Ricardo Alejos Cálculo Tensorial
Tarea 04 Ejercicio 1
Ejercicio 3
Enunciado
Enunciado
Halle el tensor transpuesto del tensor ̂ ̂ ̂ ̂ .
̂ ̂
Halle la parte antisimétrica del tensor del problema anterior.
Solución
Solución
Sabemos que el tensor transpuesto puede ser encontrado invirtiendo los índices del tensor original, es decir:
La parte antisimétrica de cualquier tensor encontrar mediante la expresión: (
̂ ̂
)
O en notación de subíndices para encontrar cada una de las componentes:
Aplicando este principio del tensor transpuesto al tensor propuesto en el ejercicio, encontramos su transpuesto que es: ̂ ̂
se puede
(
)
̂ ̂ Aplicado esto al tensor propuesto en el ejercicio encontramos que:
Ejercicio 2 Enunciado Halle la parte simétrica del tensor del problema anterior.
Ejercicio 4
Solución
Enunciado
La parte simétrica de cualquier tensor , es decir se puede encontrar mediante: (
¿Es el tensor
,
Solución Una de las propiedades del producto directo es que ( ) , entonces la parte simétrica del tensor es:
)
Y escrito en notación de subíndices para encontrar sus componentes es: (
(
)
̂ ̂
)
(
)
Y de forma similar, la parte antisimétrica es:
Aplicado al tensor propuesto en el ejercicio, encontramos que: ̂ ̂
simétrico? ¿es antisimétrico?
(
̂ ̂ 1
)
(
)
Ricardo Alejos Cálculo Tensorial En general, ninguno de las dos partes es cero, de modo que este tensor no es simétrico ni antisimétrico. Se puede corroborar además porque: (
)
(
(
)
Siendo su parte simétrica: (
)
(
)
Al aplicar la notación de subíndices obtenemos:
)
Ejercicio 5
(
)
(
)
Enunciado Halle la matriz que es la representación cartesiana de la parte antisimétrica del tensor .
Solución
Ejercicio 7
El tensor tiene su representación matricial de la siguiente forma:
Enunciado
[
]
[
Halle la matriz cartesiana que le corresponde a la parte antisimétrica del tensor cuya representación matricial cartesiana es:
]
Note que para éste tensor su parte simétrica es cero, mientras que es igual éste a su parte antisimétrica: [
]
]
([
[
[ ]
[
]
Solución
] )
La parte antisimétrica del tensor [
]
([
]
[
] )
[
]
es:
(
)
Por lo tanto: [ (
]
([ ]
([
]
[
])
) [
]
[
])
Ejercicio 6 Enunciado
[
Demuestre que la parte simétrica de un tensor antisimétrico es cero.
Solución En general, un tensor antisimétrico cumple la propiedad:
en general
2
]
[
]
Ricardo Alejos Cálculo Tensorial
Ejercicio 8
Solución
Enunciado
En general un tensor antisimétrico que . Su traza es
Demuestre que si es un tensor cualquiera, entonces ( ) ( ) .
( ) Pero note que para todo término de la traza ocurre que
Solución Recordemos que el tensor inverso a , es decir , es aquel que al hacer su composición con da como resultado el tensor identidad :
( )( )
( )( )
Y esto sólo es posible si ( )( ) podemos concluír entonces que: Al transponer los tensores de ambos lados de la igualdad obtenemos: (
se define tal
, de modo que
( )
)
Ejercicio 10 Una propiedad de la composición de tensores dicta que: (
Enunciado Demuestre que
)
)
)
( ) Y además que las componentes de una composición de dos tensores cualquiera y se pueden obtener de la siguiente forma: (
Así bien: )
)
)
De modo que la traza de la composición de tensores es:
Note ahora que, por la definición del tensor inverso, ésta última expresión se cumple sí y solo sí: (
).
Recordemos que la traza de un tensor cualquiera se puede obtener mediante la expresión:
Pero además la transpuesta del tensor identidad es el tensor identidad mismo, es decir:
(
(
Solución
De modo que podemos reescribir la expresión anterior como: (
(
(
(
)
)
(
)
De igual forma, la traza de la composición de tensores es: (
Ejercicio 9
)
(
)
Aplicando la propiedad conmutativa del último resultado y cambiando los índices mudos por :
Enunciado Demuestre que la traza de un tensor antisimétrico debe ser cero. 3
Ricardo Alejos Cálculo Tensorial
Solución Bajo un razonamiento similar al ejercicio anterior, deducimos que la expresión en términos de una traza equivale a la expresión:
Note que este resultado prueba entonces que efectivamente: (
)
(
)
(
Ejercicio 11
Ejercicio 13
Enunciado ¿Qué significado tiene la expresión rencia: tiene que ver con una traza).
