9789617121155

C

M

Y

CM

MY

CY CMY

K

om

Janez Šparovec, Dušan Kavka, Gregor Pavlič, Marina Rugelj

ar na .c

OD KLJUČAVNICE

jig

DO INTEGRALA

kn

MATEMATIKA ZA 4. LETNIK TEHNIŠKIH IN DRUGIH STROKOVNIH ŠOL

Composite

00_aparat.fm Page 178 Thursday, August 26, 2021 9:51 AM

OD KLJU^AVNICE DO INTEGRALA Matematika za 4. letnik tehni{kih in drugih strokovnih {ol

na .c om

Avtorji Janez [parovec, Du{an Kavka, Gregor Pavli~, Marina Rugelj Recenzenti dr. Matija Cencelj, Meta Horvat Urednica Simona Knez

Lektorica Renata Vr~kovnik Ilustracije Darko Simer{ek

Fotografije arhiv zalo‘be Modrijan, Zvonka Kos, Igor Modic, Gregor Pavli~, Marina Rugelj, Jurij Senega~nik Oprema Gorazd Rogelj

Oblikovanje Gorazd Rogelj, Iztok Kramar Prelom Goran ^ur~i~

jig

ar

Izdala in zalo‘ila Modrijan izobraževanje, d. o. o.

Za zalo‘bo Matic Jurkošek Tisk Bulvest Print AD Naklada 300 izvodov Ljubljana 2021 Deseta izdaja

kn

© Modrijan izobraževanje, d. o. o. Vse pravice pridržane.

Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava ali druga uporaba tega avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.

CIP – Katalo‘ni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knji‘nica, Ljubljana 51(075.3) CIPOD klju~avnice do integrala : matematika za 4. letnik tehni{kih in drugih strokovnih {ol / Janez [parovec … [et al.] ; [ilustracije Darko Simer{ek ; fotografije arhiv zalo‘be Modrijan … et al.]. – 10. izd. – Ljubljana : Modrijan izobraževanje, 2021 ISBN 978-961-7121-15-5 COBISS.SI-ID 74084355

PP00_aparat.fm Page 179 Friday, April 1, 2011 12:31 PM

Kombinatorika Osnovni izrek kombinatorike Permutacije

na .c om

VSEBINA

6

10 15

Variacije

20

Kombinacije Kombinatorika in preslikave

Osnove statistike Osnovni pojmi statistike

ar

Urejanje in grupiranje podatkov

25 33

38

40

47

Grafi~no prikazovanje podatkov

54

Srednje vrednosti

63

jig

Razpr{enost podatkov

Zaporedja

68

82 86

Aritmeti~no zaporedje

91

Kon~na aritmeti~na vrsta

94

Geometrijsko zaporedje

97

kn

Zaporedja in njihove lastnosti

Kon~na geometrijska vrsta

101

Navadno in obrestno obrestovanje

104

Obro~na vpla~ila in izpla~ila

109

PP00_aparat.fm Page 180 Friday, April 1, 2011 12:31 PM

Odvod in integral

114 118

Ra~unanje s funkcijami

122

Limita

128

Odvod

133

Uporaba odvoda Nedolo~eni integral Dolo~eni integral

na .c om

Zveznost funkcij

142

154

159 163

Prostornine rotacijskih teles

170

kn

jig

ar

Zveza med dolo~enim in nedolo~enim integralom

PP00_aparat.fm Page 181 Friday, April 1, 2011 12:31 PM

UVOD Avtorji se s ~etrto knjigo zbirke matemati~nih u~benikov za tehni{ke in druge srednje strokovne {ole poslavljamo od vas.

