Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia
Tarea 04 Acoplamiento de impedancias
Ejercicio 1 Enunciado Utilizando una sección L, encuentre las dos soluciones posibles para acoplar una línea de transmisión de ( ) . a una carga
Solución 1 Figura 2. Red de acoplamiento a utilizar.
Para resolver este problema utilizaremos el método de la carta de Smith. Normalicemos primero la carga para así ubicarla dentro de la carta de Smith:
Así bien, primero sumémosle una reactancia normalizada que le haga tocar la periferia del círculo de admitancia (figura 3).
Note que la carga se encuentra fuera del círculo , de tal forma que utilizaremos una sección L como la que aparece en la figura 2.
Figura 3. Impedancia
Para lograr este último cambio:
Haciendo que
Figura 1. Impedancia de carga en la carta de Smith.
1
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia ⁄
Ahora reflejamos la nueva impedancia con respecto al origen (figura 4) para obtener su admitancia correspondiente , es decir:
Solución 2 El primer paso es igual al que se expone en la solución 1. Conseguimos la impedancia de carga normalizada y la graficamos tal como en la figura 1. Nuestra impedancia de carga normalizada es entonces y se utiliza una red de acoplamiento como la mostrada en la figura 2. El siguiente paso ya difiere un poco, ahora sumaremos una reactancia de modo que ahora toquemos la otra orilla del círculo de admitancias (figura 5).
Figura 4. Obtención de la admitancia correspondiente.
Ahora se le suma una susceptancia normalizada , de tal forma que o de forma equivalente, que lleguemos al origen de la carta de Smith. Figura 5. Impedancia
Para esto se necesita sumar una reactancia normalizada con un valor de: Una vez obtenidos los valores y , los desnormalizamos para conocer los valores y que corresponden al circuito de la figura 2, los cuáles son: (
De tal forma que:
) Reflejamos ahora esta impedancia respecto al origen para obtener la admitancia correspondiente (figura 6), que tiene un valor de:
⁄ 2
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia
Ejercicio 2 Enunciado Utilizando una sección L, encuentre las dos soluciones posibles para acoplar una línea de a a una carga de impedancia que consiste de una resistencia de en paralelo con un capacitor de .
Solución 1 Este ejercicio lo resolveremos construyendo un programa para MatLab, mismo que se encuentra en la tabla 1. Tabla 1. Programa que calcula la red L. function LsectionLC(Z0,ZL,f) RL=real(ZL); XL=imag(ZL);
Figura 6. Reflexión para obtener admitancia
if (Z0<ZL) B1=(XL+abs(sqrt(RL/Z0)*sqrt(XL^2RL*Z0+RL^2)))/(XL^2+RL^2); X1=(Z0/RL)*(B1*(RL^2+XL^2)-XL); B2=(XL-abs(sqrt(RL/Z0)*sqrt(XL^2RL*Z0+RL^2)))/(XL^2+RL^2); X2=(Z0/RL)*(B2*(RL^2+XL^2)-XL); else X1=abs(sqrt(RL*(Z0-RL)))-XL; B1=(X1+XL)/((X1+XL)^2+RL^2); X2=-abs(sqrt(RL*(Z0-RL)))-XL; B2=(X2+XL)/((X2+XL)^2+RL^2); end
.
Hecho esto, ahora hay que sumar una susceptancia normalizada de tal forma que , o de forma equivalente, que lleguemos al origen de la carta de Smith.
Finalmente, desnormalizamos los valores de (
%Implementación de B1 if (B1<0) LB1=-(B1*2*pi*f)^-1 CB1=NaN; else CB1=B1/(2*pi*f) LB1=NaN; end
y :
%Implementación de B2 if (B2<0) LB2=-(B2*2*pi*f)^-1 CB2=NaN; else CB2=B2/(2*pi*f) LB2=NaN; end
)
⁄ ⁄
%Implementación de X1 if (X1<0) CX1=(X1*2*pi*f)^-1 LX1=NaN;
3
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia else LX1=X1/(2*pi*f) CX1=NaN; end
Ejercicio 3
%Implementación de X2 if (X2<0) CX2=(X1*2*pi*f)^-1 LX2=NaN; else LX2=X1/(2*pi*f) CX2=NaN; end
Utilizando una sección L, encuentre las dos posibles soluciones para acoplar una línea de a a una carga que consiste de una resistencia de en serie con un inductor de .
