Compendio de técnicas para la toma dedecisiones

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwert yuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopa Universidad Fermín Toro Vicerrectorado Académico Facultad de Ciencias Económicas y Sociales Escuela de sdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf Administración ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghj klzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklz xcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcv bnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwe rtyuiopasdfghjklhzxcvbnmqwert yuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopa sdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf 26/01/2014

Asignatura: Análisis de Problemas y Toma de Decisiones

Autor: Rivas Rogger

Compendio de técnicas para la toma de decisiones

26 de enero de 2014

Programación Lineal (PL) La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria.

La programación lineal consta de un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.

Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales

Objetivo: Este modelo de análisis, naturalmente, se utiliza para resolver muchas otros problemas que admiten una formulación semejante. Se emplea para mejorar la asignación de recursos en empresas que desarrollan un conjunto variado de actividades, para encarar problemas de logística y, en ocasiones, como un modo de hacer más racional los procesos de planificación.

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26 de enero de 2014

Ejemplo: Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas.

El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster.

El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima?

1 Elección de las incógnitas. x = número de pantalones y = número de chaquetas

2 Función objetivo f(x,y)= 50x + 40y

3 Restricciones Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla: Algodón Poliéster

Pantalones 1 2

Chaquetas 1,5 1

Disponible 750 1000

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 

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x + 1.5y ≤ 750 flecha 2x+3y≤1500 2x + y ≤ 1000

Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más;  

x≥0 y≥0

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles Tenemos que representar gráficamente las restricciones.

Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

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Resolvemos gráficamente la inecuación: 2x +3y ≤ 1500, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0). 

2·0 + 3·0 ≤ 1 500

Como 0 ≤ 1 500 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad.

De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000. 

2·0 + 0 ≤ 1 00

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles

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5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. éstos son las soluciones a los sistemas:   

2x + 3y = 1500; x = 0 2x + y = 1000; y = 0 2x + 3y =1500; 2x + y = 1000

(0, 500) (500, 0) (375, 250)

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6 Calcular el valor de la función objetivo En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.    

f(x, y) = 50x + 40y f(0, 500) = 50·0 + 40·500 = 20000 € f(500, 0) = 50·500 + 40·0 = 25000 € f(375, 250) = 50·375 + 40·250 = 28750 €

Máximo

La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de 28750 €.

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26 de enero de 2014

Método Simplex Este famosísimo método fue creado en el año de 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el ánimo de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones y n variables.

El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables.

El Método Simplex es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará solución.

Ejercicio de Metodo Simplex: Un empresario pretende fabricar dos tipos de congeladores denominados A y B. Cada uno de ellos debe pasar por tres operaciones antes de su comercialización: Ensamblaje, pintado y control de calidad. Los congeladores requieren, respectivamente, 2,5 y 3 horas de ensamblaje, 3 y 6 Kg. De esmalte para su pintado y 14 y 10 horas de control de calidad. Los costos totales de fabricación por unidad son, respectivamente, 30 y 28, y los precios de venta 52 y 48, todos ellos en miles de pesos. El empresario dispone semanalmente de 4.500 horas para ensamblaje, de 8.400 Kg. De esmalte y 20.000 horas para control de calidad. Los estudios de mercado muestran que la demanda semanal de congeladores no supera las 1.700 unidades y que, en particular, la de tipo A es de, al menos, 600 unidades. Se desea:

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A. Formular un modelo de programación lineal que indique cuántos congeladores deben fabricarse de cada tipo para que el beneficio sea máximo, teniendo en cuenta el estudio de demanda.

B. Resolverlo mediante el método simplex. Interpretar la solución óptima incluyendo las variables de holgura.

C. Determinar los precios sombra de las horas de ensamblaje y control de calidad. Al fabricante le ofrecen disponer de 200 horas más para ensamblaje con un costo adicional total de $750.000 pesos. ¿Debería aceptar la oferta?

