Jože Berk, Jana Draksler, Marjana Robič
Skrivnosti števil in oblik 7
NOVE SKRIVNOSTI
Samostojni delovni zvezek za matematiko v 7. razredu osnovne šole 1. del
Jože Berk, Jana Draksler in Marjana Robič
Skrivnosti števil in oblik 7
Nove skrivnosti
Samostojni delovni zvezek za matematiko v 7. razredu osnovne šole, 1. del
Uredila: Pika Klopčar
Strokovni pregled: Darja Čermelj
Jezikovni pregled: Renata Vrčkovnik
Fotografije: David Guček, Istockphoto, Shutterstock (natančen seznam je na koncu gradiva)
Direktor produkcije: Klemen Fedran
Izdala in založila: Založba Rokus Klett, d. o. o.
Za založbo: Maruša Dejak
Oblikovanje naslovnice: Beti Jazbec, Jasna Karnar
Oblikovanje notranjosti: Beti Jazbec
Prelom: Danilo Frlež
Tisk: Evrografis, d. o. o.
1. izdaja: 2. ponatis
Naklada: 2.800 izvodov
Ljubljana 2025
knjigarna.com
in dodatna gradiva Založbe Rokus Klett dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com
Založba Rokus Klett, d. o. o. (2023). Vse pravice pridržane.
Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava ali druga uporaba avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, kot tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.
Založba Rokus Klett, d. o. o. Stegne 9 b, 1000 Ljubljana
telefon: 01 513 46 00
e-naslov: rokus@rokus-klett.si www.rokus-klett.si
CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana
51(075.2)(076.1)
BERK, Jože Skrivnosti števil in oblik 7. Nove skrivnosti : samostojni delovni zvezek za matematiko v 7. razredu osnovne šole / Jože Berk, Jana Draksler, Marjana Robič ; [fotografije David Guček, Istockphoto, Shutterstock]. - 1. izd., 2. ponatis. - Ljubljana : Rokus Klett, 2025
ISBN 978-961-292-365-5 (komplet) COBISS.SI-ID 216432387
Vse knjige
Vsako poglavje se začne s kratko ponovitvijo snovi iz preteklih let. V rubriki To že znam lahko preveriš, katere pojme, definicije in postopke boš v poglavju uporabljal/-a.
Kako uporabljati
samostojni delovni zvezek
Utrdim
1
in ga zapiši. a) D(4, 6) = b) D(8, 12) = c) D(6, 15) = č) D(15, 28) = d) D(21, 35) = e) D(36, 42) =
2
Vsako poglavje se konča s kratkim preverjanjem znanja in ocenjevanjem znanja.
Osnovna razlaga vdelovnemsamostojnemzvezku je na oranžni podlagi, zgledi pa na modri.
Naloge so razvrščene v dve skupini: Utrdim novo znanje in Rešim še to. V prvi skupini naloge rešuješ kar v samostojni delovni zvezek, druge naloge pa v zvezek.
D(60, 75) = g) D(12, 20, 24) = Razišči pravilnost izjav. Pred pravilne zapiši P, pred nepravilne pa N. Slednje izjave smiselno popravi tako, da spremeniš podčrtane zapise. Število 2 je najmanjše praštevilo. Produkt dveh praštevil je praštevilo Število razcepimo
PREVERITE REŠITVE
1. Rešite nalogo v tiskanem samostojnem delovnem zvezku.
2. Poskenirajte QR kodo.
3. Odprite povezavo.
4. Fotografirajte stran v zvezku in fotografijo potrdite.
knjigarna.com
Pravilne rešitve se obarvajo zeleno, nepravilne rdeče. Pri nerešenih primerih se pojavijo vprašaji. Naloge, označene z rdečim okvirčkom, lahko popravite in postopek ponovite.
Pri nalogah odprtega tipa sistem pokaže rešitev in jo nato preverite sami.
NARAVNA ŠTEVILA 1.