Enunciado
? (Suge-
Demuestre que la traza del producto directo de dos vectores es el producto entre ellos, es decir, ( ) .
Solución Ésta expresión puede significar muchas cosas. Pero entre ellas podemos observar que pudiera tratarse de la traza de la composición de tensores , denotada por: (
Solución Recordemos que las componentes del producto directo pueden encontrarse mediante la expresión: (
)
(
)
(
(
)
(
)
(
)
(
)
Por lo tanto: (
Que efectivamente equivale a decir que: (
)
Note que el resultado es la definición del producto punto de los vectores y :
Note que esta misma expresión, al transponer obtenemos: )
)
Así bien, la traza de este tensor es entonces:
Esto es posible verlo a partir de la expresión para obtener la traza de una composición de tensores:
(
)
)
)
Ejercicio 14 Ejercicio 12
Enunciado
Enunciado
Para cualquier tensor , demuestre que .
¿Qué significado tiene la expresión rencia: tiene que ver con una traza)
( )
? (Suge-
Solución Ésta demostración podemos hacerla rápidamente aplicando la definición de un tensor transpuesto: ( ) 4
( )
Ricardo Alejos Cálculo Tensorial Aplicando esta definición a la expresión propuesta obtenemos: ( ) Ahora, el tensor que:
(
Y por lo tanto: ( )
) ( )
, por ser antisimétrico, se cumple
Ejercicio 16
(
Enunciado
)
Escriba, en términos de tensores, sin índices, la expresión .
De modo que podemos reescribir la expresión anterior utilizando esta última propiedad: ( )
(
( )
Solución
)( ) (
( )
La las componentes de una composición de dos tensores cualquiera y se pueden escribir de la forma:
)( )
Tenemos exactamente la misma expresión de ambos lados, pero una tiene signo contrario. La única forma en que esto puede cumplirse es que ambas cantidades sean cero, y por lo tanto:
(
)
Note que se parece bastante a la expresión dada en el enunciado, de tal forma que pudiéramos escribirla de la forma:
( )
(
Ejercicio 15
En cuanto a la delta de Kronecker presentada a la derecha, podemos sustituirla por el tensor identidad . Esto es posible ya que el tensor identidad tiene sus componentes dadas precisamente por la delta de Kronecker.
Enunciado Utilizando el resultado del ejercicio anterior, de( ) ( ). muestre que
Solución
Así bien, la expresión puede ser escrita en términos de tensores y sin índices de la siguiente forma:
Cualquier tensor puede ser escrito como la superposición de su parte simétrica y su parte antisimétrica:
Ejercicio 17
De modo que podemos escribir: ( ) ( )
(
( ) ( )
)
Enunciado
( ))
Demuestre que si el tensor entonces .
( )
Pero recordemos que en el ejercicio anterior encontramos que:
tiene inverso y
,
Solución Antes de comenzar, aclaremos que cuando se escribe se trata de la composición de un tensor por sí mismo, es decir:
( ) 5
Ricardo Alejos Cálculo Tensorial ( ) Ahora bien, si aplicamos la composición de los dos miembros de la igualdad con el tensor obtendremos:
Aplicando esta definición a la parte antisimétrica del tensor de producto directo, obtenemos que: (
) (
Por la definición del tensor inverso, sabemos que un tensor en composición con su inverso nos da el tensor identidad, es decir:
(
)
))
(
)
)
(
)
Haciendo provecho de la propiedad de antisimetría en los índices de , hacemos una permutación de índices en el segundo término:
Así bien, podemos reescribir la expresión anterior como
( Para el tensor identidad es posible aplicar que , de modo que ambas composiciones de la expresión anterior son iguales, y por lo tanto:
)
(
)
Y ahora cambiamos los índices mudos del segundo término para que queden iguales a los del primero: (
)
(
)
Y ahora sí podemos sumar ambos términos y obtener:
Ejercicio 18 Enunciado Demuestre que (
)
(
(
) .