Zgodovinski uvod

na .c om

Kljub napornemu delu z veseljem gledamo nazaj in smo ponosni na svoje delo, hkrati pa upamo, da boste bralci zadovoljni tudi s to zadnjo knjigo. Z vsemi {tirimi knjigami smo vam ‘eleli matematiko predstaviti kot ‘ivo in atraktivno znanost, kot na~in kriti~nega razmi{ljanja in kot univerzalni tehni~ni jezik sporazumevanja. Upamo, da ste u~benike tako sprejeli tudi vi in da ste se lahko ob njih ustrezno pripravili na poklicno maturo in na prihodnji {tudij. Upamo tudi, da boste do matematike ohranili pozitiven odnos, ~eprav je morda v ‘ivljenju in poklicu ne boste neposredno uporabljali.

Osnovna razlaga

82

3 Zaporedja in njihove lastnosti

ZVEZNOST FUNKCIJ

Aritmeti~no zaporedje

Kon~na aritmeti~na vrsta

Za za~etek se ustavimo pri nekaj konkretnih primerih funkcij in si poglejmo njihove grafe.

Geometrijsko zaporedje

Kon~na geometrijska vrsta

Pisa: krstilnica, stolnica, v ozadju 54 m visoki kampanile, znameniti poševni stolp

ZAPOREDJA

Pla~ilo turista, ki si sposodi kajak ali kanu, je v obeh primerih odvisno od ~asa izposoje. Pri izposoji za eno, dve, tri … ure pla~a pri obeh fantih enako. Pri izposoji za uro in dvajset minut pa pla~a pri An`etu 4 evre, pri Binetu pa 6 evrov.

Leonardo iz Pise (1180–1250), imenovan tudi Fibonacci, je med letoma 1201 in 1202 napisal obse`no in vplivno delo z naslovom Liber Abaci. Zgodovinarji ga obravnavajo kot prvega in edinega pomembnej{ega srednjeve{kega matematika zahodne civilizacije.

V svojih rokopisih se je podpisoval kot filio Bonacij, kar ozna~uje pripadnost znani italijanski dru`ini Bonacci. Mesto Pisa le`i ob reki Arno v srednji Italiji in je v preteklosti vladalo celo Sardiniji in Korziki. Fibonaccijev o~e je bil trgovec in nekaj ~asa celo upravitelj trgovske postojanke v Al`iriji. Sina je jemal s sabo na potovanja po Sredozemlju in tako je mladi Fibonacci pri{el v stik z arabskimi trgovci in u~enjaki ter prek njih spoznal indijski na~in pisanja {tevil. Omenjena knjiga je tako indijskim {tevkam odprla pot v srednjeve{ko Evropo, ki pa je nove {tevke v celoti sprejela {ele v 16. stoletju.

Ker sta oba ljubitelja matematike, sta svoja cenika predstavila tudi grafi~no.

An`etov cenik

Binetov cenik

2. Vsako pomlad prestavimo uro na poletni ~as. Tako mehanizmi na{ih ur, ki zvezno premikajo kazalce, »posko~ijo« ob eni uri zjutraj za eno uro naprej.

Predstavimo to dogajanje grafi~no. ^as, ki ga ka`ejo kazalci, je funkcija dejanskega (son~nega) ~asa.

Ra~unanje limit funkcij

....................

odpremo okno za vpisovanje {tevil in izrazov vpi{emo funkcijo

potrdimo vnos

odpremo okno za ra~unanje limit, izberemo vrednost, v kateri `elimo izra~unati limito, in jo tudi izra~unamo

Ra~unanje odvodov funkcij in vrednosti odvoda funkcije v dani to~ki

Author/ Expression ali

....................

x4 + 3x3 + 3x – 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

odpremo okno za vpisovanje {tevil in izrazov vpi{emo funkcijo

OK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

potrdimo vnos

Calculus/Differentiate/Simplify/ . . . . . . . . . . . . . . . . .

odpremo okno za ra~unanje odvodov in izra~unamo odvod funkcije

Simplify/ Substitute for/ Variables. . . . . . . . . . . . . . . .

odpremo okno za vnos vrednosti spremenljivke in vnesemo `eleno {tevilo

OK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

potrdimo vnos

izra~unamo vrednost odvoda funkcije v dani to~ki

kn

.....................................