Večkratniki
Večkratnike naravnega števila a dobimo tako, da število a pomnožimo z zaporednimi naravnimi števili.
1 · 6 = 6
2 · 6 = 12
3 · 6 = 18
4 · 6 = 24
5 6 = 30
6 6 = 36 ...
Števila 6, 12, 18, 24, 30, 36 … so večkratniki števila 6.
V6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36 …}
Zapiši množico večkratnikov števila 13.
1.1 Pravila za deljivost števil
1.2 Praštevila
1.3 Razcep na prafaktorje
1.4 Skupni delitelji
1.5 Skupni večkratniki
knjigarna.com
TO ŽE ZNAM
Pravila za deljivost
Število je deljivo z 2, če je na mestu enic števka 0, 2, 4, 6 ali 8.
Število je deljivo s 5, če je na mestu enic števka 0 ali 5.
Število je deljivo s 3, če je vsota njegovih števk deljiva s 3.
Število je deljivo z 9, če je vsota njegovih števk deljiva z 9.
Število je deljivo z 10, če je na mestu enic ničla.
Število je deljivo z 10n, če se konča z najmanj n zaporednimi ničlami.
Preveri, ali je število 4308 deljivo z 2, 3, 5, 9 ali 10.
Delitelji
Naravno število b je delitelj števila a, če je pri deljenju a : b ostanek 0.
6 : 1 = 6, ostanek 0
6 : 2 = 3, ostanek 0
6 : 3 = 2, ostanek 0
6 : 4 = 1, ostanek 2
6 : 5 = 1, ostanek 1
6 : 6 = 1, ostanek 0
Števila 1, 2, 3 in 6 so delitelji števila 6, ker je pri deljenju z njimi ostanek 0.
D6 = {1, 2, 3, 6}
Zapiši množico deliteljev števila 32.
Znali bomo
Æ pravila za deljivost z 4, 8, 25 in 125, Æ uporabiti omenjena pravila. s 4, 125 pravila
Število, ki je deljivo z 8, je deljivo tudi z 2 in s 4.
Število, ki je deljivo s 4, je deljivo tudi z 2.
Število, ki je deljivo z 10, je deljivo tudi z 2 in s 5.
1.1 Pravila za deljivost števil Izbirna
Deljivost s 4 in 25
Število je deljivo s 4, če je njegov dvomestni konec deljiv s 4.
Dvomestni konec je torej lahko enak 00, 04, 08, 12, 16, ..., 84, 88, 92, 96.
Število je deljivo s 25, če je njegov dvomestni konec deljiv s 25.
Dvomestni konec je torej lahko enak 00, 25, 50 ali 75.
4 ∙ 25 = 100
Torej so večkratniki števila 100 deljivi s 4 in s 25; zato je dovolj pogledati le dvomestni konec.
1848 je deljivo s 4, ker je 48 deljivo s 4 (48 : 4 = 12).
1848 ni deljivo s 25, ker 48 ni deljivo s 25 (48 : 25 = 1, 23 ostane).
Deljivost z 8 in 125
2 5 = 10
22 52 = 102
4 25 = 100
23 53 = 103
8 125 = 1000
Zapomnim si
Število je deljivo z 8, če je njegov trimestni konec deljiv z 8.
Trimestni konec je torej lahko enak 000, 008, 016, 024, 032, ..., 968, 976, 984, 992.
Število je deljivo s 125, če je njegov trimestni konec deljiv s 125.
Trimestni konec je torej lahko enak 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750 ali 875.
8 ∙ 125 = 1000
Torej so večkratniki števila 1000 deljivi z 8 in s 125; zato je dovolj pogledati le trimestni konec.
1848 je deljivo z 8, ker je 848 deljivo z 8 (848 : 8 = 106).
1848 ni deljivo s 125, ker 848 ni deljivo s 125 (848 : 125 = 6, 98 ostane).
