Baraonde gravitazionali

Rosario Giuffrida

´ B ARA ONDE G RAVITAZIONALI ovvero i muratori dell’edificio teorico della Relativit`a Generale

Da cento anni la ricerca scientifica s’interroga sull’esistenza delle onde gravitazionali e dei buchi neri; oggi la teoria della Relativit`a Generale e` un complicatissimo edificio di formule matematiche e le ricerche sono svolte in laboratori dotati delle piu` sofisticate tecnologie. La scoperta delle onde gravitazionali e` ancora senza esito e Pedro Ximena il beato annuncia il proprio Principio di Relativit`a.

Design di copertina: Luisa Giuffrida

Ia edizione novembre 2015. c 2015 Rosario Giuffrida. Tutti i diritti riservati

all’autore. I diritti di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento totale o parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche) sono riservati.

ISBN 979-12-200-XXXX-Y

Rosario Giuffrida

´ B ARA ONDE G RAVITAZIONALI ovvero i muratori dell’edificio teorico della Relativit`a Generale

A mia moglie Pierpaola, che si e` appassionata del mio discorso sulle onde gravitazionali.

A mia figlia Luisa, che mi ha dettato alcune citazioni.

A mio suocero Edoardo che ha chiesto spiegazioni su cos’`e la gravit`a.

Al coniglio Chico, che con le sue zigate mi ha segnalato l’ora di andare a letto.

Al cane Sansone (o Sansonito), che mi ulula per solidariet`a: h` auuuuu!

Introduzione I muratori della gravitazione Einstein pubblico` la Teoria della Relativit`a Generale nel novembre 1915. Nella ricostruzione storica, che nel presente saggio si affronta con stile divulgativo, si elencano alcuni degli scienziati, i cosiddetti muratori della cosmologia, che hanno contribuito nelle varie epoche alla stesura di capitoli che poi confluiranno, come singoli tasselli di un grande mosaico, nella teoria relativistica, dapprima in quella ristretta o speciale e, in seguito, in quella generale.

Il breve excursus storico su come Einstein sia giunto alla Teoria della Relativit`a Generale e` volutamente semplificato e non in ordine strettamente cronologico, dunque, non sono qui citati alcuni personaggi di primo piano nell’ambito della fisica e della matematica. La numeroi

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I NTRODUZIONE

sa comunit`a di muratori scientifici nel tempo ha costruito, mattone dopo mattone, il grande edificio della relativit`a. Di questi muratori, alcuni hanno spianato la strada, altri hanno picconato certezze, infine c’`e chi ha esplorato nuove soluzioni costruttive. Da dove cominciare? Sicuramente da Galilei, e` stato il primo a formulare il Principio di Relativit`a detto, per l’appunto, Galileiano. Si prosegue con Euclide, il quinto postulato e la geometria a dimensione umana.

Newton, la mela in testa e la legge di gravitazione universale. Poi e` la volta dei due matematici quasi sconosciuti: Bolay e Lobacevskij e le loro geometrie “alcoliche”. Non puo` mancare Gauss, la metrica, la geodetica e la curvatura delle superfici. Riemann e le variet`a differenziabili ossia come vedere spazi inimmaginabili senza assumere superalcolici. Maxwell, la teoria elettromagnetica e la scoperta, a costo zero, delle onde elettromagnetiche. L’esperimento di Michelson e Morley e l’interferometro da due soldi. Gregorio Ricci Curbastro, il suo allievo Tullio Levi Civita e il calcolo tensoriale che solo loro due comprendevano. Henri Poincar`e, il mondo topologico e l’intuito relativistico. Le Trasformate di Lorentz: un colpo al cerchio ed una alla botte per aggiustare le Trasformate Galileiane. Albert Einstein e il tiro in rete da fermo, con la palla sopra la linea della porta e il

iii portiere spiazzato. Pedro Ximena il beato, il limite del metodo scientifico e il Principio di Relativit`a di Ximena enunciato durante una delle sue conversazioni sotto l’albero di bagolaro.

Redatto in Terrae Padanae et Spadanae, nel giorno d’Ognissanti, A.D. 2015 Rosario Giuffrida

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Incipit Quando si vola, devi volare, ma quando non si pu`o volare non devi volare.

Pedro Ximena il beato

Il francobollo Nell’agosto del 1985 la mia famiglia ebbe recapitata una generica lettera con un’affrancatura annullata dall’ufficio postale del mio paese.

Il francobollo celebrava la 14a Conferenza Internazionale della Relativit`a Generale, un evento che in quell’anno si svolgeva a Firenze. Sul francobollo vi erano raffigurati, su uno sfondo di cielo stellato, la cupola del Brunelleschi del duomo di Firenze, cattedrale di Santa Maria del Fiore, il ritratto di Galileo Galilei, il ritratto di Albert 1

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I NCIPIT

Figura 1: Il francobollo emesso dall’Istituto Poligrafico e Zecca dello Stato di Roma, nel 1985, che celebra la 14a C ONFERENZA M ONDIALE DI R ELATIVIT A` - F IRENZE .

Einstein con il mento poggiato sulla mano sinistra e una formula matematica di colore bianco su sfondo azzurro, come una cianografia, semplice e compatta nella sua espressione ma per me misteriosa ed enigmatica nel suo significato fisico e matematico: Gµν = κTµν Per uno studente al primo anno di ingegneria, le iniziali conoscenze di analisi matematica, di fisica e di geometria offrirono solamente un’indicativa intuizione della formula ma senza comprendere n´e il significato fisico n´e la semplice lettura da un punto di vista formale della matematica. Ritagliai (e chiedo scusa ai filatelici) quel francobollo e lo conservai nel cassetto della mia scrivania.

I L FRANCOBOLLO

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Venti anni dopo, per caso, ritrovai il francobollo assieme ad un altro francobollo raffigurante il matematico Luca Pacioli e una banconota di dieci marchi tedeschi con il ritratto di Gauss, la curva di probabilit`a a forma di campana e, nel retro della banconota, la mappa geografica di un’accurata misurazione geodetica degli angoli interni di un triangolo, per la verifica se lo spazio, a grandi distanze, conservi ancora le propriet`a di uno spazio euclideo piano.

Incuriosito dal ritrovamento dei miei cimeli, in particolare di quella formula matematica racchiusa in pochi centimetri quadrati che emergeva dal passato, mi proposi di compiere delle ricerche per comprenderne il significato fisico, ch´e il significato matematico, di una uguaglianza tra tensori, mi era gi`a palese.

Dei libri che ancor oggi conservo, tra i quali i testi per sostenere l’esame di fisica, scelsi il testo del fisico Landau - Teoria dei campi - e iniziai a leggere i capitoli pertinenti le equazioni dei campi gravitazionali e delle onde gravitazionali. Dopo che lessi e studiai i capitoli in questione e ripassai argomenti di matematica quali, analisi tensoriale e geometria differenziale, iniziai il mio personale approfondimento della formula matematica e del suo significato fisico.

Quest’anno ricorre il centenario della pubblicazione della Teoria della Relativit`a Generale,

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I NCIPIT

pubblicata il 25 novembre del 1915 da Albert Einstein, ma e` anche il trentennale di quando mi giunse tra le mani quella busta con l’affrancatura che ancor oggi conservo, appeso in un quadro sulla parete di casa mia, con la didascalia che ne riassume il significato dei vari termini.

Sinora, almeno fino alla data di stesura di questo breve racconto, le onde gravitazionali non sono state osservate sperimentalmente, anche se prove indirette ci permettono di corroborarne l’ipotesi dell’esistenza di onde gravitazionali. Gli scienziati stanno indagando un particolare luogo dello spazio siderale che, secondo indizi sia sperimentali sia teorici, dovrebbe essere un’enorme sorgente di onde gravitazionali ove probabilmente rilevarli.

Perch´e ancora non sono state osservate sperimentalmente le onde gravitazionali? E` un problema di accuratezza o di precisione delle misure, di sensibilit`a degli strumenti di misura, di limite tecnologico e ingegneristico oppure qualcos’altro si cela? Nel seguito di questo saggio sar`a affrontata di nuovo la questione. §

Il Principio di Relativit`a Galileiana Per quanto riguarda la causa materiale, non e` possibile derivare una cosa dall’altra procedendo all’infinito: per esempio, la carne dalla terra, la terra dall’aria, l’aria dal fuoco, senza mai fermarsi.

Aristotele, Metafisica, (II, 2, 994)

Galileo Galilei Galilei era un filosofo naturalista. Oggi sarebbe un fisico, ma allora questa professione non era contemplata. Pubblico` diversi testi filosofici tra i quali: Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo. Gi`a il titolo introduce l’argomento, sotto forma di dialogo che si svolge in 5

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I L P RINCIPIO DI R ELATIVIT A`

quattro giorni, tra tre uomini: Simplicio, Salviati e Sagredo. In realt`a e` Galilei che si fa le domande, si risponde e si mantiene neutrale, riguardo la concezione dell’universo: tolemaico e copernicano.

L’argomento non piace all’Inquisizione, che ne intravede una preferenza per il sistema copernicano, Galilei viene richiamato a Roma per aver scritto una opera piu` perniciosa della dottrina Calvinista e Luterana, ed e` costretto, all’et`a di 70 anni, all’abiura (che accetta) e al confino presso casa sua, cosa che oggi suona come messo agli arresti domiciliari a vita.

Nelle pagine dell’opera, proprio al secondo giorno dei dialoghi, Galilei tramite Salviati descrive la prima traccia storica del Principio di Relativit`a, qui riprodotta nell’italiano di oggi col seguente titolo: Il gran naviglio “(. . . ) Chiudetevi con qualche amico nella stanza piu` grande che sta sottocoperta di una grande nave, e cercate di avere mosche, farfalle e animaletti simili volanti. Inoltre vi sia anche un gran vaso pieno d’acqua con dentro dei piccoli pesci; sospendi anche in alto un qualche secchiello, che sgocciolando vada versando dell’acqua in un altro vaso avente imboccatura stretta e posto proprio in basso. Se la nave sta ferma si osserver`a diligentemente che tutti gli

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animaletti volanti, con pari velocit`a vanno verso le pareti della stanza. Si noter`a e vedr`a i pesci andare in tutte la direzioni, le gocce che stillano dal vaso superiore entreranno tutte nel vaso inferiore, e se gettate un oggetto a qualcuno non dovete lanciarla verso un’altra direzione se la distanza rimane uguale, e se saltate a piedi uniti, spazi uguali si percorreranno verso tutte le direzioni. Si osservi di aver fatto tutte queste cose diligentemente e che nessun dubbio vi sia che la nave sia ferma, fate adesso muovere la nave a velocit`a uniforme e senza che fluttui e non si noter`a alcuna differenza di tutti i fenomeni sopra descritti, e nemmeno e` possibile comprendere dai fenomeni descritti se la nave sia ferma o in moto (. . . )�.

Ecco raccontato il principio di relativit`a!

Riassumendo, non si e` in grado di decidere, osservando chiusi da dentro la stiva della nave, se si e` in moto o fermi. Se degli uomini stanno ad osservare dal molo, vedranno gli stessi fenomeni che hanno osservato a bordo, ossia gli animaletti volanti che continuano a volare, le gocce d’acqua che stillano dal vaso appeso a quello in basso, che i salti a piedi uniti a bordo continuano ad essere uguali nelle distanze, il tutto con nave ferma o in moto costante.

E` un esperimento mentale, quello appena descritto, un esperimento nella mente di Gali-

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lei, a cui fa seguito quest’altro esperimento mentale: mentre la nave avanza a velocit`a costante, la vedetta che sta sull’albero maestro, con una gomitata lascia cadere un secchio (si spera che sia stato vuoto), il quale cade dritto sulla testa del mozzo che si trova proprio sotto la vedetta.

