Revista Sacapuntas Nº 4

Año 2 // Número 4 // Octubre 2009 // $ 5.-

Sacapuntas en la escuela

Sobre educación, política y pedagogía

Cuentas pendientes Propuestas para enseñar las operaciones en Matemática

Ahora el maestro es usted

Una experiencia para que los padres tomen la palabra

Más allá de la Av. Rivadavia

Sobre el abandono de las escuelas de la zona Sur De arqueólogo y arquitecto. Entrevista a Pablo de Santis

Índice 3. Editorial Equipo de redacción Mariana Álvarez (Escuela 19 DE 9) Hernán Boeykens (Escuela 4 DE 7) Cecilia Chiappetta (Escuela 3 DE 12) Hernán Cortiñas (Escuela 3 DE 20) Julieta Iurcovich (Escuela 3 DE 7) Carolina Lifschitz Federico Milman (Escuela 4 DE 7)

En el aula Palabras maestras

Nota de tapa

Colaboradores Santiago Duarte (Escuela 6 DE 8) Mariano Garrido (Escuela 16 DE 13) Paula Foray (Programa Chicos chicos - ZAP)

Mandanos tus comentarios a sacapuntasrevista@gmail.com

Para consultar materiales, proyectos y secuencias ingresá a www.sacapuntasrevista.com.ar

22. La suma: una cuenta para armar y desarmar 27. Sumar y restar fracciones

Lo que pasa

31. Los que golpean y los que resisten

Historias mínimas

32. Ahora el maestro es usted

Lo que pasa

Hacen historia Lo que pasa

Sobre gustos

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10. Cuentas pendientes

17. Volver a pensar la división

Ilustraciones Ivana Roitberg (Escuela 3 DE 7)

Agradecimientos A Miriam y a los compañeros de la revista Sudestada

7. De arqueólogo y arquitecto.

Entrevista a Pablo de Santis

14. Enseñar las cuatro operaciones

Diseño gráfico Irina Iurcovich

Foto de tapa y edición de fotografía Francisco Iurcovich

4. Ciudades inventadas

Escriben los chicos

34. Las asambleas de distrito

36. La imaginación al poder

39. Más allá de la Av. Rivadavia 42. Dragón Bocasucia 43. Los misterios del señor Burdick

Editor responsable: Federico Milman Guthmann/Propietario: Federico Milman Guthmann/Lavalleja 975 6to A Cap. Fed.

Editorial

Editorial El capítulo XV de El principito de Antoine de Saint-Exupéry nos cuenta la relación que el blondo explorador de planetas mantiene con un viejo y sabio geógrafo; un anciano sentado detrás de un escritorio escribiendo enormes libracos, nos da una pauta acerca de qué se está caracterizando.

El personaje es un modelo, un tipo, de los que el niño viajero se encuentra en su peregrinaje por los planetas -ya había conversado con un borracho, un vanidoso, un rey, un hombre de negocios y un farolero- y lo podemos asimilar, por sus gestos y sus dichos, a la representación del intelectual. El geógrafo tiene un método de trabajo: depende de los relatos de los exploradores que interroga, de la transcripción y de las pruebas de existencia de los accidentes como montañas o los ríos para escribir sus libros. Nunca se mueve de su silla porque “el geógrafo es demasiado importante para deambular”. El intelectual, el que produce el conocimiento y lo organiza por escrito, no tiene la experiencia del viaje; su tarea es la de una mente sin cuerpo, sin movilidad, que ni siquiera conoce su propio e insignificante planeta más allá del escritorio.

Nuestro trabajo nos demanda constante observación y, en algunas ocasiones, registro de lo observado. No somos investigadores, pero compartimos ciertos rasgos del oficio. Sin embargo, sucede que a la hora de dar cuenta de nuestras montañas y ríos, el testigo pasa de manos. Un grupo de especialistas enfrascados producen lo que se debe saber de la escuela sin la necesidad de haberla recorrido alguna vez. Lo que se conoce por lo tanto no es el fruto de la observación, el registro y la reflexión organizada y sistemática del docente. En esta realidad el maestro tiene sólo cuerpo, y la mente cumple con los mínimos requisitos de un corrector. Al menos ése es el lugar en que nos ubican y que debemos respetar, puesto que somos trabajadores en el ya vetusto pero persistente sistema capitalista, que profundizó la división entre trabajo manual e intelectual y la exacerbó a límites insospechados.

De allí que la reflexión y la producción de saberes contrastables nos esté vedada y sea tarea de otros.

Sin embargo, siempre hay grietas en esta vasta geografía social.

Sacapuntas

A principios de junio de este año, el presidente de Bolivia, Evo Morales, en los festejos por el Día del Maestro, anunció la salida de la repisa escolar de los manuales producidos por la editorial Santillana perteneciente a la firma española Prisa, que sólo en 2008 facturó en todo el mundo más de 4.000 millones de euros. Menuda tarea le espera al gobierno boliviano dado que la empresa mencionada es no sólo propietaria de la editorial sino también de los dos diarios con mayor tirada: La Razón y Extra. Morales enfatizó que en contrapartida estarían privilegiándose los textos que los docentes produzcan y esta tarea sería reconocida económicamente por el estado. ¿Qué motivación más grande para un docente puede haber que la de valorar su trabajo y darle la posibilidad de ocupar un lugar como productor de ideas? ¿Acaso no es el maestro quien sabe de primera mano cómo se enseña, cómo se aprende y para qué? “El magisterio que está al lado del niño, del joven, debe convertirse en el verdadero instrumento de liberación nacional, para educar y orientar ideológica y culturalmente como la única forma de combatir al colonialismo”, afirmó Morales. ¡Qué auspicioso sería que esta medida se lleve hasta las más extremas consecuencias! Que el cholo, que el indio, que el pobre recuperen su experiencia, su voz y además escriban para sus propias escuelas en contra de los textos que siguen la línea ideológica de una multiempresa.

Los maestros de Latinoamérica esperamos ansiosos una práctica semejante de producción cultural.

Con o sin el auspicio del gobierno, nuestro trabajo debe dar cuenta de lo valiosas que son nuestras ideas y para eso precisamos de la escritura. Para que las palabras no vengan de un escritorio en un asteroide lejano, sino de la escuela misma, para que sean nuestras propias palabras las que hablen de la escuela, es preciso que tomemos el lápiz, dejemos una huella y nos enfrentarnos contra toda representación del intelectual que se apropia del trabajo ajeno. Los docentes debemos ponernos a producir nuestros propios textos de manera sistemática y a exigir el reconocimiento de esta labor ante el Estado.

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En el aula

Ciudades inventadas Una o muchas propuestas de escritura en primer ciclo Un viaje por un mundo desconocido constituye el punto de partida para leer, imaginar y escribir textos literarios sobre ciudades que sólo existen en el universo de la imaginación.

Un día un profesor de otro grado irrumpió misteriosamente en la clase de primero con una botella en una mano y un mapa enrollado en la otra. Me la entregó diciendo que era para los niños y se fue. Los niños me miraron con desconcierto. Y miraron aún más la botella que parecía contener un mensaje adentro. No sabían todavía que ese mensaje sería el puntapié inicial para un largo recorrido de lecturas y escrituras.

El mensaje fue más bien una carta y la carta más bien una invitación. Un señor que decía haber vivido hacía muchos años los convidaba con su mayor secreto: el descubrimiento de un territorio subterráneo dividido en ciudades increíbles que se encuentran bajo nuestros pies.

Hermenegildo Sánchez Curioso, así firmaba, también los invitaba a iniciar un viaje por aquella extraña geografía.

Al día siguiente comenzamos el recorrido.

Empezamos por mirar el mapa que nos había llegado con la botella. Se trataba de un mapa con la división política de las ciudades, en el cuál los niños irían ubicando el nombre de cada ciudad en el terreno correspondiente a medida que las

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íbamos visitando. El tour comprendería once ciudades increíbles: Isadolina, Micronia, Animalosia, Agustasia, Morania, Lentonia, Invisibilis, Oscurasia, Reversópolis, Golosinia y 1 Octavia .

Un texto descriptivo, leído por el maestro, abría cada semana la puerta de una nueva ciudad.

La primera parada la hicimos en Isadolina, una ciudad submarina. Luego de leer el texto que nos contaba sobre la ciudad y tras haberla ubicado en el mapa, comenzamos a pensar, imaginar y

ISADOLINA Hoy van a enterarse la verdad sobre Isadolina, la ciudad submarina.

Dicen que hace mucho tiempo Isadolina no estaba bajo el mar: era una ciudad como cualquiera. Todos los días, los chicos isadolinos caminaban hasta sus escuelas. Allí se sentaban en sus bancos y escribían con sus lápices largas cuentas de sumar.

Pero una noche de luna, una ola gigantesca devoró a Isadolina de un solo mordiscón. La gran ola se llevó todas las cosas de los isadolinos, y la ciudad se llenó de peces, pulpos, estrellas de mar... Y por supuesto, agua de mar.

Ahora, las cosas en Isadolina son parecidas pero diferentes. Al salir el sol, los chicos isadolinos nadan hasta sus escuelas. Allí se sientan en enormes caracoles marinos y escriben historias de abajo del agua con tinta de calamar.

En el aula

escribir distintos aspectos de la vida de sus habitantes. Incluso tratamos de resolver ciertos problemas que las características de cada ciudad les traían. En el caso de Isadolina el desafío consistió en pensar y escribir: ¿Cómo son las escuelas en Isadolina? ¿Qué usa la maestra de pizarrón? ¿Con qué se escribe? ¿Con qué borran? ¿Qué cosas se enseñan? Los chicos también diseñaron un parque de diversiones para esta ciudad, dibujando y describiendo en parejas, los juegos que podían encontrar en él. De ahí salieron la calesita de caballitos de mar, toboganes de agua y los autitos chocadores submarinos.

Si la ciudad está colgando, ¿cómo hará la gente para transportarse?, preguntamos ingenuos. Para los chicos esta pregunta tuvo claras respuestas: carretas y patinetas voladoras, barri letes que lo llevan a uno por la ciudad y hasta una especie de mochila “que te la ponés y volás por donde q u e r é s ”, f u e r o n algunas de ellas.

Nuestro viaje continuó por Morania. Leímos: entre las puntas de las dos montañas cuelga una soga gruesa, fuerte y resistente. Y de esa soga madre cuelga la ciudad: cuelgan las casas, cuelgan los negocios, árboles y edificios.

Y el recorrido por Morania siguió con la lectura de este texto: Si uno está en Morania y mira hacia abajo puede observar una enorme montaña. Si por casualidad uno tuviese un largavistas a mano podría llegar a ver la variedad de objetos que la componen. La montaña crece día a día y se alimenta de todas aquellas cosas que se les caen a los habitantes de esta ciudad tan particular. Por eso el gobernador decidió crear la tienda de objetos perdidos, en la que se dedican a

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pescar esos objetos y devolverlos a sus dueños.

Los chicos escribieron listas con los objetos que se podían encontrar en esa tienda.

Luego, entre todos, fuimos construyendo la tienda, pegando sobre un afiche los objetos dibujados de las listas, con sus descripciones en una etiqueta, en la que se incluía el nombre de quién lo había perdido y en qué situación.

La semana siguiente, el destino elegido fue Agustasia. En Agustasia no se puede mover los pies ni levantarse del piso, la única forma de trasladarse de un lugar a otro es manejando. Todo allí tiene ruedas: si quieren ir de casa a la escuela, deberán manejar su casa hasta llegar. Y, si una vez en la escuela, desean acercarse al escritorio de la maestra a preguntarle algo, simplemente deben manejar su silla hasta llegar a ella. También los semáforos y los carteles tienen ruedas que los llevan de un lugar a otro y hasta en la plaza, la hamaca tiene ruedas que la mueven hacia atrás y adelante. ¡Eso sí! con tantas ruedas en todos lados, los autos ya casi han dejado de usarse.

Aquí la pregunta fue: “Si los autos han dejado de usarse como transporte ¿para que se usarán ahora?” Las respuestas que escribieron los chicos fueron de lo más variadas: “Para pensar ahí”, “para esconderse cuando jugás a la escondida” o incluso “como guardería para sapos”.

Otras respuestas tan o más elocuentes surgieron cuando preguntamos a los chicos qué pasará cuando hay mucho viento en Agustasia, qué pueden hacer sus habitantes para que no ruede todo de un lado para otro en esos días.

“Comer muchas comidas y ponerse pesado” o “llamar a un superhéroe y que agarre todo con sus manos” fueron algunas de las soluciones para el problema planteado.

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En el aula

Y el viaje siguió entonces por Invisibilis, una ciudad a la que si alguna vez llegan, difícilmente se den cuenta, porque como su nombre lo indica, allí todo es invisible.

Difícilmente vean casas, autos y calles. Ni trenes, semáforos o escuelas. Salvo que llueva. Cuando llueve y las cosas se mojan e Invisibilis deja de ser una ciudad invisible para llenarse de siluetas delineadas por el agua. Al entrar en contacto con el agua, todos los objetos de esta ciudad toman los colores del arcoíris. Negocios rojos, perros azules, personas violetas, autos amarillos, hospitales verdes, los colores más hermosos tiñen todo lo descolorido en los días lluviosos. Después de recorrer esta ciudad los chicos que pensaron cómo hará la gente para no chocarse, para ver la tele, reconocerse o saber dónde dejan cada cosa.

También imaginaron que haría cada uno de ellos si se volviese invisible.

Nuestro viaje continuó por Lentonia, donde todo transcurre lentamente, en donde los chicos inventaron y describieron los deportes típicos de esa ciudad. También visitamos Animalosia, en donde los habitantes son mitad objeto y mitad animal, que nos invitó a pensar y describir cuáles podían ser algunos de ellos.

Luego dimos una vuelta por Reversópolis, la

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ciudad en la que todo es al revés, y no nos quisimos perder Oscurasia, la ciudad en la que siempre es de noche.

Y así podríamos haber continuado eternamente, porque creemos que hay territorios en nuestra imaginación dignos de ser descubiertos. Pero, como todo debe tener un fin y este viaje no es la excepción decidimos ir emprendiendo la vuelta. Y nos pareció que para ello era oportuno que fueran los mismos chicos los que escribieran con sus propias palabras la última ciudad, cuyo nombre les dijimos, era: Golosinia.

Para esta labor fue imprescindible ayudarlos a traer a su memoria aquello que habíamos explorado en las otras ciudades para pensar entre todos las preguntas que inspirarían el relato sobre Golosinia: ¿Cómo son las casas? ¿Cómo son los autos? ¿Cómo son las personas? fueron las primeras de una larga lista. La invención de esta ciudad fue el fin del largo viaje a través de Imaginaria.

Mariana Álvarez Federico Milman (1) Los textos que describen las ciudades fueron escritos por los maestros inspirándose en el libro Ciudades invisibles de Ítalo Calvino.

Palabras maestras

De arqueólogo y arquitecto Entrevista a Pablo de Santis En un bar de las calles Hortiguera y Pedro Goyena, las computadoras portátiles y los cuadernos ganan las mesas, rodeados de cafés y servilletas. El ambiente acompaña. Pablo aparece a la hora en que habíamos quedado. De Santis juega de local. Con su voz medida y los silencios del que escucha, va desenvolviendo generosamente las respuestas sobre literatura, el género juvenil -que tanto conoce-, las narraciones y los autores que le interesan.

- ¿En qué consiste el oficio de escritor?

