INGENIERÍA DE ALIMENTOS I Dr.ANGEL QUISPE T aquispet@unasam.edu.peALLA Sección de ingeniería de alimentos UNIVERSIDAD NACIONAL DE ANCASH “SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO” SSOUFSELDERZDEUHIJOSDEPENDEEL SOLBEUPORPGRESODELOSUNASAM SEMESTRE 2 022 - I PRIMERA CLASE SEMANA DE CLASE PRESENCIAL TRANSFERENCIA DE CALOR EN ESTADO ESTABLE – ECUACIÓN GENERAL DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR – MECANISMO DE CONDUCCIÓN
CONSIDERACIONES
9º El modelo del solido se trata con la serie simplificada de Taylor ya que es una serie convergente SSOUFSELDERZDEUHIJOSDEPENDEELPROGRESODELOSPUEBLOS UNASAM EL MODELO FÍSICO DE ESTAS CONSIDERACIONES
7º La energía que se genera se expresa por unidad de masa. (ǫ).
INGENIERÍA DE ALIMENTOS I - CLASE PRESENCIAL Dr. ANGEL QUISPE TALLA – UNASAM – FIIA GENEREMOS
2º El calor se realiza atreves del solido en balance de energía. Suponemos un proceso continuo donde no se esta energíaconsumiendo El sólido es un volumen de control.
3º
8º La energía que se acumula esta en función de la masa , del calor especifico y de la variación de la temperatura con respecto al tiempo.
6º El área es perpendicular al flujo de calor.
5º El calor que ingresa por una cara produce modificaciones o no
: 1º Se usaran coordenadas cartesianas.
4º
qkx qkz qkz + dz qkx + dx SÓLIDO DONDE SE REALIZA TRANSFERENCIALA BALANCE DE ENERGIA EN EL SÓLIDO SSOUFSELDERZDEUHIJOSDEPENDEELPROGRESODELOSPUEBLOS UNASAM Dr. ANGEL QUISPE T aquispet@unasam.edu.peALLA PARA PROCESO INESTABLE GENEREMOS EL MODELO FÍSICO DE ESTAS CONSIDERACIONES INGENIERÍA DE ALIMENTOS I - CLASE PRESENCIAL Dr. ANGEL QUISPE TALLA – UNASAM – FIIA
qkx qkz qkz + dz qkx + dx SÓLIDO DONDE SE REALIZA TRANSFERENCIALA SSOUFSELDERZDEUHIJOSDEPENDEELPROGRESODELOSPUEBLOS UNASAM ANGEL QUISPE T angelquispetalla@hotmail.comALLA GENEREMOS EL MODELO FÍSICO DE ESTAS CONSIDERACIONES POR QUE :dx dz INGENIERÍA DE ALIMENTOS I - CLASE PRESENCIAL Dr. ANGEL QUISPE TALLA – UNASAM – FIIA
qkx qkz qkz + dz qkx + dx SÓLIDO DONDE SE REALIZA TRANSFERENCIALA BALANCE DE ENERGIA EN EL SÓLIDO SSOUFSELDERZDEUHIJOSDEPENDEELPROGRESODELOSPUEBLOS UNASAM ANGEL QUISPE T angelquispetalla@hotmail.comALLA PARA PROCESO INESTABLE GENEREMOS EL MODELO FÍSICO DE ESTAS CONSIDERACIONES INGENIERÍA DE ALIMENTOS I - CLASE PRESENCIAL Dr. ANGEL QUISPE TALLA – UNASAM – FIIA
EENTRA = qkx + qky + qkz E Genera = Esta energía es por unidad de volumen E Genera = q x volumen = q dx dy dz E Acumulada = Esta en función de la masa del calor especifico y la variación del a temperatura con respecto al tiempo, para sistemas no estacionarios de régimen trasciente. E Acumulada = f ( m,Cp, dT,dθ) diferenciando E Acumulada = dm Cp dT/dθ Pero ρ = m/V Diferenciando: dm = ρ dx dy dz SSOUFSELDERZDEUHIJOSDEPENDEELPROGRESODELOSPUEBLOS UNASAM Evaluando las energías consideradas Volumen Dr. ANGEL QUISPE T aquispet@unasam.edu.peALLA INGENIERÍA DE ALIMENTOS I - CLASE PRESENCIAL Dr. ANGEL QUISPE TALLA – UNASAM – FIIA