Ci si chiede, con una certa flemma, quale traiettoria abbia percorso il secchio. Il mozzo, con altrettanta flemma, descriver`a il percorso del secchio dicendo: “Non ho dubbi, e` caduto dritto su di me, il secchio ha percorso una traiettoria rettilinea e verticale”. La stessa domanda, posta ad un uomo che sta nel molo, risponder`a: “Ho veduto il secchio cadere, ma poich´e la nave avanzava, anch’essa avanzava di pari velocit`a e il percorso che ho osservato era di un arco di parabola”.

Cosa se ne deduce? Il secchio ha percorso una traiettoria rettilinea o parabolica? Ognuno dei due uomini ha descritto il percorso del secchio relativamente al proprio sistema di riferimento, mobile per il mozzo sopra la nave, fisso per l’uomo al molo. Oggi diremmo che la nave e il molo sono due sistemi di riferimento inerziali, il primo mobile con velocit`a costante Vcost e il secondo fisso; siccome il fenomeno fisico (il secchio in testa) deve essere invariante per i due osservatori dei rispettivi sistemi di riferimento inerziali, e` necessario che quando si passi da un sistema di riferimento ad un altro, la

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trasformazione delle traiettorie dovr`a consentire l’invarianza delle leggi fisiche. Con un esempio ancora piu` chiaro e immediato, e` come se due persone di nazionalit`a e lingua differenti, descrivessero gli oggetti situati su un tavolo, ognuno nella propria lingua (o relativamente la propria lingua): se traducessimo da una lingua nell’altra, la descrizione degli oggetti deve coincidere per entrambi. Cio` che rimane invariato e` il concetto, pertanto, il concetto e` invariante rispetto al linguaggio di chi lo esprime.

Il Principio di Relativit`a Galileiana in sintesi e` : le leggi fisiche sono invarianti rispetto alle trasformate galileiane (cio`e tutti gli osservatori vedranno cadere il secchio in testa, nessuno escluso!).

Le equazioni che consentono di tradurre un fenomeno fisico da un sistema di riferimento ad un altro, mantenendolo invariato, con velocit`a relativa costante e tempo che scorre uguale per tutti i sistemi di riferimento, sono dette trasformate galileiane. Si sottolinea che lo spazio assume un significato relativo mentre per il tempo si assume un significato assoluto, che scorre a intervalli regolari per tutti. In seguito, il concetto di tempo assoluto sar`a messo in discussione, poich´e con le trasformate galileiane non si riusciva a rendere invariati i fenomeni descritti dalla teoria elettromagnetica di Maxwell.

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Galilei ha avuto anche il merito di aver puntato un rudimentale cannocchiale verso il cielo durante le sue nottate solitarie. Intento a scrutare il pianeta Giove, scopre quattro pianetini che vi orbitano attorno e li battezza coi seguenti nomi: Io, Europa, Ganimede e Callisto. E` dal moto di questi piccoli satelliti naturali, precisamente il satellite Io, che qualche tempo dopo Roemer nel 1676 desumer`a la velocit`a della luce, infatti, il periodo di rivoluzione, determinato con le leggi di Keplero, permetteva di calcolare il momento in cui i satelliti sarebbero apparsi dopo l’eclissi di Giove, ma il loro apparire era in ritardo rispetto a quanto calcolato e ne dedusse che cio` era dovuto al limite della velocit`a della luce, calcolata al valore molto approssimato di c ≈ 214.300 km/s rispetto al valore attuale di c ≈ 299.800 km/s. Questo risultato del limite della velocit`a della luce, assieme all’invarianza delle leggi fisiche rispetto al moto dei sistemi di riferimento, costituiscono la base della teoria della relativit`a ristretta. §

La gravit`a secondo Newton Stavano assittati al tavolo delle trattative, il parrino con la vistaglia arriccamata e donna Tris`覺na vistita di tutto punto.

Patre Carnazza aveva il petto che si isava e si abbassava, pareva stesse assufficando per mancanza di sci`ato.

Aveva le palle degli occhi mezze nisciute di fora, tali e quali a un pesce appena piscato.

A. Camilleri, La mossa del cavallo

Isaac Newton Newton fu costretto a trasferirsi in campagna, lontano da Londra, per un anno e mezzo, a causa di una pestilenza. Invece di godersi la 11

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vita bucolica e agreste della campagna, continuo` a studiare e a scoprire leggi della natura di portata epocale. Il tutto si fa risalire ad un colpo ricevuto in testa da una mela caduta dall’albero. Queste mele sono sempre presenti nei momenti cruciali della storia umana: la mela dell’albero della conoscenza del bene e del male di Adamo ed Eva, la mela matura caduta in testa a Newton, la mela avvelenata al cianuro di Alan Turing, la mela morsicata di Steve Jobs, la mela bacata di Caravaggio, la mela soporifera della Bella addormentata nel bosco, la mela verde di Ren`e Magritte; c’`e posto ancora (se qualcuno non ci abbia gi`a pensato) per la mela acerba, la mela senza uno spicchio, il torsolo della mela e qualcos’altro del genere.

Newton inventa1 la matematica delle flussioni, ossia come calcolare la tangente in un punto di ogni curva geometrica. Il modo con cui trova la soluzione e` semplice ma ingegnosa: una retta che passa per due punti di una curva e` detta secante, ma se avvicino i due punti fino a sovrapporli allora la secante tende ad essere tangente in quel punto. Niente di difficile, il fatto e` che Newton si riferiva alla velocit`a e il Vescovo Berkeley - e prima ancora i gesuiti ch´e della battaglia contro gli infinitesimi ne fece1 Uso il verbo inventare anzich´ e scoprire, poich´e considero la matematica frutto dell’inventiva umana, ma il dibattito sull’argomento divide e persiste ancora.

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ro scopo primario poich´e la geometria euclidea era una certezza al tempo della Controriforma - notava che se la velocit`a e` dovuta al rapporto tra un intervallo di spazio percorso in un intervallo di tempo, come e` possibile calcolare la velocit`a in un punto che non e` n´e un intervallo di spazio e nemmeno di tempo? La questione sugli infinitesimi duro` ancora, anche se la battaglia contro gli infinitesimi era destinata alla sconfitta ed il calcolo delle flussioni di Newton, che oggi definiamo calcolo infinitesimale, era efficace nel risolvere vecchi e nuovi problemi di geometria, tra cui il moto di due masse puntiformi che sono attratte da una forza inversamente proporzionale al quadrato della distanza, la cui soluzione e` un’orbita ellittica o, in generale, parabolica o iperbolica. Ci provo` anche con tre masse puntiformi ma la complicazione delle equazioni non gli permise di arrivare ad una soluzione analitica se non per alcuni casi particolari, e se non ci riusc`ı Newton cio` e` dovuto alla complessit`a del problema, ch´e ci vollero altri tre secoli e mezzo e una schiera di matematici geniali per arrivare a capire che il problema in generale non ammette una soluzione analitica.

Newton apre e chiude un capitolo nuovo del modello astronomico e del moto di tutti i suoi componenti: le masse fluttuano nello spa-

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zio secondo orbite curvilinee che assomigliano molto a delle ellissi, il tutto regolato da una semplice legge di gravitazione, ossia una forza attrattiva lungo la retta congiungente le due masse che dipende solamente dal quadrato della distanza tra le due masse, oltre che dalle masse stesse, e da una costante di proporzionalit`a, calcolata in seguito da Cavendish, il cui valore −1 e` G ≈ 6, 67 · 10−11 m3 · kgm · s−2 .

A Newton non sfugg`ı un dettaglio: come agisce una forza a distanza? Come riesce un corpo massivo a far sentire la sua forza su un altro corpo massivo? Egli concep`ı l’idea di un campo gravitazionale che ricevesse la forza da uno e la trasmettesse all’altro, supponendo che la massa fosse la sorgente della forza e che questa dovesse viaggiare attraverso il campo gravitazionale, a velocit`a infinita, per raggiungere l’altro corpo massivo e quest’ultimo rispondere, con altrettanta velocit`a infinita, con una forza di reazione uguale e contraria a quella ricevuta. Il campo gravitazionale e` , pertanto, una costruzione matematica, la mappa di come varia la forza che agisce su di un corpo in funzione della posizione. Con la teoria della relativit`a generale, il campo gravitazionale da artificio matematico diventer`a un’ipotesi di fenomeno naturale da corroborare.

Newton distingueva due tipi di forze: la for-

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za gravitazionale con la sua legge: m1 · m2 F~12 = −G (~r2 − ~r1 ) |~r2 − ~r1 |3 e la forza inerziale dovuta ad una variazione della quantit`a di moto di un corpo, supponendo costante la massa: d~v d(m · ~v ) =m = m~a F~ = dt dt Si provi a spingere l’automobile su una strada piana: la forza che vi si applica, in minima parte contrasta le forze di attrito degli pneumatici e dei vari giunti meccanici, ma il restante della forza compie lavoro per aumentare la quantit`a di moto, tramite incremento della velocit`a: questo tipo di forza e` del tipo inerziale; se si lascia cadere l’automobile da una scarpata, la forza che agisce e` del tipo gravitazionale.

In seguito, Einstein, nella Teoria della Relativit`a Generale, dovr`a fare affidamento ad un principio, detto di equivalenza, che attraverso un esperimento mentale, assume la forza di tipo gravitazionale e la forza di tipo inerziale equivalenti tra loro.

Ad essere piu` precisi, di princ`ıpi se ne distinguono due: forte e debole: - la versione forte afferma che, in un campo gravitazionale qualsiasi, e` sempre possibile scegliere un sistema di riferimento

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L A GRAVIT A` SECONDO N EWTON rispetto al quale e` possibile stabilire un intorno di un punto in cui gli effetti dell’accelerazione dovuti al campo gravitazionale sono nulli; - la versione debole asserisce che la massa inerziale, cio`e la propriet`a intrinseca del corpo materiale di opporsi alle variazioni di moto, e la massa gravitazionale, che rappresenta la propriet`a di un corpo di essere sorgente e di subire l’influsso di un campo gravitazionale, sono numericamente uguali al valore sperimentale misurato di: (∆m/m) < 10−11 .

I termini forte e debole implicano che se vale il principio di equivalenza nella forma forte deve valere anche quello nella forma debole ma non il viceversa, ossia, anche se il principio in forma debole e` stato sperimentalmente confermato con precisione elevatissima, cio` non e` sufficiente a garantire lo stesso grado di certezza anche alla forma forte, pertanto, il principio di equivalenza forte si considera ancora come un postulato. §

Geometria piana Dio esiste, non ha mai parlato agli uomini, e non vuole dirlo.

Pedro Ximena il beato

Euclide Euclide e` stato molto influente per le generazioni successive alla sua. Raccoglie tutta la conoscenza di geometria ellenistica conosciuta e, salvo qualche contributo esplicativo, non aggiunge nulla di nuovo a cio` che gi`a si conosceva: l’originalit`a dell’opera sta nell’esposizione, sistematica e rigorosa, di tutta l’opera.

L’opera di Euclide, nel Libro I - se ne contano in totale 13 libri -, inizia con 23 definizioni, 5 postulati assiomatici, 5 nozioni comuni e 48 17

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G EOMETRIA PIANA

preposizioni. Niente da dire sul lavoro iniziale, e` necessario per capire su che cosa si fonda tutta la geometria, pero` il quinto postulato non e` immediato come lo sono gli altri quattro.

Un postulato e` assiomatico se e` una verit`a autoevidente ma il quinto postulato non e` facilmente intuibile. Il quinto postulato di Euclide recita: “E che qualora una retta che incide su due rette faccia minori di due retti gli angoli all’interno e dalla stessa parte, le due rette prolungate illimitatamente incidano dalla parte in cui sono gli angoli minori dei due retti.”. Nel testo greco il termine usato per illimitatamente e` apeiron che taluno traduce con il termine infinito ma per i greci l’infinito era fonte di paradossi.

