No. 39 Junio - Julio 2009 CORPORACIÓN MAGISTERIO Diagonal 36 bis (Park Way, La Soledad) # 20-70 PBX: 3383605-06 LÍNEA GRATUITA NACIONAL: 01-8000 114818 Bogotá, D.C., Colombia
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REVISTA INTERNACIONAL MAGISTERIO REV.INT.MAGISTERIO La Matemática: una herramienta para la vida Págs:1-96 No. 39 Junio - Julio 2009 Issn: 0416924050039 Bogotá, Colombia
Cartelera Agenda Editorial
4 6 8
Personaje invitado María-Jeanne Perrin-Glorian (Francia) Utilidad de la teoría de las situaciones didácticas para incluir los fenómenos vinculados a la enseñanza de matemáticas en las clases normales 11
Tema Central Dra. Maria Helena Fávero
Bernardo Recamán Santos
Construir conocimiento matemático para incluir en la educación superior . Una experiencia con estudiantes indígenas y afrodescendientes en la Universidad del Valle 62 César A. Delgado García
La psicología del conocimiento y la construcción de competencias conceptuales en la escuela 18 Una sola estrategia no basta
Educación superior
24
La comprensión del sistema decimal de numeración y procesos de representación 28 Jorge Castaño García
Reportaje Aprendizaje por libre elección
Entrevista a John Falk y Lynn Dierking
Marcela Barbosa
Profesión docente Había una vez… una escuela Dr. C. Paul Torres Fernández
Visualización, álgebra lineal y desarrollo del pensamiento matemático Javier Lezama A., Carlos Oropeza Legorreta
Niños y niñas solucionadores de problemas matemáticos. “Ese problema matemático es mío” Geoffrin Ninoska Gallego Cortez
32
38
68
73
Investigación Dilemas y tensiones que enmarcan el significado de Competencia matemática: ¿Soluciones de problemas en contextos reales? ¿Soluciones significativas para la vida social? ¿Formación para participar activamente en la vida 76 democrática?
La detección y desarrollo del talento académico Experiencia de la Fundación EULER 48
Gloria García, Claudia Salazar, Gabriel Mancera, Francisco Camelo, Julio Romero
¡A representar cantidades!
Claudia Barajas
Henry Niño Quintero
Experiencia en una Escuela Especial Hugo Darío Echevarría, Griselda Andrea Riva
Adaptaciones curriculares en matemáticas
52
para educandos con necesidades educativas especiales 56 Leidy Caterine Bautista Galeano, Leonardo Mantilla Rojas, Sandra Evely Parada Rico
Los apuntes: más allá de la letra y el papel
84
Travesía del conocimiento, transversalidad de diversas áreas: Enfoque matemático
88
Biblioteca del maestro
92
Alberto Díaz Montes
Luis Fernando García Núñez
4/ rev. Int. Magisterio. Bogotá (Colombia), 7 (39): 3 - 6, junio - julio 2009
CarteLera
ADVERTENCIA. Informamos a nuestros lectores y suscriptores que se han detectado varias personas naturales y jurídicas, como SUSCRIVIDEOS Y REVISTAS, INFORMATICA MOLPER, DANILO PÉREZ, MARKETING VIDEO y otros, haciendo renovaciones o suscripciones de la Revista Internacional Magisterio, sin autorización de la Cooperativa Editorial Magisterio. No permita que lo estafen. Exija el carné que autoriza hacer suscripciones. No dude en contactarnos. En Bogotá 2884818. Fuera de Bogotá, línea gratis: 018000 114818
¿BUSCANDO UNA BECA? Más de cien convocatorias disponibles. En la herramienta especializada de Becas Colombia, http://becas.universia.net. co, el usuario podrá realizar la búsqueda de los ofrecimientos de pasantías, becas, intercambios, becas-crédito y créditos educativos, entre otros. “Philosophy, Education and Care of the Self” IAPC Session at the American Philosophical Association Eastern Division 2009 Annual Meeting and a Special Issue of Thinking: the Philosophy for Children Journal. We are calling for papers that consider such topics as: Philosophy for Children and Renaissance (humanist and religious) notions of wisdom; The Community of Inquiry and Foucault’s askesis; Philosophy for Children and Shusterman’s Somaesthetics; Philosophy for Children and American naturalist notions of growth; Philosophy for Children and Stanley Cavell’s moral perfectionism; The community of inquiry and Pierre Hadot’s work on spiritual exercises; The community of inquiry and Buddhist notions of right listening and mindful speech; Philosophy for Children and Aristotelian friendship Agreement: In submitting a paper for this conference and journal publication, you warrant that the paper is your original work and has not been published in print or online anywhere. You also agree that if your paper is accepted, you will attend the IAPC session at the APA Eastern Division Annual Meeting, held December 27-30, 2009 at the New York Marriott Marquis. You further agree to make final revisions of your paper, to be submitted by February 1, 2010. Maughn Gregory (gregorym@montclair.edu) and Megan Laverty (Laverty@tc.edu) ONLINE MASTERS COURSES The IAPC is happy to announce the 2009 International Summer Seminars: The Advanced Seminar: Developing Philosophical Curriculum will be held May 20-27, 2009 at St. Marguerite’s Retreat House, Mendham, N.J. The Introductory Seminar: Using Philosophy in Your Classroom will be held July 7-14, 2009 at Holy Cross Monastery, West Park, N.Y. For details see our flyer at: http://frontpage.montclair.edu/iapc/Summer_ Seminars_2009.pdf
CONGRESO INTERNACIONAL LECTURA 2009 EL Comité Cubano del IBBY y la Cátedra Latinoamericana y Caribeña de Lectura y Escritura, con el coauspicio de la Fundación del Libro Infantil y Juvenil de Brasil (FNLIJ), el IBBY de Canadá, Fundalectura Colombia y A Leer / IBBY México (Secciones Nacionales de Brasil, Canadá, Colombia y México de International Board on Books for Young People, respectivamente): Convocan al Congreso Internacional Lectura 2009: Para leer en el S. XXI se han de conocer las fuerzas del mundo para ponerlas a trabajar. Auspiciadores: Centro Regional para el Fomento del Libro en América Latina y el Caribe –CERLALC–; Instituto Cubano de Investigación Cultural “Juan Marinello”; Unión Nacional de Escritores y Artistas de Cuba –UNEAC–; Ministerio de Cultura –MINCULT–; Casa de las Américas; Editorial Gente Nueva; Biblioteca Nacional José Martí –BNJM–, entre otros organismos e instituciones nacionales y extranjeras. A celebrarse en Ciudad de La Habana, Cuba del 26 al 31 de octubre de 2009, en su sede habitual el Hotel Habana Libre Tryp Sol Meliá. Fecha límite para realizar la inscripción: 30 de agosto del 2009. Para mayor información, por favor, dirigirse a: Dra. Emilia Gallego Alfonso (e-mail: emyga@ cubarte.cult.cu) Lic. Aimée Vega Belmonte (e-mail: aimee@icaic.cu) UNITED KINGDOM Conference CFP: Creative Engagements - Thinking with Children, Oxford, UK http://www.inter-disciplinary.net/ati/education/cp/ce5/cfp.htm Friday 17th July - Sunday 19th July 2009, Mansfield College, Oxford, United Kingdom 1. Creativity, Engagement and Education 2. Creativity, Pedagogy and Curriculum 3. Critical and Cultural Thinking and Children 4. Engagement, Skills and Life Issues – Phil Fitzsimmons. Faculty of Education. The University of Woollongong. Australia. Email: philfitz@uow.edu.au – Dr Rob Fisher. Inter-Disciplinary.Net. Priory House, Wroslyn Road, Freeland, Oxfordshire OX29 8HR. Email: ce5@inter-disciplinary.net MÉXICO La Red Latinoamericana para la Transformación de la formación docente en Lenguaje; La Universidad Pedagógica Nacional, a través del Área Académica diversidad e interculturalidad, El cuerpo académico didáctica de la lengua, El proyecto de intervención: la lengua escrita, la alfabetizacón y el fomento de la lectura en educación básica (pilec); La Universidad Pedagógica Nacional, Unidad 201, Oaxaca, La Redlee de Maestras y Maestros de Oaxaca, México, La Red Metropolitana de Lenguaje (Distrito Federal y Estado de México) Convocan al Vll Seminario taller latinoamericano para la transformación de la formación docente en lenguaje, X Encuentro Nacional de maestros
por el fomento de la lectura y producción de textos en la educación básica. Lugar: Universidad Pedagógica Nacional, Unidad 201, Xoxocotlán, Oaxaca, México. Fecha: 1° de noviembre al 14 de noviembre de 2009. Grupo contacto: por la Red Latinoamericana para la Transformación de la Formación Docente en Lenguaje: Gloria Inostroza de Cely. Coordinadora Regional Sur. Universidad Católica de Temuco. Temuco, Chile gloriain@uct.cl, Gloria Rincón, Coordinadora Internacional, Cali, Colombia. Roberto Pulido Ochoa: repulido@gmail.com rpulido@upn.mx Carmen Ruiz Nakasone: cruiz@upn.mx Teléfono: (01 55) 56309700 Ext. 1343 (Lada Nacional) (00 52) (55) 56309700 Ext. 1343 (Lada Internacional) MÉXICO. DIPLOMADO EN NEUROPSICOLOGÍA INFANTIL Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. Vicerrectoría de Docencia, Facultad de Psicología, Maestría en diagnóstico y rehabilitación Neuropsicológica, invitan al Diplomado en Neuropsicología infantil de Mayo-Diciembre, 2009. La neuropsicología es una nueva disciplina que se encarga del análisis de las funciones psicológicas superiores –FPS– en estrecha relación con las estructuras nerviosas, tanto en la normalidad como en la patología, en niños y adultos. Contacto: Dr. Luis Quintanar Rojas E-mail: lquinr@siu.buap.mx Informes e inscripciones: Maestría en Neuropsicología 3 Oriente 403, Centro, Puebla, Pue. Tel. y Fax (222) 242 53 70 www.neuropsicologia.buap.mx XI CONGRESO DE LA SOCIEDAD LATINOAMERICANA DE NEUROPSICOLOGÍA Puebla, México, del 20 al 23 de octubre de 2009, en la modalidad de simposio. Las propuestas deberán escribirse en uno de los tres idiomas oficiales de la SLAN (español, portugués o francés). Para acceder a los formularios, favor visitar la página: www.slan.org Los temas científicos del Congreso, son: 1. Neuropsicología del desarrollo. 2. Neuropsicología clínica. 3. Alteraciones del lenguaje y la comunicación en el adulto. 4. Neuropsicología y conducta. 5. Problemas teóricos y metodológicos de la evaluación y la rehabilitación. 6. Neuropsicología del envejecimiento y del deterioro cognitivo. 7. Nuevas tecnologías en neuropsicología. 8. Neuropsicología y plasticidad cerebral. 9. Otros temas Luis Quintanar Rojas. Presidente de congreso Maestría en Diagnóstico y Rehabilitación Neuropsicológica. Facultad de Psicología. Universidad Autónoma de Puebla. 3 Oriente 403, Centro Histórico. Puebla, 72000, Pue. www.neuropsicologia.buap.mx Tel. y Fax.: +52-222-2425370 COLOMBIA ASOCOLME – Asociación Colombiana de Matemática Educativa– Encuentro colombiano de