Enunciado
Solución
end
Este ejercicio también lo solucionaremos con ayuda del programa que utilizamos en el ejercicio anterior. Antes note que la impedancia de carga es:
Los parámetros de entrada son la impedancia característica de la línea de transmisión y la impedancia de la carga . En este caso:
(
Dado que en la figura 2.
)
utilizaremos la sección L descrita
Tras correr el programa obtenemos los resultados: Dado que entonces habremos de utilizar el circuito que aparece en la figura 7.
Ejercicio 4 Enunciado El transmisor ilustrado a continuación está operando a en un sistema de y tiene una impedan( ) . El transmisor debe cia de salida estar conectado directamente a una antena cuyaimpedancia de entrada es la combinación en serie de una resistencia de y un inductor de . Utilizando una sección L como la mostrada en la figura, encuentre los valores de y que permitan una máxima entrega de potencia a la antena.
Figura 7. Red L a utilizar cuando
Tras ejecutar el programa de la tabla 1, obtenemos los dos resultados posibles:
4
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia Localicemos ahora la impedancia deseada y reflejémosla con respecto al origen de la carta de Smith para obtener su admitancia (figura 9). Note entonces que
.
Figura 8. Sistema de comunicación con una antena y red de acoplamiento en L.
Solución La máxima transferencia de potencia se da cuando la impedancia de la fuente es igual al complejo conjugado de su carga, es decir: (
)
Esto significa que habremos de hacer que la red de acoplamiento haga que la fuente “vea” una impedancia de carga de . Calculemos pues, la impedancia de carga actual: Figura 9. Ubicación de la impedancia y admitancia de carga deseada.
Ahora, habremos de movernos hacia abajo por la línea de parte real constante hasta que la admitancia toque el círculo de parte real unitaria para admitancias, tal como se muestra en la figura 10.
Ahora normalicemos ambas impedancias para poder utilizar la carta de Smith.
La estrategia a seguir será llegar a la impedancia de carga a partir de la impedancia deseada, de modo que para llegar de la impedancia de carga a la deseada, sólo habrá que seguir el procedimiento inverso.
5
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia Y para llegar finalmente a la impedancia de carga original (figura 12) es sólo necesario restar una reactancia normalizada .
Figura 10. Movimiento de la admitancia para hacerla de parte real unitaria.
Tras leer esta nueva admitancia, vemos que se trata de . Para ello tuvimos que restar una susceptancia normalizada ( ) . Ahora, nuevamente invertimos la cantidad obtenida (figura 11), pero ahora para obtener una impedancia cuyo valor es:
Figura 12. Llegada a la impedancia de carga original.
Si para llegar aquí tuvimos que restar y durante el procedimiento, para llegar a la impedancia deseada desde la impedancia de carga deben sumarse estas cantidades, y así entonces los valores desnormalizados de estas cantidades son: (
)
Así entonces, los valores de bobina y capacitor requeridos son:
Figura 11. Reflexión de admitancia
6
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia Tabla 2. Programa utilizado para calcular dimensiones de protuberancias en serie. function sstubse(Z0,ZL) YL=1/ZL; Y0=1/Z0; GL=real(YL); BL=imag(YL); if (GL~=Y0)
Ejercicio 5
t1=(BL+sqrt(GL*((Y0GL)^2+BL^2)/Y0))/(GL-Y0); t2=(BL-sqrt(GL*((Y0GL)^2+BL^2)/Y0))/(GL-Y0);
Enunciado Se desea acoplar una carga de impedancia que consiste de una resistencia de en paralelo con un capacitor de a con una línea de transmisión cuya impedancia es de . Utilizando una red de acoplamiento de protuberancia singular como la mostrada en la figura 13:
%Cálculo de distancia d/lambda (1ra opción) if (t1>=0) d1=(1/(2*pi))*atan(t1) else d1=(1/(2*pi))*(pi+atan(t1)) end %Cálculo de distancia d/lambda (2da opción) if (t2>=0) d2=(1/(2*pi))*atan(t2) else d2=(1/(2*pi))*(pi+atan(t2)) end
(a) Encuentre las primeras dos distancias y desde la carga donde la protuberancia podría ser conectada. (b) Conectando la protuberancia al mínimo de distancia desde la carga, encuentre la longitud para una protuberancia de circuito abierto, y la longitud para una protuberancia de corto circuito.
