C
M
Y
CM
MY
CY CMY
K
om
Janez Šparovec, Dušan Kavka, Gregor Pavlič, Marina Rugelj
ar na .c
OD KLJUČAVNICE
jig
DO INTEGRALA
kn
MATEMATIKA ZA 4. LETNIK TEHNIŠKIH IN DRUGIH STROKOVNIH ŠOL
Composite
00_aparat.fm Page 178 Thursday, August 26, 2021 9:51 AM
OD KLJU^AVNICE DO INTEGRALA Matematika za 4. letnik tehni{kih in drugih strokovnih {ol
na .c om
Avtorji Janez [parovec, Du{an Kavka, Gregor Pavli~, Marina Rugelj Recenzenti dr. Matija Cencelj, Meta Horvat Urednica Simona Knez
Lektorica Renata Vr~kovnik Ilustracije Darko Simer{ek
Fotografije arhiv zalo‘be Modrijan, Zvonka Kos, Igor Modic, Gregor Pavli~, Marina Rugelj, Jurij Senega~nik Oprema Gorazd Rogelj
Oblikovanje Gorazd Rogelj, Iztok Kramar Prelom Goran ^ur~i~
jig
ar
Izdala in zalo‘ila Modrijan izobraževanje, d. o. o. Za zalo‘bo Matic Jurkošek Tisk Bulvest Print AD Naklada 300 izvodov Ljubljana 2021 Deseta izdaja
kn
© Modrijan izobraževanje, d. o. o. Vse pravice pridržane. Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava ali druga uporaba tega avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.
CIP – Katalo‘ni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knji‘nica, Ljubljana 51(075.3) CIPOD klju~avnice do integrala : matematika za 4. letnik tehni{kih in drugih strokovnih {ol / Janez [parovec … [et al.] ; [ilustracije Darko Simer{ek ; fotografije arhiv zalo‘be Modrijan … et al.]. – 10. izd. – Ljubljana : Modrijan izobraževanje, 2021 ISBN 978-961-7121-15-5 COBISS.SI-ID 74084355
PP00_aparat.fm Page 179 Friday, April 1, 2011 12:31 PM
Kombinatorika Osnovni izrek kombinatorike Permutacije
na .c om
VSEBINA
6
10 15
Variacije
20
Kombinacije Kombinatorika in preslikave
Osnove statistike Osnovni pojmi statistike
ar
Urejanje in grupiranje podatkov
25 33
38
40
47
Grafi~no prikazovanje podatkov
54
Srednje vrednosti
63
jig
Razpr{enost podatkov
Zaporedja
68
82 86
Aritmeti~no zaporedje
91
Kon~na aritmeti~na vrsta
94
Geometrijsko zaporedje
97
kn
Zaporedja in njihove lastnosti
Kon~na geometrijska vrsta
101
Navadno in obrestno obrestovanje
104
Obro~na vpla~ila in izpla~ila
109
PP00_aparat.fm Page 180 Friday, April 1, 2011 12:31 PM
Odvod in integral
114 118
Ra~unanje s funkcijami
122
Limita
128
Odvod
133
Uporaba odvoda Nedolo~eni integral Dolo~eni integral
na .c om
Zveznost funkcij
142
154
159 163
Prostornine rotacijskih teles
170
kn
jig
ar
Zveza med dolo~enim in nedolo~enim integralom
PP00_aparat.fm Page 181 Friday, April 1, 2011 12:31 PM
UVOD Avtorji se s ~etrto knjigo zbirke matemati~nih u~benikov za tehni{ke in druge srednje strokovne {ole poslavljamo od vas.
Zgodovinski uvod
na .c om
Kljub napornemu delu z veseljem gledamo nazaj in smo ponosni na svoje delo, hkrati pa upamo, da boste bralci zadovoljni tudi s to zadnjo knjigo. Z vsemi {tirimi knjigami smo vam ‘eleli matematiko predstaviti kot ‘ivo in atraktivno znanost, kot na~in kriti~nega razmi{ljanja in kot univerzalni tehni~ni jezik sporazumevanja. Upamo, da ste u~benike tako sprejeli tudi vi in da ste se lahko ob njih ustrezno pripravili na poklicno maturo in na prihodnji {tudij. Upamo tudi, da boste do matematike ohranili pozitiven odnos, ~eprav je morda v ‘ivljenju in poklicu ne boste neposredno uporabljali.