Primero obtengamos la parte antisimétrica del tensor ( ), que es: (
)
(
(
)
(
(
)
)
(
)
Que es lo mismo que:
O lo que es lo mismo, pero en notación de subíndices: )
)
Haciendo nuevamente uso de la propiedad de antisimetría de , cambiamos los índices y para obtener:
Solución
(
( (
(
)
)
(
)
Y por lo tanto:
Ahora, recordemos que el axial de un tensor antisimétrico está dado por la expresión
(
6
)
(
)
Ricardo Alejos Cálculo Tensorial Así bien, podemos escribir el tensor matricial de la siguiente forma:
Ejercicio 19
en su forma
Enunciado Sea el tensor que hace rotar un vector en el espacio, un ángulo en torno al eje . Es decir, la componente del vector no se ve modificada, en tanto que su proyección sobre el plano rota un ángulo sobre este mismo plano ¿es el tensor ortogonal?
[ ]
[
Ahora, un tensor es ortogonal cuando se cumple que [ ][ ] . Procedamos a hacer ésta operación: [ ]
Solución Obtengamos primero las componentes de este tensor mediante la expresión: ̂
̂
̂
(̂ )
̂
̂
(̂ )
[ ][ ]
(̂ ) ̂
(̂ )
̂
(̂ )
̂
(̂ )
̂
(̂ )
] es
son:
Ejercicio 20 Enunciado Sea el tensor del ejercicio anterior. Calcule y muestre que la acción geométrica de este tensor es rotar los vectores un ángulo de en torno al eje , como era de esperarse.
(̂ )
̂
[
Ya con este resultado, podemos confirmar que ortogonal.
(̂ )
(̂ )
]
[ ][ ]
(̂ )
̂
[
Ahora, utilizando la identidad trigonométrica pitagórica , obtenemos:
̂
Así bien, las componentes del tensor
̂
]
(̂ )
(̂ )
̂
[
Al hacer la multiplicación de ambas matrices, obtenemos:
Para poder predecir el efecto de sobre los vectores de la base, note entonces que los únicos que se modificarán serán aquellos que corresponden a los ejes y , es decir, ̂ y ̂ . Note entonces que la acción del tensor sobre dichos vectores será entonces:
̂
]
Solución Podemos obtener las componentes del tensor que resulta de la composición mediante: (
)
Esto equivale a realizar también la multiplicación de la matriz [ ] por sí misma, de modo que:
7
Ricardo Alejos Cálculo Tensorial [
]
[ ][ ]
[
]
Tras aplicar las identidades trigonométricas de ángulo doble para seno y coseno, obtenemos: [
]
[
̂
(̂ )
̂
(̂ )
̂
(̂ )
̂
(̂ )
̂
(̂ )
] Así bien, la representación matricial de
Ahora, podemos aplicar este nuevo tensor a los vectores de la base cartesiana: (̂ )
̂
̂
(̂ )
̂
̂ (̂ )
[ ]
[
es:
]
Note que el conjunto de vectores formado por las filas de esta matriz todos tienen magnitud uno, y además son ortogonales entre sí. Para comprobar su ortogonalidad podemos aplicar la prueba del producto de esta matriz por su transpuesta, debería darnos la matriz identidad:
̂
Note entonces, que el efecto del tensor sobre cualquier vector es rotarlo en un ángulo de en torno al eje .
[ ][ ]
Ejercicio 21
[ ][ ]
[
][
[
]
]
Enunciado Sea un tensor tal que ( ̂ ) ̂ , ( ̂ ) ̂ y ( ̂ ) ̂ . Compruebe que las filas de la matriz cartesiana que le corresponde forman un conjunto ortonormal de vectores, demostrando así que el tensor es ortogonal.
Cumplidas las condiciones de magnitud unitaria y ortogonalidad entre los vectores fila del tensor, se dice entonces que éste es ortonormal.
Ejercicio 22
Solución
Enunciado
Teniendo el efecto del tensor sobre los vectores de la base, es posible calcular las componentes del tensor de la siguiente forma: ̂
(̂ )
̂
(̂ )
̂
(̂ )
̂
(̂ )
¿Cuánto debe valer el determinante de un tensor ortogonal? Verifique que eso ocurre con el tensor del ejercicio anterior.
Solución El determinante de la matriz de un tensor ortogonal debe valer (positivo o negativo). Verifiquémoslo entonces para el tensor del ejercicio anterior:
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