Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia
Tarea 02 Análisis en el dominio de la frecuencia
Problema 1 Enunciado Para el siguiente circuito concentrado, obtenga las fórmulas para calcular sus parámetros S correspondientes al ser medidos con respecto a una impedancia de referencia .
Solución Recordemos que los parámetros S están definidos de tal forma que
dónde
Vector de onda reflejada. Vector de onda incidente. Matriz de parámetros S. Lo anterior representado matricialmente para una red de dos puertos es: [
]
[
][
]
Así bien podemos encontrar los parámetros S de la red del enunciado con las expresiones: |
|
|
|
1
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia Las ondas de voltaje están ubicadas de la siguiente forma en el circuito:
Calculemos primero y , para ello habremos de hacer que la onda incidente en el puerto dos sea . Note que esto último se logra poniendo una carga con valor de en el puerto 2. Con ésta condición el circuito queda de la siguiente forma:
El primer parámetro a calcular será entonces . Recordemos que los elementos de la diagonal de la matriz de parámetros S, es decir , son los coeficientes de reflexión del puerto indicado en sus subíndices ( ) bajo la condición de haber acoplado el resto de los puertos del sistema. Así bien:
Donde
es la impedancia de entrada medida desde el puerto 1 y puede ser calculada como: [
Ahora calculemos
(
. Para éste caso note que como
)]
, significa que
, de modo que:
Observe que se puede obtener con el divisor de voltaje formado por la impedancia mientras que el voltaje incidente se puede obtener como : {[
Pero recuerde que
] [
(
y el paralelo
,
)]}
para la condición establecida, así bien, tras hacer algo de álgebra llegamos a que:
(
)
Por la simetría del circuito, habremos de intuir que haciendo un procedimiento similar, pero ahora con la condición , encontraremos que y que . Así bien, en general:
2
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia
(
)
Dónde [
(
)]
Ejercicio 2 Enunciado El siguiente circuito en es un filtro paso-bajo que utiliza , , y . Utilizando las fórmulas del problema anterior (tomando ), grafique la magnitud y la fase de y en un intervalo de frecuencia de a (utilice Matlab o cualquier otro programa similar).
Solución Encontremos las impedancias de las diferentes ramas LC presentes en el circuito. En primer lugar, la impedancia del circuito LC en serie compuesto por los componentes de valor y tiene una impedancia que podemos calcular de la siguiente forma:
Ahora calculemos la impedancia del circuito LC en paralelo
:
Con éstas expresiones y las encontradas en el ejercicio 1, podemos escribir un programa que nos ayude a obtener las gráficas pedidas en el enunciado. En éste caso, presento aquí un código para tal fin para correrse en Matlab. % X = [L Cp Lp C] function [S11,S21]=pi_LC6(X)
3
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia Zo=50; fi = 10; % Frecuencia inicial ff = 10e9; % Frecuencia final fp = 300; % Número de puntos de frecuencia f = linspace (fi, ff, fp); % Vector de frecuencia w = 2*pi*f; % Frecuencia angular (rad/s) j = sqrt(-1); %Unidad imaginaria s = j*w; L =X(1); Cp = X(2); Lp = X(3); C = X(4); ZL = s*L; ZCp = 1./(s*Cp); ZLp = s*Lp; ZC = 1./(s*C); Zp=ZC+ZLp; Zs=((ZCp.^-1)+(ZL.^-1)).^-1; Zi=(Zp.^-1+(Zs+(Zp.^-1+Zo.^-1).^-1).^-1).^-1; S11=(Zi-Zo)./(Zi+Zo); S12=(1+S11).*(Zp.^-1+Zo.^-1).^-1./(Zs+(Zp.^-1+Zo.^-1).^-1); subplot(2,2,1); plot(f./1e9,abs(S11)); grid on; ylabel('|S_{11}|'); xlabel('frequency (GHz)'); subplot(2,2,2); plot(f./1e9,angle(S11)*(180/pi)); grid on; ylabel('fase de S_{11} (grados)'); xlabel('frequency (GHz)'); subplot(2,2,3); plot(f./1e9,abs(S12)); grid on; ylabel('|S_{12}|'); xlabel('frequency (GHz)'); subplot(2,2,4); plot(f./1e9,angle(S12)*(180/pi)); grid on; ylabel('fase de S_{12} (grados)'); xlabel('frequency (GHz)');
Al declarar un vector de entrada con los valores correspondientes de X, obtenemos las siguientes gráficas: 4
Ricardo Alejos Electr贸nica de Radiofrecuencia
1
200 150 (grados)
0.8
fase de S
|S
11
11
|
0.6
0.4
0.2
100 50 0 -50 -100 -150
0
0
1
2
3
4 5 6 frequency (GHz)
7
8
9
-200
10
1
0
1
2
3
4 5 6 frequency (GHz)
7
8
9
10
0
1
2
3
4 5 6 frequency (GHz)
7
8
9
10
200 150 (grados)
0.8
fase de S
|S
12
12
|
0.6
0.4
0.2
100 50 0 -50 -100 -150
0
0
1
2
3
4 5 6 frequency (GHz)
7
8
9
10
-200
Ejercicio 3 Enunciado La red de dos puertos mostrada a continuaci贸n funciona de tal forma que los voltajes y las corrientes de los puertos tienen los siguientes valores (medidos con respecto a una impedancia de referencia ):
5
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia Calcule las impedancias de entrada de cada puerto ( cada puerto (es decir: , , y ).
