Sistemas de Control Automático Ricardo Alejos gulo está medido desde la parte negativa del eje real del plano , de modo que el argumento (ángulo) de nuestra raíz es realmente .
Ejercicio E10.2 Enunciado Un sistema de control con retroalimentación unitaria negativa tiene un proceso ( )
Al hacer
el controlador queda como sigue: ( )
(
) ( )
Y se desea utilizar una compensación proporcional integral donde
De tal forma que la ganancia de lazo abierto (considerando que se trata de un sistema con retroalimentación unitaria) es:
( ) Obsérvese que el error en estado estacionario de este sistema para una entrada rampa es cero. (a) Hacer y calcular un valor adecuado de para que la respuesta de escalón tenga una sobreelongación de aproximadamente . (b) ¿Cuál es el tiempo e estabilización esperado del sistema compensado?
Solución Inciso (a) El requerimiento establece que se quiere un porcentaje de sobre-elongación del . Partiendo de la definición del porcentaje de sobre-elongación : √
Podemos obtener el coeficiente de amortiguamiento: ( √
) (
)
Sustituyendo , obtenemos un coeficiente de amortiguamiento de . El ángulo de elevación de la raíz deseada calcular mediante:
se puede
De modo que, al sustituir nuestro valor de obtenemos . Pero no olvidemos que este án-
( ) ( )
(
)(
(
) )
( ) ( ) Note entonces, que la función de transferencia a lazo cerrado es: ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) Para encontrar la ganancia que cumpla con los requerimientos, se ha utilizado el programa mostrado en la tabla 1 (para MatLab), mismo que como despliega una gráfica con la localización de los polos y ceros para diferentes valores de en un rango de a , mostrada en la figura 1.
Sistemas de Control Automático Ricardo Alejos plot(real(P((1),2)), imag(P((1),2)),'x','MarkerSize',6, 'Color','blue'); plot(real(P((2:100),2)), imag(P((2:100),2)),'MarkerSize',6, 'Color','blue');
Lugar de raíces para T(s) respecto a la variación de K p 4
3
2
Im(s)
1
0
-1
-2
-3
-4 -40
-35
-30
-25
-20 Re(s)
-15
-10
-5
0
Figura 1. Lugar de raíces de ( ), los polos están marcados con “x” y los ceros con “o”. Tabla 1. Programa utilizado para auxiliar la resolución del problema.
K=linspace(0.1,10,1000); %Vector de ganancias. P=zeros(100,3); %Inicializar vector de polos Z=zeros(100,1); %Inicializar vector de ceros figure %Nuevo gráfico hold %Congelar gráfico para combinar resultados for a=1:100 numG=[400*K(a) 400]; de la FT a lazo abierto denG=[1 40 0 0]; dor de la FT a lazo abierto sysG=tf(numG,denG); sistema a lazo abierto sys1=feedback(sysG,1); mentar el sistema p=pole(sys1); z=zero(sys1); P(a,1)=p(1); P(a,2)=p(2); P(a,3)=p(3); Z(a,1)=z; end
%Numerador %Denomina%FT del %Retroali-
%Gráfica del polo 1 plot(real(P((1),1)), imag(P((1),1)),'x','MarkerSize',6, 'Color','red'); plot(real(P((2:100),1)), imag(P((2:100),1)),'MarkerSize',6, 'Color','red'); %Gráfica del polo 2
%Gráfica del polo 3 plot(real(P((1),3)), imag(P((1),3)),'x','MarkerSize',6, 'Color','black'); plot(real(P((2:100),3)), imag(P((2:100),3)),'MarkerSize',6, 'Color','black'); %Gráfica del zero 1 plot(real(Z((1),1)), imag(Z((1),1)),'o','MarkerSize',6, 'Color','green'); plot(real(Z((2:100),1)), imag(Z((2:100),1)),'MarkerSize',6, 'Color','green'); xlabel('Re(s)'); ylabel('Im(s)'); title('Lugar de raíces para T(s) respecto a la variación de K_p'); PA=angle(P); %Vector con los ángulos de todos los polos
Hecho esto, podemos inspeccionar el contenido del vector con los ángulos de los polos (PA), donde podremos notar que el ángulo que buscamos ( ) se cumple cuando . Inciso (b) Con el valor de ya calculado, la respuesta al escalón unitario del sistema luce como se muestra en la figura 2.