finalmente : E Acumulada = ρ dx dy dz Cp dT/dθ E Consume = 0 ( Es a nivel metabólico a partir de la materia para sistemas con respiración o metabolismo activo) Pero : ESale = (qkx + dx) + (qky + dy) + ( qkz + dz) SSOUFSELDERZDEUHIJOSDEPENDEELPROGRESODELOSPUEBLOS UNASAM Dr. ANGEL QUISPE T aquispet@unasam.edu.peALLA qkx qkz qkz + dz qkx + dx SÓLIDO DONDE SE REALIZA TRANSFERENCIALA INGENIERÍA DE ALIMENTOS I - CLASE PRESENCIAL Dr. ANGEL QUISPE TALLA – UNASAM – FIIA
x z y d z d x qkx qkx + dx E Sale = (qKx + dx ) + (qky + dy) + (qkz + dz) SSOUFSELDERZDEUHIJOSDEPENDEELPROGRESODELOSPUEBLOS UNASAM Dr. ANGEL QUISPE T aquispet@unasam.edu.peALLA INGENIERÍA DE ALIMENTOS I - CLASE PRESENCIAL Dr. ANGEL QUISPE TALLA – UNASAM – FIIA
Pero el desarrollo de la expresión : (qKx + dx ) : compete al desarrollo de la serie simplificada de Taylor. La serie de Taylor : Es una serie convergente que nos permite hallar valores infinitésimos cuando los diferenciales tienden acero o sea semejan a un punto SSOUFSELDERZDEUHIJOSDEPENDEELPROGRESODELOSPUEBLOS UNASAM Dr. ANGEL QUISPE T aquispet@unasam.edu.peALLA Que es la serie de Taylor ??????? Una representación semejanza física de la serie de Taylor Al infinitésimo . INGENIERÍA DE ALIMENTOS I - CLASE PRESENCIAL Dr. ANGEL QUISPE TALLA – UNASAM – FIIA
SSOUFSELDERZDEUHIJOSDEPENDEELPROGRESODELOSPUEBLOS
UNASAM Dr. ANGEL QUISPE T aquispet@unasam.edu.peALLA Una forma simplificada y para modelos físicos en ingeniería de alimentos es: INGENIERÍA DE ALIMENTOS I - CLASE PRESENCIAL Dr. ANGEL QUISPE TALLA – UNASAM – FIIA
f ( x + h ) = f (x) + f ‘ (x) h1/1! + f ‘’ (x) h2/2! + ...... .... + fn (x) hn/n! (qkx + dx ) = qkx + (qkx )’ dx/1! (qkx + dx ) = qkx + ∂(qkx)/∂x . dx Pero por la ecuación de Fourier : qk = - k A ∂T/∂x para la dirección X qkx + dx = - kx dy dz ∂T/∂x + (- kx dy dz ∂T/∂x ) dx ∂x FSELDHIJOSDEPENDEELPROGRESODELOSPUEBLOS UNAAM Dr. ANGEL QUISPE T aquispet@unasam.edu.peALLA Ya que son valores discontinuo se tratan con derivadas parciales dz Area: dz x dy INGENIERÍA DE ALIMENTOS I - CLASE PRESENCIAL Dr. ANGEL QUISPE TALLA – UNASAM – FIIA
(qky + dy ) = qky + ∂(qky)/∂y . dy Pero por la ecuación de Fourier : qk = - k A ∂T/∂y para la dirección Y qky + dy = - ky dx dz ∂T/∂y + (- ky dx dz ∂T/∂y ) dy ∂y FSELDHIJOSDEPENDEELPROGRESODELOSPUEBLOS UNAAM Dr. ANGEL QUISPE T aquispet@unasam.edu.peALLA dx dz Area: dx x dz INGENIERÍA DE ALIMENTOS I - CLASE PRESENCIAL Dr. ANGEL QUISPE TALLA – UNASAM – FIIA