X1=((GL^2)*t1-(Y0BL*t1)*(BL+Y0*t1))/(Y0*(GL^2+(BL+Y0*t1)^2)) ; X2=((GL^2)*t2-(Y0BL*t2)*(BL+Y0*t2))/(Y0*(GL^2+(BL+Y0*t2)^2)) ; %Cálculo de loc/lambda lsc1=(-1/(2*pi))*atan(X1/Z0); if (lsc1<0) lsc1=lsc1+0.5 else lsc1=lsc1 end lsc2=(-1/(2*pi))*atan(X2/Z0); if (lsc2<0) lsc2=lsc2+0.5 else lsc2=lsc2 end %Cálculo de lsc/lambda loc1=(1/(2*pi))*atan(Z0/X1); if (loc1<0) loc1=loc1+0.5 else loc1=loc1 end loc2=(1/(2*pi))*atan(Z0/X2); if (loc2<0) loc2=loc2+0.5 else loc2=loc2 end
Figura 13. Circuito del ejercicio 5.
else t=-XL/(2*Y0);
Solución
%Cálculo de d/lambda if (t>=0) d=(1/(2*pi))*atan(t) else d=(1/(2*pi))*(pi+atan(t)) end
Para resolver este ejercicio, programaremos las fórmulas requeridas para calcular los parámetros pedidos. Dicho programa se encuentra en la tabla 2. 7
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia Tabla 3. Programa utilizado para calcular dimensiones de una protuberancia en paralelo.
X=((GL^2)*t-(Y0BL*t)*(BL+Y0*t))/(Y0*(GL^2+(BL+Y0*t)^2));
function sstubsh(Z0,ZL) %Cálculo de loc/lambda lsc=(-1/(2*pi))*atan(X/Z0); if (lsc<0) lsc=lsc+0.5 else lsc=lsc end
RL=real(ZL); XL=imag(ZL); Y0=1/Z0;
%Cálculo de lsc/lambda loc=(1/(2*pi))*atan(Z0/X); if (loc<0) loc=loc+0.5 else loc=loc end
if (RL~=Z0) t1=(XL+sqrt(RL*((Z0RL)^2+XL^2)/Z0))/(RL-Z0); t2=(XL-sqrt(RL*((Z0RL)^2+XL^2)/Z0))/(RL-Z0);
end %Cálculo de primera opción d/lambda if (t1>=0) d1=(1/(2*pi))*atan(t1) else d1=(1/(2*pi))*(pi+atan(t1)) end
end
Los resultados expedidos por el programa tras colocar como parámetros de entrada las impedancias
%Cálculo de segunda opción d/lambda if (t2>=0) d2=(1/(2*pi))*atan(t2) else d2=(1/(2*pi))*(pi+atan(t2)) end B1=((RL^2)*t1-(Z0XL*t1)*(XL+Z0*t1))/(Z0*(RL^2+(XL+Z0*t1)^2)) ; B2=((RL^2)*t2-(Z0XL*t2)*(XL+Z0*t2))/(Z0*(RL^2+(XL+Z0*t2)^2)) ;
Obtenemos varias longitudes, entre ellas las que buscamos de acuerdo al enunciado del problema:
%Cálculo de loc/lambda loc1=(-1/(2*pi))*atan(B1/Y0); if (loc1<0) loc1=loc1+0.5 else loc1=loc1 end loc2=(-1/(2*pi))*atan(B2/Y0); if (loc2<0) loc2=loc2+0.5 else loc2=loc2 end %Cálculo de lsc/lambda lsc1=(1/(2*pi))*atan(Y0/B1); if (lsc1<0) lsc1=lsc1+0.5 else lsc1=lsc1 end lsc2=(1/(2*pi))*atan(Y0/B2); if (lsc2<0) lsc2=lsc2+0.5 else lsc2=lsc2 end
Ejercicio 6 Enunciado Repita el ejercicio 5 utilizando una protuberancia singular en paralelo.
else t=-XL/(2*Z0);
Solución
%Cálculo de d/lambda if (t>=0) d=(1/(2*pi))*atan(t) else d=(1/(2*pi))*(pi+atan(t)) end
Ahora, presentamos en la tabla 3 el programa utilizado para calcular las dimensiones de la red protuberante pedida en el enunciado. Note la similitud con el programa anterior.
