Rm ciclo 2011 ii

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

SESIÓN Nº 01 Prof. Jorge Reyes Rodríguez

HABILIDAD OPERATIVA 1.

Si: N 

2  0, 2  0, 02  2 y 2  0, 2  0, 02  0, 002

7.

45 37 3 M  8log5    9log 0,125 16  6log 7    25   49 

72  log1,21 0, 01  0, 01 . Entonces: 1  log 7 343



M



M  N1 , resulta:

A) 12 3

B) 6 2

D) 12

El valor simplificado de:

A) 0

B) -20

D) 24

E) 28

C) 12 2 8.

E) 24

El resultado de reducir:

C) -28

2222112  2222092 9876  99999  98760  9999

es: 2.

1 1 4 Si: ;a ≠ b; c ≠ b; a+c≠2b.   a  b c  b a   c  2b  Entonces E 

a b a c , resulta:  cb b

A) 0,5

B)0,75

D) 1,25

E) 2

9.

A) 10

B) 9

C) 9876

D) 1

E) 900

Luego de efectuar:

C)1

 Log 7 92    2Log 49 29  x Log3 2 2 2  

resulta: 3.

Si se cumple que:

 x  a  x  b  x  c   x

3

 3x  3x  2 . Entonces

A) 2/3

B)3/2

D) 2

E) 9

Al simplificar: A) ½ D)

5.

5

5

8

C)3

217 5

B) Log2 3

16

C) 2*

E) 4

32 63

10. Luego de reducir: 2

N = Log 4 0,54   Log 4 0,5 , resulta:

C)

E) -1

U = Log 2 92   Log 2 9 

 255  257  1 64 B)

7 18

D) Log3 2

a 2  b2  c2 el valor de R  , resulta: abc

4.

A)

2

T=

3

80



anti log 32 10 3 10

Calcular:

4



0,2  N U  Log3    T   11 

A) –1

B) - ½

D) -1/4

E) -1/6

C) -1/3

Reducir: C  5 2  7 7  5 2  16 416  9 52  42 54  44 58  48 

A) -1

B) -2

D) -4

E) -5

C) -3

11. De las igualdades: Loga 3  2



y Log3 

9 3  a b

 5   6 

El valor de Log3b – antiloga4 6.

Si se sabe que: Log2  m y Log3  n ; entonces el valor de la expresión: J 

1  log 2  log5 12  log 7 5 1   log 2 10  log 49 100

A) 2m + n

B) 2m - n

D) m + 2n

E) m - 2n

C) m + n

A) 0

B) -1

D) -3

E) 2

12. La

suma

de

C) 1

las

cifras

100001 0,25  1  log 25  colog4) es: 1000021

A) 39

B) 27

D) 36

E) 33

C) 30

de:

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

EJERCICIOS ADICIONALES

19. La suma de las cuatro cifras de menor orden posicional del resultado final de:

13. La suma de las cifras del resultado de reducir:

222...22  666...66 es: 2

2

80cifras

H=

80003  79993  79992  203  7999 es:

6

A) 2

B)15

D) 34

E)8

C)27

79cifras

A) 20

B) 26

D) 22

E) 24

C) 28

20. Sabiendo que: 14. Sabiendo que :

H  3  co log 2 0,5 

J

J

log 2  log100 9 log 24  log H

La suma de las cifras de

20062  20042  (Log100  399) 2H  17

1 Entonces el valor de: (H  )(J  1) es: 2 A) 1

B)2

D)4

E)5

70063  2  70062  9  7006  18 70062  9

A) 15

B) 42

D) 24

E) 17

C) 13

21. El producto de las cifras del resultado de:

C)3 F  antilog12 (Log2 3 5) 

Cuando: P = 39999 15. La n – ésima potencia de nueve termina en “n” y la ̅​̅​̅​̅​̅

es:

potencia de siete termina en m. El valor

y

A) 5

B) 10

D) 16

E) 30

P.Q  1

Q = 40001

es:

C) 20

de m+ n es: A)5

B)8

C)12

D) 15

E) 18

8

1  log2 5

16. El producto de las cifras del resultado de operar: (555555562 - 555555552)2 + 1 es: A) 9!.8!

B)18.(8!)2

D)9 . (8!)2

E)..17!

C)18.(9!)2

17. Siendo:

P  3 1

2 7 27

 3 1

28 3 3

entonces el valor de P3  P2  P  4 es: A) 5

B) 6

D) 8

E) 9

C) 7

18. M es el mayor número de cinco cifras y N el mayor número de cinco cifras diferentes. Si además:

M2  N2  ... abc El valor de

2a – b – c

A) 1

B) 2

D) 4

E) 5

22. La cantidad de cifras cero que hay en el resultado de:

es: C) 3



log2

4

 16

A) 1

B) 3

D) 7

E) 9

log4 40 1



 10 es:

C) 5

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

SESIÓN Nº 02 Prof. Marcial Vásquez Medina

OPERACIONES NO CONVENCIONALES 1.

Se define m # n 

mn  n m 1 , entonces el valor de log0,2 0, 04

E  3#1  2#4 es:

A) 40 2.

B) 38

C) 2 a

Se define a la operación:

3.

B) 62

C) 65

4

D) 70

E) 72

Si

7

= 4; entonces el valor de 4

A) 5

B) 10

C) 26

n

Si

n

=

i 

x2+2

Si x x  y  yx  2x y , entonces el valor de 8  2 es:

es: E) 45

Si:

A) -2

B) -1

C) 0

D) 1

= x + 19

…

6

…

80 elipses

+ …

La operación  está definida mediante la tabla adjunta: 2 4 6 8  2 6 8 10 12 4 18 20 22 24 6 38 40 42 44 8 66 68 70 72

 1 2 3 4

= x + 18

es:

100 elipses

8.

B) 895

C) 735 D) 720

K

= 2K + 6 ; N > 0

Se define

Además se sabe que El valor de A) 12 9.

2x

= 66

C) 18 *

D) 22

es:

B) 14

Se define: x

= 4x - 3

E) 195

x2  6

x

= 4x + 9

C) 13

D) 12

E) 11

1 0,5 1 1,5 2

2 1 2 3 4

3 1,5 3 4,5 6

4 2 4 6 8

[(1-13) + (4-13)]  (x-15) = 75 el valor de “x” es: A) 0,5

A) 1380

B) 14

Si a-1 es el inverso de “a” según la operación , entonces al resolver:

…

9

7 E) -3 3

La operación  está definida mediante la tabla:

Entonces, el valor de: E=

C) 8D) 

15.

E) 2

x+2

7 3

Definamos el operador “*” como: a * b = a + b – 9, Entonces la suma del elemento neutro de dicha operación con el inverso respecto a 16 es: A) 2 B) 9 C) 11 D) 18 E) 25

Si se cumple: x+7

B)

14.

x 2012

es:

b

y a # b  a a , además a  Z y b  Z entonces, el valor de nm en m  n  2#15 es: A) 25 B) 216C) 232 D) 248E) 23

A) 15

1

1

E=

El valor de 7.

 x 2011 

x+2

a 1

La suma de las cifras del resultado de efectuar E = [(2  3)  (4  5) ] [(2  6)  (5  3)] es:

= 1540

i 1

6.

E) 16

12.

13.

E) 5

D) 19

11.

E) 4

Entonces, el mínimo valor de x es: A) -1 B) -3 C) 1 D) 3

C) 24

es:

Dado el operador  con definición:

A) 3

D) 34

3

+

b Si a  b  a a

= x2 – 2x + 15

– x +2

B) 26

2

entonces, el valor de 38 es: 31 24 31 A) B) 1 C) D) 2E) 24 31 25

Se define en R : 2x – 3

M=

aba = ab – 5(bab),

a  b = 3(b  a) + b a b = 2(b  a) – a

Si

M = (…(((12) 3)  4) . . .  9)10, es: 5 5 A) –2 B)  C) 2 D) 2 2

5.

10.

es:

Entonces, el valor de

4.

A) 28

 a2  4 b

b

2 9

Entonces el valor de A) 60

E) – 42

D) - 38

El valor de

E) 24

16.

B) 1

C) 1,5

D) 2

E) 8

En el conjunto: A={2; 4; 6; 8; 10}, se define la operación  en la siguiente tabla: 2 4 6  2 6 8 10 4 8 10 2 6 10 2 4 8 2 4 6 10 4 6 8 El valor de “n” en:

8 2 4 6 8 10

10 4 6 8 10 2

[(4–1  6)–1  n]  [(6–1 4) 2] –1 = (2 6) –1 es: A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

EJERCICIOS ADICIONALES (Tarea domiciliaria) 1.

2.

a

Se define:



b b a  ba  4a b  2 b a  a b



Si a b

 m n

=

Entonces el valor de M = 2 4 2 es:

Entonces el inverso de

A) 6B) 8

A) 

2 1 5 4

D) 

4 1 25 5

C) 16D) 36 E) N. A. a  b = (a + b)(a  b) (a + b)  b = 5ab

En Z se define:

an + bm 2

3

bn es:

B) 13  92

C)  92

1 3

3 3 10 4

E)

Entonces el valor de 7  3 es: A) 630 D) 600

3.

B) 460 E) 930

C) 585

9.

a 2  b ; si a  b  Se define: a  b  a  b ; si a  b  2 b  a ; si a  b

4.

C) -4 2

x = x – 9;

Sabiendo que: El valor de A) 9

5.

B) 20

Se tiene que: Si;

+ 4

5

=a

= x(x + 6)

E) 368

6.

D) 27669!

E) 3669671!

D) -5

E) -6

1 1 9 7 5 3

mediante la tabla: 3 3 1 9 7 5

5 5 3 1 9 7

7 7 5 3 1 9

9 9 7 5 3 1

I)

La operación es conmutativa

II)

El elemento neutro es 9

III) 1-13-15-17-1 = (1-13-1)  (5-17-1) IV) (1-15-1)-1 = 15 Son ciertas: A) I, II B) I, II y III C) I y III D) II, III y IV E) Todas

Se obtiene: B) 3669669!

C) -4

Luego se afirma:

2010

A) 310051005!

B) -3

 9 7 5 3 1

a

entonces, 3 = 9 al calcular

5 es:

Se define la operación  en el conjunto

es: D) 62

– 4

T = {1, 3, 5, 7, 9}

E) 10 x

C) 26 a+3

10.

es: D) 6

b–1

=

y

Entonces, el valor de E = 3 + A) -2

E = (-5 * -3) * 4 + (5 * 7) * -6 B) -6

a = 2 2a –1 + 7 b+1

Entonces, el valor de

A) -12

Si:

C) 3671669!

A continuación se te propone un grupo de ejercicios, los cuales debes resolverlos desarrollando un procedimiento lógico y coherente.

Asumiendo las definiciones: 3 m= m + m – 10

1.

n – 1= 2 n + 11 – n + 4

Asumiendo la definición: a  b = a +

2 +b–2

hallar el inverso de 2 + 2 Entonces el valor de A) 4 7.

B) 5

18

2.

, es:

C) 6

D) 7

E) 8

En R se define a la operación @ así: m @ n  m n 

3 7

El inverso de 5 para dicha operación es de la forma m  , entonces m.n es: n 41 A)  7

D) 287 8.

Hallar el valor de “x” en la ecuación: 8 * 30 * 17 + (12x) * (2x) * [(5x) * (2x) * (6x)] =1 3.

La operación * se define para elementos de la forma: x y

Usando la definición: expresión: K 

65 B)  C) -287 21 E) 21

Sabiendo que: a  b  c ; si a 2  b 2  c2  a  2b  c  a  b  c ; si a 2  b 2  c 2  2 2 2 a  b  c ; si a  b  c

4.

aa

b

 bba reduce a la

(2 5)(5 2) (99 100)(100 99)

Se tiene la definición: ab ab  a  b Y además: 3 1 = 2 ; 7  4 = 81; 9  5 = 1024 Hallar: P = 100 [(11)+(12) + (13) + … + (1100)]

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

SESIÓN Nº 03 Prof. José Luís Salazar La Torre

SUCESIONES 1.

Se tiene la siguiente progresión geométrica: (

) (

) (

) (

) (

8. );….

Calcular: “ a + b + c ”

2.

A) 129

B) 172

D) 89

E) 164

C) 155

A) 18

B) 19

D) 21

E) 24

C) 20

En las sucesiones aritméticas: - 118; -111; -104; …

9.

La suma del menor número par positivo de la primera sucesión con el menor número impar positivo de la segunda, es:

Tres números enteros positivos están en progresión geométrica, si al último término se le resta 9 se obtiene una sucesión aritmética, pero si al segundo término de la sucesión obtenida se le resta 2 se forma de nuevo una progresión geométrica, entonces la suma de los 3 números enteros si es la menor posible, es:

A) 17

B) 21

A) 40

B) 46

D) 27

E) 29

D) 52

E) 30

226; 215; 204; …

3.

Se reparten chocolates a un grupo de niños en cantidades que forman una progresión aritmética. Al noveno niño le toco la mitad de lo que le toco al último y a este el séxtuple de lo que toco al primero.

El número de niños es:

C) 25

En la siguiente sucesión, el tercer término negativo

C) 39

10. Dada la siguiente sucesión:

95, 89, 83, 77,……., es:

4.

A) -13

B) -7

D) -19

E) -14

6.

7.

C) -1

El valor de: “ x + a + b + c + d ”, es: A) 24

B) 14

D) 23

E) 25

C) 13

Si el décimo término de la sucesión: 1,1, es:

5.

̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅​̅

,

̅​̅​̅​̅

, , ……̅​̅​̅​̅ entonces el valor de (2b – a),

A)2

B)4

D)7

E)9

11. El últimotérmino de la fila 29 en el siguiente arreglo, es: 2

C)5 4

B) 75

D) 705

E) 750

C) 570

En un cuartel, el mayor decide que cada soldado realice abdominales de acuerdo a su hora de llegada al patio. A las 6:16 am. se realizan 3 abdominales a las 6:17 am. se realizaran 5 abdominales; a las 6:18 am. 9 abdominales; a las 6:19 am. 15 abdominales, y así sucesivamente. Si Juanito llegó al patio a las 6:59 am. Entonces el número de abdominales que deberá realizar, es: A) 1895

B) 165

D) 1765

E) 1744

C) 1787

Si la suma de los “n” primeros términos de una P.A., es: , entonces el valor de , es: A) 1875

B) 1850

D) 1650

E) 1625

C) 1775

8

fila 2

16

32

64 fila 3

.