y
), y las ondas de voltaje incidentes y reflejadas de
Solución Para encontrar las impedancias de entrada bastará con aplicar la ley de Ohm en cada puerto. Así entonces:
Ahora, para encontrar las ondas de voltaje reflejado e incidente podemos utilizar la expresión (siendo el voltaje presente en el puerto ), y para ello primero habremos de calcular el coeficiente de reflexión de cada puerto. Esto último es sencillo ya que contamos con las impedancias de entrada de cada puerto, así bien:
Ya teniendo ambos coeficientes de reflexión, ahora procedemos a calcular los voltajes incidentes como habíamos acordado anteriormente:
6
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia Para calcular los voltajes reflejados puerto ):
y
utilizaremos la expresión
(siendo
el voltaje en el
Ejercicio 4 Enunciado Una red de cuatro puertos tiene sus parámetros S como se muestran a continuación (medidos a una frecuencia de operación dada).
[
]
(a) ¿Es esta red es recíproca?; (b) ¿Es esta red una red sin pérdidas?; (c) ¿Cuáles son las pérdidas de retorno en el puerto 1 cuando todos los demás puertos están acoplados?; (d) ¿Cuáles son las pérdidas de inserción y el retraso de fase (en grados) entre los puertos 2 y 4, cuando el resto de los puertos terminan en una carga acoplada?; (e) ¿Cuáles son las pérdidas de retorno del puerto 1 si el puerto 3 termina en un corto-circuito y el resto de los puertos terminan en cargas acopladas?.
Solución Inciso (a) Note que se cumple que
, de modo que la matriz es simétrica y por lo tanto, recíproca.
Inciso (b) La condición para que la red no tenga pérdidas conociendo sus parámetros S, es que la matriz de parámetros S sea unitaria, es decir . Lo anterior también significa que ∑ Se puede demostrar que para el caso de una matriz compleja simétrica y además unitaria:
7
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia ∑|
|
Esto quiere decir que la suma del cuadrado de las magnitudes de una columna debe ser igual a . Sin embargo, para la matriz S descrita en el enunciado del ejercicio, para la primer (es decir, ) columna sucede que ∑|
|
De modo que esta matriz S no es unitaria, y por lo tanto la red sí tiene pérdidas. Inciso (c) La cantidad de pérdidas de retorno denotada por
(por su significado en inglés Return Loss) está definida por:
De modo que para poder conseguir las pérdidas de retorno del puerto 1 ( ) de antemano habremos de calcular el coeficiente de reflexión para dicho puerto ( ). Pero observe que para la condición en que todos los puertos están acoplados salvo el puerto 1 (esto por la definición de los parámetros S) y entonces: |
Inciso (d) La cantidad pérdidas de inserción denotadas por
|
(por su significado en inglés Insertion Loss) está definida por:
De modo que para poder calcular las pérdidas de inserción del puerto 2 al 4 ( ) habrá que calcular primero el coeficiente de transmisión del puerto 2 al 4 respectivamente ( ). Para el caso en que todos los puertos terminan en una carga acoplada salvo el puerto 2, se cumple que (esto por la definición de los parámetros S) y entonces: |
|
El coeficiente de transmisión también contiene información acerca del ángulo de fase que existe entre el puerto 2 y el 4 . De hecho en general se puede comprobar que para un coeficiente de transmisión entre dos puertos h ( ) de la forma , es la ganancia de voltaje de un puerto a otro y es el ángulo de desfase entre dichos puertos siempre y cuando todos los puertos de la red están acoplados salvo el puerto . En conocimiento de esto último, podemos obtener de la siguiente manera: (
8
)
