Marjana Sedeljšak Basle, Petra Miller, Katja Pipan, Nina Krapež Podobnik
BMATEMATIKA in jaz
Samostojni delovni zvezek za matematiko v srednjih poklicnih šolah
Marjana Sedeljšak Basle, Petra Miller, Katja Pipan, Nina Krapež Podobnik
Matematika in jaz B
Samostojni delovni zvezek za matematiko v srednjih poklicnih šolah
Urednica: Simona Knez
Recenzenta: Irena Mrak Merhar, Gregor Pavlič
Jezikovni pregled: Renata Vrčkovnik
Ilustracije: Gašper Rus
Fotografije: Shutterstock (natančen seznam je na koncu gradiva)
Direktor produkcije: Klemen Fedran
Izdala in založila: Modrijan izobraževanje, d. o. o.
Za založbo: Maruša Dejak
Oblikovanje: Beti Jazbec
Prelom: Goran Čurčič
Tisk: Tiskara Zrinski, d. o. o.
1. izdaja
Naklada: 3000 izvodov
Ljubljana 2024
Vse knjige in dodatna gradiva Založbe Rokus Klett dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com.
© Modrijan izobraževanje (2024). Vse pravice pridržane.
Brez pisnega dovoljenja založnika je prepovedano reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava in druga uporaba avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnemkoli obsegu ali postopku, kot tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.
Modrijan izobraževanje, d. o. o., Stegne 9 b, 1000 Ljubljana
Telefon: 01 513 44 00
Telefonska naročila: 01 513 44 04
E-pošta: narocila@modrijan-izobrazevanje.si
www.modrijan-izobrazevanje.si, www.knjigarna.com
CIP – Kataložni zapis o publikaciji
Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana
51(075.3)(076.1)
MATEMATIKA in jaz B. Samostojni delovni zvezek za matematiko v srednjih poklicnih šolah / Marjana Sedeljšak Basle … [et al.] ; [urednica Simona Knez ; ilustracije Gašper Rus ; fotografije Shutterstock (natančen seznam je na koncu gradiva)]. – 1. izd. – Ljubljana : Modrijan izobraževanje, 2024
ISBN 978-961-7181-19-7
COBISS.SI-ID 189960451
Kazalo
LINEARNA ENAČBA IN NEENAČBA 5 1 Osnovni pojmi 6 2 Linearna enačba 13 3 Uporaba linearnih enačb 35 4 Linearna neenačba 56 LINEARNA FUNKCIJA 70 1 Pravokotni koordinatni sistem 71 2 Funkcija 80 3 Linearna funkcija 86 SISTEM DVEH LINEARNIH ENAČB Z DVEMA NEZNANKAMA 123 1 Reševanje sistema dveh linearnih enačb z dvema neznankama 124 2 Uporaba sistema dveh linearnih enačb z dvema neznankama 135 OBDELAVA PODATKOV IN STATISTIKA 147 1 Osnovni pojmi in zbiranje ter urejanje podatkov 148 2 Prikazovanje podatkov z diagrami 157 3 Računanje srednjih vrednosti 170
Pred začetkom …
Seznam podpoglavij
Zgleda
Zgledi na začetku učne enote so namenjeni uvodu v novo snov; ob koncu razlagalnega dela pa kot pojasnilo, kako teorijo pretvoriti v prakso.
Naslov poglavja
Učni cilji
Ob nekaterih zgledih in nalogah stojijo QR-kode, ki vas vodijo do podrobnešje videorazlage
V rubriki Več vadim, bolje znam so številne raznolike naloge, s katerimi lahko utrdite snov celotnega podpoglavja.
Večino nalog lahko rešujete neposredno v gradivo. Pred nalogami za reševanje v zvezek pa stoji ikona odprtega zvezka.
Zgleda
Pomembnejše definicije, zakonitosti, izreki … so zapisani na rumeni podlagi.