Osnovna razlaga
82
3 Zaporedja in njihove lastnosti
ZVEZNOST FUNKCIJ
Aritmeti~no zaporedje
Kon~na aritmeti~na vrsta
Za za~etek se ustavimo pri nekaj konkretnih primerih funkcij in si poglejmo njihove grafe.
Geometrijsko zaporedje
Kon~na geometrijska vrsta
Pisa: krstilnica, stolnica, v ozadju 54 m visoki kampanile, znameniti poševni stolp
ZAPOREDJA
Pla~ilo turista, ki si sposodi kajak ali kanu, je v obeh primerih odvisno od ~asa izposoje. Pri izposoji za eno, dve, tri … ure pla~a pri obeh fantih enako. Pri izposoji za uro in dvajset minut pa pla~a pri An`etu 4 evre, pri Binetu pa 6 evrov.
Leonardo iz Pise (1180–1250), imenovan tudi Fibonacci, je med letoma 1201 in 1202 napisal obse`no in vplivno delo z naslovom Liber Abaci. Zgodovinarji ga obravnavajo kot prvega in edinega pomembnej{ega srednjeve{kega matematika zahodne civilizacije. V svojih rokopisih se je podpisoval kot filio Bonacij, kar ozna~uje pripadnost znani italijanski dru`ini Bonacci. Mesto Pisa le`i ob reki Arno v srednji Italiji in je v preteklosti vladalo celo Sardiniji in Korziki. Fibonaccijev o~e je bil trgovec in nekaj ~asa celo upravitelj trgovske postojanke v Al`iriji. Sina je jemal s sabo na potovanja po Sredozemlju in tako je mladi Fibonacci pri{el v stik z arabskimi trgovci in u~enjaki ter prek njih spoznal indijski na~in pisanja {tevil. Omenjena knjiga je tako indijskim {tevkam odprla pot v srednjeve{ko Evropo, ki pa je nove {tevke v celoti sprejela {ele v 16. stoletju.
Ker sta oba ljubitelja matematike, sta svoja cenika predstavila tudi grafi~no.
An`etov cenik
Binetov cenik
2. Vsako pomlad prestavimo uro na poletni ~as. Tako mehanizmi na{ih ur, ki zvezno premikajo kazalce, »posko~ijo« ob eni uri zjutraj za eno uro naprej.
Predstavimo to dogajanje grafi~no. ^as, ki ga ka`ejo kazalci, je funkcija dejanskega (son~nega) ~asa.
Ra~unanje limit funkcij
....................
odpremo okno za vpisovanje {tevil in izrazov vpi{emo funkcijo
potrdimo vnos
odpremo okno za ra~unanje limit, izberemo vrednost, v kateri `elimo izra~unati limito, in jo tudi izra~unamo
Ra~unanje odvodov funkcij in vrednosti odvoda funkcije v dani to~ki
Author/ Expression ali
....................
x4 + 3x3 + 3x – 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
odpremo okno za vpisovanje {tevil in izrazov vpi{emo funkcijo
OK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
potrdimo vnos
Calculus/Differentiate/Simplify/ . . . . . . . . . . . . . . . . .
odpremo okno za ra~unanje odvodov in izra~unamo odvod funkcije
Simplify/ Substitute for/ Variables. . . . . . . . . . . . . . . .
odpremo okno za vnos vrednosti spremenljivke in vnesemo `eleno {tevilo
OK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
potrdimo vnos
izra~unamo vrednost odvoda funkcije v dani to~ki
kn
.....................................
Risanje grafov funkcij
Author/ Expression ali
....................
(x + 4)/(x – 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
OK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................... .....................................
Option/Trace mode/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
odpremo okno za vpisovanje {tevil in izrazov vpi{emo funkcijski predpis potrdimo
odpremo okno za risanje nari{emo graf funkcije
z uporabo gumbov spreminjamo skalo na koordinatnih oseh, da dobimo `eleno sliko
f(x) = ax + bx + c; a π 0
Spomnite se!
2
n
n-1
polinomi:
f(x) = an x + an - 1 x
eksponentna:
f(x) = a ; a > 1
2
+ … + a2 x + a1 x + a0; an π 0
x
logaritemska:
f(x) = logax; a > 1, x > 0
sinusna funkcija:
f(x) = sin x
naloge
povzetek
Re{itve nalog 186
NE POZABITE
DERIVE
Calculus/Limit/Simplify . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f(x) = c
f(x) = kx + n; k π 0
kvadratna:
poten~na z naravnim n eksponentom: f(x) = x ; n Œ ⺞
ar
jig
Povzetek 80
OK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
konstantna: linearna:
Na obrobu so prikazani grafi omenjenih funkcij.
