Ricardo Alejos Cálculo Tensorial
Tarea 03 Ejercicio 1
Solución
Enunciado
Apliquemos el tensor a un vector cualquiera . Éste tensor se trata específicamente de un producto directo
Demuestre la siguiente igualdad de tensores: (
)
̂ (̂
̂ ̂
)
Sugerencia: Primero, recuerde que dos tensores y ( ) para todo son iguales si y sólo si ( ) vector . Segundo, utilice una identidad vectorial vista en clase.
Al ejecutar los productos y simplificar el resultado obtenemos:
Solución
Note ahora que lo que hemos obtenido es un vector en la dirección ̂ con la magnitud de la componente , o en otras palabras, la proyección del vector sobre el eje .
̂ ̂
Haciendo caso a la primera sugerencia, veamos pri) sobre un vector mero el efecto del tensor ( cualquiera . Aplicando la propiedad anticonmutativa del producto cruz obtenemos: (
)
(
Ejercicio 3
)
Enunciado
Y utilicemos también la propiedad vectorial que expresa el triple producto vectorial como la diferencia de dos productos puntos por vector. (
)
(
( (
)
( (
) )
( (
¿Cuál de los tres tensores presentados a continuación es un tensor de proyección? a) ̂ ̂ b) c) ̂ ̂
)) ))
Note ahora que la expresión a la derecha de la igualdad se trata de la diferencia de dos productos directos aplicados al vector , y por lo tanto: (
̂
Solución Todas las opciones se tratan de productos directos, sin embargo el único tensor proyector es ̂ ̂. Esto porque al aplicar este tensor a cualquier vector nos dará como resultado su proyección en la dirección ̂:
)
Ejercicio 2
(
Enunciado
̂) ̂
Mientras los demás también escalarán el resultado y este quedará en una dirección arbitraria.
¿Cuál es el significado geométrico de la acción del tensor ̂ ̂ sobre cualquier vector?
1
Ricardo Alejos Cálculo Tensorial ̂ ̂
Ejercicio 4 ̂ ̂
Enunciado Sea el tensor definido en el plano cartesiano, que transforma cualquier vector en su imagen respecto al eje . Halle la representación matricial cartesiana de .
Ejercicio 6 Enunciado Encuentre la representación matricial cartesiana de .
Solución Para encontrar la representación matricial es necesario obtener cada una de las componentes del tensor. Para ello utilizamos ̂
(̂ )
̂
(̂ )
̂
̂
( ̂ )
̂ ̂
[
)
(
̂
)
̂)
(
(̂
̂)
De esta forma queda más explícito el resultado para obtener cada una de las 9 componentes (para un contexto de un espacio tridimensional):
será:
]
( (
Ejercicio 5 Enunciado Escriba el tensor del ejercicio anterior como combinación lineal de la base tensorial cartesiana.
Solución Sabemos que las componentes cartesianas de cualquier tensor se pueden escribir como una combinación lineal de los tensores de la base tensorial cartesiana de la siguiente forma: ̂ ̂ De modo que el tensor
̂
Para simplificar el proceso, podemos aplicar aquí la propiedad cíclica del producto mixto que aparece al lado derecho de la igualdad para obtener:
̂
Y por lo tanto, la representación matricial de [ ]
(
( ̂ )
̂
(̂ )
̂
De forma similar al ejercicio 4, habremos primero de encontrar cada una de las componentes del tensor en cuestión:
son:
(̂ )
̂
Solución
(̂ )
Así bien, las componentes de
̂ ̂
) )
(̂ (̂
̂ ) ̂ )
(
)
(̂
̂ )
(
)
(̂
̂ )
(
)
(̂
̂ )
(
)
(̂
̂ )
(
)
(̂
̂ )
(
)
(̂
̂ )
(
)
(̂
̂ )
Así bien, la representación matricial del tensor en cuestión es:
puede escribirse así:
2
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]
[
Ejercicio 8
]
Enunciado Compruebe que el resultado del problema anterior es correcto, efectuando el producto cruz de vectores de la forma ya conocida por usted en los cursos anteriores.
La cuál por cierto, es antisimétrica.
Ejercicio 7
Solución
Enunciado
En cursos anteriores se ha visto la técnica para calcular el producto cruz mediante el determinante de una matriz:
̂ ̂ , utilizando el resultado del probleSi ma anterior, calcule , (es decir, la acción del tensor sobre el vector ) donde el vector ̂ ̂ .
