Ricardo Alejos Sistemas de Control Automático
Ejercicio E4.2 Enunciado Un sistema digital de audio se diseña para minimizar el efecto de perturbaciones y ruido, como se muestra en la figura E4.2. A modo de aproximación, se puede representar ( ) . (a) Calcúlese la sensibilidad del sistema debida a . (b) Calcúlese el efecto de la perturbación sobre . (c) ¿Qué valor de se seleccionaría para minimizar el efecto de la perturbación?
Solución Inciso (a) La sensibilidad de este sistema a , denotada por , se puede encontrar mediante la relación
Donde es la función de transferencia del sistema. Para encontrarla, primero note que podemos redibujar el diagrama de bloques de la siguiente forma:
Así bien, la sensibilidad del sistema a
(
)
(
)
es:
(
)
(
)
Inciso (b) Para encontrar el efecto de la perturbación sobre , primero anulemos la entrada haciendo , de modo que ahora podremos redibujar el diagrama de bloques de la siguiente forma:
Así bien, los efectos de sobre se pueden describir mediante la siguiente función de transferencia (también de la forma ( )):
Inciso (c) A partir de la expresión encontramos que para reducir sus efectos al máximo habrá que hacer muy grande. Note que: De tal suerte que podemos entonces encontrar fácilmente la función de transferencia de la forma ( ), donde es la ganancia de lazo abierto y la del lazo de retroalimentación. Así bien, dado que nuestra ganancia de lazo abierto es y la del lazo de retroalimentación es unitaria, nuestra función de transferencia queda:
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Problema P4.3 Enunciado Una de las variables más importantes que se deben controlar en sistemas industriales y químicos es la temperatura. En la figura P4.3 se muestra una representación sencilla de un sistema de control térmico [14]. La temperatura del proceso se controla mediante el calentador con una resistencia . Una representación aproximada de la dinámica relaciona linealmente la pérdida de calor en el proceso con la ). Esta relación se diferencia de temperatura ( mantiene si la diferencia de temperatura es relativamente pequeña y el almacenamiento de energía del calentador y las paredes del recipiente es despreciable. Así mismo, se supone que el voltaje conectado al calentador, , es proporcional a o ( ), donde es la constante del actuador. Entonces la respuesta linealizada del sistema de lazo abierto es: ( )
(
)
( )
( )
Solución Antes de comenzar el ejercicio, es buen ejercicio obtener el diagrama de bloques del sistema completo, mismo que podemos dibujar de la siguiente manera:
Note que la señal error ha sido bautizada como para evitar confusiones con el error del sistema definido como la diferencia entre la entrada y la salida:
dónde: , masa en el depósito, área de la superficie del depósito, constante del calor específico, una constante de dimensionalidad, y voltaje de salida del termopar. Determínese y compárese los sistemas de lazo abierto y de lazo cerrado para: (a) la sensibilidad a los cambios en la constante ; (b) la capacidad para reducir los efectos de una perturbación de ( ), y tipo escalón en la temperatura ambiente (c) el error en estado estacionario del controlador de temperatura para un cambio de escalón en la entrada, .
Ésta definición la utilizaremos durante el ejercicio, es muy importante diferenciar entre y , que por cierto, sólo son iguales cuando el factor de retroalimentación es unitario. Inciso (a) Para lazo abierto, la sensibilidad a los cambios de , denotado por , está dada por la expresión:
Donde es la función de transferencia de lazo abierto. Ésta puede ser encontrada con una estrategia similar a la que utilizamos en el problema anterior, observe entonces que podemos escribir de la siguiente forma: (
)
Ricardo Alejos Sistemas de Control Automático Siendo
. Así bien,
de las perturbaciones de temperatura por:
es:
(
) (
(
)
.
Ahora, para el sistema en lazo cerrado, la función de transferencia cambia un poco. Notarás en el diagrama presentado en el enunciado que el factor de retroalimentación es . Nosotros ya conocemos la función de transferencia para lazo abierto, de modo que podemos escribir la de lazo cerrado de la siguiente forma: .
