Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia
Tarea 01 Teoría de líneas de transmisión
Ejercicio 1
√ (
Enunciado
( )
)( )(
(
Una línea de transmisión tiene los siguientes parámetros por unidad de longitud:
(
) )
)
O lo que es lo mismo (
)
Ahora, ésta misma impedancia característica pero para una frecuencia de operación de : √ (
( )
)( )(
( (
Por simplicidad, se asume que estos cuatro parámetros son independientes a la frecuencia de operación. (a) Calcule la impedancia característica de la línea a ya . (b) Haga tres gráficas en función de la frecuencia, desde hasta , de , (constante de atenuación) y (constante de propagación).
) )
)
O lo que es lo mismo (
)
(b) Ahora, antes de hacer las gráficas de los parámetros requeridos, recordemos que están definidos como la parte real e imaginaria de la constante de propagación compleja :
Solución (a) Comenzaremos calculando la impedancia característica de la línea utilizando la expresión
√(
)(
)
Donde es la constante de atenuación y la de propagación (como se mencionó en el enunciado del problema).
√ Así bien, sustituyendo los valores de cada una de las impedancias de los componentes a , la impedancia característica es:
Así bien, las gráficas pedidas en el enunciado es presentan a continuación.
1
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia de la carga: (a) .
Characteristic Impedance of an Ideal Lossy Transmission Line 50.5 50
, (b)
y (c)
49.5
abs(Z ) [ ] 0
49 48.5 48 47.5 47 46.5 7 10
8
9
10
10
10
10
Frequency [Hz]
Solución La impedancia de entrada es
Attenuation Constant of an Ideal Lossy Transmission Line 0.189
a lo largo de la línea
0.1885
()
[rad/m]
0.188
0.1875
En este caso, la constante de propagación compleja es
0.187
0.1865
0.186
0.1855 7 10
8
9
10
10
[ √ [(
10
10
Frequency [Hz]
( )
)( (
)] )(
)]
Propagation Constant of an Ideal Lossy Transmission Line 400 350
La impedancia de carga para una Resistencia en serie con un inductor es , así bien, la impedancia de carga para la frecuencia pedida es:
300
[rad/m]
250 200
(
150 100
)(
)
(
)
50 0 7 10
8
9
10
10
La impedancia característica para esta línea de transmisión fue obtenida en el ejercicio anterior:
10
10
Frequency [Hz]
(
Ejercicio 2
)
Así bien, al emplear estos datos sobre la expresión para calcular la impedancia de entrada, obtenemos:
Enunciado La línea de transmisión con pérdidas ilustrada a continuación tiene los mismos parámetros por unidad de longitud que el problema anterior. La impedancia de carga consiste de un resistor de en serie con un inductor de . Calcule la impedancia de entrada a , a las siguientes distancias 2
a)
(
b)
(
c)
(
)
( )
)
) (
(
) )
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia Y para
Ejercicio 3 Enunciado
(
Para el siguiente circuito con línea de transmisión, calcule el coeficiente de reflexión en la carga, , el en la línea, la impedancia de entrada en la entrada de la línea. Asuma que , ( ) y (a) ; (b) .
) (
(
)
(
) (
)
( (
) )
)
Ejercicio 4 Enunciado Una línea de transmisión sin pérdidas está conectada a . (a) Si se mide un de en la carga, encuentre los dos valores posibles para . (b) ¿Cuál es el valor del SWR cuando se mide a una distancia desde la carga?
Solución
Solución
El coeficiente de reflexión en la carga se puede calcular utilizando la expresión
(a) Sabemos que la relación de onda estacionaria está definida así: | | | |
Sustituyendo los datos dados en el enunciado, encontramos el valor de
Y en este caso su valor es dulo de sería:
, de forma que el mó-
| | Podemos aprovechar que tenemos el coeficiente de reflexión para calcular el de a siguiente forma:
Pero a su vez, el coeficiente de reflexión en la carga debe corresponder a:
| | | | La impedancia de entrada se calcula:
Para ambos valores . Resolviendo la igualdad anterior para estos dos valores encontramos los dos posibles valores de la impedancia característica, que son:
() Así bien, para (
)
(
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (b) El valor de la impedancia de entrada medida a una distancia de es el mismo que en el resto
)
3
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia | | | |
de la línea de transmisión, pues es éste no depende de la longitud.
