Microeconomía III
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Tema 6
TEMA 6. LA TEORÍA DE LA MULTIPRODUCCIÓN 1. PRODUCCIÓN DE VARIOS PRODUCTOS. Introducción: la forma implícita de la función de producción. Es equivalente a la forma explícita: g( y , z1 , z 2 ) = y − f( z1 , z 2 ) ≤ 0
Mide la diferencia entre el volumen de producción obtenido (y) y el volumen máximo que es técnicamente factible ( f( z1 , z 2 ) ). Se anula en el caso de producción eficiente (se obtiene la cantidad máxima técnicamente factible). Es negativa en el caso de que se produzca con despilfarro (menos de la cantidad máxima técnicamente factible). Equivalencia con la forma explícita: Significado de la derivada parcial de la función implícita de producción: ∂ g( y, z1 , z 2 ) = gy =1 ∂y ∂ g( y, z 1 , z 2 ) ∂ f( z1 , z 2 ) = g zi = − = − f i = − PMa i , ∀ i = 1,2 ∂z i ∂z i
Interpretación del contorno de la función implícita de producción: A lo largo de cualquier contorno, el valor de la función de producción no varía: ∂ g(•) ∂ g(•) ∂ g(•) dg( y , z1 , z 2 ) = dy+ d z1 + d z 2 = g y d y + g z1 d z1 + g z2 d z 2 = 0 ∂y ∂z1 ∂z 2 Dejamos que varíen sólo dos argumentos de la función implícita de producción, el otro permanece constante. Ello nos obliga a distinguir entre variación de los dos factores y variación del producto y un factor. En el caso de que varíen dos factores, se trata de una isocuanta: gz PMa1 dz − f1 g z1 d z1 + g z2 d z 2 = 0 ⇒ 2 =− 1 =− =− = − RMST2,1 g z2 PMa 2 d z1 d y = 0 − f2 En el caso de que varíen el producto y un factor, se trata de la función de producción: gz − fi dy g y d y + g zi d z i = 0 ⇒ =− i =− = PMa i gy d z1 d z = 0 1 2
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Redefinición de la función implícita de producción en términos de productos netos. En el caso de distinguir entre productos y factores nos encontramos con un serio inconveniente: lo que para una empresa puede ser un producto final, para otra no es más que un input intermedio con el que obtener su producto final. Así, por ejemplo, una maquinaria es un producto final para su fabricante, pero es un input (y por tanto un factor de la producción) para le empresa que la utilia como parte de su proceso productivo.
Además, algunas empresas producen, en todo o en parte, algunos de los inputs (factores) que utilizan en su proceso productivo: En algunos casos producen justo la cantidad que necesitan en su ‘proceso productivo; es la producción para el autoconsumo. En otros consumen una parte más o menos pequeña de su producción, mientras que el resto la destinan a la venta en el mercado. Por último, es posible que produzcan una parte del input que necesitan, comprando el resto en el mercado del citado input.
En todos estos casos, resulta útil introducir un nuevo concepto, que evita incómodas redefiniciones entre producto y factor, dependiendo de cada caso concreto. Es el que se conoce como “Producto Neto”: El Producto Neto es la diferencia entre la cantidad producida (que puede ser cero) y la cantidad utilizada en el proceso productivo (que también puede ser cero) de un determinado bien o servicio. Si el Producto Neto es positivo diremos que se trata de un “producto final”; es decir, la empresa produce el bien o servicio considerado. Si por el contrario es negativo, diremos que se trata de un factor de la producción, es decir, la empresa “consume” dicho bien o servicio. Si, por último, fuese cero, no sería ni un producto ni un factor para esta empresa en cuestión. Ya no es necesario distinguir entre input (factores) y output (productos), lo que ha dado lugar a que se llegue a hablar de “netput”. Además, tampoco es necesario plantear restricciones de “no–negatividad”.
¡ATENCIÓN! No debe confundirse con el concepto de Producto Neto de la Contabilidad Nacional, que lo utiliza en términos de valor añadido (Ingresos–Coste de los factores). Para nosotros se trata de la diferencia entre la cantidad producida y la utilizada en el proceso productivo de una empresa.
