Ricardo Alejos Sistemas de Control Automático
Ejercicio E2.4
(
Enunciado Una impresora láser emplea un haz de láser para copiar con gran rapidez en un computador. El láser se posiciona mediante una entrada de control ( ), de manera que se tiene la siguiente función: (
( )
)
Solución Al consultar una tabla con las transformadas de Laplace típicas, encontramos que la correspondiente a la función de entrada (un escalón unitario) es: * ( )+
( )
Así bien, al sustituir los pesos en cada fracción parcial y aplicando la transformada inversa a ( ), obtenemos la señal de salida en el dominio del tiempo ( ). ( )
( )
La entrada ( ) representa la posición deseada del haz de láser. (a) Si ( ) es una entrada escalón unitario, encuentre la ecuación de la señal de salida ( ). (b) ¿Cuál es el valor final de ( )?
) ( )|
( )
) ( )
(
Gráfica de solución Para generar la gráfica se escribió el siguiente programa: a=[5 500]; b=[1 60 500]; c=tf(a,b); step(c)
* ( )+
Step Response 1 0.9
(
( )
)
0.8 0.7 0.6 Amplitude
Una vez conocido ( ) podemos realizar una sustitución del mismo en la función ( ) y factorizarla para poder tratarla como fracciones parciales.
0.5 0.4
( )
0.3 0.2
( )
( (
) )(
0.1
)
Para transformar la función ( ) en sus fracciones parciales de forma ágil, utilizaremos el método de los residuos para calcular los pesos de cada una de estas fracciones ( , y ): ( ) ( )| (
) ( )|
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Time (sec)
Ejercicio E2.19 Enunciado Determínese la función de transferencia ( ) ( ) del circuito con amplificador operacional que se muestra en la figura 1. Supóngase un amplificador operacional ideal. Determínese la función de transferencia cuando , y
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Simulaciones del escalón unitario La primer simulación se realizó en el programa Cadence OrCAD. El circuito esquemático capturado para hacer la simulación fue el siguiente:
Figura 1
Solución El circuito en general se trata de un amplificador inversor con dos impedancias complejas, que pueden expresarse como el paralelo de la impedancia capacitiva con la resistiva: [(
)
]
La simulación de respuesta transiente al escalón unitario da un resultado como el mostrado en la siguiente gráfica: -1.0V
La función de transferencia del amplificador inversor consiste en una relación de las resistencias (o impedancias en este caso) que componen el circuito:
-1.2V
-1.4V
-1.6V
-1.8V
De modo que podemos aplicarla sustituyendo las resistencias y por las impedancias correspondientes y : (
)
(
)
( (
) )
Con los valores correspondientes del problema, y sustituyendo por , obtenemos la función de transferencia ( )
( (
) )
-2.0V 0s
0.2s V(C2:2)
0.4s
0.6s
0.8s
1.0s
1.2s
1.4s
1.6s
1.8s
2.0s
2.2s
2.4s
2.6s
2.8s
3.0s
Time
Y en MATLAB nos da un resultado muy similar, tras utilizar las siguientes líneas de código: d=[-2 -2]; e=[1 2]; f=tf(d,e); step(f)
Ricardo Alejos Sistemas de Control Automรกtico Impulse Response 2
-1.1
1.8
-1.2
1.6
-1.3
1.4
-1.4
1.2 Amplitude
Amplitude
Step Response -1
-1.5
1
-1.6
0.8
-1.7
0.6
-1.8
0.4
-1.9
0.2
-2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Time (sec)
La simulaciรณn del impulso unitario en Cadence OrCAD se ejecutรณ con una fuente VPULSE con su valor inicial de 1 y segundo valor de cero 1.0V
0.5V
0V V(C2:2)
0.20s V(V1:+)
0.40s
0.60s
0.80s
1.00s
1.20s
1.40s
1.60s
1.80s
1.97s
Time
Para generar la grรกfica de MATLAB, se ha utilizado el comando para probar funciones de transferencia con un impulso unitario: Impulse(f)
0
0.5
1
1.5 Time (sec)
Simulaciรณn del impulso
0s
0
2
2.5
3