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia
Inciso (e) Las pérdidas de retorno se definieron anteriormente en la solución al inciso (c), ahora hay que calcularlo para el puerto 1 cuando el puerto 3 tiene un corto-circuito en sus terminales ( ) y se acopla el resto de los puertos (haciendo esto que ). Dadas estas condiciones habrá que calcular . Acorde con la definición de los parámetros S y aplicando las condiciones dadas en el párrafo anterior:
[
]
[
][
]
De aquí podemos extraer dos ecuaciones con las cuales podemos armar un sistema de dos ecuaciones: { A simple vista podríamos decir que se trata de un sistema con más incógnitas que ecuaciones, pero recordemos que una de las condiciones fue que , pero además , y que por lo tanto y ahora sí podemos resolver nuestro sistema de ecuaciones. { Tras hacer algo de álgebra para resolver este sistema de ecuaciones, encontramos que:
Habiendo obtenido este resultado, es ahora pan comido calcular las pérdidas de retorno: |
|
Ejercicio 5 Enunciado Utilizando parámetros ABCD, calcule el voltaje en la carga del siguiente circuito cuando la frecuencia de entrada es de . Asuma que , , , , ,y .
9
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia
Solución Una estrategia rápida para obtener el voltaje en la carga es representar este circuito como dos redes de dos puertos en cascada utilizando parámetros ABCD conectadas a una carga . Comencemos pues a hacer dicha transformación. Tanto la resistencia de la fuente como la línea de transmisión cuentan con sus parámetros ABCD al representarse como redes de dos puertos, como se presenta a continuación:
Note entonces que el voltaje en la carga es el mismo que el voltaje de salida de la segunda red, es decir, de la línea de transmisión, por lo tanto podemos expresar dicho voltaje en términos del voltaje de entrada con la expresión: [ ]
[
][
][ ]
Multiplicando ambas matrices de parámetros ABCD, obtenemos: [ ]
[
][ ]
Y de aquí podemos obtener el sistema de ecuaciones: { Note que conocemos todas las cantidades que aparecen en la primera ecuación (o al menos podemos calcularlas), salvo quizá , pero es aquí donde podemos aplicar un pequeño truco: resulta ser que . Al hacer la sustitución sobre la primera ecuación obtenemos:
10
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia Que ahora sí, se trata de una ecuación con una sola incógnita. Ahora comienza el trabajo duro, hay que calcular los parámetros que nos faltan. Quizá uno de los factores más laboriosos de encontrar será , así que comenzaremos por ahí. Notarás que nos han dado como dato la frecuencia de operación y la permeabilidad efectiva transmisión. Estos datos son suficientes para calcular ya que precisamente:
Siendo
la frecuencia de operación. Mientras que la velocidad de propagación
de la línea de
es:
√ Combinando ambas expresiones, obtenemos √
Disponiendo de los cuales son:
ya el resto es más sencillo, podemos obtener los parámetros ABCD de la línea de transmisión,
Los otros parámetros que aparecen en la ecuación ya corresponden a la red con una resistencia en serie ( dichos parámetros son:
)y
Antes de utilizar la ecuación que habíamos quedado, manipulémosla un poco para poder expresar el resultado de forma más directa. Resolvamos entonces para
[
]
11
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Ejercicio 6 Enunciado Utilizando los parámetros ABCD del problema 5, y tomando , , ,y , esboze una gráfica de la magnitud y la fase del voltaje en la carga desde hasta cuando: (a) , ; (b) , . Utilice Matlab o cualquier otro software similar.