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Reformulación de la restricción tecnológica en términos implícitos y de productos netos. Ahora tenemos un vector de productos netos (unos positivos y otros negativos) en vez de un vector de productos y otro de factores: y = ( y1 , y 2 , K, y n ) Los productos netos positivos forman parte del que antes era vector de productos finales. Los productos netos negativos son los anteriores factores, cambiados de signo: yi < 0 ⇒ yi = − z i Es decir, incrementar la cantidad utilizada de un factor significa reducir el valor del producto neto correspondiente (hacerlo más negativo).
La función implícita de producción puede expresarse exclusivamente en términos del vector de productos netos: g( y ) ≤ 0 Si g( y ) < 0 se produce con despilfarro, es decir, sería posible incrementar un producto neto (aumentar la producción o utilizar menos de un factor) sin tener que reducir otro producto neto (reducir la producción o utilizar más cantidad de factor). Si g( y ) = 0 se produce con eficiencia, es decir, para incrementar un producto neto (aumentar la producción o utilizar menos de un factor) habría necesariamente que reducir otro producto neto (utilizar más cantidad de factor o reducir la producción). En cambio, g( y ) > 0 es una combinación de productos netos técnicamente inalcanzable.
Volvamos a comprobar la equivalencia entre las formas implícita y explícita: Significado de la derivada parcial de la función implícita de producción: En general, si y j > 0 ⇒
∂ g(y ) = g j = 1 , aunque como veremos más adelante hay ∂ y1
excepciones.
Mientras que si y i < 0 ⇒
∂ g(y ) ∂ g(y ) ∂ f(•) d z i = gi = = f i = PMa i ∂ yi ∂ f(•) ∂z i d y i
Reinterpretación del contorno de la función implícita de producción en términos de productos netos: A lo largo de cualquier contorno, el valor de la función no varía:
dg(y ) =
∂ g(y ) ∂ g(y ) ∂ g(y ) d y1 + d y2 + K + d y 2 = g1 d y1 + g 2 d y 2 + K + g n d y n = 0 ∂y1 ∂y 2 ∂y n Página 3 de 14
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Dejamos de nuevo que varíen sólo dos argumentos de la función; los demás permanecen constantes:
g i d yi + g j d y j = 0 ⇒
d yj
g =− i d yi d y k = 0 gj ∀ k ≠ i, j
Representa la tasa a la que debe variar el producto neto j cuando aumenta el producto neto i, permaneciendo constantes todos los demás productos netos.
Ello nos obliga a distinguir tres posibles casos: En el caso de que varíen dos productos netos negativos (factores), se trata una vez más de una isocuanta:
g i d yi + g j d y j = 0 ⇒
d yj d yi d y k = 0 ∀ k ≠ i, j
g f PMai =− i =− i =− = − RMST j ,i gj fj PMa j
Representa la tasa a la que se pueden intercambiar dos productos netos negativos (factores) cuando los demás productos netos (productos y factores) permanecen constantes. En el caso de que varíen un producto neto positivo (producto) y otro negativo (factor), se trata de nuevo de la función de producción:
g i d yi + g j d y j = 0 ⇒
d yj
g f = − i = − 1 = − PMai d = 0 y d yi 1 gj k ∀ k ≠ i, j
Representa la tasa a la que se reduce el producto j (producto neto positivo) cuando se reduce la cantidad de factor i (se incrementa el producto neto negativo), permaneciendo constantes todos los demás productos netos (productos y factores). Por último, si varían dos productos netos positivos, se trata de la curva de transformación o frontera de posibilidades de producción:
g i d yi + g j d y j = 0 ⇒
d yj d yi d y k = 0 ∀ k ≠ i, j
g = − i = − RMT j ,i gj
Representa la tasa a la que cambia la cantidad producida de j cuando se incrementa la de i (ambos son productos netos positivos), permaneciendo constantes todos los demás productos netos (productos y factores). Nótese que es en este último caso cuando se produce la excepción mencionada al hablar del significado de la derivada parcial de la función de producción: a pesar de ser ambos productos netos negativos positivos, las respectivas derivadas parciales no son iguales a la unidad. Este hecho refleja la imposibilidad de transformar una unidad de un producto final exactamente en una unidad de otro
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Producción conjunta y producción separable. En el caso de la empresa que produce más de un producto resulta interesante estudiar si dichos productos pueden obtenerse de forma independiente o no. Para poder hacerlo, los costes de producción de cada producto deben ser independientes: Resulta factible identificar los factores de la producción que intervienen en la obtención de un producto y no en la de los demás. Habrá por tanto un proceso de minimización de costes independiente para cada producto. Se plantea una situación equivalente a una empresa multiplanta, con una planta para cada producto. Es decir, con una función de producción independiente para cada producto:
g 1 ( y1 , z 1 , z 1 ) = y1 − f( z 1 , z 1 ) ≤ 0 ⇒ g 1 (y 1 ) ≤ 0 1
2
1
2
g 2 ( y 2 , z 2 , z 2 ) = y 2 − f( z 2 , z 2 ) ≤ 0 ⇒ g 2 ( y 2 ) ≤ 0 1
2
1
2
En este caso decimos que la producción es separable.