S 4 so deljiva števila, katerih dvomestni konec je deljiv s številom 4.
S 25 so deljiva števila, ki se končajo z 00, 25, 50 ali 75.
Z 8 so deljiva števila, katerih trimestni konec je deljiv s številom 8.
S 125 so deljiva števila, katerih trimestni konec je deljiv s številom 125.
Število
Rešimo skupaj
Zgled 2 Zapišimo vse možne števke namesto črke a tako, da bo število 1240a: a) deljivo s 4 b) deljivo z 8 c) deljivo s 25 č) deljivo z 102 Rešitve preverimo z deljenjem.
a) Pogledamo le dvomestni konec števila, torej 0a. Število bo deljivo s 4, če je na mestu enic (a-ja) števka 0 (00 : 4 = 0), števka 4 (04 : 4 = 1) ali števka 8 (08 : 4 = 2).
Odgovor: a = 0, a = 4, a = 8
b) Pogledamo le trimestni konec števila, torej 40a. Število bo deljivo z 8, če je na mestu enic (a-ja) števka 0 (400 : 8 = 50) ali števka 8 (408 : 4 = 51).
Odgovor: a = 0, a = 8
c) Pogledamo le dvomestni konec števila, torej 0a. Število bo deljivo s 25, če je na mestu enic (a-ja) števka 0 (00 : 25 = 0).
Odgovor: a = 0
č) Pogledamo število ničel na koncu števila. Število bo deljivo z 102, če se konča z dvema ničlama. Števka 0 je tako na mestu desetic in na mestu enic. Črko a torej zamenja števka 0 (12 400 : 102 = 1240).
Odgovor: a = 0
Utrdim novo znanje
1 Nadaljuj zaporedje še s šestimi členi in zapiši pravilo.
a) 7688, 7692, 7696, , , , , , …
Pravilo:
b) 125 152, 125 144, 125 136, , , , , , …
Pravilo:
2 Izpolni preglednico. Vstavi ✓, če je število deljivo z danim številom, ali pusti prazen okvirček, če ni deljivo. Pomagaj si s pravili za deljivost, kjer je to mogoče. Deljivo z
375 25 884 128 400
a) Zapiši pravilo za deljivost s številom 6.
b) Pri katerem številu nisi mogel/-la uporabiti pravila za preverjanje deljivosti?
knjigarna.com
*3 Pred pravilno izjavo zapiši P, pred nepravilno pa N. Nepravilno nato popravi tako, da spremeniš podčrtani del.
a) Če je število deljivo s 25, je vedno deljivo tudi s 125.
b) Vsa števila, ki so deljiva z 8, so deljiva tudi s 4
c) Vsa števila, ki so po deljenju s 4 deljiva še z 2, so deljiva z 8
č) Vsa števila, ki imajo ničle na mestih enic, desetic in stotic, so deljiva s 4 in s 25.
*4 Za vsako pravilno oziroma popravljeno trditev iz naloge 3 zapiši tri štirimestna števila, ki potrjujejo izjavo.
a) , ,
, , c) , ,
*5 Zapiši vse možne števke namesto a, b, c in d, da bo:
a) 64 a32 deljivo s 4. a =
b) 64 b32 deljivo z 8. b =
c) 64 3cd deljivo s 25. c = d = ; c = d = ; c = d = ; c = d =
Rešim še to 6 Zapiši pet števil po navodilu.
a) Najmanjša števila, ki so večja od 1830 in so deljiva s 25.
b) Največja števila, ki so manjša od 1830 in so deljiva s 125.
c) Najmanjša štirimestna števila, ki imajo dve stotici in so deljiva s 4.
č) Največja štirimestna števila, ki imajo šest stotic in so deljiva z 8.
**7 Dano je zaporedje 10, 18, 26, 34, 42, 50 …
a) Nadaljuj zaporedje z naslednjimi desetimi členi.
b) Zapiši petdeseti člen tega zaporedja.
c) Z algebrskim izrazom zapiši pravilo za to zaporedje.