Solución Inciso (a) Para el caso en que siguientes:
y
, las gráficas que se obtuvieron para el voltaje de salida fueron las
1.3
200
1.28
150
1.26
100 Fase de V [Grados]
L
1.22
L
|V | [V]
1.24
1.2 1.18
50 0 -50 -100
1.16
-150
1.14
0
2
Inciso (b) Para el caso en que siguientes:
4 6 Frecuencia [GHz]
8
y
-200
10
0
2
4 6 Frecuencia [GHz]
8
10
, las gráficas que se obtuvieron para el voltaje de salida fueron las
0.75
200 150
0.75
Fase de V [Grados]
100
L
L
|V | [V]
0.75
0.75
50 0 -50 -100
0.75 -150 0.75
0
2
4 6 Frecuencia [GHz]
8
10
-200
0
2
4 6 Frecuencia [GHz]
El programa Para realizar las gráficas anteriores, se escribió una breve rutina en Matlab: %Parámetros del circuito f=linspace(100E6,10E9,1000); B= (2*pi*f*2)/(0.3E9);
12
8
10
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia l=0.025; Z0=50; RL=50; RS=50; VS=1.5*exp(-0*1i); %Parámetros ABCD de la resistencia RS A1=1; B1=RS; C1=0; D1=1; %Parámetros ABCD de la línea de transmisión A2=cos(B*l); B2=1i*Z0*sin(B*l); C2=1i*(Z0^-1)*sin(B*l); D2=A2; %Obtención del voltaje en la carga VL VL=VS./(A1*A2+B1*C2+(A1*B2+B1*D2)/RL); %Gráfica de la magnitud de VL subplot(1,2,1); plot(f/1E9,abs(VL)); grid on; ylabel('|V_L| [V]'); xlabel('Frecuencia [GHz]'); %Gráfica de la fase de VL subplot(1,2,2); plot(f/1E9,angle(VL)*180/pi); grid on; ylabel('Fase de V_L [Grados]'); xlabel('Frecuencia [GHz]');
Recuerde que para el inciso (a) y (b) se utilizaron valores de RS y RL distintos.
Ejercicio 7 Enunciado Utilizando de nuevo los parámetros ABCD del problema 5 y tomando , , , y , grafique la magnitud y la fase del voltaje en la carga desde hasta cuando: (a) , ; (b) , . Utilice Matlab o cualquier otro software similar.
Solución Inciso (a) Para la condición en que siguientes gráficas.
,
, al variar la longitud de la línea de transmisión obtenemos las
13
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia 1.3
200
1.28
150
1.26
100 Fase de V [Grados]
L
1.22
L
|V | [V]
1.24
1.2 1.18
50 0 -50 -100
1.16
-150
1.14
0
5
10
-200
15
0
5
Distancia l [cm]
10
15
Distancia l [cm]
Note que hay un mínimo de voltaje aproximadamente cada , y esto es precisamente porque la longitud de onda es . Recordemos que la distancia entre un máximo y un mínimo de voltaje es . Inciso (b) En contraste, cuando
,
, al variar la longitud de la línea de transmisión, obtenemos:
0.75
200 150
0.75
Fase de V [Grados]
100
L
L
|V | [V]
0.75
0.75
50 0 -50 -100
0.75 -150 0.75
0
5
10
15
-200
0
Distancia l [cm]
5
10
15
Distancia l [cm]
El programa El programa utilizado para hacer estas gráficas es muy similar al anterior, con la única variante de que ahora el parámetro a variar es la longitud en vez de la frecuencia. Véalo usted mismo: %Parámetros del circuito f=1E9; B= (2*pi*f*2)/(0.3E9); l=linspace(1E-3,150E-3,1000); Z0=50; RL=50; RS=50; VS=1.5*exp(-0*1i); %Parámetros ABCD de la resistencia RS A1=1; B1=RS; C1=0; D1=1;
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Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia %Parámetros ABCD de la línea de transmisión A2=cos(B*l); B2=1i*Z0*sin(B*l); C2=1i*(Z0^-1)*sin(B*l); D2=A2; %Obtención del voltaje en la carga VL VL=VS./(A1*A2+B1*C2+(A1*B2+B1*D2)/RL); %Gráfica de la magnitud de VL subplot(1,2,1); plot(l/1E-2,abs(VL)); grid on; ylabel('|V_L| [V]'); xlabel('Distancia l [cm]'); %Gráfica de la fase de VL subplot(1,2,2); plot(l/1E-2,angle(VL)*180/pi); grid on; ylabel('Fase de V_L [Grados]'); xlabel('Distancia l [cm]');
Recuerde que para cada inciso es necesario cambiar RL y RS.
