Ricardo Alejos Cálculo Tensorial
Tarea 02 Ejercicio 1
|⃗
Enunciado ⃗⃗|
| ⃗| | ⃗⃗|
( ⃗ ⃗⃗)
(Sugerencia: Recuerde que | ⃗|
⃗ ⃗)
Hacemos un pequeño reacomodo para hacer más explícita la conversión a notación vectorial y finalmente realizamos la conversión:
Comencemos por pasar la expresión del lado izquierdo de la igualdad a la notación tensorial haciendo caso a la sugerencia escrita también en el enunciado: ⃗⃗|
(
̂ ) (
⃗⃗|
̂ )
( ̂
| ⃗| | ⃗⃗|
( ⃗ ⃗⃗)
Ejercicio 2 Enunciado
̂ )
Utilizando la notación tensorial, demuestre la identidad de Lagrange: ⃗⃗) ( ⃗ ⃗) ( ⃗ ⃗)( ⃗⃗ ⃗) ( ⃗ ⃗)( ⃗⃗ ⃗) (⃗
⃗⃗|
Solución
Y podemos deshacernos de la delta aplicando la propiedad de sustitución de la delta sobre cualquiera de las épsilon |⃗
⃗⃗|
|⃗
De la definición del producto punto en términos de la delta de Kronecker, reducimos la expresión a: |⃗
⃗⃗|
|⃗
Una de las propiedades del producto punto nos permite sacar el escalar del producto, de modo que podemos reescribir la expresión de la siguiente forma: |⃗
)
⃗⃗|
|⃗
Solución
|⃗
(
Tras ejecutar los productos y aplicar la propiedad de sustitución de la delta de Kronecker, obtenemos una expresión ya muy acercada a la que tenemos como objetivo:
Utilizando la notación tensorial, demuestre que |⃗
⃗⃗|
De forma similar al ejercicio anterior, comencemos por escribir la expresión de la izquierda de la igualdad en notación tensorial para comenzar la demostración:
⃗⃗|
(⃗
Existe una identidad que expresa un par de épsilon con un índice repetido en función de la delta de Kronecker aplicable a este caso, me refiero a:
(
⃗⃗) ( ⃗
⃗)
̂ ) (
̂ )
Nuevamente, sacamos los productos entre escalares del producto punto para ejecutar el mismo únicamente entre los vectores unitarios:
Así entonces, podemos reescribir de la siguiente forma:
(⃗ 1
⃗⃗) ( ⃗
⃗)
Ricardo Alejos Cálculo Tensorial ( ̂
̂ )
Solución De la identidad de Lagrange sabemos que:
Sustituimos el producto punto por la delta de Kronecker, para posteriormente utilizar la propiedad de sustitución de la delta sobre alguna de las épsilon de la expresión: ⃗⃗) ( ⃗
(⃗
Y por otro lado también sabemos que el producto punto de dos vectores iguales da como resultado un escalar con el valor del cuadrado de la magnitud de los vectores en cuestión:
⃗)
⃗⃗) ( ⃗
(⃗
⃗⃗) ( ⃗ ⃗) ( ⃗ ⃗)( ⃗⃗ ⃗) ( ⃗ ⃗)( ⃗⃗ ⃗) (⃗
⃗)
| ⃗|
Así bien, podemos decir que el producto punto de dos productos cruz (cuyo resultado de cada uno es un vector) idénticos, nos dará como resultado el cuadrado de la magnitud del vector resultante de uno de sus productos al cuadrado, es decir:
Aplicamos la identidad de las épsilon utilizadas en el ejercicio anterior para expresarlas en términos de una diferencia de productos de la delta de Kronecker: ⃗⃗) ( ⃗
(⃗ (
⃗)
⃗)
(⃗
⃗⃗) ( ⃗
⃗)
(⃗
⃗⃗) ( ⃗
⃗⃗)
Al aplicar la identidad de Lagrange a este producto punto, obtenemos:
Ejecutamos los productos y los acomodamos de forma explícita para su conversión a notación vectorial: ⃗⃗) ( ⃗
⃗⃗|
|⃗
)
(⃗
⃗ ⃗
⃗⃗) ( ⃗ ⃗⃗) ( ⃗ ⃗)( ⃗⃗ ⃗⃗) ( ⃗ ⃗⃗)( ⃗⃗ ⃗) (⃗
Que es lo mismo que:
Finalmente, cambiamos la notación tensorial por notación vectorial:
⃗⃗|
|⃗
⃗⃗) ( ⃗ ⃗) ( ⃗ ⃗)( ⃗⃗ ⃗) ( ⃗ ⃗)( ⃗⃗ ⃗) (⃗
| ⃗| | ⃗⃗|
( ⃗ ⃗⃗)
Ejercicio 4 Enunciado Utilizando notación tensorial, demuestre la identidad de Jacobi:
Ejercicio 3 Enunciado Utilizando la identidad de Lagrange, demuestre nuevamente que: |⃗
( ⃗⃗
⃗
⃗⃗|
| ⃗| | ⃗⃗|
⃗⃗
(⃗
⃗)
⃗
(⃗
⃗⃗)
⃗)
Solución
( ⃗ ⃗⃗)
Trabajaremos sólo con la expresión escrita a la izquierda de la identidad de Jacobi hasta comprobar que todos sus términos se anulan. Para comenzar 2
Ricardo Alejos Cálculo Tensorial pasemos dicha expresión a notación tensorial. Primero convirtamos los términos de forma individual: ( ⃗⃗
⃗
⃗)
( ⃗⃗ ⃗
⃗) ⃗⃗)
(⃗
⃗⃗)
(⃗ ⃗⃗
( ⃗ ⃗) ( ⃗ ⃗)
Ahora, sumamos los términos convertidos y factorizamos el par de épsilon: (
)
Ahora utilizamos la identidad del par de épsilon con un índice repetido que se ha utilizado en los primeros dos ejercicios, la expresión queda ahora: (
)
(
)
Y ahora ejecutamos el producto por cada término utilizando la propiedad de sustitución de la delta de Kronecker y así poder eliminarlos al sumarlos todos: (
)
(
(
)
)
Note entonces que al ejecutar esta suma se cancelan todos los términos, y por lo tanto: ( ⃗⃗
⃗ ⃗⃗
(⃗
⃗)
⃗
(⃗
⃗⃗)
⃗)
3