172
Author/ Expression ali
zanimivosti
kosinusna funkcija: f(x) = cos x
Na za~etku je en par zaj~kov. Po enem mesecu je par ploden, vendar {e ni novih zaj~kov. Po dveh mesecih imamo dva para, saj ima prvi par prva potomca. Po treh mesecih so trije pari. Najstarej{i par je spet imel par potomcev, drugi par pa {e ni zrel. [tevilo parov zaj~kov po posameznih mesecih oblikuje Fibonaccijevo zaporedje {tevil: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 …
{2x – 1}/{1 – x} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vsi zgoraj navedeni grafi razen prvega so v dolo~enih to~kah pretrgane krivulje. Pravimo, da v teh to~kah navedene funkcije niso zvezne.
Poznamo `e precej funkcij, ki so zvezne:
Par zaj~kov je po enem mesecu ploden. Po dveh mesecih in vsak mesec pozneje ta par in pari potomcev spravijo na svet po en par zaj~kov razli~nega spola. Koliko parov zaj~kov je na svetu po posameznih mesecih?
Derive / Word, Excel
zgled, primer re{ene naloge
Zvezna funkcija ima za graf nepretrgano krivuljo. ^e je graf pretrgana krivulja, funkcija ni zvezna. Tiste to~ke definicijskega obmo~ja funkcije, nad katerimi je graf pretrgan, so to~ke nezveznosti.
V svoji knjigi o indijsko-arabski umetnosti ra~unanja je Fibonacci v 12. poglavju zapisal tudi znamenito nalogo o zaj~kih:
Zaporedje {tevil Fn zaj~jih parov po posameznih mesecih n lahko zapi{emo tudi z rekurzivno formulo: Fn + 2 = Fn + 1 + Fn, F1 = 1, F2 = 1
3. Pri dvotarifnem elektri~nem {tevcu je bila decembra 2001 cena po I. tarifi za kilovatno uro enaka 1732 SIT, po II. tarifi pa 1019 SIT. Cenej{a tarifa velja popoldne od 13. do 16. ure in pono~i od 22. do 6. ure. Cena 1 kWh elektri~ne energije je funkcija ~asa.
1. Prijatelja An`e in Bine sta se odlo~ila, da bosta turistom ob Bohinjskem jezeru posojala kajake in kanuje. Cenik sta si zamislila vsak po svoje. An`e bo turistom zara~unal 005 evra na minuto, Bine pa za vsako za~eto uro 3 evre.
Navadno in obrestno obrestovanje
Obro~na vpla~ila in izpla~ila
Legenda
119
118
• Grafi~no prikazovanje podatkov
RE[ITVE
Srednje vrednosti 125.
kro`ni diagram ali strukturni krog: celota v tem primeru pomeni 360 stopinj, sredi{~ne kote, ki pripadajo posameznim vrednostim, dobimo s procentnim ra~unom
Starost
histogram: grafikon za prikazovanje grupiranih podatkov. Pri tem ni pomembno, ali so {irine frekven~nih razredov enake. Meje razredov nari{emo na vodoravni osi, frekvence posameznih razredov pa na navpi~ni osi. Tako nastanejo pravokotniki, ki so drug ob drugem, plo{~ina posameznega pravokotnika pa je sorazmerna frekvenci tistega razreda. frekven~ni poligon ali linijski diagram: grafikon za opisovanje postopnega spreminjanja vrednosti nekega podatka, najve~krat v dalj{em ~asovnem obdobju. Podatki so lahko zvezni ali grupirani. piktogram ali slikovni diagram: ponazarjanje podatkov s sli~icami (vsaka sli~ica pomeni dolo~eno {tevilo)
Igralci
Igralke
5
26
20–29
stolp~ni diagram: podatki, ki so razvr{~eni v veliko frekven~nih razredov ali lahko dose`ejo veliko razli~nih diskretnih vrednosti, so opisani s stolpci. Lahko so pokon~ni, le`e~i, sestavljeni in strukturni, odvisno od vrste podatkov in od tega, ali `elimo z diagramom primerjati isto vrsto podatka razli~nega izvora ali v razli~nih ~asovnih obdobjih.