Vsakemu manjšemu učnemu sklopu sledi nekaj nalog, s katerimi lahko preverite, kako dobro ste razumeli teorijo. Zgleda
4
enačba in neenačba 1 Osnovni pojmi 2 Linearna enačba 3 Uporaba linearnih enačb 4 Linearna neenačba ZNALI BOMO prepoznati enačbo razlikovati odlinearnoenačbo drugihenačb rešiti linearno enačbo rešiti linearno neenačbo predstaviti linearno odvisnost z enačbo 62 Rešitev linearne neenačbe Osnovna množica je množica, v kateri rešujemo neenačbo. Če ni posebej navedeno, predpostavimo, da je osnovna množica kar množica realnih števil ℝ Rešitev linearne neenačbe z eno neznanko je število, pri katerem velja neenakost. Vse rešitve neenačbe sestavljajo množico rešitev neenačbe. Linearna neenačba ima v množici realnih števil za množico rešitev: interval, prazno množico ali množico vseh realnih števil. Ekvivalentni (enakovredni) neenačbi imata isto množico rešitev. Običajno rešitev neenačbe zapišemo z intervalom in upodobimo na številski premici. A. Rešimo neenačbo 5(x + 2) – x – 3) < 1 – 2(x + 3). Rešitev zapišimo z intervalom in upodobimo na številski premici. 5(x + 2) – x – 3) < 1 – 2(x + 3) Odpravimo oklepaje. 5x + 10 – x + 3 < 1 – 2x – 6 Člene z neznanko prenesemo na levo, števila pa na desno stran. Pazimo na predznake. 5x – x + 2x < 1 – 6 – 10 – 3 Člene na obeh straneh neenačbe seštejemo. 6 < –18 / 6 Obe strani neenačbe delimo s 6. Ker je 6 pozitivno število, se neenačaj ohrani. x < –3 Rešitev neenačbe so vsa realna števila, manjša od –3. ∈ (–∞ –3) Rešitev zapišemo z intervalom in upodobimo na številski premici. B. Rešimo neenačbo 2 – y 2 ≤ y 3 3 – 5 8 Rešitev zapišimo z intervalom in upodobimo na številski premici. 2 – y 2 ≤ 3 3y – 5 8 ∙ 24 Da odpravimo ulomke, obe strani neenačbe pomnožimo s skupnim imenovalcem 24. 48 – 12y ≤ 8y – 3(3y – 5) Odpravimo oklepaje. 48 – 12y ≤ 8y – 9y + 15 Člene z neznanko prenesemo na levo, števila pa na desno stran. Pazimo na predznake. –12y – 8y + 9y ≤ 15 – 48 Seštejemo člene. –11y ≤ –33 / : (–11) Obe strani neenačbe delimo z negativnim številom zato se neenačaj obrne y ≥ 3 Rešitev neenačbe so vsa realna števila, večja ali enaka 3. y ∈ [3, Rešitev zapišemo z intervalom in prikažemo na številski premici. 4.3 Zgledi –3 1 0 0 1 3 63 C. Rešimo neenačbo ( – 2) + 5 > –2)( + 3). Rešitev zapišimo z intervalom in prikažemo na številski premici. x – 2)2 + 5x > x –2)(x + 3) Odpravimo oklepaje. x – 4x + 4 + 5x > x + 3x – 2x – 6 Člene z neznanko prenesemo na levo, števila pa na desno stran. Pazimo na predznake. x – 4x + 5x – x – 3x + 2x > –6 – 4 Člene na obeh straneh neenačbe seštejemo. 0x > –10 To je vedno res, zato neenačbo rešijo vsa realna števila x ∈ ℝ x ∈ (– ) Rešitev zapišemo z intervalom in upodobimo na številski premici. Č. Rešimo neenačbo 2y – 1 4 + 2 3 5(y – 1) 6 ≥ 2 + y 3 2y – 1 4 + 2y 3 5(y – 1) 6 ≥ 2 + y 3 12 Da odpravimo ulomke, obe strani neenačbe pomnožimo s skupnim imenovalcem 12. 3(2y – 1) + 4 2y – 2 5(y – 1) ≥ 24 + 4y Odpravimo oklepaje. 6y – 3 + 8y – 10y + 10 ≥ 24 + 4y Člene z neznanko prenesemo na levo, števila pa na desno stran. Pazimo na predznake. 6y + 8y – 10y – 4y ≥ 24 + 3 – 10 Seštejemo člene. 