1.2 Praštevila
Zapišimo delitelje števil 15, 16 in 17.
D15 = {1, 3, 5, 15}
D16 = {1, 2, 4, 8, 16}
D17 = {1, 17}
Števila, ki imajo natanko dva delitelja, imenujemo praštevila; števila, ki imajo več kot dva delitelja, pa sestavljena števila. Števili 15 in 16 sta torej sestavljeni števili, število 17 pa je praštevilo.
NARAVNA ŠTEVILA
Število 1 Praštevila
Sestavljena števila 1
Ima natanko en delitelj, to je število 1.
Znali bomo
Æ deliti naravna števila glede na število deliteljev
Æ prepoznati praštevila in sestavljena števila
2, 3, 5, 7, 11 …
Imajo natanko dva delitelja: število 1 in samega sebe.
Število 1 ni niti praštevilo niti sestavljeno število.
4, 6, 8, 9, 10 …
Imajo več kot dva delitelja.
Število 2 je edino sodo praštevilo. Zapomnim si
Rešimo skupaj
Zgled 1 Zapišimo množice deliteljev za števila od 1 do 10 in ugotovimo, katera izmed njih so praštevila.
D1 = {1} D2 = {1, 2} D3 = {1, 3} D4 = {1, 2, 4} D5 = {1, 5}
D6 = {1, 2, 3, 6} D7 = {1, 7} D8 = {1, 2, 4, 8} D9 = {1, 3, 9} D10 = {1, 2, 5, 10}
Praštevila so 2, 3, 5 in 7, ker imajo natanko dva delitelja.
Utrdim novo znanje
1 Za vsako število iz preglednice zapiši množico deliteljev in dopolni preglednico.
Zapiši P, če je število praštevilo, in S, če je sestavljeno število.
Število 49 58 73 84 91 97
Število deliteljev P/S
2
Z Eratostenovim sitom poišči vsa praštevila od 1 do 100.
1. korak: Obkroži število 2 in prečrtaj vse ostale večkratnike števila 2, ker niso praštevila.
2. korak: Obkroži število 3 in prečrtaj vse ostale večkratnike števila 3, ker niso praštevila.
3. korak: Obkroži število 5 in prečrtaj vse ostale večkratnike števila 5, ker niso praštevila.
4. korak: Obkroži naslednje neprečrtano število in prečrtaj vse ostale njegove večkratnike, ker niso praštevila.
Nadaljuj po tem postopku vse do števila 100. Obkrožena števila so praštevila.
3 V prazen okvirček zapiši danemu številu najbližje praštevilo.
Rešim še to
4 Ali obstajata dve zaporedni naravni števili, ki sta hkrati praštevili? Če ja, ju zapiši. Ali sta to edini taki praštevili? Zakaj?
*5 Pravilno izjavo prepiši v zvezek, v nepravilni pa najprej popravi podčrtani del, tako da bo izjava pravilnam, in jo nato zapiši v zvezek.
a) Praštevila so števila, ki imajo manj kot tri delitelje. b) Vsa praštevila so liha.
c) Število 1 ni praštevilo č) Sestavljeno število ima vsaj dva delitelja. d) Število, ki nima več kot dveh deliteljev, je praštevilo. e) Najmanjše sestavljeno število je 4.
6 Zapiši množice deliteljev za vsa sestavljena števila med 20 in 40.
7 Utemelji, zakaj število 81 ni praštevilo.
*8 Nadaljuj dano zaporedje. Nato zapiši, kako imenujemo zapisana števila.
a) 2, 3, 5, 7, 11 … Zapiši le člene, ki so manjši od 100.
b) 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42 … Zapiši le člene, ki so manjši od 70.
**9 Med prvimi dvajsetimi naravnimi števili poišči tista števila, ki imajo za predhodnika in za naslednika praštevilo. Zapiši vse take trojice števil.