Ricardo Alejos Ecuaciones Diferenciales Parciales
Tarea 01 Ejercicio 1 Enunciado Demuestre que la ecuación diferencial parcial terísticas ( ) toma la forma
( ) a través de un cambio de coordenadas carac) donde ( ) ( ).
(
Solución Realizamos primero las derivadas que nos interesan de la función ción diferencial.
(
)
( )
Además, note que ( ( rando que ( )
) ).
(
para poder realizar la sustitución en la ecua-
(1.1)
( )
(1.2)
( )
), esto considerando el cambio de coordenadas características y conside-
Una vez identificado todo lo anterior, podemos realizar las sustituciones correspondientes: (
Ahora, como
(
),
)
y además ( (
1
)
(
)
)
(1.3) (
), entonces: (1.4)
Ricardo Alejos Ecuaciones Diferenciales Parciales
Ejercicio 2 Enunciado ¿De qué forma cambiaría la Ley de Conservación Básica si el término que corresponde al área transversal cambia( )? ra a lo largo de , es decir
Solución
Figura 1. Ilustración de ayuda para la ecuación de la Ley de Conservación.
La Ley de Conservación Básica puede ser estudiada con ayuda de la Figura 1. Considere un tubo de longitud con ). La Ley de Conserun objeto (o un fluido) de masa ( ) dentro de él, del cual estudiaremos el intervalo ( vación Básica dicta que el flujo total de masa es igual al flujo de entrada menos el flujo de salida más la masa generada por una fuente (o menos la masa absorbida por un sumidero). Lo anterior se expresa matemáticamente en la ecuación (2.1). ∫
(
)
(
)
(
)
∫
(
)
(2.1)
Note que en este caso es posible factorizar y eliminar el término del área transversal . Pero para el caso en que el ( ), la Ley de Conservación se escribiría así: área transversal cambiara a lo largo del tubo, es decir ∫
(
) ( )
( ) (
)
( ) (
)
∫
(
) ( )
(2.2)
Ahora no podemos hacer la reducción mencionada en el párrafo anterior. Sin embargo, es posible llegar a una reducción con ayuda de la Regla de Leibniz y el Teorema Fundamental del Cálculo. Primero, aplicando la Regla de Leibniz al miembro izquierdo de la ecuación (2.2) obtenemos: ∫
(
) ( )
∫
2
[ (
) ( )]
(2.3)
Ricardo Alejos Ecuaciones Diferenciales Parciales (
∫
) ( )
Y ahora, utilizamos ahora el Teorema Fundamental del Cálculo y definimos una función ( (
∫
)
( ) (
)
( ) (
[ ( ) (
)]|
[ ( ) (
)]
) tal que:
)
(2.4)
Y en consecuencia de lo anterior: (
)
( ) (
)
( )
(
(2.5)
)
Sustituyendo las expresiones (2.3) y (2.4) en la ecuación (2.2) obtenemos: ∫
(
) ( )
(
∫
)
∫ [ ( ) (
(
∫ )
) ( )
( )
(
)]
(
∫
) ( ) (2.6)
∫ [ ( ) ( ∫ [ (
)
) ( )
( )
(
( ) (
)
)] ( )
∫
(
(
)]
) ( )
O lo que es lo mismo: ∫ [ (
) ( )
( ) (
)
( )
(
)
(
) ( )]
(2.7)
Sabemos del cálculo integral que cualquier integrando cuya integral sea cero, debe ser también cero, por lo que la ecuación (2.7) puede reescribirse de la siguiente forma: (
) ( )
( ) (
)
( )
(
)
(
) ( )
(2.8)
Realizando una última simplificación y un acomodo de términos en la forma estándar llegamos a: (
)
( )
[ ( ) (
3
)]
(
) ( )
(2.9)
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Ejercicio 3 Enunciado Resuelve el problema de valor inicial: { Y toma
(
(3.1)
)
para hacer varias gráficas de superficie variando el parámetro . ¿Observas una onda que viaja?
Solución Como primer paso habremos de definir nuestras coordenadas características, las cuáles serán ( ). Ahora, para obtener una ecuación diferencial de la función ( de modo que ( ) derivadas y sustituciones correspondientes.
(
)
( )
(
(3.2)
( )
(3.3)
( )
)
y , ) hacemos las
(
)
(3.4)
Por lo anterior llegamos a la ecuación diferencial: (3.5) La cual es de variables separables. Note entonces que podemos multiplicar ambos lados por ∫
( )
∫
y después integrar. (3.6)
Recordemos que siempre que realicemos una integral parcial indefinida habremos de sumar una función arbitraria dependiente de la variable que no es la de integración. En este caso esta función es ( ). Retomando el problema, 4
Ricardo Alejos Ecuaciones Diferenciales Parciales tomando los resultados de las integrales de la expresión (3.6) llegamos a (3.7), y realizando el cambio de coordenadas correspondiente, a (3.8). ( ) (
(3.7) )
(3.8)
Aplicando las condiciones iniciales dictadas en (3.1), obtenemos: (
Por lo que ( )
y entonces (
)
[ ( )
(
) (
)
(3.9)
, dado (3.8) significa que: (
)
( )]
)
(3.10)
Exploremos ahora las gráficas que nos fueron pedidas en el enunciado del problema (Figura 2). Note que se puede ver una onda viajando de izquierda a derecha.
Figura 2. Gráfica de (
)
[
( )]
, (
[
)
( )]
y (
)
[
( )]
respectivamente.
Ejercicio 4 Enunciado Demuestre que el término de decaimiento en la ecuación de convección y decaimiento puede quitarse haciendo el cambio de variables dependientes .
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Solución La ecuación de convección y decaimiento tiene la forma de la expresión (4.1). Tomando en cuenta el cambio de variable , realizamos una sustitución en (4.1) para así obtener (4.2). Posteriormente realizamos las derivadas correspondientes para obtener (4.3). (4.1) ( ( Note entonces que al sumar
)
(
)
)
(
y multiplicar por
(4.2) )
(4.3)
a ambos lados de la ecuación (4.3) obtenemos (4.4). (4.4)
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