H A G A C O N O C E R S U S E V E N TO S E N E S TA C A RT E L E R A E S C R I B A A : R E V I S TA @ M A G I S T E R I O. C O M . C O
La Matemática: una herramienta para la vida /5
Matemática Educativa. Cultura, Currículo, Educación matemática. San Juan de Pasto - Universidad de Nariño. 8, 9 y 10 de Octubre de 2009. Invitada internacional: Gelsa Knijnik. Universidad do Vale do Rio dos Sinos, UNISINOS, Brasil. Mayor información: Telefax Bogotá: 3686558 / Pasto: 2- 7310327. Las inscripciones se pueden hacer por medio electrónico a través de la pág. web o a través de fax. En Bogotá (1) 3686558 Correos electrónicos: asocolme@gmail.com matematicas@udenar.edu.co hilbla@udenar XIII Congreso Internacional de Filosofía Latinoamericana. “La Integración de América Latina y de El Caribe: Balance y Perspectivas”. 24, 25, 26 y 27 de Junio de 2009. Bogotá, D. C., Colombia. La Universidad Santo Tomás a través de su Facultad de Filosofía y Letras ha venido realizando cada dos años, desde 1980, el Congreso Internacional de Filosofía Latinoamericana, que ha convocado destacados pensadores de América Latina, de Europa y de Norte América, con especial resonancia en el ámbito nacional e internacional. El tema del Congreso será abordado desde la Filosofía Política, la Filosofía Social, la Filosofía de la Economía, la Filosofía del Derecho, la Filosofía de la Cultura, la Filosofía de la Educación, la Ética, la Cosmología o Filosofía de la Naturaleza, la Filosofía de la Ciencia y de la Tecnología, la Filosofía de la Religión, entre otras, a partir de distintas Ponencias Centrales, que se programan en las mañanas, y que establecen los lineamientos de las Mesas Temáticas, que se desarrollan usualmente en las tardes. Contacto: Oficina XIII CIFLA. Carrera 9ª N° 72 - 90. Bogotá, D. C. PBX: 587-8797 Extensión 2351 Facultad de Filosofía y Letras Carrera 9ª N° 72 – 90 Piso 2. Sede Norte PBX: 587-8797 Extensión 2351 / 2350. Tele-Fax. 255 18 49 xiiicifla@usantotomas. edu.co XIV Congreso Colombiano de Sexología y Educación Sexual “Salud Sexual, Salud Reproductiva, Derechos” Enfoque Interdisciplinario con Perspectiva de Género. Sociedad Colombiana de sexología Hotel Nutibara Ciudad de Medellín del 9 al 11 de Octubre de 2.009 En respuesta a los requerimientos internacionales y complementando la política estatal de Colombia que busca la proyección social con perspectiva de género y enfoque interdisciplinario, se desarrollarán de manera científica, conferencias, simposios y talleres sobre aspectos relacionados con la sexología clínica y educativa, la salud sexual y la salud reproductiva, el género y los derechos humanos y sexuales, promoviendo una sexualidad sana, segura y responsables en todas las etapas de la vida Objetivo: Promover el estudio científico de la sexología a niveles investigativos, educativos, terapéuticos, de proyección social y de políticas públicas, a través de un Congreso Nacional con perspectiva de género y enfoque multidisciplinario, durante el mes de Octubre de 2009 en la ciudad de Medellín, Colombia. Web: www.socosex.com Socosex Congreso. Calle 34 Nro. 65 – 24 Barrio conquistadores. Tels. 2 35 23 51 / 2 65 44 77. Mede-
llín - Colombia Email socosex@gmail.com, psicocid@gmail.com Congreso Internacional de Educación en Ciencias Naturales International Congress of Science Education Cartagena, Colombia, 15-18 July 2009
sidad Santo Tomás –VUAD–. Móvil, (+57 03) 310 550702 danielbeltran@ustadistancia.edu.co estudiosavanzados@gmail.com
http://www.colciencias.gov.co/rec/cong El objetivo general de este Congreso es reunir expertos internacionales de América, Europa, Asia y otros países del mundo para discutir asuntos relacionados con la metodología y la didáctica moderna de la enseñanza de las ciencias naturales (física, química, biología y otros) y matemáticas a nivel universitario y escuela secundaria (bachillerato). Contacto: Mary Falk De Losada, Rectora Universidad Antonio Nariño http://www.uan.edu.co, Yuri Orlik Ph.D. Director, Journal of Science Education http://www.colciencias.gov.co/recoen85@yahoo.com I Congreso Colombiano de Restauración Ecológica y II Simposio de Nacional de Experiencias en Restauración. Tendrá lugar entre el 27 y 31 de julio de 2009, en el Centro de Convenciones Alfonso López Pumarejo de la Universidad Nacional de Colombia, sede Bogotá. Este evento científico es organizado por el Grupo de Restauración Ecológica del Departamento de Biología de la Universidad Nacional de Colombia –GREUNAL–, la Red Colombiana de Restauración Ecológica –REDCRE– y la Academia Colombiana de Ciencias Exactas Físicas y Naturales. Su objetivo principal es construir, de manera sólida y organizada, las bases conceptuales para implementar procesos de restauración en el país y unir esfuerzos en torno a los mismos; también, contribuir a la difusión de las experiencias de restauración ecológica, que actualmente desarrollan diferentes regiones del país, brindar un espacio para que entidades, grupos, investigadores y personas naturales interesadas en la restauración ecológica, interactúen e intercambien experiencias. Contactos: congresoredcre@gmail.com, o al teléfono 3 165000 Ext. 11306. Convocatoria Programa de estudios avanzados en investigación Cohorte 2009 Centro de Estudios Avanzados en Investigación y Tecnología –VUAD–, Facultad de Ciencias y Tecnología Universidad Santo Tomás. Dirigido a: Grupos de investigación acreditados en la USTA-Colciencias, investigadores de Universidades adscritas a la red de estudios avanzados en investigación, investigadores particulares en formación, docentes y profesionales interesados en profundizar entorno a los fundamentos disciplinares y administrativos de la investigación. Equipo Docente-Investigador Cetro de Estudios Avanzados en Investigación y Tecnología Univer-
Premio Compartir al maestro 1513 docentes colombianos aspiran ser el Gran Maestro 2009. El pasado 15 de marzo se cerraron las convocatorias al Premio Compartir al Maestro 2009, superando el número de inscritos de los últimos cuatro años y ahora comienza el trabajo del equipo evaluador. El equipo del Premio. El Premio Compartir al Maestro da la bienvenida a Ana María Gómez, Directora de Comunicaciones de la Fundación Compartir, y Angela María Londoño, Coordinadora del Premio Compartir al Maestro, quienes a partir del mes de marzo empezaron a trabajar con nuestro equipo. Ana María y Angela María estan atentas para resolver las dudas y requerimientos de los medios de comunicación y los docentes, respectivamente. Correo: info@premiocompartiralmaestro.org Bogotá: Calle 67 No. 11-61 Teléfono 312-5051 Linea gratuita nacional: 01 8000 919 640
210 becas integrales y 210 morrales con material educativo Niñas y niños de Madrid y Sibaté en Cundinamarca, recibieron ayudas de BBVA
agenda
El alcalde de Madrid Cundinamarca, Diego Sicard, vivió de cerca la alegría de las niñas y niños del Instituto Cristiano San Pablo, de ese municipio cundinamarqués al recibir las ayudas educativas entregadas por la institución financiera, en el marco de su Plan de Responsabilidad Corporativa de BBVA.
Mountain View School Division. The best home stay program in Manitoba –Canada–. Where the world comes to study. While you are here... the natural choice... Canoeing, horseback riding, Skiing, Hockey, Curling, Fishing,, Biking, Snowing, Sailing, Camping, Bonfires, Hiking, Tennis, Geocaching, Festivals, Golf, Swimming, Dance, Skating. There are over 100 different languages spoken in Manitoba located in the heart of the parkland area. The families open their homes to students wanting a safe, caring, nurturing environment. While staying with the homestay family, students will have the oportunity to experience canadian culture, practice English and develop friendship and memories that will last a lifetime. In the picture from left to right Julio Delgado, Marcela Barbosa, Emperatriz de Barbosa, Alfredo Barbosa, Dwayne Zarychni director MVSD (Mountain View school Division en Manitoba - Canada), Cristina Barbosa. Come visit us at: www. traveleducation.com atcliente@traveleducation.com
Las ayudas a los menores de escasos recursos de Cundinamarca hacen parte del Plan de Responsabilidad Social del banco, que durante 2009, invertirá 4.000 millones de pesos en la educación de 5.185 niñas y niños a través de su programa de becas integrales y de la entrega de 20 mil morrales con material educativo en 20 ciudades del país, entre las que se destacan Medellín, Quibdó, Barranquilla, Cartagena, Pereira, Villavicencio, Bogotá, Cali, Palmira, Buenaventura y Bucaramanga, entre otras.
La Matemática: una herramienta para la vida /7
Estudiantes colombianos “harán la historia” en el Bicentenario de
la Independencia. 200 años, 200 preguntas fueron seleccionadas en la primera etapa del Programa Historia Hoy: Aprendiendo con el Bicentenario de la Independencia de un total de 16.501 hechas por estudiantes de educación básica, media y superior. En esa etapa participaron estudiantes de 1.951 instituciones educativas de 533 municipios en 31 departamentos. La elección de las preguntas fue realizada por estudiantes de educación superior, coordinados por la Asociación Colombiana de Universidades (ASCUN) y posteriormente por un Comité Asesor, conformado por historiadores, docentes de educación básica, media y superior y académicos. Con la premiación a los ganadores se cerró la etapa ‘Los estudiantes preguntan’ del Programa Historia Hoy: Aprendiendo con el Bicentenario de la Independencia. A través de la segunda fase: “Construyendo Respuestas” el Ministerio de Educación Nacional busca acercar los diversos métodos de investigación científica a las aulas.
Primera infancia
Al mejor estilo de Broadway o del Casino Río en Las Vegas, el Colegio Rochester puso en escena el show artístico musical IN VOLTA, con la dirección de Iliana Aljure –Rectora del Colegio– Maestra de Artes en Educación de la Danza de la Universidad de Nueva York (NYU), encuentro realizado en el Centro Cultural William Shakespeare. Más de 900 artistas de todas las edades, 8 sesiones, más de cinco mil asistentes, se reencontaron pasado, presente y futuro, se fusionaron, artistas, docentes, cantantes, bailarines, músicos, padres de familia, mostrando que hay lugares mágicos, hay lugares cálidos, hay lugares con olor a chicle bomba, hierbabuena y menta fresca, hay lugares donde el tiempo no pasa y lugares en donde el arte es la vida.