(qkZ + dz ) = qkz + ∂(qkz)/∂z . dz Pero por la ecuación de Fourier : qk = - k A ∂T/∂z para la dirección Z qkz + dz = - kz dx dy ∂T/∂z + (- kz dx dy ∂T/∂z ) dz ∂z FSELDHIJOSDEPENDEELPROGRESODELOSPUEBLOS UNAAM Dr. ANGEL QUISPE T aquispet@unasam.edu.peALLA dxArea: dx x dy INGENIERÍA DE ALIMENTOS I - CLASE PRESENCIAL Dr. ANGEL QUISPE TALLA – UNASAM – FIIA
FSELDHIJOSDEPENDEELPROGRESODELOSPUEBLOS UNAAM Dr. ANGEL QUISPE T aquispet@unasam.edu.peALLA Recordar : x z y d z d x qkx qkx + dx EENTRA = qkx + qky + qkz E Acumulada = ρ dx dy dz Cp dT/dθ E Consume = 0 ( Es a nivel metabólico a partir de la materia para sistemas con respiración o metabolismo activo) Pero : ESale = (qkx + dx) + (qky + dy) + ( qkz + dz) E Genera = q x volumen = q dx dy dz Remplazando se tendrá : INGENIERÍA DE ALIMENTOS I - CLASE PRESENCIAL Dr. ANGEL QUISPE TALLA – UNASAM – FIIA
SSOUFSELDERZDEUHIJOSDEPENDEELPUEBLOS UNASAM Dr. ANGEL QUISPE T aquispet@unasam.edu.peALLA (- kx dy dz ∂T/∂x) + (- ky dx dz ∂T/∂y) + (- kz dx dy ∂T/∂z) + (q dx dy dz) = [- kx dy dz ∂T/∂x + (- kx dy dz ∂T/∂x ) dx ] + ∂x [- ky dx dz ∂T/∂y + (- ky dx dz ∂T/∂y ) dy ] + ∂y [- kz dx dy ∂T/∂z + (- kz dx dy ∂T/∂z ) dz ] + ∂z ρ dx dy dz Cp dT/dθ Toda la ecuación por unidad de volumen : dx. dy.dz INGENIERÍA DE ALIMENTOS I - CLASE PRESENCIAL Dr. ANGEL QUISPE TALLA – UNASAM – FIIA
q = ∂ ( -kx ∂T/∂x ) /∂x + ∂(- ky∂T/∂y)/∂y + ∂(-kz∂T/∂z)/∂z + ρ Cp dT/dθ Ecuación General de transferencia de calor por conducción para materiales biológicos con propiedades variables en x , y, Suponez. propiedades térmicas variables : Kx = f ( x, θ) --- Ky = f ( y, θ) ---- Kz = f ( z, θ) ρ = f (º T) ------ Cp = f ( m, ºT) KT = f( x, y, z, θ) Caso General : ISSOUFSELDERZDEUHIJOSDEPENDEELPROGRESODELOSPUEBLOS UNASAM Dr. ANGEL QUISPE T aquispet@unasam.edu.peALLA INGENIERÍA DE ALIMENTOS I - CLASE PRESENCIAL Dr. ANGEL QUISPE TALLA – UNASAM – FIIA
Considerando : K = cte , ρ = cte Cp = cte La ecuación sería : SSOUFSELDERZDEUHIJOSDEPENDEELPROGRESODELOSPUEBLOS UNASAM Dr. ANGEL QUISPE T aquispet@unasam.edu.peALLA x z y d z d x qkx qkx + dx INGENIERÍA DE ALIMENTOS I - CLASE PRESENCIAL Dr. ANGEL QUISPE TALLA – UNASAM – FIIA
q + ∂(k ∂T/∂x)/∂x + ∂(k ∂T/∂y)/∂y + + ∂(k ∂T/∂z)/∂z = ρ CpdT/dθ q + k ∂2T/∂x2 + k ∂2T/∂y2 + k ∂2T/∂z2 = ρ CpdT/dθ Expresándola por unidad de conductividad térmica q/k + k ∂2T/∂x2 /k + k ∂2T/∂y2 /k + k ∂2T/∂z2 /k = ρ Cp/k dT/dθ Pero la relación : ρ Cp/k es una propiedad térmica de material para productos biológicos y no biológicos como se puede observar todos son constantes (ρ Cp/k )que solo varían en función de la temperatura Su inversa es la DIFUSIVIDAD TERMICA ( £ ) £ = K /CP ρ SSOUFSELDERZDEUHIJOSDEPENDEELPROGSOOSPUEBLOS UNAAM Dr. ANGEL QUISPE T aquispet@unasam.edu.peALLA INGENIERÍA DE ALIMENTOS I - CLASE PRESENCIAL Dr. ANGEL QUISPE TALLA – UNASAM – FIIA