Pero en otros casos existe una interdependencia más o menos fuerte entre productos y factores: No es posible identificar completamente las cantidades de cada factor asignadas a la obtención de cada producto. Al menos una parte de un factor contribuye simultáneamente a más de un producto, sin que pueda especificarse en qué proporción a cada uno de ellos. Hay interdependencia tecnológica y también en costes. La minimización debe hacerse conjuntamente para todos los productos interdependientes. Nos encontramos con una única función de producción:
g( y1 , y 2 , z1 , z 2 ) = ( y1 , y 2 ) − f( z1 , z 2 ) ≤ 0 ⇒ g(y ) ≤ 0 En este caso decimos que estamos ante un caso de producción conjunta.
Nótese que el que la producción sea conjunta o separable depende exclusivamente de la relación técnica entre productos y factores, pero no de su número.
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El conjunto de Posibilidades de Producción (PS). Se trata de una forma alternativa y más general, de describir las restricciones tecnológicas. El PS es el conjunto de todas las posibles combinaciones de factores y productos (Combinaciones de Productos Netos) que son técnicamente factibles. Si a cada combinación de productos netos la llamamos “actividad”, el PS es el conjunto de actividades técnicamente factibles. La función de producción ( g(y ) ≤ 0 ) y el conjunto de posibilidades de producción ( y ∈ PS ) son descripciones equivalentes de la restricción tecnológica: Si y ∈ PS ⇔ g(y ) ≤ 0 estamos ante actividades técnicamente factibles. Si y ∉ PS ⇔ g(y ) > 0 estamos ante actividades técnicamente inalcanzables.
Todas las áreas vistas anteriormente son por tanto subconjuntos del PS. Los contornos ( g(y ) = 0 ) pueden describirse como aquellas actividades en las que no es posible incrementar un producto neto sin reducir otro. 2. FUNCIONES DE COSTE MULTIPRODUCTO. Planteamiento del problema: Para simplificar, suponemos que sólo hay dos productos netos positivos y todos los demás son negativos. Para una mejor interpretación, utilizaremos en este apartado la función de producción implícita, pero distinguiendo entre productos y factores. Recuérdese que en el apartado anterior hemos comprobado que las conclusiones y el significado de todos los conceptos es equivalente, independientemente de la forma en que expresemos la restricción tecnológica.
El problema consiste en minimizar los costes de de producir unos niveles específicos de ambos productos, dado el vector de precios de los factores (p), y sometidos a la restricción impuesta por la tecnología (función de producción). Min. ∑i =1 z i pi n
s.a. g ( y10 , y 20 ; z1 , K, z n ) ≤ 0
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Si los precios de los factores son positivos, la producción ineficiente supondrá un coste excesivo por despilfarro de los recursos. En tal caso, la empresa tenderá a evitarlo y la restricción tecnológica se cumplirá en términos de igualdad estricta: Min. ∑i =1 z i pi n
s.a. g ( y10 , y 20 ; z1 , K, z n ) = 0 Es decir, cuando el despilfarro se paga la empresa tiende a evitarlo y ello nos garantiza que la restricción tecnológica se cumple en términos de igualdad estricta.
Para obtener la solución al problema, planteamos una función de Lagrange: L =
∑
n i =1
z i p i + λ g ( y 10 , y 20 ; z 1 , K , z n )
Observemos el signo correcto del multiplicador de Lagrange, que coincide con el del parámetro y es contrario al de la expresión funcional.