Ma e` veramente cos`ı? Il quinto postulato di Euclide e` indipendente o deriva da altri postulati? E se fosse indipendente cosa significherebbe? Immaginate di stabilire un’unit`a di misura arbitraria, se fa comodo si puo` prendere il metro e si misuri il volume di una stanza. Poi si procede con un’altra unit`a di misura arbitraria, differente dalla prima, si puo` prendere la iarda e si misuri il volume della stessa stanza. I due valori numerici saranno diversi ma il volume geometrico della stanza, lo spazio occupato, e` rimasto immutato perch´e non si fa influenzare dall’unit`a di misura, non si allarga e nemmeno si restringe, e` sempre l`ı, pertanto, se si traduce

E UCLIDE

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da un’unit`a di misura all’altra si ricava l’equivalenza dei due valori, se ne deduce che e` necessario stabilire un’unit`a di misura per calcolare il volume della stanza, ma l’unit`a di misura e` arbitraria e non esiste un’unit`a assoluta.

La stessa cosa accade per la geometria Euclidea: e` necessario stabilire una relazione tra rette ma come essi si relazionino e` arbitrario, pertanto, di geometrie ne possiamo costruire infinite ma tutte portano alla stessa descrizione delle propriet`a dello spazio, ossia tutte le geometrie sono equivalenti e non vi e` nessuna geometria assoluta. Noi scegliamo la geometria euclidea solo perch´e essa e` legata ai nostri sensi, e` una geometria umana, immediata da capire, il triangolo ha sempre la somma degli angoli interni di π e il teorema di Pitagora e` semplice da costruire e comprendere.

Euclide non sapeva delle conseguenze del quinto postulato, forse ne intu`ı la portata ma non ando` oltre. Nel settecento, un gesuita di nome Gerolamo Saccheri, per un soffio non entro` nella lista dei muratori. Il gesuita aveva postulato un’altra propriet`a delle rette parallele ed era giunto a delle conclusioni giuste ossia non in contraddizione con la geometria eucli` da bravo gesuita, forse ebbe un bridea, pero, vido sulla schiena e ricordandosi dell’Inquisizione abbandono` le sue tesi.

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G EOMETRIA PIANA

La conseguenza del quinto postulato di Euclide e` che lo spazio e` piano, ossia i costituenti dello spazio sono dei foglietti piani - una larghezza e una lunghezza senza spessore contenenti rette e punti - e distribuiti in tutte le direzioni. ยง

Geometria curva Donna Marina guard`o lo scacchiere tenendo l’indice arcuato sul mento e disse: “Movo io”.

La lama di luce che entrava dalle imposte socchiuse le batteva sui capelli capricciosi, sull’orecchio delicatissimo, sulla piccola mano bianca sospesa sui pezzi, lumeggiata nell’ombra di trasparenze rosse, mostrava la bella figura intenta al gioco. . .

Fogazzaro, Malombra

Janos Bolay Nikolaj Ivanovic Lobacevskij Chi sono questi due? Il caso ha voluto che questi due matematici, ognuno per conto proprio, contemporaneamente e distanti l’uno dall’altro, facessero un’importante invenzione deducendo che, se si sostituisce il quinto postula21

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G EOMETRIA CURVA

to di Euclide con altri postulati, si possono avere altri tipi di geometrie, ma la cosa piu` sensazionale e` che si possono dedurre propriet`a che sono coerenti con la geometria euclidea. Lo spazio era ellittico per Bolay e iperbolico per Lobacevskij: una geometria che non ammette rette parallele per il primo; una geometria con infinite rette parallele per il secondo. Cosa cosa hanno “bevuto” questi due matematici? Lo spazio non e` piu` piatto ma curvo e i costituenti dello spazio geometrico adesso sono strati di ellissi come una cipolla o strati di iperboloidi come selle di cavallo. Cipolle e selle di cavallo, ma vi rendete conto che tipo di spazio abbiamo intorno a noi. Meglio il lenzuolo piano di Euclide.

Con loro si apre un nuovo e straordinario capitolo della geometria, detta curva, in contrapposizione a quella di Euclide che e` detta piana, ma la contrapposizione e` apparente, poich´e ognuna di esse descrive lo spazio coerentemente col proprio postulato sulle rette parallele. Le propriet`a dello spazio che se ne ricavano da differenti geometrie basate su postulati diversi, non sono in contraddizione tra loro e nemmeno se ne ricavano propriet`a in piu` o in meno. §

Curvatura delle superfici Hypotheses non fingo. (trad. it. Non invento ipotesi).

Isaac Newton

Frederich Gauss Molti ricordano di Gauss la sua curva a forma di campana. I suoi contributi alla matematica sono stati immensi, basti ricordare il teorema fondamentale dellâ&#x20AC;&#x2122;algebra, la distribuzione dei numeri primi nellâ&#x20AC;&#x2122;insieme dei numeri naturali, la curvatura delle superfici e molto altro ancora.

Sulla curvatura delle superfici, Gauss trovo` un modo per calcolare se una superficie e` pia23

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C URVATURA DELLE SUPERFICI

na o curva, ricorrendo ad una semplice formula. Cos`ı facendo, il cilindro circolare o ellittico o parabolico, il cono, sono superfici piane, mentre il paraboloide iperbolico o parabolico, gli ellissoidi comprese le sfere, gli iperboloidi paraboloidi o ellittici, il toroide, non sono piane. Se voglio stendere una sfera su di un piano non posso farlo perch´e essi non sono conformi, mentre se voglio stendere un cilindro ellittico su di un piano posso farlo perch´e essi sono conformi. In poche parole Gauss ci vuole consigliare di non provare ad attaccare un adesivo sul casco perch´e vi far`a le pieghe.

Tra le superfici curve vi sono quelle a curvatura costante, come la sfera, quelle a curvatura variabile, come l’ellissoide e quelle che contengono curvatura sia positiva e sia negativa come il toroide. Poi vi sono superfici curve a sola curvatura positiva, come le sfere e superfici curve a sola curvatura negativa, come la pseudosfera. Il piano invece e` a curvatura nulla, come il cilindro o il cono, e tutte le superfici aventi la stessa curvatura sono dette conformi.

Adesso Gauss ha chiarito la geometria alcolica dei due matematici Bolay e Lobacevskij: lo spazio geometrico e` come tu lo vuoi vedere, piatto, curvo, a curvatura negativa o positiva o mista, finito o infinito, dipende dalla superficie costituente che gli attribuisci. Una volta stabili-

F REDERICH G AUSS

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to l’abito, ecco che lo spazio geometrico assume i tuoi segni particolari, come un manichino, oggi lo vesti punk, domani kitsch, dopodomani con abito classico, ma l’abito non fa il monaco e il manichino e` e rimane sempre manichino.

Nelle relazioni tra persone, la valutazione di confidenza tra due o piu` soggetti e` spesso indicata con le seguenti frasi: prendere le distanze, far parte del cerchio magico, stare a debita distanza dai banchieri, insomma la distanza e` la metafora della relazione tra due o piu` persone: lo stesso vale per i punti di un piano, il modo piu` semplice per determinare una relazione tra loro e` il concetto di distanza o metrica. La metrica e` il criterio di relazione tra punti. Fissata un’unit`a di misura, la distanza tra due punti significa “collegare i due punti con una retta che li contiene e determinare quante volte il segmento compreso tra i due punti e` lungo rispetto l’unit`a di misura”.

Un buon criterio di relazione tra punti e` il teorema di Pitagora, quindi, una metrica per la geometria euclidea e` il teorema di Pitagora. Naturalmente si possono adottare altri criteri per relazionare i punti in un piano, ma quello di Pitagora e` il piu` semplice e immediato, inoltre, tra tutte le possibili linee che collegano due punti del piano, il segmento compreso tra due punti appartenente alla retta che li contiene, ha la

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C URVATURA DELLE SUPERFICI

distanza minore.

Fin qui tutto semplice e immediato da comprendere, pero` se si applicano gli stessi concetti su una superficie curva, i risultati non sono cos`Ĺ immediati. Si analizzi una superficie curva, come la sfera, la quale e` a curvatura costante e positiva. Fissati due punti su di essa, la linea che passa per i due punti e giacente sulla sfera, non e` una retta ma un arco di circonferenza o, in generale, una linea qualsiasi giacente sulla superficie sferica. Il teorema di Pitagora non e` piu` applicabile perch´e non vale per i triangoli che non giacciono sul piano, quindi la metrica adottata per il piano non e` piu` applicabile per la sfera. Quale criterio adottare per mettere in relazione i punti di una superficie sferica?

Un primo criterio da adottare e` quello della minima distanza, ossia, tra tutte le linee che congiungono due punti, si sceglie quella con minima lunghezza e per una superficie sferica e` proprio lâ&#x20AC;&#x2122;arco di circonferenza appartenente al circolo massimo. Il circolo massimo funge come la retta nel piano: e` quella linea che congiungendo due punti soddisfa il criterio della minima distanza. Per distinguere la retta del piano con il circolo massimo fungibile a retta, si adotta un altro termine: geodetica.

Si possono tracciare geodetiche parallele tra loro in una superficie sferica? La risposta e` ne-

F REDERICH G AUSS

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gativa, infatti, due geodetiche - che nella sfera sono due circoli massimi detti anche meridiani - si incontrano sempre nei due punti opposti detti anche poli, invece due geodetiche parallele non dovrebbero incontrarsi in alcun punto.

Un triangolo che giace su una superficie sferica ha la somma degli angoli interni superiore a Ď&#x20AC;; la retta del piano e` sostituita dal circolo massimo (geodetica) nella sfera; il segmento congiungente due punti nel piano e` sostituito dallâ&#x20AC;&#x2122;arco di circonferenza nella sfera, entrambi soddisfano la minima distanza tra tutte le linee che congiungono due punti.

Generalizzando il concetto di metrica di una superficie curva, essa e` la misura della relazione tra due punti contenuti da una geodetica la quale soddisfa il criterio di minima distanza. §

Variet`a differenziabili Coloro che si sono presi patroni all’infuori di Allah assomigliano al ragno che si e` dato una casa.

Ma la casa del ragno e` la piu` fragile delle case.

Se lo sapessero! ´ Sura XXIX – Al-Ankab ut ˆ (Il Ragno) – versetto 41

Bernhard G. F. Riemann Se la geometria curva e` alcolica, la geometria di Riemann e` superalcolica, anche se Riemann fu piuttosto sobrio nella vita. La sua esistenza fu breve, mor`ı a 39 anni di tubercolosi, ma lascio` nella sua immensa eredit`a matematica, una congettura di cui se ne discute ancor 29

VARIET A` DIFFERENZIABILI

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oggi, dopo oltre cento anni, e che non si riesce a dimostrare: la congettura degli zeri non banali della funzione ζ(ς)2 di Riemann! Ometto di dire di cosa si tratti ma bisogna sottolineare che in quella funzione ζ(ς) egli vide, con gli strumenti matematici ma anche con la sua capacit`a logico-deduttiva, un mondo oltre il campo dei numeri reali, sconfinando nell’esotico campo dei numeri complessi e congetturando che gli zeri non banali di quella funzione giacevano sulla retta di ascissa x=1/2. Qui gli alcolici non bastano, bisogna passare nel campo dei superalcolici per comprendere cosa abbia visto Riemann.

Si interesso` pure alle superfici curve di Gauss, continuandone il lavoro. Non uso` il termine superficie ma quello di variet`a differenziabile (sono gli effetti dei superalcolici), ossia superfici prive di eccessive spigolature che ne rendono piu` facile, o meno difficile, lo studio. §

2 Leggi:

zeta di sigma.

Onde elettromagnetiche ℵ l’aleph, per la Mengenlehre, e` il simbolo dei numeri transfiniti, nei quali il tutto non e` maggiore di alcuno dei componenti.

