a. co m ar n
Tanja Končan, Vilma Moderc in Rozalija Strojan
kn
jig
Skrivnosti števil in oblik
SSIO 9 SDZ_1_zvezek.indd 1
9 12/09/2018 12:41
Tanja Končan, Vilma Moderc in Rozalija Strojan
Skrivnosti števil in oblik 9 Samostojni delovni zvezek za matematiko v 9. razredu osnovne šole − 1. del
Urednik: Pavle Šijanec Strokovni pregled: Pika Klopčar Jezikovni pregled: Katja Paladin Ilustrator: Iztok Sitar Tehnične risbe: Jurko Končan
a. co m
Recenzija: Tone Rozman, Barbara Rednak Robič
Fotografije: str. 29 (Shutterstock/Jojje), str. 29 (Jurko Končan) Direktor produkcije: Klemen Fedran Izdala in založila: Založba Rokus Klett, d. o. o. Za založbo: Maruša Dejak
ar n
Oblikovanje: Jasna Karnar Oblikovanje naslovnice: Grega Inkret Prelom: Goran Karim Tisk: Schwarz print, d. o. o. 1. izdaja: 3. ponatis Naklada: 1500 izvodov Dotis: 4000 izvodov
jig
Ljubljana 2020
Vse knjige in dodatna gradiva Založbe Rokus Klett dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com.
kn
© Založba Rokus Klett, d. o. o. (2016). Vse pravice pridržane. Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava ali druga uporaba avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, kot tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.
Založba Rokus Klett, d. o. o. Stegne 9 b, 1000 Ljubljana telefon: 01 513 46 00 e-naslov: rokus@rokus-klett.si www.rokus-klett.si
SSIO 9 SDZ_1_zvezek.indd 2
CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.2)(076.2) KONČAN, Tanja Skrivnosti števil in oblik 9. Samostojni delovni zvezek za matematiko v 9. razredu osnovne šole / Tanja Končan, Vilma Moderc in Rozalija Strojan ; [ilustrator Iztok Sitar, tehnične risbe Jurko Končan ; fotografije Shutterstock]. - 1. izd., 2. ponatis. - Ljubljana : Rokus Klett, 2018 ISBN 978-961-271-640-0 1. Dr. vzp. stv. nasl. 2. Moderc, Vilma 3. Strojan, Rozalija 292813824
11/09/2020 12:13
KAZALO 1 IZRAZI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. Ponovitev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2. Množenje dvočlenika z dvočlenikom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3. Kvadrat dvočlenika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4. Produkt vsote in razlike dveh enakih členov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5. Razstavljanje izraza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6. Ponovimo izraze s spremenljivkami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Ali si že mojster? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
a. co m
2 ALGEBRSKI ULOMKI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1. Algebrski ulomek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2. Razširjanje in krajšanje algebrskih ulomkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3. Računanje z algebrskimi ulomki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Ali si že mojster? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3 ENAČBE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1. Linearna enačba, osnovna množica in množica rešitev . . . . . . . . . . . . . . . 80 2. Reševanje linearnih enačb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3. Reševanje linearnih enačb z oklepaji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4. Reševanje linearnih enačb z ulomki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5. Reševanje linearnih neenačb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6. Izražanje neznane količine iz enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7. Razcepne enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 8. Enačba s parametri in obravnava enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 9. Algebrske enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Ali si že mojster? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Mojster preveri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
kn
jig
ar n
SSIO 9 SDZ_1_zvezek.indd 3
12/09/2018 12:41
Dragi učenci in učitelji, pred vami je samostojni delovni zvezek, ki je učbenik in delovni zvezek v enem. Vsako poglavje vsebuje tematsko zaokrožena podpoglavja z izbranimi nalogami in najpomembnejšimi ugotovitvami. Pod naslovom Z mojstrom do znanja so v obliki vprašanj napovedani učni cilji. Na začetku vsakega podpoglavja je motivacijska naloga, ki pomaga obnoviti predznanje ali vodi k razmišljanju.
a. co m
Razdelek Mojster reši predstavlja rešene zglede, ki odkrivajo vsebino teme posameznega podpoglavja.