Aplicando las condiciones de primer orden tenemos: ∂L = pi + λ g i = 0, ∀ i = 1,K, n ∂ zi ∂L = g ( y10 , y 20 ; z1 ,K , z n ) = 0 ∂λ De las n primeras ecuaciones tenemos:
λ =−
gz pj pi p − fi =− ⇒ i = i = ⇒ g zi gzj p j gzj − f j
pi = RMST j ,i pj
Precisamente la misma condición que se había obtenido en el caso de la producción simple: la empresa debe utilizar los factores en aquella proporción que hace que la tasa de intercambio entre factores para mantener inalterada la producción (RMST) coincide con la tasa a la que efectivamente puede intercambiarlos en los mercados de factores (cociente de precios).
Interpretación del multiplicador de Lagrange: es la tasa a la que el coste minimizado de producción se reduce si la restricción tecnológica se relaja ligeramente. Por ejemplo, si es posible obtener los productos especificados con una cantidad algo inferior de input. Recoge por tanto el efecto sobre los costes de una mejora tecnológica en el proceso productivo que posibilita una utilización más eficiente de los recursos.
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Función de costes multiproducto y costes conjuntos: La solución al problema de minimización nos da la cantidad óptima a utilizar de cada factor, en función de cuáles sean los niveles requeridos de producto final y los precios de los factores: z i* = z i ( y10 , y 20 , p ) Es la demanda (derivada) del factor. Es una expresión equivalente al concepto de demanda hicksiana en el caso del consumidor.
Al sustituir la cantidad óptima de factor (demanda derivada) en la función objetivo a minimizar obtenemos la función de costes: C ( y1 , y 2 , p ) =
∑
n i =1
z i* p i =
∑
n i =1
z i ( y1 , y 2 , p ) p i
Al no exigir unos niveles específicos de productos, se consigue una función que indica el coste para cada nivel exigido de producción de ambos productos.
Esta función de costes tiene cuatro propiedades fundamentales: Es creciente en los niveles exigidos de producción y no decreciente en los precios. Es linealmente homogénea en los precios: C ( y1 , y 2 , kp ) = kC ( y1 , y 2 , p )
Es continua y cóncava en los precios. Su derivada parcial respecto al precio de un factor individual es la demanda derivada de dicho factor: ∂C ( y1 , y 2 , p) = z i ( y1 , y 2 , p ) ∂p i Como puede comprobarse, se trata de las propiedades equivalentes a las que cumplía la función de gasto del consumidor: Sustituimos niveles de utilidad por niveles de producción. Cambiamos bienes y servicios de consumo por factores de la producción.
Si la producción fuese separable hablaríamos igualmente de funciones de coste multiproducto separables. Por el contrario, si la producción fuese conjunta, hablaríamos entonces de funciones de costes conjuntos. En tal caso, la derivada parcial de la función de costes respecto a un producto concreto sería la función de coste marginal de dicho producto: ∂C ( y1 , y 2 , p ) = C j ( y1 , y 2 , p ), ∂y j Página 8 de 14
j = 1,2
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Economías de escala multiproducto. En este caso estudiamos la variación de los costes de producción cuando varía la escala de producción de todos los productos en la misma cuantía. Es decir, estudiamos como varía C (ty1 , ty 2 , p ), t > 0 en respuesta a variaciones en el valor del parámetro t, que representa la escala de producción. Así tenemos que la tasa de variación de los costes ante cambios en la escala es: ∂C (ty1 , ty 2 , p ) ∂C (•) d ty1 ∂C (•) d ty 2 n = + = C1 (•) y1 + C 2 (•) y 2 = ∑ j =1 C j (•) y j ∂t ∂ty1 d t ∂ty 2 d t Pero no sabemos si la variación en los costes es mayor o menor que la experimentada en la escala de producción; es decir, no podemos afirmar que existan o no economías de escala multiproducto.