Felix Hausdorff, Mengenlehre

James Maxwell Maxwell e` piu` un fisico matematico che un fisico sperimentale. Elabora la teoria elettromagnetica utilizzando una notazione matematica locale (differenziale) anzich´e globale (integrale) raggruppando tutte le leggi fisiche dell’elettricit`a e del magnetismo che fino ad allora costituivano due corpi di fenomeni naturali distinti.

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O NDE ELETTROMAGNETICHE

La notazione matematica che ricorre nella teoria elettromagnetica utilizza l’operatore ∇ (nabla) nelle forme di gradiente, divergenza e rotore, riuscendo a raggruppare le leggi di Amp`ere, di Gauss, di Faraday, in quattro eleganti, simmetriche e concatenate equazioni: ̺ ε0 ∇·B=0 ∇·E=

legge di Gauss elettrica legge di Gauss magnetica

∂B ∇×E=− ∂t ∇ × B = µ0 (J + ǫ0 )

legge di Faraday

∂E ∂t

legge Amp`ere-Maxwell

Le equazioni sono cos`ı belle che alcuni matematici sono innamorati di esse, perch´e sono un esempio di sublime espressivit`a condensata in pochi simboli, nel senso che puoi spiegare tutti i fenomeni elettromagnetici, tutto qui.

Maxwell, nel suo processo di elaborazione della teoria elettromagnetica, apporta una modifica alla legge di Amp`ere introducendo il termine J che denomino` corrente di spostamento, un fenomeno che nessuno aveva osservato e misurato ma previsto dalla teoria elettromagnetica.

Dopo circa due lustri, Hertz, con un’apparecchiatura da quattro soldi, osserva e misura il fenomeno previsto dalla teoria, dando evidenza a quel termine che Maxwell aveva chiama-

J AMES M AXWELL

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to corrente di spostamento, detto altrimenti onda elettromagnetica, pertanto, Maxwell scopre sulla carta cio` che doveva essere ancora osservato.

Oggi la fisica delle sub-particelle si muove allo stesso modo: si mette su` una teoria scientifica, si congetturano sulla carta le particelle o, in generale, i fenomeni ancora non osservati e misurati che si desumono attraverso un procedimento logico-deduttivo dalla teoria, infine in laboratorio si tenta di osservare e misurare cio` che la teoria ha congetturato. Immaginate se qualcuno vi dicesse di recarvi in un campo e di andare a cercare, voi chiedereste cosa andare a cercare; lo stesso si verifica per gli scienziati che vogliono osservare una particella elementare, prima devono sapere cosa andare a cercare e poi vanno a cercarla. Lâ&#x20AC;&#x2122;unica differenza e` che osservare (con lâ&#x20AC;&#x2122;occhio della mente) le particelle sulla carta ha costo quasi zero e cercarle in laboratorio comporta un costo notevolmente esorbitante. Andate a vedere la scena del film di Toto` e Peppino quando arrivano in piazza del Duomo a Milano chiedendo al vigile urbano: scusi, per andare dove dobbiamo andare, per dove dobbiamo andare?, la cui risposta e` un lungo: Segh`ee`e`e`?

Quando si pubblica unâ&#x20AC;&#x2122;opera scientifica, non manca qualcuno che obietti qualcosa, infatti, a Maxwell obiettarono che lâ&#x20AC;&#x2122;equazione di queste

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O NDE ELETTROMAGNETICHE

entit`a elettromagnetiche erano, da un punto di vista matematico, equazioni d’onda, da qui il ` come tutnome di onda elettromagnetica, pero, te le onde, sonore, vibrazionali, sismiche, hanno bisogno di un mezzo per propagarsi e l’equazione di Maxwell non aveva alcun riferimento di un mezzo di propagazione. Maxwell rispose che non ne aveva avuto bisogno di introdurre un mezzo nelle sue equazioni. Niente da fare, la risposta non convinse gli scettici i quali ipotizzarono che doveva pur esistere un mezzo, imponderabile, tenue, sottilissimo, e gli diedero pure un nome: etere luminifero. Incomincia cos`ı l’avventura alla ricerca dell’etere luminifero, un mezzo che porta luce, perch´e la luce e` anche un’onda elettromagnetica.

A dir la verit`a, le equazioni dell’elettromagnetismo presentavano qualche anomalia, ad esempio, non erano invarianti per trasformazioni galileiane, cio` vuol dire che due osservatori descriveranno fenomeni elettromagnetici differenti, relativamente ai rispettivi sistemi di riferimento inerziali, contraddicendo il principio di invarianza (o di relativit`a) galileiana. Cosa modificare: le equazioni o il principio? La teoria della relativit`a ristretta dar`a risposta a questa domanda3 .

3 Per non lasciare in sospeso i lettori, la risposta e ` la sostituzione del principio di relativit`a di Galilei col principio di relativit`a di Einstein e la sostituzione delle trasformate

J AMES M AXWELL

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Un’altra osservazione sul campo elettrico e magnetico attraverso un esperimento mentale: se, da posizione immobile, potessi tenere tra le dita un elettrone, vedrei un campo elettrico radiale, come i raggi del sole e la stessa cosa vedrebbe un osservatore seduto sulla sua poltrona; se, rimanendo sul posto, muovo il braccio e l’elettrone, vedrei oltre il campo elettrico radiale anche un campo magnetico solenoidale e la stessa cosa vedrebbe un osservatore seduto sulla sua poltrona; se cammino, tenendo il braccio immobile, l’elettrone rispetto a me e` immobile mentre rispetto l’osservatore si muove e vedremmo due cose diverse: io vedrei solo un campo elettrico mentre l’osservatore seduto sulla poltrona vedrebbe un campo elettromagnetico. Se ne deduce che i due campi sono intimamente legati e la loro osservazione dipende dal sistema di riferimento. Alla luce della teoria della relativit`a ristretta, il campo magnetico e` un fenomeno relativistico del campo elettrico, sono un tutt’uno, come la fotografia di una persona accanto ad uno specchio: sembrano fotografate allo stesso istante pero` l’immagine dello specchio e` in ritardo di qualche frazione di tempo rispetto l’immagine della persona reale, ma noi vediamo un tutt’uno. Il moto di elettrodi Galilei con le trasformate di Lorentz, cosicch´e sar`a mantenuta l’invarianza delle equazioni elettromagnetiche per trasformazione di sistema di riferimento inerziale.

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O NDE ELETTROMAGNETICHE

ni non e` uguale rispetto ai due sistemi di riferimento inerziali, ed e` proprio quella piccolissima differenza che moltiplicata per il numero enorme di elettroni in movimento, fa emergere il fenomeno relativistico e quindi una distinzione tra campo elettrico e magnetico, ma l’origine e` la stessa: il movimento dell’elettrone.

Una considerazione sulla teoria elettromagnetica elaborata da Maxwell: per la prima volta un fenomeno fisico e` previsto da una teoria scientifica, pero` non ancora osservato e misurato. Sar`a Hertz a osservare e misurare l’onda elettromagnetica, alcuni anni dopo, col dispositivo di misurazione costruito in modo rudimentale ma all’epoca avveniristico. Secondo il metodo scientifico di Galilei, basato proprio sull’osservazione e l’esperimento, il fenomeno previsto dal Maxwell sarebbe metafisico, paranormale, non appartenente al mondo dei fenomeni naturali, pertanto, fuori da cio` che consideriamo scientifico. Sembra paradossale ma proprio il criterio di selezione tra cio` che e` osservabile e misurabile da cio` che non e` possibile osservare e misurare, fa la differenza tra cio` che e` fisico e cio` che e` metafisico. Galilei doveva contrastare i gesuiti di stampo aristotelicotomistico e gli aristotelici con il loro motto ipse dixit.

In quel lasso di tempo, ossia da quando e`

J AMES M AXWELL

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stata ipotizzata l’onda elettromagnetica da Maxwell fino alla sua osservazione e misurazione ad opera di Hertz, l’onda elettromagnetica era una congettura o esisteva davvero? Col senno di poi, l’onda esisteva anche prima di Maxwell, anzi e` sempre esistita, ma col senno di prima, l’onda elettromagnetica annunciata da Maxwell era una pura congettura confutabile, desunta attraverso un metodo logico-deduttivo da una teoria scientifica.

Oggi vi sono congetture di fenomeni naturali desunte da teorie scientifiche ma non ancora osservati, ad esempio: il monopolo magnetico e il magnetone, l’onda gravitazionale e il gravitone, la materia oscura, i buchi neri, il neutrino di Majorana , i tachioni , la fluttuazione quantistica, i multiversi, le stringhe, il big bang e il big crunch, il big rip e il big bounce, i tunnel di Einstein-Rosen, la gravit`a quantistica, l’energia oscura e altro ancora, ma essendo non ancora osservati e misurati, sono allo stato attuale, semplicemente congetture di fenomeni naturali.

La domanda scomoda che spontaneamente ci viene in mente e` : fino a che punto siamo disposti a finanziare la ricerca scientifica per mettere a punto una strumentazione al fine di poter osservare e misurare i fenomeni sopra descritti? Siamo disposti a finanziare coloro che

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O NDE ELETTROMAGNETICHE

corroborano le congetture? E tutte le congetture hanno avuto esito positivo, ossia sono state corroborate, oppure qualcuna di esse e` stata smentita? E quanto e` costata economicamente la smentita?

Dobbiamo aspettare Karl Popper e il suo razionalismo critico per darci un poâ&#x20AC;&#x2122; di fiducia, stabilendo e distinguendo una teoria qualunque (poco falsificabile) o dogmatica (per niente falsificabile) da una teoria scientifica (molto falsificabile). Grazie a questa distinzione oggi accettiamo fenomeni naturali ipotizzati ma non ancora osservati, poich´e e` possibile falsificare cio` che non e` corroborato.

Adesso possiamo dormire sonni tranquilli, grazie professor Popper. §

Interferometro . . . haereticas, suspectas et erroneas, scandalosas, blasphemas, piarum aurium offensivas, temerarias, christianae disciplinae relaxativas et eversivas et seditiosas respective ac quaecumque super iis verbo, scripto vel typis emissa . . .

Coelestis Pastor Bollarium (contro il frate Miguel de Molinos) – Innocenzo XI P.P. – 20 novembre 1697

Michelson e Morley A tentare di osservare l’etere luminifero ci pensano Michelson e Morley, nel 1887, mettendo a punto uno strumento di misura capace di dare evidenza del moto rispetto l’etere e di conseguenza, che le onde elettromagnetiche viaggiano attraverso l’etere. Lo strumento da costruire, adatto a tale scopo, e` un interferometro con 39

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I NTERFEROMETRO

due braccia perpendicolari a forma di croce. L’esperimento e` semplice: sia il sistema di riferimento inerziale in moto rispetto l’etere; si invia un fascio di luce da un estremo della croce che arrivando al centro si divide in due direzioni ortogonali tra loro; i due fasci di luce riflettono su degli specchi e ritornano al centro e l`ı si rimescolano interferendo tra loro di un certo valore, misurato come distanza tra frange.

Se i due tratti in cui i due fasci di luce sono stati divisi, percorrono la stessa distanza e con la stessa velocit`a, dovrebbero arrivare allo stesso istante, quindi lo strumento dovrebbe misurare un certo valore d’interferenza. Supposto che lo strumento si muova ad una certa velocit`a rispetto l’etere, a parit`a di distanza percorsa dai due fasci di luce nei due bracci, dovendo avere i due fasci di luce velocit`a differenti - conseguenza delle trasformate galileiane tra due sistemi di riferimento inerziali in moto l’uno rispetto l’altro - il tempo impiegato per arrivare al punto di partenza sar`a differente e l’interferometro misurerebbe un certo grado di interferenza.