Colombia tiene una Política Educativa para la Primera Infancia, que entre 2006 y 2010, atenderá a por lo menos 400.000 niños y niñas menores de 5 años en todo el país. El objetivo de esta nueva Política Educativa es garantizar una mejor calidad de atención integral (salud, nutrición y educación inicial) a los niños y niñas entre los 0 y 5 años, especialmente los pertenecientes a los niveles I y II del Sisbén. El objetivo es que los menores reciban atención integral mediante programas que involucren a la familia, la comunidad y las instituciones especializadas. De acuerdo con esta nueva política educativa, los niños y niñas que están entre los 0 y 5 años que reciben una adecuada atención durante la primera infancia obtienen mayores oportunidades de ingresar a tiempo a su educación formal, desempeñarse con mayor éxito a lo largo de sus estudios, mejorar sus posibilidades de acceso a la educación superior y aumentar sus oportunidades para desenvolverse competentemente en su vida laboral. Otra de las metas de la Política Educativa para la Primera Infancia a 2010 es, contar con 80 entidades territoriales certificadas en educación con Planes de Atención Integral (PAI) y que implementen la denominada “guía operativa” para la prestación del servicio a los niños y niñas
La matemática:
editorial
una herramienta para la vida
M
uchas veces se ha hecho del aprendizaje de las matemáticas algo misterioso. Y tiempo ha, que no ha pasado del todo, en que el docente de matemáticas era el que más “rajaba” y hasta sentía cierta complacencia en ello. Pero las cosas van cambiando. Prueba de ello son los intentos que se hacen para derribar el viejo mito de que las matemáticas son para mentes privilegiadas. Y, en ese marco de ayudar al docente a mejorar los conocimientos matemáticos, la didáctica de la enseñanza del área y de mejorar su práctica en el aula, se sitúa el número treinta y nueve de la Revista Internacional Magisterio. Los diferentes articulistas presentan aportes investigativos para asegurar una mejor enseñanza del área de aprendizaje que nos ocupa, experiencias desde el aula que muestran que sí se puede cambiar y hacerlo de un modo diferente y con muy buenos resultados. Otros lo hacen desde la cátedra universitaria, lo que nos permite ver los intentos de cambio que se están haciendo en la preparación del nuevo docente de matemáticas. Pero este es apenas un abrebocas para estimular a los lectores de la Revista a investigar, estudiar y modificar la forma de llevar los conocimientos al aula. Es, además, una forma de implicar a los demás docentes
para que se familiaricen con el área de matemáticas y no se la mire como algo privilegiado y sólo para unos pocos. En las diferentes pruebas de matemáticas que se realizan a nivel internacional, los estudiantes latinoamericanos, en términos generales, no quedan bien calificados, los resultados son pobres. ¿A que se deberá tal hecho? ¿Docentes mal preparados en los contenidos matemáticos y que por lo tanto no comparten dichos saberes con propiedad y de una forma segura y acertada con los estudiantes? ¿Docentes que dominan muy bien los contenidos y no manejan un modo de hacer adecuado para compartir, para orientar la adquisición del saber? ¿Maestros que desconocen, en buena parte, la didáctica de las matemáticas, la psicología del aprendizaje y por lo mismo no tienen una forma acertada para motivar el desarrollo del pensamiento lógico-matemático, la solución de problemas y todo lo que hace atrayente y vivo el aprendizaje de las matemáticas? Todos estos interrogantes abren el camino para una larga reflexión que hace tiempo se inició en el país con el pensamiento de Carlos Federicci y otros, pero que no acaba de aterrizar, quizás por los muchos esfuerzos aislados que se hacen en este campo y por la rigidez de muchas facultades de educación para formar maestros dentro de unas nuevas formas de hacer matemáticas. Igualmen-
te, porque muchos centros educativos han desperdiciado las oportunidades que les brinda el proyecto educativo institucional para organizarse administrativa y curricularmente de una forma diferente. Además porque es más fácil trabajar de una forma repetitiva y permitir que la inercia haga su trabajo. Sin duda, una excelente enseñanza de las matemáticas, así como una buena enseñanza de la lengua materna, redundan en un buen aprendizaje de todas las demás áreas del conocimiento. De ahí la importancia de formar a los docentes en la forma más adecuada en estas dos áreas del conocimiento y más cuando está claro que para tener un buen docente en el campo matemático debemos tener un docente conocedor de la lengua materna. ¿Hoy por hoy es necesario enseñar matemáticas? O, a través de su enseñanza, ¿desarrollar el pensamiento lógico-matemático? ¿Qué estrategias, curriculares, pedagógicas, didácticas y evaluativas, utilizar para lograr lo segundo y no solamente para hacer lo primero? Aquí está, pues, para ustedes la Revista Internacional Magisterio, para seguir alimentando la reflexión y los avances que se hacen a lo largo de diferentes latitudes para lograr mejorar la calidad de la enseñanza de las matemáticas y el pensamiento lógico-matemático, Hipotéticodeductivo y formal.
personaje invitado
Utilidad de la teorĂa de las
situaciones didĂĄcticas
La Matemática: una herramienta para la vida /11
para incluir los fenómenos vinculados a la
enseñanza de matemáticas
en las clases normales María-Jeanne Perrin-Glorian (Francia) Actualmente es profesora honoraria de la universidad de Artois. Fue profesora del Instituto Universitario de Formación de Profesores (IUFM) de la academia de Lille donde contribuyó a la formación inicial en matemáticas de los profesores de primaria y secundaria. Participó en los trabajos del instituto de investigación sobre la enseñanza de las matemáticas (IREM) en la universidad de Paris 7 y en la formación continuada de los profesores de secundaria. Comenzó a investigar en el campo de la didáctica de las matemáticas desde 1975. Sus investigaciones tratan sobre la enseñanza de las matemáticas en primaria y secundaria y la formación de profesores, con base en la teoría de las situaciones didácticas de Guy Brousseau.
Traducción del Francés : Stella Angarita
Resumen En este texto, presentamos los puntos esenciales de la teoría de las situaciones didácticas, tal como los mantenemos y los utilizamos en nuestros propios trabajos para estudiar la enseñanza normal, incluso en clases escasas; señalaremos también algunas pistas para la formación de los profesores.
Introducción La didáctica de las matemáticas nació en Francia a finales de los años sesenta por voluntad de algunos precursores ante la necesidad de abordar de manera científica las cuestiones vinculadas a la enseñanza y al aprendizaje de las matemáticas, primeramente en situación escolar y luego, en general, en los fenómenos vinculados a la difusión de los saberes y conocimientos matemáticos. Entre estos precursores, Guy Brousseau, fundador de la teoría de las situaciones didácticas (Brousseau, 1997, 1998) y primer receptor de la medalla Félix Klein. Presentaremos los puntos esenciales de esta teoría y su utilidad para la enseñanza de las
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matemáticas, tanto en la concepción de los programas, de los manuales, como de la enseñanza en clase y, en consecuencia, para la formación de los profesores, tema al que voy a dedicar mi exposición. En efecto, como lo mostraron numerosos investigadores en el mundo (véase, por ejemplo, Baile, Lubienski y Mewborn, 2001; Ball, Thames & Phelps, 2008), para ser un buen profesor de matemáticas no basta con tener conocimientos matemáticos y una formación pedagógica. La enseñanza de las matemáticas demanda conocimientos matemáticos específicos para construir situaciones de enseñanza y administrarlos a fin de que los alumnos se enteren, es decir, se apropien de los conocimientos para descubrir su organización interna y para utilizarlos en la solución de problemas. La teoría de las situaciones didácticas en matemáticas –TSDM– es un medio para estudiar este tipo de saberes y producir los conocimientos correspondientes. Es esencial comprender bien el objetivo de la teoría, su carácter científico: incluir y explicar los fenómenos vinculados a la enseñanza de matemáticas y no confundirlos con las condiciones para la enseñanza en las clases. La comprensión y la explicación de los fenómenos contemplan el mejoramiento de la enseñanza, pero no se trata de decir directamente a los profesores cómo hacer la clase. En este corto texto, no puedo sino intentar poner en perspectiva algunos aspectos que considero esenciales y remitirlos a la bibliografía.
La teoría de las situaciones matemáticas En un texto bastante reciente, Brousseau (2000) recuerda los fundamentos epistemológicos y los objetivos del TSDM. Explica, en particular, cómo sus trabajos se han basado en los de Piaget pero en una perspectiva que permite integrar también los de Vygotsky en la conciliación de dos procesos, uno de aculturación, otro de adaptación a un medio que
provoca cuestionamientos de las causas del aprendizaje.
(TSM) y la teoría de las situaciones didácticas (TSDM) en la cual el profesor y los alumnos son socios.
Situación fundamental Uno de los conceptos más importantes de la teoría, pero, el menos fácil de incluir, es la situación fundamental. Traduce la incorporación de los conocimientos en situaciones para dar cuenta a la vez de su sentido y su utilidad: el conocimiento en cuestión es un medio para establecer una estrategia óptima para solucionar el problema implicado en la situación. Es necesario aquí insistir para evitar un malentendido que trae a menudo interpretaciones erróneas del TSDM. La situación fundamental no es una situación de enseñanza: representa un saber (los conocimientos) y los distintos tipos de problemas que permiten solucionar, por medio de un juego sobre los parámetros que lo determinan. Uno de los primeros ejemplos de Brousseau en 1983 (véase Berthelot y Salino, 1992, p.34) permitía distinguir la geometría como teoría de la consistencia de los enunciados sobre el espacio y la geometría elemental como modelo del espacio. Otro ejemplo de situación fundamental es el de la enumeración: se dispone de recipientes de pintura y es necesario ir a buscar a un lugar distante y en un único viaje, bastantes pinceles para poner exactamente un pincel en cada recipiente. Una situación fundamental (en el sentido de familia de problemas en un contexto) no es, en sí misma, una situación de clase. Debe, sin embargo, “permitir representar todas las situaciones observadas en las clases [...] más satisfactorias en cuanto llevan a hacer que a los alumnos aprendan una forma de saber visto” (GB, 1998, p. 81). Para hacer de una situación fundamental una situación de clase, sería necesario fijar las variables y describir una organización del trabajo del profesor y los alumnos teniendo en cuenta los conocimientos previos de los alumnos. Conviene, en efecto, distinguir la teoría de las situaciones matemáticas atribuidas a los alumnos o situaciones adidácticas
Los conocimientos permiten solucionar varios tipos de situaciones. Concepciones. Articulación de los conocimientos.Transposición didáctica Para la enseñanza, es importante pensar los conocimientos a través de los problemas que se pueden solucionar. Sin embargo, la incorporación de los conocimientos en situación, supone también una distinción entre conocimientos organizados en una lógica que sólo está incluida en el conocimiento y los conocimientos que permiten tomar decisiones en una situación. Así, los conocimientos toman significado diferente en situaciones diferentes; ahora bien, un significado situado en primer lugar puede erigirse en obstáculo (GB, 1998, 115-160), en una movilización del conocimiento para solucionar un problema donde aparece con un significado totalmente diferente. Antes de que todas las relaciones hayan podido hacerse (¿y lo serán alguna vez?), el saber enseñado y aprendido tiene, por una parte, un carácter parcial y provisional que será necesario poder cuestionar. Así, el orden en el cual aparecen estos distintos significados o concepciones de un conocimiento corre el riesgo de tener una influencia sobre los aprendizajes de los alumnos. La articulación entre los conocimientos y las situaciones es, pues, una cuestión importante para la didáctica, en este caso estudiada bajo el nombre de transposición didáctica. En efecto, la organización a la que llegó el desarrollo de las matemáticas, el más claro y el más simple desde este punto de vista, no es necesariamente el más pertinente para la enseñanza.
El concepto de medio Esta resistencia a las primeras concepciones se explica, en particular, por la adaptación a un medio de la enseñanza. Un elemento fundamental del TSM es
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la noción de medio material, aspecto material que puede ser traducido en representaciones semióticas, incluidas las simbólicas o lingüísticas. Se trata de los elementos conocidos por protagonista (que podrá ser un alumno en el TSDM) que traen retroalimentaciones que el protagonista puede interpretar con sus conocimientos previos mientras actúa para solucionar un problema planteado en este medio. Tomemos como otro ejemplo la resolución algebraica de una ecuación que traduce la igualdad de dos funciones mientras que ya se trazaron los gráficos de estas funciones: las representaciones gráficas forman parte del medio material de la situación y pueden aportar una retroalimentación a los cálculos. El medio “material” en el cual se plantea un problema será así un elemento crucial en la definición de una situación. Se aplican algunos conocimientos para actuar sobre este medio; pueden ser insuficientes para producir una solución aceptable; por adaptación a los intercambios de información del medio, el protagonista que pretende solucionar el problema tiene que modificar sus conocimientos para producir una solución satisfactoria, pero la situación no le da, necesariamente, los medios para reconocer el saber cultural para relacionar este conocimiento. El TSM distingue, en efecto, los conocimientos que permiten actuar en una situación y los conocimientos que se refieren a una institución o a una cultura. La brevedad de este artículo no permite desarrollar aquí la parte formal de la teoría en términos de juegos y sistemas de agentes (GB, 1998, p. 82-87) pero utilizaré, de manera metafórica, el concepto de lo que está en juego como el saber que permite ganar jugando el juego de la situación.
