Ricardo Alejos Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Solución de una EDO lineal de primer orden Las EDO lineales de primer orden pueden escribirse en su forma general como sigue ( )
( )
∫ ( ) ( )
( )
Donde
es una constante de integración de
Aunque también suelen escribirlas de la forma estándar ( )
( )
Por lo tanto, la solución de la ecuación homogénea asociada tiene la forma
( )
( )⁄ ( ) y ( ) ( )⁄ ( ). Donde ( ) Refiriéndonos a la forma general, cuando ( ) decimos entonces que tenemos una ecuación homogénea, o si ( ) entonces decimos que tenemos una ecuación no homogénea.
( )
Para encontrar la solución particular utilizaremos un método que estudiaremos más adelante llamado “Variación de Parámetros”, la cual supone que la solución particular tiene la forma
Estas ecuaciones tienen soluciones de la forma . es la solución de la ecuación homogénea asociada
( ) ( ) Donde ( ) es una función que habremos de encontrar.
( )
( )
Mientras que es una solución particular de la ecuación no homogénea. Esto lo puedes notar fácilmente con la siguiente consideración: ( )
( ) ]
[
[
∫ ( )
( ) [ ⏟
( ) ]
( ) ] ( )
( ) ( )
( )
Note que podemos llegar a la solución de la ecuación homogénea mediante la separación de variables
Note entonces que nuevamente tenemos una ecuación de variables separables, por lo que podemos continuar así
( )
( ) ( )
( ) ∫
∫ ( )
1
Ricardo Alejos Ecuaciones Diferenciales ∫ El valor de
∫
( ) ( )
Note pues, que se trata de la EDO original, pero multiplicada por ( ). ¿Pero para qué sirve esto? ¡Ah bueno! Todo el procedimiento que hicimos hasta ahora podemos hacerlo mucho más rápido con estos últimos tres pasos hechos en orden inverso:
es entonces ∫ ∫
( ) ( ) ( )
( )
( )
1. Multiplicar la EDO en forma estándar por el factor integrante ( )
( )
∫ ( )
Por lo que la solución particular,
( )
es
( ) ( )
∫ ( )
∫ ( )
[
( )
( )
( )
( )
∫ ( )
∫ ( )
( )
( )
( )
]
( )
( )
( )
( )
( )
[
( )
2
∫
] ∫
( )
Obtenemos finalmente ( )
( )
( )
Y al derivarlo ( )
( )
] ( )
∫ [
Note ahora que si la última expresión la multiplicamos por ( ) obtenemos
[
( )
( )
3. Separamos las variables e integramos ( ) ( ) [ ( ) ]
Note que tenemos aquí una constante arbitraria de , por lo que a todos los valores posibles de les corresponde una solución de la ecuación diferencial en cuestión. Por esto último decimos que la ecuación diferencial posee una familia de soluciones.
( )
( )
( )
Finalmente, nuestra solución completa tiene la forma
( )
( )
( )
2. Reducimos la derivada del producto
( ) ( )
( )
( )
∫
( )
( )
( )
( )
( )
( )
]