Risanje grafov funkcij

Author/ Expression ali

....................

(x + 4)/(x – 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

OK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................... .....................................

Option/Trace mode/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

odpremo okno za vpisovanje {tevil in izrazov vpi{emo funkcijski predpis potrdimo

odpremo okno za risanje nari{emo graf funkcije

z uporabo gumbov spreminjamo skalo na koordinatnih oseh, da dobimo `eleno sliko

f(x) = ax + bx + c; a π 0

Spomnite se!

2

n

n-1

polinomi:

f(x) = an x + an - 1 x

eksponentna:

f(x) = a ; a > 1

2

+ … + a2 x + a1 x + a0; an π 0

x

logaritemska:

f(x) = logax; a > 1, x > 0

sinusna funkcija:

f(x) = sin x

naloge

povzetek

Re{itve nalog 186

NE POZABITE

DERIVE

Calculus/Limit/Simplify . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f(x) = c

f(x) = kx + n; k π 0

kvadratna:

poten~na z naravnim n eksponentom: f(x) = x ; n Œ ⺞

ar

jig

Povzetek 80

OK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

konstantna: linearna:

Na obrobu so prikazani grafi omenjenih funkcij.

172

Author/ Expression ali

zanimivosti

kosinusna funkcija: f(x) = cos x

Na za~etku je en par zaj~kov. Po enem mesecu je par ploden, vendar {e ni novih zaj~kov. Po dveh mesecih imamo dva para, saj ima prvi par prva potomca. Po treh mesecih so trije pari. Najstarej{i par je spet imel par potomcev, drugi par pa {e ni zrel. [tevilo parov zaj~kov po posameznih mesecih oblikuje Fibonaccijevo zaporedje {tevil: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 …

{2x – 1}/{1 – x} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vsi zgoraj navedeni grafi razen prvega so v dolo~enih to~kah pretrgane krivulje. Pravimo, da v teh to~kah navedene funkcije niso zvezne.

Poznamo `e precej funkcij, ki so zvezne:

Par zaj~kov je po enem mesecu ploden. Po dveh mesecih in vsak mesec pozneje ta par in pari potomcev spravijo na svet po en par zaj~kov razli~nega spola. Koliko parov zaj~kov je na svetu po posameznih mesecih?

Derive / Word, Excel

zgled, primer re{ene naloge

Zvezna funkcija ima za graf nepretrgano krivuljo. ^e je graf pretrgana krivulja, funkcija ni zvezna. Tiste to~ke definicijskega obmo~ja funkcije, nad katerimi je graf pretrgan, so to~ke nezveznosti.

V svoji knjigi o indijsko-arabski umetnosti ra~unanja je Fibonacci v 12. poglavju zapisal tudi znamenito nalogo o zaj~kih:

Zaporedje {tevil Fn zaj~jih parov po posameznih mesecih n lahko zapi{emo tudi z rekurzivno formulo: Fn + 2 = Fn + 1 + Fn, F1 = 1, F2 = 1

3. Pri dvotarifnem elektri~nem {tevcu je bila decembra 2001 cena po I. tarifi za kilovatno uro enaka 17᝽32 SIT, po II. tarifi pa 10᝽19 SIT. Cenej{a tarifa velja popoldne od 13. do 16. ure in pono~i od 22. do 6. ure. Cena 1 kWh elektri~ne energije je funkcija ~asa.

1. Prijatelja An`e in Bine sta se odlo~ila, da bosta turistom ob Bohinjskem jezeru posojala kajake in kanuje. Cenik sta si zamislila vsak po svoje. An`e bo turistom zara~unal 0᝽05 evra na minuto, Bine pa za vsako za~eto uro 3 evre.