.

.

.

.

.

.

.

A)

B)

C)

D)

E)

En la sucesión 7, 19, 37, 61, 91,… la diferencia entre el penúltimo término de tres cifras y el cuarto término de cuatro cifras es: A) 57

fila 1

12. Un profesor ahorra cada día $.5 más de lo que ahorró el día anterior. El último día se da cuenta que el número de días que estuvo ahorrando hasta ese día, era la séptima parte de lo que ahorro ese día. Sabiendo que lo que ahorro el quinto día y lo que ahorro el penúltimo día totalizan $.290, entonces lo que ahorro el 1er día, es: A) $60

B) $55

D) $65

E) $70

C) $50

13. Juan recoge envases platicos de la siguiente manera: el primer día 3; el segundo día 3 más de lo que recogió el primer día; el tercer día 5 más de lo que recogió el segundo día; el cuarto día recogió 7 más de lo que recogió el tercer día y así sucesivamente; hasta que el ultimo día recogió 902 envases. El total de envases que recogió, es: A) 9510

B) 9515 C)9520

D) 9525

E) 9630

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

14. Se tiene la siguiente sucesión aritmética ̅⏟ ̅​̅​̅ ̅​̅​̅ ̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅​̅,

cada minuto siguiente 2 m más que en el precedente, el tiempo que tardarán en encontrarse, es:

entonces al suma de los cinco últimos términos, es: A) 410

B) 430

D) 405

E) 445

B)3

C)2

B) 20 m

D) 30

E) 35 m

C) 25 m

C) 435 22. Dada las siguientes progresiones:

15. La suma Sn de los primeros “n” términos de una sucesión aritmética, es igual a la suma Sm de los primeros “m” términos de ésta sucesión (m ≠ n), entonces Sm + n; es: A)4

A) 15 m

D)1

E)0

(

)

(

) (

)

entonces, los valores de “x” r “y”, respectivamente, son: A) 1 y 2

B) 2 y 3

D) 3 y 2

E) N. A.

C) 2 y 1

16. Dada la siguiente sucesión 23. Sabiendo que las cantidades siguientes: √

Entonces la cantidad de términos en común de ambas sucesiones es: A)7

B)9

D)6

E)5

C) 12

17. Sea la progresión aritmética (m+n); (2m – n); (2m+3n),… donde la razón es (m – 2), entonces la diferencia entre los términos de lugar 42 y 37, es: A) 17

B) 16

D) 23

E) 24

C) 20

A)1

B)2

D)4

E)5

, es: C)3

19. En un trabajo de reforestación, laboran 5 personas, cada día plantar 3 árboles más delo que plantan en el día anterior. El último día plantaron tantos arboles como el quíntuplo del número de días que han trabajado; entonces el número de árboles que plantaron el primer día, sabiendo que los plantados en el primer día y último día totalizan 143, es: A) 20

B) 40

D) 43

E) 13

C) 23

20. La cantidad de cifras que se han utilizado en la siguiente sucesión: ⏟

es:

A) 40

B) 100

D) 111

E) 115

√

forman una Progresión Geométrica, entonces la razón de la P. G, es: B) 1

B) 2

D) 8

E) 6.

C) 4

24. En una P. G. de tres términos, la suma del primer término con el tercero es 51, si al primer término se le suma 2 y al tercero se le sustrae 29, se obtiene una P. A., luego el segundo término de la P. G., es: A) 10

B) 11

D) 13

C) 12 E) 14

25. Dada la progresión aritmética: de 501 términos. Si la suma de los términos del lugar 135 y 387 es 1604, entonces el término de lugar 261, es:

18. Dada la siguiente sucesión de primer orden:

El valor de

√

C) 110

21. Dos móviles que se encuentran distante entre sí 2750 m, parten simultáneamente uno al encuentro del otro.

Si el primero recorre en el primer minuto 40 m y en cada minuto siguiente 3 m más que en el precedente, y el otro móvil recorre en el primer minuto 50 m y en

A) 650

B) 80

D) 880

E) 920

C) 840

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

SESIÓN Nº 04 Prof. Jorge Yáñez Díaz

SERIES 1.

El número de bolitas que se obtienen para la posición “n” está representada por la expresión:

7.

... n

n (n + 1) a) 2 n (n + 2) c) 2 e ) N . A. 2.

(n + 1) (n + 2) b) 2 2 n (n - 1) d) 2

8.

Gladys y Alicia trabajan durante 10 días en las siguientes condiciones: Gladys recibe S/. 110 diarios.

Alicia el primer día recibe S/.20 y los siguientes recibe S/. 20 más que el día anterior. Al término de los días Gladys recibe.

Se tiene tres números en P.A. y al aumentarlos en 2, 3 y 8 respectivamente, se obtienen números proporcionales a 10, 25 y 50. Luego r la suma de los 10 primeros términos de dicha progresión aritmética es: A) 235

B) 245

D) 265

E) 275

Giovanna se propone leer una novela de la siguiente manera: el primer día 3 páginas, el segundo día 8 páginas, el tercer día 15, el cuarto 24 y así sucesivamente hasta que cierto día se da cuenta que el número de páginas leídas ese día es 14 veces el número de días que ha estado leyendo. El número de páginas leídas en dicho día es: A) 168 D) 192

9.

C) 255

B) 156

C) 180 E) 104

a)

La mitad de la cantidad de dinero que Alicia

b)

El triple de la cantidad del dinero que recibe Alicia

Una hoja de papel se parte por la mitad, después se superponen las dos mitades y se vuelven a partir, y así sucesivamente. Después de 8 cortes ¿cuántos trocitos de papel habrá?.

c)

El misma cantidad que recibe Alicia

a) 256

b) 260

d)

El doble de la cantidad que recibe Alicia

d) 501

e) 105

c) 510

e) 10. El valor de 3.

4.

5.

6.

El profesor de R.M. reparte entre sus alumnos chocolates; a Miguel le da 4, a Diana 18, a Marylena 50, a Luis 106, a Miwan 192 y así sucesivamente. Si contaba con 10 alumnos. ¿Cuántos chocolates tenía en total?.

A) 4072

B) 4090

D) 4200

E) 6457.

C) 4087

La suma de los “n” primeros números naturales consecutivos, pares consecutivos e impares consecutivos es (31 n + 6). Luego el valor de “n” es: A) 15

B) 3

D) 12

E) 9

C) 4

Fabricio tiene que resolver 10 preguntas de 13 en un examen. Las maneras de escoger las preguntas que tiene son: A) 286

B) 1 037 836

D) 130

E) 2 3556

Dada las sucesiones:

C) 65

1 4 9 16 , , , ,.....y 2 3 4 5

1 2 3 4 , , , ,.......entonces al sumar los términos 20 2 3 4 5 de cada sucesión resulta:

A) 19

B) 20

D) 22

E) 30

C) 21

1 1 1 1 1 1  S  1             ........ es:  2 3   4 6   8 12 

a)

4 5

b)

4 7

d)

4 9

e) 22

c)

4 6

11. La suma de los términos de la fila30 de la siguiente distribución: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 . . . . . . . . . . .

Es: A) 27 000

B) 28 000

D) 29 000

E) 25 000

C) 24 000

12. En el torneo peruano de futbol profesional se van a jugar 70 fechas y en cada fecha se jugará 3 partidos.

Si los equipos participantes juegan todos contra todos y hacen 2 rondas, entonces el número de equipos participantes, es: a) 12

b) 13

d) 15

e) 16

c) 14

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

14. En una progresión geométrica de “n” términos la suma de los (n- 1) primeros términos es 252 y la suma de los (n -1) últimos es 504. Luego la razón es: a) 2

b) 3

d) –2

e) 5

c) 4

15. La suma de tres números que forman una sucesión geométrica es 93. Los mismos números son primero, segundo y séptimo términos de una sucesión aritmética. El producto de estos números es: a) 3375

b) 3275

d) 3345

e) 3545

A)

B)

C)

D)

c) 3015 E)

1  a ac n  1 ac  1

1  a ac n  1 ac  1

1  a ac n  1 ac  1

1  a ac n  1 ac  1

1  a ac n  1 ac  1

16. La suma de los n primeros términos de la serie 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + 3.4.5.6 +…, es:

21. Jorge observó que su secretaria había hecho hasta el 14 de mayo 43 llamadas telefónicas locales. El día 15 hizo 2 llamadas, el 16 hizo 4 llamadas, el 17 hizo 6 llamadas y así sucesivamente hasta fin de mes.El total de llamadas que hizo la secretaria en dicho mes es:

A)36 + n(n+1)(n+2)(n+3) B)-36 + n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) C)-36 + (n+1)(n+2)(n+3)(n+4) D)46 + n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) E)-46 + (n+1)(n+2)(n+3)(n+4) 17. La casa comercial De Todo para el Hogar S.A. para masificar las ventas de sus refrigeradoras que tienen un precio de costo de $ 1 400, está planeando introducir al mercado el programa “Y dejas de Pagar”, cuyas características serían: junta de 24 clientes; cada mes se efectuaría un sorteo y el cliente agraciado se adjudicarías la refrigeradora dejando de pagar las cuotas restantes; el número total de sorteos sería de 23. Si la empresa quiere ganar $ 200 por cada refrigeradora, el importe de la cuota constante que deben pagar los clientes, es: A) 128

B) 120

D) 240

E) 200

B) 23

D) 46

E) 80

C) 44

19. En una empresa 20 trabajadores cobran mensualmente entre todos el equivalente a la suma de los cuarenta términos de la sucesión: 7; 10; 15; 22; 31;… Si todos reciben la misma cantidad, entonces cada trabajador cobra: A) 1 119

B) 1 230

D) 1 310

E) 1 500

B) 347

D) 348

E) 340

C) 349

22. Pedro va a la tienda a comprar un caramelo y le regalan otro caramelo, en la segunda vez compra 3 caramelo y le regalan 2 , la tercera vez compró 6 y le obsequiaron 3; en la cuarta vez compró 10 y le regalan 4 y así sucesivamente. Los caramelos querecibe en total cuando va a la tienda por vigésima cuarta vez son: A) 3000

B) 2900

D) 850

E) 700

C) 2950

C) 256

18. En un proceso de fabricación, cada día se elaboran 3 productos más de los que se elaboraron el día anterior. En el último día se fabrican tantos productos como el quíntuplo del número de días trabajados en total. Si los productos elaborados en el primer y último día suman 143, la mitad del número de productos elaborados el segundo día es: A) 22

A) 346

C) 1 245

20. Sea “S” la suma de los 2n términos de una serie en la cual cada término del lugar par es igual a “a” veces el término que sigue, y cada término del lugar impar es igual a “c” veces el término que sigue, siendo el primer término la unidad. El valor de S es:

23. Mariela debe leer su libro de Historia en un número determinado de días y se da cuenta que si lee 13 páginas diarias logrará su cometido, pero si lee 1 página el primer día, tres el segundo,cinco el tercero y así sucesivamente, le faltarían aún 12 páginas por leer.Luego las páginas que tiene dicho libro son A) 147

B) 149

D) 160

E) 172

C) 156

24. Rosmery es una niña que le gusta la lectura yordena sus libros en su biblioteca, donde ha ubicado estantes desde la puerta hasta el fondo formando una fila. En cada estante hay 10 cajones;en el primer cajón del primer estante hay una obra; en el segundo cajón hay dos obras , en el tercero tres obras y así sucesivamente.Enel segundo estante, en el primer cajón tiene 11 obras; el segundo cajón 12 obras; el tercero 13 obras y así sucesivamente. Las obras que habrá en total en el noveno estante son: A) 776 D) 656

B) 855 E) 500

C) 785

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

SESIÓN Nº 05 Prof. Marcial Vásquez Medina

TÉCNICAS DE CONTEO Y TOPOLOGÍA 1.

Los números de 5 dígitos que se pueden formar en el sistema de base 6, con la condición que las dos cifras de mayor orden siempre sean consecutivas, son: A) 1944 D) 4375

2.

B) 2160 E) 6480

8.

En las Olimpiadas internas delCepunt se ha decidido realizar un concurso para decidir el logotipo que lo representará. Las bases indican que se deben emplear solamente triángulos y circunferencias, todas de distinto color y además contarse la máxima cantidad de puntos de intersección entre las figuras. El Ingeniero José Luis Salazar en su participación dibujó 4 circunferencias y contó 372 puntos, luego la cantidad de colores que empleó fue: A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

9.

La longitud mínima en centímetros que debe recorrer un insecto para por todas las líneas en la siguiente figura es:

C) 3125

Siendo abcd la cantidad de números de cuatro cifras significativas que tienen como producto de sus cifras un número par entonces el valor de bc  ad es: A) 49

3.

B) 72

C) 23

D) 64E) 37

Dada la siguiente sucesión de figuras:

12 cm

14 cm

El número total de cuadriláteros en el siguiente gráfico es: 1

A) 3n

2

C) 240

D) 282

E) 302

10. Una hormiga se encuentra en el vértice M del ladrillo, como se indica en la figura. En el vértice N se encuentra la entrada de su nido que está debajo del ladrillo. La longitud de la trayectoria más corta que describe la hormiga para llegar a N es: M

A) 14,87 cm B) 15 cm

3

...

...

...

n (n  1) 2 n (n  3) C) 2 n (n  5) D) 2 n (n  7) E) 2

B)

B) 226

C) 19,19 cm D) 19,21 cm 9 cm

4.

A) 202

10 cm

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 …

Si en la figura 20 hay “K” triángulos más que el total de triángulos de las tres primeras figuras, el valor de “K” es: A) 360 B) 410 C) 436 D) 483 E) 530

9 cm

10 cm

16 cm

E) 21 cm

n

2 cm

N

11. Se tiene el siguiente esquema de líneas donde está 5.

6.

7.

Roxana apila cubitos y forma un paralelepípedo con 5 cubitos en el largo, 4 en el ancho y 7 en la altura.

Enseguida cuenta ̅​̅​̅​̅​̅ paralelogramos en una de las caras que tiene más cuadradosy ̅​̅​̅ cuadrados en una de las caras que tiene menos paralelogramos. El valor de a + b + c + d es: A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 Si a un conjunto de rectas secantes se le agrega una más, el número máximo de puntos de intersección aumenta en un quinto del total. El número original de rectas secantes es: A) 12 B) 10 C) 11 D) 15 E) 13 A un conjunto de ̅​̅​̅ rectas secantes se le quita cuatro rectas y el número máximo de puntos de intersección disminuye en 90. Si enseguida se agregan “a + b” rectas entonces el máximo número de puntos de intersección será: A) 300 B) 325 C) 346 D) 361 E) 378

formado por cuadrados simples de 16 cm2 de área.