DIFUSIVIDAD TERMICA ( £ ) es una relación constante de la materia o material , es la variación o variaciones de las propiededes del material atravez del tiempo nos permite determinar las velocidades de calentamiento o enfriamiento de los alimentos. q + ∂2T/∂x2 + ∂2T/∂y2 + ∂2T/∂z2 = ρ Cp/k dT/dθ q + ∂2T/∂x2 + ∂2T/∂y2 + ∂2T/∂z2 = 1/ £ dT/dθ Ecuación general que supone : • Generación de calor •Transferencia en tres direcciones • Para materiales o cuerpos de propiedades térmicas constantes. • Para procesos inestables Caso General : I ISSOUFSELDERZDEUHIJOSDEPENDEELPROGRESODELOSPUEBLOS UNASAM Dr. ANGEL QUISPE T aquispet@unasam.edu.peALLA INGENIERÍA DE ALIMENTOS I - CLASE PRESENCIAL Dr. ANGEL QUISPE TALLA – UNASAM – FIIA
Caso General : I I I Para un proceso sin generación de calor, transferencia en tres direcciones, en proceso estable no trasciente : ∂2T/∂x2 + ∂2T/∂y2 + ∂2T/∂z2 = 0 La transferencia es diferente en cada uno de los ejes la solución corresponde a la transformada de LA PLACE Caso General : IV Para un proceso sin generación de calor, transferencia en dos direcciones, en proceso estable no trasciente : SSOUFSELDERZDEUHIJOSDEPENDEELPROGRESODELOSPUEBLOS UNASAM Dr. ANGEL QUISPE T aquispet@unasam.edu.peALLA INGENIERÍA DE ALIMENTOS I - CLASE PRESENCIAL Dr. ANGEL QUISPE TALLA – UNASAM – FIIA
x Z = ∞ y Infinito ∂2T/∂x2 + ∂2T/∂y2 = 0 SSOUFSELDERZDEUHIJOSDEPENDEELPROGRESODELOSPUEBLOS UNASAM Dr. ANGEL QUISPE T aquispet@unasam.edu.peALLA INGENIERÍA DE ALIMENTOS I - CLASE PRESENCIAL Dr. ANGEL QUISPE TALLA – UNASAM – FIIA
X finito Z = ∞ Y = ∞ Infinito ∂2T/∂x2 = 0 Se convierte en derivada total : Caso General : V Para un proceso sin generación de calor, transferencia en una dirección, en proceso estable no trasciente : Infinito d2T/d2x = 0 nos sirve para hallar el perfil de temperaturas SSOUFSELDERZDEUHIJOSDEPENDEELPROGRESODELOSPUEBLOS UNASAM ANGEL QUISPE T angelquispetalla@hotmail.comALLA INGENIERÍA DE ALIMENTOS I - CLASE PRESENCIAL Dr. ANGEL QUISPE TALLA – UNASAM – FIIA
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN ESTACIONARIO
Aquí se evalúa la conducción de calor en una sola dirección es decir, se considerará que la temperatura es función de una sola dirección o coordenada. Para el caso de coordenadas rectangulares se considera que la temperatura varía a lo largo de la coordenada x en y, z es infinito Se obtendrá el perfil de temperaturas a lo largo de la dirección deseada. mediante integración de la ecuación de La Place, obteniendo las constantes de integración al aplicar las condiciones límite a la ecuación integrada. Una vez obtenido el perfil de temperaturas se aplica la ecuación de Fourier para conocer el caudal de transmisión de calor. q φ A dT/dx : el caudal de calor es directamente proporcional al Área y la temperatura pero inversamente proporcional a la dirección donde se transfiere SSOUFSELDERZDEUHIJOSDEPENDEELPROGRESODELOSPUEBLOS UNASAM