La teoría de las situaciones didácticas en matemáticas La situación didáctica El contrato didáctico La situación tal, como lo preveíamos hasta aquí, incluye, sobre todo, un problema
Figura 1 – Modelo del puzzle
Figura 2
Figura 3
y un contexto, un medio en el seno en el cual el problema se plantea. En la situación didáctica, dos elementos suplementarios deben tenerse en cuenta.
limitada). Las situaciones de enseñanza deben tener en cuenta estas dificultades, en particular, la organización de los conocimientos en el sistema escolar.
En primer lugar la institución en la cual se desarrolla la enseñanza, que trae sus exigencias y sus dificultades (los programas de enseñanza y también la organización de las clases y estudios, el reparto de la enseñanza en secuencias con duración
Además, hay otro jugador en la situación didáctica: el profesor que interviene en las relaciones del alumno con el conocimiento. Para él, la ganancia del juego es condicionada por la ganancia del jugador-alumno, pero el alumno debe
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ganar (resolver el problema) utilizando un conocimiento matemático y no por la oportunidad o por otras razones que no corresponden a la adquisición del conocimiento. Los informes de enseñanza suponen un sistema de esperas recíprocas entre profesor y alumnos, relativas al conocimiento pendiente, el contrato didáctico. GB (1998, p. 57-78) mostró las paradojas que implica el hecho de interpretarlo como un verdadero contrato: por ejemplo, el alumno y el profesor deben aceptar la responsabilidad de realizar “tareas” que no están en absoluto muy seguros de saber y poder llevar a cabo, o también el profesor debe lograr que al alumno haga por sí mismo lo que por definición es necesario que él enseñe (y que el alumno no sabe). A partir de 1978, había previsto algunas consecuencias de este error, observadas hoy: por ejemplo, la imposibilidad de mejorar la enseñanza y el aprendizaje por el juego ciego de las evaluaciones a gran escala y sus efectos perversos sobre la enseñanza. Una situación de enseñanza supone, pues, que un contrato didáctico (un pseudo contrato) pueda establecerse y negociarse en torno al problema elegido. Por ejemplo, el profesor no puede
proponer el problema de ampliación del rompecabezas sino a alumnos que disponen de una estrategia, incluso errónea, para solucionar el problema, y también de medios de saber si lo que proponen es o no una solución satisfactoria del problema. La situación didáctica contiene así, una situación matemática o situación adidáctica, es decir, privada de las intenciones didácticas implicadas en un contrato didáctico.
La puesta en escena de las situaciones. Las causas y las razones del conocimiento Para que la situación matemática se convierta en una situación didáctica, es necesario prever una organización del trabajo de los alumnos, un juego que los alumnos pueden jugar con sus conocimientos actuales, y lo que está en juego será la adquisición de nuevos conocimientos. El medio material, organizado por el profesor para los alumnos, debe, en la medida de lo posible, ser tal que los conocimientos previos de los alumnos, insuficientes para dar una respuesta óptima al problema, le permitan, sin embargo, reconocer si una solución conviene o no y de interpretar la que puede remitir
a sus acciones, es decir, un contrato didáctico propicio al aprendizaje cuya retroalimentación pueda establecerse entre el profesor y los alumnos en torno a este medio. Así pues, en el ejemplo del rompecabezas, el alumno debe tener técnicas de cálculo, medios de construir las partes de rompecabezas con instrumentos de geometría, el conocimiento de los ángulos rectos que querrá conservar en la ampliación del rompecabezas, el conocimiento de las propiedades de los lados del rectángulo, la forma global del rompecabezas... Debe, también, disponer de conocimientos sobre las fracciones como medidas. Sin embargo, cuando los alumnos han aprendido a adaptarse a un medio, han respondido a causas pero no tienen las razones del conocimiento. Por ejemplo, en la situación de ampliación del rompecabezas, los alumnos que añadieron 3 a todas las dimensiones rechazan esta solución en el momento del montaje del rompecabezas. Si la consigna hubiera sido aumentar 4 cm en 6 cm, podrían haber cambiado de modelo y añadir a cada dimensión su mitad aplicando la proporcionalidad. En el caso elegido, otros montajes de las partes son posibles
Acción Sujeto
Medio
Contrato didáctico
Retroalimentación
Situación adidáctica Figura 4
Situación didáctica
y llevan a formular aditividad: si la longitud, por una parte, es la suma de dos dimensiones en el otro modelo, eso debe ser verdadero también en la ampliación: 4 =1+1+1+1; la imagen de 1 es pues 7/4 y así se deducen todos los otros. Pero, aunque los alumnos lleguen a esta solución, quedará por acercar a este problema otros problemas de proporcionalidad para convencerse de que solamente la multiplicación por un coeficiente permite conservar las propiedades de aditividad y, a nivel geométrico, conservar todos los ángulos. La demostración general vendrá, por supuesto, mucho más tarde, para algunos de ellos. Sin embargo, incluso a un nivel elemental, a condición de que el medio material (aquí la elección del reparto del rompecabezas y los valores numéricos) lo permita, él puede hacer pasar a los alumnos de la aplicación de un conocimiento en una situación de acción a un determinado nivel de prueba y a la reinversión en otros problemas y conectar así los conocimientos construidos para responder a un problema particular, a un saber definido y reutilizable para tratar otros problemas.
El papel del maestro: descentralización, institucionalización, reglamento En la presentación que hemos hecho hasta ahora, el profesor permaneció en la sombra. Desempeña, con todo, un papel esencial, no sólo para construir situaciones de enseñanza para los alumnos, sino también para administrar su desarrollo en clase. Este papel puede describirse y estudiarse en torno a tres grandes procesos (GB, 1998, p.299-327): La descentralización, proceso por el cual el profesor procura que los alumnos acepten asumir la responsabilidad de la resolución del problema y de comprometer conocimientos matemáticos (aunque no sepan de antemano si son capaces). La institucionalización, proceso mediante el cual el profesor ayuda a los alumnos a definir entre los conocimientos aplicados
para solucionar un problema aquellos que corresponden a conocimientos que vale la pena retener, situar con relación a otros, para reutilizarlos al tratar nuevos problemas. El reglamento, a través de él el profesor intenta mantener la relación didáctica y lo que está en juego a nivel didáctico, las condiciones de desarrollo del juego. Además, la enseñanza y el aprendizaje se continúan durante el año. El profesor debe mantener la memoria didáctica de la clase para garantizar el seguimiento y la continuación de los aprendizajes; debe prever la evaluación, que ejerce distintas funciones didácticas y contribuye, en particular, a la institucionalización de los conocimientos.
La ingeniería didáctica, metodología de investigación apoyada en el TSDM La teoría de las situaciones es una herramienta para la investigación y, a este respecto, se utilizó para producir situaciones didácticas y currículo aplicado en clase con fines de investigación. En la exposición oral que haré sobre este artículo, tomaré el ejemplo, que no tengo lugar de desarrollar aquí, de la tesis de Patricia Sadovsky, que dirigí en 2004 en la Universidad de Buenos Aires, y en particular, de las situaciones en torno a la división euclidiana que puso a punto para estudiar la transición y los informes aritmética/ álgebra al principio de la enseñanza secundaria.
Utilidad del TSDM para comprender y mejorar la enseñanza normal La didáctica tiene vocación para responder a cuestiones que se plantean los profesores, incluso para producir situaciones eficaces para la enseñanza. Estos se interesan, en primer lugar, por sus resultados. Pero la investigación progresa lentamente y se necesitan largos trabajos para proporcionar respuestas suficientemente garantizadas a los profesores. Además,
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las situaciones producidas por la investigación son difícilmente comunicables a los profesores no implicados en investigaciones y que están en condiciones normales de enseñanza. Sin embargo, la teoría de las situaciones es útil también para comprender mejor la enseñanza, tal como se desarrolla generalmente y puede proporcionar al profesor herramientas de análisis de su propio trabajo y del de sus alumnos. Pero la evolución de las prácticas depende también de una evolución de las concepciones del público y de los responsables de la educación; el TSDM permite también constatar los posibles errores y los límites.
Lo que aporta un análisis en términos de TSDM de la enseñanza normal Tal como se constituyó, el TSDM ha estudiado las condiciones de difusión de un conocimiento y producto de las situaciones que cumplen en la medida de lo posible estas condiciones. Sin embargo, en la enseñanza normal, las condiciones óptimas raramente se cumplen: se limita el tiempo; los alumnos nunca tienen los conocimientos previos requeridos; el medio objetivo de la situación no es nunca suficiente para aportar las retroalimentaciones necesarias. ¿Cómo utilizar el modelo del TSDM sin que la enseñanza normal aparezca más que por sus faltas? Me pareció que los conceptos de medio y contrato didáctico podían utilizarse para describir mejor e incluir lo que se juega en la progresión del conocimiento en una clase, cualquiera que sea. En efecto, el concepto de medio es útil no solo para decir lo que podría ser un buen medio para enseñar un objeto matemático dado sino también para prever lo que podría prescindir si el medio no es suficiente y también para prever lo que el profesor podría (debería) hacer en ese caso. A partir de una observación de clase y los datos recogidos, se puede reconstituir una situación didáctica teniendo en cuenta tres elementos:
• El conocimiento visto, la intención didáctica del profesor (no siempre explícita). • El medio material potencial: los datos del problema y todo lo que se proporciona (eventualmente en reformulaciones del problema) y que los estudiantes pueden utilizar sin intervención del profesor. • El conocimiento previo para prever las acciones que los alumnos pueden emprender sobre este medio y cómo pueden interpretar la retroalimentación. Se puede, entonces, realizar un análisis a priori de esta situación reconstituida para determinar el campo de lo posible. Este análisis permite definir insuficiencias del medio y en consecuencia de los puntos sobre los cuales el propio profesor deberá intervenir para aportar una retroalimentación en caso de errores de los alumnos. Además, los conocimientos efectivos de los alumnos pueden ser diferentes de aquellos que espera el profesor; por lo tanto, puede que no posean la capacidad para interpretar la retrolimentación del medio: sólo se activa una parte del medio. El análisis, en términos de medio y contrato, permite estudiar las dinámicas posibles de una situación de enseñanza, lo que puede producir hacer progresar los conocimientos de los alumnos y sobre todo de la clase. Daremos ejemplos sobre porcentajes de aumento al 8º grado y sobre la resolución de las ecuaciones del segundo grado al 10º grado (Rastrillar y Perrin-Glorian, 2005).