̂
̂
̂
|
|
Solución Para encontrar el resultado de la acción de un tensor sobre un vector, es posible ejecutar una multiplicación matricial de la representación matricial del tensor y la del vector. En éste caso, la representación matricial de son:
De modo que el producto cruz del ejercicio anterior da como resultado: |
y
̂
̂
̂ [
]
[
̂
̂
| ̂
]
Ejercicio 9 [ ]
[
]
Enunciado
Así bien, la acción del tensor es: [
]
[
sobre el vector
][
[
Para averiguar la acción del tensor sobre cualquier vector bastará con ejecutar el producto matricial de las matrices que representan a ambos:
]
]
[ ( )]
O en su representación como combinación lineal de los vectores de la base: ̂
̂ ̂
Solución
[
]
¿Cuál es la acción geométrica del tensor ̂ ̂ ̂ ̂ sobre cualquier vector?
̂
[
[ ( )]
][
[
]
]
̂ Éste resultado se expresa en forma de combinación lineal de los vectores de la base como: 3
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̂
̂
̂
[ ]
[
]
Note entonces que este nuevo vector está reflejado con respecto al eje .
Ejercicio 12 Ejercicio 10
Enunciado
Enunciado
Escriba el tensor del ejercicio anterior como combinación lineal de la base tensorial cartesiana.
El tensor , al actuar sobre cualquier vector del espacio tridimensional euclidiano ordinario, lo “invierte”, es decir ( ) . Encuentre las componentes cartesianas de .
Solución Sabemos que todo tensor puede escribirse como una combinación lineal de la base tensorial cartesiana de la forma:
Solución Sabemos que para encontrar las componentes cartesianas de cualquier tensor, podemos utilizar el hecho ̂ que (̂ ) ̂
(̂ ) (̂
̂
̂ ̂ Entonces, para el tensor
( ̂)
sería:
̂ ̂
̂ )
̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂ ̂ ̂
Ejercicio 13 Ejercicio 11
Enunciado Si el tensor
Enunciado
̂ ̂
Encuentre la representación matricial cartesiana del tensor del ejercicio anterior.
( )
Sabemos que la representación matricial de una delta de Kronecker es precisamente la matriz identidad , de modo que:
[
̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂
(̂
̂
̂ )
Utilizando la expresión dada para . Sugerencia: recuerde ̂ ̂ (̂ ) ̂ (̂ ̂ )
]
Al multiplicar ambos lados por
̂ ̂
Calcule directamente
Solución
[
está definido por
obtenemos:
que,
por
ejemplo,
Solución Tomando en cuenta la sugerencia, podemos ahorrarnos una larga sumatoria de términos si notamos que bastantes de los productos puntos (que salen a consecuencia de los productos directos) serán cero, así bien:
]
Por lo tanto:
4
Ricardo Alejos Cálculo Tensorial
( )
̂ ̂ (̂ ) ̂ ̂ (̂ ) ̂ ̂ (̂ ) ̂ ̂ ( ̂ ) ̂ ̂ (̂ )
Comprobando de esta manera que los resultados de los dos ejercicios anteriores son correctos.
Solución
Note que ya hemos removido los productos que darán cero, que son aquellos donde el segundo y tercer subíndice de cada término son diferentes, ya que en tales casos el producto directo es cero. Ahora ejecutemos el producto directo de cada término, para obtener: ( )
̂
̂
̂
̂
Para aplicar el tensor al vector bastará realizar la multiplicación de las matrices que los representan de la siguiente forma:
[ ( )]
[ ][ ]
[
][
]
̂ Al ejecutar el producto obtenemos:
( )
̂
̂
̂ [ ( )]
[ ]
Ejercicio 14 Este nuevo vector que obtuvimos se puede representar como combinación lineal de la base vectorial cartesiana de la siguiente forma:
Enunciado Halle la representación matricial cartesiana del tensor del ejercicio anterior.
[ ( )]
̂
̂
̂
Solución Sabemos que cualquier tensor forma matricial de la forma: [ ]
[
]
Así bien, para el tensor forma matricial es: [ ]
Note que este resultado es igual al del ejercicio 13.
se puede escribir de
del ejercicio anterior, su
[
]
Ejercicio 15 Enunciado Utilizando el resultado del problema anterior, vuelva a calcular:
( )
(̂
̂
̂ )
5