- Hay otros trabajos vinculados a la escritura -los he hecho casi todos-: escribir guiones para televisión, avisos, propagandas, revistas de espectáculos; pero lo específico de la literatura es que uno se pone sus propias metas. Uno está solo con uno mismo, entonces tiene que tener una disciplina, y siempre estar buscando ese equilibrio entre el mundo de la experiencia y el mundo de la imaginación.

- ¿Hay alguna parte del trabajo que te aburre?

- Me encanta escribir, me encantan todas las partes del proceso. Me encanta hasta cuando tengo problemas. Después van a venir otros momentos, cuando uno publica un libro y tiene que hacer el papel de escritor profesional. No cuando sale un libro para adolescentes, sino para adultos.

“Lo que se hace todos los días por lo menos no tiene lugar en mi literatura” - ¿Y dónde empiezan tus novelas?

- Siempre a partir de algo, una situación mínima de la que uno se agarra. Uno tiene la sensación de que construye algo que no estaba ahí y a su vez de que buscaba algo que ya estaba ahí, como un arqueólogo. Esas son las imágenes que tengo de mi trabajo: la de un arquitecto y la de un arqueólogo. Se trabaja mucho con los recuerdos, la escritura tiene mucho de combinación libre de

Sacapuntas

los recuerdos. Para mí también son fundamentales los ambientes e inclusive las profesiones, los trabajos; partir de alguien que hace algo.

- Como en Lucas Lenz y en Astronauta solo, los personajes tienen profesiones marginales: un buscador de objetos perdidos y un historietista.

- Lucas Lenz es la relación de los objetos y el relato.

En otra novela, El buscador de finales, también los objetos permiten encontrar el final de la historia.

Lucas Lenz, que es una novela bastante vieja, parte de una historieta, por eso es una novela muy visual, sobre todo la primera parte.

- En la colección “La movida”, que vos dirigiste, aparecen juntos la novela, lo literario, y lo visual, la historieta.

- El editor de Colihue, Aurelio Narvaja, el diseñador de la colección, Juan Lima, que había ilustrado muchísimos libros para la editorial, y yo como coordinador hicimos “La movida”. Lima y yo estábamos en la revista “Fierro”, una revista de historietas que surgió paralelamente con la democracia y con el fervor cultural. Ya por los noventa el editor de Colihue quería hacer una colección de historietas. Yo lo veía difícil y le propuse hacer novela e historieta. En ese momento la novela juvenil estaba muy pegada al mundo de lo infantil y esta colección de tapas negras trataba de separarse de eso. Funcionó muy bien. Había desde autores que publicaban su primer libro, como Marcelo Birmajer, hasta escritores con una enorme trayectoria, como Pedro Orgambide.

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Palabras maestras

- Y el biógrafo del Che, Paco Ignacio Taibo II. - Había una novela de él. Fue el único autor internacional que tuvimos.

de Oz, Alicia en el País de las Maravillas son como “novelas mundo”. Y me parecía que en la novela se cumplía un poco ese modelo, esa tradición.

- ¿En que creés vos que se reconoce este género? ¿Qué límites tiene, qué posibilidades tiene el género juvenil?

- Posibilidades, muchísimas. Creo que los límites son los que les da el sentido común. Para nada hay límites muy precisos. Con el sentido común basta.

No hace falta ser un teórico de la literatura para saber qué puede funcionar en determinado grupo de lectores. Si una novela requiere de un conocimiento absoluto, o si tiene escenas de violencia completamente desmedidas, sádicas, se complica, pero no más allá de eso. Es muy distinto en la literatura infantil, donde ya hay una cantidad de cuestiones cognitivas que delimitan, mientras que en la literatura para jóvenes no. De hecho, algunos libros de “La movida” no fueron publicados en su momento para adolescentes.

Hay un libro de Fernando Sorrentino, una novela para adultos que después se empezó a publicar para adolescentes.

- Parecería haber en ese texto una intención: el personaje debe ir ganando espacios hacia delante, y el lector ir descubriendo.

- Ese tipo de novelas se dan como si uno las soñara.

Otras novelas tienen mucho más cálculo, mucho más dominio del material. Son novelas en la parte inconciente de los autores, como en Peter Pan (salvando las distancias), hay cosas muy oscuras mezcladas con cosas inocentes. No son textos para que los chicos descubran algo, porque no hubo demasiada deliberación como en otros textos míos, que son muy planeados. Esto fue más bien al correr de la pluma. Fijate que en algún momento se quiso hacer una película muy grande; la iba a hacer el director de “El Ratón Pérez” asociado con el hermano del director de “El Señor de los Anillos”. La cosa es que trabajé en el guión, después se vino todo abajo con la crisis, y me

- Entonces la decisión de si es literatura para jóvenes o no, ¿es externa? ¿Cuánto interviene el escritor en esa decisión?

- Una novela para jóvenes tiene que funcionar como novela. Tiene que empezar, terminar. Son rasgos que también le exijo a la literatura en general. Me gusta leer un texto bien armado, no me gustan las historia a las que les falta un final, que se pierden. La novela La traducción, para adultos, que inclusive tiene un tema con el adulterio, y que su trama es bastante compleja, después apareció en una colección destinada a las escuelas.

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- ¿Cómo trabajaste con la estructura narrativa del juego y con la del enigma en tu novela El inventor de juegos?

- Yo había visto que en los clásicos infantiles, más que una historia, el personaje tiene una especie de paseo por un mundo narrativo. Pinocho, El mago

costaba ver esta historia en una película, porque una película es un esquema racional y tenés que seguir ciertas pautas muy precisas para mantener la atención del espectador; tenés media hora en la que plan-

Palabras maestras

tear el conflicto. Hay ciertas reglas que no tiene la literatura, y me costaba muchísimo hacer de eso algo racional.

- ¿Por qué recurrís a personajes como Max, de Desde el ojo del pez, que se encuentra fuera de lugar en una ciudad nueva; o como Diego, en Astronauta solo, que debe atravesar la ciudad en un momento fuera del tiempo: el último día del siglo?

- Para mí en la literatura, los personajes ideales son los que hacen algo por primera vez o por última vez. Lo que se hace todos los días por lo menos no tiene lugar en mi literatura. Especialmente en la novela para jóvenes, pero también en las novelas para grandes, usamos personajes jóvenes, que se enfrentan con una situación nueva o que se sienten débiles frente a alguna situación. Y por otro lado, hay cierto paralelismo con el lector que se encuentra con un mundo nuevo en la novela, y el personaje que va conociendo al mismo tiempo que el lector. Por otra parte es un modo ideal para escribir, y como uno trabaja con los recuerdos, los recuerdos de la juventud son mucho más nítidos y fuertes que lo que te pasó el año pasado.

“Uno tiene la sensación de que construye algo que no estaba ahí y a su vez de que buscaba algo que ya estaba ahí” - ¿Hay algún libro que, por leer o por escribir, te haya quitado el sueño?

- Como lector hay algunos libros que no sé si lo tienen a uno en vilo, pero que merecen una lectura constante: la obra de Borges, por ejemplo, que leí a los doce años. Yo creo que tener en vilo a los lectores es una virtud, aunque no la única que tiene la literatura. Hay autores como Kafka que uno puede releer varias veces y, al contrario, te duermen. Pero un autor que te quita el sueño es Stephen King. Tiene una maestría en el relato, en atrapar, y lo hace con enorme sutileza. Algunos de

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sus libros son malísimos, pero otros son excelentes. Y los personajes, aunque estén metidos en una trama absolutamente irreal, son reales, y uno quiere conocer realmente el destino de esos personajes.

- ¿Y algún libro tuyo del que digas, “si no termino esto, no descanso”?

- Cuando era muy joven por ahí podía tener una gran ansiedad por terminar los libros. Ahora, quiero terminar la primera versión, pero al contrario, no los suelto. Los sigo corrigiendo, corrigiendo y corrigiendo hasta que llega un último momento en el que ya hay que editarlo.

Pero no tengo esa ansiedad por terminar, ni por publicar.

Hernán Boeykens

Rey secreto En la ciudad hay un rey secreto. Nadie excepto los guardianes- sabe quién es. Ni él mismo lo sabe. Puede ser un barrendero, un abogado criminalista, el jefe de estación del ferrocarril.

Sus decisiones mínimas son consideradas decisiones de estado. Sus palabras casuales se convierten en sentencias. Sin saberlo, ordena castigos y ejecuciones.

Imaginemos: enciende un fósforo y ordena un incendio. Acaricia a un gato y es liberado un prisionero. Tira una piedra y derrumban una torre. Pero son ejemplos que imaginamos sin certeza alguna. Quizás no hay ninguna relación entre sus actos casuales y sus consecuencias: enciende un fósforo y derrumban una torre.

Cada siete años la conspiración triunfa y el rey es asesinado. Entonces se elige al azar otro rey cualquiera: un médico, un equilibrista, un nombre raro en la guía telefónica, alguien que pasa, el que escribe esto, el que lee esta página.

Pablo De Santis

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Cuentas pendientes

Cuentas pendientes Reflexiones sobre la enseñanza de la matemática en la escuela Quienes escribimos en Sacapuntas no tenemos tiempos y espacios en nuestras propias escuelas para reflexionar y hacer acuerdos sobre cómo enseñar en Matemática. La forma en que introducen los cambios curriculares tampoco nos ayuda. Las notas publicadas en este número de Sacapuntas comparten una misma mirada sobre el área y se nutren de algunas de las ideas planteadas por la Didáctica de la Matemática francesa. Con estas reflexiones los invitamos a pensar nuestro rol en los cambios, los fundamentos del nuevo enfoque y algunas ventajas que creemos que tiene esta mirada de la enseñanza A menudo llegan a las escuelas directivas sobre la estricta necesidad de modificar los modos de enseñanza. Los cambios curriculares, a través de sus nuevos Diseños producidos en lugares ajenos a las escuelas, nos dictan cómo proceder y, resignados, debemos someternos a ellos como si compráramos ropa nueva -nos guste o no- y desecháramos la anterior.

Memorizar el constructivismo El último diseño curricular de la Ciudad de Buenos Aires tiene una orientación constructivista. Sin embargo, la forma en la que se espera que los maestros nos apropiemos de él no remite a la idea de construcción, sino más bien a una reproducción pasiva. Nos dicen que hay que estudiar el nuevo Diseño, saber qué dice, y de alguna mágica manera, empezar a actuar en consecuencia. Pero no hay momento alguno para que los maestros tengamos una instancia de reflexión sobre cómo estamos enseñando, si creemos necesario modificar esta manera, y en qué sentido sería preciso cambiar. Pareciera que quienes llevan a cabo las reformas creen que los únicos que se apropian del conocimiento mediante una construcción son los chicos.

No somos los docentes quienes tomamos la decisión de realizar un cambio ni discutimos su sentido, pero sí somos quienes planificamos y enseñamos todos los días. No podemos enseñar algo que no nos es propio. Por ello, los cambios curriculares de arriba para abajo, sin consulta y 10 reflexión de los maestros terminan apareciendo a la fuerza en nuestras planificaciones, a modo de palabras bonitas que se nos exige entregar, pero no en nuestras prácticas, que no reflejan lo escrito

sino lo que sabemos y creemos que hay que hacer.

Nos parece que ésta no es la forma adecuada de implantar cambios en la escuela. No alcanza con que leamos el nuevo Diseño, ni con que tengamos cursos de “actualización” para que se nos explique por qué tenemos que usarlo. ¿Cada maestrito con su librito?

No se trata, sin embargo, de que cada maestro haga lo que le parezca mejor. Muy por el contrario, planteamos la urgente necesidad de poder reunirnos para poner en común criterios para la enseñanza, para discutir qué enseñamos, cómo y por qué.

Para que un enfoque didáctico se convierta en una herramienta de trabajo al servicio de la democratización del aprendizaje y no en una moda pasajera, los docentes necesitamos hacer una reflexión seria. No se trata tampoco de rechazar toda nueva idea, sino de que seamos nosotros quienes pensemos por qué vale la pena introducirse, o no, en el camino de enseñar desde esta u otra perspectiva. Es por esto que necesitamos instancias de reflexión compartidas entre colegas para discutir, primero, cómo estamos enseñando y qué están aprendiendo nuestros alumnos, para recién entonces pensar si esto debe cambiar.

De dónde vienen estas ideas El “nuevo enfoque” se nutre de investigaciones elaboradas en el campo de la Didáctica de la Matemática, disciplina que estudia la enseñanza del saber matemático en la escuela y las modificaciones que se producen en los participantes y en el saber mismo durante su

Cuentas pendientes

comunicación. El desarrollo de esta didáctica es relativamente reciente ya que sus primeros trabajos datan de la década del ´80, y fueron realizados en Francia por autores como Brousseau, Vergnaud y Chevallard, entre otros.

La Didáctica de la Matemática toma aportes de otras ciencias, fundamentalmente, la Matemática y la Psicología Genética de Jean Piaget. Esta última disciplina aporta a la didácticauna teoría sobre cómo los chicos construyen el conocimiento, dando pistas sobre los modos en que van entendiendo determinados conceptos.

No es lo mismo con otro método Muchas veces se escucha hablar de un nuevo enfoque o de un cambio de método como si estas expresiones fueran sinónimas. Un método pareciera definirse como un conjunto de reglas a aplicarse para lograr un determinado resultado.

Un enfoque resulta algo más amplio, algo que no implica cambiar solamente de “estrategias de enseñanza” sino también la forma en que se piensa el conocimiento.

Para poder enseñar cualquier área, siempre tenemos alguna idea -consciente o inconsciente- sobre cómo creemos que se aprende. Tal como afirmaba J. Piaget, nosotros creemos que todas las personas aprenden al dar sentido a los objetos del mundo, para lo cual van organizando y reorganizando su conocimiento en una larga construcción, que no es lineal ni acumulativa, y que no tiene fin. El conocimiento surge, entonces, como herramienta para la resolución de problemas con los que nos vamos enfrentando. Esto es lo que los epistemólogos han denominado enfoque constructivista, que no es lo mismo, por lo tanto, que pensar que el conocimiento se “graba” en las mentes tras una repetición permanente -como propone el conductismo-, que se apila sobre otros conocimientos previos -como sugieren las líneas cognitivistas-, ni que se “ve” por una especie de iluminación mental.

Además, creemos que el conocimiento es abierto y revisable, es decir que está enpermanente construcción. Los científicos mismos tienen discusiones sin

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Sacapuntas

Cuentas pendientes

resolver. Las ciencias plantean modelos o interpretaciones de la realidad más o menos ajustadas y funcionales, e incluso algunas estudian objetos puramente teóricos.

La Matemática, como todas las ciencias, constituye una producción cultural construida a partir de la búsqueda de respuestas a diversos problemas -tanto de la vida cotidiana como problemas estrictamente matemáticos- que se fueron planteando a la humanidad en diferentes momentos de la historia. Las respuestas halladas dieron y dan lugar a nuevos problemas. En este proceso, los matemáticos resuelven, generalizan, co m u n i ca n , d i s c u te n y re o rga n i za n e l conocimiento. La Matemática es, por lo tanto, una obra humana de carácter colectivo.

Cuando se concibe el conocimiento de esta manera, no sólo cambian las estrategias para enseñar el área. Cambia todo el modo de mirar la Matemática, la forma en que creemos que se aprende mejor y cómo podemos enseñarla en consecuencia.

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Hacer Matemática en la escuela Aprender matemática en la escuela debería relacionarse de alguna forma, por lo tanto, con lo que es y ha sido para la humanidad hacer matemática.