Para conocer si existen o no, necesitamos saber si la variación porcentual en los costes es o no menor que la variación porcentual en la escala. Recordemos que la comparación entre variaciones porcentuales (a través de su cociente) es el concepto de elasticidad. Por tanto, necesitamos calcular el valor de la que llamaremos elasticidad del coste con respecto a la escala de la producción: Var. % en C = E tc = Var. % en t
∂C (ty1 , ty 2 , p ) ∂t
C (ty1 , ty 2 , p )
=
t
⇒ E ct = ∑ j =1 C j (•) y j n
∂C (ty1 , ty 2 , p ) t ⇒ C (ty1 , ty 2 , p ) ∂t
t C (•)
Si la elasticidad es menor que uno, un aumento en los costes será de menor proporción que el experimentado en la escala de producción. En tal caso habrá economías de escala multiproducto. Pero estudiemos con más detenimiento el significado económico de la elasticidad del coste con respecto a la escala: t C (•) El segundo factor es el recíproco de , que puede interpretarse como t C (•) una clase de coste medio, precisamente el coste medio rayo, o coste medio a lo largo de una vía de expansión. El primer factor
(∑
n j =1
)
C j (•) y j , puede interpretarse como una clase de coste
marginal, el coste marginal rayo: Es la tasa a la que cambia el coste a medida que la empresa incrementa su escala de producción a lo largo de una vía de expansión. Se calcula como la suma ponderada de los costes marginales de cada producto, ponderados por el volumen respectivo de producción.
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Esto nos permite redefinir la elasticidad en términos de costes y así comparar el concepto de economías de escala multiproducto con el correspondiente a la producción simple: La elasticidad del coste respecto a la escala es el conciente entre el coste marginal rayo y el coste medio rayo:
E tc =
Coste Marginal Rayo Coste Medio Rayo
Si la elasticidad es menor que la unidad, el Coste Marginal Rayo estará por debajo del Coste Medio Rayo. Recordemos, que en la producción simple, existen economías de escala en el tramo decreciente del coste medio, precisamente cuando el coste marginal está por debajo.
Llegamos por lo tanto a una conclusión equivalente: existen economías de escala multiproducto en el tramo en que el coste medio es decreciente, en el que el coste marginal está por debajo. Producción conjunta, función de costes y economías de alcance. En este apartado se estudia la existencia o no de sinergias en la producción conjunta, que la hagan menos costosa que la producción especializada de cada producto por separado. Obtenemos las funciones de costes autónomos (o costes “stand-alone”) de la producción especializada de cada bien: C ( y1 ,0, p ) = C 1 ( y1 , p ) C (0, y 2 , p ) = C 2 ( y 2 , p )
Y las comparamos con la función de costes conjuntos: Si C ( y1 , y1 , p ) < C 1 ( y1 , p ) + C 2 ( y 2 , p ) existen algunas sinergias que hacen que la producción conjunta en una sola empresa multiproductora sea menos costosa que en dos empresas especializadas. En este caso se dice que la función de costes es no–separable. Si por el contrario C ( y1 , y1 , p ) = C 1 ( y1 , p ) + C 2 ( y 2 , p ) , no existen tales sinergias y la producción es tan costosa en empresas especializadas como en una sola empresa multiproductora. En este caso se dice que la función de costes es separable.
Cuando los productos son “productos conjuntos” en el sentido descrito en el apartado anterior (tecnológicamente es imposible obtenerlos separadamente), la función de costes es no–separable. Página 10 de 14
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Si la relación C ( y1 , y1 , p) < C 1 ( y1 , p) + C 2 ( y 2 , p) se mantiene para todos los vectores de output inferiores o iguales a un determinado nivel ( 0 ≤ y ≤ y 0 ), se dice que la función de costes presenta economías de alcance. Fuentes de economías de alcance: Existencia de “input públicos”. Indivisibilidad de los input necesarios para producir varios productos. Cuestiones tecnológicas.
¡ATENCIÓN!: No debe confundirse el concepto de economías de alcance con el concepto de subaditividad en el coste. Este último concepto es independiente de la multiproducción, puede surgir igualmente en el caso de producción simple. Significa que obtener todo el volumen de producción en una sola empresa (o en una sola planta) es menos costoso que repartir dicho volumen de producción en dos o más empresas (o plantas).