Herramientas para el profesor. Puntos esenciales para la formación de profesores El análisis del conocimiento pendiente y sus posibilidades de apropiación en situación son productos resultantes de investigaciones que pueden ser directamente útiles al profesor. Pero algunas de las herramientas de la investigación, en particular las que sirven para el análisis de las clases normales, pueden, a su vez,
ser útiles al profesor para el análisis del trabajo real de los alumnos y el análisis de su propio papel. Por ejemplo, el concepto de medio puede ayudar al profesor a distinguir en una situación que elige para sus alumnos, las potencialidades que oculta desde el punto de vista de la acción propia de los alumnos; los puntos sobre los cuales deberá intervenir, necesariamente, si las retroalimentaciones del medio resultan insuficientes. La formación de los profesores debe permitirles comprender mejor lo que está en juego en su trabajo y les debe dar herramientas para organizar y administrar lo mejor posible su enseñanza. Debe proporcionarles medios para determinar lo que está en juego en las situaciones didácticas, para analizar las potencialidades del medio elegido, los distintos tipos de acción que pueden adelantar, su efecto posible sobre la actividad matemática de los alumnos y los conocimientos que tienen que desarrollar. Bibliografía Ball, D. L., Lubienski, S., and Mewborn, D. (2001). “Research on teaching mathematics: The unsolved problem of teachers’ mathematical knowledge”. In: V. Richardson (Ed.), Handbook of research on teaching (4th ed.). New York: Macmillan. Ball, D. L., Thames, M. H., & Phelps, G. (2008). “Content knowledge for teaching: What makes it special?” Journal of Teacher Education, 59 (5), 389-407. Berthelot, R. et Salin, M. H. (1992). L’enseignement de l’espace et de la géométrie dans la scolarité obligatoire. Thèse de doctorat, Université Bordeaux 1. Brousseau, G. (1997). Theory of Didactical Situations in Mathematics. Didactique des mathématiques 1970-1990. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ________ (1998). Théorie des situations didactiques. Grenoble : La pensée sauvage. ________ (2000). “Educación y didáctica de las matemáticas”. En: Educación matemática, 12/1, 5-38, Grupo editorial Iberoamérica. Traducción: David Block y Patricia Martínez Falcon. Hersant, M. & Perrin-Glorian, M. J. (2005). “Characterization of an ordinary teaching practice with the help of the theory of didactic situations”. En: Educational Studies in Mathematics, 59, 113-151. Sadovsky, P. (2004). Condiciones didácticas para un espacio de articulación entre prácticas aritméticas y prácticas algebraicas. Tesis de doctorado, Universidad de Buenos Aires.
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INveStIgaCIóN
dilemas y tensiones que enmarcan el significado de Competencia matemática:
¿Soluciones de problemas en contextos reales? ¿Soluciones significativas para la vida social? ¿Formación para participar activamente en la vida democrática?
Gloria García, Claudia Salazar Profesoras de planta de la Universidad Pedagógica Nacional Gabriel Mancera, Francisco Camelo Profesores de planta de la Universidad distrital Francisco José de Caldas Julio Romero Profesor de planta de la Secretaría de educación del distrito Capital y catedrático de la Universidad Pedagógica Nacional
Clase de artículo: Artículo de reflexión investigativa.
recibido: Marzo evaluado: abril aceptado: Mayo REVISTA INTERNACIONAL MAGISTERIO REV.INT.MAGISTERIO La Matemática: una herramienta para la vida Págs:1-96 No. 39 Junio - Julio 2009 Issn: 0416924050039 Bogotá, Colombia
Resumen: este artículo presenta un análisis de los distintos significados de la competencia matemática, específicamente en la resolución de problemas y sus implicaciones para actuar en el mundo. Para ello se describen y analizan los significados de la competencia matemática en documentos nacionales e internacionales. además, se refiere a cómo los libros de texto y la cultura del aula favorecen una concepción de competencia y de resolución de problemas. a continuación se describe un proyecto que intenta
ayudar a los estudiantes a comprender su entorno y a percibir las matemáticas como herramienta para la construcción de un mundo más justo. Finalmente, se exponen algunas consideraciones sobre la necesidad de resignificar la competencia matemática. Palabras clave: Educación matemática crítica, Competencias matemáticas y Ambientes de aprendizaje. Abstract: This article presents an analysis of different meanings about mathematics competence mainly in solving problems and its implications to work in the world.
For it, this paper describes and analyzes the meanings of mathematics competence into national and international researches. Furthermore, it refers to how the textbooks and the culture of the classroom help us to create a conception of competence and of solving problems. After, it shows a project which could help students to understand their environment and perceive the mathematics as a useful tool to construct a fairest world. Finally, it exhibits several ideas about the need to change the mathematics competence’s meaning. Key words: Critical Mathematics Education, Mathematics Competence and Learning.
Propuestas de significados para la competencia en el campo de la educación matemática. Los análisis que forman este apartado son el resultado de la revisión de los aportes relevantes que vienen desarrollando diferentes investigadores (Skovsmose, 1999; Niss, 2002; Llinares, 2004; Vasco et al, 2007; D´Amore, Godino y Fandiño, 2008) interesados por la problemática que plantea la definición de las competencias matemáticas. La idea de este análisis es revelar cuáles son los supuestos conceptuales en las distintas propuestas, y al mismo tiempo abrir la pregunta para no reducirla a mecanismos propios de capacidades individuales cognitivas, pues pensamos que es necesario reconocer una dimensión adicional, como es la manifestación de un sujeto con opciones de participar en construcción social. Niss (2002) propone que las competencias matemáticas tienen que ver con procesos físicos o mentales, actividades y comportamientos de los sujetos, es decir, con lo que los individuos pueden hacer. Formula para el proyecto de educación matemática danés ocho competencias matemáticas con un doble carácter: analítico y de producción (de las cuales se destacan: pensamiento matemático, planeando y resolviendo problemas, modelización
matemática, razonamiento matemático, representación). El carácter analítico de la competencia incluye procesos encaminados a la comprensión, interpretación, evaluación de procesos matemáticos y evaluación de los fenómenos y procesos de validación. Mientras que el carácter de producción se centra en procesos como la creación de una cadena de argumentos y el uso de representaciones matemáticas. Para Llinares (2003), es necesario dotar de sentido a la expresión ser matemáticamente competente en la primaria, para lo cual se requiere relacionar la expresión con los fines de la educación matemática de la etapa en donde se inscribe y que esta característica determina que el sentido de la expresión sea contextualizado en el tiempo escolar. Para él, ser competente matemáticamente, se relaciona con la capacidad de realizar tareas matemáticas y comprender por qué pueden ser utilizadas algunas nociones y procesos para resolver las tareas, junto con la posibilidad de argumentar la conveniencia del uso (p.14). Define cinco dimensiones en la competencia: comprensión conceptual, desarrollo de destrezas procedimentales, pensamiento estratégico: formular y resolver problemas, capacidad de comunicar y explicar matemáticamente, actitudes positivas en relación con sus propias capacidades matemáticas. Como se observa, se introduce una competencia relacionada con el afecto, las actitudes. Esta dimensión ha sido definida como uno de los tres conceptos que integra la afectividad (McLeod, citado por GómezChacón, Figueiral, 2007). Por su parte, D´Amore, Godino y Fandiño (2008), proponen dos dimensiones en el concepto de competencia: lo complejo y lo dinámico. El primero hace referencia al uso, dominio y elaboraciones cognitivas interpretativas y creativas (D´Amore, Godino y Fandiño, 2008. p. 29); lo dinámico encierra factores meta cognitivos como la aceptación del estímulo, de hacer uso y del deseo de hacerlo. Lo importante para estos autores es precisamente la pareja afectiva: actitud, motivación-volición, como procesos psíquicos intelectuales
78/ Rev. Int. Magisterio. Bogotá (Colombia), 7 (39): 3 - 6, junio - julio 2009 presentes en la competencia. En esta pareja, especialmente en la componente de motivación, reside la posibilidad de formar estudiantes críticos, creativos e innovadores para actuar en la sociedad. Ello es posible cuando un problema despierta los intereses personales de cada individuo y se transformen en intereses del grupo social al cual pertenece el estudiante. De esta manera el problema y su solución puede satisfacer una necesidad advertida por la sociedad (D´Amore, Godino y Fandiño, 2008. p. 40). D´Amore et al, amplía los referentes conceptuales de la competencia a referentes como: volición, deseo e interés, y a nuevas disciplinas de referencia como el psicoanálisis. La competencia comienza entonces a ampliar su dinámica constitutiva, transita de considerar mecanismos mentales individuales o procesos puramente cognitivos, hacia el reconocimiento de una dimensión adicional como es la del sujeto con su connotación social. Es importante aclarar que las actuaciones del sujeto no están aisladas, están en relación directa con la producción intencionada del sujeto en la vida institucional donde el sujeto actúa. Para Skovsmose (1999), la competencia democrática es una de las competencias que caracteriza el proceso formador de las matemáticas, cambia de acuerdo con el desarrollo de la sociedad, lo que implica que su contenido está en relación con las problemáticas de una sociedad en particular. La competencia democrática tiene dos dimensiones: la formación de los individuos en la competencia democrática y la capacitación e información para el desempeño económico de las personas en la sociedad (Valero, 1994). La formación en la competencia democrática está orientada a la participación crítica en la vida social y política de la sociedad. La acepción del término crítico es referenciada con el análisis, evaluación, juicio y valoración y con el sentido de iniciativa transformadora (Skovsmose, 1999, p. 19). La segunda dimensión está relacionada con que a los estudiantes se les suministren los instrumentos para
identificar y comprender el papel de las matemáticas en situaciones críticas de la vida cultural y social y para actuar frente a estas situaciones.
vida social y cultural) como capacidad de actuación en diversas situaciones con base en un conocimiento adquirido (Valero, 2006).
En el campo nacional, el documento Estándares Básicos de Competencias (Vasco et al, 2007) presenta un significado del término competencia matemática con base en los referentes cognitivos de los procesos matemáticos e incluye también las actitudes y las disposiciones socioafectivas y psicomotoras para desempeñarse en contextos relativamente nuevos y retadores (Vasco et al, 2007). De esta manera relaciona la competencia con el tipo de tareas en las que se actualizan los desempeños.
También, compartimos que los referentes conceptuales de las competencias para los proyectos educativos con las matemáticas no pueden ser sólo construidos sobre la presunción del niño cognitivo, ni exclusivamente restringidos a capacidades de análisis y a situaciones de actualización de las competencias previamente establecidas y controladas. Por el contrario, la posibilidad de actuación del sujeto radica en poder construir socialmente sentido de futuro actuando con una perspectiva crítica sobre el mundo.
En el ámbito internacional, se destaca la propuesta de competencia en la prueba Pisa:
La vida de las competencias en la educación colombiana
La capacidad para identificar y comprender el papel que desempeñan las matemáticas en el mundo actual, emitir juicios bien fundamentados, utilizar las matemáticas y comprometerse con ellas de manera que puedan satisfacer las necesidades de la vida del individuo como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo (OECD, 2003e, citado por Rico, 2006).
En esta cita se pone de presente el carácter funcional de las matemáticas en la formación del ciudadano, puesto que resolver un problema no sólo es cuestión de consecuencias personales sino que incluye consecuencias para la vida social. Las competencias matemáticas en Pisa, se asocian con capacidades de: análisis, comunicación, razonamiento, modelación y representación, que los estudiantes ponen en juego cuando resuelven o formulan problemas matemáticos en una variedad de dominios y situaciones. Los distintos significados analizados en los apartados precedentes han sido útiles para mostrar que la propuesta de competencia enfatiza sobre la transferencia del aprendizaje, en la resolución de problemas (matemáticos, de otras ciencias y de la
La vida de las competencias matemáticas en la educación tiene ya una larga historia. Se inicia con las pruebas externas (Prueba de Estado y Pruebas de calidad, 2002)1. En sus inicios el término se asocia con la competencia comunicativa integrada por la competencia interpretativa, la competencia argumentativa y la competencia propositiva, se le define como una manifestación del saber/hacer del estudiante sin referirse a los procesos propios de la matemática. La divulgación de los resultados de las pruebas de Estado a finales de la década del noventa en los medios masivos de comunicación, rankeando las instituciones educativas de la educación básica y media, generó el ambiente propicio para la adopción acrítica de las competencias en los proyectos educativos. Una consecuencia directa de esta divulgación fue la adopción del lenguaje de las competencias en los textos escolares. Por esta razón no es difícil encontrar textos escolares de la década del noventa que inicien lecciones describiendo el contenido en términos de las competencias, como muestra la siguiente viñeta. •
Competencia interpretativa: Reconocimiento de los distintos significados
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de las fracciones. establecimiento de relaciones de orden. Competencia argumentativa: relación de fracciones con expresiones cotidianas del lenguaje común. aplicación de algoritmos para justificar resultados. Competencia propositiva: resolución de problemas utilizando los distintos significados de las fracciones. (garcía, Castiblanco, vergel, 2008).
en la actualidad, los textos describen las lecciones de matemáticas con el lenguaje de los estándares Básicos de Competencia Matemática. el rankeamiento de las instituciones también ha desatado que, con frecuencia, los ítems de la prueba sean objeto de la enseñanza. evidencia de este hecho es el caso de un estudiante de quinto de primaria, quien al solicitarle inventar un problema para medir la competencia referida a la formulación de problemas, en la prueba censal de Competencias (2004), escribe un problema con el mismo formato de los problemas cerrados propios de los instrumentos de evaluación (recorte N°1).
de otra parte, el énfasis en la resolución de problemas de la vida real, fuerza a contextualizar en situaciones reales la presentación de hechos y propiedades matemáticas, como lo muestra el siguiente ejemplo propuesto en un texto escolar (ver figura N°2). La propiedad que se quiere mostrar es la proporcionalidad directa con la escritura del modelo clásico de las proporciones (igualdad de fracciones). La utilización de una terminología superflua (obrero, piezas y producción diaria) fuerza una contextualización que no aporta nada nuevo, a pesar de que esta relación es considerada como una de las situaciones que modeliza la proporcionalidad. en lo que se refiere a la resolución de problemas, el significado y sentido que los estudiantes asignan al término, se pone de manifiesto cuando se les solicita inventar un problema. Por ejemplo, en las preguntas abiertas de una prueba, ante la solicitud: “Inventa y resuelve un problema que corresponde a la situación”, un estudiante de quinto de primaria evoca una situación social en su familia, como es la pérdida de dinero: Regresó a su casa con $15.000, al otro día encontró sólo $5.000. Solución: preguntar a sus familiares.