Como ya planteamos, pensamos que sólo se aprende enfrentándose a situaciones que nos exigen generar cambios cognitivos. Esta cuestión, sumada a la forma en que los científicos trabajan en la Matemática, nos hace sostener en la escuela la necesidad de enseñar mediante la resolución de problemas. Como profundizaremos en las notas siguientes, esto no implica disfrazar de problemas los antiguos ejercicios: supone más bien que al principio no habrá “teoría”, sino que ésta se construirá al final y como consecuencia de haber puesto a los alumnos frente a problemas para cuya resolución aún no tienen el concepto que se quiere enseñar.

Un problema matemático, entonces, no es un campo para aplicar la teoría ya enseñada, sino una oportunidad para construirla. Para lograr el avance se debe presentar un desafío -es decir, la

necesidad de buscar formas de resolución nuevaspero simultáneamente permitir que los alumnos puedan poner en juego los conocimientos que ya tienen -es decir, la resolución no debe estar demasiado lejos de sus posibilidades-.

Además, no se trata de dejar solos a los chicos frente a los problemas. Es necesario que haya intervenciones del docente. A veces, es preciso aclarar la consigna para permitir que los alumnos puedan “meterse” en el problema. En las puestas en común, el maestro selecciona la resolución de uno o algunos alumnos -y no todosy propone analizarlas con el fin de que todos vayan ampliando sus formas de resolver. Es el maestro también el que permite y dispone la forma para que los chicos interactúen entre sí al resolver un problema y sobre todo, para que éste se transforme en un objeto de análisis. Por último, el docente interviene para que se sistematice lo aprendido.

Si el conocimiento se construye reorganizándose frente a problemas, parece evidente que esto no sucederá de un momento a otro. La larga construcción de los conceptos matemáticos trae varios problemas a los maestros, todos vinculados al tiempo. Uno de ellos es la imprescindible discusión sobre la La Didáctica de la Matemática en Argentina Argentina también tiene una tradición de investigación en Didáctica de la Matemática inspirada en el constructivismo de Piaget. Aquí se han realizado importantes trabajos como el efectuado por Delia Lerner, Patricia Sadovsky y Susana Wolman sobre las hipótesis que van elaborando los chicos al apropiarse del sistema de numeración, los artículos de sistematización sobre la enseñanza de operaciones, o los desarrollos en la didáctica de la geometría, entre otros. Muchos de los investigadores argentinos en esta línea se desempeñaban como docentes del Postítulo en Enseñanza de la Matemática de CEPA, el cual ya no se realiza debido a la profundización de la precarización de los contratos de los capacitadores sufrida bajo la gestión de Macri.

Cuentas pendientes

relación entre la cantidad de contenidos a enseñar durante un año y la profundidad con la que se pueden abordar. Consideramos que para poder hacer pasar a nuestros alumnos por el proceso de construcción de los conceptos matemáticos que figuran en el Diseño Curricular es necesario hacer un recorte. De otra forma, se siguen presentando los temas a modo de paneo rápido y no se ofrece el tiempo para que los alumnos hagan preguntas, ensayen respuestas, discutan entre ellos y pueda convenirse que se ha aprendido algo. Otro de los problemas que nos trae es la necesidad de acordar qué recorte hará cada grado. Es necesario que discutamos como equipos qué temas se abordarán en cada año y luego, al concluir un ciclo lectivo, poder evaluar qué pudimos enseñar realmente y cómo lo enseñamos, para ver cómo retomarlo en el año siguiente.

Además, si pensamos que el conocimiento es abierto y revisable, necesitamos el tiempo necesario para que los alumnos saquen conclusiones parciales, incluso para que cometan errores que puedan ser discutidos en clase. Si nos limitamos a corregirlos individualmente y a sancionarlos cuando no resuelven de la forma que esperamos, los alumnos tienden a repetir el procedimiento “aceptado”, ése que no comprenden pero que les sirve para tener éxito.

Ni lumbreras ni orejeras Pensamos que es posible que todos los chicos aprendan. Esto se opone a la arraigada idea de que sólo algunas personas son “buenas” o “rápidas” en Matemática, mientras que otras nunca lo serán. En palabras de B. Charlot: “El vocabulario pedagógico cotidiano, que sigue siendo muy platónico, contiene constantemente esta metáfora de la mirada, de la visión, de la luz.

Como dicen los alumnos, "yo veo" o "yo no veo", "me da justo" o "no me da justo", y en materia de matemáticas, no hay discusión, ni duda, o se da en el blanco o se está fuera de foco. El vocabulario de los profesores, aunque es más rico, abunda en frases del mismo tipo. Ciertos alumnos son unas lumbreras, son brillantes, son unas luces, sacan las

Sacapuntas

cosas a primera vista. Otros, lamentablemente, tienen orejeras, son ciegos, para ellos todo es oscuro. Existen, en suma, los alumnos de cien watts y alumnos de cuarenta watts, y nada tiene que ver el profesor en esto que no ha hecho más que dar su curso lo más “claramente” posible.”1 Tal como los matemáticos no estudian en soledad sino inmersos en una comunidad científica, pensamos que todos los alumnos pueden aprender discutiendo unos con otros, demostrando qué procedimientos son válidos o no, argumentando por qué tomaron sus decisiones y apropiándose de las buenas ideas de los demás. Ésta es la razón que nos lleva a tomar esta nueva forma de enseñar y pensar la Matemática. De igual modo -discutiendo y reflexionando entre colegaslos docentes podremos avanzar en nuestras maneras de enseñar. Porque se trata de que el conocimiento efectivamente esté al alcance de todos y no de pocos.

Cecilia Chiappetta Carolina Lifschitz (1) Charlot, B. La epistemología implícita en las prácticas de enseñanza de las matemáticas (1986)

Pueden seguir profundizando sobre el enfoque de la enseñanza de las matemáticas en: & Charlot, B. La epistemología implícita en las prácticas de enseñanza de las matemáticas.

Conferencia dictada en Cannes. (1986) http://musicaba.buenosaires.gov.ar/areas/edu cacion/cepa/epistemologia_charlot.pdf & “¿Por qué enseñar Matemática?” En Documento de trabajo Nº1. Actualización curricular (1995). Secretaría de Educación del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. http://www.bsas.gov.ar/areas/educacion/curric ula/docum/areas/matemat/doc1.pdf & Panizza, M. “Reflexiones generales acerca de la enseñanza de la Matemática”. En Panizza (comp.) Enseñar Matemática en el nivel Inicial y el primer ciclo del a EGB. Análisis y propuestas.

Paidós, Buenos Aires, 2003.

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Cuentas pendientes

Enseñar las cuatro operaciones Las operaciones constituyen uno de los aspectos centrales a enseñar en el área de Matemática y atraviesan los programas de primero a séptimo grado. Como maestros, esperamos que nuestros alumnos terminen la escuela primaria sabiendo sumar, restar, multiplicar y dividir correctamente. Sin embargo, existen discusiones acerca de qué significa que los alumnos hayan aprendido las operaciones.

¿ Q u é q u i e re d e c i r “s a b e r l as c u at ro operaciones”?

Antes de empezar a leer, los invitamos a resolver el siguiente problema.

Hoy es martes. ¿Qué día de la semana será dentro de 417 días?

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Hasta hace algunos años no había discusión: los niños salían de la escuela bien seguros de cómo resolver cuentas de dividir.

Ahora bien, esto no nos garantizaba que pudieran darse cuenta de que la división es una herramienta útil para resolver problemas como el anterior.

Aún hoy, muchos maestros notan que sus alumnos son capaces de resolver con destreza todos los cálculos, pero que ante un problema “no saben qué cuenta usar” y “arriesgan”. Entonces, cabe preguntarse si podemos decir que estos alumnos ya saben las cuatro operaciones. ¿Alcanza con que sepan resolver los algoritmos? ¿Qué otras cosas implica saber sumar, restar, multiplicar y dividir?

Saber utilizar un concepto matemático cualquiera supone saber cómo funciona y para qué sirve. En el caso de las operaciones, esto implica comprender cómo funcionan sus algoritmos y también qué problemas pueden resolver y cuáles no.

Existe una variedad de situaciones que pueden ser resueltas con la suma: problemas que

implican agregar una cantidad a otra que ya existe (Mario tenía $8 y su tía le regaló $5. ¿Cuánto dinero tiene ahora?), problemas que suponen juntar dos cantidades (Claudio tiene $8 y Mario tiene $5. ¿Cuánto dinero tienen entre los dos?), problemas que implican averiguar el estado inicial previo a una transformación (Mario gastó $8 y ahora le quedan $5. ¿Cuánto dinero tenía antes?).

Aún cuando todos estos problemas se resuelven con la cuenta 8 + 5, son situaciones diferentes y revisten distinta dificultad para los alumnos. Si bien seguramente los chicos de segundo grado pueden resolver fácilmente esa cuenta, no les resulta tan fácil darse cuenta de que para averiguar el resultado del último problema planteado pueden sumar. Es necesario, entonces, dedicar tiempo de enseñanza a la diversidad de situaciones que se resuelven con una suma.

Esto no sucede solamente para el caso de la suma: todas las operaciones tienen su propio campo de aplicación, es decir, problemas que esas operaciones permiten resolver con efectividad.

Pero esta construcción es larga y se desarrolla durante varios años. ¿Cuándo se empieza a sumar, restar, multiplicar y dividir?

Ahora les proponemos resolver un nuevo problema de cualquier manera, utilizando solamente las tablas hasta el 10.

Cuentas pendientes

Llegaron a un negocio 28 cajas con 6 vasos cada una. ¿Cuántos vasos nuevos hay?

Tanto nosotros como nuestros alumnos podemos resolver este problema sin multiplicar con el algoritmo tradicional, apelando a sumas reiteradas o a multiplicaciones parciales. Es posible plantearlo en una secuencia a alumnos de tercer grado que todavía no hayan aprendido ningún mecanismo para multiplicar por dos cifras.

En ese caso, podrían apelar a un procedimiento como éste: 10 x 6 = 60 10 x 6 = 60 60 + 60 + 48 = 168 8 x 6 = 48 Aquí, los chicos piensan primero que en 10 cajas de 6 vasos habrá 60 vasos, en otras 10 otros 60 vasos y en 8 cajas, 48 vasos. Se apoyan en el contexto que da el problema y en cosas que ya saben: que el 28 se puede descomponer en 10 + 10 + 8 y que para hacer 28 veces 6 se pueden ir calculando resultados parciales y después sumarlos. De hecho, y como se plantea en la nota Volver a pensar la división, los alumnos apelan a las estrategias que ya conocen para poder encontrar una respuesta. Estas estrategias no llegan ni avanzan de forma espontánea. Es necesario trabajar desde primer grado sobre la descomposición aditiva (ver la nota Procedimientos de suma), y en tercer grado profundizar en las relaciones entre las tablas de multiplicar.

Este problema “de multiplicación por dos cifras” se puede resolver aún sin saber el algoritmo de la multiplicación. Esto no quiere decir que no valga la pena enseñar una cuenta rápida para multiplicar por números de dos cifras, sino que tiene sentido introducirla cuando los

Sacapuntas

alumnos están en condiciones de comprenderla.

Si se sigue avanzando en este tipo de descomposiciones hasta llegar a 20 x 6 = 120 y 8 x 6 = 48, se verá que la “cuenta parada” no es más que un reordenamiento de estos números.

20 x 6 = 120 8 x 6 = 48 168

28 x6 48 + 120 168

No se trata, entonces, de presentar primero la cuenta y después los problemas para aplicarla. Por el contrario, así como los problemas de suma ayudan a construir una cuenta posible para la suma, los problemas de multiplicación ayudan a construir cuentas posibles de multiplicación, etc. ¿Una cuenta también puede ser un problema?

Antes de empezar a leer este último apartado, les proponemos resolver este cálculo sin hacer la cuenta de dividir.

567 : 12 Se podría haber resuelto esta cuenta con una división tradicional y sería un simple ejercicio.

Pero para un alumno de tercer grado al que no se le ha enseñado un método para dividir por dos cifras, resolver esta cuenta puede constituir un verdadero problema. Seguramente apelará a sumar el 12 hasta alcanzar el 567, a restar el 12 a 567 hasta no poder continuar, o a multiplicar el 12 tantas veces como entre en el 567.

Las operaciones, por lo tanto, pueden ser problemas para los alumnos que aún no disponen de todas las herramientas necesarias para resolverlas, pero sí disponen de algunas en las que apoyarse. Si los chicos ya han aprendido un

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Cuentas pendientes

mecanismo, entonces la misma cuenta puede resultar un simple ejercicio sin ningún desafío.

Aunque enseñar directamente las cuentas resulta más rápido, reflexionar sobre cómo se resuelven no es una pérdida de tiempo. Permite a los chicos apropiarse verdaderamente de cómo funcionan las cuatro operaciones. Inclusive, tiene sentido seguir reflexionando sobre las propiedades de las operaciones una vez que ya se las sabe usar convencionalmente, como por ejemplo pensar por qué en las cuentas de suma y multiplicación se puede alterar el orden de los números y no en las de resta y división. Además, vale la pena dedicar tiempo al análisis del funcionamiento de las operaciones en distintos campos numéricos: por ejemplo, analizar por qué cuando se multiplican números naturales el

resultado siempre “se agranda”, y cuando se multiplican números racionales el resultado puede llegar a “achicarse”.

No se trata, entonces, ni de utilizar sólo problemas referidos al mundo “real”, ni de sólo analizar cómo funcionan las cuentas. Los alumnos las van aprendiendo en una permanente interacción entre el campo de los problemas que dan sentido a las operaciones y el análisis de éstas las mismas. ¿Para qué dedicarle tanto tiempo a las operaciones?

Frecuentemente se sostiene que la Matemática en la escuela debe servir para la vida cotidiana. Desde esa perspectiva, no tendría ninguna utilidad pensar sobre las operaciones: sería mejor enseñarlas con un método sencillo, de una vez y para siempre.

Por supuesto, queremos que nuestros alumnos puedan usar las cuentas para calcular precios, estimar medidas, sacar porcentajes, etc.

Sin embargo, tal como se afirma en la nota anterior, creemos que la Matemática es una de las grandes obras de la humanidad. Una producción que vale la pena conocer más allá de sus usos concretos. No todos los conocimientos matemáticos que enseñamos en la escuela tienen que tener un referente real ni un fin utilitario.

Por esta razón, creemos que vale la pena discutir sobre la forma en que enseñamos las operaciones en la escuela primaria. Las siguientes notas pretenden acercar útiles propuestas y puntos de partida para esa discusión.

16 Cecilia Chiappetta Julieta Iurcovich

Cuentas pendientes

Volver a pensar la división Una secuencia para trabajar en 3er grado

La enseñanza de la división suele traer quejas y algunas dudas. Analizaremos aquí algunos de los errores más comunes en las cuentas de dividir, y luego propondremos una secuencia para que los chicos puedan apropiarse, de a poco, de una cuenta efectiva y diferente para dividir.

“Tomo” dos porque con uno no se puede La cuenta que aquí se comenzó a hacer tiene uno de los errores frecuentes de los alumnos: toman más de un número del dividendo para empezar aún cuando no es necesario.

Sabemos bien que, para resolver correctamente este algoritmo de forma tradicional, habría que haber comenzado sencillamente dividiendo 7÷6 = 1.