126. 1011 mb
128. (1) x = 9, m = 8, M = 7
127. 701, 700–709, 705
(3) x 1= 4218, x 2 = 131, m1 = 1711, m2 = 73 M = 48
(4) x = 657, m = 645
(7) x = 42, m = 41, M = 47
30–39
27
31
40–49
25
10
50–59
13
60–69
3
70–79
0
80–89
0
2 2 1 1
(2) x = 68, m = 6, M = 6
(5) x = m = M = 3
(8) x = 36, m = 33, M = 34
(6) x = m = 50,
(9) x = 54, m = 715
(10) x = 225 km
(11) x = 27 otroka, m = 3, M = 2
Razpr{enost podatkov 129. x = 75, s = 9
130. x 1 = 2, s1 = 252; x 2 = 2, s2 = 057
132. x 1 = 308, s1 = 173; x 2 = 351, s2 = 166 135. x = 695 500, s = 400 000
131. x 1 = 109 520, s1 = 24 000; x 2 = 122 720, s2 = 20 300
133. x 1 = 53, s1 = 031; x 2 = 53, s2 = 035
136. x = 695 500, s = 400 000
134. x = 46, s = 22
137. /
• Srednje vrednosti
povpre~je ali aritmeti~na sredina: kvocient vsote vseh vrednosti statisti~ne spremenljivke s {tevilom teh vrednosti. ^e so vse vrednosti razli~ne, aritmeti~no sredino izra~unamo po formuli: 1 + x2 + … + xnx = x--------------------------------n
^e se vrednosti statisti~ne spremenljivke ponavljajo (k1 vrednosti x1 …), aritmeti~no sredino izra~unamo po formuli: k1 x1 + k2 x2 + … + km xm x = -----------------------------------------------------k +k +…+k 1
2
Zaporedja in njihove lastnosti b) -2, -1, 0, 1, 2, 3 …
138. a) 3, 6, 9, 12, 15, 18 …
e) 12--- , 12--- , 38--- , 14--- ,
d) 3, 8, 13, 18, 23, 28 …
i) k - 1,
h) 0, 1, log23, 2, log25, log26 … 139. a) -1, 1, 3, 5, 7, 9
5- , ----3----32 32 k – 2--------2
,
f) -1, 14--- , - 19--- ,
…
k – 3--------3
b) 7, 4, 1, -2, -5, -8
,
~) -2, -1, - --23- , - --12- , - --25- , - --13- …
c) -3, 0, 5, 12, 21, 32 …
k – 4--------4
,
k – 5--------5
,
k – 6--------6
1- , - ----1- , ----1----16 25 36
…
…
g) 27--- , 59--- ,
j) 1, 3, 5, 7, 9, 11 …
c) 0, -3, -4, -3, 0, 5
8- , 11 ---------- , 14 -----11 13 15
,1…
k) 1, 2, 2, 4, 8, 32 …
~) 4, -2, 1, - 12--- , 14--- , - 18---
m
mediana (sredi{~nica): tista vrednost statisti~ne spremenljivke, pri kateri je polovica vrednosti ve~jih, druga polovica vrednosti pa manj{ih od nje modus (gosti{~nica): vrednost podatka, ki se v mno`ici vseh vrednosti najpogosteje ponavlja. ^e se zgodi, da se v neki mno`ici dve vrednosti enako mnogokrat pojavita, potem re~emo, da je porazdelitev vrednosti bimodalna. Za grupirane podatke namesto modusa poi{~emo modalni razred: to je tisti razred, ki ima najve~jo frekven~no gostoto oz. mu ustreza plo{~insko najve~ji pravokotnik v histogramu.
140. a) an = 2n - 1 f) an = n ◊ (n + 1)
b) an = 5n n + 1g) an = ---------n+2
c) an = 4n - 3 h) an = n n
~) an = (-1)n ◊ n2 i) an = 8 ◊ ( 12--- )n
d) an = (-1)n ◊ --n1j) a1 = 2, an+1 = 3an - 1
e) an = 2 ◊ (-2)n-1 k) an = an-1 + n
PP1-poglavje_kombinatorika.fm Page 6 Friday, April 1, 2011 12:31 PM
6
1 Osnovni izrek kombinatorike Permutacije Variacije
Kombinatorika in preslikave
na .c om
Kombinacije
KOMBINATORIKA
jig
ar
Kombinatorika je veja matematike, ki se ukvarja s pre{tevanjem razporeditev elementov dane kon~ne mno`ice. Za za~etek zgodovine kombinatori~nih pojmov bi lahko postavili znamenito kitajsko Knjigo sprememb ali I-King, ki sega dale~ nazaj v 8. stol. pr. Kr. Ta knjiga povezuje staro kitajsko filozofijo s psihologijo, prerokovanjem in koledarjem, prek misti~nih diagramov (pa-kua) pa tudi s kombinatoriko. V knjigi so navedeni vsi mo`ni trojni znaki ali trigrami, ki jih lahko sestavimo iz znakov —— in –––.
kn
Tibetanski talisman z nebesnimi znamenji, znaki pa-kua in magi~nim kvadratom v sredini.