Figura 1. Respuesta de un estudiante. Tomado de García, Jurado, Acevedo (2006)
Figura 2 Fragmento de un libro de texto
Mientras otro niño con el referente de las situaciones que venía resolviendo en la prueba, situaciones alusivas a un Zoológico, elabora un enunciado relacionado con ellas (ver figura N°3).
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Figura 3. Respuesta de un estudiante. Tomado de García, Jurado, Acevedo (2006)
Como se observa, a los estudiantes les cuesta la invención de problemas matemáticos realistas, no así la invención de problemas de su realidad social y cultural, los cuales resuelven aplicando razonamientos no matemáticos. Las dificultades para resolver problemas reales son documentadas en diferentes estudios como lo señalan vicente, et al (2008). Pero quizá lo que se puede afirmar es que los niños aprenden a resolver problemas escolares aunque estos se caracterizan por ser distintos a los problemas reales. La diferencia entre uno y otro como lo señala vicente, et al (2008), obedece al contrato o norma estandarizada en la clase de matemáticas sobre la resolución de problemas escolares matemáticos: en todo problema presentado por el maestro o un texto, todos los datos son necesarios y suficientes; la respuesta es única, precisa y numérica. además, la solución se obtiene con una operación o con la combinación de al menos dos operaciones e implica números (vicente, S. et al, 2008).
En busca de ampliar el dominio de las competencias matemáticas Los enfoques socio-culturales, al enfatizar la naturaleza cultural del aprendizaje o su naturaleza social, introducen el macro contexto en forma de mediaciones en el aprendizaje, con herramientas culturales en las actividades matemáticas, buscan que éstas vinculen las experiencias culturales y sociales de los niños y doten de sentido a las actividades que se les proponen en la clase de matemáticas.
La búsqueda de sentido y significado, de interés y de compromiso de los estudiantes en las actividades matemáticas escolares aparece cada vez con mayor fuerza en las propuestas para la educación matemática. Primero, porque cada vez es más frecuente, encontrarse con estudiantes, o grupos de estudiantes que deciden no aprender y esta decisión no necesariamente obedece a deficiencias o a dificultades cognitivas. esta es la problemática que presentaba un grupo de los estudiantes del grado sexto del año 2007, de un colegio distrital de educación Básica (ubicado en la ciudad de Bogotá, Colombia) quienes frente a la clase de matemáticas manifestaban permanentemente una actitud de desinterés, evidenciada en las evasiones a la clase o en la decisión de no aprender. estos estudiantes reales, no son los estudiantes ideales de las teorías de aprendizaje, sino que son seres que se comportan mal, y otros se preocupan y se ocupan más de cosas totalmente distintas a las que la clase de matemáticas les ofrece (valero, 2006). Mientras que en otras clases (como la de Biología) el comportamiento de este grupo de estudiantes era totalmente distinto puesto que participaban con entusiasmo en las actividades que les proponía el profesor. estas razones nos llevaron a compartir con valero cuando señala que no es posible aceptar que lo que “nos interesa de nuestros estudiantes son únicamente sus procesos cognitivos y dejar a un lado la naturaleza social de los seres que nos encontramos en el aula” (valero, 2006), naturaleza que también está mediada por las situaciones reales de desigualdad y exclusión que viven los estudiantes, a lo que se agrega la historia de la trayectoria en el aprendizaje de las matemáticas. esta realidad nos llevó a emprender un estudio que nos permitiera comprender las relaciones entre la problemática que presentaban los estudiantes en la clase de matemáticas y los procesos históricos, culturales y sociales que han contribuido a la construcción de los estudiantes como
sujetos. Para este análisis se partió de (re) conocer el entorno social, cultural, político e institucional de la clase de matemáticas del 703 y de los estudiantes, para ganar una comprensión más amplia de las relaciones entre el “afuera” de la clase y los estudiantes, no con el ánimo de establecer las condiciones externas que determinan las actuaciones de los estudiantes, sino, como se ha dicho, para ganar comprensión en la constitución de las subjetividades. el estudio nos permitió comprender la vida de los estudiantes fuera del aula, así como las razones de algunos de ellos para no involucrarse en el aprendizaje de las matemáticas, pues la coyuntura histórica vivida por algunos junto con las posibilidades de un futuro incierto, constituían las realidades del mundo dentro del cual los estudiantes encontraban razones para no aprender. Con la intención de elaborar una propuesta basada en la idea de competencias, incluyendo la competencia crítica, optamos por el trabajo por proyectos como posibilidad de involucrar cognitiva y socialmente a los estudiantes, en actividades matemáticas significativas. Se propuso desarrollar las competencias matemáticas con la actuación en la solución de problemas reales a través de las matemáticas. Las fuentes de información para la construcción de los problemas reales fueron las situaciones, hechos y datos reales extraídos de la vida de la comunidad1. estos referentes tenían contenidos matemáticos importantes para el aprendizaje (como la relación funcional cantidad vs precio), desde la perspectiva sociológica de la importancia de aprender en la escuela y desde la posición misma de los niños, en tanto contribuyeran a resaltar el papel de los estudiantes como sujetos activos de su propio aprendizaje y su identidad como estudiantes de la clase de matemáticas. Con los ambientes de aprendizaje que se generaron, se esperaba romper con el aprendizaje logrado por los estudiantes sobre los problemas matemáticos escolares, puesto que las situaciones no se presentaron con los datos necesarios, ni con el supuesto de una y sólo una respuesta; los ambientes de aprendizaje
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potenciaban a los grupos de estudiantes para que, en un trabajo cooperativo, se analizaran y comprendieran aspectos de la realidad en la que las matemáticas se esconden, esto es, en rutinas sociales como vender, producir artefactos, por ejemplo, pero también se potenciaba la creación de acciones para participar con responsabilidad colectiva en la vida social de la comunidad e iniciar cambios. Para la construcción de los problemas utilizamos la cartografía social, como herramienta de comprensión en los procesos de organización e identidad del territorio que habitan los estudiantes (Ospina S., Picas Jordi, Venderll C., Diaarra, S., et al, 2007). La tabla describe las relaciones entre los espacios que configuran el territorio y las matemáticas que se esconden en ellos. Como se observa, en cada espacio se encuentran matemáticas. Cada espacio puede ser descrito con una información verbal, cuantitativa y gráfica. La observación, el análisis de datos y situaciones
Espacios
Matemáticas
Sociedad-naturaleza: lo ecológico
Proporcionalidad, relaciones funcionales de dependencia, variables, números racionales, magnitudes y medición.
Sociedad-capital-trabajo: lo económico
Razón, escalas, proporcionalidad y mapas, números racionales.
Sujeto-espacio: lo geográfico
Escalas, razones, mapas, proporciones y espacio proyectivo, tablas de frecuencia, porcentajes, probabilidad.
Cultural-Historia : la identidad
Espacio proyectivo, puntos de referencia y números relativos.
Sujeto-Sujeto: lo organizacional
Medidas de tendencia central, distribución de frecuencias y Razones, números racionales.
permite establecer cuáles, cómo y qué prácticas matemáticas operan en cada uno de estos espacios. En las actividades construidas, el proceso de modelaje matemático permite reflexionar y evaluar sobre las posibles soluciones a problemas, integrando las restricciones de las situaciones con la responsabilidad colectiva en la vida social de la comunidad. A continua-
ción describimos una de las actividades construidas en el espacio económico del proyecto. Espacio económico. Se dividió en dos sectores (comercial y productivo); las actividades propuestas buscaron, de un lado, que los estudiantes hicieran un reconocimiento y análisis de las actividades
82/ Rev. Int. Magisterio. Bogotá (Colombia), 7 (39): 3 - 6, junio - julio 2009 estas reflexiones puesto que pueden hacer realidad la contribución de las matemáticas y el desarrollo del pensamiento matemático al bienestar social y al desarrollo de una sociedad igualitaria. Bibliografía
Figura 4
comerciales y productivas; de otro lado, proponer a los estudiantes sistematizar, elaborar juicios y proponer alternativas acerca de cuestiones como el consumo, uso del espacio público, entre otros (figura 4).
A manera de reflexión El esfuerzo de este análisis y el reto que asumimos consiste en, por un lado, ampliar la discusión sobre la formación en competencias matemáticas que se ha dado con referencia exclusiva a las capacidades asociadas a los procesos matemáticos y, por otro, desplazar la supremacía en el aprendizaje de criterios cognitivos sobre niños ideales. En este sentido, el trabajo que hemos desarrollado con la clase de matemáticas del grado 7º. no lo presentamos como el modelo de una práctica exitosa –o experiencia exitosa– en el marco de las
competencias. La proponemos, como una experiencia que abre las posibilidades para colocar en el centro de las propuestas que buscan desarrollar las competencias matemáticas: al aprendizaje de sujetos reales y por consiguiente nuevos ambientes para aprender; otros modelos de organización curricular, como el aprendizaje basado en problemas y organizado en proyectos, o las organizaciones curriculares por temas transversales, que hagan realidad la relación de las matemáticas escolares con otras áreas; la creación de actividades y problemas reales con significado para los estudiantes en los cuales, el proceso de modelaje matemático potencie el éxito del estudiante fuera de la clase de matemáticas y de la escuela. De igual modo, incorporar los distintos escenarios del aprendizaje de la vida social y cultural donde los estudiantes participan construyendo realidad y reconociendo la potencialidad para construirla. Por último, consideramos que es necesario proponer
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biblioteca del maestro Luis Fernando García Núñez
En una de las más interesantes colecciones que posee la Cooperativa Editorial Magisterio, titulada Didácticas, se han publicado a través de los últimos años varios textos dedicados al tema de las didácticas en matemáticas que bien vale la pena conocer y destacar en esta ocasión. Aquí, para no dejar pasar esta circunstancia, nos hacemos eco del comentario que hace en el prólogo del libro del italiano Bruno D’Amore, Colette Laborde, y que compartimos por diversas razones, algunas de las cuales podrán ver nuestros lectores a continuación. Dice, al referirse a la didáctica de la matemática, que ésta no era más de “lo que era al inicio del siglo pasado, un conjunto de métodos de enseñanza de la matemática, sino que busca comprender mejor y modelizar los procesos de aprendizaje y enseñanza en sus aspectos específicos de las nociones matemáticas en juego; busca identificar las relaciones entre enseñanza y aprendizaje; toma en cuenta la dimensión epistemológica de los conceptos matemáticos y de la transformación de los contenidos del saber con fines de enseñanza; integra las características sociales ligadas a toda enseñanza, las reglas implícitas que administran las interacciones entre maestro y aprendices”. Y ese es el reto, como es el reto de la enseñanza de cualquier otra ciencia. Consideraciones que en su conjunto bastan para detenerse a pensar en los procedimientos que siguen los maestros para cautivar a sus alumnos, para hacerles comprender que sus competencias van parejas con los métodos que se siguen para enseñar, que las ciencias no tienen nada oculto y que solo los maestros esconden o hacen complejo un tema: “Como educadores matemáticos estamos interesados en que nuestros alumnos conozcan las matemáticas, las comprendan, las aprecien y que sean capaces de aplicarlas en su vida cotidiana y profesional”, dicen los autores de otro de los textos que ahora glosaremos. Así, pues, este abrebocas para reconocer el valor y la utilidad de estos formidables trabajos.