Solución TIPO DE CONGELADOR A B DISPONIBILIAD :

ENSAMBLAJE

PINTADO

2.5 3 4500

3 6 8400

X1: No. De congeladores tipo A X2: No. De congeladores tipo B F.O. Z (max) = (52-30)X1 + (48-28)X2 S.A. 2.5 X1 + 3 X2 <= 4500 3 X1 + 6 X2 <= 8400 14 X1 + 10 X2 <= 20000 X1 + X2 <= 1700 X2 >= 600

CONTROL DE CALIDAD 14 10 20000

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Variable -> Maximizar C1 C2 C3 C4 C5 Límite Inferior Limite Superior Tipo de Variable

X1 22 2.5 3 14 1 0 0

X2 20 3 6 10 1 1 0

M

M

Continua

Continua

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Dirección

R. H. S

    

4500 8400 20000 1700 600

El empresario debe fabricar 882 unidades de congeladores tipo A y 764 unidades de Congeladores tipo B para obtener una utilidad máxima de $ 34706 a son 765 unidades.

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26 de enero de 2014

Lógica Bayesiana Los métodos bayesianos han demostrado su eficacia al ajustar un modelo de probabilidad a un conjunto de datos y resumir el resultado por una distribución de probabilidad sobre los parámetros del modelo y sobre las cantidades no observadas, tales como las nuevas observaciones que deban predecirse. Las principales ventajas prácticas de la aproximación bayesiana aparecen en los modelos jerárquicos, que permiten estudiar problemas con estructuras complicadas. Un aspecto importante es la utilización de distribuciones de probabilidades iniciales que permitan hablar a los datos: son las distribuciones de probabilidad objetivas.

La teoría Bayesiana se encarga de estudiar y analizar al consumidor, se observan las características y los atributos que describen el comportamiento del potencial cliente. Consiste en aislar los atributos que la persona en cuestión le asigna al determinado producto, y una vez hecho esto aislarlo, y estudiarlo y analizarlo. Se dejan de lado todos los otros factores, como características del producto, del cliente, etc., y se centra simplemente en este atributo encontrado.

La teoría Bayesiana les da la libertad a los investigadores de estudiar la complejidad del comportamiento humano de una forma mucho más realista, de lo que era previamente posible. Aunque ningún método es 100 % exacto ya que la psiquis humana es demasiado compleja como para simplificarla en una teoría.

El razonamiento bayesiano proporciona un enfoque probabilístico a la inferencia. Está basado en la suposición de que las cantidad de interés son gobernadas por distribuciones de probabilidad y que se pueden tomar decisiones óptimas razonando sobre estas probabilidades junto con los datos obtenidos. Este enfoque está siendo utilizado en multitud de campos de investigación, de los que cabe destacar la robótica móvil y la visión computacional, ambas relacionadas con el contenido de esta tesis. En este apéndice queremos definir dos de las herramientas utilizadas en el desarrollo de esta tesis: el teorema de Bayes y el principio de longitud de descripción mínima.

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Formalmente hablando se trata de “estimar” el valor de las probabilidades revisadas asociadas a cada hipótesis (Escenarios) a través de la siguiente formula:

Tal expresión [ 1] aunque aparenta ser engorrosa, es muy fácil de aplicar. Ante todo, vamos a explicar el significado de cada término en [ 1] : El término:

Hi   P   E 1 & E 2 & .. En  Representa la probabilidad de ocurrencia de la HIPOTESIS (ESCENARIO) “ Hi”, dado que han ocurrido los EVENTOS E1 E2...... En; es decir, la Probabilidad de que ocurra “Hi”, en base a LAS EVIDENCIAS OBSERVADAS. El término:

P 0 H i  Representa la probabilidad de ocurrencia de “Hi” SIN EVIDENCIAS (EVENTOS) observados. Esta probabilidad suele llamarse la probabilidad a priori de la HIPOTESIS“Hi” o también la probabilidad inicial. Esta probabilidad es asignada al inicio del EJERCICIO DE PRONOSTICO. El término:

  Ej  P   H i & E 1 & E 2 & .. Ej  1 

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Representa la probabilidad (condicionada) de ocurrencia de “Ej.” dado que “Hi” ES CIERTA y han ocurrido los EVENTOS E1, E2........, Ej-1.