Ejercicio 5
Finalmente, calculamos la impedancia de entrada al final de la línea ( )
Enunciado Una línea coaxial tiene una impedancia característica , una longitud física de , y está rellena con un dieléctrico cuyo . Si su frecuencia de operación es y está conectada a una impedancia , calcule el coeficiente de reflexión en la carga, , el coeficiente de reflexión en la entrada, , el SWR en la línea, y la impedancia en la entrada de la línea coaxial, .
() (
)
(
)
(
)
Solución
Ejercicio 6
Calculamos primero el coeficiente de reflexión en la carga :
Enunciado
(
) )
(
( (
(
) )
)
El siguiente circuito con líneas de transmisión tiene , , , . Calcule la potencia promedio entregada a la carga si: (a) ; (b) . Posteriormente, lo calculamos per ahora a una distancia de desde la carga: (
)
Para poder hacer éste cálculo expresaremos la longitud en términos de lambda para así poder cancelar los términos .
( (
(
) )
(
Solución El procedimiento a seguir será primero obtener el voltaje a la entrada de la línea de transmisión, para así poder trabajar el circuito como en los ejercicios anteriores. El voltaje a una distancia de la carga se puede obtener mediante la expresión que corresponde al divisor de voltaje:
)
) Para el primer caso (a) donde cia de entrada es:
Note que la magnitud no cambia, ya que estamos en un caso de una línea de transmisión sin pérdidas. El cálculo del
(
se realiza de la siguiente forma: 4
)
(
)
, la impedan(
(
) )
( (
) )
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia (
)
Para la longitud del inciso (b) se entregará la misma potencia a la carga, ya que estamos tratando con una línea sin pérdidas.
Así bien, al ejecutar el divisor de voltaje, obtenemos el voltaje en el nodo de entrada de la línea de transmisión (
Ejercicio 7
)
√ )( (
)
Enunciado Un radio transmisor de se conecta a una antena a través de una línea coaxial de . La antena puede ser representada por un resistor de en serie con un inductor cuando se opera a . Si el transmisor puede entregar cuando está conectada a una carga acoplada. (a) ¿Cuál es el valor equivalente de la fuente de voltaje ?; (b) ¿Cuánta potencia es entregada a la antena a ?
Ya teniendo el voltaje de entrada en la línea, obtendremos ahora el voltaje incidente en la carga (ya que la potencia entregada corresponde únicamente a la parte incidente del voltaje). Sabemos que si el voltaje a lo largo de la línea es: ()
(
)
Entonces podemos escribir el voltaje incidente en función del voltaje en la línea: () (
)
Para el caso descrito en el inciso (a):
Solución (
Para encontrar el valor equivalente de la fuente, hagamos el supuesto entonces de que la carga está completamente acoplada a la línea de transmisión, es decir:
)
(
) (
) Así bien, podemos utilizar la expresión de potencia promedio para obtener el voltaje de entrada de la línea de transmisión y la carga :
Una vez habiendo obtenido el voltaje incidente, es posible ahora calcular la potencia entregada a la carga: (
| | )
(
√
5
(
| | )
| | )
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia
(
( (
(
Dado que la línea está correctamente acoplada, la impedancia de entrada de la línea será también de , de modo que para encontrar el valor de la fuente equivalente del transmisor podemos utilizar el divisor de voltaje conformado por la impedancia de entrada y la impedancia de salida de la fuente:
(
)) ) )
También necesitaremos calcular el coeficiente de reflexión en la carga :
)
Donde es el voltaje en el nodo de entrada de la línea de transmisión. Así bien:
(
)
Y ahora podemos calcular el voltaje incidente en la carga : Ya conociendo el voltaje de la fuente, ahora podemos calcular la potencia entregada a la carga. Para facilitar los cálculos hagamos que la longitud de la línea de transmisión tenga un valor de (podemos hacer esta suposición ya que la potencia entregada es independiente de la longitud de la línea para el caso sin pérdidas), así bien, podemos seguir el mismo procedimiento que el ejercicio anterior.
( (
) ( ( (
(
(
() )
(
(
)
(
) )
( (
) )
Recordemos ahora que la tangente de tiende a infinito, de modo que podemos simplificar la expresión a ( (
)
)
(
)
(
)
)
)
Por lo tanto, la potencia entregada a la carga es:
Primero obtengamos la impedancia de entrada de la línea, que después utilizaremos como parte del divisor de voltaje.
(
)
)
Ahora ejecutamos el divisor de voltaje
6
| | )
)