Ph.D. Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas

Maestría en Ciencias-Física

Luis Miguel Mendoza Navas

Producción de mesones pesados en colisiones hadrónicas

Javier Magnin, Ph.D. Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas

Maestría en Ciencias-Física

Alexandra Olaya Castro

Coherencias en condensados de excitones en semiconductores

Luis Quiroga, Ph.D.

Maestría en Ciencias-Física

Yuly Edith Sánchez Mendoza

Efectos entrópicos en la asociación de la lisozima HEL y la inmunoglobulina IgG D1.3

Mario Amzel, Ph.D., John Hopkins University

Maestría en Ciencias-Física

Lina Paola Merchán Álvarez

Two-dimensional Coulomb systems in a confined geometry subject to an attractive potential on the boundary

Gabriel Téllez, Ph.D.

Maestría en Ciencias-Física

hipOtesis

Departamento de Matemáticas GRADUANDO

TESIS

Andrés Fernando Reyes Lega

2000 * 2001 * 2002 * 2003 DIRECTOR(ES)

TÍTULO

Quantum hall effect and topology

Sergio Adarve, Ph.D.

Maestría en Matemáticas

Jaime Irving Dávila Latorre

Sobre las derivadas angulares de funciones univalentes acotadas en el disco.

Alexandre Vassiliev, Ph.D., Jaime Lesmes, Ph.D.

Maestría en Matemáticas

Fabio Ortiz Guzmán

Sobre la clasificación de grupos de rango de Morley finito de tipo par y teoremas análogos de grupos finitos

Luis Jaime Corredor, Ph.D.

Maestría en Matemáticas

Juan Gabriel Restrepo Pabón

Representación de medidas por juegos hiperfinitos

Sergio Fajardo, Ph.D.

Maestría en Matemáticas

Andrés Vargas Domínguez

The Dirac Operator and its spectrum on symmetric spaces

Luis Fernández, Ph.D.

Maestría en Matemáticas

Eliana Milena Zoque López

El homomorfismo de Manin para la curva elíptica

Luis Jaime Corredor, Ph.D.

Maestría en Matemáticas

hipOtesis