Sin embargo, este error se vincula con una de las cuestiones más curiosas del algoritmo tradicional de la división. El resto de los algoritmos oficiales que enseñamos (el de la suma, la resta y la multiplicación) empiezan por el último número, es decir por las unidades. La cuenta tradicional para dividir, en cambio, empieza por el primer número, y muchas veces exige tomar más de uno. Pero en realidad, sabiendo que ese 7 representa 700, ¿por qué habría que tomar más de un número?

Bajo el dos porque si no, no se puede Para resolver este algoritmo de forma tradicional, habría que colocar un cero entre el 1 y el 6 del resultado, porque cuando se baja el 5 “15 no se puede repartir entre 23” y por ello se coloca un 0.

El alumno que así resolvió no se “olvidó” del cero: pensó, apoyándose en lo que sabe, que

Sacapuntas

no se puede hacer 15÷23, por lo que pensó “bajo el 2 porque si no, no se puede”.

Esta es otra de las cuestiones que dificultan la correcta resolución de las cuentas tradicionales de división: en ellas se pierde de vista completamente el valor posicional de cada número, al punto que se piensa a cada uno por separado (o agrupados de a dos, o tres, casi arbitrariamente). Ese 24 que tomamos para empezar es en realidad un 2400, el 15 que queda es un 150. Perder de vista el valor posicional, que tanto tratamos de enseñar a nuestros alumnos, les hace perder de vista la razonabilidad del resultado. ¿Qué quieren decir nuestros alumnos cuando repiten que no se puede ? Nos preguntamos qué hacer para que los alumnos no apelen a estas fórmulas memorizadas, vacías de sentido, que no pueden comprender, y que finalmente, los suelen llevar al error. Así, tras estudiar y discutir con algunos compañeros, encaramos esta secuencia en un tercer grado de una escuela pública del barrio de Floresta.

Llegar a la cuenta de división En las aulas existen hoy discusiones acerca de cuándo es conveniente introducir el algoritmo para la división. Partimos del supuesto en que el algoritmo no constituye un punto de partida para comprender la división. Por lo tanto, no presentamos ninguna cuenta de dividir durante el 2do grado, y ésta (en una versión diferente a la tradicional) apareció recién a fines del 3er grado.

Pero, ¿entonces los chicos no dividieron hasta el fin del primer ciclo?

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Cuentas pendientes

Durante todo el tercer grado se presentaron a los chicos distintos problemas de división. Algunos de ellos implicaban tener que hacer un reparto (se da la cantidad total a repartir y la cantidad de personas a obtener partes iguales para que obtengan cuánto vale cada parte), mientras otras implicaban una partición (se da la cantidad total a partir y luego cuánto vale cada parte para que obtengan cuántas partes hay). La distinción entre estos dos tipos de problemas es importante para el maestro, porque ambos revisten distintas complejidades y permiten vincular distintos tipos de procedimientos.

Veamos algunas de las resoluciones de los chicos de 3ro ante este problema de partición: Un hombre gasta $5 por día para ir a trabajar. Si le quedan $45 de su sueldo, ¿para cuántos días le alcanza?

A)

B)

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Una forma de resolver que apareció entre nuestros alumnos fue sumar o restar hasta llegar al número deseado o hasta cero respectivamente. En este caso, el resultado se obtiene de contar la cantidad de cincos presente en las cuentas realizadas.

C)

D)

En cambio, estos procedimientos comienzan a relacionar la división con la multiplicación: procuran encontrar cuántas veces puedo poner al 5 adentro del 45 o hasta llegar a 45.

Para que los alumnos abandonaran lentamente la suma y resta y comenzaran a buscar el factor que falta, fue necesario analizar con ellos, en el pizarrón, las relaciones entre estos procedimientos. Así, fueron comprendiendo las formas de resolver de los demás y apropiándose de las que les resultaban mejores.

M: ¿Dónde está la respuesta en los que resolvieron de la forma A? As: En los cincos M: Ajá. La respuesta es 5, entonces.

A: No. Yo hice como la D y me dio 9.

M: ¿Qué piensan los demás?

A: Yo hice así (como la A) y también me dio 9. Hay que contar los cincos.

A: Claro, 9 veces el 5.

M: ¿Ustedes encuentran 9 veces el 5 en todas las formas de resolver?

Es sumamente importante destacar que se trabajó con una puesta en común tras la mayoría de los problemas, y que la puesta en común está lejos de ser un momento donde dos o tres alumnos presentan su forma de resolver. Fue la maestra la que eligió qué formas de resolución se presentarían, y en la mayor parte de las veces ella misma las escribió en el pizarrón para que incluso los alumnos que las hicieron pudieran identificarse con ellas. Si bien muchas veces se apeló a que los alumnos expliquen “cómo lo resolvieron”, la selección de qué procedimientos se compararon es de la maestra, y también la de

Cuentas pendientes

preguntas que se hicieron para comparar dónde está lo que uno hizo en la estrategia del otro, es decir, encontrar relaciones entre esas estrategias.

Ahora bien, veamos algunas de las resoluciones vinculadas al reparto con este problema: Un capitán tiene 63 monedas de oro y quiere repartirlas entre sus 5 marineros. ¿Cuántas monedas le tocan a cada marinero? ¿Sobran monedas?

A)

En este caso, al principio del año casi todos los alumnos apelaban a formas gráficas de resolver. Fue necesario habilitar esta forma (“El que necesita hacer un dibujo para resolver, lo hace” ) porque los chicos creían que era obligatorio encontrar una cuenta para resolver el problema, y no la encontraban.

B)

C)

Más adelante, mientras paralelamente se trabajaban problemas de partición y también otros tantos de multiplicación, los alumnos comenzaron a ensayar procedimientos en los que

Sacapuntas

procuraban buscar por qué número multiplicar a 5 para llegar a 63 sin pasarse. El último procedimiento es muy interesante en particular, porque va multiplicando para componer el número sin descartar el resultado anterior.

Aquí también, lo interesante fue comparar procedimientos como el A y el C, para establecer relaciones entre ellos y para ayudar a que los alumnos que dibujaban fueran abandonando estas formas de resolver.

M: ¿Quién hizo como la forma A? As: ¡Yo! M: ¿La podés explicar vos, Yésica?

A: Yo primero puse los 5 señores arriba y después les di 10 monedas a cada uno, después 1 a cada uno y después 1 a cada uno.

M: ¿Ustedes entienden cómo hizo Yésica?

As: ¡Sííííí!

M: ¿Y dónde está la respuesta en la forma de Yésica?

A: Abajo de los números. Ahí en el 12.

M: ¿Qué tienen de parecido la forma de Yésica y la forma C? A: Esa también puso 12.

A: Porque primero le puse 10 a cada uno, y entonces 5 veces 10 es 50, y después les di 2 a cada uno y 5 veces 2 es 10.

M: En la forma de Yésica, ¿hay 5 veces el 10?

A: ¡Sí, en los marineros 10 10 10 10 10!

M: Entonces al lado de la de Yésica podemos escribir 5 x 10 como en la D. As: ¡Síííí!

Como se ve, los problemas de reparto no admiten la suma y la resta de la misma forma que los de partición. Si bien algún alumno podría probar qué número sumar cinco veces para que le de 63 sin pasarse, es más frecuente que se de cuenta que para ello necesita una multiplicación.

Trabajar con problemas de partición y reparto no implicó que no pudiéramos trabajar, también en 3er grado, con problemas estrictamente numéricos para avanzar en la comprensión de la división. En este caso, se

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Cuentas pendientes

propuso a los alumnos problemas como ¿Cuántas veces entra el 30 en el 126? Es posible resolver este problema usando los mismos procedimientos utilizados para los problemas de partición.

Algunos chicos sumaban el 30 hasta lograr llegar al 126 “sin pasarse”, otros iban restando 30 a 126 hasta que les quedaba menos de 30, otros multiplicaban a 30 por distintos números hasta encontrar el más cercano a 126.

Otro problema que acerca la multiplicación y la división es ¿Por qué número tengo que multiplicar a 30 para tener como resultado 120? Se introdujeron dos formas para escribir esos problemas de “Cuántas veces entra…”: ____ x 30 = 120

120 : 30 = _____

Así, se introdujo ante los chicos un símbolo para la división y algunas de las características de esta operación: la división sirve para saber cuántas veces entra un número adentro del otro, y es “al revés” que la multiplicación.

Como se ve en algunos de los ejemplos, no se restringió el campo numérico a utilizarse en los problemas. Los chicos no necesitan saber dividir primero por una cifra y luego por más cifras, porque paralelamente fueron trabajando en comprender cómo funcionan las multiplicaciones, en especial las que tienen un número seguido de cero.

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Una forma para la cuenta de dividir Ya hacia el fin del 3er bimestre, cuando la mayoría de los alumnos podía usar la multiplicación para resolver problemas de división, se decidió introducir un algoritmo para ordenar las aproximaciones multiplicativas.

Ante el problema de reparto El capitán tiene 843 monedas de oro y las quiere repartir entre sus 4 marineros. ¿Cuántas monedas le tocan a cada uno? Se transcribió en el pizarrón esta forma de resolver (todos se encontraban en condiciones de comprenderla porque ya había

sido utilizada por muchos compañeros).

A continuación, se presentó a los chicos una nueva forma de ordenar esos mismos números1. Se anotó en el pizarrón que otra forma de escribir los repartos es esta. Se dejó durante unos minutos a los chicos pensar la cuenta en grupos con la consigna de que traten de descubrir cómo se hace y qué tiene de igual a la forma a n t e r i o r. L o s c h i c o s encontraron que abajo del 4 dice cuánto les vamos repartiendo a cada marinero y abajo del 843 dice cuánto nos queda todavía para repartir.

Borramos lo hecho y volvimos a hacer la cuenta de división entre todos, repitiendo los pasos usados en voz alta. Otra conclusión que se sacó en este día de la presentación de este algoritmo fue que esta forma de escribir la división “mezcla” un poco del procedimiento de ir multiplicando sin pasarse porque vas anotando cuánto le vas dando a cada uno y otro poco del procedimiento de restas sucesivas porque vas viendo cuánto te queda para repartir.

Durante varias clases se fueron presentando tanto problemas de reparto que admitieran usar el algoritmo como también cuentas a ser resueltas. Por supuesto que no todos los chicos lo admitieron y lo utilizaron en un principio: muchos seguían apelando a aproximaciones multiplicativas y algunos pocos

Cuentas pendientes

todavía dibujaban los repartos. Más adelante, en otras clases, pudimos establecer que esta cuenta también servía para resolver los problemas como “Cuántas veces entra el 6 en el 126”.

Achicar cada vez más la división Un trabajo profundo con las multiplicaciones seguidas de cero ayuda a reducir cada vez más las cuentas de división a nuestros alumnos. Ya cuando estén en cuarto grado, el cálculo mental podrá ayudarlos a aproximar de una forma cada vez más exacta el resultado de la división. La misma cuenta anteriormente planteada podrá resolverse pensando que 210 x 4 = 840, utilizando incluso una menor cantidad de pasos que la que se utilizaría si se hiciera el algoritmo tradicional.

843 4 840 210 3 Por supuesto, los chicos no avanzarán solos hacia cálculos más aproximados. Será necesario nuevamente apelar a las puestas en común, donde se muestra la resolución del mismo cálculo por varios alumnos, y se busca las estrategias más cortas para esto.

Volver a pensar la división Tras realizar esta secuencia y también gracias a la discusión con otros maestros de matemática, surge una pregunta sobre el algoritmo tradicional de la división: ¿es realmente necesario enseñarlo? ¿Es más rápido el algoritmo tradicional que este algoritmo que presentamos?

Si bien no se trata aún de una cuestión resuelta, creemos que es necesario discutir si vale la pena seguir enseñando algo que, sabemos, produce tantas contradicciones con el resto de lo que queremos enseñar.

Cecilia Chiappetta (1)Este algoritmo no es de nuestra autoría. Fue presentado por Guy Brousseau, especialista de la Didáctica de la Matemática.

Pueden continuar leyendo acerca de la enseñanza de la división en: & Claudia Broitman. “La enseñanza de la división en los primeros años”. En Las operaciones en el primer ciclo. Ediciones Novedades Educativas. & Irma Saiz. “Dividir con dificultad o la dificiultad de dividir”. En Didáctica de matemáticas. Paidós.

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Sacapuntas

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La suma: una cuenta para armar y desarmar Una secuencia de juegos y problemas para construir la suma en primer grado Se dice que cuando los chicos terminan el primer grado deben descomponer los números para sumar. ¿Cómo hacer para que las estrategias de los chicos vayan avanzando a partir de lo que saben? ¿Sirven los juegos para hacer progresar las estrategias de los alumnos? ¿Por dónde empezar?

En muchos manuales nos encontramos con resoluciones como ésta: 32 + 21 =

30

+

2 +

20

+

1=

socialización de las distintas estrategias utilizadas durante el mismo y la necesidad de argumentar la conveniencia o no del uso de las mismas. Las actividades posteriores permiten reutilizar los conocimientos matemáticos que aparecieron con el juego.

Del conteo al sobreconteo 30

+

20

+

2

+

1 = 53

Pero, ¿cómo se llega a esta estrategia? ¿Se enseña? ¿Se muestra? ¿En qué momento? Es necesario pensar esta forma de resolver como un norte y no como un punto de partida, como una construcción a la que se irá llegando a lo largo del año. Consideramos que no tiene ningún sentido que los chicos descompongan los números para sumar si no lo hacen porque lo necesitan, o que lo hagan si ya se les ha enseñado una cuenta vertical para sumar.

A continuación, presentamos una progresión posible de actividades para llevar a cabo a lo largo de todo primer grado y, tal vez, parte de segundo con el fin de arribar a la descomposición de los números como estrategia para resolver operaciones de suma. Sin duda, esta propuesta no constituye un método si no una posibilidad entre muchas otras.

En esta secuencia, los juegos aparecen como problemas en el sentido de que presentan cierta dificultad para los alumnos, y les permiten 22 desplegar estrategias sobre las que luego vale la pena reflexionar colectivamente. El juego en sí mismo no alcanza para construir conocimientos matemáticos: es necesario acompañarlos de reflexión traída por el docente que permitirá la

La viborita 2

3

4

5

6

8

9

10 11 12

Objetivo del juego: Tachar todos los números o dibujar 7 serpientes antes que el contrincante.

Desarrollo: Cada participante tiene su tablero. Por turno, tira los dos dados y tacha el número que da la suma de los dos. Pero si la suma da 7, dibuja una serpiente en el cuadradito blanco.

El sentido de proponer a los alumnos de primer grado el juego de la viborita es que puedan avanzar en sus estrategias para encontrar el resultado de la unión de dos cantidades. Al principio, los chicos aún no suman convencionalmente, sino que utilizan otras estrategias para saber qué número deben tachar.

En este juego, como en otros juegos con dados, los chicos recurren al conteo de los puntitos. Algunos cuentan primero los de un dado y luego siguen contando los puntitos del segundo.

En cambio, otros cuentan los puntitos de un dado y para contar los del otro vuelven a epezar desde

Cuentas pendientes

cero, sin lograr obtener el resultado total.

Más adelante, cuando se les propone jugar al mismo juego con un dado con puntitos y el otro con los números del 1 al 6, algunos chicos utilizan la estrategia del sobreconteo, es decir, contar a partir de un número dado, la cantidad que se quiere agregar. Por ejemplo si sale el 6 en un dado y tres puntitos en el otro, cuentan a partir de 6 tres números más (7, 8 ,9). Para complejizar más el juego, se puede utilizar un dado con puntitos y otro que tenga los números del 7 al 12.