Estas probabilidades SON EL INSUMO BASICO DEL MODELO, por ello su interpretación tiene que estar muy clara, para evitar errores conceptuales que desvirtúen el uso del modelo. Así, es importante entender que estas probabilidades son la estimación (a juicio del grupo) de que OCURRA el EVENTO “Ej.”, sobre la base de que la HIPOTESIS “Hi” ES CIERTA; y además de esto, se han observado los hechos o eventos E1, E2,........., Ej-1.

Teoría de Juegos La teoría de juegos es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados «juegos») y llevar a cabo procesos de decisión. Sus investigadores estudian las estrategias óptimas así como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos. Tipos de interacción aparentemente distintos pueden, en realidad, presentar estructura de incentivo similar y, por lo tanto, se puede representar mil veces conjuntamente un mismo juego Desarrollada en sus comienzos como una herramienta para entender el comportamiento de la economía, la teoría de juegos se usa actualmente en muchos campos, como en la biología, sociología, psicología y filosofía.

Experimentó un crecimiento sustancial y se formalizó por primera vez a partir de los trabajos de John von Neumann y Oskar Morgenstern, antes y durante la Guerra Fría, debido sobre todo a su aplicación a la estrategia militar, en particular a causa del concepto de destrucción mutua garantizada. Desde los setenta, la teoría de juegos se ha aplicado a la conducta animal, incluyendo el desarrollo de las especies por la selección natural. A raíz de juegos como el dilema del prisionero, en los que el egoísmo generalizado perjudica a los jugadores, la teoría de juegos ha atraído también la atención de los investigadores en informática, usándose en inteligencia artificial y cibernética.

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Objetivo.

Su objetivo principal es la desarrollar criterios racionales para seleccionar una estrategia. Siendo una estrategia una acción definida por un tomador de decisiones con el fin de neutralizar o contrarrestar otra acción de su adversario. Una estrategia puede comprender solo una acción simple para juegos simples.

Ejemplo.

EL DILEMA DEL PRISONERO

El dilema del prisionero es el ejemplo más típico de teoría de juegos.

Supongamos que detienen a dos personas por delitos menores que les costarían a cada una dos años de cárcel. La policía sabe que han cometido uno peor, pero necesitan pruebas, supongamos que una declaración de uno de los dos.

Si ambos delatan al otro por el delito mayor irán seis años a la cárcel. Si uno delata y el otro no, el delator irá un año por colaborar y el otro irá diez años

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por el delito. Teniendo en cuenta que los prisioneros no pueden comunicarse entre ellos (están en habitaciones separadas) ¿qué harán?

Supongamos que somos uno de los dos prisioneros, no sabemos que hará el otro por lo que el mejor de los casos es delatar al otro independientemente de lo que haga, ya que en ambas situaciones minimizamos los años de pena esperados en la cárcel. Si el otro nos delata iremos seis años en vez de diez y si no nos delata iremos uno en vez de dos.

Dado que el otro es igual de inteligente que nosotros, lo más probable es que llegue a la misma decisión. Al final lo que acaba pasando es que ambos acaban perdiendo seis años entre rejas, mientras que si hubieran cooperado hubieran sido sólo dos. La situación alcanzada es un equilibrio de Nash, porque ambas partes no pueden cambiar sin empeorar. Es decir, no se haya la mejor situación para las partes.

Método de Localización y Transporte Es un método de programación lineal para la asignación de artículos de un conjunto de origines a un conjunto de destinos de tal manera que se optimice la función objetivo.

Esta técnica es particularmente usada en organizaciones que producen el mismo producto en numerosas plantas y que envía sus productos a diferentes destinos (Centros de distribución, almacenes). También se aplica en distribución, análisis de localización de plantas y programación de la producción.

Se han desarrollado diferentes enfoques para resolver este problema de distribución, tales como: El método de la esquina noroeste, el método modificado de la esquina noroeste (celda mínima), método del trampolín (Cruce de arroyo, stepping stone), método de la distribución modificada (MODI), método de aproximación de Vogel y el método simplex.