En el caso de la multiproducción, significa que obtener todo el vector de productos en una sola empresa es menos costoso que dividir la producción en dos subvectores, cada uno producido en una empresa (o planta), ambas multiproductoras. 3. LA DECISIÓN ÓPTIMA DE LA EMPRESA MULTIPRODUCTO. Determinación simultánea de todos los productos netos. Se trata de un procedimiento en una sola etapa para determinar tanto el volumen de producción (productos netos positivos) como las cantidades utilizadas de factores (productos netos negativos). Se considera el largo plazo, lo que elimina toda restricción en el ajuste. El análisis se hace en condiciones de certidumbre: los precios reales son conocidos e iguales a los precios previstos. Las variables de decisión son los productos netos. La empresa mantiene un comportamiento maximizador de beneficios. Es decir, de todas las actividades factibles, elige aquella que le proporciona el mayor beneficio. El que el PS sea no vacío, acotado y convexo, garantiza que existe solución al problema de maximización del beneficio sujeto a la restricción tecnológica. Página 11 de 14
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Planteamiento analítico del problema. Se trata de resolver un problema de maximización condicionada a través del método de Lagrange: Max. ∑i =1 y i pi = y ⋅ p Max.L = y ⋅ p + λ g ( y ) s.a. g ( y ) = 0 n
Las condiciones de primer orden son: ∂L = pi + λ g i = 0, ∀ i = 1,K , n ∂ yi ∂L = g (y ) = 0 ∂λ
De las n primeras ecuaciones tenemos: λ =−
pj g pi p =− ⇒ i = i gi gj pj g j
Tres posibles interpretaciones de la condición de equilibrio. Se estudia el caso en el que sólo varían dos productos netos. Si ambos son negativos (factores), entonces tenemos que: g f pi p p = i ⇒ i = i ⇒ i = RMST j ,i pj g j pj fj pj Se trata de la condición ya conocida de minimización de costes. Esto es lógico pues si los productos netos positivos permanecen constantes, también lo serán los ingresos. En tales condiciones, para maximizar el beneficio basta con minimizar los costes. Es decir, se trata de buscar una solución de tangencia con la línea isobeneficio más alta posible, lo que es equivalente a situarse en la isocoste más próxima al origen. De hecho, en este caso, la isobeneficio es, en sentido estricto, una isocoste.
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Si uno es negativo (factor) y el otro positivo (producto), tenemos que: g f pi p p = i ⇒ i = i ⇒ i = p j ⇒ CMa j = p j pj g j pj 1 fi Se trata de la condición ya conocida de maximización del beneficio de una empresa competitiva. Al variar un producto neto positivo variarán los ingresos y al hacerlo otro negativo también variarán los costes; es decir variarán ambos componentes del beneficio. La empresa debe buscar una solución de tangencia con la isobeneficio más alta posible, que en este caso es una isobeneficio en sentido estricto.
Si ambos son positivos (productos), entonces tenemos que: g f pi p p = i ⇒ i = i ⇒ i = RMT j ,i pj g j pj fj pj Se trata de la condición ya conocida de maximización de ingresos. Esto es lógico pues si los productos netos negativos permanecen constantes, también lo serán los costes. En tales condiciones, para maximizar el beneficio basta con maximizar los ingresos. Es decir, se trata de buscar una solución de tangencia con la línea isobeneficio más alta posible, lo que es equivalente a situarse en la isoingreso más alejada del origen. De hecho, en este caso, la isobeneficio es, en sentido estricto, una isoingreso. Si la curva de transformación se desplazase hacia fuera, las correspondientes soluciones de tangencia nos darían la Trayectoria de Expansión de la Producción (TEP) Dicha expansión provocaría un aumento tanto de los ingresos (al aumentar la producción) como de los costes (requiere necesariamente una mayor utilización de factores). El punto elegido de la TEP será aquél que genere el máximo beneficio, es decir, la máxima diferencia entre ingresos y costes.
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: GRAVELLE, H. Y REES, R.: Microeconomía. Alianza Universidad. Madrid, 1988. Capítulos 7, 8 y 9. GRAVELLE, H. y REES, R.: Microeconomics. Longman. London. 1992 (2ª edición). Capítulos 7, 8 y 9.
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BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA: KATZ, M. L. y ROSEN, L. M.: Microeconomía. Addison–Wesley Iberoamericana. Madrid. 1994. Capítulos 7 y 8. KREPS, D. M.: Curso de Teoría Microeconómica. McGraw–Hill. Madrid, 1995. Capítulo 7. NICHOLSON, W.: Microeconomía Intermedia y sus aplicaciones. McGraw-Hill. Madrid. 2001. (8ª edición). Capítulos 5, 6 y 7. VARIAN, H.: Microeconomía Intermedia. Antoni Bosch. Barcelona. 1998. (4ª edición). Capítulos 17, 18, 19 y 20. VARIAN, H.: Análisis Microeconómico. Antoni Bosch. Barcelona. 1992. (3ª edición). Capítulos 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
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