En este caso la viborita llevará los número del 8 al 18 y los alumnos estarán sumando cantidades cada vez mayores.

Si unas clases más adelante se introduce una nueva versión del juego en la que los dados sólo tengan números, es posible que algunos alumnos intenten usar los dedos, lo que con resultados mayores a 10, se vuelve dificultoso. Otros se dan cuenta de que no es necesario contar el primer número y que alcanza con usar los dedos sólo para representar el segundo. Lo explican con frases como “te ponés el 8 en la cabeza y el 6 en los dedos y contás: ya tenía 8 y sigo a partir de ahí, 9, 10, 11, 12…”.

Por un lado, los cambios que el maestro va introduciendo en el juego -primero jugar sólo con puntitos, luego agregar un número, más tarde ampliar el tamaño de las cantidades y luego jugar sólo con números- “fuerzan” a los chicos a ir elaborando nuevas formas de resolver.

Por otro lado, para ayudar a que todo el grupo pueda avanzar, es necesario proponer después de jugar- instancias de reflexión colectiva, es decir, puestas en común. Allí, el maestro selecciona algunas de las estrategias utilizadas en el juego y las muestra en el pizarrón

Sacapuntas

para que todos comiencen a comprender por qué funcionan y a puedan ir apropiándoselas. Luego de la puesta en común, puede resultar intere- sante que los chicos trabajen en el cuaderno problemas relacionados con el juego, del tipo A Juan le salieron estos dados ¿qué número deberá tachar? De esta manera, cada uno tiene la posibilidad de reutilizar las estrategias utilizadas durante el juego y durante discusión.

Tras hacer más problemas que involucren el sobreconteo, se puede abrir una nueva discusión para pensar por cuál de los números comenzar a contar. Algunos chicos dicen que conviene “ponerse el más grande en la cabeza” para empezar, y esto puede resultar una buena estrategia para todos.

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Aparecen los signos El juego de la caja Objetivo del juego: Averiguar cuántas tapitas hay adentro de la caja Desarrollo: Un chico pone una cantidad de tapitas adentro de una caja. Otro chico agrega o quita tapitas. El resto de los chicos deben averiguar cuántas tapitas hay ahora adentro de la caja.

En este juego se presentan situaciones en las que la suma aparece para averiguar el resultado de transformaciones positivas -cuando se agregan tapitas- y la resta para averiguar el de las transformaciones negativas -cuando se quitan tapitas.

Más allá de discutir las estrategias que los chicos utilizan para averiguar cuántas tapitas hay, es una buena oportunidad para que el maestro presente los signos + y - como forma de simbolizar las cuentas que se escriben para resolver este tipo de problemas.

Avanzar también es sumar El juego de la oca, y otros juegos similares en los que se avanza o retrocede casilleros, resultan muy útiles para trabajar con los chicos la idea de que cuando uno avanza un casillero está sumando 1. Por ejemplo, si estoy en el casillero 14 y avanzo un casillero más lo que hago es sumar un casillero a los 14 que ya tenía. Esta reflexión es importante para que los alumnos puedan usar comprensivamente las grillas numéricas como herramienta para sumar y restar y puedan encontrar una explicación al hecho de que no sea necesario contar el casillero desde el que parten cada vez que avanzan.

Una vez que los chicos usan con facilidad la grilla de números como herramienta para sumar 24 avanzando de a uno, se puede proponer jugar a la Carrera en el cuadro de números. El cuadro de números es una herramienta importantísima para que los alumnos avancen en sus conocimientos sobre el sistema de numeración. El apoyo en las

regularidades del sistema permite a los chicos, a su vez, avanzar en la construcción de los procedimientos de suma.

Sumar 10 es fácil Carrera en el cuadro de números

Objetivo del juego: Llegar al número 100.

Desarrollo: Se juega en parejas. El 0 es la salida.

Para avanzar, cada jugador tira una moneda: si sale cara, avanza diez casilleros; si sale ceca avanza cinco casilleros.

Este juego permite buscar estrategias para sumar 10 apoyándose en algunas de las regularidades del sistema de numeración.

Durante este juego, muchos chicos cuentan de uno en uno los diez casilleros. Pero algunos notan que no es necesario contar los 10, sino que alcanza con bajar un lugar en el cuadro. Si bien aún no son capaces de explicar por qué esto funciona así, se están apoyando en una de las regularidades del sistema de numeración: su agrupación en base 10, es decir que cada 10 números, se forma un nuevo agrupamiento de 10.

No es de esperar que todos los chicos puedan apropiarse de la estrategia de “bajar un casillero” la primera vez que jueguen o la escuchen nombrar por otros compañeros. Será necesario jugar varias veces, discutir con todo el grupo y

Cuentas pendientes

resolver problemas como el siguiente.

Saliendo de 0, estos son los 4 primeros tiros de cada jugador. Anotá en qué casillero caerán después de cada tiro.

Otra forma de seguir trabajando esta regularidad son las cuentas en las que se suma o resta diez. Después de trabajar mucho este tipo de cuentas y discutir sobre ellas, los chicos suelen llegar a conclusiones como “Para hacer 58+10 sólo cambia el 5 y el 8 queda igual”.

Para seguir avanzando, se puede proponer problemas en los que se sume 20, 30, etc. Así se podrá discutir con los chicos que “si para sumar diez es posible bajar un casillero, para sumar veinte es posible bajar dos.” Este tipo de conclusiones permitirán más adelante usar el cuadro de números de manera tal que para resolver sumas como 25 + 47 no sea necesario contar 47 casilleros sino que, partiendo del 25, se pueda bajar cuatro casilleros y luego avanzar siete.

incógnita no está puesta en el resultado, sino en la cantidad que hay que agregar para llegar al número deseado. Algunos chicos prueban con billetes pequeños hasta llegar al resultado haciendo sucesivas pruebas para no “pasarse”.

Otros descubren que es posible sumar primero los billetes de $10 hasta formar las decenas y luego, los de $1, $2 o $5 para formar las unidades. Así para formar el 47, por ejemplo, usan primero 4 billetes de $10 y luego un billete de $5 y dos monedas de un peso.

Es necesario iniciar este trabajo con billetes pequeños y de a poco ir utilizando cada vez más los grandes. Resulta conveniente que primero los chicos se enfrenten a situaciones en las que sea necesario componer una cantidad determinada.

Por ejemplo: En la billetera, Marisa tiene estos billetes y monedas:

Armar y desarmar los números Los problemas que implican contar billetes y monedas o buscar qué billetes se necesitan para pagar una cantidad determinada, permiten trabajar fundamentalmente la composición y descomposición de números, conocimientos que luego serán muy útiles para poder sumar cantidades.

Saber que para formar el 30 se necesitan tres billetes de $10, va a permitir más adelante a los chicos llegar a conclusiones como que para sumar 30 + 20 hay que sumar 3 billetes de $10 + 2 billetes de $10, lo que va a dar 5 billetes de $10, que son $50.

Por otra parte, el trabajo con billetes también permitirá entender más adelante que si el 15 está formado por un billete de $10 y uno de $5, el 1 del 15 en realidad vale 10.

Buscar billetes para formar un precio componer un número- no es una tarea fácil: la

Sacapuntas

¿Cuánta plata hay?

Recién después se pueden presentar situaciones en las que haya que descomponer ciertas cantidades, como Juan quiere comprar un oso de $35. Dibujá los billetes y monedas que necesita.

En estos problemas, el maestro elige el tamaño de los números para forzar a que aparezcan ciertas estrategias: para formar el 69, por ejemplo, ir probando con billetes pequeños resulta demasiado largo. Se hace necesario buscar procedimientos que permitan acercarse al 60 lo más rápido posible, y aquí se involucra el uso de dieces.

Una vez más, no todos los alumnos llegarán a las mismas estrategias, por lo que los espacios de socialización y discusión permiten que todos los chicos tengan la oportunidad de pensar

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Cuentas pendientes

La descomposición de los números para sumar (y por supuesto posteriormente para restar) no es una moda o un capricho de los actuales didactas de la matemática. Descomponer los números sirve tanto para comprender cómo funcionan la suma y su cuenta tradicional. Cuando más adelante los alumnos empiecen a utilizar la cuenta parada, podrán entender qué representan en realidad los números que están sumando.

Tanto “la casita”, la cuenta parada y la calculadora permiten a los niños resolver las sumas eficientemente, es decir llegar a un resultado correcto. Sin embargo, si les preguntamos qué quiere decir “le presto uno al compañero”, o “cuánto vale el tres del treinta y dos” en la cuenta parada, no todos encontrarán su sentido.

Creemos que hacer matemática no significa sólo resolver cuentas eficientemente, sino que los chicos desarrollen una nueva manera de pensar que implique la comprensión de aquello que hacen.

Luego del trabajo con billetes, los chicos empiezan a usar diferentes formas de descomponer los números teniendo presentes los billetes aunque no los dibujen. A partir de algún problema como ¿Cuanto saldrá comprar un robot de $32 y un auto de $21? los alumnos descomponen los números (precios) en billetes y luego los suman. Esta es recién una primera aproximación a un trabajo que lleva mucho tiempo, y es necesario aclarar que no se ha presentado aún a los alumnos ninguna cuenta vertical para sumar. Es por esto mismo que necesitan desarmar los números como ellos saben, para luego volverlos a juntar.

Una forma de descomponer los números puede ser la siguiente: 32 + 21= 26 10 + 10 + 10 + 2 + 10 + 10 + 1 = Tras resolver varios problemas de esta manera, el docente puede plantear la inquietud de ver cómo hacer estas sumas sin “tener que

Estos 10 conforman un 30

{

Desarmar y volver a juntar para sumar

escribir tantos 10”.

Se puede reflexionar acerca de cómo en el ejemplo: 10+10+10+1+10+10+2=

{

sobre las estrategias que elaboraron otros compañeros y de poder usarlas.

Estos 10 conforman un 20

Luego se puede discutir esto de que sumar 30+20 es como sumar 3 billetes de $10 más 2 billetes de $10 lo que da 5 billetes de $10, o sea $50.

Recién tras todo este tiempo de resolución de problemas y discusión, los chicos empiezan a notar que el 3 del 32 representa en realidad un 30 y que el 2 sigue representando un 2.

De esta manera, son los mismos alumnos los que necesitan desarmar los números para sumar, y recién allí se podrá proponer volver a juntarlos de esta forma: 32 + 21 =

30

+

2 +

30

+

20

20

+

2

+

1=

+

1 = 53

Julieta Iurcovich Federico Milman

Memorizar sumas Generalmente, cuando los adultos hacemos sumas no recurrimos a ninguna de las estrategias mencionadas. Esto es así porque ya sabemos resultados de memoria. Sabemos que 7 + 5 es 12. No necesitamos ponernos a contar nada. Como sabemos la cuenta anterior también sabemos que 70 + 50 es 120. Es necesario que los chicos cuenten con cierto repertorio de sumas que sepan de memoria y que estén disponibles para resolver cálculos más complejos. En este caso, también se puede apelar a los juegos para memorizar algunas sumas como los complementos a diez (sumas que dan 10) o las sumas de dobles. Colgar en el aula carteles con las cuentas que “ya sabemos de memoria” permiten acudir a ellos cuando resulte necesario y ayudan a recordarlas a quienes aún no las saben.

Cuentas pendientes

Sumar y restar fracciones Una secuencia para construir los algoritmos usando las fracciones equivalentes En este artículo se plantea cómo a partir de un trabajo profundo con las fracciones equivalentes puede provocarse que los alumnos puedan sumar y restar fracciones de distinto denominador sin apelar a fórmulas memorizadas.

En general, cuando abordamos el trabajo con fracciones en el segundo ciclo, enseñamos a nuestros alumnos a reproducir métodos vacíos para resolver operaciones. Al preguntarles cómo se suman fracciones, los chicos suelen responder: “cuando sumás fracciones, primero tenés que sacar denominador común”. Frente a la pregunta de por qué sucede eso, las respuestas masivas son “no sé, a mí me lo enseñaron así…”.

Tal como se señala en los demás artículos, los algoritmos no deberían ser el punto de partida para el estudio de las operaciones, sino el de llegada. Es posible hacer que los chicos sumen fracciones aunque todavía no sepan “la cuenta”.

Para generar esto es necesario empezar a tender puentes entre distintos conocimientos vinculados a las fracciones que tradicionalmente hemos enseñado por separado, incluso como distintos subtemas: las fracciones equivalentes y la suma y resta de fracciones de distinto denominador.

Se puede empezar a pensar sobre las fracciones utilizando problemas de contextos extramatemáticos (¿cuántos vasos de ¼ litro se pueden llenar con una jarra de 1 ½ litro?), así como también problemas estrictamente matemáticos (¿qué número multiplicado por ½ da 3?). Una suma de fracciones, cuando los chicos no tienen un procedimiento mecanizado para resolverla, también constituye un problema para ellos, aún cuando esa suma no tenga un referente en el mundo “real”. Si bien es posible utilizar problemas ligados a contextos reales para aprender a sumar fracciones, para comprender su funcionamiento es necesario profundizar en las relaciones estrictamente numéricas.

Sacapuntas

Una forma de introducir las fracciones Los números racionales (fracciones y decimales) surgieron en la historia de la matemática por la necesidad de representar cantidades que los números naturales no podían expresar. Esa necesidad aparece cuando trabajamos con medidas y con repartos entre otras situaciones, y éstas constituyen dos posibles entradas para las fracciones en la escuela.

Elegimos entonces el siguiente problema de reparto para promover en nuestros alumnos de 5to grado la necesidad de utilizar las fracciones: Se quiere repartir 5 chocolates entre 4 chicos de manera tal que todos reciban lo mismo y no sobre nada. ¿Cuánto chocolate le toca a cada uno?

La mayoría de nuestros alumnos respondió que a todos los chicos les toca un chocolate y que sobra uno. Al plantearles cómo hacer para que no sobre nada, tuvieron que dividir ese chocolate restante entre los cuatro chicos. Así, introdujimos la noción de fracción: ese pedacito de chocolate que cada uno de los cuatro chicos recibe se denomina 1/4 y que con 4 de esos pedacitos de 1/4 se forma un chocolate entero.

Evidentemente, los chicos no se apropiaron de la noción de fracción con sólo un problema de reparto. Fue necesario que se enfrentaran a varias situaciones en las que se pusiera en juego la necesidad de dividir un entero o varios.

Sumar fracciones de igual denominador usando la definición de fracción Tras haber comenzado a apropiarse de la

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Cuentas pendientes

definición de fracción a través de los repartos, los chicos empezaron a sumar fracciones sin que se les hubiera enseñado un mecanismo para esto. Si las fracciones son partes que forman un todo (ver recuadro), sumar fracciones de un mismo denominador es sumar muchas partes del mismo tamaño que pueden llegar a conformar un entero o más.

El problema les resultó a los alumnos de sencilla resolución: rápidamente todos pudieron asegurarse de que con 2 de 1/4 se forma 1/2.

Apoyarse en esta relación les sirvió para enfrentar problemas similares con tercios y sextos, cuartos y octavos, quintos y décimos, etc.

Más adelante, los alumnos resolvieron el siguiente problema:

Para sumar 5/3 + 2/3 puedo pensar que sumo 5 de 1/3 y luego 2 de 1/3, así 1/3 +1/3 +1/3 +1/3 +1/3 + 1/3 +1/3 = 7/3.