Una hormiga, recorriócompletamente por todaslas líneas del gráfico a una velocidad de 20 cm por minuto,el menor tiempo utilizado es: A) 9 min 24 s

B) 10 min

D) 11 min 30 s

E) 12 min

C) 11 min

12. Se tiene dos sólidos geométricos regulares, un octaedro y un tetraedro de igual arista que se unen por uno de sus vértices y forman un poliedro no convexo. Si cada arista mide 7 cm y una hormiga las recorre en el menor tiempo posible entonces su recorrido mínimo en centímetros es: A) 112 B) 133 C) 84 D) 98 E) 105

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

13. Una hormiga se encuentra en el centro de un

9.

rectángulo de 60 centímetros de perímetro la hormiga se dirige a uno de los vértices, entonces la mínima distancia posible expresada en centímetros que dicha hormiga tendría que recorrer es:

15 2 2

D) 15 2

E)

15 2 5

C)

1.

La cantidad de números pares capicúas de siete cifras que tiene como suma de sus tres cifras centrales quince es: A) 150

2.

3.

B) 11 025

D) 27 250

E) 28 800

A) B) C) D) E)

C) 22 050

B) 6560

C) 4160 D) 6180

B) 100

1.

E) 6200

C) 160 D) 180 E) 200

La cantidad de números impares capicúas de “n” dígitos (n impar y mayor que 5) que tienen como suma de sus tres cifras centrales un impar de un dígito distinto de la unidad es

2.

C) 179

D) 180

2

C) 123

D) 125

B) 6

C) 7

D) 8

B) 81 E) 100

...

19 20

a)

E) 127

E) 9

Marleny tiene ciertos números de cubitos, con las cuales desea construir un cubo más grande.En un primer intento le sobran 14 cubitos, en un segundo intento aumenta un cubito en cada arista, pero le faltan 5 cubitos. Entonces la cantidad de cubitos que tiene Marleny es: A) 70 D) 95

4

E) 199

Si la figura está formada por cubitos que tienen las mismas dimensiones, entonces el número de cubos formados por ocho cubitos, es:

A) 5

3

1

¿Cuántos números mayores a 113 y menores a 1000 existen, tales que en su escritura sólo se utilizan cifras impares?

B) 121

. Hallar a + b.

En la siguiente figura:

39 que 65 tengan como denominador un número de 3 cifras es

3.

4.

8.

Una caja y la que dice 1 pulgada Una caja y la que dice 2 pulgadas Una caja y la que dice 3 pulgadas Dos cajas y las que dicen 1 pulgada y 3 pulgadas Dos cajas y las que dicen 2 pulgada y 1 pulgadas

El número de fracciones equivalentes a

B) 15

101

INSTRUCCIÓN.- A continuación te proponemos ítems sin alternativas de respuesta. Plantea, resuelve y confirma tu respuesta con tu profesor.

Se escribe en forma consecutiva todos los de tres cifras que empiezan en siete. Luego el número de cifras que no son siete es:

A) 119 7.

E) 1000

En la escritura de los 9999 primeros números la cantidad de números que no tienen alguna cifra tres en su escritura son:

A) 14 6.

D) 800

A) 2 030

A) 140 5.

C) 450

10

10. Koky tiene 4 cajas iguales, en una de ellas coloca clavos de 1 pulgada; en dos de ellas, clavos de 2 pulgadas, y en la cuarta, clavos de 3 pulgadas. Luego las cierra y empaqueta, pero al momento de roturarlas se equivoca en todas. Para poder roturarlas correctamente, el número de cajas que como mínimo deberá abrir y cuáles de ellas son, es:

Un cuadrado se divide en 196 cuadraditos iguales. La cantidad total de diagonales que se pueden trazar en todos los paralelogramos que se pueden observar es:

1354

4.

B) 200

5

A) 213 B) 230 C) 231 D) 236 E) 264

15 2 3

ADICIONALES

2

.

B)

1

..

A) 15 2

En la figura la cantidad total de triángulos es:

C) 90

¿Cuántos triángulos hay en total en la figura adjunta? b) ¿Cuántos cuadriláteros hay en total en la figura adjunta?

Pedro traza “n” triángulos y “n-1” circunferencias en cambio Violeta traza “n-1” triángulos y “n” circunferencias, con la condición que se observe la máxima cantidad de puntos de intersección entre las figuras. Si Pedro halló 28 puntos más que Violeta entonces ¿cuántas circunferencias trazaron en total?

En la figura se muestran 6 puntos. Calcular la menor longitud que debe recorrer la punta de un lápiz sin levantarla del papel, para poder dibujar todos los triángulos rectángulos que tienen dichos puntos como vértices.

2cm

2cm

4cm

4cm

2cm

2cm

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

SESIÓN Nº 06 Prof. Jorge Yañez Diaz

ANÁLISIS COMBINATORIO 1.

Las maneras diferentes en que podrán sentarse “w” personas en una mesa redonda de “w –1” asientos es: A)w(w-1)!

B)(w-2)w!

C)(w-1)w!

D)(w-2)w!

2.

4.

B)144

6.

D)360

E)288ç

Se tiene 8 perlas diferentes, con las cuales se desea formar una pulcera, entonces las formas en que se podran formar la pulcera sabiendo que 3 perlas siempre deben estar juntas es: A)5!

B)6!

C)6.6! D)5.6!

E)7!

Katherine posee 3 anillos distintos. Las maneras que puede colocarlos en sus dedos de la mano izquierda, colocando sólo un anillo por dedo, sin contar el pulgar son: A) 12 D) 120

5.

C)240

B) 24 E) 720

C) 36

Fabricio tiene que resolver 10 preguntas de 13 en un examen. Las maneras de escoger las preguntas que tiene son: A) 286 B) 1 037 836 C) 65 D) 130 E) 2 3556 El número de triángulos que se pueden trazar por “n” puntos no colineales es: n(n  1)(2n  1) n(n  1)(n  2) B) 6 6 n(n  1)(n  2) n(n  1) C) D) 6 2

A)

E) 2n+4 7. El número de maneras distintas en que se puede obtener 2 caras, 2 sellos y puntajes que sumen más o igual a 10, al lanzar 4 monedas y 2 dados, es: A) 8 B) 12 C)16 D )24 E) 36 8. Fabrizio lleva a sus “x” amigos al cine y deciden sentarse en una fila de “x + 1” asientos juntos; entonces el número de maneras que podrán sentarse, si Gerlinde y Katherine deciden estar siempre juntas y además al lado de Fabrizio, es: ) ) A) ( B)) ( ) ) C) D) ( E) ( 9.

A)

(

D)

Las maneras distintas, en que 5 atletas pueden llegar a la meta en una carrera de 5000m planos , si a lo más pueden empatar dos de ellos es: A)120

3.

E)w(w-2)!

mujeres y varones lo hacen con un besito, entonces el número de besitos que hubo es:

A una fiesta asisten “n” mujeres y (n + 1) varones. Si al terminar la fiesta, todos se despiden y se observa que los varones se dan la mano y entre mujeres o

) E)

B) (

(

)

C)

(

)

)

10. El departamento de evaluación del colegio Rafael Narvaez Cadenillas debe elaborar una prueba de 6 preguntas, para ello dispone de 5 preguntas fáciles, 4 intermedias y 3 difíciles. Si el número de preguntas fáciles debe ser estrictamente mayor que las intermedias y el número de preguntas intermedias debe ser mayor o igual que las difíciles; entonces el número de formas diferentes que se puede elaborar la prueba, es: A) 30 B) 60 C) 120 D) 180E) 274 11.Un grupo musical está formado por 3 vocalistas, 5 músicos y 2 de coro. Si para salir al escenario deben hacerlo en fila debiendo estar los del coro a los extremos y los vocalistas no deben estar al costado del coro, entonces el número de maneras diferentes que se pueden ordenar en fila para salir al escenario, es: A) 4x6!

B)6x6!

C) 2x5!x5!

D) 2x5!x6!

E) 2x3!x5!

12.Un grupo musical está formado por seis varones y cinco damas . Si para salir al escenario deben hacerlo en fila, entonces el número de maneras diferentes que podrán salir, si una mujer no puede salir detrás de otra mujer, es: )( ) A) ( B)( )( ) )( ) C) 2x5!x5!

D) ( E) ( )( ) 13. Si en una sesión de conferencias van a hablar seis oradores A, B, C, D, E,,F. Entonces el número de maneras diferentes que pueden ordenar los oradores si B no debe preceder a C , es: A) 260

B)280

C) 320

D)360

E)380

14. Anita participa en un concurso donde debe adivinar el precio de un producto. Si el animador le dice: El precio tiene 3 dígitos enteros y 2 decimales, los dígitos enteros pueden ser 1; 2; 3; 7; 8 y los dígitos decimales 6 y 9; además el precio es mayor que 300, entonces el número de maneras que se puede dar el precio, si se permite la repetición sólo de los dígitos 1 y 2; es: A) 24 B) 32 C) 72 D) 84 E) 56 15. Oliver testigo del robo a una empresa, cuando fue interrogado por la policía, informó: el auto utilizado por los ladrones tenía una placa de 6 símbolos, los tres primeros eran vocales y los tres últimos eran dígitos

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

mayores que 3 y además no habían dos símbolos iguales,¿ Cuántos autos deberá investigar la policía ?

A) 6!

B) 4!5!

C) 6.5!

D) 10.6!

E) 5!.6!

16. Un niño observa en su mesa que hay cinco naranjas y seis manzanas además el debe tomar al menos dos frutas distintas y a lo más dos naranjas. Las maneras que lo puede hacer es: A) 945 B) 315 C) 640 D) 320 E) 630 17. Tenemos una caja con diéz bolas numeradas Luego las maneras que podemos sacar primero cinco bolas, luego tres bolas y finalmente dos bolas es: A)563 B) 504 C345 D)432 E)385 18. Pedro tiene 10 libros de matemática y Julio tiene 8 libros de Física. Las formas que pueden intercambiar dos libros de uno por dos del otro es: A) 1450 B) 1235 C) 1640 D) 1620 E) 1567 19. Fredy, tiene 6 amigas. Las maneras que puede invitar al cine a una o más de ellas es: A)63 B) 54 C) 34 D)42 E)35 20. Cuatro chicas y 2 varones van al cine y encuentran 6 asientos juntos en una misma fila, donde desean acomodarse.Las maneras diferentes que pueden ubicarse si las cuatro chicas quieren estar siempre juntas es: A) 72 B) 36 C) 48 D) 120 E) 144 21. A Gerly le gusta colocarse anillos en todos los dedos de las manos, menos en los pulgares. Si ella tiene 4 anillos distintos,Las maneras que pueden colocarse los anillos es: A) 1680 B) 81 C) 48 D) 24 E) 336 22. Seis amigos llegan a matricularse en un centro de estudios que dispone de 30 aulas (enumeradas del uno al treinta). Las maneras en que se les puede distribuir de modo que siempre ocupen aulas diferentes es: A) 30! – 6!

B) 6!

C)

30!

6!

D)

30!

23!

E) 30!

23. Asisten a una clase 36 alumnos y todos los días explican la lección tres de ellos.La profesora desea que los tres alumnos no sean los mismos en ningún día.Luego el tiempo en que lo podrán hacer es: A) 1050 días B) 1200 C) 7140 D) 7200 E) 5520 24. De cinco números positivos y siete números negativos, se eligen 4 números arbitrariamente sin sustitución y se multiplica.Luego las formas que se puede obtener producto positivo son A) 210 B) 300 C) 250 D) 290 E) 280

24!

25. Con todas las letras de la palabra AMARRAS Las palabras diferentes que se pueden formar , sin importar lo que diga, sin que en ningún caso la ‘M’ y la “S” deben estar juntas es: A) 280 B) 310 C) 120 D) 420 E) 360 26. Si Juan tiene quince amigos, entre los cuales hay dos matrimonios y cada persona casada siempre asiste con su pareja a cualquier reunión; entonces el número de maneras que se pueden seleccionar a 10 amigos para invitarlos a una reunión , es: A) 110

B) 330

C) 462

D) 803

E) 262

27. De un grupo de nueve personas se quiere escoger a 7 para abordar un bote con 6 remos y un timón, entonces el número de maneras diferentes que se pueden ubicar, sabiendo que de las 9 personas solo 3 pueden llevar el timón es: A) 6!7!

B) 12 x 6!

C) 42

D) 2. 3!7! E) 9!6!

28. Si tres hombres y cinco mujeres se van a sentar alrededor de una mesa circular de 8 asientos, luego el número de maneras diferentes que podrán sentar, de tal manera que entre dos hombres cualesquiera haya al menos una mujer, es: A) 4! 6!

B) 3! 5!

C) 3! 4! 5!

D) 2! 3! 5!

E) 4! 5! 6!

29.Si una persona tiene 5 camisas (crema, azul, roja, amarilla y negra);5 pantalones de los mismos colores y 5 corbatas también de los mismos colores,entonces el número de maneras que puede vestirse ,cuidando que la camisa, pantalón y corbata sean de colores diferentes, es: A) 120

B) 93

C) 85

D) 73

E) 60

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

SESIÓN Nº 07 Prof. Jorge A. Saavedra L.

PROBABILIDAD 1. En una reunión están presentes un grupo de 8 norteamericanos, 5 ingleses y 3 franceses. Si se va a seleccionar un comité de cinco personas, entonces la probabilidad de que el comité este compuesto por 2 norteamericanos, 2 ingleses y un francés, es: A) 3/5

B) 7/13

D) 1/9

E) 31/63

C) 5/26

2. Un monedero contiene seis veces más monedas de un sol que de dos soles, entonces al extraer al azar una moneda, la probabilidad de que dicha moneda sea de un sol, es: A) 3/7

B) 5/8

D) 3/8

E) 1/7

C) 7/8

3. Con 7 frutas distintas, entre ellas la papaya, se preparan todos los jugos posibles que tienen por lo menos 3 frutas. La probabilidad que al hacer un pedido, éste no contenga papaya, es: A) 1/7

B) 6/7

D) 63/27

E) 14/33

C) 41/99

4. En una urna hay 24 bolas de 3 colores diferentes. Si al sacar una bola cualquiera las probabilidades de que salgan: Una roja es 0,5; una verde es 0,375 y una azul es 0,125; entonces el exceso del número de bolas rojas respecto a las azules, es: A) 3

B) 4

D) 8

E) 9

B)2/5

D) 4/5

E) 1/6

C) 1/4

6. Si se lanzan tres dados simultáneamente, entonces la probabilidad de obtener exactamente un uno, es: A) 25/72

B) 1/2

D)1/72

E) 1/18

C) 7/20

7. Un gato persigue a tres ratones que huyen hasta esconderse en 5 agujeros que están frente a ellos. Si la probabilidad de que cualquier ratón entre a cualquier agujero es la misma, entonces la probabilidad que dos ratones se escondan en un mismo agujero, es:

8.