Se cubrirán únicamente en estas notas los siguientes métodos:

Compendio de técnicas para la toma de decisiones a)

Esquina Noroeste

b)

Modificado de la esquina Noroeste.

c)

Aproximación de Vogel.

d)

Del trampolín (Stepping stone)

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Para que un problema pueda ser solucionado por el método de transporte, este debe reunir tres condiciones:

1)

La función objetivo y las restricciones deben de ser lineales.

2) Los artículos deben de ser uniformes e intercambiables, los coeficientes de todas las variables en la ecuación deben de ser 0 o 1.

3) La suma de las capacidades de las fuentes debe ser igual a la suma de los requerimientos de los destinos, si alguna desigualdad existe una variable de holgura deberá ser añadida.

Ejemplo: Se trata de elegir la localización adecuada de un proyecto basado en los siguientes aspectos:  



Los costos totales son: 33.5$ para la localización A, 42.5$ para la B, 37.5$ para C y 40.5$ para D. Los factores incidentes son: Energía Eléctrica (F1), Agua(F2), Disponibilidad de Mano de Obra (F3). Se sabe además que F2 tiene el doble de importancia que F1 y F3.

Las calificaciones dadas sobre 10 de cada factor con respecto a las Localizaciones son:

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Soluci贸n: CALIFICACION DE LOS FACTORES RESPECTO A CADA FACTOR (SOBRE 10)

FSA: 8.25 FSB: 5 FSC: 7.25 FSD: 8.5

Compendio de tĂŠcnicas para la toma de decisiones

A: 0.5 x 0.2849 + 0.5 x 8.25 = 4.2674 B: 0.5 x 0.2246 + 0.5 x 5 = 2.6123 C: 0.5 x 0.2545 + 0.5 x 7.25 = 3.7522 D: 0.5 x 0.2354 + 0.5 x 8.5 = 4.3677

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Técnica de Monte Carlo El método de Monte Carlo es un método no determinista o estadístico numérico, usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. El método se llamó así en referencia al Casino de Monte Carlo (Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Monte Carlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el desarrollo de la computadora.

El uso de los métodos de Monte Carlo como herramienta de investigación, proviene del trabajo realizado en el desarrollo de la bomba atómica durante la Segunda Guerra Mundial en el Laboratorio Nacional de Los Álamos en EE. UU. Este trabajo conllevaba la simulación de problemas probabilísticos de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones en el material de fisión. Esta difusión posee un comportamiento eminentemente aleatorio. En la actualidad es parte fundamental de los algoritmos de Raytracing para la generación de imágenes 3D.

Ejemplo:

Si deseamos reproducir, mediante números aleatorios, la tirada sucesiva de una moneda, debemos previamente asignarle un intervalo de números aleatorios a CARA y otro a CRUZ, de manera de poder interpretar el resultado de la simulación. Tales intervalos se asignan en función de las probabilidades de ocurrencia de cada cara de la moneda. Tenemos así:

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CARA Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,000 al 0,499 CRUZ Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,500 al 0,999 Después, al generar un número aleatorio a partir de la función RAN de la calculadora, por ejemplo, obtenemos el resultado simulado. Así, si obtenemos el número aleatorio 0,385, observamos que está incluido en el intervalo asignado a CARA. En otras aplicaciones, se asocian intervalos de números aleatorios según las probabilidades de ocurrencia de los eventos a simular.

Referencias Bibliográficas.

Autor: Martin López Sonia. http://www.expansion.com/diccionario-economico/simulacion-de-montecarlo.html Autor: Jean Baptiste Joseph Fourier, Nacido el 21 de Marzo de 1768 http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier Autor: George Bernard Dantzig, Nacido el 18 de Octubre de 1947 http://es.wikipedia.org/wiki/George_Dantzig Autor: Robert Gibbson Nacido el 24 de Diciembre de 1811 http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_juegos Método de Localización y Transporte, Autor sin nombre. http://www.buenastareas.com/ensayos/Modelo-De-Transporte-Como-TecnicaDe/2338054.html