Si ruota l’interferometro di 90 gradi d’angolo e si ripete la misurazione, rilevando la differenza tra le due letture di interferenza, che secondo i loro calcoli teorici doveva avere un certo valore e cio` avrebbe dimostrato il moto ri-

M ICHELSON E M ORLEY

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spetto l’etere, ma fondamentalmente l’esistenza dell’etere come mezzo di trasmissione delle onde elettromagnetiche.

Ideato e realizzato lo strumento, i due muratori cominciano a effettuare e rilevare le misure. Ancora qualche messa a punto per il collaudo, qualche verifica, e via con l’esperimento. Risultato: nessuna variazione di interferenza quando si ruota l’interferometro! Ci riprovano ancora e il risultato e` di nuovo: nessuna variazione di interferenza quando si ruota l’interferometro. Concludono la ricerca scrivendo che se ci dovesse essere qualche variazione di interferenza dovuta al moto relativo della terra e dell’etere luminifero, essa sarebbe inferiore alla sensibilit`a dello strumento realizzato. In poche parole, concludono dicendo che lo strumento non e` sufficientemente sensibile per misurare l’interferenza, ci vuole uno strumento ancora piu` sensibile, arrivederci alla prossima volta, quando la tecnologia sar`a piu` evoluta.

La tecnologia evolver`a in poco tempo e dopo piu` di dieci anni Michelson mette a punto un apparato di misura avanzato: specchi piu` riflettenti, fascio di luce piu` preciso, percorso dei fasci di luce piu` lungo facendolo riflettere piu` volte, basamento di marmo per attenuare le vibrazioni e immerso a galleggiare in una vasca contenente mercurio liquido - vibrazioni da

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I NTERFEROMETRO

non sottovalutare mai! - Un apparato che sulla carta risulta piu` accurato e preciso di quello precedente, dunque, adesso si parte con l’artiglieria pesante e iniziano le misure: di notte, di giorno, nelle diverse stagioni, a latitudini diverse, a grandi altezze, in profondit`a, e poi con luce stellare, con luce a differenti lunghezze d’onda, con luce monocromatica, andando in giro per continenti, ancora oggi si continuano le misure e con apparati sempre piu` sofisticati. Il risultato di Michelson, - che termino` in pochi giorni l’esperimento mentre altri, ancor oggi, continuano a cercare il Sacro Graal Ondulatorio o etere luminifero - era uguale alla precedente misurazione: lo strumento non era sufficientemente sensibile per misurare il moto terrestre rispetto l’etere luminifero.

Secondo il principio di relativit`a galileiana, una grande bolla sferica di luce emessa da una sorgente puntiforme, che si espande con il raggio che cresce alla velocit`a della luce e vista da un osservatore fisso, sarebbe una grande bolla ellissoidale di luce emessa dalla stessa sorgente puntiforme che si espande e vista da un osservatore in moto ad una certa velocit`a costante; invece vedono, entrambi gli osservatori, solo una bolla a forma di sfera!

Ricordandoci del secchio in testa nell’esperimento mentale sull’invarianza delle leggi fi-

M ICHELSON E M ORLEY

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siche, l’esperimento di Michelson ci porta alle estreme conseguenze che se si e` a bordo di un’astronave che viaggia a velocit`a della luce e lancio nel verso concorde un raggio di luce, la velocit`a della luce rispetto ad un terrestre non e` doppia (velocit`a astronave sommata alla velocit`a del raggio di luce) ma rimane uguale alla velocit`a della luce, e se lo stesso raggio di luce e` lanciato in verso discorde all’astronave, la velocit`a della luce rispetto ad un terrestre non e` nulla (velocit`a dell’astronave meno la velocit`a del raggio di luce) ma rimane uguale alla velocit`a alla velocit`a della luce: una palese contraddizione con la legge di composizione delle velocit`a.

Se ne deduce che la legge di composizione delle velocit`a dedotta dal principio di relativit`a di Galilei, non e` efficace quando si osservano fenomeni in cui sono coinvolte velocit`a prossime o uguali alla velocit`a della luce. Pur rimanendo valido il Principio di Relativit`a di Galilei, c’`e qualcosa che non fa quadrare i conti.

A proposito di Parzival e del Sacro Graal, l’eroe fallisce il suo tentativo di bere dal calice con cui Cristo bevve nell’ultima cena, perch´e non fu in grado di porre la domanda sulla natura del male che affliggeva il Re Pescatore, contravvenendo al precetto evangelico:

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I NTERFEROMETRO chiedete e vi sar`a dato. ยง

Analisi tensoriale A cena con un fisico.

Sto in silenzio ad ascoltare i suoi discorsi sulla scienza.

Turbato in principio, poi annientato.

Uscendo, mi trovo a ripetere la frase di Matteotti appena sceso dal treno che lo riportava dalla Russia (o ricordo male?): â&#x20AC;&#x153;Orrore, amici miei, orroreâ&#x20AC;?.

Leonardo Sciascia, Nero su nero

Gregorio Ricci Curbastro e lâ&#x20AC;&#x2122;allievo Tullio Levi Civita Anche questi due matematici sono sconosciuti alla maggior parte della gente. Qualche via stradale intitolata ne ricorda la memoria, pero` il loro lavoro matematico ha raggiunto livelli elevati. Ricci Curbastro si chiese se fosse 45

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A NALISI TENSORIALE

possibile costruire una curva indipendentemente dal sistema di riferimento, ossia se fosse possibile che le grandezze fisiche fossero invarianti nella trasformazione da un sistema di riferimento inerziale ad un altro.

Ricci era un matematico, quindi legato all’aspetto geometrico del problema e non all’aspetto fisico. Era importante trovare le propriet`a invarianti, se esistevano, delle trasformazioni di sistemi di riferimento. Quando un matematico deduce degli invarianti scoppia di gioia come i bambini, la scoperta ha un effetto da ossitocina: e` cos`ı eccitante ricavare propriet`a invarianti nella matematica, tanto quanto ricavare un premio da una cinquina al lotto non giocata: la differenza e` che nel primo caso si entra nell’immortalit`a e nel secondo caso si rischia la mortalit`a.

Ricci riesce nel suo scopo e ne esce fuori una teoria e un calcolo chiamato oggi analisi tensoriale. Se c’`e qualcosa di piu` astruso nella matematica questo e` il tensore, ogni dizionario scientifico che tenti di definire cos’`e un tensore riesce a far desistere qualunque lettore non oltre il secondo rigo. Se volete provarci a vostro rischio e pericolo, provare per credere.

Il tensore e` come la coclea della lumaca, invece di utilizzare tutti i possibili anfratti del luogo ove ripararsi, li sostituisce tutti con uno solo,

C URBASTRO & L EVI C IVITA

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la coclea, e se la porta con s´e, anche se e` un peso ma almeno non deve cercare un anfratto ed e` sempre a disposizione. Cos`ı e` il tensore: sostituisce tutte le possibili trasformazioni di sistemi di riferimento con una sola equazione e il matematico se lo porta con s´e nei calcoli, certamente appesantisce i calcoli ma almeno non deve cercare un sistema di riferimento idoneo per i suoi calcoli ed ha sempre a disposizione il sistema di riferimento che desidera.

Oggi i tensori fanno parte della valigia culturale di ampie branche della fisica. Gli ingegneri, ad esempio, conoscono il tensore d’inerzia, il tensore degli sforzi, la rappresentazione matriciale di tali tensori. L’allievo Levi Civita ne continua il lavoro e riesce a risolvere un problema di non poco conto: come calcolare la derivata nei tensori. Di tensori ce ne sono di ordini diversi: se e` di ordine zero allora e` una grandezza scalare (la distanza), se e` di ordine uno allora e` una grandezza vettoriale (la velocit`a), se e` di ordine 2 (il momento d’inerzia) o superiore (bevete un superalcolico) e` una grandezza tensoriale di ordine due, tre, etc. Poi abbiamo i tensori covarianti, controvarianti e misti, perch´e la natura ci offre piu` variet`a di scelta.

Levi Civita inventa un metodo, il trasporto parallelo, che gli permette di calcolare la derivata.

Oggi il calcolo tensoriale e` un corpo ben strut-

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A NALISI TENSORIALE

turato di regole, ma allâ&#x20AC;&#x2122;epoca erano in pochi a saper maneggiare questo ente matematico. §

Lo spazio-tempo . . . se, con rapida lama e acuti gli occhi minaccio, erompo, accenno, invito, aspetto, baldo avanzo, indietreggio circospetto, al ticchettio dei combattenti stocchi;. . .

Giosu´e Borsi, La scherma

Hendrik Antoon Lorentz Lorentz appartiene al quella schiera di muratori che non seguono i risultato di Michelson ed iniziano a pensare ad una soluzione alternativa. Egli pensa che se contrae lo spazio e dilata il tempo le anomalie rilevate dagli esperimenti di Michelson trovano una spiegazione plausibile, insomma un colpo al cerchio ed un altro alla botte, quindi non câ&#x20AC;&#x2122;`e nessun etere ma sono lo spazio e il tempo che si modificano. Che stupidi non averci pensato prima: e` come far entrare 49

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L O SPAZIO - TEMPO

un quadrato dentro un rettangolo, schiacci due lati, allunghi gli altri due e il gioco e` fatto. Bravo il nostro muratore, non tutti ci avevano pensato a questa soluzione. Se si vuole rimanere in ambito geometrico, adesso lo spazio adottato da Lorentz non e` piu` euclideo e piano, ma e` un altro tipo di spazio, di tipo iperbolico e curvo.

In questo nuovo spazio iperbolico e curvo, un quadrato non ci appare per come siamo abituati a vederlo nello spazio euclideo piano. Come nei labirinti di specchi, a volte appari basso e grasso a volte appari alto e smilzo, ma rimani sempre lo stesso, appari diversamente ma sei sempre lo stesso. Tradotto in termini matematici, Lorentz sostituisce le sue trasformate a quelle di Galilei, cambiando non solo il concetto di spazio, che e` relativo e rimane relativo, ma anche il concetto di tempo che da assoluto diventa relativo. Adesso il tempo non scorre uguale per tutti ma scorre in modo differente, relativamente al proprio sistema di riferimento: se si desidera l’immortalit`a si scelga un buon sistema di riferimento che viaggi alla velocit`a della luce, si vada presso la “ STAZIONE TRENI DELL’ INFORMAZIONE ”.

Il principio di relativit`a di Galilei sta per scricchiolare. Si tratta di un principio che e` stabilito arbitrariamente dagli uomini, poich´e indotto (ma non dedotto) dall’osservazione dei

L ORENTZ

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fenomeni naturali e coerenti col principio: il principio rimane valido fino a quando un nuovo fenomeno osservato, non incluso tra quelli gi`a osservati, smentisce il principio stesso.

L’onda elettromagnetica e` il nuovo fenomeno naturale che smentisce il principio di relativit`a di Galilei, anche se rimane valido entro certi limiti umani, ossia quando la velocit`a e` minore, di molto, rispetto la velocit`a della luce.

I princ`ıpi della fisica sono i pilastri fondamentali delle costruzioni teoriche scientifiche, non e` ammesso che qualcuno di essi sia scricchiolante: come gli ingegneri civili usano adottare rinforzi di staffe, cos`ı i fisici usano rinforzare l’edificio della meccanica classica tramite i rinforzi di Lorentz. §

Sullâ&#x20AC;&#x2122;uscio della relativit`a Io sono Pedro della famiglia degli Ximena.

Credenziale diplomatico

Jules Henri Poincar`e La Sicilia deve molto a Poincar`e. Esisteva a Palermo, nellâ&#x20AC;&#x2122;Ottocento, un circolo matematico famoso in tutto il mondo per le sue pubblicazioni scientifiche. Poincar`e, quando aveva qualche lavoro scientifico da pubblicare, spediva i documenti al circolo di Palermo e in breve tempo tutta la comunit`a scientifica internazionale ne era informata. La fine della prima guerra mondiale decreto` anche la fine della fama del 53

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S ULL’ USCIO DELLA RELATIVIT A`

circolo matematico di Palermo: il nome del circolo stabilisce il passato noi ne conserviamo la pura fama.