A) 1/125

B) 6/125

D) 1/5

E) 3/25

C) 12/25

Si 8 niños y 5 niñas forman una fila para tomarse una fotografía, entonces la probabilidad de que ninguna de las mujeres queden juntas, es: A) 10/143

B) 11/143

D) 14/143

E) 12/143

A) 4/15

B)7/13

D) 2/33

E)7/25

C) 4/11

10. Si al lanzar un dado la probabilidad de que salga 5 ó 6 es el doble de las demás caras, entonces la probabilidad de que salga 5 ó 6, es: A) 1/6

B)1/3

D)1/4

E) 1/8

C) 2/3

11. Un juego consiste en el lanzamiento de una moneda y tres dados, estos últimos numerados Del 1 al 6. Si para mantenerse jugando se debe obtener siempre números distintos en los dados, entonces La probabilidad de ser eliminado en un lanzamiento es: A) 8/15

B)12/27 C) 9/20

D)1/4

E) 13/20

12. Si se lanzan seis monedas y un dado, entonces La probabilidad de que el número que se obtenga en el dado sea igual al número de caras obtenidas, es: A) 21/128

B)17/135

D)13/164

E) 19/142

C) 31/192

C) 6

5. Si una moneda se lanza seis veces, entonces la probabilidad que se obtenga cara en los lanzamientos primero y último, es: A)1/3

9. Una caja contiene 5 bolas rojas y 6 verdes. Se lanza un dado y se extrae 3 bolas verdes si resulta par el puntaje del dado, o 2 rojas si es impar, entonces la probabilidad de extraer 3 bolas de color verde, es:

C) 13/143

13. Ocho amigos participan en un campeonato de ajedrez, este grupo está formado por dos parejas de casados, tres jóvenes y una chica. Si las mujeres tienen La mitad de La habilidad de los hombres, entonces La probabilidad que una mujer casada gane, es: A) 1/13

B)2/13

D)7/13

E) 6/13

C) 4/13

14. Una caja contiene cuatro monedas: una moneda es corriente, La otra moneda tiene dos caras, la otra dos sellos y la última está cargada de modo que la probabilidad de obtener sello es 1/5; entonces la probabilidad de que al seleccionar una moneda y lanzarla se obtenga cara, es: A) 17/40

B)11/20 C)17/30

D)23/40

E) 21/40

ADICIONALES. 1. En una caja hay 20 fotografías en la cual hay 6 mal tomadas. Luego la probabilidad de tomar dos fotografías, las cuales dos sean defectuosas, es: A) 3/25

B) 5/28

D) 3/38

E) 5/41

C) 2/33

2. Al tirar tres dados, ¿Cuál es la probabilidad de que el producto de los tres números obtenidos sea menor que 216?

CEPUNT 2011 – II A) 1/3 D) 125/216

B) 2/3 E) 215/216

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO C) 5/6

3. Dos estudiantes están matriculados en un curso. El estudiante A asiste a clase el 80% de los días y el estudiante B el 60%, y sus ausencias son independientes. Entonces la probabilidad de que, al menos, uno de los dos estudiantes esté en clase un día cualquiera, es: A) 0,08

B) 0,92

D) 0,64

E) 0,40

C) 0,48

4. En la UNT. El 30% de los estudiantes son costeños, el 10% estudian ingeniería mecánica, el 1% son costeños y estudian ingeniería mecánica. Si se selecciona al azar un estudiante de la UNT., entonces la probabilidad de que éste sea costeño o pertenezca a la carrera de ingeniería mecánica, es: A) 0,30

B) 0,39

D) 0,60

E) 0,70

C) 0,50

5. En una caja hay 14 focos, de los cuales 10 son buenos, tomándose uno por uno dichos focos, entonces la probabilidad de que al tomar en octavo foco éste sea el cuarto malo, es: A)7/20

B)12/171

D)23/50

E) 9/112

C)5/143

6. Por aniversario del CEPUNT, el director, promueve un juego entre sus docentes, el cual consiste en que los profesores hagan llegar sus pronósticos de las posiciones finales de un campeonato de bulbito en que participan cinco equipos. Se otorgará premios a los docentes que acierten con los equipos en al menos dos de las tres posiciones ganadoras. Si Marcial, un docente muy afortunado, participa del juego, entonces la probabilidad que gane, es: A)1/10

B)2/15

D) 11/50

E) 3/5

C)7/60

7. Dos personas A y B son distribuidas al azar en tres oficinas numeradas con 1; 2 y 3 respectivamente, pudiendo estar ambas en una misma oficina, entonces la probabilidad que la oficina 2 se quede vacía, es: A)2/9

B)3/9

D)5/9

E) 6/9

C)4/9

8. Sean A y B dos eventos independientes tales que la probabilidad que ocurran simultáneamente es 1/6 y la probabilidad de que ninguno ocurra es 1/3, entonces la probabilidad de que ocurra A más la probabilidad de que ocurra B, es: A)2/3

B)1/3

D)4/5

E)1/2

C)5/6

9. Suponga que un sorteo la probabilidad de ganar el primer premio es 2/5 y la de ganar el segundo premio es 3/8. Si la probabilidad de ganar al menos uno de los dos premios es ¾, entonces la probabilidad de ganar solo uno de los premios, es:

A) 1/8

B) 7/40

D) 17/40

E) 29/40

C) 11/40

10. Si se lanzan dos dados, entonces la probabilidad de obtener una suma de por lo menos de 10 puntos, es: A) 2/3

B) 1/4

D) 1/2

E) 3/4

C) 1/6

11. En un concurso participan 7 alumnos y 8 alumnas, si deben haber dos ganadores, entonces la probabilidad de que los ganadores sean una pareja mixta, es: A) 8/17

B)5/11

D)8/15

E) 4/9

C) 7/13

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

SESIÓN Nº 08 Prof. Braulio Briceño Roldán

PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES 1.

Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite.

Reponemos 38 litros y el bidón ha quedado lleno hasta sus 3/5 partes. Determinar la capacidad del bidón

Tres hermanos se reparten3900 soles, el mayor recibe los 8/13 que es el doble del mediano, y el pequeño recibe la cuarta parte del mediano.

Determinar lo que recibe el mediano.

A) 63

A) 300

B) 800

D) 1200

E) 1600

D) 78 2.

3.

6.

7.

E) 80

A) 6 y 14

B) 8 y12

D) 16 y 4

E) 20 y 4

C) 12 y 8

En una librería, Koky compra un libro para su hijito con la tercera parte de su dinero, y un comic con las dos terceras partes de lo que le quedaba.

Al salir de la librería tenía 12 soles. Entonces la cantidad de dinero que tenía Koky, es: 42

D) 65

5.

C) 73

José Luis hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 litros de gasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera consumió 2/3 de gasolina que tenía el depósito y en la segunda etapa la mitad de gasolina que le queda.

Determinar el número de litros de gasolina consumido en cada etapa.

A)

4.

B) 68

8.

B) 46

C) 54

E) 70

Yáñez le dice a Koky: Las dos cifras de un número son consecutivas. La mayor es la de las decenas y la menor de las unidades. El número es igual a seis veces la suma de las cifras.

Determinar el número.

A) 48

B) 52

D) 64

E) 72

C) 54

César le dice a su amigo Braulio: las tres cuartas partes de la edad de mi padre excede en 15 años a tu edad. Hace cuatro años la edad de mi padre era el doble de tu amigo. Determinar las edades de ambos.

A)36 y 68

B) 48 y72

D) 36 y49

E) 30 y 46

C)32 y 58

Dos obreros trabajando juntos, tardan en hacer un trabajo en 14 horas. Determinar los tiempos que tardaran en hacerlo por separado si uno es el doble de rápido que el otro.

A) 16 y 32

B) 21 y 42

D) 23 y 46

E) 24 y 48

C) 22 y 44

Cesar tiene dos clases de vinos caseros uno de seis soles el litro y el otro de 7.2 soles.

Determinar el número de litros que debe poner en cada clase de vino para completar 60 litros de mezcla a 7 soles el litro.

A) 10 y 50

B) 15 y 45

D) 22 y 38

E) 24 y 36

C) 20 y 40

9.

C) 900

En un control de conocimiento había que contestar 20 preguntas. Por cada pregunta bien contestada dan tres puntos y por cada pregunta mal contestada quitan dos puntos. Determinar el número de preguntas que acertó Willy si obtuvo 30 puntos y además contesto todas.

A) 13

B) 14

D) 16

E) 18

C)15

10. Un reloj marca las 2 en punto. Determinar la hora en que las agujas formaran por primera vez un ángulo recto.

A)9 1h 35min

B) 1h 32min C)2h27min

D)2h34min

E) 2h 40min

11. Braulio le dice a su amigo willy, si tienes un lingote de oro de ley 0.950 que pesa 6300 gramos. Determina qué cantidad de cobre puro se habrá que añadir para rebajar su ley a 0.900.

A) 350g

B) 360g

D) 472g

E) 572g

C) 420g

12. Jorgito el rey del café, tiene dos clases de café, la primera de S/: 40.00 el kilo y la segunda a S/: 60.00 el kilo. Determinar cuántos kilogramos hay que poner en cada clase de café, para obtener 60 kilos de mezcla a S/. 50.00 el kilogramo.

A) 20 y 40

B) 21 y 39

D) 30 y 30

E) 32 y 28

C) 22 y 38

ADICIONALES(Tarea Domiciliaria) 13. Cuándo entre los tres teníamos 180 años, tu tenías lo que yo tengo, yo lo que Carlos tiene, y él la tercera parte de lo que tu tendrás cuando entre los tres tengamos 300 años y yo tenga lo que tú tienes y Carlos los que yo tengo. Tú eres mayor que yo, y si yo tuviese lo que tengo, tuve y tendré, tendría 240 años. Determinar los años que tengo ahora.

A) 4

B) 6

D) 10

E) 11

C) 8

14. Tú tienes la mitad menos de 5 años de la edad que yo tendré cuando tú tengas lo que yo tenía cuando tú tenías la cuarta parte de lo que yo tuviese, si tendría 10 años más de lo que tendré

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

y tú los que te he dicho que tienes, entonces entre ambos tendríamos 110 años. Determinar la edad que tengo.

A) 4

B) 6

D) 10

E) 11

C) 8

15. Jorge le dice a Luis: la suma de nuestras edades es 46 años y tu edad es el triple de la edad que tenías cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací. Entonces la edad de Luis tiene actualmente, es: A) 4

B) 6

D) 10

E) 11

C) 8

16. Un reloj marca las tres en punto. Determinar a qué hora entre las 3 y las 4 se superpondrán las agujas.

A) 2h 15min

B) 3h 16min 21 s

D) 3h 22min

E) 2h 14min 22s

C) 3h 18min

17. Dos ciclistas salen en sentido contrario a las 9am de los puntos A y B situados a 130km distancia. El ciclistas que sale de A pedalea a una velocidad constante de 30km/h, y el ciclista que sale de B, a 20km/h. Determinar a que distancia de A se podrán encontrar.

A) 56km

B) 62km

D) 76km

E) 78km

C) 72km

B) 6

D) 10

E) 11

C) 8

19. Dentro de 15 años la edad de Francisco será el doble de la edad de Agusto. Calcular las edades actuales de cada uno, si hace 6 años la edad de Francisco será el triple de la edad de Agusto.

Dar la suma de las edades actuales de ambos.

A) 4

B) 6

D) 10

E) 11

C) 8

20. Un padre tiene 44 años de edad y tiene 3 hijos uno de 16 años, otro de 14 años y el tercero de 12 años. Hace cuántos años la edad del padre fue el doble de la suma de las edades de sus hijos.

A) 4

B) 6

D) 10

E) 11

21. La edad de Juan es el triple de la edad de Juana, pero dentro de 50 años ella tendrá 7/11 de lo que el tena. Determinar la edad que tenía Juan cuando Juana tenía 10 años.

Rpta:………..

22. Paola tiene el cuádruple de la edad de Paulo que tiene 15 años. Determinar los años que pasaran para que la primera tenga el doble de la edad del segundo.

Rpta:………

23. Dentro de 4 años, el cuadrado de la edad de Javier será igual al cuádruplo que tendrá dentro de 28 años disminuida en 16. Determinar cual es la edad actual de Javier Rpta:………

24. Yo tengo una edad que es el triple de la que tú tienes, pero él tiene el doble de la mía, si dentro de 9 años él va a tener el triple de tú edad.

Determinar cual será mi edad dentro de 12 años.

Rpta:………

18. La edad de Daniela dentro de 9 años sera un cubo perfecto. Hace 15 años su edad era la raíz cubica de dicho cubo perfecto. Determinar cuántos años le falta para tener 30 años.

A) 4

Instrucción: A continuación te proponemos ítems sin alternativa de respuesta. Plantea, resuelve y confirma tu respuesta con tu profesor.