Ejercicio 8 Enunciado Utilizando parámetros ABCD, calcule el voltaje en la carga del siguiente circuito cuando la frecuencia de la señal de entrada es . Asuma que , , , , , y que .
Solución De forma muy similar al ejercicio 5, empleando los parámetros ABCD de cada una de las cuatro redes de dos puertos (la resistencia , la bobina y las dos líneas de transmisión), podemos llegar a una expresión que nos permita calcular el voltaje en la salida rápidamente. En general, los parámetros de esas cuatro partes son:
15
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia
Paro además agregaremos una matriz más para representar la carga como una red de dos puertos, cuya corriente de salida es cero (pues estaría desconectado), así bien: [ ]
[
][
][
][
][
][ ]
Donde los elementos de la quinta matriz están definidos por la red:
En conocimiento de los elementos de todas las matrices, podemos ahora obtener los parámetros totales, y así entonces: [ ] El parámetro es cero:
[
][
]
está definido en función del voltaje de salida y el voltaje de entrada cuando la corriente de salida
| Entonces podemos obtener el voltaje de carga con la siguiente expresión:
16
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia Al hacer todos los cálculos numéricos en Matlab, obtenemos:
El programa utilizado para hacer los cálculos fue el siguiente: %Parámetros del circuito f=1E9; B=(2*pi*f*2)/(0.3E9); l=0.025; Z0=50; RL=75; RS=25; L=1E-9; VS=1.5*exp(-0*1i); %Parámetros ABCD de la resistencia RS A1=1; B1=RS; C1=0; D1=1; %Parámetros ABCD de la línea de transmisión A2=cos(B*(l/2)); B2=1i*Z0*sin(B*(l/2)); C2=1i*(Z0^-1)*sin(B*(l/2)); D2=A2; %Parámetros ABCD de la inductancia L A3=1; B3=1i*2*pi*f*L; C3=0; D3=1; %Parámetros ABCD de la línea de transmisión A4=cos(B*(l/2)); B4=1i*Z0*sin(B*(l/2)); C4=1i*(Z0^-1)*sin(B*(l/2)); D4=A2; %Parámetros ABCD de la carga A5=1; B5=0; C5=1/RL; D5=1; %Definición de ABCD1=[A1 B1 ; ABCD2=[A2 B2 ; ABCD3=[A3 B3 ; ABCD4=[A4 B4 ; ABCD5=[A5 B5 ;
las matrices C1 D1]; C2 D2]; C3 D3]; C4 D4]; C5 D5];
%Matriz total
17
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia ABCDT=ABCD1*ABCD2*ABCD3*ABCD4*ABCD5; %Como la corriente es cero en el último puerto podemos utilizar el %parámetro A total, ya que precisamente el parámetro A está definido como %AT=VS/VL cuando IL=0 y por lo tanto VL=VS/AT. VL=VS/ABCDT(1,1); %Obtención de la magnitud del voltaje abs(VL) %Obtención del ángulo de desfase angle(VL)*180/pi
Ejercicio 9 Enunciado Utilizando de nuevo los parámetros ABCD del problema 8, tomando , , , , , grafique la magnitud y la fase del voltaje en la carga desde hasta cuando: (a) , ; (b) , . Utilice Matlab o cualquier otro software similar.