B=((RL^2)*t-(Z0-
8
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia XL*t)*(XL+Z0*t))/(Z0*(RL^2+(XL+Z0*t)^2)); %Cálculo de loc/lambda loc=(-1/(2*pi))*atan(B/Y0); if (loc<0) loc=loc+0.5 else loc=loc end
Ejercicio 8 Enunciado
%Cálculo de lsc/lambda lsc=(1/(2*pi))*atan(Y0/B); if (lsc<0) lsc=lsc+0.5 else lsc=lsc end
Diseñe un transformador de impedancias binomial de tres secciones para acoplar a una carga con impedancia a una línea de transmisión con una impedancia característica de . Calcule las longitudes de las tres secciones asumiendo que la línea de transmisión es ideal en el aire. Implemente su diseño en APLAC y confirme sus resultados teóricos.
end end
Una vez ejecutado el programa, entrega varios resultados entre los cuales están:
Solución El problema lo solucionaremos con ayuda de las tablas con los coeficientes binomiales. Primero habremos de conocer el cociente de las impedancias:
Habiendo hecho esto, tenemos que ubicarnos dentro de la tabla de coeficientes binomiales en el recuadro que corresponde a tres secciones y relación de impedancias como la que acabamos de obtener (vea la figura 14).
Ejercicio 7 Enunciado Repita el problema 5 utilizando una protuberancia singular en paralelo y una impedancia de carga de ( ) .
Solución Utilizando nuevamente el programa de la tabla 3, pero ahora utilizando como parámetros de entrada:
(
)
Obtenemos los resultados de interés:
Figura 14. Localizando los coeficientes para el transformador de 3 secciones.
Así entonces las impedancias características que corresponden a cada sección se obtienen como sigue: (
9
)
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia (
)
Z=54.535 ER=1 Length=75mm
Z=70.71 ER=1 Length=75mm
Z=91.685 ER=1 Length=75mm
Input
(
Port1 50
)
(
RL 100
) Figura 15. Implementación del circuito en APLAC.
(
)
(
Sweep "Transformador de cuarto de onda de tres secciones" LOOP 300 FREQ LIN 100KHz 2GHz WINDOW=0 grid Y "" "" 0 0.33 WINDOW=1 grid Y "" "" 0 -80
)
Show W=0 Y Mag(S(1,1)) Show W=1 Y MagdB(S(1,1)) EndSweep
Finalmente, la longitud de las tres secciones será la misma, es decir, un cuarto de la longitud de onda. Para ello primero calculemos el valor de la longitud de onda . Recordemos que para líneas de transmisión ideales, su constante dieléctrica efectiva es .
Figura 16. Código utilizado para hacer la simulación. Transformador de cuarto de onda de tres secciones APLAC 8.10 Student version FOR NON-COMMERCIAL USE ONLY 0.33
0.25
√
0.17
√
0.08
√
0.00 100.000k 500.075M Mag(S(1,1))
1.000G f/Hz
1.500G
2.000G
Entonces la longitud de las tres secciones es: Transformador de cuarto de onda de tres secciones APLAC 8.10 Student version FOR NON-COMMERCIAL USE ONLY 0.00
-20.00
-40.00
Para terminar el ejercicio, ya nada más hará falta simular en APLAC. Para ello, se implementó el circuito de la figura 15 en APLAC y se obtuvieron los resultados mostrados en la figura 17 con ayuda del código mostrado en la figura 16.
-60.00
-80.00 100.000k 500.075M MagdB(S(1,1))
1.000G f/Hz
1.500G
Figura 17. Resultados de la simulación.
10
2.000G
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia
Ejercicio 9 Enunciado
(
Diseñe un transformador de impedancias de 5 secciones Butterworth para acoplar una carga a una línea de transmisión cuya impedancia característica es . Calcule el ancho de banda fraccional teórico para una reflexión máxima de . Calcule las longitudes correspondientes de las cinco secciones para lograr un acoplamiento perfecto a los , adumiendo que las líneas de transmisión son ideales con una constante dieléctrica efectiva .
(
(
) )
)
(
(
)
)
(
)
Solución Con un procedimiento similar al del ejercicio anterior, diseñemos el transformador de impedancias comenzando por calcular el cociente de impedancias:
( (
) )
El ancho de banda fraccional está dado por la expresión: [ (
Ahora, consultemos en la tabla los coeficientes que corresponden a un transformador de cinco secciones con el cociente que acabamos de obtener (figura 18).