¿Cuántas bolsas de 1/4 kilo de azúcar puedo llenar con 3 bolsas de 1/2 kilo de azúcar?

Los chicos escribieron esta conclusión después de haber resuelto distintos problemas que involucraran sumar fracciones de igual denominador.

Así también, surgió la noción de número mixto sin necesidad de recurrir a fórmulas sin sentido: 1/3 + 1/3 + 1/3 + 1/3 + 1/3 + 1/3 + 1/3, podía ser fácilmente separado en 3/3 + 3/3 + 1/3, es decir en 1 + 1 + 1/3, o bien en 2 + 1/3.

Sumar fracciones con distinto denominador usando las fracciones equivalentes Ahora bien, ¿qué problemas se plantean cuando tengo que sumar fracciones que implican partes diferentes? Por ejemplo, ¿cómo se puede sumar 5/2 + 3/4 sin conocer una cuenta especial para esto?

Para poder abordar un problema como éste fue necesario haber comenzado a trabajar sobre uno de los aspectos fundamentales de los números racionales. A diferencia de lo que sucede con los números naturales, en los racionales un mismo número puede ser representado de infinitas maneras diferentes. Por ejemplo, para referir a 1/2 también puede escribirse 2/4, 3/6, 4/8, etc. Todas ellas constituyen fracciones equivalentes.

Para que los chicos pudieran apropiarse de estas equivalencias tuvieron que enfrentarse con situaciones en las que éstas fueran útiles. Por 28 ejemplo: Después de repartir varios chocolates iguales entre varios chicos, Tomás se quedó con 1/2 y Mariana con 2/4. ¿Quién tiene más chocolate?

Al principio muchos alumnos dibujaron para encontrar la solución. Fue necesario ir llevándolos progresivamente a desprenderse de los dibujos y a elaborar explicaciones que relacionaran las distintas fracciones. Si bien las representaciones pueden constituir un punto de apoyo inicial, comparar dibujos no constituye un procedimiento matemático válido para esto.

Luego de realizar varias actividades en donde estas relaciones se pusieran en juego, los chicos elaboraron conclusiones como la siguiente: Si 1/4 es la mitad de 1/2, con dos pedacitos de 1/4 tengo lo mismo que con uno de 1/2.

Entonces 2/4 es lo mismo que 1/2.

2/4 = 1/2 Ahora bien, ¿por qué este tipo de actividades facilita la suma de fracciones con distinto denominador? Cuando decimos a los chicos que para sumar fracciones con distinto denominador hay que sacar denominador común, lo que estamos pidiéndoles es que busquen fracciones equivalentes para lograr que los denominadores sean iguales, es decir, para sumar partes de igual tamaño.

Las sumas como 5/2 + 3/4, tienen una ventaja que pudimos aprovechar para comenzar a sumar fracciones de distinto denominador: uno de los denominadores (4) es múltiplo del otro (2).

Como se había trabajado con equivalencias de este tipo “Si 1/4 es la mitad de 1/2, con dos de 1/4 tengo lo mismo que con uno de 1/2”, los chicos

Cuentas pendientes

ya tenían algunas herramientas para enfrentarse a sumas como éstas. Pudieron pensar que 5/2 es lo mismo que 10/4, por lo que resolvieron la cuenta sumando 10/4 + 3/4 = 13/4. En este caso, sólo “transformaron” una de las fracciones.

Durante algunas clases se trabajó fuertemente en este tipo de relaciones en las que uno de los denominadores es múltiplo del otro (relaciones entre 1/2; 1/4 y 1/8; entre 1/3 y 1/9; entre 1/5 y 1/25, etc.) antes de poder pasar a sumar fracciones de denominadores que no se relacionaran de este modo. Más adelante se planteó a los alumnos problemas en los que había que buscar relaciones entre fracciones que no resultaban tan evidentes: por ejemplo, entre octavos y cuarentavos, entre tercios y veintisieteavos, etc.

Después de hacer este trabajo con equivalencias y sumas y restas como las anteriores propusimos a los chicos resolver la cuenta 3/5 + 1/2. Como no tenían ningún método para resolverla, la cuenta resultó un problema y no un ejercicio de aplicación de reglas.

Esto no quería decir que tuvieran que adivinar: podían utilizar algo de las cuentas anteriores para pensar la nueva.

Justamente de eso se trataba: de que fueran ellos quienes pensaran cómo podían usar sus herramientas disponibles para resolver esta cuenta y no de que nosotros les dijéramos cómo hacerla.

En este caso, en que los denominadores no tienen una relación multiplicativa, se hizo necesario buscar un tercer denominador, es decir, buscar fracciones más pequeñas para que se pudieran sumar partes de igual tamaño.

Ese tercer denominador puede ser 10, porque los quintos y también los medios pueden “convertirse” en décimos. Así, los chicos pudieron pensar que “En 1/5 entran 2/10 y por lo tanto, en 3/5 habrá 6/10”. Y lo mismo para transformar los medios en décimos: 1/2 puede pensarse como 5/10.

Sacapuntas

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Cuentas pendientes

Claramente hubiera sido más rápido decir a nuestros alumnos que cuando los denominadores son diferentes hay que sacar “denominador común”, luego dividir ese número por el denominador y multiplicarlo por el numerador, para así obtener dos fracciones con igual denominador que sí se pueden sumar y luego, eventualmente, simplificar. Sin embargo, como procuramos mostrar, en este método quedan encubiertas muchas razones y operaciones cuyo sentido se desdibuja. Cuando lo enseñamos así, a los alumnos sólo les queda la posibilidad de memorizarlo.

En cambio, cuando los algoritmos son el producto de una lenta pero trabajada construcción, los chicos pueden apropiarse del sentido de las operaciones y de su funcionamiento. A su vez, las fracciones equivalentes son utilizadas por ellos como herramientas para la resolución y no como conocimientos aislados.

Cecilia Chiappetta Julieta Iurcovich Pueden encontrar una buena secuencia sobre fracciones para el segundo ciclo en los materiales del Plan Plurianual, que están en las bibliotecas de las escuelas de la Ciudad de Buenos Aires y en http://www.bsas.gov.ar/ Areas/educacion/curricula/pluri_mate.php? menu_id=20709

Cómo definir una fracción Hay, en principio, dos formas de definir una fracción. La más utilizada en la escuela es la que va del entero a las partes. Para definir 1/6, podemos decir que es una de las partes que se obtiene al partir un entero en 6 partes iguales. Generalmente, mostramos a nuestros alumnos una torta dividida en 6 porciones de las cuales pintamos una. Esta definición es matemáticamente válida y nos es muy útil para mostrar que muchas veces, las fracciones surgen por la necesidad de tener que repartir uno o más enteros en partes más pequeñas.

Sin embargo, existe otra forma de definir una fracción que puede resultar muy útil tanto para la comprensión de las fracciones como para operar con ellas. Se puede también definir 1/6 como la parte tal que con 6 de ellas se forma un entero. En este caso, se va de las partes al entero. Si se trata de pedacitos de 1/4, entonces con 4 de ellos se forma 1 chocolate entero, pero que si hubiera pedacitos de 1/5, entonces se necesitarían 5 de ellos para formar 1 chocolate, etc.

Como mencionamos anteriormente, ambas definiciones son válidas, y permiten iluminar distintos aspectos de las fracciones. No se trata de elegir una u otra, sino de enriquecer el concepto de fracción y no ligarlo a una única representación.

LIBRERÍA

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LA TIZA En el Normal Nº 1 Paraguay 1950

Lo que pasa

Los que golpean y los que resisten Maestros contra la dictadura en Honduras

Desde el 28 de junio, las tropas del ejército y la policía patrullan las calles de Honduras; golpean. Se declara un toque de queda, y en otros sucesivos se cortan transmisiones televisivas y radiales; quedan las voces del pueblo que se expande en la calle y resiste.

El golpe cívico y militar encabezado por Micheletti recuerda las épocas oscuras en nuestro continente. La derecha hace su acto de presencia brutal. Ostenta el uniforme y el bocerguí, teme por sus intereses, por sus bienes, sus empresas, sus negocios; golpea.

A pesar de las intimidaciones, los gases, los palos, la represión, la cárcel, la tortura, la desaparición y la muerte, el pueblo hondureño se enfrenta a la dictadura. El magisterio es uno de los bastiones de Frente Nacional de la Resistencia. Los maestros y profesores organizan marchas y convocan a viva voz al pueblo en la calle. Es 30 de julio, un profesor de la COPEMH (Colegio de Profesores de Educación Media de Honduras) está allí multiplicado entre los cientos de manifestantes que cerca del Mercado Zonal de Belén le hacen frente a las tropas golpistas. Será uno de los primeros en caer entre la nube de gas y el repiqueteo de las balas: Roger Vallejo muere con un balazo en el cráneo. En su velatorio, compañeros y familiares son amedrentados por las fuerzas policiales. Adentro mismo se encuentra un colega, que fue a despedirlo. A la salida del local donde descansan los restos de un luchador caído, secuestran a Martín Rivera, maestro de escuela. Es 2 de agosto, hallan su cuerpo con más de veinte puñaladas. Cuesta creer que el odio pueda contarse. Odio y avaricia impulsan a una clase social que pasa por encima de los derechos humanos; golpean.

Los docentes de Honduras se hacen parte consustancial de una lucha contra la oligarquía hondureña respaldada por los EE.UU. Los maestros le ponen el cuerpo y las palabras a un proyecto de libertad aborrecido por el poder económico y militar. La dictadura, sabemos, no tendrá nada para ofrecer más que bastonazos y fuego y silencio; las palabras están de este lado, de nuestro lado. Los maestros vamos de frente, marchando, resistiendo.

Hernán Boeykens

Sacapuntas

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Historias mínimas

Ahora el maestro es usted

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Octubre, una mañana fría. Un hombre toca la puerta del aula. Trae en sus manos un pequeño bolso lleno de quién sabe qué. La señorita abre y saluda. Se conocen hace meses y han tenido más de dos conversaciones. Los chicos reciben al hombre al grito de ¡Yo te conozco, sos el papá de Julieta!

Julio, quien parece un poco nervioso ante la calurosa bienvenida, es en efecto el papá de Julieta, alumna de tercer grado de no tanto éxito escolar.

La señorita presenta a Julio: explica que vino a enseñarnos algo que él sabe mejor que nadie.

Retoma, entonces, el tema que viene trabajando con sus alumnos desde hace ya un mes.

Dice que Julio está aquí para contar algunas cosas que nos enseñaron los primeros pueblos de América, los primeros que vivieron en Bolivia y Perú. La señorita recoge sus cosas del escritorio en el frente del aula y se lo cede Julio: Ahora el maestro es Usted. Con estas breves palabras, le devuelve a Julio la sonrisa que éste le ofrece y se sienta entre

sus alumnos.

Julio comienza con una historia. Relata que cuando era chico vivía allá lejos por las montañas más altas del Perú, donde existía un lago peligrosísimo al que le estaba prohibido acercarse. El abuelo le contaba una antigua historia: en tiempos de los incas, alguien había arrojado allí un baúl o una valija con monedas de oro.

En aquel lago habían muerto largas filas de curiosos y codiciosos. Pero a pesar de las advertencias del abuelo, Julio se había acercado, no sin miedo, a comprobar la claridad y pureza de las aguas,cediendo a la fuerte incitación de lanzarse a la búsqueda del oro. La atención de la audiencia es completa.

El narrador, con la seguridad de un experto, deja correr un silencio antes de develar el final. Los chicos, ansiosos, hacen esa pregunta que la señorita no se anima a preguntar.

No, al final le hice caso a mi abuelo, cierra Julio.

Aplausos. Cuando la señorita logra salir del estupor del relato y volver a la conducción de la

Historias mínimas

clase, pregunta a Julio si quiere contar algo más.

Ante su sorpresa, él responde que sí con seguridad, que aún continuará unos minutos más.

Entonces abre el misterioso bolso, que antes - no sin premeditación - había dejado sobre el escritorio para alentar la duda de los pequeños.

Saca parsimoniosamente una especie de piedrita.

Algunos niños la reconocen de inmediato: se trata de un chuño, una variedad de papa deshidratada.

Lo que los niños y su señorita no saben es cómo se hace para que la papa quede así, y aquí viene a cuento nuevamente el abuelo de Julio, experto disecador de la montaña.

Con sumo detalle, Julio expone el proceso de secado de la papa y el de su rehidratación. Usa analogías para que los chicos puedan imaginar el pasto de la alta montaña, y describe las heladas con fidelidad. Los chicos empiezan a rodear el escritorio acercándose a los tubérculos dispuestos sobre la mesa. Cuando la explicación termina, Julio acerca los chuñitos a los chicos, para que los toquen. Santi, que no tiene familia en otros países sino en su homónimo Santiago del Estero, los manipula con interés, los golpea contra la mesa,

los huele. Los chicos del altiplano que ya son expertos comentan, desde hace rato, todas las comidas que en su casa preparan con el chuño.

Julio y la señorita sonríen. La clase termina. El timbre toca y con besos todos despiden al papá.

La señorita se sienta en su escritorio y recuerda esa primera reunión de padres en la que varios que contaron sobre cómo sus hijos no querían comer ya sus comidas sino hamburguesas, en la que muchos se alegraban de saber que en Bolivia el aymara volvía a valorarse y sus hijos ya no se avergonzarían de ellos, en la que algunos compartían el desarraigo, la tristeza de estar lejos de su música y su tierra. Reunión de padres en la que las maestras reconocieron que durante años, la cultura de los pueblos de América había quedado excluida de la escuela. Esa reunión en la que todos, hasta los que no venían de lejos, estuvieron de acuerdo en que era la escuela la que podía ayudar a valorar las buenas enseñanzas de n u est ro s a ntepas ad o s y en la q u e el aparentemente tímido Julio, a pesar de las predicciones de otros maestros, se había ofrecido a dar una clase sobre las tradiciones peruanas en la alta montaña.

Cecilia Chiappetta

Podés adquirir todos los números de la revista Sacapuntas en los siguientes puntos de venta: - Fotocopiadora “La Tiza” del Normal 1 - Paraguay 1950 - Fotocopiadora “El Zócalo” - Franklin 15 - Fotocopias Filo - Puan 475 (frente a la Facultad de Filosofía y Letras) - Kiosco de diarios ubicado en Rivadavia 4817 (frente a la puerta de la escuela Primera Junta- Sede 7 de Cepa) - Kiosco de diarios ubicado en Caracas y Av. Rivadavia (en la sede del Distrito 12)

Sacapuntas

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Lo que pasa

Las asambleas de distrito Surge la organización desde abajo

Desde hace algunos años y, especialmente desde el año pasado, en muchos distritos de la Ciudad de Buenos Aires los maestros han empezado a organizarse en asambleas. En este artículo contamos cómo funcionan estos espacios.

Es abril y todavía hace calor. Son las cinco y media de la tarde y algunos chicos aún juegan en la puerta de la escuela. De a poco empiezan a llegar los maestros. Esta vez no van a ningún curso, tampoco a una reunión de personal. Van entrando a la escuela y se acomodan en un aula vacía.

Los primeros que llegan empiezan a contarse qué está pasando en cada una de sus escuelas: qué discusiones se dieron en los últimos días, qué opinan los compañeros del paro y de los sindicatos, qué novedades llegaron del distrito, qué cargos aun están vacantes.