C) 8

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

SESIÓN Nº 09 Prof. Willy Zubiaga Vera

COMPARACION DE MAGNITUDES Y REGLA DE TRES 1. En una oficina se observa que la temperatura del ambiente es D.P. al número de trabajadores e I.P. al área del oficina. Sí una oficina cuya temperatura es 30°C tiene 40 m2 y 60 trabajadores, entonces el número de Trabajadores que tiene una oficina de 27° C de temperatura y un área de 60 m2 es: A) 64

B) 72

C) 81

D) 87

E) 91

2. Según la Ley física, la presión es Inversamente Proporcional al volumen que contiene determinada cantidad de gas. Si un gas al aumentar la presión en cuatro atmósferas, el volumen varía en 80%, entonces la presión en atmósferas a que este sometido dicho gas es de: A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

B) 13

C) 7

D) 26

4. Se sabe que la magnitud M es D.P. a N . Además cuando M = 6, N =3/2. Hallar M cuando N = 1/2.

B)

1 3

C) 2 D)

2 3

E) 1

5. En una fábrica de conserva, 80 obreras se comprometieron a entregar su lote de conservas en 20 días trabajando 9 horas diarias. Pero en 10 días habían hecho solamente 1/3 de lo ofrecido, entonces con la finalidad de entregar la obra en el plazo estipulado, tuvieron que contratar más obreras y aumentar 3 horas más el horario de trabajo diario. El número de las obreras que se tuvo que contratar fue: A. 20

B. 25

C. 30

D. 40

B. 320

C. 600

D. 620

E. 680

7. La rapidez de Ángel es el doble que la de Piero y éste es 50% más rápido que Víctor. Si Víctor hace un trabajo en 12 horas, el tiempo en que lo haría Angel, es: A) 36h

B) 24 h

C) 18 h D) 6 h

E) 4 h

8. Un ingeniero prevé la contratación de 15 obreros para hacer una obra en 18 días. Si finalmente decide contratar a los 2/3 de la cantidad de obreros que previó, entonces Los días que se retrasó la obra es: A) 9

B) 4

C) 3

C) 40 min

D) 42 min

E) 52 min

10. A una fiesta de Cachimbo acudieron 518 personas. Se sabe que por cada 6 hombres hay 8 mujeres. El número de mujeres que había en total en dicha fiesta, fue: A) 212

B) 252

C) 296

D) 320

E) 410

11. Una polea de 60 cm de radio que da 180 vueltas en un minuto mueve a otra de 40 cm de radio. El número de vueltas por minuto que dará la polea menor,es: A) 240 B) 27

C) 120

D) 135 E) 180

D) 27E) 21

12. Un atleta puede dar 12 vueltas a la pista atlética del Estadio Mansiche en 21 min. Y otro puede dar 13 vueltas en 28 min. Si los dos parten juntos. El tiempo necesario para que el primero de 18 vueltas más que el segundo.es:

13.

A) 160 min.

B) 168 min.

D) 186 min.

E) 190 min.

C) 170 min.

“3N” obreros realizan la tercera parte de una obra en un determinado tiempo. ¿Cuántos obreros deben contratarse adicionalmente para que juntos con los primeros realicen el resto de la obra en la mitad del tiempo inicial?

A) 9N

B) 12N C) 6N

D) 8N

E) 15N

E. 48

6. Se desea cercar un terreno rectangular de 280m. por 200m con un muro de 3m de altura. Un trabajador se encargo del terrajeo por un lado y el otro de la construcción. Cuando el constructor había laborado 72 días, empezó a laborar el terrajeador, el cual calculó que lo podía terrajear en 45 días, sin embargo como el constructor continúo trabajando, ambos terminaron la obra simultáneamente. Los metros de muro que le faltaba al constructor cuando se empezó el terrajeo, es: A. 280

B) 32 mi

E) 16 2

A) 6

A) 24 min

E) 5

3. La magnitud A es D.P. a la magnitud B. Cuando A = 195, resulta B = 52; por lo tanto cuando A = 30 el valor de B será: A) 8

9. Pedro, para pintar las caras de un cubo tarda 30 minutos.

Si se sabe que la rapidez de Roy es dos veces más que la rapidez de Pedro, el tiempo que tardará Roy en pintar otro cubo cuyo volumen es 8 veces el volumen del cubo anterior,es:

14. “x” obreros pueden hacer una obra en 0,75x días, trabajando 1/3 x horas diarias, Si al duplicarse dicho número de obreros hacen la misma obra en 32 horas.

El valor de “x”, es: A) 18

B) 16

C) 15

D) 14

E) 12

ADICIONALES 2

B e 15. Si A es Directamente Proporcional Inversamente Proporcional a C , cuando A = 3; B = 81 , C = 12; el valor de A cuando B = 64 y C = 24 es: A. ½

B. 2

C. 8/3

D. 4

E. 5

16. El precio de un artículo es Directamente Proporcional a su peso e Inversamente Proporcional a su volumen. Si un artículo de densidad 2,5 g/cm

3

cuesta un nuevo sol,

entonces el precio de un artículo de 600 cm kg es:

3

A. 0,50

E. 0,80

B. 0,59

C. 0,65

D. 0,78

que pesa 1,2

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

17. Diez obreros planificaron hacer una obra en 16 días, pero al finalizar el cuarto día, 2 obreros renunciaron y en su reemplazo se contrataron 2 obreros de doble eficiencias que los renunciantes. Los días de anticipación en que se entregó la obra, fue: A) 2

B) 4 C) 1

D) 3

E) 5

18.Un trujillano y dos limeños pueden hacer un trabajo en 10 días sabiendo que el rendimiento del trujillano y el limeño están en relación de 3 a 2, el tiempo necesario para que dos trujillanos y un limeño puedan hacer otro trabajo cuyo grado de dificultad sea el cuádruplo del anterior es: A) 35 días

B) 12 días

D) 34 días

E) 28 días

C) 18 días

19. Luis planta árboles con mayor rapidez que José y sus rendimientos están en la proporción de 4 a 3. Cuando José planta n árboles en una hora, Luis siembra (n + 2) árboles.

El número de árboles que siembra Luis en 5 horas, es: A) 60

B) 50

C) 45

D) 40 E) 38

20. Un grupo de ( 2 x – 10 ) hombres demoran ( n +1 ) días para hacer 1/n de una obra si para hacer el resto de la misma. ( n2-1) hombres demoran “x” días, el valor de “x” es: A) 4

B) 5

C) 7

D) 8

E) 9

21. Janet, coordinadora de matemática, decide comprar 38 buzos para sus docentes, pero al momento de pagar, su dinero no cubría el importe, por lo que tuvo que devolver un buzo y el vendedor le devolvió tanto como le faltaba para cubrir el valor de 38 buzos, si Janet tenía S/ 1425, entonces el precio de cada buzo es: A) S/ 38 B) S/ 42 E) S/ 58

C) S/ 48

D) S/ 55

22. Luz es una secretaria doblemente eficiente que la secretaria Rubí. Si ambas digitan 350 hojas en 7 días entonces en qué tiempo 4 secretarias tan eficientes como Luz y 3 secretarias eficientes como Rubí digitarán 500 hojas.

A) 5 d

B) 1 d

C) 2 d D) 4 d

E) 3 d

23. Un ingeniero acepta un contrato para realizar una obra que debe comenzar el 1 de Noviembre y terminar el 5 de Diciembre; hasta el día 14 de Noviembre inclusive trabajan 20 obreros, 6 horas diarias. Ese día el propietario le dice que necesita la obra terminada el día 24 de noviembre, entonces a partir del día 15 se contratan más obreros, trabando junto con las anteriores 9 horas diarias logrando de esta manera satisfacer al propietario; la cantidad de obreros que se tuvo que contratar a partir del día 15 fue: A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

E. 10

24. En una carpintería se ha determinado que cuatro carpinteros pueden hacer 20 escritorios en 10 días , trabajando 5 horas diarias y diez carpinteros pueden realizar 24 sillones en 5 días trabajando 6 horas diarias. La carpintería cuenta con quince carpinteros que trabajan 10 horas diarias y se han comprometido fabricar 60 juegos de escritorio (escritorio y un sillón); si primero fabrican los escritorios y luego los sillones, entonces los días que emplearán para hacer dicho pedido es: A. 4

B. 5

C. 7

D. 9

E. 11

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

SESIÓN Nº 10 Prof. Jorge Reyes Rodríguez

TANTO POR CUANTO 1.

El “a” por “b” de un número es “c”, el “b” por “d”, del mismo número es “e”. El “a” por “e” del cuadrado del mismo número es:

a e a D) d A)

B) d c

C) b.d

A) 75

d E) e

2. Liliana y Milagros han confeccionado 1200 productos.

El 60% de ellos has sido fabricados por Liliana y el resto por Milagros. Si se sabe que el 5% de lo fabricado por Liliana y el 10% por Milagros son defectuosos. Entonces el número de productos defectuosos que hay en los 1200 artículos?

A) 48 3.

5.

C) 84

D) 76

E) 72

Un comerciante compró una computadora por $1200 y al venderla prevé ganar el 1 por 6 del precio de vente. El porcentaje del precio de costo que va a ganar es: A) 6%

4.

B) 36

B) 15% C) 20%

A) 24%

B) 38%

D) 12%

E) 44%

C) 36%

Un comerciante al vender 4 televisores en S/ 1848 cada uno, se dio cuenta que en la primera venta ganó el 32% y en la otra perdió el 16%, 12% y 4%respectivamente. Luego la conclusión del comerciante es: A) Gané 233 soles

B) Perdí 775 soles

C) Gané 775 soles

D) Perdí 233 soles

E) No gané, ni perdí 6. Se vende un producto en S/. 500.00 ganando el 25% del costo, pero por el incremento de impuestos el costo del artículo aumenta en un 5%. Para seguir ganando el mismo tanto por ciento, entonces se debe vender el mismo artículo en: B) 515 C) 520 D) 525 E) 530

7. Un vendedor decide aumentar en x% el precio de un artículo, pero al momento de venderlo realiza una rebaja del y%, notando ahora que el precio es igual al inicial. Entonces decide rematarlo, para lo cual realiza dos descuentos sucesivos del x% y del y%. Si se sabe (x/5) y (y/5), son números enteros consecutivos.

Entonces el porcentaje equivalente de descuento, es: A) 30

B) 34

C) 38

B) 80

C) 90

D) 96

E) 100

9. Se vende un artículo con un descuento del 20%, ganando el 30% del costo, si sus gastos representan el 10% de su costo. Si el precio fijado excede en 144 soles a la ganancia, el precio de venta, es: A) 57

B) 64

D) 93

E) 104

C) 110,32

10. Al precio fijado de un artículo se hizo un descuento de  16,6% y se ganó 20 soles, si se le hubiera hecho un descuento del 10% se ganaría 28 soles. Entonces en cuanto se debe fijar el precio de venta para que al hacer un descuento del 20% se gane 40 soles.

A) 150

B) 160 C) 165 D) 168 E) 170

D) 30% E) 40%

En las elecciones para el concejo menor de el Trópico- Huanchaco. Si el 48% de los su fragantes eran mujeres y el 25% de ellas votaron por la lista A, que además obtuvo los votos del 50% de los hombres. Entonces el tanto por ciento de los su fragantes que votaron por la lista A, es.

A) 510

8. El costo de fabricación de un artículo es de 400 soles.

El fabricante lo vende al comerciante ganando n% y éste al consumidor con una ganancia del 2n% sobre su precio de compra. Si el consumidor paga 750 soles por el artículo entonces la ganancia del fabricante, es:

D) 40

E) 44

11. Si “x” disminuye en 19%, “y” aumenta en 10%.

Entonces el porcentaje que varía la expresión:

4 E   R3 y 2 x , es: 3 A) Disminuyó 8,9%

B)Aumentó 10,8%

C) Disminuyó 108,9% D) Aumentó 8,9% E) Aumentó 1,8% 12. El queso pierde al secarse la quinta parte de su peso, un comerciante ha comprado queso fresco, lo deja secar y vende el kilo de queso seco a S/ 50, ganando el 25% de su respectivo precio de compra. El precio de un kilo de queso fresco es: A) 36

B) 32

C) 28

D) 25

E) 2

13. Dos recipientes “A” y “B” contienen vino. El recipiente “A” está lleno hasta la mitad, el “B” en un tercio de su volumen. Se completan las capacidades de “A” y “B” con agua, vertiéndose las mezclas en un tercer recipiente “C”, si la capacidad del “B” es el doble de la capacidad de “A” determine el porcentaje de vino que contiene la mezcla en “C”.

A) 33% B) 35% C) 37% D) 32% E) 39% 14. En un salón de clase el 25% son mujeres. Si el 80% de las mujeres y el 60% de los varones ingresan al aula, entonces ¿qué porcentaje de los varones que no ingresan al aula son mujeres?

A) 83.3%

B) 72%

D) 91,5%

E) 90%

C) 85%

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 9.

ADICIONALES (Tarea Domiciliaria) 1. Tengo El 90% de lo que tenía ayer, que eran 20 soles más. Si gasto 20 soles más que el 50% de lo que tengo; entonces mañana tendré: A) 50

B) 55

C) 60

D) 65

A) 13% Pv B) 13% Pc

" x" u 2 y ahora se puede colocar una esfera máxima de " y" u 2 de área Entonces qué tanto por ciento es “Y” mayor que “x”

E) 70

2. En un centro comercial, para fijar el precio de venta para un artículo se aumentó el 30% de su costo, pero al vender se hizo una rebaja del 10% del precio fijado.

Entonces el porcentaje del costo que se gano es:

Un cubo metálico es calentado hasta que su volumen inicial aumentó en 13,1%.Si antes de calentar el cubo ,la esfera máxima que podía contener tenía área

10.

C) 17% Pv

D) 17% Pc E) 19% Pv

A) 20 %

B) 21 %

D) 26 %

E) 28 %

En la venta de una calculadora, gané tanto como rebajé, que es el 20% de lo que me costó. ¿Cuánto pensaba ganar sin rebajar , si me costó 80 soles más de lo que gané?

A) 25

3. De un recipiente lleno de agua retiro el 40% de lo que no retiro, de lo que he retirado devuelvo el 40% de lo que no devuelvo, quedando ahora 78 litros en el recipiente. Entonces el número de litros que no devolví, es: A) 8

B) 9

C) 18

D) 19

E) 20

4. Liliana le dice a Rosa, si perdiera el 25% de lo que no perdí, perdería en total el 200% de lo que perdí. Así de esta manera lo que no he perdido es S/. 400.00 menos de lo que realmente no perdí. Entonces el 20% de lo que tenía Liliana es: A) 2000

B) 1600C) 400

D) 200

12.

E) 100

5. César compra un artefacto y lo vende con un beneficio del 8%, si hubiera ganado el 8% del precio de venta anterior habría ganado 8 soles más, entonces el precio de venta de dicho artículo, es: A) 1150

11.

B) 1200C) 1250D) 1350 E) 1400

13.

A) 87,5 %

B) 88,5 %

D) 90 %

E) 95 %

C) 80 %

7. En un establo el 45% son caballos y el resto yeguas, el 35% son blancos y el resto negros .Si la diferencia entre yeguas negras y caballos blancos es 30 y la diferencia entre los caballos negros y yeguas blancas es de 15.Entonces el numero de animales entre caballos y yeguas que hay en el establo, es: A) 160 8.