0y ≥ 17 To ni nikoli res, zato je neenačba nerešljiva Množica rešitev je prazna množica 13. Rešite neenačbo. Rešitev zapišite z intervalom in upodobite na številski premici. a) x – 2 > 2 – 3x b) 2x – 1 < 3x – 4 c) 3( + 5) – 4 < 2 + 7(3 – č) 7( + 2) ≥ 12 – 2(3 + 5) 1 0 Naloga 110 Oblike enačbe premice Poznamo tri oblike enačbe premice: Eksplicitna oblika: y kx + k ∈ ℝ Implicitna oblika: + by + = 0 b ∈ ℝ Koeficienta a in b ne smeta biti hkrati 0. Enačbo največkrat preoblikujemo tako, da so vsi koeficienti cela števila in koeficient a nenegativen. Odsekovna oblika: x + y = 1 m ≠ 0, n ≠ 0 Ker sta m in n različna od 0, v odsekovni obliki ne moremo zapisati enačbe premice, ki poteka skozi koordinatno izhodišče. A. Enačbo premice y = 2x – 3 zapišimo v vseh treh oblikah in jih poimenujmo. y = 2x – 3 Eksplicitna oblika Preoblikujemo v implicitno obliko. y = 2 – 3Vse člene prenesemo na isto stran, tako da na drugi strani ostane 0. –2x + y + 3 = 0 / (–1) Množimo z (–1), da prvi člen ni negativen. 2x y – 3 = 0 Implicitna oblika Preoblikujemo v odsekovno obliko. 2 y = 3 Člen brez neznanke osamimo na desni strani. 2 y = 3 / 3 Delimo s 3, saj moramo na desni strani dobiti 1. 2 3 y 3 = 1 Zapišemo z dvojnimi ulomki in pazimo na predznak, ker mora biti med ulomkoma vedno znak plus. 2 + y –3 = 1 Odsekovna oblika B. Zapišimo enačbo premice skozi točki A(0, 2) in B(3, 0) v vseh treh oblikah. Ker ima točka A absciso enako nič, je začetna vrednost = 2. Ker ima točka B ordinato enako nič, je ničla = 3. Iz tega sledi, da lahko zapišemo enačbo premice v odsekovni obliki. 2 + y 3 = 1 Odsekovna oblika Iz odsekovne oblike preoblikujemo enačbo premice v implicitno obliko. 2 + y 3 = 1 / 6 Da se znebimo ulomkov, enačbo pomnožimo z najmanjšim skupnim večkratnikom imenovalcev. 3x + 2y = 6 Vse člene prenesemo na levo stran enačbe. 3x + 2y – 6 = 0 Implicitna oblika Enačbo preoblikujemo v eksplicitno obliko. 3x + 2y – 6 = 0 2y = –3 + 6 / 2 y 3 2 + 3 Eksplicitna oblika 3.8 Zgleda 51 Več vadim, bolje znam 1. Glede na zapisano enačbo dopolnite besedilo naloge. a) + 3 = – 9 Če neznano število povečamo za dobimo isto, kot če od kvadrata tega števila odštejemo b) + + 1) + ( + 2) = 51 Vsota zaporednih števil je c) (x – 1)(x + 1) = 5x + 13 Produkt predhodnika in naslednika nekega števila je za večji od njegovega -kratnika. 2. Če od polovice neznanega števila odštejemo 6, dobimo tretjino neznanega števila. Izračunajte število. 3. Če neko število povečamo za njegov petkratnik, dobimo 78. Katero število je to? 4. Katero število moramo prišteti dvakratniku števila 17, da dobimo za 8 zmanjšan trikratnik tega števila? 5. Rešite besedilni nalogi. a) Vsota treh števil je 63. Prvo število je polovica drugega, drugo je polovica tretjega. Izračunajte števila. b) Če neko število pomnožimo s 7 in mu prištejemo 10, dobimo isto, kot če to število pomnožimo z 11 in mu odštejemo 2. Izračunajte število.
Linearna
Linearna enačba in neenačba
predstaviti linearno odvisnost z enačbo
prepoznati enačbo
ZNALI BOMO
rešiti linearno neenačbo
odlinearnorazlikovatienačbo drugihenačb
rešiti linearno enačbo
Osnovni pojmi
Linearna enačba
Uporaba linearnih enačb
Linearna neenačba
1
2
3
4
1. Osnovni pojmi
Enačba in rešitev enačbe
Zgledi
A. Na levo stran tehtnice polagamo kroglice z maso 15 g. Najprej položimo eno kroglico, nato dve, tri, štiri … Skupno maso kroglic na levi strani tehtnice lahko zapišemo z izrazom x 15 g, pri čemer je x spremenljivka, ki nam pove, koliko kroglic smo položili na levo stran tehtnice. Na desno stran tehtnice položimo eno veliko kroglo z maso 60 g.
Izračunajmo, koliko kroglic moramo položiti na levo stran, da bo tehtnica v ravnovesju.
Zapišimo enačbo (enačaj predstavlja tehtnico v ravnovesju): x ∙ 15 g = 60 g.
Rešiti enačbo pomeni poiskati vrednost spremenljivke (neznanko x), pri kateri je leva stran enačbe enaka desni strani.