V razdelku Vaja dela mojstra se prepletajo naloge iz vsakdanjega življenja in so različnih težavnostih stopenj. Namenjene so učinkovitemu utrjevanju ter ponavljanju snovi v razredu in doma. Usvojeno znanje tematskega sklopa lahko vsakdo preveri v razdelku Ali si že mojster? V razdelku Mojster preveri so rešitve, ki omogočajo povratno informacijo o pravilnosti reševanja. Nahaja se na koncu vsakega zvezka.
ar n
Gradivo vsebuje povzetke v obliki definicij, pravil in usmeritev za uspešno delo.
V belih oblačkih so napisane pomembne zakonitosti, pravila in ugotovitve.
jig
V obarvanih oblačkih so napisani dogovori, namigi, opozorila in nasveti za lažje delo. V želji, da bi vsi, učenci in učitelji, z veseljem uporabljali samostojni delovni zvezek ter da bi vsi skupaj spoznavali vpetost matematike v življenje, da bi v matematičnem jeziku reševali probleme, ki jih srečujemo v svojem vsakdanjiku, in pri tem čim bolj napredovali, vas pozdravljamo.
kn
Avtorice
SSIO 9 SDZ_1_zvezek.indd 4
12/09/2018 12:41
a. co m
1
kn
jig
ar n
IZRAZI
SSIO 9 SDZ_1_zvezek.indd 5
12/09/2018 12:41
1. Ponovitev
a. co m
Ponovil boš: - osnovne računske operacije z racionalnimi števili, - računanje vrednosti številskih izrazov z racionalnimi števili z oklepaji in brez njih, - prepoznavanje členov in faktorjev v izrazih, - seštevanje in odštevanje veččlenikov, - množenje veččlenika z enočlenikom, - izpostavljanje skupnega faktorja, - poenostavljanje izrazov s spremenljivkami, - računanje vrednosti izrazov za dane vrednosti spremenljivk.
Spremenljivka je spremenljiva količina, ki nima točno določene vrednosti. Označimo jo s črko. Spremenljivka nadomešča poljubno število. Izrazi s spremenljivko so izrazi, ki poleg števil vsebujejo tudi črkovne oznake.
ar n
Izraz s spremenljivko poimenujemo po rezultatu operacije, ki nastopa v izrazu, če je ena sama, ali po rezultatu operacije, ki jo opravimo nazadnje, če je operacij več. Poimenovanje
Izraz
Poimenovanje
a+4
vsota
2a+b
vsota
3–a
razlika
9–3a
razlika
ab
produkt
(a + 1) 5
produkt
a:4
količnik
a+3 2
količnik
a5
potenca
(a + 2)3
potenca
16a2
koren
a2 – 36
koren
jig
Izraz
kn
Po številu spremenljivk ločimo: izraz z eno spremenljivko 2 a2 + 5 a – 4 izraz z dvema spremenljivkama 2 a2 + 5 b – 4 2 izraz s tremi spremenljivkami 2 a + 5 b – c Po številu členov ločimo: 3 a2 enočlenik dvočlenik a2 + b tričlenik a2 + b – c 2 2 a + 5 b – c + 6 štiričlenik Veččlenik je izraz z več kot enim členom. a+b+c+…+x+y+z
6 | Ponovitev
SSIO 9 SDZ_1_zvezek.indd 6
12/09/2018 12:41
Enočlenike: – seštevamo oziroma odštevamo tako, da seštejemo oziroma odštejemo podobne enočlenike: 2a – 3b + 4c + 6a – 2c = 8a – 3b + 2c Podobni enočleniki imajo enako spremenljivko (ali enak produkt spremenljivk) in različne koeficiente.