Sistemas de Control Automático Ricardo Alejos Step Response 0.7
0.6
Solución
Amplitude
0.5
La red de adelanto de fase tiene una función de transferencia:
0.4
0.3
0.2
( )
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Time (sec)
Figura 2. Respuesta al escalón unitario del sistema compensado con la ganancia .
Para diseñarla primero habremos de conocer dónde se encuentra la raíz deseada, cuyo valor obtenemos a partir de los requerimientos:
Note que el sistema se estabiliza a un margen del transcurrido aproximadamente un segundo. Además si se hace un cálculo basado en el gráfico, encontraremos que el porcentaje de sobre-elongación real será aproximadamente del , esto se debe a que la raíz que hemos encontrado no es estrictamente dominante, sin embargo nos hemos aproximado mucho al valor requerido.
Problema 10.6
Que obedeciendo las fórmulas de comportamiento para un sistema de segundo orden: √
Podemos obtener los valores requeridos de
y
:
Enunciado Una mesa estabilizada con rapidez de precisión usa un tacómetro de precisión y un motor de cc con un momento de torsión de transmisión directa como se muestra en la figura P10.5. Se desea mantener una alta precisión en el estado estacionario para el control de velocidad. Con el fin de obtener un error en estado estacionario cero para un diseño de orden de escalón, seleccionar un compensador con red de adelanto. Seleccione las constantes de ganancia adecuadas para que el sistema tenga una sobreelongación aproximadamente del y un tiempo de asentamiento (con el criterio del ) que se encuentre dentro del intervalo de a segundos.
De modo que el ángulo de elevación de la raíz desde la parte negativa del eje real del plano es:
Mientras que la magnitud debe tener el mismo valor que . Así bien tomando el valor medio del rango de los posibles para (es decir, )y expresado de forma cartesiana, nuestro polo deseado está colocado en:
Sistemas de Control Automático Ricardo Alejos El cero del compensador se coloca justo debajo de la raíz deseada, sobre el eje real, de modo que . El ángulo del polo se determina haciendo que la sumatoria de todos los ángulos desde las raíces del sistema hacia la raíz deseada sumen .
Sin embargo, note que si se disminuye el valor de las otras raíces el compensador comienza a dominar la acción del sistema. En la figura 4 se muestra un lugar de las raíces para el mismo sistema pero con los polos originales de menor tamaño. Root Locus 0.4
0.3
(
)
0.2
Imaginary Axis
0.1
(
)
0
-0.1
-0.2
(
-0.3
)
-0.4 -0.12
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
Real Axis
Al obtener el ángulo complementario, encontramos que . Y por lo tanto, el nuevo polo está localizado en el punto
Entonces el compensador con los valores ya calculados es: ( ) Sin embargo, a pesar de haber conseguido valores para el compensador, será necesario más que ello pues al aplicar el compensador en serie aún el polo de interés no es dominante para ningún valor de (como se aprecia en la figura 3) Root Locus 6
4
Imaginary Axis
2
0
-2
-4
-6 -12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
Real Axis
Figura 3. Lugar de raíces del sistema compensado, aún no se ha logrado cumplir el requerimiento.
Figura 4. Lugar de raíces para sistema modificado con raíces menores.
Note que ahora el acercamiento a la respuesta deseada es mucho mejor, sin embargo lo correcto es elegir valores de raíces que cumplan los requerimientos y además se componga de raíces dominantes para el sistema.