15 ∙ x = 60
leva stran enačbe (L) enačaj desna stran enačbe (D)
S sklepanjem ugotovimo, da smo morali na levo stran tehtnice položiti štiri kroglice, torej je 4 rešitev enačbe. Zapišemo x = 4 ali v obliki množice ℛ = {4}.
Ustreznost rešitve preverimo tako, da izračunamo vrednost izraza na levi strani in ga primerjamo z vrednostjo izraza na desni strani. Temu pravimo preizkus.
L: 4 ∙ 15 g = 60 g
D: 60 g
Preizkus pokaže, da je vrednost leve strani enaka vrednosti desne strani enačbe: L = D. Rešitev je pravilna.
B. Enačba x2 + 5x = –6 ima dve rešitvi, in sicer x = –3 in x = –2.
Preverimo.
L: (–3)2 + 5(–3) = 9 – 15 = –6
D: –6
L = D
L: (–2)2 + 5(–2) = 4 – 10 = –6
D: –6
L = D
Enačba v množici naravnih števil ℕ ni rešljiva, saj rešitvi –3 in –2 nista naravni števili. Rešljiva je na primer v množici {–3,–2, –1, 0, 1, 2, 3}, v množici celih števil ℤ, realnih števil ℝ …
Množico števil, v kateri iščemo rešitev enačbe, imenujemo osnovna množica
6
1.1
Naloge
C. S preizkusom preverimo, ali je a = –4 rešitev enačb 2(a – 3) – 11 = 3(a – 3) + a in 3a 4 = (a + 2)2 – 6.
Naredimo preizkus prve enačbe.
L: 2(–4 – 3) – 11 = 2(–7) – 11 = –14 – 11 = –25
D: 3(–4 – 3) + (–4) = 3(–7) – 4 = –21 – 4 = –25
Ugotovimo, da je –4 rešitev prve enačbe, saj sta vrednosti leve in desne strani enačbe enaki (L = D).
Naredimo preizkus druge enačbe.
L: 3(–4) 4 = –12 4 = –3
D: (–4 + 2)2 – 6 = (–2)2 – 6 = 4 – 6 = –2
Ugotovimo, da –4 ni rešitev druge enačbe, saj vrednosti leve in desne strani enačbe nista enaki (L ≠ D).
Enačba je enakost dveh matematičnih izrazov, kadar v vsaj enem nastopa neznanka. Neznanko običajno označimo s črko x, lahko pa tudi s katerokoli drugo črko abecede.
Izraz na levi strani enačaja imenujemo leva stran enačbe, izraz na desni strani pa desna stran enačbe.
Osnovna množica je množica, v kateri rešujemo enačbo. Če ni posebej navedeno, predpostavimo, da je osnovna množica množica realnih števil ℝ.
Rešitev enačbe je število, pri katerem je vrednost leve in desne strani enačbe enaka.
Množica rešitev ℛ so vsa števila, ki so rešitev dane enačbe.
Preizkus enačbe naredimo tako, da namesto neznanke vstavimo rešitev in preverimo, ali je leva stran enačbe enaka desni strani.
Ekvivalentni (enakovredni) enačbi imata isto množico rešitev.
1. Obkrožite enačbe.
3x + 7 = 8
8x + 3y
7y + 3 = 1 2
1,2a – 7b = 5a
14x2 + 3x = 17 – x
(21y + 3)3 = 1
14x2 –17
(a + 3)(b – 2) = 17
(a + 3)(a – 2)
24 – 17 = 7
7
Izpišite enačbo in obkrožite rešitev enačbe.
S preizkusom preverite, ali je število –1 rešitev enačbe. Obkrožite JE ali NI.
4. Kateri element množice {–5, –3, 1, 3} je rešitev enačbe –6x – 5 = x2 + 4?
5. Obkrožite enačbe, pri katerih je vrednost leve in desne strani za spremenljivko
a = –5 enaka.
a) 3a – 17 = –2
b) |3a + 8| = 7
8
Enačba: Enačba: y Leva stran enačbe: 5 4 y + 5 Desna stran enačbe: 4y –1 2 –2 2 1 2 –8 1 2 –1 3 3 4 –4 1 2 0 5 –1 2 1 6 1 4 3 1 2 2 7 1 2 7 1 2 x Leva stran enačbe: 9x + 6 Desna stran enačbe: 7x + 4 –3 –21 –17 –2 –12 –10 –1 –3 –3 0 6 4 1 15 11 2 24 18 3 33 25
8 – x = 7 JE NI b) 6y = 5 JE NI
2 – 2a = 3 JE NI č) –2(b – 2)2 = 15b – 3 JE NI
x – 3 JE NI
x5
x4 + x3 = –3x2 JE NI
2.