Navadno in obrestno obrestovanje

Obro~na vpla~ila in izpla~ila

Legenda

119

118

• Grafi~no prikazovanje podatkov

RE[ITVE

Srednje vrednosti 125.

kro`ni diagram ali strukturni krog: celota v tem primeru pomeni 360 stopinj, sredi{~ne kote, ki pripadajo posameznim vrednostim, dobimo s procentnim ra~unom

Starost

histogram: grafikon za prikazovanje grupiranih podatkov. Pri tem ni pomembno, ali so {irine frekven~nih razredov enake. Meje razredov nari{emo na vodoravni osi, frekvence posameznih razredov pa na navpi~ni osi. Tako nastanejo pravokotniki, ki so drug ob drugem, plo{~ina posameznega pravokotnika pa je sorazmerna frekvenci tistega razreda. frekven~ni poligon ali linijski diagram: grafikon za opisovanje postopnega spreminjanja vrednosti nekega podatka, najve~krat v dalj{em ~asovnem obdobju. Podatki so lahko zvezni ali grupirani. piktogram ali slikovni diagram: ponazarjanje podatkov s sli~icami (vsaka sli~ica pomeni dolo~eno {tevilo)

Igralci

Igralke

5

26

20–29

stolp~ni diagram: podatki, ki so razvr{~eni v veliko frekven~nih razredov ali lahko dose`ejo veliko razli~nih diskretnih vrednosti, so opisani s stolpci. Lahko so pokon~ni, le`e~i, sestavljeni in strukturni, odvisno od vrste podatkov in od tega, ali `elimo z diagramom primerjati isto vrsto podatka razli~nega izvora ali v razli~nih ~asovnih obdobjih.

126. 1011 mb

128. (1) x = 9, m = 8, M = 7

127. 701, 700–709, 705

(3) x 1= 4218, x 2 = 131, m1 = 1711, m2 = 73 M = 48

(4) x = 65᝽7, m = 64᝽5

(7) x = 42, m = 41, M = 47

30–39

27

31

40–49

25

10

50–59

13

60–69

3

70–79

0

80–89

0

2 2 1 1

(2) x = 6᝽8, m = 6, M = 6

(5) x = m = M = 3

(8) x = 36, m = 33, M = 34

(6) x = m = 50,

(9) x = 54, m = 71᝽5

(10) x = 225 km

(11) x = 2᝽7 otroka, m = 3, M = 2

Razpr{enost podatkov 129. x = 75, s = 9

130. x 1 = 2, s1 = 2᝽52; x 2 = 2, s2 = 0᝽57

132. x 1 = 3᝽08, s1 = 1᝽73; x 2 = 3᝽51, s2 = 1᝽66 135. x = 695 500, s = 400 000

131. x 1 = 109 520, s1 = 24 000; x 2 = 122 720, s2 = 20 300

133. x 1 = 5᝽3, s1 = 0᝽31; x 2 = 5᝽3, s2 = 0᝽35

136. x = 695 500, s = 400 000

134. x = 4᝽6, s = 2᝽2

137. /

• Srednje vrednosti

povpre~je ali aritmeti~na sredina: kvocient vsote vseh vrednosti statisti~ne spremenljivke s {tevilom teh vrednosti. ^e so vse vrednosti razli~ne, aritmeti~no sredino izra~unamo po formuli: 1 + x2 + … + xnx = x--------------------------------n

^e se vrednosti statisti~ne spremenljivke ponavljajo (k1 vrednosti x1 …), aritmeti~no sredino izra~unamo po formuli: k1 x1 + k2 x2 + … + km xm x = -----------------------------------------------------k +k +…+k 1

