Ricardo Alejos Sistemas de Control Automático
Problema P2.17
b1
Enunciado En la figura P2.17 se muestra un sistema mecánico, que está sujeto a un desplazamiento conocido ( ), con respecto a la referencia. (a) Determínese las dos ecuaciones independientes de movimiento. (b) Obténgase las ecuaciones de movimiento en función de la transformada de Laplace, suponiendo que las condiciones iniciales son iguales a cero. (c) Dibújese un grafo de flujo de señal que represente el sistema de ( ) entre ecuaciones. (d) Obténgase la relación ( )y ( ), empleando la fórmula de la ganancia de flujo de señal de Mason. Compárese el trabajo ( ) por métodos matricianecesario para obtener les o utilizando la fórmula de ganancia de Mason.
x1
1
dt
M1 b1
3
dt K 1 x 2 x 1 Sobre la masa actúan la fuerza del resorte con constante y la fuerza de fricción con la base (cuyo coeficiente de fricción con la masa es ). Note que la fuerza del resorte es directamente proporcional al estiramiento del mismo y esta se puede expresar con una diferencia la diferencia ; esta diferencia se multiplica por la constante del resorte para expresar la fuerza que ejecuta sobre la masa. Para el término de amortiguamiento por fricción, considere el hecho de que para la masa estática, el movimiento de la base hacia abajo ( ̇ ) hará que la masa experimente una fuerza hacia abajo y que para el caso de tener la base estática pero con la basa moviéndose hacia abajo ( ̇ ), ésta experimentará una fuerza de fricción en sentido contrario a su movimiento. Una vez consideradas estas tres fuerzas y al aplicar la segunda ley de Newton, podemos construir la ecuación diferencial que describe la dinámica de la masa con la ecuación:
Solución Inciso (a) Para construir las ecuaciones será pertinente analizar el sistema utilizando un diagrama de cuerpo libre. Esto nos permitirá visualizar con facilidad las fuerzas que actúan sobre las masas.
(
)
(
)
De forma muy similar, construiremos la ecuación diferencial correspondiente a la masa . Primero construimos un diagrama de cuerpo libre como el presentado en la siguiente figura.
Ricardo Alejos Sistemas de Control Automático (
2
b2
dt K 1 x 2 x 1
K 2 x 3 x 2 b2
)
(
)
( )
X3
3
dt
Con un proceso de deducción muy similar al anterior, obtenemos la ecuación que rige el movimiento de : (
(
Inciso (c) Ya contando con las ecuaciones diferenciales en el dominio es más sencillo construir el grafo de flujo:
M2
x2
) ( ) ( )
(
)
)
b 2s
b 1s
M 2 s 2 b 2 s K2 K 1 X2 K1
Inciso (b) Antes de realizar la transformada de Laplace será conveniente pasar todos los términos a un solo lado de la igualdad para poder maniobrar con las transformadas de las variables dependientes. Con este cambio la ecuación para quedaría: (
)
(
Y también reescribimos la ecuación para (
) (
(
)
Y la que corresponde a
( )
X1
: )
)
:
( )
M 1 s 2 b 1 s K1
)
Una vez realizados los cambios, les aplicamos la transformada de Laplace y agrupamos los términos. De esta forma obtenemos primero la ecuación para : (
K1
( )
Inciso (d) Con ayuda del grafo de flujo, podemos obtener una ( ) con ecuación que relacione directamente ( ): ( ) (
)
( )
Que se puede escribir de forma más compacta:
( )
Ricardo Alejos Sistemas de Control Automático ( (
)( )
(
)
( )
( ( )
) )
)(
( ) y al Si al coeficiente de ( ) le llamamos ( ) ( ) coeficiente de le llamamos la función de transferencia queda: ( ) ( )
( ) ( )
Problema P2.20 Enunciado El amplificador con seguidor de fuente proporciona una impedancia de salida menor y una ganancia esencialmente unitaria. En la figura P2.20(a) se muestra un diagrama del circuito, y en la figura P2.20(b), el modelo de señal pequeña. Este circuito emplea un FET y proporciona una ganancia aproximadamente igual a uno. A efectos de polarización, supóngase que , y que . (a) Calcúlese la ganancia del amplificador. (b) Calcúlese la ganancia cuando y , donde . (c) Dibújese un diagrama de bloques que represente las ecuaciones del circuito.
Solución (a) Dado que la resistencia total desde la fuente del transistor (terminal S) es aproximadamente . Para este amplificador sabemos que se cumple que la corriente de fuente debe ser (de forma muy aproximada) la misma que la de la resistencia de fuente (ya que , y por lo tanto la mayor parte de la corriente fluirá por ): (
)
De tal modo que, al despejar y simplificar obtenemos:
(b) Añadiendo los valores correspondientes indicados en el ejercicio, calculamos la ganancia real de nuestro amplificador:
Ricardo Alejos Sistemas de Control Autom谩tico (
)( (
) )(
)
(c) El diagrama de bloques que describe este sistema electr贸nico se puede dibujar de la siguiente manera:
v in
v gs
R sg m
vo