3.
a)
c) a
d) 3x – 7 = 7
e)
–
c) a2 = a + 20
č) 1,2a – 4,8 = 2,8a + 3,2
d) 7a – (–15) = a + 15
e) a3 = 125
f) 3(a – 4) + 17 = 2a
g) 2a 4 + 3a 6 = –a
1.2
Vrste enačb
Glede na število neznank , ki nastopajo v enačbi, ločimo:
• enačbe z eno neznanko: 3x – 2 = 4, a2 – 2a + 1 = 0, 3m + 2 = 4m – 4
• enačbe z dvema neznankama: x – 3y = 5, u + v = 8, a = 2b + 3
• enačbe s tremi neznankami: 2a – b = 3c, x + y + z = 1, 5s – 2t = v
• enačbe z več neznankami: a + 2b – c + d – 3e = 10, x + 2 – y + 3z = w
Glede na najvišjo stopnjo neznanke, ki nastopa v enačbi, ločimo:
• enačbe prve stopnje ali linearne enačbe: 5 – 2a = 13, 4x – 2 = 3 – (x – 5), x + y = 2
• enačbe druge stopnje ali kvadratne enačbe: x2 – 2x = 8, (y – 3)2 = 5y, a2 + b2 = c2
• enačbe tretje stopnje ali kubične enačbe: 3y3 = 81, a3 – 2a2 + a = 4, 5 – m3 = m2
• enačbe višje stopnje: z5 – 2z = z3 + 4, x7 = –1, y4 – y2 = 0
V nadaljevanju bomo podrobneje obravnavali linearne enačbe z eno neznanko, naučili pa se bomo rešiti tudi nekatere kvadratne enačbe in enačbe višjih stopenj.
Poznamo tudi nekatere druge enačbe, na primer:
• racionalne enačbe – neznanka nastopa v imenovalcu ulomka: 3 x – 2 = 5
• iracionalne enačbe – neznanka nastopa pod korenom: √x – 2 = 5
• eksponentne enačbe – neznanka nastopa v eksponentu: 3x = 81
9
6. Z rdečo barvo obkrožite linearne enačbe z eno neznanko, z modro pa kvadratne enačbe.
x 8 = 0 m(m – 1) = 3 (a – 2)2 = a
4(2x – 5) = 7x
x2 + 5x 5x 4 – 2 = 2 5x + 1 3a + 5b = 2
7. Dana je kvadratna enačba 3x2 – 4x = 4. S preizkusom ugotovite, kateri par rešitev reši enačbo.
(A) x1 = – 2, x2 = 2 3
(B) x1 = – 2, x2 = –2 3
(C) x1 = 2, x2 = –2 3
(Č) x1 = 2, x2 = 2 3
8. Vrsto enačbe povežite z ustrezno enačbo v desnem stolpcu.
5x 3 – 2x = x – 2 4 + 5
Enačba višje stopnje
Linearna enačba
Kvadratna enačba
5x 3 –1 2 x = x – 2 4 + 5
2x – 3√x = 2
4x4 – x2 = 0
x2 – 5x = –6
Več vadim, bolje znam
1. Z rdečo barvo obkrožite enačbe, z modro pa izraze.
x + 7 = 9
x2 + 3y – 5
m + 3 = 1 5
u + v ∙ 2 =1,4
7a3 + 5a – 25
Koliko enačb je linearnih?
(21y + 3)3 = 27
x2 –17 = 12
(a – 53)(b – 2) = 0
8z
23 + 45 – 12 = 56
y + 3)
7– 4y2 3x3 +
2(
=
2x2 – x = 5
10
Naloge
MATEMATIKA IN JAZ
Matematika in jaz je učna serija za pouk matematike v programu srednjega poklicnega izobraževanja.
V samostojnem delovnem zvezku so razlagalne učbeniške vsebine združene z elementi delovnega zvezka in ga lahko dijaki in dijakinje med poukom aktivno uporabljajo. Razlaga je prepletena z zgledi in nalogami, s čimer gradivo spodbuja k sodelovanju pri pouku.
Za pomoč pri samostojnem učenju so s QR-kodami dodane povezave do razlagalnih videoposnetkov, ki so jih pripravili profesorice in profesorji matematike.
17,90 EUR Modrijan izobraževanje, d. o. o., Stegne 9 b, 1000 Ljubljana Telefon: 01 513 44 00, e-pošta: narocila@modrijan-izobrazevanje.si www.modrijan-izobrazevanje.si, www.knjigarna.com