2

Zaporedja in njihove lastnosti b) -2, -1, 0, 1, 2, 3 …

138. a) 3, 6, 9, 12, 15, 18 …

e) 12--- , 12--- , 38--- , 14--- ,

d) 3, 8, 13, 18, 23, 28 …

i) k - 1,

h) 0, 1, log23, 2, log25, log26 …

139. a) -1, 1, 3, 5, 7, 9

5- , ----3----32 32 k – 2--------2

,

f) -1, 14--- , - 19--- ,

…

k – 3--------3

b) 7, 4, 1, -2, -5, -8

,

~) -2, -1, - --23- , - --12- , - --25- , - --13- …

c) -3, 0, 5, 12, 21, 32 …

k – 4--------4

,

k – 5--------5

,

k – 6--------6

1- , - ----1- , ----1----16 25 36

…

…

g) 27--- , 59--- ,

j) 1, 3, 5, 7, 9, 11 …

c) 0, -3, -4, -3, 0, 5

8- , 11 ---------- , 14 -----11 13 15

,1…

k) 1, 2, 2, 4, 8, 32 …

~) 4, -2, 1, - 12--- , 14--- , - 18---

m

mediana (sredi{~nica): tista vrednost statisti~ne spremenljivke, pri kateri je polovica vrednosti ve~jih, druga polovica vrednosti pa manj{ih od nje modus (gosti{~nica): vrednost podatka, ki se v mno`ici vseh vrednosti najpogosteje ponavlja. ^e se zgodi, da se v neki mno`ici dve vrednosti enako mnogokrat pojavita, potem re~emo, da je porazdelitev vrednosti bimodalna. Za grupirane podatke namesto modusa poi{~emo modalni razred: to je tisti razred, ki ima najve~jo frekven~no gostoto oz. mu ustreza plo{~insko najve~ji pravokotnik v histogramu.

140. a) an = 2n - 1 f) an = n ◊ (n + 1)

b) an = 5n n + 1g) an = ---------n+2

c) an = 4n - 3 h) an = n n

~) an = (-1)n ◊ n2 i) an = 8 ◊ ( 12--- )n

d) an = (-1)n ◊ --n1j) a1 = 2, an+1 = 3an - 1

e) an = 2 ◊ (-2)n-1 k) an = an-1 + n

PP1-poglavje_kombinatorika.fm Page 6 Friday, April 1, 2011 12:31 PM

6

1 Osnovni izrek kombinatorike Permutacije Variacije

Kombinatorika in preslikave

na .c om

Kombinacije

KOMBINATORIKA

jig

ar

Kombinatorika je veja matematike, ki se ukvarja s pre{tevanjem razporeditev elementov dane kon~ne mno`ice. Za za~etek zgodovine kombinatori~nih pojmov bi lahko postavili znamenito kitajsko Knjigo sprememb ali I-King, ki sega dale~ nazaj v 8. stol. pr. Kr. Ta knjiga povezuje staro kitajsko filozofijo s psihologijo, prerokovanjem in koledarjem, prek misti~nih diagramov (pa-kua) pa tudi s kombinatoriko. V knjigi so navedeni vsi mo`ni trojni znaki ali trigrami, ki jih lahko sestavimo iz znakov —— in –––.

kn

Tibetanski talisman z nebesnimi znamenji, znaki pa-kua in magi~nim kvadratom v sredini.

Pomen znakov pa-kua

Misti~ne trigrame pa-kua {e danes najdemo kot okrasje na uporabnih predmetih in na talismanih v dr`avah Daljnega vzhoda.

PP1-poglavje_kombinatorika.fm Page 7 Friday, April 1, 2011 12:31 PM

7

Leta 1559 je francoski menih in u~enjak Joannes Buteo v Lyonu izdal knjigo Logistica, v kateri je opisal kombinatori~no klju~avnico z ve~ vrte~imi cilindri.