Solución Inciso (a) Para el caso en que
y
, las gráficas para la magnitud y la fase del voltaje
1.3
son:
200 150
1.25
100
Fase de V [Grados]
L
1.15
L
|V | [V]
1.2
1.1
1.05
0 -50 -100
1
0.95
50
-150
0
Inciso (b) Para el caso en que
2
4 6 Frecuencia [GHz]
y
8
10
-200
0
2
4 6 Frecuencia [GHz]
8
10
, las gráficas para la magnitud y la fase del voltaje
18
son:
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia 0.76
200
0.74
150 100
Fase de V [Grados]
50
L
0.7
L
|V | [V]
0.72
0.68
0 -50
0.66 -100 0.64
0.62
-150
0
2
4 6 Frecuencia [GHz]
8
10
-200
0
2
Programa El programa utilizado para generar estas gráficas es: %Parámetros del circuito l=0.025; Z0=50; RL=75; RS=25; L=1E-9; VS=1.5*exp(-0*1i); fmin=100E6; fmax=10E9; N=1000; df=(fmax-fmin)/N; VL=zeros(1000,1); for k=1:N %Definición del vector de frecuencias f(k)=fmin+(k-1)*df; %Cálculo de beta B=(2*pi*f(k)*2)/(0.3E9); %Parámetros ABCD de la resistencia RS A1=1; B1=RS; C1=0; D1=1; %Parámetros ABCD de la línea de transmisión A2=cos(B*(l/2)); B2=1i*Z0*sin(B*(l/2)); C2=1i*(Z0^-1)*sin(B*(l/2)); D2=A2;
19
4 6 Frecuencia [GHz]
8
10
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia %Parámetros ABCD de la inductancia L A3=1; B3=1i*2*pi*f(k)*L; C3=0; D3=1; %Parámetros ABCD de la línea de transmisión A4=cos(B*(l/2)); B4=1i*Z0*sin(B*(l/2)); C4=1i*(Z0^-1)*sin(B*(l/2)); D4=A2; %Parámetros ABCD de la carga A5=1; B5=0; C5=1/RL; D5=1; %Definición de ABCD1=[A1 B1 ; ABCD2=[A2 B2 ; ABCD3=[A3 B3 ; ABCD4=[A4 B4 ; ABCD5=[A5 B5 ;
las matrices C1 D1]; C2 D2]; C3 D3]; C4 D4]; C5 D5];
%Matriz total ABCDT=ABCD1*ABCD2*ABCD3*ABCD4*ABCD5; %Como la corriente es cero en el último puerto podemos utilizar el %parámetro A total, ya que precisamente el parámetro A está definido como %AT=VS/VL cuando IL=0 y por lo tanto VL=VS/AT. VL(k)=VS/ABCDT(1,1); end %Gráfica de la magnitud de VL subplot(1,2,1); plot(f/1E9,abs(VL)); grid on; ylabel('|V_L| [V]'); xlabel('Frecuencia [GHz]'); %Gráfica de la fase de VL subplot(1,2,2); plot(f/1E9,angle(VL)*180/pi); grid on; ylabel('Fase de V_L [Grados]'); xlabel('Frecuencia [GHz]');
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Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia
Ejercicio 10 Enunciado Utilizando de nuevo los parámetros ABCD del problema 8, y tomando , , , y , grafique la magnitud y la fase del voltaje en la carga desde hasta cuando: (a) , ; (b) , . Utilice Matlab o cualquier otro software similar.
Solución Inciso (a) Para el caso en que
y
, las gráficas para la magnitud y la fase del voltaje
1.3
200
1.28
150
1.26
100
Fase de V [Grados]
L
1.22
L
|V | [V]
1.24
1.2 1.18
50 0 -50 -100
1.16
-150
1.14
0
50
100
Inciso (b) Para el caso en que
150 200 Longitud [cm]
250
y
-200
300
0
50
100
150 200 Longitud [cm]
250
300
, las gráficas para la magnitud y la fase del voltaje
0.7485
200 150
0.7485
Fase de V [Grados]
100
L
L
|V | [V]
0.7485
0.7485
50 0 -50 -100
0.7485 -150 0.7485
son:
0
50
100
150 200 Longitud [cm]
250
300
-200
0
El programa El programa utilizado para generar las gráficas anteriores es: %Parámetros del circuito
21
50
100
150 200 Longitud [cm]
250
300
son:
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia f=1E9; Z0=50; RL=50; RS=50; L=1E-9; VS=1.5*exp(-0*1i); lmin=10E-3; lmax=300E-3; N=1000; dl=(lmax-lmin)/N; VL=zeros(1000,1); for k=1:N %Definición del vector de frecuencias l(k)=lmin+(k-1)*dl; %Cálculo de beta B=(2*pi*f*2)/(0.3E9); %Parámetros ABCD de la resistencia RS A1=1; B1=RS; C1=0; D1=1; %Parámetros ABCD de la línea de transmisión A2=cos(B*(l(k)/2)); B2=1i*Z0*sin(B*(l(k)/2)); C2=1i*(Z0^-1)*sin(B*(l(k)/2)); D2=A2; %Parámetros ABCD de la inductancia L A3=1; B3=1i*2*pi*f*L; C3=0; D3=1; %Parámetros ABCD de la línea de transmisión A4=cos(B*(l(k)/2)); B4=1i*Z0*sin(B*(l(k)/2)); C4=1i*(Z0^-1)*sin(B*(l(k)/2)); D4=A2; %Parámetros ABCD de la carga A5=1; B5=0; C5=1/RL; D5=1; %Definición de las matrices ABCD1=[A1 B1 ; C1 D1]; ABCD2=[A2 B2 ; C2 D2];
22
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia ABCD3=[A3 B3 ; C3 D3]; ABCD4=[A4 B4 ; C4 D4]; ABCD5=[A5 B5 ; C5 D5]; %Matriz total ABCDT=ABCD1*ABCD2*ABCD3*ABCD4*ABCD5; %Como la corriente es cero en el último puerto podemos utilizar el %parámetro A total, ya que precisamente el parámetro A está definido como %AT=VS/VL cuando IL=0 y por lo tanto VL=VS/AT. VL(k)=VS/ABCDT(1,1); end %Gráfica de la magnitud de VL subplot(1,2,1); plot(l/1E-3,abs(VL)); grid on; ylabel('|V_L| [V]'); xlabel('Longitud [cm]'); %Gráfica de la fase de VL subplot(1,2,2); plot(l/1E-3,angle(VL)*180/pi); grid on; ylabel('Fase de V_L [Grados]'); xlabel('Longitud [cm]');
Ejercicio 11 Enunciado Una resistencia debe estar conectada a una línea de transmisión cuya impedancia característica es , longitud física , y una constante dieléctrica efectiva . Para evitar reflexiones a la frecuencia de operación , un transformador de impedancias de cuarto de onda con la misma se inserta entre la línea de transmisión y la carga (vea el circuito de abajo). Asuma que ,y . (a) Encuentre la impedancia característica requerida de un transformador de cuarto de onda para lograr un acoplamiento perfecto a , (b) Utilizando los parámetros ABCD y Matlab, grafique la magnitud y la fase de la fuente de corriente antes y después de insertar el transformador de cuarto de onda, desde hasta .
Solución Inciso (a) La impedancia característica del transformador de cuarto de onda está dado por el promedio geométrico de las impedancias a acoplar, es decir: √
√
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Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia La longitud del transformador debe ser, como su propio nombre lo dice, de un cuarto de la longitud de onda . La longitud de onda se puede calcular como se muestra a continuación:
√
√
Por lo tanto, la longitud de nuestro transformador de cuarto de onda debe ser:
Inciso (b) Para el caso en que no se tiene el transformador de cuarto de onda instalado en el circuito, la forma de onda de la corriente de entrada es: 12.5
15
12 10
11.5
Fase de I [Grados]
11
S
10
S
|I | [mA]
10.5
9.5 9 8.5
5
0
-5
-10
8 7.5
0
1
2 3 4 Frecuencia [GHz]
5
6
-15
0
1
2 3 4 Frecuencia [GHz]
El programa utilizado para generar estas gráficas es: %Parámetros del circuito VS=1*exp(-0*1i); Ee=3.6; RL=80; RS=50; l1=150E-3; Z01=50; l2=0.3E9/(4*3E9*sqrt(Ee)); Z02=sqrt(Z01*RL); %Inicializaciones y definiciones para el ciclo de cálculos fmin=60E6; fmax=6E9; N=1000; df=(fmax-fmin)/N; f=zeros(1000,1); VL=zeros(1000,1); IL=zeros(1000,1);
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5
6