/
Conocida función de transferencia, podemos ahora calcular ahora para el caso del sistema con lazo cerrado:
Note entonces que para , ésta tenderá a valer cero. En otras palabras, vea que con la retroalimentación podemos disminuir notablemente el efecto de las perturbaciones, cosa que es imposible con el sistema a lazo abierto, donde la relación es:
Inciso (c) * ( ) ( )+, el error del Siendo sistema en lazo abierto está definido como
Dónde )
(
/
/ .
(
/ .
)
están dadas
)
( (
,
(
)-
, así bien:
) (
)
Note entonces que para la sensibilidad siempre será menor que el caso de lazo cerrado. Inciso (b) En perspectiva del sistema en lazo cerrado, al anular la entrada podemos obtener la función de transferencia de la salida con respecto a la entrada ( ) de perturbaciones, donde la ganancia de lazo abierto es ( ) y la ganancia del lazo de retroalimentación es . Así bien, las afectaciones
)
Ahora, para encontrar la respuesta en estado estacionario, habremos de investigar cómo se comporta la función error cuando ya ha transcurrido mucho tiempo. Una de las propiedades de la transformada de Laplace es que en el límite en el dominio del tiempo: ( )
( )
Aplicado esto a la función error que acabamos de encontrar y aplicando un escalón de magnitud en la entrada ( ), podemos ver fácilmente que el error en estado estacionario es:
Ricardo Alejos Sistemas de Control Automático ( )
sobre ( )? (b) Determínese la sensibilidad del lazo cerrado para . (c) ¿Cuál es el error en estado estacionario cuando ( ) y ( ) ?
( ) (
). /
( (
) )
Ahora, para el caso de lazo cerrado, el error de la salida respecto a la entrada será:
Solución ( (
) )
Aplicando una entrada y aplicando el límite cuando el tiempo transcurrido tiende a infinito encontramos el error en estado estacionario: ( )
( ) (
( (
( (
Inciso (a) El efecto de la perturbación sobre se puede encontrar fácilmente anulando la entrada y tratando como entrada del sistema retroalimentado cuya ganancia de lazo abierto es ( ), la ganan)y cia del lazo de retroalimentación es ( la salida . Así bien, el efecto de en la salida está dado por la expresión: (
) ). / (
) )
Note que para minimizar este error al máximo, hay que hacer que y que .
)(
(
)
) )
(
)
) )
(
(
)
Inciso (b) La sensibilidad del sistema en lazo cerrado a denotado por , está dada por la expresión
,
Problema P4.7 Enunciado Un robot utiliza realimentación para controlar la orientación de cada eje de unión. El efecto de la carga varía en función de los objetos cargados y la posición extendida del brazo. El sistema se desviará por la carga que lleva en la pinza. Por tanto, el sistema se puede representar por la figura P4.7, donde el par de carga es . Supóngase que ( ) en la posición indicada. (a) ¿Cuál es el efecto de ( )
Donde es la función de transferencia del sistema completo, la cuál podemos obtener de forma sencilla identificando la ganancia de lazo abierto, que es ( ); y la ganancia del lazo de retroalimentación, que es . Así bien: (
( )
) (
(
)
) (
)
Ricardo Alejos Sistemas de Control Automรกtico Regresando a la expresiรณn de la sensibilidad, ahora tenemos que:
(
( , (
(
( (
)
(
)
) -
) (
(
)
)
( (
)
)
)
)
(
)
Inciso (c) El error estรก definido por la diferencia de la salida deseada (entrada) y la salida real, es decir:
Sabemos de antemano que ( ), es decir: (
(
(
, de modo que
(
)
(
(
) (
) )
(
)
)
)
)
Para las condiciones impuestas en el enunciado del ejercicio, es decir ( ) y ( ) , el error en estado estacionario serรก: ( ) (
(
( ) (
) (
)
) (
)
)( )
(
)
)