Take klju~avnice so naprodaj {e danes. So zelo priro~ne, ker ne moremo izgubiti klju~a, hkrati pa je nerodno, ~e izgubimo spomin.

na .c om

Kar resno (vendar ne na teoreti~ni ravni) so se s problemi kombinatorike ukvarjali rimski patricij Boetius v 5. stol., indijski matematik Bhaskara v 12. stol. in `idovski u~enjak iz Avignona Levi ben Gerson v 14. stoletju. Za slednjega je znano, da je znal izra~unati permutacije, kombinacije in variacije brez ponavljanja, ~eprav pri tem ni uporabljal nobene simbolike.

Leta 1494 je Luca Pacioli v knjigi Suma de aritmeticae opisal, kako izra~unati, na koliko na~inov se lahko dolo~eno {tevilo ljudi usede za ravno mizo. Pomembna prelomnica za kombinatoriko pa je 16. stol. s Cardanom, Tartaglio, Leibnizem, Buteom, {e posebej pa 17. stol. s Pascalom, Fermatom in Jakob Bernoullijem.

Za konec povejmo, kako je Jakob Bernoulli v svoji knjigi Ars Conjectandi, ki je po njegovi smrti iz{la v Baslu leta 1713, »definiral« kombinatoriko:

kn

jig

ar

Neskon~na raznolikost, ki se ka`e tako v delih narave kot v ~lovekovi ustvarjalnosti, ki dela svet in vesolje posebno lepo, ima svoj edini vzrok v razli~nosti spajanja, me{anja in grupiranja posameznih delov.

Ker je {tevilo stvari, ki vplivajo na stvaritev kakega pojava ali dogodka, ponavadi tako veliko in raznovrstno, da spoznavanje vseh na~inov, po katerih se lahko, ali pa se ne more, uresni~iti to povezovanje, privede do velikih te`av, ni ~udno, da tudi najmodrej{i ljudje delajo napako, ki se ji v logiki pravi »nedovoljeno na{tevanje delov«.

Zato si ne pomi{ljam trditi, da je ta napaka gotovo edini izvor mnogih velikih zablod, ki jih delamo pri raziskavah pojavov, ki jih `elimo spoznati in se z njimi okoristiti. Zato moramo po pravici meniti, da je ve{~ina, ki ji pravimo kombinatorika, zelo koristna in nam lahko precej pomaga pri pomanjkanju ostrine na{ih ~utnih opazovanj. Ta ve{~ina nas u~i, kako se uporabljajo na~ini in postopki, s katerimi je mogo~e ve~ predmetov med seboj pome{ati, jih zdru`evati in potem pre{teti vse mo`nosti, da z gotovostjo vemo, da niti ene od njih nismo izpustili.

Jakob Bernoulli (1654–1705)

Faksimile Ars Conjectandi

PP1-poglavje_kombinatorika.fm Page 8 Friday, April 1, 2011 12:31 PM

8

Cerkev San Salvador v {panskem mestu Oviedo je dal zgraditi knez Silo. Na to dejanje je bil tako ponosen, da si je na nagrobnik dal vklesati zagoneten napis: i c e f s p e c e p s f e c i

c e f s p e c n c e p s f e c

e f s p e c n i n c e p s f e

f s p e c n i r i n c e p s f

s p e c n i r p r i n c e p s

p e c n i r p o p r i n c e p

e c n i r p o l o p r i n c e

c n c n i n i r i r p r pop o l o l i l iSi l i l o l o pop r p r i r i n i n c n c

e c n i r p o l o p r i n c e

p e c n i r p o p r i n c e p

s p e c n i r p r i n c e p s

f s p e c n i r i n c e p s f

e f s p e c n i n c e p s f e

c e f s p e c n c e p s f e c

i c e f s p e c e p s f e c i

t i c e f s p e p s f e c i t

na .c om

t i c e f s p e p s f e c i t

Napis razvozljamo tako, da za~nemo brati pri velikem S v sredini in se pomikamo navpi~no in (ali) vodoravno do ene od ~rk t na vogalih. V vseh primerih, in teh je kar 45 760, preberemo latinski stavek Silo princeps fecit ali po na{e Zgradil knez Silo.