LIBROS DE UNA NOVEDOSA COLECCIÓN Competencias y matemática Bruno D’Amore, Juan Díaz Godino y Martha I. Fandiño Pinilla Bogotá; Cooperativa Editorial Magisterio, 103 págs. (Colección Didácticas) Cinco capítulos componen esta obra: 1. Contenidos, conocimientos, capacidades, núcleos fundacionales, competencias: la complejidad de la construcción del saber y de la evaluación de competencias; 2. “Competencias”: objetivo de quien construye su propio saber; 3. “Ser competente”, un desafío con raíces antropológicas; 4. Perspectiva ontosemiótica de la competencia y comprensión matemática; 5. Competencia y comprensión matemática. ¿Qué son y cómo se consiguen? Esta resumida tabla de contenido nos revela la importancia de la obra, su utilidad y, sobre todo, la pertinencia que tiene en estos tiempos. Y claro un avance que permite ver la relación, a veces conflictiva que se tiene con las matemáticas, una relación que puede ser, según los autores, “más o menos rica y abarcar distintos aspectos”.
Ellos aseguran, además, “que ‘conocer’ las matemáticas no es suficiente, porque ese conocimiento puede ser superficial, memorístico y poco útil”, y dicen que sienten la necesidad “de añadir el término comprensión: es necesario aspirar a que los alumnos comprendan las matemáticas, lo que quiere decir que sepan por qué se usa un cierto procedimiento y cómo se relacionan entre sí los distintos conocimientos”. Esa es, precisamente, la utilidad que tiene este interesante trabajo, es internarse en forma definitiva en la exploración de las habilidades, de las competencias matemáticas de los estudiantes, para reconocer “el ámbito del desarrollo curricular, de la práctica de la enseñanza y la evaluación, donde se habla con frecuencia de ‘enseñar por competencias’. En este contexto, competencia viene a ser ‘la capacidad de afrontar un problema complejo, o de resolver una actividad compleja’”.
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Didáctica de la matemática Bruno D’Amore Bogotá; Cooperativa Editorial Magisterio, 470 págs. (Colección Didácticas) Este trabajo fue Primer premio en el 2000 en el Concurso Nacional de Pedagogía de Italia “Lo stilo d’oro”. Y es, sin duda, un acontecimiento editorial en Colombia y en Hispanoamérica. El autor propone “una síntesis completa, documentada y un estado del arte avanzado en el dominio que constituye la didáctica de la matemática. Es un viaje en el tiempo y en el espacio, aquel que realiza la obra, por medio de referencias históricas y actuales, auténticamente internacionales, no sólo en didáctica de la matemática sino también más allá, en psicología, en las ciencias cognitivas, en sociología...” Y lo podemos ver en los 13 capítulos que tiene el libro. Haremos mención de algunos de esos capítulos por ser de especial interés para maestros, estudiantes y expertos en el tema. Por ejemplo: “Didáctica de la matemática como epistemología del aprendizaje matemático”; “El contrato didáctico”; “Conflictos. Mis concepciones. Modelos intuitivos. Modelos parásitos”; “El triángulo: maestro, estudiante, saber. Transposición didáctica. Teoría de las situaciones didácticas”; “Estilo cognitivo y perfiles pedagógicos”; “Intuición y demostración”; “Relaciones entre didáctica general y didáctica de la matemática. Una posible conciliación de putos de vista”. En la primera de las dos apostillas que aparecen al final, antes de una formidable bibliografía sobre esta cuestión, dice que “una de las mayores dificultades de la relación enseñanza-aprendizaje consiste en esto: el maestro debería convencer al estudiante y a sí mismo que lo que se aprende, se aprende para la vida y no para el breve espacio de tiempo ligado a una prueba, a una verificación, o a alguna otra forma de evaluación”. Currículo, evaluación y formación docente en matemática Martha Isabel Fandiño Pinilla Bogotá; Cooperativa Editorial Magisterio, 186 págs. (Colección Didácticas) Este texto aborda varios aspectos fundamentales en la formación de un maestro que necesita de una visión global de la
enseñanza de la matemática. Por lo tanto, se construye “un campo de reflexiones teóricas y prácticas”, en las cuales se muestra la preocupación que producen esas “posiciones teóricas en la práctica y en el hecho de cómo la teoría puede mejorar la práctica”. Además, en el prefacio Salvador Llinares dice que “La evaluación de los aprendizajes matemáticos constituye un ámbito en el cual se manifiestan en gran medida las contradicciones educativas. La formulación elocuente de los fines y de los objetivos de la educación y del currículo choca muchas veces contra la práctica de la evaluación”. Ese es el eje central de este libro. Las cuatro secciones que componen el trabajo explican la validez que tiene este análisis: 1. La formación de los docentes de matemática; 2. Hipótesis a la base de
un currículo de matemática; 3. La evaluación en el aprendizaje de la matemática; 4. “Ser competente”, un desafío con raíces antropológicas. Y precisamente de este último capítulo hemos tomado la siguiente apreciación: “El deseo de conocer es una necesidad implícita del ser humano; todo en él está dirigido al conocimiento, desde sus primeros pasos en el mundo (en sentido no sólo metafórico). El esfuerzo del ser humano no se dirige únicamente a la comunicación, como se escucha decir en ocasiones (el hombre como animal comunicativo); él, además, puede y desea transformar el saber adquirido en un nuevo saber, un saber que le permita procesar las informaciones que posee y buscar aquéllas que le permiten afrontar una nueva situación problemática, si ha decidido afrontarla”.
94/ rev. Int. Magisterio. Bogotá (Colombia), 7 (39): 3 - 6, junio - julio 2009 Unidades didácticas en ciencias y matemáticas Digna Couso, Edelmira Badillo, Gerardo Andrés Perafán E. y Agustín Adúriz-Bravo Bogotá; Cooperativa Editorial Magisterio, 379 págs. (Colección Didácticas) En el prólogo de este libro se dice que tiene “un objetivo claro: mostrar ejemplos de innovación educativa en el aula de ciencias y matemáticas a través de la presentación de y reflexión sobre Unidades Didácticas Constructivistas, diseñadas e implementadas en el aula de los diferentes niveles educativos (desde infantil hasta la formación inicial universitaria). El propósito que nos guía es vincular el proceso de diseño e implementación de unidades didácticas con la reflexión-acción de los docentes y por ello hemos estructurado el libro en dos partes. La primera parte proporciona orientaciones para el diseño reflexivo de unidades didácticas y la segunda muestra ejemplos de unidades innovadoras en ciencias y matemáticas, llevadas a la práctica en los diferentes niveles educativos”. Así, pues, este texto apuesta a hacer una valoración de los diversos puntos relacionados con la didáctica y la pedagogía -innovación curricular, metodología- y con ellos formular una serie de estrategias que puedan ser llevadas al aula y utilizadas con los estudiantes. “En él se pueden encontrar propuestas tan originales como tratar conjuntamente matemáticas y arte con los alumnos de infantil y primaria; convertir el huerto en un lugar de aprendizaje de las ciencias para los alumnos de educación infantil; trabajar los minerales de forma práctica; abordar el ciclo del agua desde la perspectiva de la modelización en ciencias; estudiar la electroestática a partir de la lectura de narrativas juveniles adaptadas sobre la historia de la ciencia; renovar el planteamiento del estudio de la combinatoria y la estimación; introducir a los futuros maestros y profesores en la reflexión sobre la naturaleza de la ciencia o bien hacerlos reflexionar sobre la resolución de problemas de matemáticas”.
Geometría fractal. Conceptos y procedimientos para la construcción de fractales William Fernando Estrada García Bogotá; Cooperativa Editorial Magisterio, 183 págs. (Colección Didácticas) Sin duda el interés que tiene esta obra está en reconocer la importancia que tiene la geometría fractal y el provecho que de ella se puede tener por las diversas aplicaciones que tiene en el desarrollo de las nuevas tecnologías, sobre todo relacionadas con los computadores y los nuevos instrumentos que ha creado el hombre. “Estudia figuras altamente irregulares generadas a través
de procesos recursivos que tiene como característica fundamental autosimilaridad y dimensión no entera. Lo primero significa que poseen alguna propiedad invariante bajo el cambio de escala. Por ejemplo, a veces la rama de un árbol está compuesta por pequeñas ramas que tienen una forma muy parecida a la totalidad de la rama. Lo segundo significa que no posee las dimensiones usuales: uno, la de la línea; dos, la del plano y tres, la del espacio. Es decir, son figuras que pueden habitar en espacios intermedios. Por ejemplo, encontrarse entre el plano y el espacio”. Así, pues, se puede precisar el variadísimo uso que tienen hoy los fractales y el sentido que ellos reúnen para reconocer otros valores de la ciencia y, por ende, en este caso específico, otras dimensiones de la geometría, con lo cual se materializa la construcción de otros saberes, como se ha podido ver en estos últimos años. Los siete capítulos que componen este libro ayudan a vislumbrar el valor que tiene: 1. Fractales clásicos y autosimilaridad; 2. Dimensión fractal; 3. Movimientos y matrices; 4. Composición de movimientos; 5. Un método de construcción de fractales; 6. Fractales tridimensionales; 7. Aplicaciones.
Currículo y evaluación en matemáticas. Un estudio en tres décadas de cambio en la educación básica Gloria García O. Bogotá; Cooperativa Editorial Magisterio, 104 págs. (Colección Didácticas) El proceso educativo enfrenta varios dilemas y precisamente uno de ellos es el que tiene que ver con la evaluación del aprendizaje y, en este caso específico, de las matemáticas, razón que la autora enfrenta en este útil libro que es, además, el producto de una larga investigación iniciada en 1995 y que la ha llevado a participar en investigaciones significativas en estos interesantes campos y que han sido promovidas por Colciencias, la Secretaría de Educación del Distrito, el Icfes, entre otros. Así, esta obra resume una amplia experiencia y los juiciosos análisis y reflexiones realizadas en estos años de trabajo. Los cuatro capítulos que componen el texto dan cuenta, por lo tanto, de este trasegar intelectual de la profesora Gloria García. En la primera parte “delimita el área problemática, presenta una revisión de los antecedentes de investigación, concreta el problema de investigación, describe el proceso de investigación y la metodología”, luego muestra “un estudio histórico sobre el desarrollo del concepto de evaluación escolar inscrito en teorías curriculares junto con una descripción y análisis de las distintas visiones epistemológicas sobre las matemáticas escolares”. A continuación hace “el análisis de la evolución histórica de las concepciones sobre la matemática escolar en relación con la evaluación, en el contexto colombiano, en tres décadas de refor-
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ma curricular”. Al final presenta las conclusiones a las que ha llegado tras ese recorrido.