Pomen znakov pa-kua
Misti~ne trigrame pa-kua {e danes najdemo kot okrasje na uporabnih predmetih in na talismanih v dr`avah Daljnega vzhoda.
PP1-poglavje_kombinatorika.fm Page 7 Friday, April 1, 2011 12:31 PM
7
Leta 1559 je francoski menih in u~enjak Joannes Buteo v Lyonu izdal knjigo Logistica, v kateri je opisal kombinatori~no klju~avnico z ve~ vrte~imi cilindri. Take klju~avnice so naprodaj {e danes. So zelo priro~ne, ker ne moremo izgubiti klju~a, hkrati pa je nerodno, ~e izgubimo spomin.
na .c om
Kar resno (vendar ne na teoreti~ni ravni) so se s problemi kombinatorike ukvarjali rimski patricij Boetius v 5. stol., indijski matematik Bhaskara v 12. stol. in `idovski u~enjak iz Avignona Levi ben Gerson v 14. stoletju. Za slednjega je znano, da je znal izra~unati permutacije, kombinacije in variacije brez ponavljanja, ~eprav pri tem ni uporabljal nobene simbolike.
Leta 1494 je Luca Pacioli v knjigi Suma de aritmeticae opisal, kako izra~unati, na koliko na~inov se lahko dolo~eno {tevilo ljudi usede za ravno mizo. Pomembna prelomnica za kombinatoriko pa je 16. stol. s Cardanom, Tartaglio, Leibnizem, Buteom, {e posebej pa 17. stol. s Pascalom, Fermatom in Jakob Bernoullijem. Za konec povejmo, kako je Jakob Bernoulli v svoji knjigi Ars Conjectandi, ki je po njegovi smrti iz{la v Baslu leta 1713, »definiral« kombinatoriko:
kn
jig
ar
Neskon~na raznolikost, ki se ka`e tako v delih narave kot v ~lovekovi ustvarjalnosti, ki dela svet in vesolje posebno lepo, ima svoj edini vzrok v razli~nosti spajanja, me{anja in grupiranja posameznih delov. Ker je {tevilo stvari, ki vplivajo na stvaritev kakega pojava ali dogodka, ponavadi tako veliko in raznovrstno, da spoznavanje vseh na~inov, po katerih se lahko, ali pa se ne more, uresni~iti to povezovanje, privede do velikih te`av, ni ~udno, da tudi najmodrej{i ljudje delajo napako, ki se ji v logiki pravi »nedovoljeno na{tevanje delov«. Zato si ne pomi{ljam trditi, da je ta napaka gotovo edini izvor mnogih velikih zablod, ki jih delamo pri raziskavah pojavov, ki jih `elimo spoznati in se z njimi okoristiti. Zato moramo po pravici meniti, da je ve{~ina, ki ji pravimo kombinatorika, zelo koristna in nam lahko precej pomaga pri pomanjkanju ostrine na{ih ~utnih opazovanj. Ta ve{~ina nas u~i, kako se uporabljajo na~ini in postopki, s katerimi je mogo~e ve~ predmetov med seboj pome{ati, jih zdru`evati in potem pre{teti vse mo`nosti, da z gotovostjo vemo, da niti ene od njih nismo izpustili.
Jakob Bernoulli (1654–1705)
Faksimile Ars Conjectandi
PP1-poglavje_kombinatorika.fm Page 8 Friday, April 1, 2011 12:31 PM
8
Cerkev San Salvador v {panskem mestu Oviedo je dal zgraditi knez Silo. Na to dejanje je bil tako ponosen, da si je na nagrobnik dal vklesati zagoneten napis: i c e f s p e c e p s f e c i
c e f s p e c n c e p s f e c
e f s p e c n i n c e p s f e
f s p e c n i r i n c e p s f
s p e c n i r p r i n c e p s
p e c n i r p o p r i n c e p
e c n i r p o l o p r i n c e
c n c n i n i r i r p r pop o l o l i l iSi l i l o l o pop r p r i r i n i n c n c
e c n i r p o l o p r i n c e
p e c n i r p o p r i n c e p
s p e c n i r p r i n c e p s
f s p e c n i r i n c e p s f
e f s p e c n i n c e p s f e
c e f s p e c n c e p s f e c
i c e f s p e c e p s f e c i
t i c e f s p e p s f e c i t
na .c om
t i c e f s p e p s f e c i t
Napis razvozljamo tako, da za~nemo brati pri velikem S v sredini in se pomikamo navpi~no in (ali) vodoravno do ene od ~rk t na vogalih. V vseh primerih, in teh je kar 45 760, preberemo latinski stavek Silo princeps fecit ali po na{e Zgradil knez Silo.