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia IS=zeros(1000,1); for k=1:N %Definición del vector de frecuencias f(k)=fmin+(k-1)*df; %Cálculo de beta B=(2*pi*f(k)*sqrt(Ee))/(0.3E9); %Parámetros ABCD de la resistencia RS A1=1; B1=RS; C1=0; D1=1; %Parámetros ABCD de la línea de transmisión A2=cos(B*(l1)); B2=1i*Z01*sin(B*(l1)); C2=1i*(Z01^-1)*sin(B*(l1)); D2=A2; %Parámetros ABCD de la carga A3=1; B3=0; C3=1/RL; D3=1; %Definición de ABCD1=[A1 B1 ; ABCD2=[A2 B2 ; ABCD3=[A3 B3 ;
las matrices C1 D1]; C2 D2]; C3 D3];
%Matriz total ABCDT=ABCD1*ABCD2*ABCD3; %Como la corriente es cero en el último puerto podemos utilizar el %parámetro A total, ya que precisamente el parámetro A está definido como %AT=VS/VL cuando IL=0 y por lo tanto VL=VS/AT. VL=VS/ABCDT(1,1); %Conociendo VL, es posible calcular la corriente en la fuente IL %utilizando el parámetro CT2: IS(k)=VL*ABCDT(2,1); end %Gráfica de la magnitud de VL subplot(1,2,1); plot(f/1E9,abs(IS)/1E-3); grid on; ylabel('|I_S| [mA]'); xlabel('Frecuencia [GHz]');
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Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia %Gráfica de la fase de VL subplot(1,2,2); plot(f/1E9,angle(IS)*180/pi); grid on; ylabel('Fase de I_S [Grados]'); xlabel('Frecuencia [GHz]');
Inciso (c) Una vez que se ha instalado el transformador de cuarto de onda 12.5
15
12 10
11.5
Fase de I [Grados]
11
S
10
S
|I | [mA]
10.5
9.5 9 8.5
5
0
-5
-10
8 7.5
0
1
2 3 4 Frecuencia [GHz]
5
6
-15
0
1
2 3 4 Frecuencia [GHz]
5
6
Note que conforme nos acercamos a la corriente de la fuente se vuelve menos sensible a la frecuencia mientras que la fase tiende a cero ya que a esa frecuencia el circuito se comporta de forma resistiva ( ). El programa utilizado para generar éstas gráficas es: %Parámetros del circuito VS=1*exp(-0*1i); Ee=3.6; RL=80; RS=50; l1=150E-3; Z01=50; l2=0.3E9/(4*3E9*sqrt(Ee)); Z02=sqrt(Z01*RL); %Inicializaciones y definiciones para el ciclo de cálculos fmin=60E6; fmax=6E9; N=1000; df=(fmax-fmin)/N; f=zeros(1000,1); VL=zeros(1000,1); IL=zeros(1000,1); IS=zeros(1000,1);
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Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia for k=1:N %Definición del vector de frecuencias f(k)=fmin+(k-1)*df; %Cálculo de beta B=(2*pi*f(k)*sqrt(Ee))/(0.3E9); %Parámetros ABCD de la resistencia RS A1=1; B1=RS; C1=0; D1=1; %Parámetros ABCD de la línea de transmisión A2=cos(B*(l1)); B2=1i*Z01*sin(B*(l1)); C2=1i*(Z01^-1)*sin(B*(l1)); D2=A2; %Parámetros ABCD del transformador de cuarto de onda A3=cos(B*(l2)); B3=1i*Z02*sin(B*(l2)); C3=1i*(Z02^-1)*sin(B*(l2)); D3=A3; %Parámetros ABCD de la carga A4=1; B4=0; C4=1/RL; D4=1; %Definición de ABCD1=[A1 B1 ; ABCD2=[A2 B2 ; ABCD3=[A3 B3 ; ABCD4=[A4 B4 ;
las matrices C1 D1]; C2 D2]; C3 D3]; C4 D4];
%Matriz total ABCDT=ABCD1*ABCD2*ABCD3*ABCD4; %Como la corriente es cero en el último puerto podemos utilizar el %parámetro A total, ya que precisamente el parámetro A está definido como %AT=VS/VL cuando IL=0 y por lo tanto VL=VS/AT. VL=VS/ABCDT(1,1); %Conociendo VL, es posible calcular la corriente en la fuente IL %utilizando el parámetro CT2: IS(k)=VL*ABCDT(2,1); end %Gráfica de la magnitud de VL
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Ricardo Alejos Electr贸nica de Radiofrecuencia subplot(1,2,1); plot(f/1E9,abs(IS)/1E-3); grid on; ylabel('|I_S| [mA]'); xlabel('Frecuencia [GHz]'); %Gr谩fica de la fase de VL subplot(1,2,2); plot(f/1E9,angle(IS)*180/pi); grid on; ylabel('Fase de I_S [Grados]'); xlabel('Frecuencia [GHz]');
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