Ricardo Alejos Ecuaciones Diferenciales
Modelos Matemáticos Segunda Ley de Newton y la Ley de la Gravitación Universal
Problema1 Enunciado
El signo negativo es porque la dirección de esta fuerza es hacia abajo, mientras nosotros consideraremos que la dirección positivas es hacia arriba. Entonces la ecuación diferencial que buscamos es:
Según la ley de la gravitación universal de Newton, la aceleración de caída libre de un cuerpo, como el satélite que aparece en la figura, que cae desde una gran distancia hasta la superficie terrestre no es la constante . Además, la aceleración es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde ⁄ , donde es la consel centro de la Tierra, tante de proporcionalidad. Utilice la segunda ley de Newton y su ley de gravitación universal para deducir una ecuación diferencial para la distancia .
Y si dividimos la ecuación entre y reacomodamos los términos obtenemos finalmente:
Esta ecuación es una ecuación diferencial no lineal y no es trivial darle solución, sin embargo, seguramente sus soluciones deben describir con precisión el movimiento de un objeto a cualquier distancia de la Tierra (tanto dentro como fuera de ella) a consecuencia del fenómeno de la fuerza de gravedad.
Solución
Problema 2
Para el caso de un objeto que está sobre la superficie terrestre (o muy cerca de ella), la aceleración con la que cae un objeto es . En este caso, la distancia entre el centro de la tierra y el objeto que cae es casi igual al radio de la Tierra ( ), por lo que podemos decir que y por lo tanto la constante sería:
Enunciado Suponga que se taladra un orificio hasta el centro de la tierra y que una bola de boliche de masa se deja caer dentro, como se muestra en la figura. Construya un modelo matemático que describa el movimiento de la bola. En el tiempo establezcamos: indica la distancia desde el centro de la Tierra hasta la masa , representa la masa de la porción de la Tierra dentro de una esfera con radio , y denota la densidad constante de la Tierra.
Ya conociendo esta constante, podemos obtener la ecuación diferencial para . La segunda ley de Newton dicta que la suma de todas las fuerzas aplicadas a una masa debe ser igual a su masa por su aceleración. Si la fuerza de atracción es
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Curiosidades Este tipo de ecuaciones diferenciales tienen soluciones muy peculiares: oscilatorias. En particular la ecuación que hemos obtenido como solución al ejercicio anterior tiene muchas soluciones de la forma
Solución ( )
La Ley de Gravitación Universal establece que la fuerza de gravedad experimentada por dos objetos que se atraen mutuamente es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa, es decir:
(√
(√
)
)
Donde las constantes y dependen de las condiciones iniciales del problema (desde que punto y a qué velocidad fue lanzada la bola de boliche). 4
Donde es la constante de proporcionalidad. En este caso, las dos masas que interactúan son la de la bola de boliche ( ) y la porción esférica de Tierra de radio (es decir, ). Esta última, a su vez es el volumen de dicha esfera por la densidad :
2
4
2
2
4
2
4
Por lo que la fuerza experimentada por la bola de boliche (siempre hacia el centro de la tierra) es:
La gráfica anterior ilustra diferentes soluciones (escaladas) posibles para la ecuación que planteamos, todas ellas con velocidad inicial cero pero con diferentes posiciones iniciales. ¡En realidad la bola de boliche nunca dejará de caer!
Manipulando igual el signo de esta fuerza igual que en el ejercicio anterior, obtenemos a través de la Segunda Ley de Newton la ecuación de movimiento de la bola de boliche:
Despejando algunos términos y eliminando el término finalmente obtenemos:
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