Una vez que son suficientes, empiezan por discutir cuáles serán los temas a tratar ese día. Hay acuerdo: qué hacer el día de paro de la semana que viene. Eso es urgente, no quedarse en la casa los días de paro es un acuerdo ya establecido. Pero antes de empezar alguien recuerda que todavía queda pendiente terminar de definir algunos aspectos del festival que realizarán el próximo mes. Se agrega al temario.

Una maestra comenta que la marcha se llevará a cabo a las once de la mañana y así comienza la discusión sobre el primer punto.

Barajan la posibilidad de hacer una clase pública o de juntarse en alguna escuela a hacer carteles para llevar a la movilización. Finalmente acuerdan juntarse antes de ir a la marcha en una esquina céntrica para repartir volantes a todos los que pasen explicando por qué paran, contando la situación en qué están nuestras escuelas y nuestro trabajo, diciendo aquello que los medios de 34 comunicación callan.

Después continúan la discusión pensando sobre el festival en defensa de la escuela pública.

Hay varias ideas dando vueltas: pintar un mural en la pared de una escuela o en un parque hacer una

muestra de los trabajos que están haciendo con sus alumnos, organizar talleres para todos los que se acerquen. Hay que pensar también cómo se va a convocar a más maestros, pero fundamentalmente a los padres y a los chicos. Saben que es necesario hacerlos parte y partícipes del reclamo si de verdad quieren ganar la batalla por la dignidad de la escuela pública.

La escena podría transcurrir en una escuela de los muchos distritos de la Ciudad de Buenos Aires en los que los maestros comenzamos a organizarnos en asambleas. Fundamentalmente el año pasado cuando los ataques a la escuela pública se intensificaron, muchos maestros de los distritos 4, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 19 y 21, tomando el modelo de las asambleas barriales del 2001, empezamos a conformar espacios donde discutir y realizar diferentes actividades con un objetivo en común: defender la escuela pública.

Si bien muchos de los docentes ya formábamos parte de otros espacios -sindicatos, agrupaciones o partidos-, las asambleas nuclearon a muchos maestros que hasta ese momento no habían encontrado un lugar en el cual participar o

Lo que pasa

no habían sentido la necesidad de hacerlo. Así, las asambleas se constituyeron como espacios abiertos donde recomponer los lazos que nos unían como maestros y también como trabajadores.

Hubo una idea que tiñó fuertemente las discusiones en las asambleas sobre cómo llevar adelante la defensa de la escuela pública: resultaba indispensable tender puentes no sólo entre los maestros sino también con la comunidad educativa, fundamentalmente con los padres.

Tenemos claro que cuando se ataca a la escuela pública, se ataca a la escuela de todos y por eso es necesario que todos la defendamos.

Así, empezamos por explicar a los padres los motivos de los paros y la situación en la que se encuentran nuestras escuelas: enviamos cartas en los cuadernos de comunicaciones, pusimos mesas informativas en las puertas de las escuelas, usamos las reuniones de padres e incluso los actos escolares para contar por qué era necesario que nos ayudaran en la defensa de la escuela pública.

Con este objetivo también hicimos clases públicas en plazas y escuelas de los distritos, escribimos y repartimos volantes en las esquinas más importantes de los barrios, armamos ciclos de cine, invitamos a los padres a pintar murales en las paredes de las escuelas y organizamos muestras y

festivales en las que expusimos lo que trabajamos con nuestros alumnos.

En algunas asambleas se discutió la idea de que defender la escuela pública significaba también defender la calidad de su enseñanza. Con este fin, los maestros organizamos talleres de formación, elaboramos algunos materiales didácticos y empezamos a discutir acerca de la formación docente y de la manera en que se obtiene el puntaje que permite los ascensos. Así, de a poco, comenzamos a pensar entre todos no sólo qué escuelas tenemos si no también qué escuelas queremos.

Nada esta cerrado en la composición de estos ámbitos de participación. Se multiplican y se transforman con el quehacer y la presencia real de los trabajadores docentes que los integran. Se nutren del diálogo con la comunidad, producen y provocan hacia adentro de la escuela y hacia otros terrenos vinculados directa o indirectamente a ella. Crecen desde el pie.

Julieta Iurcovich Federico Milman Pueden contactarse con las asambleas que mencionamos en esta nota a través de las direcciones de mail que figuran en www.sacapuntasrevista.com.ar

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Sacapuntas

Hacen historia

La imaginación al poder Gianni Rodari: maestro, escritor y militante “Del análisis de la obra La Torre de Cubos se desprenden graves falencias tales como simbología confusa, cuestionamientos ideológicos-sociales, objetivos no adecuados al hecho estético, ilimitada fantasía, carencia de estímulos espirituales y trascendentes.”

(23-5-79 - Resolución N°480 del Ministerio de Cultura y Educación que prohíbe la obra de Laura Devetach durante la última dictadura militar)

Para los estrechos paladines del orden, la ilimitada fantasía esconde el peligro de otros mundos posibles. Temen a la imaginación, porque bien saben que no es bueno, por lo menos para ellos, dejar en manos de las futuras generaciones las herramientas para pensar de otro modo, para criticar la realidad en que están inmersos, y para así transformarla. Hoy, para algunos, esas palabras de censura, ese silencio intencional, no es más que la paranoia de una dictadura desquiciada, ebria de tanto poder. Para otros, los que no creemos en las casualidades de nuestra historia, es una muestra más de la minuciosidad con la que se llevó adelante un plan sistemático y genocida, que buscaba transformar nuestra sociedad a piacere de los sectores más poderosos.

Tiempo atrás, en los campos de una Europa arrasada por el fascismo, creció un maestro italiano de nombre Gianni, cuyo apellido, Rodari, recorre, hoy en día, las bibliotecas del mundo proponiendo una idea bien diferente sobre la fantasía.

"La fantasía no está en oposición a la realidad, es un instrumento para conocer la realidad, es un instrumento que hay que dominar.

La imaginación sirve para hacer hipótesis y también el científico necesita hacer hipótesis, también el matemático lo necesita y hace 1 demostraciones por absurdo.”

La fantasía no aparece en las palabras de Rodari como forma de escapar de las atrocidades 36 de la historia -de explotación y exterminio -, sino todo lo contrario. Es imaginación que rompe el tabú, que nos ayuda a apropiarnos de la realidad, para pensar que puede ser distinta, que es, de hecho, el primer paso para transformarla.

En su texto más conocido, Gramática de la fantasía, Rodari afirma que “si tuviésemos una fantástica como hay una lógica, se habría descubierto el arte de inventa.”2. Es en la búsqueda de años que surge ese libro.

“No sé exactamente qué es [este libro]. Se habla aquí de algunas formas de inventar historias para niños y de cómo ayudarles a inventarlas ellos solos.”3 Con palabras bien terrenales y humildes, dice con convicción que los chicos pueden ser creadores activos con capacidad de cambiar lo que no está bien, de transformar el mundo -destartalado, violento, impositivo e incoherenteque los adultos les hemos querido siempre imponer. Y, en consecuencia, impulsa la idea de un adulto, de un docente, al servicio de la imaginación infantil.

“Una de las paredes de la casa da al jardín por medio de tres grandes ventanas. Los niños, entre los que se encuentra Volovia Ulianov, el futuro Lenin, entraban y salían del edificio por las ventanas, antes que usar la puerta. El sabio doctor Blank (padre de la madre de Lenin), guardándose muy bien de no prohibirles este inocente entretenimiento, hizo poner una resistente banqueta debajo de cada ventana, de modo que los niños pasasen por ellas sin el riesgo de 4 romperse el cuello.”

Siguiendo esta idea, plantea a lo largo del libro diversas formas de entrar a la realidad por la ventana, antes que por la puerta.

“Nada impide provocar el choque con la r ea l i d a d p o r m ed i o d e h i p ó tes i s m á s comprometidas. Por ejemplo: ¿Qué pasaría si en todo el mundo, de un polo al otro, de repente

Hacen historia

desapareciese el dinero? Éste no es un tema que sirva sólo a la imaginación infantil: justo por ello creo que resulta idóneo, particularmente, para los niños, a los que gusta medirse con temas más grandes que ellos mismos. Es el único modo de que disponen para crecer. Y no hay duda de que esto es lo que todos los niños desean: crecer.”5 Según Rodari, “cada uno de ellos es hijo de su propio tiempo y nadie puede crecer, actuar, crear al margen de las corrientes de los grandes 6 conflictos históricos y sociales” . Por esto mismo nos interesa sumergirnos en su historia de vida.

Gianni Rodari nació en Piamonte (Italia), el 23 de octubre de 1920. Su padre, Giuseppe, era panadero y su madre, Maddalena, trabajaba junto a su marido en el negocio. Su padre murió en 1929 cuando Gianni tenía nueve años. El pequeño fue enviado a vivir con una tía y permaneció hasta los 14 años en un seminario. Más tarde, obtuvo una beca para seguir estudiando, desistiendo así de sus ilusiones de ser músico. En 1937 se graduó de maestro y, al poco tiempo, se inició como educador en casa de una familia de judíos alemanes exiliados de su país.

Se ganó la vida dando clases particulares y cuando Italia entró activamente en la guerra mundial, Rodari fue rechazado por el ejército debido a su mala salud. Continuó trabajando de maestro hasta que, a través de su vinculación con el Partido Comunista Italiano, comenzó en el periodismo y, poco a poco, se fue acercando al mundo de la literatura.

Al principio, firmaba con el seudónimo de Francesco Aricocchi, con el cual publicó una recopilación de leyendas populares.

Posteriormente, siendo cronista del periódico l'Unitá, descubrió su vocación de escritor para niños. De allí nacieron sus primeras coplas y retahílas cargadas de humor, ligadas a la corriente de las poesías populares italianas. En los años 60, Rodari recorrió las escuelas italianas para “contar historias y responder a las preguntas de los niños.

Porque siempre hay un niño que pregunta cómo se inventan las historias”7. Y él creía que ese niño “se merece una respuesta honesta”8. Esta actividad

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culminó en la escritura de Gramática de la fantasía, en 1973. En 1970 había recibido el mayor galardón internacional para un escritor de literatura destinada a los niños, el Premio Hans Christian Andersen.

Su historia de compromiso con el cambio social permite entender su confrontación con las corrientes pedagógicas que tomaban a la literatura infantil como una simple sierva, como un vehículo útil para las virtudes que consideraban necesario inculcar a las clases subordinadas: la obediencia, la laboriosidad, la frugalidad, el ahorro. Sin rodeos, afirma que “la literatura infantil es uno de los vehículos de la ideología de

“Todos los usos de la palabra para todos… No para que todos sean artistas sino para que nadie sea esclavo”

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Hacen historia

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las clases dominantes” en el artículo La imaginación en la literatura infantil destinado a sus colegas docentes.

En este breve y muy recomendable texto, Rodari delinea sus concepciones sobre la imaginación, la lectura, el juego y la escuela.

Resalta la necesidad de que los chicos lean para ellos mismos, por gusto, para satisfacer una necesidad personal de información o para poner en acción su imaginación. Fiel a su característico cuestionamiento de lo dado, define al libro como un juguete para así “sacarlo de la biblioteca y lanzarlo en medio de la vida”10. En este sentido, y en debate con el realismo soviético, relata: “A veces discuto con amigos míos que defienden que una literatura para niños, moderna y progresista, debería estar basada exclusivamente en el conocimiento racional del mundo, en su representación racional, en la representación de todas las realidades, incluso de aquellas que nunca han sido presentadas o reveladas a los niños, y también las que han sido escondidas tras o bajo realidades aparentes o falsificadas. En esta tesis creo ver una exigencia justa defendida equivocadamente. En primer lugar, porque incluso para mostrar la realidad escondida por las apariencias, es indispensable el recurso a la imaginación. Ejemplo simple, banal, casi brutal: hasta para comprender por qué sale agua al abrir el grifo, hace falta imaginación. En segundo lugar, porque una educación puramente racional nos volvería a producir un hombre amputado de algo esencial, aunque lo fuera de una manera diferente que antes. Para la formación de un hombre completo, de una mente abierta a todas las direcciones, incluida la del futuro, es indispensable una imaginación robusta.”11 Este maestro italiano ha dejado tanto propuestas para la invención de historias 38 -Gramática de la fantasía- como reflexiones concretas sobre nuestra labor diaria - La imaginación en la literatura infantil-. Sus palabras

son de optimismo y confianza en que los niños pueden ser productores de cultura, y no simples consumidores pasivos de lo ajeno. Rodari expresa así su deseo: “Todos los usos de la palabra para todos… No para que todos sean artistas sino para que nadie sea esclavo”12.

Lejos de convertirse en palabras muertas, s u s tex to s m a n t i e n e n u n a a c t u a l i d ad sorprendente y constituyen una mirada ineludible para poder seguir pensando sobre la infancia.

“Los niños no creen en un mundo separado del nuestro, en un ghetto o bajo una campana de cristal. Ven la televisión que nosotros vemos, están rodeados de una densa atmósfera de información que es la misma que los adultos respiramos. Los libros destinados a los niños deberían procurar no ser libros fuera del tiempo.

No hay ni un solo problema del presente al que los niños no sean sensibles, aunque a veces parezcan distraídos. Los libros para los niños de nuestro siglo no pueden aparentar que el siglo no existe y que no transcurre, tumultuoso, a nuestro entorno.

Un buen libro para los niños de hoy debe ser un libro que sintonice con el calendario y con sus problemas. Con los niños puede hablarse de todo, siempre que se les pida ayuda para hallar el lenguaje justo para hacerlo.”13 Es necesario retomar críticamente el vasto legado de Rodari. Como bien señala, sus reflexiones no son recetas, pero sí un buen punto de partida. Podemos entonces leer desde nuestras propias experiencias al hombre vital y comprometido, al maestro, al político, periodista, pedagogo y escritor que hizo de la palabra su acción y de la fantasía una realidad. Nuestra lectura no será, entonces, ni calco ni copia, sino creación.

Hernán Cortiñas (1)Rodari, Gianni, “Conferencia Scuola di Fantasía" en Riforma alla scuola, vol. 27, N° 517, abril de 1974, pág. 24.

(2)(3)(4)(5)(7)(8)(12) Rodari, Gianni, Gramática de la Fantasía, Buenos Aires, Colihue.

(6)(9)(10)(11)(13) Rodari, Gianni, “La imaginación en la literatura infantil” en revista Perspectiva Escolar, Nº 43.

Lo que pasa

Más allá de la Av. Rivadavia En los últimos seis años la economía de nuestro país ha crecido a tasas muy altas. Lamentablemente la deuda social con nuestros chicos sigue intacta, o incluso es más grande. Todos los años los derechos de miles de chicos son violentados por el Estado al no ofrecerle las vacantes suficientes en los diferentes niveles educativos, en especial, el inicial. En esta nota realizaremos un breve recorrido sobre las causas del estado de la situación de la educación en nuestra ciudad.

La Buenos Aires postergada sigue allí, lidiando con la realidad. Del otro lado del vidrio de la caja luminosa, se pronuncian los anuncios de lo que no va a ocurrir. Así, se recibe la descripción minuciosa de las mismas falsas promesas. Es el abandono cristalizado de los nadies, de los que no tienen voz en esa caja. Parece que el tiempo se congelara para las grandes mayorías y se nos quisiera acostumbrar a las sobras de la abundancia de unos pocos. Desde ese último gran grito pelado de BASTA del 2001, en donde la gente hizo propia la calle, el tiempo ha pasado. Crecieron fastuosas torres en los barrios residenciales, y las rejas se multiplicaron en las plazas marcándonos la hora en que termina lo público. También se reprodujeron los barrios de autoencierro, dejando las calles vacías de vecinos que se fueron convirtiendo, nuevamente y poco a poco, en desconocidos.