B) 130 C) 150 D) 120

E)140

César compró cierto número de libros en S/:b cada 68b uno y lo vendió con un beneficio neto de .La 8 venta le ocasionó un gasto del 15% del beneficio bruto. Si por toda la venta obtuvo S/. 96b. Entonces el número de libros que compró, es: A) 86

B) 82

C) 84 D) 80

E) 78

B) 28

C) 30 D) 35

E) 40

Se tiene una mezcla de 50 l de alcohol y agua el 10%, otra de 80 l al 50% ¿Cuántos litros deben intercambiarse para que ambas mezclas tengan la misma cantidad de agua?

A) 6,25 L

B) 5,65 L

D) 4,25 L

E) 7,28 L

A) 30 %

B) 40 %

D) 60 %

E) 70 %

C6L

 El 50% de lo queda en un pastel es igual al 33,3 % de lo que ya se comió. Si se reparte el 25% de lo que queda, entonces el tanto por ciento de todo el pastel que se habría comido, es: C) 50 %

Se fija el precio de un artículo aumentado el a % de su precio de costo. Si luego se hace un descuento equivalente al 25% de su precio de costo, se observa que se gana el 20% de su precio de venta.

El valor de a es: A) 30

6. En una Institución particular, el departamento de servicio social rebaja las pensiones de enseñanza a los estudiantes de menores recursos económicos en un 20% y aumenta en un 30% ,la del resto .Si el monto total de las pensiones queda disminuido en un 10% con esta política. Entonces el tanto por ciento de la pensión total representaba la pensión pagada por los estudiantes de menores recursos económicos, es:

C) 25 %

B)40

C)50

D)60

E)70

INSTRUCCIÓN: A continuación te proponemos ítems sin alternativas. Plantea resuelve y confirma tu respuesta con el docente.

1. Jorge compra cierta cantidad de libros y vende el 40% ganando el 3 por 25, el resto le da a Paco que lo vende ganando el 15% quedándose este con el 6% y le entrega a Jorge el 9%. Si Jorge logra una ganancia total de 1887 soles, hallarel costo de la cantidad de libros.

Rpta:…….

2. Sabiendo que el precio fijado para la venta de un artefacto es 116 nuevos soles más que su precio de costo y que al venderlo efectuando dos descuentos sucesivos del 10% aún se gana el l0% de su costo.

Hallar el precio en que se vendió el artefacto.

Rpta:…..

3. Un comerciante reduce en 4% el precio de venta de los artículos de fábrica. Para que aumente en 8 % el total de sus ingresos, hallar el incremento de sus ventas.

Rpta:………….

4. Un comerciante compró triciclos a S/.200.00 c/u y los vendió obteniendo un beneficio de S/.1000. La venta le había ocasionado un gasto de 20% del beneficio bruto y por todo obtuvo S/.51 250. Hallar el número de triciclos que compró el comerciante.

Rpta:………..

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

SESIÓN Nº 11 Prof. César Herrera Asmat

INECUACIONES 1.

2.

Jorge Saavedra, Jorge Reyes y Jorge Yáñez, trabajadores de FERREYROS S.A.A., como vendedores de maquinarias pesada para minería así como de sus repuestos y servicios, hablaban del número de docenas de repuestos vendidos en cierto día por lo que afirmaban lo siguiente: - Jorge Yáñez vendió más que Jorge Reyes.

- Jorge Yáñez no llegó a vender cinco docenas.

- Todas las docenas vendidas son más de ocho.

- Las docenas de Jorge Saavedra y Jorge Yáñez menos las de Jorge Reyes no llegan a 4.

El número de docenas que vendió Jorge Saavedra, Jorge Reyes y Jorge Yáñez respectivamente es:

6.

A) 2, 4, 3

8.

B) 2,3,4 C) 4,2,3 D) 3,2,4 E) 4,3,2

A) 4, 12 3.

A) 0.60 7.

B) 3, 12

C) 7, 12

D) 4, 15

E) 3, 15

D) 0.90

E) 1.00

José quiere comprar 6 lapiceros negros por cada 5 lapiceros rojos y 9 lapiceros negros por cada 4 lapiceros azules. Si el bazar tiene 240 lapiceros negros, 150 lapiceros azules y 170 lapiceros rojos, la cantidad mínima en total de lapiceros negros, azules y rojos que José puede comprar es: B) 451

C) 738

D) 369

E) 574

César desea comprar un lote de terreno de forma rectangular en la Campiña de Moche. Se sabe que el doble del perímetro del terreno excede en 168 metros al ancho del terreno. El área máxima, en metros cuadrados, que puede comprar César en la Campiña de Moche es: A) 588

9.

C) 0.80

B) 300 C) 540 D) 672 E) 320

Dadas las siguientes proposiciones, el valor de verdad de las mismas es: i. a  0   a  R

El valor de verdad de las siguientes proposiciones es: i. ii. iii.

ii.

a  b  a  b ; a, b  R a  R  b  R : a  b  a  b

B) FFFV

a R  aR  12

R  a  0

iv. a  R   a 2  a

ab  a b ; a, b  R

A) FVFF

3

iii. a

iv. a  0  b  0  a  a b b

A) FVFV

B) VVFV

D) VVVV

E) VVFF

C) VFFV

10. Se tiene que a, b, x, y  R  , el menor valor de

ab  xy ax  by  es:

C) FVVV

D) VVFV E) FVFV 4.

B) 0.75

A) 533

Un comerciante meditaba: “si vendiere a S/. 100 el kilogramo del producto “A” y 2 12 kg. más del mismo, recaudaría entre S/. 900 y S/. 960. Si ofertara a S/. 50 el kilogramo de “A” y al mismo precio el kilogramo del producto “B”, obtendría de S/. 900 a S/. 1 000.”

Si los kilogramos de los productos “A” y “B” son enteros, los kilogramos de los mismos respectivamente son:

El triángulo satisface las siguientes ABC desigualdades: 0  AB  1  BC  2  CA  3 . La máxima área que puede tener la región triangular ABC es:

abxy

Koky tiene tres bebés, Josecito, Braulito y Willyto.

Entre los dos primeros no llegan a seis meses, el segundo es mayor que el tercero y la diferencia del primero y el tercero sobrepasa un mes. La edad de José, Braulio y Willy, en meses, respectivamente es:

A) 2

B) 3

C) 4

D) 6

E) 8

11. Dada la gráfica de f x   qx 2  wx  k Y

X

A) 2, 1, 3 B) 3, 2, 1 D) 4, 1, 2 5.

C) 4, 1.5, 1

E) 3, 2.5, 1

El valor de verdad de las siguientes proposiciones es:

Se puede afirmar que:

i. 0  x  y  k  R   kx  ky

i.

ii. 4qk  w 2  0

ii. 0  x  y  x 2  y 2

iii. 4qk  w 2  0

iii. 1  0  1  y  x x y A) FFV

B) VVF

x  R / f x   0

iv.  q  0 C) VFV

D) VVV

E) FFF

v. Existen un número infinito de soluciones como solución de la inecuación f x   e x

CEPUNT 2011 – II

vi. Se

define

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

g x    f x   k 

w2 4q

entonces

g x   0, x   w no presenta ninguna solución en 2q los reales. vii. Existen infinitas soluciones para la inecuación

f x   e x

El número de afirmaciones verdades es: A) 1

B) 2

C) 3

B) 7

D) 4

C) 8

D) 9

E) 5

C) 87

D) 82

14. Sean n1 , n2 ,..., nk  Z  tal que x j  j  1,2,..., k  1 y x k 

D) 3

E) Infinitos valores

17. En el CIRCO DE VIENA lo que le falta al doble de lo que pesa en kilogramos a cada enano para llegar a los 55 kg. es igual a la edad que tienen. Si la mitad de lo que pesa cada uno aumentado en uno es más de 7 kg. y menos de 9 kg., entonces la suma del número máximo de enanos y la suma de sus edades es:

E) 90

nj

B) 127 C) 129 D) 132 E) 150 x  2 y  10 2x  y  8 x 1 y4

El máximo valor de F x, y   2 x  3 y es: A) 16

B) 14

C) 8

E) 10

19. Sean a, b, c, d  R  tal que abcd  1 , el menor valor de a 2  b 2  c 2  d 2  ab  ac  ad  bc  bd  cd es:___ 20. Sean

xyz es:___ 21. Si

para todo

n j 1

nk , el menor valor de n1

k

x m 1

m

4 4 2 x, y, z  R  , el menor valor de x  y  z

a, b  0 y a  b  1 , el menor valor de 2

2

1  1   a     b   es: a  b  ____________________________ 22. Dada la gráfica de f x   qx 2  wx  k

es:

Y

A) k  1

B) k  1

D) k  2

E) k

C) k  2 X

15. José Luis Salazar es el encargado de la alimentación diaria a una familia de gatos (papá, mamá y crío) del zoológico NATURALEZA SIN PARAR y reporta lo siguiente: “Entre los padres comen menos de 6 kg. y la madre come más que el crío. Si el padre dejara de comer un kilogramo menos cada día seguiría consumiendo más que el crío.” El número de kilogramos (número entero) que consume diariamente el papá, la mamá y el crío respectivamente es: A) 3, 2, 1

D) 12

AHORA SE PLANTEAN EJERCICIOS SIN ALTERNATIVAS PARA QUE PROPONGAS LAS RESPUESTAS

E) 10

13. Marcial coloca las naranjas que compró en canastas, en cada una siete naranjas excepto en la última donde coloca ocho. Luego cambia la decisión y las pasa todas a cajitas donde sólo entran 3 naranjas, llevando todas excepto en la última cajita donde sólo coloca una naranja. Si se sabe que el número de naranjas está comprendido entre 76 y 92, el número de naranjas que compró Marcial es: B) 86

C) 2

18. Se tiene las siguientes desigualdades:

EJERCICIOS ADICIONALES

A) 85

B) 1

A) 123

12. Por navidad EDITORIAL LEÓN DE JUDÁ S.A. compró n pavos para obsequiarlos a sus colaboradores. Entrega los tres más grandes al más antiguo, reduciendo el peso total a un 65%, luego entrega los dos más pequeños al menos antiguo, reduciendo el peso total restante en 4/13. Finalmente reparte lo que queda al resto de trabajadores. El número de pavos obsequiado por la empresa editorial es: A) 6

A) 0

B) 2,3,1 C) 3,1,2 D) 2,1,3 E) 1,2,3



  x 2

x, y   Z  xZ  , x  y, el

2





 y 2 x 4  y 4 tal

que

número de valores que

toma el par ordenado x, y  en

f es:

i.

4qk  w 2  0

ii. 4qk  w 2  0 iii.  q  0 iv. Existen un número infinito de soluciones reales como solución de la inecuación     f x  arccos x  0 v. Existen un número infinito de soluciones reales como solución de la inecuación

16. Se define:

f x, y   4 x 3  y 3

Se puede afirmar que:

f x  2   x  m  1, m  0

El número de afirmaciones verdaderas es: ________________

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

SESIÓN Nº 12 Prof. César Herrera Asmat

FUNCIONES Y MODELOS FUNCIONALES 1.

sea el efecto del comportamiento de los años 2010 y 2009, entonces la suma de los valores enteros de m es:

Las estadísticas de la municipalidad distrital de Moche indican que entre las 17 y 19 horas la cantidad de autos que transitan por el puente Moche está dada por la expresión

N x   6 x  16 x  k , siendo k una constante numérica positiva, donde N x  indica la cantidad de autos y x el 2

A) 20 500 B) 25 050 C) 10 200 7.

número de horas después de las 17 horas. Si se sabe que Braulio Briceño y Willy Zubiaga quieren ir en su porche desde el CEPUNT hasta Moche en el momento de menor flujo vehicular entonces dicha hora es: A) 17:45 2.

B) 18:00

C) 18:10

D) 18:20 E) 18:30

José Salazar trabaja en la NASA y laborará hasta que reciba una remuneración máxima. Si la NASA paga según el comportamiento

Rn  192n  3n 2  960 ,

funcional

donde Rn  es el valor monetario remunerativo y

n

D) 5 040 E) 22 100

El gerente financiero de la empresa AGROINDUSTRIAS TRUJILLO S.A., Jorge Huara, ha presentado en la reunión de directorio la gráfica del comportamiento de los resultados de la empresa a lo largo de los últimos meses (ver gráfica adjunta). El gerente financiero manifiesta que de no haberse presentado el problema de los cultivos producido por un insecto que los consumió, el valor de las pérdidas hubieran sido utilidades y las ganancias hubieran aumentado en 150%. La gráfica que refleja los resultados en caso de no haberse dado el problema en dicha empresa es: Result ado (S/ .)

el

número de años de trabajo, y José ya laboró doce años. Los años que le faltan a José para retirarse es: t iempo

A) 20 3.

B) 18

C) 22

D) 16

E) 24

Se tiene tres barras iguales de 5 metros cada una hechas de los mismos materiales cuya característica de cada barra es que el primer metro tiene una masa de 2 kg, los dos siguientes metros 3 kg y la parte restante 2 kg. Se cortan cada una de las barras de tal manera que de la primera se toma 0.75 metros, de la segunda 2.6 metros y de la tercera 4.1 metros. Considerando que la parte inicial es en el orden presentado anteriormente conforme a sus longitudes y masas, la masa (en kilogramos) de las tres barras cortadas es: A) 6

B) 8

C) 12

D) 15

A)

B)

Result ado (S/ .)

Result ado (S/ .)

t iempo

t iempo

C)

D)

Result ado (S/ .)

Result ado (S/ .)

E) 16 t iempo

4.

La función

f  x, y 

todos los enteros no negativos *) f 0, y   y  1

x, y :

8.

Se define implícitamente la función

5.

Sea

B) 11 la

función

C) 12

f 2, 2012 es:

D) 13

E) 14

f :  1;  R 

tal

que 9.

n = 1,

f n 

es:

A) n  m

B) n  m  1

D) n  m  2

E) n  m  2

C) n  m  1

número de soluciones que hacen que la función dada no sobrepase el valor de 4 es:

El matemático Jorge Yáñez solicita a su fiel amigo Koky Saavedra que le ayude a resolver un problema tipo “NASA”, el mismo que consistía en expresar el volumen de un cono inscrito en una esfera en función de la altura y del cono y

A) 0

del radio

f x  x  1  x  2  x  3  x  4 .

6.