a. co m
– množimo tako, da pomnožimo koeficiente posebej in spremenljivke posebej: 3a 2ab = 6a2b Produkt spremenljivk zapišemo s potenco in uredimo po abecedi. – delimo s številom tako, da koeficient enočlenika delimo s številom, spremenljivko pa prepišemo: 15a3 : 3 = 5a3 – poenostavimo tako, da izvedemo računske operacije in odpravimo oklepaje: x – (–x + 3y) = x + x – 3y = 2x – 3y Izraz
Geometrijska ponazoritev a
3a
a
a
y
xy
Geometrijska ponazoritev
z2
z
z
c
c3
ar n
x
Izraz
c
c
jig
Mojster reši
1. Izračunaj vrednost izraza.
2 2 3 9 1 3 64 a) 2 – 1 – (–2) 1,25 – – 1 b) – – 3 3 4 15 2 25
kn
Reševanje: a)
2 2 3 2 – 1 – (–2) 1,25 – – 1 = 3 3 4
5 1 2 7 = 2 – – (–2) 1 – – = 3 4 3 4
5 2 5 1 271 – – = = 2 – – – 3 142 342
Decimalno število zapišemo z ustreznim ulomkom, saj je v tem primeru to mogoče. V notranjem oklepaju najprej zmnožimo ulomke. Pri tem pazimo na ustrezen predznak in pred množenjem ulomke krajšamo. V notranjem oklepaju izračunamo produkt ulomkov in zapišemo ustrezen predznak, saj je pred oklepajem znak minus. Ponovitev | 7
SSIO 9 SDZ_1_zvezek.indd 7
12/09/2018 12:41
7 5 5 = 2 – + + = 6 3 2
Zapišemo vsoto ulomkov v oklepaju, ter jih razširimo na skupni imenovalec.
7 10 15 = 2 – + + = 6 6 6 25 7 + = 6 6
7 25 = 2 – = 6 6 7 1 = 2 – 4 = 6 6 1 1 = 3 – 4 = 6 6 = –1 9 1 3 64 = – – 15 2 25
b)
9 1 8 – – = 15 8 5
=
9 181 = – – 15 851
=
9 1 + = 15 5
=
12 = 15
Potenciranje in korenjenje imata prednost pred vsemi ostalimi računskimi operacijami, zato najprej potenciramo in nato korenimo. V nadaljevanju računamo po zakonitostih, ki jih že poznamo.
jig
4 5
Izračunamo razliko ulomkov in dobimo vrednost številskega izraza.
ar n
=
Seštejemo enako predznačeni števili.
a. co m
=2–
Izračunamo vrednost v oklepaju in odpravimo oklepaj ter pri tem pazimo na ustrezen predznak.
=
2. Poenostavi izraz.
kn
a) 3x2 – 2x + (–4x2 – (–2x + 5))
b) 8c + (b + 2) (–2) – 3 (2c – b)
Reševanje: a)
3x2 – 2x + (–4x2 – (–2x + 5)) =
Odpravimo notranji oklepaj. Ker je pred oklepajem znak minus, se predznaki znotraj oklepaja spremenijo.
= 3x2 – 2x + (–4x2 + 2x – 5) =
Odpravimo oklepaj. Ker je pred oklepajem znak plus, se predznaki znotraj oklepaja ohranijo.
= 3x2 – 2x – 4x2 + 2x – 5 =
Združimo podobne enočlenike.
= –x2 – 5 8 | Ponovitev
SSIO 9 SDZ_1_zvezek.indd 8
12/09/2018 12:41
b)
8c + (b + 2) (–2) – 3 (2c – b) =
Vsak člen dvočlenika pomnožimo s številom.
= 8c + (–2b – 4) – (6c – 3b) =
Odpravimo oklepaje.
= 8c – 2b – 4 – 6c + 3b =
Skrčimo podobne enočlenike.