Poincar`e scopr`ı dei nuovi invarianti per trasformazioni geometriche, detti omeomorfismi, che altro non sono che quelle propriet`a di figure geometriche che rimangono invariate se si deforma (come se fosse elastico) il foglio su cui sono disegnate, a condizione che il foglio non si strappi e non faccia pieghe. La branca della matematica che si occupa di questi invarianti per trasformazioni omeomorfe e` detta topologia algebrica, pero` all’epoca era stata battezzata analisis situs, che suona meglio.

Vi sono diverse trasformazioni che, mantenendo invariate alcune propriet`a geometriche, danno luogo a nuove propriet`a invarianti, ad esempio: - se si mantengono invariate le congruenze tra le figure si ottengono le isometrie; - se si mantengono invariate le forme delle figure si ottengono le similitudini; - se si mantengono invariate il parallelismo tra rette si ottengono le affinit`a; - se si mantengono invariate l’allineamento tra due punti di una retta si ottengono le proiettivit`a;

J ULES H ENRI P OINCAR E`

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- se si mantengono invariate la continuit`a delle curve si ottengono gli omeomorfismi.

La geometria euclidea altro non e` che un caso particolare di geometria affine, ossia nello spazio euclideo le rette si mantengono sempre parallele per ogni trasformazione, con aggiunta la condizione che lo spazio e` anche piano.

Poincar`e studio` anche gli spazi non euclidei, in particolare gli spazi iperbolici dove esistono infinite rette parallele ad una retta data.

Anche Riemann studio` gli spazi non euclidei, sia quelli iperbolici sia quelli ellittici, in quest’ultimo caso per una retta data non vi e` alcuna retta parallela ad essa. Per chiudere il cerchio logico degli spazi geometrici, la geometria euclidea e` detta parabolica, perch´e per una retta data esiste solamente una retta parallela ad essa. Tutte queste geometrie, ellittica, iperbolica e parabolica, sono a curvatura costante.

Che curvatura ha il nostro universo? Se ha la curvatura costante e negativa, detta anche iperbolica, allora l’universo si espander`a indefinitamente; se ha la curvatura nulla, detta anche parabolica, allora l’universo si espander`a per sempre a velocit`a tendente a zero; se ha la curvatura positiva, detta anche iperbolica, allora l’universo collasser`a su se stesso. Gli scien-

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S ULL’ USCIO DELLA RELATIVIT A`

ziati ancora non sono d’accordo, pertanto, a voi la scelta.

Poincar`e e` da considerarsi come il Giovanni Battista del Vangelo cristiano, poich´e ne anticipa di alcuni anni gli elementi essenziali della teoria della relativit`a ristretta di Einstein. Si occupa di tempo proprio con Lorentz (1898 e 1900), scrive di un nuovo principio di relativit`a assumendo come postulato la costanza della velocit`a della luce (1900 e 1904), ricava l’equivalenza tra massa ed energia elettromagnetica (1900). Se si vuole confrontare l’et`a di Poincar`e con quella di Einstein, il primo nasce nel 1854 e muore nel 1912, mentre il secondo nasce nel 1879 e muore nel 1955. Nella fascia di anni tra il 1900 e il 1905 (quest’ultimo e` l’anno di pubblicazione della teoria della relativit`a ristretta), Poincar`e ha un’et`a di 46-51 anni e Einstein ha un’et`a di 21-26 anni e vivranno in totale 58 e 76 anni. L’et`a in matematica conta moltissimo, il premio Medaglia Fields e` attribuito ai matematici a condizione che l’et`a non sia superiore ai 40 anni, poich´e nella storia della matematica le idee piu` brillanti e rivoluzionarie si sono avute solamente in et`a giovane, quando il pensiero e` elastico, come le ballerine di danza classica, ed Einstein era in vantaggio biologico.

Nei suoi scritti di matematica e fisica, in particolare nel testo di una conferenza pronunciata

J ULES H ENRI P OINCAR E`

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il 28 aprile 1909 a Gottinga, sulla nuova meccanica [relativistica] dice: . . . E` necessario fare anche un’altra ipotesi, molto piu` sorprendente, molto piu` difficile da accettare, che turba le nostre attuali abitudini. Un corpo soggetto a un moto di traslazione subisce una deformazione nella direzione stessa in cui si muove; una sfera, ad esempio, diviene una specie di ellissoide schiacciato il cui asse minore sarebbe parallelo alla traslazione. Se non ci accorgiamo tutti i giorni di una deformazione di questo genere, e` soltanto perch´e essa e` talmente piccola da risultare quasi impercettibile. La Terra, trascinata nel suo moto di rivoluzione lungo la propria orbita, si deforma di circa 1/(200 · 106 ): per osservare un fenomeno siffatto occorrerebbero strumenti di misura di estrema precisione, ma anche se la loro precisione fosse infinita non faremmo nessun progresso, perch´e, soggetti anch’essi al moto di trascinamento della Terra, subirebbero la medesima deformazione. Non ci accorgeremmo di nulla: qualunque metro si usasse, esso si accorcerebbe come la lunghezza che si vuole misurare. L’unico modo per saperne qualcosa e` confrontare con la velocit`a della luce la lunghezza di uno di questi corpi. Si tratta di esperimenti delicati, realizzati da Michelson; essi hanno fornito risultati di grandissima rilevanza; . . .

In questo discorso gi`a s’intravede la difficolt`a di rilevare la contrazione dello spazio,

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S ULL’ USCIO DELLA RELATIVIT A`

poich´e si deforma anche lo strumento che deve misurare e l’unica strada da percorrere e` il confronto con la velocit`a della luce, la quale e` un invariante. Se si usa un righello per misurare la distanza tra due punti e poi si guarda la misurazione attraverso una lente d’ingrandimento, si avr`a ingrandito sia la distanza tra i due punti sia il righello, pertanto, la distanza rimarr`a uguale alla misura, con o senza la lente d’ingrandimento; non si noterebbe alcuna differenza. §

Onde gravitazionali “Il mio razionalismo non e` dogmatico. Riconosco pienamente che non posso dimostrarlo razionalmente.

Confesso francamente che ho optato per il razionalismo perch´e odio la violenza e non mi illudo inutilmente che tale odio abbia un qualsiasi fondamento razionale. O, in altri termini, il mio razionalismo non e` autosufficiente, ma poggia su una fede irrazionale nell’atteggiamento di ragionevolezza”.

Karl R. Popper, Il razionalismo critico

Albert Einstein Che dire di quest’uomo che a 26 anni e` : laureato in fisica, lavora presso un modesto ufficio in Svizzera, suona (o strimpella) il violino e, inoltre, tra una mansione e l’altra, pubblica quattro lavori scientifici mirabili? Riceve solo 59

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O NDE GRAVITAZIONALI

un premio Nob`el per aver dato fondamento logico-deduttivo alla teoria dell’effetto fotoelettrico; le altre tre pubblicazioni concernono il Principio di Relativit`a Ristretta, il Moto Browniano e l’Equivalenza tra massa ed energia con la famosa formula matematica che tutti conosciamo e scriviamo ovunque, su magliette e nelle cialde dei coni gelato: E c2 s`ı, proprio cos`ı e` scritta l’equazione di equivalenza tra massa ed energia: se un corpo emette, sotto forma di radiazione, un’energia E, la sua massa diminuisce di E/c2 .

Se la si vuole nella forma: ∆m =

E = m · c2 e` lo stesso. ` ogni volta che si pigia il Ricordatevi, pero, pulsante per aprire il cancello automatico e la sbarra non vi si chiude sopra la testa o se la porta dell’ascensore non vi incastra appena tentate ad entrare o ad uscire, se un macchinario qualsiasi si arresta appena avete oltrepassato un limite invisibile o se di sera si accendono le luci e di mattina si spengono automaticamente, tutto cio` e` dovuto alle cellule fotoelettriche, un’applicazione tecnologica del premio Nob`el di Einstein.

A LBERT E INSTEIN

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Sul principio di relativit`a di Galilei, visti i risultati sperimentali di Michelson e forse anche quelli teorici di Poincar`e - ma non se ne ha prova - Einstein assume come postulato lâ&#x20AC;&#x2122;invarianza della velocit`a della luce rispetto a qualsiasi osservatore e riformula il principio, esteso a tutti i sistemi di riferimento, anche non inerziali, mediante formule che assicurino la covarianza di tutte le leggi di natura, al variare degli osservatori.

A 26 anni il muratore Einstein ha tra le mani un edificio quasi completo, manca solo che qualcuno concluda i lavori di decorazione. Einstein trova gi`a pronte le teorie geometriche di spazi curvi e le relative metriche di tutte le curvature, la teoria e il calcolo tensoriale, la teoria elettromagnetica confermata dalla scoperta delle onde elettromagnetiche, gli esperimenti scientifici con risultati inaspettati, le trasformate di Lorentz, la determinazione della velocit`a della luce, una potenza di teoria matematica basata sul calcolo differenziale, integrale, insomma ha quasi tutto in mano e non gli resta che completare il lavoro decorativo e smantellare lâ&#x20AC;&#x2122;impalcatura della meccanica classica newtoniana. Il problema e` che le decorazioni sono di colore invertito rispetto a quanto ci si aspettava, infatti, introduce un postulato al principio di relativit`a di Galilei, il postulato che la velo-

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O NDE GRAVITAZIONALI

cit`a della luce e` costante e invariante rispetto ad ogni sistema di riferimento. Anche lui ha utilizzato un invariante e voi non potete crederci quanto sia immensamente gioioso utilizzare un invariante. Chi doveva dirlo che proprio la luce che ogni giorno vediamo, dall’alba dei tempi, e` un invariante? ` Einstein si pose un proNon contento di cio, blema ancora piu` arduo: che cosa e` la gravit`a?

Ci impiega 10 anni, chiama a raccolta i migliori matematici per dargli un aiuto nel comprendere il calcolo tensoriale, postula un altro principio detto Principio di equivalenza forte e costruisce una teoria che svela una verit`a inimmaginabile: lo spazio, se fosse inteso come una bellissima donna, indosserebbe un abito elastico a trama quadrettata, stretto e aderente a tutte le forme muliebri, quindi, in prossimit`a dei glutei, cosce, seni e altre parti anatomiche, i quadretti si allargano e si deformano e non c’`e piu` nessun quadratino uguale ad un altro. Come la carne deforma quel prezioso abitino aderente ed elastico e ne condiziona il modo di apparire agli altri, cos`ı la massa deforma lo spazio-tempo e quest’ultimo ne condiziona il moto. Se il moto di due masse e` ellittico e` perch´e lo spaziotempo si deforma e l’unica strada che possono percorrere le masse sono due ellissi, cio`e il percorso piu` breve che quel tipo di spazio-tempo

A LBERT E INSTEIN

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curvo gli possa concedere. A proposito di percorsi brevi: se avete due punti sul piano, il percorso piu` breve e` un segmento rettilineo che li congiunge, ma se vi trovate a Napoli nel traffico delle sue strade e volete andare dal punto A al punto B, non e` detto che il percorso piu` breve sia rettilineo, ci sono i marciapiedi, i percorsi a zig-zag, sorpassi a destra, passaggi col rosso al semaforo, insomma il percorso piu` breve non e` detto che sia rettilineo, dipende dal tipo di traffico. La stessa cosa avviene nello spazio: se e` affollato di tanti corpi che si muovono, un piccolo satellite per andare da un punto ad un altro non e` detto che ci debba arrivare in modo rettilineo, anche lo spazio ha il suo traffico di corpi stellari e per risparmiare tempo la migliore traiettoria che offre e` come se fosse a Napoli. O a Bombai, anche l`ı c’`e traffico.