) ]
Dónde: |
|
De esta forma, primero encontremos el valor de : | | Figura 18. Coeficientes para un transformador de cinco secciones.
El valor de
Así entonces, los valores de las impedancias son: ( (
) ) 11
| |
lo obtenemos a partir del dato
:
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia Y entonces, el ancho de banda fraccional es:
(
√ [ (
) ]
[ (
)
Y la otra en el caso contrario, es decir, si y entonces:
⁄
,
) ] √
( )
( )
(
)
Siendo en ambos casos De modo que si centramos nuestra frecuencia de operación en nuestro ancho de banda teórico será de .
√
(
⁄ )
Así entonces, conociendo y , primero calculamos las constantes dieléctricas efectivas:
La longitud de todas las secciones es:
√ √
Y así ahora, al sustituir en las ecuaciones de Walker y resolver para obtenemos los anchos de cada pista de micro-cinta:
√
Ejercicio 10 Enunciado Implemente el transformador de impedancias del problema 8 en tecnología micro-cinta. Asuma que la altura del substrato es , con una constante dieléctrica relativa , y una tangente de pérdidas de . Simule dicho circuito en APLAC.
Note además que las constantes dieléctricas han cambiado (y que por lo tanto, la longitud de onda para cada sección es distinta), de modo que será necesario recalcular las longitudes de cada sección.
Solución Es posible determinar las medidas de las líneas con ayuda de las ecuaciones de Walker o las ecuaciones de Gupta (ambas deben llegar al mismo resultado). Tras resolver para las ecuaciones de Walker obtenemos (auxiliándonos de Wolfram Mathematica).
√ √
Recordemos las ecuaciones de Walker, una de ellas válida si ⁄ : 12
Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia Transformador de cuarto de onda de tres secciones implementado con tecnolog APLAC 8.10 Student version FOR NON-COMMERCIAL USE ONLY 0.33
√ √
0.25
0.17
0.08
√ 0.00 100.000k 500.075M
√
Mag(S(1,1))
1.000G f/Hz
1.500G
2.000G
Transformador de cuarto de onda de tres secciones implementado con tecnolog APLAC 8.10 Student version FOR NON-COMMERCIAL USE ONLY 0.00
Finalmente, tras simular en APLAC obtenemos los resultados mostrados en la figura 20. Es importante recordar que cuando se simulan líneas de transmisión no ideales, el primer elemento de control a colocar en la lista es el substrato. El circuito utilizado para hacer la simulación y los comandos para la misma están en la figura 19. L=42.7264mm W=3.5340mm
L=43.5276mm W=2.1658mm
-20.00
-40.00
-60.00
L=44.3495mm W=1.2214mm
-80.00 100.000k 500.075M MagdB(S(1,1))
Port1 50
MSub Substrato ER=4.0 H=2mm TAND=0.01
1.000G f/Hz
1.500G
2.000G
Figura 20. Resultados de la simulación RL 100
Note que el resultado ha empeorado un poco con respecto al circuito implementado con líneas de transmisión ideales.
Sweep "Transformador de cuarto de onda de tres secciones implementado con tecnología micro-cinta" LOOP 300 FREQ LIN 100KHz 2GHz WINDOW=0 grid Y "" "" 0 0.33 WINDOW=1 grid Y "" "" 0 -80
Además, conforme crece la frecuencia, los resultados ya no serán tan buenos en los múltiplos impares de la frecuencia de diseño, tal como se muestra en la figura 21.
Show W=0 Y Mag(S(1,1)) Show W=1 Y MagdB(S(1,1)) EndSweep
Figura 19. Circuito y comandos de simulación.
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Ricardo Alejos Electr贸nica de Radiofrecuencia Transformador de cuarto de onda de tres secciones implementado con tecnolog APLAC 8.10 Student version FOR NON-COMMERCIAL USE ONLY 0.33
0.25
0.17
0.08
0.00 100.000k
1.250G
Mag(S(1,1))
2.500G f/Hz
3.750G
5.000G
Transformador de cuarto de onda de tres secciones implementado con tecnolog APLAC 8.10 Student version FOR NON-COMMERCIAL USE ONLY 0.00
-20.00
-40.00
-60.00
-80.00 100.000k
1.250G
MagdB(S(1,1))
2.500G f/Hz
3.750G
5.000G
Figura 21. Resultados de la simulaci贸n para frecuencias m谩s altas.
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