Actualización en didáctica de las ciencias naturales y las matemáticas Agustín Adúriz Bravo, Gerardo Andrés Preafán y Edelmira Badillo Bogotá; Cooperativa Editorial Magisterio, 138 págs. (Colección Didácticas) Este texto, dice Mercè Izquierdo Aymerich en la presentación, “es el resultado de una actividad teórica en el ámbito de la didáctica de las ciencias que cada día es más participada y útil. Es más participada, porque cada vez son más los profesores que empiezan su vida profesional formándose de manera rigurosa en esta disciplina, investigan desde las aulas y contrastan la tradición docente con los resultados obtenidos”. Así, pues, es un análisis y una reflexión desde la acción docente, desde la experiencia en el aula y desde la vocación que los urge a ampliar y profundizar en sus conocimientos. Y desde esa posición los autores proponen nuevos enfoques, en los que hacen “énfasis en la fundamentación epistemológica tanto de los programas de enseñanza como de los profesores y en una educación científica llena de sentido”. De este modo, las partes en que está dividida la obra, proponen una valiosa construcción teórica de su experiencia pedagógica: 1. Relaciones de la didáctica de las ciencias naturales con otras disciplinas científicas; 2. Algunos elementos teóricos para la investigación del conocimiento profesional del profesorado de ciencias naturales acerca de la naturaleza de la ciencia; 3. Estudio del pensamiento de profesores de matemática en ejercicio acerca de la paradoja de Aquiles y la tortuga; 4. Polifonía epistemológica en el discurso del profesor de ciencias; 5. Los trabajos prácticos en la enseñanza de las ciencias naturales; 6. Realidad e historia de la matemática en la formación inicial del profesorado: ¿qué contenidos? ¿qué construimos?; 7. La muerte en el Nilo. Una propuesta para aprender sobre la naturaleza de la ciencia en el aula de ciencias naturales de secundaria.
Matemática en todo. Recorridos matemáticos inusuales y curiosos Bruno D’Amore Bogotá; Cooperativa Editorial Magisterio, 112 págs. (Colección ediciones especiales) Dice Roberto Grandi en el prefacio de este bello libro que “ofrece al lector la posibilidad de recorrer una galería original de eventos, historias, personajes que, desde diversas perspectivas, nos cuentan como la matemática está en todo”. Y luego agrega que esa “presencia universal no sólo proporciona muchas respuestas a las mentes deseosas de saber, sino que también nos lleva a
formularnos preguntas que permanecen como páginas no develadas del libro del universo”. Es, pues, un texto ameno del cual se puede aprender mucho. Aprender desde otra frontera, con otra disposición. Es armar, en consecuencia, un prodigioso rompecabezas como lo veremos en los capítulos que lo conforman. 1. Las formas de la naturaleza, seres vivos y no vivos; 2. Continuamos con la naturaleza, pero a través del arte figurativo; 3. Volvamos a la naturaleza de los naturalistas; 4. Ciencia y literatura; 5. No siempre los científicos usan la matemática; 6. Aún sobre la naturaleza; 7. Matemática, historia, guerra, física, leyendas; 8. matemática e historia; 9. Volvamos a la naturaleza; 10. La matemática en el mito; 11. La matemática en la magia; 12. Arte figurativo y matemática; 13. Matemática y taselaciones del plano (azulejas); 14. Matemática, arte y poesía: una referencia a Dante y la Comedia; 15. Aún literatura.
Hacia una educación pluralista. Estudio diagnóstico de la educación religiosa en Chile y Colombia Abraham Magendzo K. (Coordinador de Proyecto). Kathya Araújo (Coordinadora proyecto de Investigación Santiago de Chile. Universidad Academia de Humanismo Cristiano. Bogotá. Instituto Colombiano para el Estudio de las Religiones –ICER. 211 páginas El libro recoge en varios artículos el resultado de la investigación realizada en Chile y Colombia sobre la situación de la educación religiosa pluralista. Presenta para cada uno de los dos países, cuatro aspectos que tienen que ver con:1) antecedentes histórico-culturales y socio-políticos de la educación religiosa; 2) el contexto y la situación actual de la educación religiosa en instituciones escolares de la educación básica y media; 3) da a conocer la posición de actores sociales, culturales y políticos frente al tema y 4) identifica algunas buenas prácticas de educación religiosa pluralista en el sistema escolar. El texto contribuye a responder los siguientes interrogantes: ¿cómo se aborda el problema de la enseñanza religiosa en la escuela? ¿cómo asume la escuela pública el pluralismo religioso? ¿cuál es la visión y postura de los grupos de poder frente a la educación religiosa? ¿cuáles son los desafíos y cambios necesarios en las instituciones educativas y en las políticas públicas educativas para que la enseñanza religiosa pluralista contribuya al fortalecimiento de la democracia?; y, por último, se hace una reflexión frente a un posible “pacto laico”. Por todo lo anterior, Hacia una educación religiosa pluralista se constituye en una herramienta importante que permite asumir y profundizar con nuevos elementos conceptuales la necesaria discusión acerca de la educación religiosa en el sistema escolar.
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MAGISTERIO La Revista Internacional Magisterio es una publicación bimestral dirigida a docentes de todos los niveles de educación formal y de educación no formal, estudiantes de los programas o carreras docentes, padres de familia, investigadores en educación o pedagogía, administradores de la educación en los diferentes niveles del sistema educativo, autoridades educativas y comunidades políticas, sector productivo asociado a los servicios educativos en Colombia y en Latinoamérica. La publicación enfatizará en temas de actualidad y de interés general, donde se pueda aportar a la profundización y reflexión de los grandes problemas, avances y expectativas de la educación de hoy, desde diversos campos. Todos los miembros de la comunidad en general pueden proponer sus artículos, con miras a ser incluidos dentro de la publicación. Características técnicas de los artículos Los trabajos deben ser inéditos y se enviarán en Word. No deben exceder las 2500 PALABRAS. Para detalles adicionales de formato y estilo consultar normas internacionales APA (American Psychological Association, 2001 - 5a. edición www.apa.org ). Debe, además, enviar la fotografía del autor en archivo adjunto, formato JPG. Estructura: Título, autor, naturaleza del artículo, palabras clave, resumen. Introducción, cuerpo del artículo y referencias bibliográficas, según normas APA. El artículo será dirigido a la Revista Internacional Magisterio (E-mail: revista@magisterio.com.co). Irá acompañado de un texto anexo en donde figure: nombres completos del autor(es), dirección, teléfono, correo electrónico, fotografía en formato JPG, institución donde trabaja(n), y un resumen de la hoja de vida académica (no más de 50 palabras). Clases de artículos En todos los casos los artículos deben ser originales, y sólo pueden haber sido publicados hasta en un 25% de su contenido en publicaciones nacionales o internacionales para que sea considerado original. Si ha sido traducido a otro idioma y publicado, deberá indicarse la fuente. Las fuentes deben citarse de manera precisa. No se aceptarán artículos que tomen en parte textos procedentes de otros autores sin haberlos citado de manera clara y expresa. Los artículos pueden ser de las siguientes clases: 1- Artículo de informe de investigación. Presenta de manera detallada los resultados originales de proyectos de investigación científica, tecnológica, educativa, pedagógica o didáctica. 2- Artículo de reflexión investigativa. Presenta resultados de investigación desde una perspectiva analítica, interpretativa o crítica del autor, sobre un tema específico, recurriendo a fuentes originales. 3- Artículo de revisión. Resultado de una investigación donde se analizan, sistematizan e integran resultados de investigaciones publicadas o no publicadas, sobre un campo en educación, ciencia, tecnología, pedagogía o didáctica con el fin de dar cuenta de los avances y tendencias de desarrollo. Se caracteriza por presentar una cuidadosa revisión bibliográfica de por lo menos 50 referencias. 4- Artículo breve de investigación. Documento breve que presenta resultados preliminares o parciales de una investigación educativa, científica, tecnológica, educativa, pedagógica o didáctica, que por lo general requiere de una pronta difusión. Proceso de evaluación Una vez recibidos los artículos, el proceso de evaluación será de la siguiente manera: • Remisión a un árbitro especializado. El artículo será enviado a uno o a dos árbitros especializados (par académico) para su evaluación. • Evaluación. El árbitro especializado efectuará la evaluación de acuerdo con indicadores específicos según la clase de artículo y comunicará su decisión al Comité Editorial. • Decisión de publicación. El Comité Editorial, de acuerdo con los resultados de la evaluación y con el volumen de artículos, determinará cuáles se publicarán y cuáles no. • Comunicación al autor sobre la decisión. El Comité Editorial comunicará al autor la decisión tomada. Si un trabajo es aceptado para su publicación, los derechos de impresión y de reproducción por cualquier forma y medio son del editor, aunque se atenderá a cualquier petición razonable por parte del autor para obtener el permiso de reproducción de sus contribuciones
El retiro de un artículo se solicitará por escrito con un documento impreso al editor y se efectúa luego de respuesta escrita del editor. No se devolverán los originales ni se considerarán los artículos que no cumplan con las normas. La aceptación de un trabajo queda supeditada a la revisión teórica, metodológica y formal que dos consultores (árbitros) realizarán al artículo. El comité editorial de la revista, se reserva el derecho de introducir modificaciones formales necesarias para adaptar el texto a las normas de la publicación.
Forma y preparación del artículo Título del trabajo que resuma en forma clara la idea principal de la investigación. Autor con su último título académico e Institución que lo respalda, con nota de pie de página, anexando al final del artículo unos renglones con su c.v y correo electrónico. Naturaleza del artículo: clase de artículo, acompañado de Nombre del proyecto de investigación, Instituciones que lo financiaron, dónde se desarrolló, fecha en que se realizó, línea o grupo de invetigación al que pertenece. Argumentar la naturaleza del artículo, como artículo de investigación). Palabras clave: Estandarización por tesauros Resumen hasta 150 palabras. El resumen puede ser descriptivo anunciando el problema la metodología las conclusiones y qué hacer en futuras investigaciones. (El Título, Palabras clave, y resumen en español, inglés, portugués). Introducción, cuerpo del artículo deben estar fortalecidos con sustento bibliográfico, coherente con el problema de investigación. Desarrollar la metodología de la investigación, qué clase de trabajo de campo se realizó para levantar la información, sustento cualitativo y cuantitativo, como encuestas, entrevistas, observaciones, muestreos.. etc., que sustenten el problema que se desea resolver y las conclusiones. Es necesario anexar cuadros o diagramas que analicen la información, con sus respectivos títulos números. Las referencias bibliográficas, según normas APA. Los artículos estarán redactados en lenguaje claro; si se usan términos muy técnicos o poco conocidos, deben ser explicados dentro del escrito. En lo posible, deben acompañarse de fotografías, cuadros, diagramas, dibujos o cualquier otra forma de ilustración con las especificaciones respectivas según las normas APA. (Se deben incluir los vínculos en archivo aparte de fotografías o ilustraciones formato JPG, TIFF, EPS…, mínimo 300 puntos de resolución) Envío de manuscritos Los trabajos se enviarán impresos en Word. No deben exceder las 2500 palabras, tamaño carta, doble espacio, con márgenes derecho e izquierdo no inferiores a 3 cm. Para detalles adicionales de formato y estilo consultar normas internacionales APA (American Psychological Association, 2001 - 5a. edición). Para el envío de materiales, favor dirigirlos a: JOSÉ VICENTE JOVEN N. Director Revista Internacional Magisterio Diag. 36 Bis (Parkway La Soledad) No. 20-70 Bogotá D.C., Colombia Sur América. Correo-e: revista@magisterio.com.co