Con la ayuda de todos, por medio de los subsidios del Estado, las escuelas privadas consiguieron nuevos edificios, modernos, luminosos y amplios. Como muestra alcanza un botón, basta con visitar las nuevas instalaciones del “Instituto Nuestra Señora de las Nieves” en el barrio de Liniers. Con subsidios del 100% levantaron sus edificios a lo largo y ancho de toda una manzana, demostrando una vez más la eficacia de la gestión privada para hacerse de lo público.

En el Buenos Aires profundo mientas tanto, sigue la escuela pública, la verdaderamente pública, que esquiva cualquier juego de palabras y recibe, todos los días, a chicos que quieren estudiar y ser escuchados más allá de su nacionalidad, el patrimonio de su familia, o el

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color de su piel. Voces que nos impulsan a reclamar por lo justo y necesario, a luchar por lo que nos corresponde por derecho. Voces que se amontonan, cada día más, en pequeñas aulas.

Voces que, incluso, empiezan a dejar de ser parte de nuestras escuelas desde hace ya varios años.

La gravedad y urgencia del abandono que sufrimos por parte de los sucesivos gobiernos, la reconoce el propio defensor adjunto del área de Educación de la Defensoría del Pueblo de la ciudad de Buenos Aires, Gustavo Lesbegueris: "En el año 2001 queda en evidencia el problema de falta de escuelas en la zona sur de la Ciudad cuando se produce una derivación compulsiva de 4.000 alumnos del Distrito Escolar 19º (Bajo Flores, Pompeya y Soldati) a otras escuelas. Desde 2002, venimos señalando estos problemas. Hoy (2007) se da la misma solución de contingencia que hace cinco años: reubicar y colocar micros, cuando la solución de fondo debe ser la construcción de escuelas".

Bien sabemos los docentes que esto no es lo más grave. A partir de datos recogidos de fuentes oficial, la Asociación Civil por la Igualdad y la Justicia (ACIJ) denuncia que: “en 2008, unos 8.334 chicos de 45 días a cinco años no pudieron acceder a la educación por falta de cupos el 70% procedentes de la zona sur de la ciudad.” Las debilidades de la infraestructura escolar están más expuestas que nunca porque además 2.665 estudiantes secundarios debieron comenzar a viajar desde sus barrios de origen hasta más allá de la Avenida Rivadavia para que un aula los cobije.

Estas circunstancias dificultan la concurrencia de los alumnos a lo largo de todo el año lectivo y provoca, en muchos casos, el abandono de sus

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Lo que pasa

estudios. No hace falta señalar los innumerables artículos de la Constitución Nacional, y de la Constitución de la Ciudad que se violan en esta situación.

A estos ya fríos números de la realidad, se los tapa con aún más impávidas promesas.

Como disco rayado debemos escuchar a n u e s t r o s gobernantes señalar los numerosos proyectos de construcción que se pondrán en marcha.

Sólo como ejemplo traemos, del archivo de las patrañas, las palabras del Jefe Comunal Telerman “durante 2007 comenzarán a construirse 62 nuevas escuelas, por un monto de 70 millones de pesos. De ellas, 21 serán para establecimientos de nivel inicial (8,3 millones de pesos), de las cuales el 84 por ciento estarán en la zona sur. Del resto, 14 edificios serán destinados al nivel primario (todos en la zona sur), 16 en el nivel medio (el 55 por ciento en el sector 40 más desfavorecido de la ciudad) y 11 para escuelas especiales, artísticas y de adultos. Las obras nuevas contribuirán a crear 27.000 nuevas vacantes, de las cuales casi la mitad (12.000) corresponden a

alumnos de nivel primario, 6.000 al nivel inicial, 5.400 al nivel medio y 4.000 a otros niveles (superior, artística y especial).” (Página 12, Miércoles, 6 de diciembre de 2006) Los anuncios mediáticos, otra vez muy lejos de la realidad. A partir de los informes del p ro p i o go b i e r n o p o r t e ñ o descubrimos que desde el 2007 sólo se terminaron 4 edificios nuevos para alguno de los cuatro niveles educativos. Éstos se encuentran u b i cad o s e n l o s distritos 1, 7, 11, y 13. Seguimos así lejos, muy lejos, de garantizar las más m í n i m a s necesidades educativas de nuestros chicos. No sólo no se invierte el presupuesto necesario para terminar con la falta de escuelas y las malas condiciones de las existentes, sino que además no existe una política estratégica de construcción, que priorice claramente los barrios más urgidos. Según estos mismos datos, se encuentran en construcción otros doce nuevos establecimientos en los distritos 2, 4, 5, 10, 16, 19, 20, y 21 con plazos de finalización de hasta 3 años.

A estos plazos ya de por sí largos,

Lo que pasa

lamentablemente, debemos sumarle que al recorrer estos predios encontramos en la mayoría de los casos, paralizada la construcción. Como si de cuentos sin fin se tratara, descubrimos que de las nuevas 472 licitaciones que prometen llevar adelante, tan sólo 5 son para nuevas edificaciones -en los DE 5, 16, 19 y 20-. El resto, simples lavadas de cara, pintar el frente o poner baldosas. Si hay exclusión, que no se note.

En medio de los discursos que hablan de calidad educativa, la realidad que vivimos a diario, y conocemos en profundidad, dejan sin argumentos reales a los tecnócratas oficialistas.

Tan sólo debemos recordar que en los distritos escolares más pobres, el promedio de chicos por aula pasó de 23, en el 2002, a 27 en el 2008. A partir de esto, el actual gobierno de Macri tuvo una brillante idea para que no se incumpla la ley, modificarla. El reglamento escolar vigente hasta febrero último fijaba la cantidad máxima de 27 alumnos por maestro, por recomendaciones pedagógicas, y establecía 1,35 metros cuadrados de espacio por alumno. El actual reglamento, más fiel a la realidad, sólo mantiene este último parámetro, que muchas veces, ni siquiera se cumple.

La sordera a los reclamos que se padece en Avda. de Mayo 525 -Jefatura de Gobiernoparece no ser total, pero si algo caprichosa.

Veamos qué nos muestra la realidad, la más tangible, es decir la presupuestaria. Existe una subejecución presupuestaria -dinero que está pero no se usa- persistente a pesar de existir necesidades educativas insatisfechas, que incluso se profundiza en los distritos escolares más vulnerables. Para los distritos 3, 4, 5, 19 y 21, todos ubicados en la zona sur, se ejecutó para el período

2001-2006, en promedio, el 32.6% de los recursos.

Lamentablemente a partir del 2007, con el gobierno Pro, se dejaron de dar este tipo de datos.

Mientras tanto, por el lado de los cinco distritos escolares más ricos de la ciudad, el porcentaje de ejecución alcanzó el 50%, y en el caso de la educación privada la percepción de los subsidios roza el 100%. El extremo de esta injusticia ocurrió en los barrios más difíciles: Villa Riachuelo, Soldati, Lugano. Según ACIJ, en seis años los gobiernos porteños sólo gastaron en mantener todas sus escuelas un millón de pesos, ejecutándose en el Distrito 21, durante los años 2005 y 2006, el 0% de los fondos que se tenía asignado. Todo esto nos muestra que el sector privado es el que ha podido ejercer presión en los sucesivos gobiernos para hacerse de los bienes públicos, mientras que las escuelas públicas, en especial las de la zona sur, han quedado relegadas.

Las voces que se levantan desde los grandes medios nos hablan de falta de información, problemas de gestión, o recriminaciones mutuas entre los distintos partidos que ya nos gobernaron. Debemos ser justos y precisos. No hay voluntad política para priorizar la educación pública, estatal, laica y gratuita. Es necesario poner a la educación pública por delante de los subsidios al sector privado, de la exención impositiva a los grandes grupos empresarios en sucesivas moratorias, o del pago de una deuda externa ilegítima.

Construir escuelas es dar más trabajo a los docentes y abrir nuevas oportunidades a nuestros chicos. Éste es el camino para empezar a terminar con la maldita política de destruir lo público, para eso, debemos alzar nuestra voz bien fuerte.

Hernán Cortiñas

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Sobre gustos Libros recomendados

Dragón Gustavo Roldán Ilustraciones: Luis Scafati Sudamericana 2006 Con una mancha, Scafati sella la puerta del libro y la abre de par en par; nos llama, nos convoca, nos atrae. Con una cita de Walcott, se anuncia el mayor mérito de esta obra: la imagen y la palabra no están allí por obligación, se corresponden y dialogan en un idioma difícil de traducir, en un lenguaje universal. Reparar sólo en lo literario sería un error: la ilustración del libro es también el libro, por eso “en las manchas se ocultan dragones”. Aquel monte y sus animales, que componen el mundo narrativo y conocido de Gustavo Roldán, se conmueven por la llegada de un ser nuevo que viene a manchar la realidad.

Dragón plantea un misterio y promete un recorrido sin muchas certezas entre luz y oscuridad, un tránsito por los bordes de lo real, un equilibrio en el filo de los sueños. Allí no encontraremos lo mismo de antes; lo señala el autor en un reportaje: “El paso al dragón es acceder a algo que no había aparecido en mis cuentos. Hasta ahora, eran animales visibles a los que inclusive podemos visitar en un zoológico. Esos otros, como el dragón, configuran una enorme riqueza casi tan importante como los otros de la realidad”.

Que alcance con saber entonces, si no está de más decirlo, que lo único intacto de aquel mundo literario -conjunto heterogéneo de relato, enciclopedia y poesía- es la calidad con la que Roldán sabe hilar bichos, selvas y hombres.

Hernán Boeykens

Discos recomendados

Bocasucia Luis Pescetti 2003

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Bocasucia. Y malhablado también. Pescetti en este disco no para de disparar letras con caca y música con mocos. Tampoco de advertir a los niños sobre las más eficaces artimañas de las que valerse para impedir que su madre vaya al trabajo o los mande a dormir temprano. Sin mencionar, para que nadie se escandalice, la historia que canta del niño caníbal que se comió a sus propios parientes. Luis -como lo llama su público- se encarga aquí de romper descaradamente las reglas que prohíben la escatología y el humor negro, tanto como las risas y el juego en la música para los más chicos.

Quizás por eso, cada vez que él suena en el disco, la tele o la radio todo el público enano presta sus oídos atentos a sus canciones, chistes e

historias.

Tras lo dicho, si pensamos en la simpleza de las instrucciones que hay que seguir para dejarlo entrar al aula, seguramente ya no nos podamos resistir: cerrá la puerta, insertá el disco, apretá play y disponete a disfrutarlo tanto como, seguro, lo harán los chicos.

Mariana Álvarez

Escriben los chicos

Los misterios del señor Burdick Un día, hace ya muchos años, un señor llamado Harris Burdick dejó los títulos y los dibujos de catorce cuentos a un editor con la promesa de llevar los cuentos completos al día siguiente. Sin embargo, no regresó. Más aún, nunca más pudo saberse nada de él.

Chris van Allsburg cuenta esta historia en la introducción a su maravilloso libro Los misterios del señor Burdick, una serie de ilustraciones en blanco y negro con título, epígrafe, y un cuento que espera ser contado.

Créase o no la historia, puede leerse aquí el cuento que escribió, inspirada en las ilustraciones, una aluma de 6to B de la Escuela 3 del Distrito Escolar 12.

n igo, un sin invitació usa de un am ca a e Huéspedes fu e u reo q ocí, era do yo lo con e me pasó. C n u a q u C lo . s d e , u rt ra l. Ahora nica vi es verdade ierto y socia , que es su ú b o a re ra C Esta historia . e e ro u ce q llo e había te pero sin un tipo senci a Simón, m te m n a ll ie loco, demen e rr S . co y io d al, común y lleno de o un tipo norm , anti-social o d a rr r fuera, ce o p ti ndonada po a b a es un pobre sa ca a cosas a un contarles. do y había ensa, parecí a n m e in rd sa olvidado de so ca e d a n cio, ra así. él vivía en u aba todo su el sótano e st l, e a ci sa e ca Resulta que sp e la n En a dentro. E ta, vidrios. pero él viví illas, hojala ch os cu n co s e tin tener ámbit colgadas, pa , empezó a ra la st i ie N n . . si o a a b m n a rísi rso lud ió en una pe Realmente ra ! Nadie lo sa rt a vi vi o n o g n e co lu la se e ¡a u n imó , porq ovia…

Desde que S migos, su n do. No todo a n to s e si su yé ca a o r n p e e lo a oyó perd o que lo ap extraños, a sa era que yo ic co n ú la l , e o i n u e F u .

B ería ré después. familia lo qu eso lo conta s… sa con él sobre co n conversaba ocurriero y r e m co e pre, pero lgo d visitaba siem preparaba a lo casi todo. le Yo r, . sa ve a ca i a m ía lo ib raño. a al lado de Cuando pod resultaba ext el día. Él viví e n e m o so id té extraño. e y ía b o a n al sóta cado. Lo no o ya b como le h ó va b e u ro q p a o b yn va siempre olesta tos de batata a pelea con un tipo que li e siempre le m st a p s o n un sado, quizá paré u había tenido ño había pa ía ra Un día le pre d xt o e tr y o u e m u o derme, no e alg ntado q a de sorpren resión de qu b p Me había co ja im e d la o ia n n n ó él. Yo te o es que Sim n. al bar que va elea. Lo ciert p l que para bie . Entré a la e m d ra ía a d p s o á m m is ro nada pasó e e m u p q se a o e e rt e cr u l, p a m la lpeé asusté un n o para a la casa go abajo y me é s u sé si para bie g so a e ll p s o o d n n ego otro éu nte cua ego otro, y lu caso. Escuch a lu , si Al día siguie to r ri o g p n u ve ché ía una lla medor. dudas. Escu porque ten dí la luz del co bajar por las n a ce é n e im a n d a a e n poco. No m e y no se veía era de noch ya o m o C s. má z de Simón: z, no!

Escuché la vo hice? ¡otra ve cuerdo - ¡No! ¿qué ón? movía. No re im se S ¿ a rt í? e h u a p s a a - Simón, ¿est una pequeñ la manija de e u q vez en vi y o n dáveres. De ca e d Bajé al sóta o d a queño, rode más nada. oscuro y pe r ga lu en vano. n u n e eña, pero es u q e p a Ahora estoy rt e u dríguez nto abrir la p Florencia Ro cuando inte

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Los perros de guerra de la oligarquía, con sus ropitas verdes, moteadas o azules, muerden al pueblo en cada culatazo, derraman rabia en cada toletazo, mueven su rabo en cada puñetazo, lamen a sus amos en cada escopetazo, Esta Honduras en lucha y resistencia, que entona cantos de esperanza, y en las calles poemas de libertad,que sana sus golpes, cura sus heridas, entierra a sus muertos y levanta el puño victorioso gritando a los cuatro vientos: ¡Queremos Democracia y Libertad!* *Ricardo Bueso Licona (manifestante golpeado en la marcha pacífica de Comaguaya, donde cayó el profesor Roger Vallejo el 30 de julio de 2009) del poema “Motivos de lucha y resistencia”

A los compañeros docentes, Roger Vallejo y Martín Rivera, asesinados por la dictadura en Honduras.