= b + 2c – 4 3. Poenostavi izraz 3 + 2x – (–5x + 4) in izračunaj njegovo vrednost za x = –2. 3 + 2x – (–5x + 4) =
Odpravimo oklepaje. Združimo podobne enočlenike.
a. co m
= 3 + 2x + 5x – 4 = = 7x – 1
Vrednost izraza lahko izračunamo na dva načina:
1. način: vrednost spremenljivke vstavimo pred poenostavljanjem: 3 + 2 (–2) – (–5 (–2) + 4) = = 3 + (–4) – (10 + 4) = = 3 – 4 – 14 = = –15
2. način: vrednost spremenljivke vstavimo po poenostavljanju:
ar n
7 (–2) – 1 = = –14 – 1 = = –15
jig
V večini primerov je preprosteje, če vstavimo vrednost spremenljivke v poenostavljeni izraz.
Vaja dela mojstra
kn
1. Izračunaj.
a) (–3) + (–9) =
č) –8 + 6 =
b) (–4) + (+7) =
d) –6 + 11 =
c) (–8) + (+5) = e) –11 + (–9) =
2. Na označeno mesto vstavi tako celo število, da bo zapisana enakost pravilna. a) (–5) + č)
= –2 + (–7) = 1
b) d) –8 +
+ 6 = –3
c) 7 +
= –4
= 5
e) 6 +
=9
Ponovitev | 9
SSIO 9 SDZ_1_zvezek.indd 9
12/09/2018 12:41
3. Izračunaj. 1 9 b) – + = 6 10
c)
5 3 + – = 6 4
5 7 č) – + = 8 10
d)
1 1 + – = 6 9
3 + (–2,5) = 5
3 b) 1,75 + –2 = 7
jig
a)
2 5 e) – + – = 3 6
ar n
4. Izračunaj.
a. co m
3 3 a) 1 + – = 10 10
1 c) –2,4 + 3 = 3
kn
č) –2,3 + 3,1 =
5. Zapiši razliko kot vsoto in jo izračunaj. a) 54 – 36 =
b) 44 – 53 =
c) 44 – 19 =
č) –15 – 72 =
10 | Ponovitev
SSIO 9 SDZ_1_zvezek.indd 10
12/09/2018 12:41
d) 45 – (–17) =
e) –55 – (–28) =
6. Izračunaj razliko. a) 15 – 9 = č) –12 – 0 =
b) 16 – 23 =
c) –7 – 5 =
d) 12 – 14 =
e) –12 – 13 =
7. Izračunaj.
9 3 – + = 10 5
jig
8. Izračunaj.
kn
3 2 a) 0,5 – – – = 4 3
c)
2 5 č) 1 – 2 = 9 6
ar n
c) – 1
3 2 b) 1 – – 1 = 4 3
a. co m
3 2 a) – 1 – – 1 = 4 3
1 1 7 – – – = 4 9 36
3 b) –1,2 – (–2,89) – 1 = 4
č) 0,25 –
3 1 – – = 5 3
Ponovitev | 11
SSIO 9 SDZ_1_zvezek.indd 11
12/09/2018 12:41
9. Izračunaj vrednost izraza. b) (3 + 4 – 9) – (–5 + 6 – 2) =
a. co m
a) (–8 + 6 + 3) + (2 + 5 – 8) =
c) (2 – (6 + 1)) – (–10 – 6 + 3) =
ar n
d) 3 + (5 – (9 + (7 – 3))) =
č) 17 – (9 + (5 – 8)) =
10. Dana so števila –8, 5 in –11.
kn
jig
a) Zapiši vse možne razlike dveh različnih števil. b) Kolikšna je največja in kolikšna najmanjša vrednost dobljenih razlik?
Odg.: b)
11. Zapiši izraz a – b za dane vrednosti spremenljivk in izračunaj njegovo vrednost. a) a = –4, b = –5
b) a = 3, b = 7
12 | Ponovitev
SSIO 9 SDZ_1_zvezek.indd 12
12/09/2018 12:41