Ricardo Alejos Cálculo Tensorial
Tarea 01 Ejercicio 1
Solución
Enunciado
Primero note que la expresión tiene el índice repetido, de modo que se trata de una suma de tres términos que contienen el símbolo de Levi-Civitá.
Evalúe la expresión
.
El símbolo de Levi-Civitá ( ), se define de tal forma que para cualquier permutación par de es igual a . Para cualquier permutación impar del mismo conjunto hará que valga . Y en el resto de los casos será igual a cero. Nótese que el resto de los casos son prácticamente aquellos que repiten algún número del conjunto . De modo que las sumas darán como resultado:
Solución Esta expresión se puede contraer por la propiedad de sustitución de la delta de Kronecker ( ) en los pares con índices repetidos.
Note que nuevamente podemos hacer una reducción por la propiedad de sustitución de la delta de Kronecker para dejar una sola delta con sus índices repetidos.
Dado que tiene sus índices repetidos, por el convenio de suma de Einstein, ésta representa una suma.
Ejercicio 3 Enunciado Evalúe la expresión
.
Solución Lo primero que aplicaremos será la sustitución de la delta de Kronecker para reducir la expresión a solo un símbolo de Levi-Civitá:
Ejercicio 2 Enunciado Evalúe la expresión
. Ahora tenemos un caso muy similar al ejercicio anterior: 1
Ricardo Alejos Cálculo Tensorial ga la expresión, pudiéndose presentar entonces tres casos: 1. Si los índices son una permutación par de , al aplicar una rotación de índices se obtendrá otra permutación par y por lo tanto, en ambos casos, el símbolo de Levi-Civitá tendrá valor de . 2. Si los índices son una permutación impar de , al aplicar una rotación de índices se obtendrá otra permutación impar y por lo tanto, en ambos casos, el símbolo de Levi-Civitá tendrá valor de . 3. Si los índices no caen en ninguno de los dos casos anteriores, al aplicar una rotación de derecha a izquierda tampoco obtendremos permutaciones pares ni impares de y por lo tanto, en ambos casos, el símbolo de Levi-Civitá tendrá valor de .
Ejercicio 4 Enunciado Evalúe la expresión
.
Solución Dado que la expresión tiene el índice repetido, indica una suma de tres términos por el convenio de suma de Einstein:
Así bien, queda demostrada la propiedad cíclica de . Recordando la definición del símbolo de LeviCivitá, podemos sustituir esta suma de términos por sus respectivos valores dados por la definición:
Ejercicio 6 Enunciado Evalúe la expresión
:
Solución Utilizando la propiedad cíclica podemos hacer que ambos factores de la expresión queden idénticos:
Ejercicio 5 Enunciado Utilizando la propiedad de antisimetría total de , demuestre que éste satisface la “propiedad cíclica” ( ).
Ahora es posible utilizar el resultado del ejercicio visto en clase ( ):
Solución Note que la propiedad cíclica menciona la igualdad ante cualquier rotación de índices de derecha a izquierda. Esto mismo implica la obtención de una permutación par de cualesquiera índices que conten2
Ricardo Alejos Cálculo Tensorial
Ejercicio 7
Ejercicio 9
Enunciado
Enunciado
Exprese
Si las componentes (cartesianas) del vector son las y las del vector son las , ¿qué significado tiene la expresión ?
en términos de la delta de Kronecker.
Solución √
√
Podemos primero aplicar la propiedad de antisimetría de haciendo un cambio en los índices de uno de los factores:
Solución La expresión puede también escribirse en notación vectorial de la siguiente manera:
Ahora aplicamos la propiedad cíclica con el segundo factor y obtenemos:
‖ ‖‖ ‖ y ‖ ‖ . El resultado de √ √ dicha operación siempre es 1 para cualesquiera vectores y ya que esta operación es equivalente a hacer el producto punto de los vectores unitarios en las direcciones y . También, recurriendo a la definición del producto punto, puede ser visto como el coseno del ángulo formado por los dos vectores : Ya que, respectivamente
Aplicando nuevamente el ejercicio visto en clase (el cual comprueba que ), encontramos que:
‖ ‖‖ ‖
Ejercicio 8
Ejercicio 10
Enunciado Si las componentes (cartesianas) del vector ¿qué significa la expresión ?
Enunciado son las
Encuentre la traza de la matriz [
Solución Por el convenio de la suma de Einstein, sabemos que . Que es lo mismo que la suma de los cuadrados de las componentes del vector ⃗.
]
[
. ]
Solución La traza de una matriz se puede escribir como , que por el convenio de suma de Einstein es lo mismo que . En este caso en específico:
3
Ricardo Alejos Cálculo Tensorial
Solución Expandamos primero la suma:
Ejercicio 11 Y sustituimos con los valores de la matriz:
Enunciado Haciendo referencia a la matriz expresión .
, evalúe la
Solución Por el convenio de suma de Einstein, la expresión puede escribirse como una suma de nueve términos:
Ejercicio 13 Enunciado Si
y
, calcule
.
Solución Primero expandimos la suma de nueve términos que sale a razón del convenio de Einstein. Que es lo mismo que la suma de los cuadrados de todos los elementos de la matriz, es decir:
Ahora aplicamos la propiedad eliminar varios términos de esta suma.
Ejercicio 12 Enunciado Haciendo referencia a la matriz expresión .
, evalúe la
4
para
Ricardo Alejos Cálculo Tensorial Intercalamos los índices y del lado derecho de la igualdad, y aplicando las propiedades de y encontramos que
Solución Siguiendo una estrategia similar a la del ejercicio anterior, representamos la igualdad propuesta como una suma resta de matrices. [
Al sumar las ecuaciones
y
]
[
]
[
]
obtenemos [
]
[
] [
]
Y ahora ejecutamos la resta, encontramos que
Ejercicio 14
[
Enunciado Si
demuestre que
[
es simétrico.
Solución
[
La demostración será más rápida en notación matricial. [ [
]
]
]
[
]
[
[
] [
]
]
Note que como que es antisimétrico.
] [
]
podemos decir entonces
Ejercicio 16
]
Enunciado Ejecutamos la suma y encontramos la matriz correspondiente a . [
Demuestre que si entonces
]
La expresión es una suma de nueve términos de los cuales tres son cero y tres positivos y otros tres negativos. Los últimos seis términos se eliminan entre sí al ejecutar la suma y por lo tanto .
] y por lo tanto es simétri-
Ejercicio 15 Enunciado Si
.
Solución
[ Note ahora que co.
es un objeto antisimétrico,
demuestre que
es simétrico.
5
Ricardo Alejos Cálculo Tensorial
Ejercicio 17 Enunciado Usando la expresión en notación tensorial para el producto vista en clase, demuestre que .
Solución El producto cruz puede expresarse en notación tensorial ̂ . Sabemos que es antisimétrico, y utilizando el resultado del ejercicio anterior podemos afirmar claramente que ̂ ̂ .
6