Adesso ho compreso la formula!

Concludo questo capitolo con la formula della Relativit`a Generale riportata sul francobollo, ma preparatevi perch´e e` un po’ ostica e per stomaci forti4 : Gµν = κTµν 4 La seguente formula si legge cos`ı: tensore covariante del secondo ordine G di indici mu nu e` uguale alla costante cappa per il tensore covariante del secondo ordine T di indici mu nu.

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O NDE GRAVITAZIONALI

E` un’equazione tensoriale del campo gravitazionale, ossia un’equazione dove Gµν e Tµν sono dei tensori covarianti del secondo ordine.

I pedici µ e ν assumono i valori interi da zero a tre: ∀µ, ν ∈ {0; 1; 2; 3}, poich´e si e` assunto lo spazio quadrimensionale. Il pedice zero e` per la componente temporale e i pedici 1, 2 e 3 sono per le componenti spaziali, quindi, se si sostituiscono i valori ai pedici si ottengono 16 equazioni. I tensori del secondo ordine si possono rappresentare come matrici di quattro righe per quattro colonne [4x4], ma questi tensori sono particolari, cio`e sono simmetrici rispetto la diagonale principale, pertanto, le 16 equazioni si riducono a 10 equazioni:

a00 a01 a02 a03

a10 a11 a12 a13

Gµν =

a20 a21 a22 a23

a30 a31 a32 a33

Un ultimo dettaglio: le dieci equazioni non sono lineari e cio` ne complica la risoluzione.

Al primo membro, oltre al tensore curvatura Gµν che racchiude i seguenti termini: 1 Rµν − gµν R 2 Einstein vi aveva aggiunto un altro termine, Λgµν , dove Λ e` detta costante cosmologica

A LBERT E INSTEIN

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e rappresenta la pressione antigravitazionale, poich´e la massa sarebbe collassata sotto l’azione del proprio campo gravitazionale; poi Hubble gli fece vedere che l’universo si espande, allora corse subito a casa a cancellare il termine Λgµν , sicch´e nella seconda versione della formula questo termine non e` piu` riportato. A dir la verit`a, oggi si pensa di ripristinarlo di nuovo, in vista di questa nuova teoria scientifica che congettura l’energia oscura; male che vada potrebbe assumere valore zero e lasciare intatta l’equazione tensoriale.

Rµν e` il tensore di curvatura di Ricci, covariante del secondo ordine; gµν e` il tensore metrico, covariante del secondo ordine; R e` la traccia del tensore di curvatura di Ricci. I termini raggruppati nell’unico tensore Gµν , rappresentano insieme come lo spazio-tempo si deforma in presenza di energia-impulso.

La costante k raggruppa le seguenti ulteriori costanti: 8π · 6, 67 · 10−14 8πG = ≈ 2, 07 · 10−46 4 c (2, 998 · 108 )4 2

−1 s · kgm · m−1 dove 8π e` un numero irrazionale trascendente, G e` la costante di gravitazione universale, c4 e` la velocit`a della luce elevata alla quarta potenza. La costante k, sostituiti k=

66

O NDE GRAVITAZIONALI

i valori numerici concordi con le unit`a di misura del Sistema Internazionale, risulta di valore cos`ı piccolo che rende difficile qualunque tentativo, finora compiuto, di rilevare le onde gravitazionali.

A conferma di tale difficolt`a, il fisico Landau aveva stimato la radiazione totale, o la perdita di energia nell’unit`a di tempo, di onde gravitazionali di due corpi che si muovono a velocit`a piccole rispetto alla velocit`a della luce e con campo gravitazionale debole, pari a:

3 G dε d 2 = D − dt 45 · c5 dt3 αβ dove il termine Dαβ e` il tensore del momento di quadripolo delle masse. Sostituendo i valori numerici delle costanti G e c: G = 6, 67 · 10−14 c = 2, 998 · 108

−1 [m3 · kgm · s−2 ]

[m · s−1 ]

si ottiene un valore, dei termini dentro la parentesi quadra del secondo membro, dell’ordine di: ≈ 6, 12 · 10−58

−1 [s5 · kgm · m−4 ]

ossia, 0,612 millesimi di miliardesimo di miliardesimo di miliardesimo di miliardesimo di miliardesimo di miliardesimo!

A LBERT E INSTEIN

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Infine, il termine: Tµν e` anch’esso un tensore covariante del secondo ordine, simmetrico, detto tensore energia-impulso, l’agente che deforma lo spazio-tempo:

b00 b01 b02 b03

b b b b

Tµν =

10 11 12 13

b20 b21 b22 b23

b30 b31 b32 b33

dove le singole sotto-matrici assumono il seguente significato:

b00 = densit`a di energia

b10 b20 b30 T = densit`a di quantit`a di moto

b11

b21

b31

[b01 b02 b03 ] = flusso di energia

b12 b13

b22 b23

= flusso di quantit`a di moto b32 b33

in quest’ultima sotto-matrice si distinguono due tipi di grandezze:

b11 0 0

0 b22 0 = pressione

0 0 b33

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O NDE GRAVITAZIONALI

0

b21

b31

b12 0 b32

b13

b23

= sforzo 0

Sostituendo i singoli termini, si ottiene la seguente formula: 1 8πG Rµν − gµν R = 4 Tµν ∀µ, ν ∈ {0; 1; 2; 3} 2 c che si legge in questo modo: “Il tensore di curvatura di Ricci Rµν , covariante del secondo ordine, sommato algebricamente alla met`a del prodotto tra il tensore metrico gµν , covariante del secondo ordine e il rango R del tensore di Ricci, e` uguale al prodotto di una serie di numeri e costanti che stanno al numeratore e al denominatore - tra i quali la costante numerica 8π, la costante di gravitazione universale G e la velocit`a della luce c elevata alla quarta potenza -, il tutto moltiplicato il tensore energia-impulso Tµν , covariante del secondo ordine, per qualunque valore intero di µ e ν che assumono tra 0 e 3.”

In questa equazione tensoriale del campo gravitazionale relativistico, l’incognita e` il tensore metrico gµν e il primo a dare la piu` semplice soluzione esatta e` stato Schwarzschild, il 16 gennaio 1916, dal fronte orientale contro i Russi, durante la prima guerra mondiale, tra una guardia e un bombardamento. Arruolatosi come volontario sin dall’inizio della prima guerra

A LBERT E INSTEIN

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mondiale, nel 1914, nel maggio 1916 mor`ı dopo una grave malattia.

Volendo commentare cosa questa equazione significhi, posso solamente dire, in modo molto conciso ma efficace, che la presenza della energia-impulso Tµν modifica lo spazio-tempo Gµν , il quale, avendo sub`ıto una deformazione, condiziona il moto di altre energie-impulsi che passano nei suoi paraggi. Questa equazione e` , quindi, la forma piu` semplice per esprimere il campo gravitazionale relativistico, il legame tra spazio-tempo ed energia-impulso, il legame tra il mondo geometrico e il mondo fisico: GEOMETRIA

⇋ FISICA

in ultima analisi, il campo gravitazionale relativistico e` lo spazio-tempo deformato dalla presenza di energia-impulso e la gravit`a e` l’effetto di questa deformazione. La fisica e` stata interamente geometrizzata, come voleva Cartesio.

La forza di gravit`a esce fuori di scena, l’equazione di Newton sull’azione a distanza costruita sull’artificio matematico di campo gravitazionale e` sostituita da una congettura di campo gravitazionale da osservare e misurare, lo spazio e il tempo sono furiosamente sostituiti da una nuova interpretazione e diventano un unicum spazio-tempo non piu` contenitore di moti bens`ı dinamica entit`a che si modella con la presenza di energia-impulso.

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O NDE GRAVITAZIONALI

In particolare, ogni osservatore misura nel proprio spazio-tempo quadrimensionale, di natura non euclidea, la distanza fra due eventi spazio-temporali, mediante una metrica i cui coefficienti sono funzioni delle distribuzioni di energia-impulso nello spazio-tempo. Non esiste una fantomatica azione a distanza ma moti naturali lungo le linee di lunghezza minima, dette geodetiche, nello spazio-tempo. La gravitazione non possiede le caratteristiche di una forza ma si riduce a una propriet`a dello spaziotempo.

Oggi qualcuno dice che e` grazie alla teoria della relativit`a generale se i dispositivi GPS non ci posizionano a diversi chilometri di distanza da dove effettivamente siamo situati, poich織e sia per effetto della velocit`a elevata dei satelliti sia per il minor effetto gravitazionale dovuto alla quota degli stessi, il tempo proprio dei satelliti non coincide col tempo proprio di noi terrestri e poche frazioni di secondo conducono ad errori di posizionamento non accettabili. Niente panico, anche se non si avesse cognizione della relativit`a generale, qualche ingegnere folle avrebbe compensato gli effetti relativistici con un fattore correttivo cos`覺 da aggiustare i calcoli: e` cos`覺 che e` andata avanti finora la tecnologia, attraverso fattori correttivi.

Se il tensore energia-impulso e` posto al va-

A LBERT E INSTEIN

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lore nullo, che vuol dire un campo gravitazionale in assenza di materia, l’equazione si semplifica nel seguente modo: Rµν = 0 e si legge: il tensore di curvatura di Ricci Rµν , covariante del secondo ordine, e` uguale a zero.

Indovinate cos’`e? L’equazione dei buchi neri! *** Sono trascorsi trent’anni e oggi ho capito cosa vi era scritto su quel francobollo, ma le mie umbratili conoscenze sull’argomento sono come la lettura di una pagina in una biblioteca di libri.

Buonanotte. §

Pedro Ximena Dialoghi e detti di Pedro Ximena il beato, di schiatta ispaniuola, orate in Terrae Malpassi, nell’isola Sicilia, trinacria vulcanica, add`ı 18 aprile dell’anno del Signore 2000 all’ora del vespro, marted`ı di Passione.

Accolito del Bagolaro Mathematicorum artius peritus fecit.

Dialoghi e detti di Pedro Ximena il beato Pedro Ximena il beato non ha sub`ıto un processo di beatificazione dalla Chiesa Cattolica, non e` stato innalzato agli onori degli altari, e` chiamato beato perch´e gli altri lo percepiscono come un beato, perch´e ha una visione e una 73

74

P EDRO X IMENA

partecipazione alla vita da godere in perfetta felicit`a.

Una volta scrisse di se stesso: Sono un sistema biodinamico complesso instabile, ad entropia positiva.

Un prete gli domando` dove stesse l’anima in quel sistema biodinamico bla, bla, bla e lui rispose: - Nella comunione tra me e Dio. - e il prete gli disse che in quel legame tra Dio e la sua anima ci stava il sacerdote per assolvere i peccati, e Pedro Ximena rispose: - Che bello il tuo mestiere. Dice Pedro Ximena il beato: “Quando i greci ammisero solamente tra le curve geometriche degne di essere studiate, quelle costruibili con riga e compasso, in realt`a avevano incluso solo le curve algebriche escludendo invece tutte le altre curve trascendenti che loro ritenevano di rango inferiore, cio`e meccaniche. Avevano adottato un criterio di selezione che includeva una famiglia di curve e ne escludeva di altre.

“Quando i greci duplicarono l’area del quadrato, presero la diagonale di essa e trovarono che il quadrato avente per lato la diagonale dell’altro quadrato, aveva un’area doppia del primo, ma quando cercarono di duplicare il volume del cubo dovettero prendere atto che si trat-

D IALOGHI E D ETTI

75

tava di una curva meccanica, come tale esclusa dal criterio, dagli stessi posto, di accettare solamente quelle curve costruibili con riga e compasso.”

“Quando i greci divisero l’angolo compreso tra due semirette in due parti uguali, essi trovarono la soluzione facendo intersecare due archi di circonferenza, ma quando cercarono di dividere lo stesso angolo in tre parti uguali, dovettero prendere atto che si trattava di una curva meccanica, come tale esclusa dal criterio, dai greci posto, di accettare solamente quelle curve costruibili con riga e compasso.”