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PARED PLANA
La forma más común de disminuir las pérdidas de calor a través de una pared es colocar una capa de aislante, siendo de sumo interés poder conocer qué espesor debe tener esta capa. Para el estudio de este caso se supondrá que se trata de una lámina infinita, evitando de este modo el tener que considerar los efectos finales. Aunque se haga esta suposición, los resultados que se obtienen pueden aplicarse para el caso de láminas finitas, con una gran fiabilidad. Si se supone una lámina de superficie infinita, con una cara a una temperatura T0 y la otra a T1, siendo T0 > T1 el flujo de calor va desde T0 a T1. La ecuación de La Place en coordenadas rectangulares, en una sola dirección será:
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∂2T/∂x2 = 0 Se convierte en derivada total : d2T/d2x = 0 nos sirve para hallar el perfil de temperaturas SSOUFSELDERZDEUHIJOSDEPENDEELPROGRESODELOSPUEBLOS UNASAM Dr. ANGEL QUISPE T aquispet@unasam.edu.peALLA INGENIERÍA DE ALIMENTOS I - CLASE PRESENCIAL Dr. ANGEL QUISPE TALLA – UNASAM – FIIA
q φ A dT/dx resolviendo la proporcionalidad : q = - k A dT /dx qDonde:=Velocidad de transferencia de calor; Kcal/h , BTU/h , J/k K = Conductividad térmica ; Kcal/m h ºC, BTU/pie h ºF, KJ/m s ºC A = área perpendicular al flujo de calor, m2, pie2,pulg2 . T = Temperatura; ºC , ºF X = Dirección o espesor donde se evalúa la transferencia; m. pie, pulg. SSOUFSELDERZDEUHIJOSDEPENDEELPROGRESODELOSPUEBLOS UNASAM ANGEL QUISPE T angelquispetalla@hotmail.comALLA INGENIERÍA DE ALIMENTOS I - CLASE PRESENCIAL Dr. ANGEL QUISPE TALLA – UNASAM – FIIA
En los procesos de transmisión de calor por conducción, en estado estacionario, el caudal de calor transmitido (q) a través de un sólido es directamente proporcional al área de transmisión (A) y al incremento de temperaturas (ΔT), e inversamente proporcional al espesor del sólido (e). La constante de proporcionalidad recibe el nombre de conductividad térmica: También:SSOUFSELDERZDEUHIJOSDEPENDEELPROGRESODELOSPUEBLOS UNASAM Esta expresión se puede trabajar análogamente como si fuera un circuito térmico por que tiene la analogía de : kxA L TT sistenciatermica Potencialtermico q cf k Re.... ... Dr. ANGEL QUISPE T aquispet@unasam.edu.peALLA INGENIERÍA DE ALIMENTOS I - CLASE PRESENCIAL Dr. ANGEL QUISPE TALLA – UNASAM – FIIA
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