Universidad Politécnica Salesiana
Antes de la clase Guía de desarrollo para la casa Tema: Rectas y Planos el espacio Nombre: Roberto Moreira Sánchez Curso: 4101 Recuerda que debes revisar en casa: Rectas y planos en el espacio
Ya que viste el recurso en casa, contesta las siguientes preguntas: 1. ¿Cuántas formas existen para expresar la ecuación de la recta en el espacio? Lista las formas de expresar la recta. Existen 3 formas, estas son:
Conceptos Recta Una recta se compone por un vector dirección y un punto perteneciente a la recta. Plano Un plano se compone por un vector normal al plano y un punto perteneciente al plano.
Importante 2. Escribe las tres formas de expresar la ecuación de la recta que contiene el punto P = (3, 4, 0) y es paralelo al vector director v = (3, 4, 0 ).
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3. Al cambiar la dirección del vector director del ejercicio anterior, ¿Existe algún cambio en la ecuación de la recta? Si, cambia la posición del punto y por ende los valores del punto que van en la ecuación de la recta.
4. ¿Cuál es el proceso para pasar de la ecuación paramétrica a la ecuación continua (o simétrica) de la recta? El proceso para pasar de la paramétrica a la continua es simplemente despejar la t del conjunto (x, y, z), y luego igualarlas todas.
5. La relación entre el plano y el vector normal al plano, ¿Qué significa que sea normal? Que es perpendicular. 6. Recta: Ejercicios a. Plantee la ecuación de la recta, en sus diversas formas, de los siguientes ejercicios: i. Contiene a (1, 21, 1) y (21, 1, 21) P1=(1,21,1) ; P2=(21,1,21) P1P2=(21,1,21)-(1,21,1)=(20i-20j+20k) ECUACION VECTORIAL: (x,y,z)= (1,21,1) + t(20,-20,20) ECUACION PARAMETRICA: X=1+20t Y=21-21t Z=1+20t ECUACION CONTINUA: ((x-1)/20)=((y-21)/-20)=((z-1)/20) ii. Contiene a (21, 26, 2) y es paralela al vector v = 4i + j - 3k P1=(21, 26, 2) ; V= 4i + j - 3k ECUACION VECTORIAL: (x,y,z)= (21,26,2) + t(4,1,-3) ECUACION PARAMETRICA: X=21+4t Y=26+1t Z=2-3t ECUACION CONTINUA: ((x-21)/4)=(y-26)=((z-2)/-3)
7. Plano: Ejercicios a. Obtenga la ecuación de la recta en sus diversas formas para los ejercicios planteados. i. P = (5, -5, 0) y n = 4j – 3k ECUACION ESCALAR: π:4(x-5)-3(y+5)+0(z-0) ECUACION LINEAL: π:4x-20-3y-15+0 π:4x-3y-35=0 ECUACION VECTORIAL: π:(X-(5, -5, 0))* <4,-3,0> ii. P = (0, 1, -2) y n = 3i - 2j + k ECUACION ESCALAR: π:3(x-0)-2(y-1)+1(z+2) ECUACION LINEAL: π:3x-0-2y+2+z+2 π:3x-2y+z+4=0 ECUACION VECTORIAL: π:(X-(0, 1, -2))* <3,-2,1> iii. Contiene a (1, 0, 24), (3, 4, 0) y (0, 22, 1) P1=(1, 0, 24) ; P2=(3, 4, 0) ; P3=(0, 22, 1) V=P1-P2=(1, 0, 24)-(3, 4, 0)=(-2i-4j+24k) W=P2-P3=(3, 4, 0)-(0, 22, 1)=(3i-18j-k) VxW=n=436i+70j+48k
ECUACION ESCALAR: π:436(x-1)+70(y-0)+48(z-24) ECUACION LINEAL: π:436x-436+70y-0+48z-1152 π:436x+70y+48z-1588=0 ECUACION VECTORIAL: π:(X-(1, 0,24))* <436,70,48> b. Identifique sí los planos son paralelos. i. π1: x + y + z = 2; π2: 2x + 2y + 2z = 4 v1=(i,j,k) ;v2=(2i,2j,2k) 2v1=v2 Los planos son paralelos ii. π1: 2x - y - z = 2; π2: x - 2y - 9z = 4 v1=(2i-j-k) ;v2=(i-2j-9k) v1*v2=(2*1+(-1*-2)+(-1*-9))=13 Angulo entre vectores=55,08 Los planos no son paralelos
Preguntas para el profesor Escribe 3 preguntas relacionadas a “Aula o clase invertida” para hacerla en la próxima clase.
A parte del vector perpendicular ¿qué otra manera se utiliza para hallar el plano? ¿Hay otra ecuación del plano? ¿Cómo se grafica un plano?
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