Sistemas de Control Automático Ricardo Alejos
Enunciado
Dado que no hay cambios de signo en la primera columna del arreglo, podemos decir que el sistema es estable.
Un sistema tiene la ecuación característica ( ) . Determínese el intervalo de para que el sistema sea estable.
Ejercicio E6.11
Solución
Enunciado
El arreglo de Routh-Hurwitz para esta ecuación característica es:
Un sistema con la función de transferencia ( ) es
Ejercicio E6.1
( ) ( )
|
(
( )
)
Determínese el error en estado estacionario para una entrada de escalón unitario. ¿Es estable el sistema? Donde: (
)
Para que el sistema se mantenga estable, es necesario que
Solución El error de estado estacionario se puede calcular empleando el teorema del valor final sobre ( ) ( ) ( ), es decir ( ). Calculemos entonces primero ( ). ( )
Ejercicio E6.2 Enunciado Un sistema tiene la ecuación característica . Empleando el criterio de Routh-Hurwits, demuéstrese que el sistema es estable.
( )
( )(
( )
( )(
( )
( ) (
)
)
)
Al aplicar una entrada de escalón unitario ( ) y el teorema del valor final, encontramos que el error en estado estable es ( )(
)
Solución El arreglo de Routh-Hurwitz para esta ecuación es: Analicemos |
̅
Hurwitz:
ahora
el
polinomio característico con el método de Routh-
Sistemas de Control Automático Ricardo Alejos ( ) (
| |
Y aquí notamos de forma explícita que el sistema es inestable, y que además tiene dos polos del lado derecho en el plano ya que existen dos cambios de signo en la primera columna del arreglo.
)
Sabiendo esto, podemos proceder a averiguar cuales valores de nos darán un sistema estable con ayuda del método de Routh-Hurwitz:
| |
Problema P6.3 Dónde:
Enunciado La soldadura de arco es una de las áreas de aplicación más importantes de los robots industriales. En la mayoría de los casos de soldadura industrial, la incertidumbre en las dimensiones de las partes, la geometría de la junta y el proceso mismo de soldar requieren el uso de sensores para mantener la calidad. Como se muestra en la figura P6-3, diversos sistemas emplean dispositivos visuales para medir la geometría de la mezcla de metal fundido. Este sistema emplear una velocidad constante de alimentación del alambre que se va a fundir. (a) Calcúlese el valor máximo de para el sistema que proporcionará un sistema estable. (b) Para la mitad del valor máximo de del apartado (a), determínense las raíces de la ecuación característica. (c) Determínese la sobreelongación del sistema del apartado (b) cuando está sujeto a una entrada escalón.
(
)
Note entonces que para que el sistema sea estable, se necesitan cumplir dos condiciones: que y que . Así bien: (
)
Entonces, en general:
Inciso (b) Cuando el polinomio característico del sistema ( ) queda: ( )
Solución Inciso (a) La función de transferencia del sistema mostrado en la figura P6.3 es: ( )
( ) ( )
Y sus raíces son (obtenidas con ayuda del software Wolfram Mathematica):
Sistemas de Control Automático Ricardo Alejos El gráfico se generó en Matlab con el siguiente código: Inciso (c) Para determinar el porcentaje de sobreelongación habrá que determinar cuál es el polo dominante. Acorde con los polos obtenidos, podemos escribir la ecuación característica de la forma ( )
(
)(
)( )
Para poder hacer una estimación congruente a un sistema de segundo orden, tendría que cumplirse que | | | |, sin embargo la ecuación característica no cumple con esta condición y por lo tanto no se puede hacer una aproximación con un polinomio de segundo orden. Sin embargo podemos apreciar en la siguiente gráfica la magnitud de la sobreelongación: Step Response 1.4
1.2
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Time (sec)
Ilustración 1. Respuesta del sistema del ejercicio 4 para un escalón unitario cuando
Note entonces que el porcentaje de sobreelongación es:
N=[0.04391 8.782]; D=[0.0025 0.5125 2.520 4.0100 10.782]; T=tf(N D); step(T);