, estrictamente

2, 3,….. y f 1  m , con m  N . La definición explícita de la función

La suma de las cifras del valor de

f

creciente, f : N  N tal que: f n f   2 f n  para n 

*) f  x 1,0   f  x ,1

*) f  x 1, y 1  f x , f  x 1, y  

A) 10

t iempo

satisface las siguientes condiciones para

B) 1

C) 2

D) 3

El

E) 4

La investigación del ingeniero Koky Saavedra ha dado como resultado que el tiempo de espera de las personas que captan turistas en la Plaza de Armas de Trujillo para realizar visitas a la Huaca del Sol y de la Luna tiene el comportamiento siguiente: t n   n , donde el número de turistas captados y para realizar

t

n

representa

el número de minutos

tal captación. Sean

f

y

g

los

comportamientos de dichos tiempos durante los años 2010 y 2009 definidas como f m   t m 200 y g m   t 300m  respectivamente. Si en el 2011 se espera que dicho tiempo

10.

R

de dicha esfera. Dicha expresión es:

2 A) y  2 R  y  3

2 2 B) y  2 R  y  C) y  2 R  y  4 4

2 D) y  2 R  y  3

2 E) y  2 R  y  4

El volumen máximo de un cono inscrito en una esfera dada de radio

R

A) 30 R 3 81

es: B) 32 R 3 C) 33 R 3

83

81

CEPUNT 2011 – II D) 32 R 3 81 11.

12.

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

E) 30 R 3

E) 4ax

80

b

Un mecánico requiere construir una cuba para baños galvánicos que tenga la mayor capacidad posible disponiendo para ello de una plancha de fierro de lado a metros. La longitud de los cortes a efectuar en los extremos de la plancha a fin de conseguir el objetivo es: A) a

B) a

C) a

D) a

E) a

2

5

4

8

6

Se inscribe un rectángulo de área máxima entre los ejes

y x a.

coordenados y la curva

El área

19.

de la región rectangular inscrita en la elipse dada es: A) ab 3

2 B) a

2 C) a

2 D) a

2 E) a

2

4

8

16

32

satisface las siguientes condiciones: g 2   1 , g 2 n   g n 

n

un número natural tal que

14.

B) 5

C) 7

D) 9

Se tiene una abertura circular de una presa, para que el

segmento de la parábola y 2  2 px, p  0 cortado por la

Q sea el máximo posible. Se sabe que

De una hoja circular hay que cortar un sector tal que enrollado nos dé un embudo de la mayor capacidad posible, El volumen de dicho embudo es:____________________________________

22.

Esbozar la gráfica de f  x   x 2  2 x , x  R .

E) 10

El ingeniero Juan Huerta desea inscribir un rectángulo en el

SIN LAS

21.

1  n  2012 . El valor máximo de g n  es: A) 2

EJERCICIOS PROPONGAS

inferior de la abertura ( h y el coeficiente empírico c son constantes). El diámetro que deberá tener la abertura circular es:_____________________________________________ ___

se define sobre los números naturales y

y g 2 n 1  g 2 n   1. Sea

PLANTEAN PARA QUE

2 3 E) a b 12

Q  cy h  y , donde h es la profundidad del punto

EJERCICIOS ADICIONALES

g

3

AHORA SE ALTERNATIVAS RESPUESTAS 20.

2 2 C) 2ab D) a b 12

B) 2ab

gasto por segundo

2 A) a

La función

Se inscribe un rectángulo, de área máxima con los lados paralelos a los ejes de la elipse bx 2  ay 2  a 2b 2 . El área

máxima de dicho rectángulo es:

13.

2a 2  x 2

recta x  2a, a  0 . El área de dicha región rectangular en función de la abscisa es:

15.

A) 2 2 px 2a  x 

B) 2 2 px 2a  x 

C) 2 px 2a  x 

D) 2 2 px a  x 

TENER EN CUENTA QUEsi

m, n, p,...  Z

E)

2 px 2a  x 

La mayor área posible del rectángulo inscrito en la parábola

y 2  2 px, p  0 cortado por la recta x  2a, a  0 es: A) 16a 3

pa 3

D) 8a 3 16.

B) a 3

pa 3

pa 2

Se inscribe en una esfera dada de radio R un cilindro recto de radio r . El volumen del cilindro es:

r

B) 2r 2 R 2  r 2

R r

2

2

C)

2

E) 3r 2 R 2  r 2

D) r 2 R 2  r 2

18.

C) 6a 3

E) 8a 2 pa 3 3

A) 2r 2 R 2  r 2

17.

pa 3

La altura del cilindro recto de máximo volumen inscrito en una esfera dada de radio

R

es:

A) R

B) 4R

C)

3

3

R 2 3

D) 2R

E)

3

R 3 3

Se inscribe en la elipse bx 2  ay 2  a 2b 2 un rectángulo que tenga sus lados paralelos a los ejes de dicha elipse. La expresión del área rectangular en función de la abscisa de la elipse es: A) 4bx

a C) ax

b

2a 2  x 2 2a 2  x 2

B) 4bx a 2  x 2

a

D) 2ax a 2  x 2

b



a b n c p ... toma su máximo valor a b c    ... m n p

entonces

cuando

a  b  c  ... es constante y m

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

SESIÓN Nº 13 Prof. Juan Huerta Flores

PROBLEMAS SOBRE SEGMENTOS Y ÁNGULOS 1.

Se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D sobre una recta de modo que: ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ Si ̅​̅​̅​̅ siendo B) 2

2.

, ̅​̅​̅​̅

y

̅​̅​̅​̅

En el segmento ̅​̅​̅​̅ se toma ̅​̅​̅​̅ y ̅​̅​̅​̅ . Si V es un punto del segmento ̅​̅​̅​̅ y se grafica de modo que se cumpla la condición: ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ La medida del segmento ̅​̅​̅​̅ es: B) 6 B) 8 C) 13 D) 11 E) 17

4.

Los puntos colineales A, B, C ,D , E y F están ubicados consecutivamente y además satisfacen las relaciones: ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅

̅​̅​̅​̅

La medida de ̅​̅​̅​̅ es: B) 5 B) 8 C) 13

7.

9.

Si a uno de dos ángulos suplementarios se le disminuye 12,5º para agregárselo al otro, éste ángulo resulta ser el doble de lo que queda del primero. Si al complemento del menor se le agrega el replemento del mayor resulta: A) 212º B) 256º C) 270º D) 284º E) 298º

, enteros, entonces el valor de es: B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Raúl, Eder, Carla, Tina y Ana se ubican linealmente en el medio del patio de su colegio, en ese orden, y observan que las distancias entre Raúl y Carla, entre Eder y Tina y entre Carla y Ana suman 820 cm. Si la distancia entre los más alejados es 5 metros y la distancia que hay entre Tina y Ana es el doble de lo que hay entre Raúl y Eder entonces la distancia, en centímetros, entre éste y Ana es: B) 60 B) 130 C) 180 D) 320 E) 440

6.

Un ángulo llano se divide en 4 ángulos consecutivos a, b, c y d y sus medidas están en relación 1, 3, 5 y 11 respectivamente. El ángulo que forman las bisectrices de b y el mayor de los ángulos obtusos es: A) 86° B) 72° C) 96° D) 54º E) 60º

,

3.

5.

8.

̅​̅​̅​̅ D) 16

̅​̅​̅​̅ E) 18

Los puntos J, C, H y R son colineales y están ubicados consecutivamente sobre una recta de modo que la diferencia de las inversas de las medidas JC y JR es igual a la inversa de la medida de JH . Si además se conoce que CR CH  16 , entonces JC mide: A) 2 2 B) 4 C) 4 2 D) 8 E) 23 2 El segmento ̅​̅​̅​̅ se divide en “n” partes de modo que la primera mide 117/8, la segunda 117/15, la tercera 117/24, la cuarta 117/35 y así sucesivamente hasta que la última mide 117/675.

El producto de “n” por la medida del segmento ̅​̅​̅​̅ es: A) 1004 B) 1024 C) 1044 D) 1064 E) 1084 Si la diferencia entre el doble del complemento de la mitad de un ángulo y el quíntuplo del suplemento del cuádruplo del mismo ángulo es 40°. La mitad del suplemento del doble del ángulo excede a la quinta parte del complemento de la cuarta parte del mismo ángulo en: A) 34° B) 39° C) 45° D) 54° E) 60°

10. En la figura la relación que existe entre se expresa correctamente mediante:

A) B) C) D) E) 11. En la figura , y además . La medida del ángulo en función “y” es:

D

T A A) B) C) D) E)

E –

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

12. En la figura se conoce que los ángulos miden 40°, 20°, 30° y 30° respectivamente. Si además ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ entonces el ángulo mide: B

misma medida que ROP, entonces el valor de ( ) es: A) 2º B) 5º C) 8º D) 12º E) 15º 7.

Si la gráfica L1 // L2 y NP con NQ son trisectrices del ángulo MNR entonces x mide:

P Q A

C A) 82º

R A) 45°

B) 54°

C) 60° D) 70°

E) 75°

8.

EJERCICIOS ADICIONALES 1.

2.

Los puntos P, A, B, C y D están dispuestos de manera colineal sobre una recta donde: ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ La medida de es: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 En una recta se consideran los puntos P, Q, M y R siendo M punto medio de QR. Si se sabe que:

1 1 PM   2 MR PR MQ  2 PM

B) 84º

C) 86º D) 88º

E) 90º

Los ángulos consecutivos se grafican de modo que: El ángulo formado por las bisectrices de los ángulos mide: A) 15° B) 22,5° C) 30° D) 45° E) 54°

9.

Si en la gráfica:

 DAE  ADB    DBC 8 5 Y además BC = AC = AD entonces CBD mide: A E

B

entonces el valor de QM es: A) 1 3.

B)2

C)3

D)4

E)5

Un tesoro está escondido en algún punto que une las ciudades P, Q, R y T, alineadas consecutivamente. El mapa que detalla la forma de hallarlo indica: 1º) Parta de P y deténgase en la mitad del camino a R 2º) Luego camine un tercio de la distancia de P a T 3º) Finalmente recorra la cuarta parte del camino de P a Q y encontrará el tesoro.

Si de P a Q hay 12 Km., de Q a R 16 Km. y el tesoro se encuentra a la mitad del camino de P a T entonces la cantidad de kilómetros que separa el punto T del tesoro es: A) 51 B) 45 C) 63 D) 56 E) 64 4.

5.

6.

Al sumar las medidas de los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD resulta lo que le falta a 20° para ser igual al replemento de 160°. si OP es bisectriz de AOB, OR bisectriz de COD y POR = 120º entonces BOC mide: A) 30º B) 40º C) 50º D) 60º E) 70º Si el duplo del suplemento de un ángulo es el replemento de la diferencia entre el suplemento del quíntuplo del ángulo y el complemento del doble del mismo, entonces la mitad del suplemento del cuádruplo del ángulo es: A) 40º B) 36º C) 45º D) 54º E) 60º Se tienen los ángulos consecutivos POQ, QOR y ROS donde las bisectrices de ROS y POQ forman un ángulo recto. Si la suma ROS y POQ es 80º, la

D A) 10º B) 9º

C) 7,5º

C D) 12º

E) 15º

10. Los puntos consecutivos U, N , T y C son colineales y consecutivos y generan la relación: ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ Si además ̅​̅​̅​̅ y ̅​̅​̅​̅ entonces la medida del segmento ̅​̅​̅​̅ es: A) m + 2n B) n C) 3m – n D) m + n E) 2m 11. En el segmento ̅​̅​̅​̅ se toman los segmentos ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ . Si en ̅​̅​̅​̅ se toma un punto F con la condición: ̅​̅​̅​̅ (̅​̅​̅​̅ ) ̅​̅​̅​̅ Luego la medida de ̅​̅​̅​̅ es: A) 3 B) 4 C) 5,5 D) 7 E) 7,5 NADA OCURRE POR CASUALIDAD, TODO TIENE UN PORQUÉ.

EN UN MOMENTO TAL VEZ TU CEREBRO NO LO SEPA PERO TU CORAZÓN LO SIENTE. EN OTRO MOMENTO QUIZÁS TU CORAZÓN NO LO SIENTA, PERO TU

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

SESIÓN Nº 14

Prof. Jorge A. Saavedra León

TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS 1.

Del punto medio M del lado AB del triángulo equilátero ABC se traza la perpendicular MP a AC y de P se traza la perpendicular PQ a BC. Si el lado del triángulo mide √ , entonces la medida de PQ, es: A) 7/4

B) 9/4

D) 11/4

E) 15/4

C) 16/4

2. En el triángulo PQR se cumple que ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ ; además ̅​̅​̅​̅ , entonces el menor valor entero que puede tomar la ceviana QM, es: A) 6

B) 7

D) 9

E) 10

C) 8

3. Si los valores de los lados BC y AC de un triángulo ABC suman 15cm y las distancias de un punto P exterior a los vértices A y B son 9cm y 6cm respectivamente, entonces el máximo valor entero que pueden adquirir el lado PC en el triángulo PBC es:

4.

A) 16cm

B) 15cm

D) 13cm

E) 12cm

En la

8. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM, si BC= 18 y la medida del ángulo MBC es 30º, entonces la medida de la perpendicular AH a BM es:

C) 14cm

figura, ABCD; MOND y DPQR son

NP  PC y “O” es centro de ABCD, entonces LN / NR es: cuadrados, si

A) 5

B) 7

C) 9

D) 11

E) 13

9. En la fig. si los triángulos ABC y DCE son equiláteros, entonces la medida de “x” es:

A) B) C) D) E)

50° 65° 70° 85° 95°

10. En pentágono ABCDE, AB = BC = CD = AE = √ y DE = 12. Los ángulos BAE y BCD son de 90°. El ángulo ABE es 45°. La medida del ángulo BED es: A) 120° B) C) D) 185° .E) 135° 11. Sea P un punto interior de la región triangular ABC y M, N, Q son las bases de las perpendiculares trazadas desde P a AB, BC, CA, respectivamente. Si se cumple que PN2 + NC2 + AQ2 = 32 m2 y QC2 + AM2 =23 m2, entonces la longitud de PM, en metros es: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

A) 5/2 B) 2/3 C) ½ D) 2/5 E) 3/5

5 En un triángulo ABC, AB  6, AC  10 , si la bisectriz interior de A y las exteriores de C y B se

FH sobre la prolongación de AC , además AH  14 , entonces la medida de BC es: cortan en F, talque por F se traza la perpendicular

A) 4

B) 8

C) 10

D) 12

EJERCICIOS ADICIONALES

1.