kn

jig

ar

V srednjem veku je imela beseda ABRACADABRA po besedah ranocelnikov ~ude`no mo~, posebej pri zdravljenju tridnevne mrzlice. Po receptu Serenusa Saunonicusa je bilo treba besedo napisati v obliki trikotnika in jo potem prebrati na vse mogo~e na~ine, od vsakega A na levi do zadnjega A na desni v prvi vrsti. Na ta na~in je 10 bilo mogo~e besedo prebrati natanko 2 oz. 1024-krat. ^e bolnik po treh dneh, ob vmesnem branju ~ude`ne besede, ni ozdravel, je imel ranocelnik pri roki izgovor, da je bolnik pri branju najbr` izpustil katero od mo`nosti.

ABRACADABRA ABRACADABR ABRACADAB ABRACADA ABRACAD ABRACA ABRAC ABRA ABR AB A

PP1-poglavje_kombinatorika.fm Page 9 Friday, April 1, 2011 12:31 PM

9

kn

jig

ar

na .c om

Francoski pesnik in pisatelj Raymond Queneau (1903–1976) je avtor knjige Cent mille milliards de poemes (Sto tiso~ milijonov pesmi).

Knjiga vsebuje 14-vrsti~ne sonete, ki so natiskani le na desni strani, vsaka stran pa je razrezana na 14 trakov (tako da vsak trak vsebuje eno vrstico soneta). Trakove lahko listamo neodvisno, pa ima kljub temu vsak sonet pravo strukturo in pomen.

PP1-poglavje_kombinatorika.fm Page 10 Friday, April 1, 2011 12:31 PM

10

OSNOVNI IZREK KOMBINATORIKE

na .c om

Jakob Bernoulli je za svoj ~as povedal kar dobro definicijo kombinatorike: Kombinatorika je pre{tevanje. Ker ne gre za enostavno pre{tevanje predmetov neke kon~ne mno`ice, na zgledih poglejmo, kaj spada k tej veji matematike.

1. V dru`ini proslavljajo skupni praznik. Ko pride ~as zdravice, dvignejo kozarce in tr~ijo vsak z vsakim. Koliko trkov je sli{ati, ~e praznuje 6 ljudi?

jig

ar

Do rezultata bomo pri{li postopoma in pri tem sku{ali poiskati tudi zakonitost oz. formulo. Recimo, da bi nazdravila le o~e in mama. Potem bi bil trk en sam. ^e bi z njima nazdravil {e najstarej{i otrok, bi bili trije trki (1 + 2 = 3), pri {tirih dvignjenih kozarcih bi sli{ali 6 trkov (1 + 2 + 3 = 6), pri petih 10 trkov (1 + 2 + 3 + 4 = 10) in pri trkanju vseh {estih ~lanov dru`ine 15 trkov (1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15).

kn

Nicolaus Bernoulli (1695–1726)

Leonhard Euler (1707–1783)

O~itno je, da se splo{na formula za n kozarcev glasi ( n – 1 )- in jo poznamo kot del N = 1 + 2 + 3 + … + n = n----------------2 re{itve, ko ra~unamo {tevilo diagonal konveksnega n-kotnika.

2. Pred 250 leti sta si matematika L. Euler in N. Bernoulli dopisovala o »problemu zamenjave pisem« in ga tudi re{ila.

Pisar je napisal n pisem in n ovojnic. Pri vstavljanju pisem v ovojnice ni bil pozoren. Koliko je vseh mo`nosti, da vsaj eno pismo ne pride na pravi naslov?

Problem lahko poenostavimo tako, da izberemo npr. n = 4 in pre{tejemo vse mo`nosti razvr{~anja pisem v ovojnice. Ovojnice zlo`imo drugo poleg druge in ugotovimo, da imamo za prvo ovojnico na voljo eno od {tirih