“Quando Fermat formulo` di innalzare la potenza dei quadrati del teorema di Pitagora alla potenza dei cubi, per trovare delle soluzioni intere, dedusse che cio` non ammetteva soluzione tra gli interi. Nemmeno per la quarta potenza, n´e per la quinta e nemmeno per qualsivoglia esponente intero.”

“Quando Newton calcolo` il moto di due masse attratte da una forza, lungo la retta congiungente i due corpi, inversamente proporzionale al quadrato della distanza, le orbite che ricavo` erano semplici ellissi, ma aggiungendo una terza massa, il problema si complico` e le soluzioni erano curve aperte e infinite.”

“Quando Poincar`e tento` di analizzare la superficie di una 3D-sfera immersa in un spazio

76

P EDRO X IMENA

4-dimensionale, congetturando che fosse ancora un’ipersfera5 il grado di complessit`a dello stesso problema, ossia di una superficie sferica bidimensionale immersa in uno spazio tridimensionale, mise alla prova per circa un secolo i migliori matematici del mondo.”

“Tutto sembra enormemente complicarsi appena eleviamo di un solo grado il problema.

Perch´e tutto questo? Dio ha giocato una sola volta ai dadi!”

“Il metodo scientifico di Galilei modificato al caso di fenomeni congetturati da teorie scientifiche, ma non ancora osservabili e misurabili con esperimenti, si articola nel seguente modo: - nella verifica della conoscenza scientifica e tecnologica per rendere fattibile l’osservazione e la misurazione; - nel reperimento di risorse umane, economiche, finanziarie, per costruire apparati di misurazione capaci di osservare il fenomeno previsto; 5 Dimostrato da recente, da congettura e ` diventato Teorema di Poincar`e-Perelman: ogni 3-variet`a compatta e semplicemente connessa (cio`e sulla quale ogni cammino chiuso puo` essere ridotto ad un punto) e` omeomorfa (ossia topologicamente identica) alla 3-sfera.

D IALOGHI E D ETTI

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- nellâ&#x20AC;&#x2122;osservazione del fenomeno (discriminando che il fenomeno osservato sia effettivamente cio` che si vuole osservare); - nella scomposizione del fenomeno nei suoi elementi semplici costitutivi; - nella misurazione quantitativa.

La verifica sperimentale esige dunque, ed in modo vincolante, una progettazione di strumenti di misura finalizzata alla misurazione del fenomeno da osservare.

Un fenomeno naturale esiste se e` osserva` una teoria bile e misurabile, in assenza di cio, scientifica, ossia un insieme di equazioni ed esperimenti validati che implicano e ipotizzano altre equazioni o leggi fisiche, secondo un metodo logico-deduttivo basato su verit`a necessarie, pero` ancora da osservare e misurare, sono qui coniati col termine di fenomeni aleostocoscopici6 .

La distinzione tra i fenomeni aleostocoscopici e i fenomeni metafisici o paranormali e` sottile e a volte fosca.

6 Preferibile al termine paranormale o metafisico, indica quei fenomeni o leggi dedotte da congetture che derivano da equazioni o esperimenti validati oppure fenomeni basati su verit`a non necessarie. Lâ&#x20AC;&#x2122;etimologia del termine aleostocoscopia, deriva dal greco e significa: visione delle congetture per azzardo.

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P EDRO X IMENA

Che cosa giustifica la ricerca scientifica ad accettare l’esistenza di fenomeni aleostocoscopici? La coerenza interna della teoria scientifica o l’effetto fisico che il fenomeno aleostocoscopico esercita in maniera indiretta.

Il passaggio da fenomeno aleostocoscopico a fenomeno naturale rivelabile dipende: dalla tecnologia della misurazione; dall’accuratezza del sistema di misura; dalla precisione delle misure, dalla sensibilit`a degli strumenti di misura rispetto la grandezza da misurare. Se si aumenta l’accuratezza e la precisione degli strumenti scientifici di misurazione, allora i fenomeni aleostocoscopici potrebbero divenire fenomeni naturali rilevabili, osservabili e misurabili, ma e` bene accettare che una misura non possa essere infinitamente precisa poich´e una misura precisa deve essere sempre indicata con l’entit`a degli errori casuali e questi non possono essere nulli, per il principio di indeterminazione di Heisemberg.

Se si estende il primo teorema di indecidi¨ bilit`a di Godel anche al metodo scientifico di Galilei, si ha la seguente congettura: Se si vogliono solo fenomeni naturali che risultino rilevabili con strumenti scientifici (coerenza), allora esistono fenomeni aleostocoscopici, derivanti da teorie scientifiche, che non sono rilevabili con gli strumenti scientifici di misurazione (incomple-

D IALOGHI E D ETTI

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tezza), ossia esistono dei fenomeni aleostocoscopici ma non e` possibile decidere se sono veri o falsi.”

Allo stato attuale, molte congetture dedotte da teorie scientifiche sono fenomeni aleostocoscopici e lo saranno fino a quando non sar`a possibile osservarli e misurarli, e cio` dipende dallo stato evolutivo della conoscenza.

Inoltre, se si estende il secondo teorema di ¨ indecidibilit`a di Godel in relazione alla crescita della conoscenza sia scientifica sia tecnologica, si ha la seguente congettura: L’aumento della sensibilit`a, dell’accuratezza e della precisione degli strumenti scientifici di misurazione consegue dall’evoluzione della base della conoscenza sia scientifica sia tecnologica, la quale evoluzione produce nuove teorie scientifiche e nuovi fenomeni aleostocoscopici; tale processo tende asintoticamente all’infinito.

Gli esperimenti infruttuosi di alcune congetture di fenomeni dedotte da teorie scientifiche, conducono verso una revisione del metodo scientifico di Galilei, verso un nuovo Principio di Relativit`a di Ximena: 1. Le leggi della fisica sono invarianti per tutti gli osservatori; 2. La velocit`a della luce nel vuoto e` costante e indipendente dalla velocit`a dell’osservatore o dalla velocit`a della sorgente;

80

P EDRO X IMENA 3. Condizione necessaria ma non sufficiente affinch´e le leggi dei fenomeni aleostocoscopici di una teoria scientifica siano osservabili e misurabili, e` che la conoscenza, sia scientifica sia tecnologica, e le risorse, sia economiche sia finanziarie, includano totalmente7 la teoria scientifica.

Adesso, miei cari accoliti del bagolaro, andate e professate, guarite e illuminate.” §

7 Per inclusione totale s’intende che l’ordine di grandezza da misurare rientri nella fattiva misurabilit`a concordemente con lo stato di conoscenza scientifica e tecnologica e con le capacit`a economico-finanziarie limitate superiormente.

Colophon Se si osservassero le onde gravitazionali cosa cambierebbe, nella vita di ogni uomo?

“Mangeremmo di piu, ` mangeremmo meglio, mangeremmo sazi; mangeremo domani.”

Domanda di un accolito del bagolaro a Pedro Ximena il beato

S’`e giudicato ¨ Kurt Godel, in un suo lavoro, pubblicato postumo, intitolato: La prova matematica dell’esistenza di Dio, dimostra, attraverso un ragionamento logico-deduttivo, che se essere Dio e` positivo, allora Dio esiste ed e` unico. Per dimostrare cio` 81

82

C OLOPHON

dobbiamo poter osservare e misurare con un esperimento questa nuova entit`a positiva, detta Dio, altrimenti sarebbe confinato allo stato di fenomeno aleostocoscopico, dunque, la condizione necessaria ma non sufficiente da soddisfare e` la terza proposizione del Principio di Relativit`a di Ximena: - se vi e` una conoscenza scientifica e tecnologica capace di scoprire Dio; - se vi sono risorse umane, economiche, finanziare sufficienti per costruire strumenti di misura capaci di sperimentare lâ&#x20AC;&#x2122;esistenza di Dio. Se sono soddisfatte entrambe le affermazioni necessarie, allora Dio potrebbe essere un fenomeno osservabile e misurabile.

Una riflessione e` dâ&#x20AC;&#x2122;obbligo: le teorie scientifiche per essere corroborate hanno bisogno di ingenti investimenti economico-finanziari e il coinvolgimento di uomini e donne con istruzione elevata. Il proliferare di teorie scientifiche sta giustificando una schiera di professionisti ad ergersi a corroboratori di congetture. Solo attraverso lâ&#x20AC;&#x2122;esperimento e` possibile osservare e misurare tali congetture di fenomeni derivanti da teorie scientifiche e solamente attraverso

S’ E` GIUDICATO

83

laboratori scientifici con sistemi e apparati di misura sempre piu` sofisticati e complessi.

Tutto cio` ci ha portato verso un’economia aleostocoscopica, ossia basata su un’elite intellettualmente e culturalmente preparata che ipotizza teorie scientifiche e congettura fenomeni, seguita da una schiera di esperti specialisti di conoscenza che ha accesso a porzioni di ricchezza pubblica e privata, riservandogli ampio prestigio sociale.

E la Teoria della Relativit`a Generale e` anche questo!

Mi congedo da voi lettori ammettendo che in questo breve racconto qualche errore sicuramente l’avro` commesso, ma non preoccupatevi: e` tutta colpa del principio di indeterminazione di Heisemberg; se si e` molto precisi nel pensiero si e` grossolani nel trovare le parole giuste nello scrivere.

Questo saggio, s’`e giudicato tra il serio e il faceto, non e` n´e serio n´e faceto. §

Indice Incipit

1

Il Principio di Relativit`a Galileiana

5

La gravit`a secondo Newton

11

Geometria piana

17

Geometria curva

21

Curvatura delle superfici

23

Variet`a differenziabili

29

Onde elettromagnetiche

31

Interferometro

39

Analisi tensoriale

45

Lo spazio-tempo

49 85

86

INDICE

Sullâ&#x20AC;&#x2122;uscio della relativit`a

53

Onde gravitazionali

59

Pedro Ximena

73

Colophon

81

piscibus quantum scio

Design di copertina: Luisa Giuffrida.

Stampato in Italia per conto proprio presso Modena.

Tiratura limitata pregiata su carta vergata sopraffino colore avorio, con filoni, millerighe e filigrana sparsa con logotipo Fabriano, fabbricata con cellulose ECF ed ACID FREE con riserva alcalina a garanzia di lunga conservazione.

Finito di stampare nel mese di novembre 2015, nel centenario della pubblicazione della Teoria della Relativit`a Generale di Albert Einstein.

Nel centenario della pubblicazione della Teoria della Relativit` a Generale, un breve e vivace saggio sui fenomeni ipotizzati dalle teorie scientifiche ma non ancora osservati e misurati, fenomeni coniati da Pedro Ximena il beato come fenomeni aleostocoscopici, attribuendo un nuovo e pi` u profondo significato alla massima di Newton: Hypotheses non fingo.

Rosario Giuffrida - (Catania 1965), ingegnere in meccanica indirizzo fisico-energetico e appassionato studioso della storia del pensiero matematico. Vive in Emilia Romagna e lavora a Modena, presso i laboratori di ricerca del Dipartimento di Ingegneria Enzo Ferrari dell’Universit` a di Modena e Reggio Emilia. Ha scritto: Il problema acribico di Keplero, 1994; Ricevo il testimone - non praevalebunt, 2002; Storia del calcolo matematico del pendolo - ovvero del grave che pende e vacilla, 2012, ristampato nel 2015 e contiene anche tre lavori precedenti: Il perimetro dell’ellisse, 1997; I➦ e II➦ corollario sugli ellissi del triangolo rettangolo, 1997; Paraliponema d’identit` a, 2015; Bara´ onde gravitazionali - ovvero i muratori dell’edificio teorico della Relativit` a Generale, 2015.