kn
jig
ar
V srednjem veku je imela beseda ABRACADABRA po besedah ranocelnikov ~ude`no mo~, posebej pri zdravljenju tridnevne mrzlice. Po receptu Serenusa Saunonicusa je bilo treba besedo napisati v obliki trikotnika in jo potem prebrati na vse mogo~e na~ine, od vsakega A na levi do zadnjega A na desni v prvi vrsti. Na ta na~in je 10 bilo mogo~e besedo prebrati natanko 2 oz. 1024-krat. ^e bolnik po treh dneh, ob vmesnem branju ~ude`ne besede, ni ozdravel, je imel ranocelnik pri roki izgovor, da je bolnik pri branju najbr` izpustil katero od mo`nosti. ABRACADABRA ABRACADABR ABRACADAB ABRACADA ABRACAD ABRACA ABRAC ABRA ABR AB A
PP1-poglavje_kombinatorika.fm Page 9 Friday, April 1, 2011 12:31 PM
9
kn
jig
ar
na .c om
Francoski pesnik in pisatelj Raymond Queneau (1903–1976) je avtor knjige Cent mille milliards de poemes (Sto tiso~ milijonov pesmi). Knjiga vsebuje 14-vrsti~ne sonete, ki so natiskani le na desni strani, vsaka stran pa je razrezana na 14 trakov (tako da vsak trak vsebuje eno vrstico soneta). Trakove lahko listamo neodvisno, pa ima kljub temu vsak sonet pravo strukturo in pomen.
PP1-poglavje_kombinatorika.fm Page 10 Friday, April 1, 2011 12:31 PM
10
OSNOVNI IZREK KOMBINATORIKE
na .c om
Jakob Bernoulli je za svoj ~as povedal kar dobro definicijo kombinatorike: Kombinatorika je pre{tevanje. Ker ne gre za enostavno pre{tevanje predmetov neke kon~ne mno`ice, na zgledih poglejmo, kaj spada k tej veji matematike.
1. V dru`ini proslavljajo skupni praznik. Ko pride ~as zdravice, dvignejo kozarce in tr~ijo vsak z vsakim. Koliko trkov je sli{ati, ~e praznuje 6 ljudi?
jig
ar
Do rezultata bomo pri{li postopoma in pri tem sku{ali poiskati tudi zakonitost oz. formulo. Recimo, da bi nazdravila le o~e in mama. Potem bi bil trk en sam. ^e bi z njima nazdravil {e najstarej{i otrok, bi bili trije trki (1 + 2 = 3), pri {tirih dvignjenih kozarcih bi sli{ali 6 trkov (1 + 2 + 3 = 6), pri petih 10 trkov (1 + 2 + 3 + 4 = 10) in pri trkanju vseh {estih ~lanov dru`ine 15 trkov (1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15).
kn
Nicolaus Bernoulli (1695–1726)
Leonhard Euler (1707–1783)
O~itno je, da se splo{na formula za n kozarcev glasi ( n – 1 )- in jo poznamo kot del N = 1 + 2 + 3 + … + n = n----------------2 re{itve, ko ra~unamo {tevilo diagonal konveksnega n-kotnika.
2. Pred 250 leti sta si matematika L. Euler in N. Bernoulli dopisovala o »problemu zamenjave pisem« in ga tudi re{ila. Pisar je napisal n pisem in n ovojnic. Pri vstavljanju pisem v ovojnice ni bil pozoren. Koliko je vseh mo`nosti, da vsaj eno pismo ne pride na pravi naslov? Problem lahko poenostavimo tako, da izberemo npr. n = 4 in pre{tejemo vse mo`nosti razvr{~anja pisem v ovojnice. Ovojnice zlo`imo drugo poleg druge in ugotovimo, da imamo za prvo ovojnico na voljo eno od {tirih