E) 14

En un triángulo ABC se trazan las cevianas BD y AE de modo que AB = BD; AD = DE = EC y el ángulo BAE mide los ¾ del ángulo BAD. El ángulo CBD mide : A) 16º D) 32º

6. Las mediatrices de los lados PQ y QR del triángulo PQR se cortan en el punto T. Si la medida del ángulo PQR es 120°, entonces la medida del ángulo RPT es: A) 15° B) 20° C) 25° D) 30° E) 50°

2.

B) 18º E) 36º

Del grafico calcule AB: 2m 3m 4m

7.- De un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana AD además

m

tal que se

ADE  m

medida de A) 8 14

m

traza

C) 24º

CAD  2 m DAB;

5m

DE ( E en AC ) donde

A) √ D) 4√

BCA . Si BD  6 , entonces la

B) √ C) 3√ E) √

DE es: B) 10 E) 16

C)12

D)

3.

En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BM

(

M en AC ),

luego

en

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

AB, BC y MC se ubican los puntos N, Q y R

respectivamente,

tal

que

8. En el triángulo mostrado BD = 5 y m< DBC = 6° entonces el valor de AC es:

MN // BC, NQ // AC y QR // AB si

AM  4 y A) B) C) D) E)

4.

AB 2  , entonces MR mide: BC 3

1 2 1,5 2,5 3

A A) 4 D) 10

En el gráfico si ABCD es un cuadrado tal que BC = 16 y CM = MD, luego la medida de BP es: B

C M

A

A) 6 cm D) 28 cm 5.

P

D

B) 12 cm E) 32 cm

En la figura, si “x” mide:

a) 15º d) 30º

B

C) 20 cm

AB  BC  CD ,

b) 20º e) 35º

entonces

c) 25º

6. En un triángulo isósceles ABC, AB = BC, si se ubica el punto interior T tal que la medida de los ángulos BAT, TAC y BCT miden 40º; 30º y 20º respectivamente, entonces la medida del ángulo CBT, es: A) 6

B) 7

D) 12

E) 14

C) 10

7. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, M es punto de intersección de las tres cevianas interiores trazadas de los ángulos A, B y C. Si la medida de los ángulos MBC, MAC y MCB son iguales, además AM = BC, entonces la medida del ángulo A, es: A) 30º

B) 38º

D) 50º

E) 53º

C) 45º

32°

C

D B) 6 E) 12

C) 8

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

SESIÓN Nº 15 Prof. José Luís Salazar La Torre

POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIAS 1.

En la figura ABCD es un rectángulo, P y Q son puntos medios de ̅​̅​̅​̅ y ̅​̅​̅​̅​̅ B

C

A) 4 D) 6,5 8.

A

A

D

3.

4.

Se toma un vértice de un polígono desde él se trazan todas las diagonales posibles formándose 86 triángulos, entonces la suma de sus ángulos internos, será: A) 14654 B) 15120 C) 15300 D) 15480 E) 15840

B

3x

2x

Además el perímetro del rectángulo es 176 m. y se sabe que ̅​̅​̅​̅ , entonces el valor de ̅​̅​̅​̅ , es: A) 24 B) 18 C) 30 D) 16 E) N. A.

C) 6 E) 5,5

Del gráfico: A, B, C y D son puntos de tangencia, entonces el valor del ángulo “x”, es:

Q

2.

B) 5

D

C

A) 20º D) 50º 9.

B) 30º E) 45º

X X

P

S

A) 22º D) 15º

B) 22,5º E) 37º

C) 30º

10. En la figura, “PF” es tangente, “M” es punto medio de arco AB, si el , entonces el ángulo “x”, es:

A D B

C) 40º

Dada la figura, donde P y S son puntos de tangencia, entonces el valor de “x”, es:

En un paralelogramo ABCD se trazan las bisectrices del <A y <B, las cuales se cortan en E., entonces la distancia de E al punto medio de ̅​̅​̅​̅ , si el perímetro de ABCD es 28 cm. y de ̅​̅​̅​̅ , es: A) 7,5 B) 6,5 C) 5 D) 8,5 E) N. A. En la figura A, B y C son cuadrados; D es un triángulo equilátero, entonces

x

M C

B

el valor de la expresión, es:

X

A 40º

A) 1 D) 3/7 5.

6.

7.

B) 4/3

C) 4/7 E) 1/3

F

En un trapecio ABCD, los ángulos adyacentes a la base menor BC, miden 110º y 140º, entonces la longitud del lado CD sabiendo que la longitud de la base mayor excedente en 10 m. a la longitud de la base menor, es: A) 5 m.

B) 10 m.

C) 15 m.

D) 20 m E) falta dato Dado un polígono, si se aumenta en tres el número de lados, el número de diagonales aumenta en 27, entonces la suma de ángulos internos del polígono, es: A) 1260º B) 1360º C) 15860º D) 1460º E) 1600º Si ABCD es un rectángulo y se sabe que ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ , entonces el valor de ̅​̅​̅​̅ , es:

A) 90º D) 120º

B) 100º E) 130º

11. En la figura: ̂ ángulo “x”, es:

C) 110º

̂

, entonces el valor del

A B

O1

E

F

O2 Xº

y

A) 30º D) 50º

B) 20º E) N. A.

C) 40º

C

B

12. Si las longitudes de las circunferencias están en relación de 1:4, calcular “X” siendo M, N y Q puntos de tangencia.

 A

P

 D

E

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 20. En un trapecio, sus bases miden 4 y 10 m, si además los lados no paralelos miden 5 y 7, entonces la distancia entre los puntos medios de las bases, mide: A) √ m. B) √ m C) √ m D) √ m E) N. A.

B

N

O Xº

M C

A

Q

H

A) 86º D) 80º

B) 84º E) 78º

14. Se da un triángulo equilátero ABC inscrito en una circunferencia de radio igual a 6 m., entonces la distancia del punto medio del lado AC al punto medio del arco ̂ , mide, en metros: A) √ B) √ C) √ D) √ E) N. A. 15. Dos circunferencias son concéntricas una con radio 9 y otra de radio 7. El diámetro de la exterior es AB, y desde A, se traza la secante AD que corta la circunferencia interior en B y C. Además AB = BC = CD, entonces la longitud de AD, es: A) 16 B) 12 C) 15 D) 9 E) N. A. 16. En un cuadrante de circunferencia AOB cuyo radio mide 12 cm. se traza una semicircunferencia de diámetro OB, entonces la medida del radio de la circunferencia tangente a la semicircunferencia al arco AB y al radio OA, en centímetros, es: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 17. En un paralelogramo, la suma de los cuadrados de los lados consecutivos es “A”, entonces la suma de los cuadrados de sus diagonales, es: A) B) C) D) E) N. A. 18. En un trapecio ABCD: ; ; ; , las diagonales se cortan en el punto F, entonces el área del triángulo BFC, en centímetros cuadrados, es: A) B) 3 C) E) N. A.

̂ , si “O” y “K” centros , 19. En la figura, se cumple: ̂ entonces la medida del ángulo “X”, es: B T M Xº A

A) 45º D) 42º



Q O

√ cm, √ cm. Además: ̂ , entonces la medida de ̅​̅​̅​̅, es:

C) 82º

13. En un paralelogramo ABCD, AB = 5 cm. y AD = 12 cm.

Las bisectrices de los ángulos A y B se cortan en el punto M y las de C y D en N. Entonces la longitud de MN, en centímetros, es: A) 5 B) 7 C) 9 D) 9,5 E) 10

D)

21. En la figura, ̅​̅​̅​̅ ̂ ̂



C

K

B) 46º E) N. A.

C) 40º

A 

 T

M P

A) √ cm.

D) √ cm.

B) √ cm.

E) N. A.

C) √ cm.

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

SESIÓN Nº 16 Prof. Juan Huerta Flores

PROBLEMAS SOBRE PERÍMETROS Y ÁREAS 1.

El heptágono mostrado está compuesto por dos cuadrados congruentes. Además se sabe que: ̅​̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅

A) 15

2.

3.

4.

B) 372

C) 374

D) 376

A

B

D

C

La suma de los perímetros de todos los cuadriláteros que se pueden observar es: A) 180m B) 240m C) 260m D) 310m E) 360m

5.

6.

Al sumar los perímetros de dos triángulos equiláteros, uno circunscrito en el otro, se obtiene 120 cm y el área de la región no común a ambas es los tres quintos de la suma de las áreas de ambos triángulos. El perímetro del mayor triángulo en cm es: A) 72 B) 75 C) 80 D) 84 E) 90 En el interior de una circunferencia, de centro O y radio 5 cm, se ubican 6 circunferencias iguales tangentes exteriores en forma consecutiva y de centros A, B, C, D, E y F. Si las circunferencias pequeñas son tangentes interiores con la mayor entonces la suma de los perímetros en cm de los triángulos AOF, EOD Y BOC es:

E) 45

8.

En la figura además ̅​̅​̅​̅

̅​̅​̅​̅

, ̅​̅​̅​̅ es bisectriz interior y .

N

Tres circunferencias congruentes de 8 cm de diámetro son secantes y se grafican de modo que cada uno de ellos pasa por el centro de los otros.

La figura así construida tiene un perímetro en cm de: A) 9,6π B) 10π C) 10,8π D) 12π E) 13,2 π

Tres rectángulos congruentes de 200 m2 de área cada uno se unen para formar el rectángulo ABCD.

D) 24

Un círculo de centro N y diámetro 4u es tangente a los lados ̅​̅​̅​̅ y ̅​̅​̅​̅ de un cuadrado CEPU de lado 12u. Además T es un punto del círculo. El área mínima en que puede alcanzar el triángulo CTU es: A) 36 B) 40 C) 45 D) 48 E) 50

E) 378

En un terreno triangular rectangular donde los menores lados miden 9u y 40u, se construye una pileta circular tangente a sus lados. La suma de los perímetros de los triángulos mixtilíneos formados por los vértices y los puntos de tangencia es: A) ( ) B) ( ) ) C) ( ) D) ( ) E) (

C) 30

7.

El perímetro de la figura en cm es:

A) 370

B) 20

T

U

E

C

El área del triángulo UNT en unidades cuadradas es: A) 12 B) 15 C) 18 D) 20 E) 24 9.

En la prolongación del cateto NT de un triángulo rectángulo UNT se toma un punto C, con el cual se construye el triángulo rectángulo TEC recto en C. Finalmente al unir los puntos U, N, C y E se observa un trapecio rectángulo. Si , , la hipotenusa ̅​̅​̅​̅ y el cateto ̅​̅​̅​̅ entonces el área del triángulo UTE en es: A) 72 B) √ C) 96 D) √ E) 80

10. En un triángulo PER donde PR = 14cm, se traza la altura EU y se verifica que mide la mitad del lado ER. El área del triángulo PEU en es: A) ( √ ) B)

(

√ )

C)

(

√ )

D)

(

√ )

E)

(

√ )

11. Tomando como centro el vértice N de un cuadrado CEPN se construye una circunferencia de que pasa por los puntos medios de los lados ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅. Exteriormente al cuadrado se trazan las tangentes PU y CT que determinan triángulos mixtilíneos con los puntos medios. Las áreas de estos triángulos suman: A) ( √ ) B) ( √ ) C) ( √ ) D) ( √ ) E) ( √ )

CEPUNT 2011 – II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

ADICIONALES

1. El perímetro de la región sombreada es: 8. En un triángulo ABC, ubicamos el punto M en A) B) C) D) E)

( ( ( ( (

√ √ √ √ √

̅​̅​̅​̅ y N en ̅​̅​̅​̅ de tal manera que .

Luego en el triángulo MNC se traza la altura ̅​̅​̅​̅ que multiplicada con la longitud de ̅​̅​̅​̅ resulta . Si AB = NC entonces el área del triángulo ABC en es: A) 8 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20

) ) ) ) )

2. Al aumentar 6m el largo y el ancho de un terreno rectangular su área queda aumentada en 120 m2.

El perímetrodel terreno en metros es: A) 21 B) 24 C) 25 D) 28 E) 30

3. La gráfica muestra un cuadrado de 18 cm de lado, donde M, N, P y Q son puntos medios.

N

M

P

Q

B) 108

C) 120

D) 124

E) 132

4. La base menor, el lado desigual y la diagonal mayor de un trapecio rectángulo miden 4cm, 13cm y 15cm respectivamente. La diferencia de las áreas de los triángulos formados al trazar dicha diagonal en es: A) 18

B) 20

C) 24

D) 27

A) B) C) D) E)

16 24 32 20 40

10. Un terreno triangular rectangular tiene como

Las áreas de los triángulos que tienen el menor perímetro suman en : A) 96

̅​̅​̅​̅ y la diferencia de las medidas de las superficies sombreadas es . El área del paralelogramo en es:

9. En el paralelogramo ABCD ̅​̅​̅​̅

E) 30

medida de su mayor lado y uno de los √ ángulos agudos 67,5°. El área del terreno en es: A) B) √ C) √ √ D) √ E) √

11. En un cuadrado ABCD, de 20 m. de lado, se une el vértice C con el punto medio E de AD y el vértice D con el punto medio F de AB . El área del cuadrilátero PFBC en es: A) 220 B) 210 C) 240 D) 225 E) 250

12. El área de la región sombreada es 54 cm2. Si M y N son puntos medios entonces el área del cuadrado es:

5. Un triángulo ABC tiene

y en ella se traza la mediana CM que interseca a la ceviana BN en P. Si el segmento AN mide el cuádruplo de NC entonces el área del triángulo CNP en es: A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

6. Un buey está atado en la esquina de una casa cuadrada de 16 cm2 de área con una soga de 5 cm. Si todo lo que está fuera de la casa es pasto entonces el área donde puede pastar es:

A) 124 D) 108

B) 150 E) 96

C) 120

A) B) C) D) E)

7. Se duplica el área de un círculo cuando su radio aumenta en 1cm. El radio del círculo original, en cm es: A) √ B) 1 C) √ D) 2 E) √

NADA OCURRE POR CASUALIDAD, TODO TIENE UN PORQUÉ.

EN UN MOMENTO TAL VEZ TU CEREBRO NO LO SEPA PERO TU CORAZÓN LO SIENTE. EN OTRO MOMENTO QUIZÁS TU CORAZÓN NO LO SIENTA, PERO TU CEREBRO LO DESCUBRE.