Probabilidad y estadística by Diana Rubi

Probabilidad y Estadística

Rubí Guzmán Leslye Gonzales

Dagoberto Vargas Adrian Magaña

Imperia

Probabilidad y Estadística

Probabilidad y estadística

Rubí Guzmán

Dagoberto Vargas

Leslye Gonzalez

Adrian Magaña

Imperia

Probabilidad y Estadística

INTRODUCCIÓN

En nuestros días la estadística se ha convertido en un método efectivo para describir con exactitud los valores de datos económicos políticos, sociales y analizar dichos datos. El trabajo del experto no consiste ya solo en reunir y tabular los datos, sino sobre todo en el proceso de interpretación de esa información. Podríamos, desde un punto de vista más amplio, definir la estadística como la ciencia que estudia cómo debe emplearse la información y cómo dar una guía de acción en situaciones prácticas que entrañan incertidumbre. Sólo cuando nos adentramos en un mundo más específico como es el campo de la investigación de las Ciencias Sociales empezamos a percibir que la Estadística no sólo es algo más, sino que se convierte en la única herramienta que, hoy por hoy, permite dar luz y obtener resultados, y por tanto beneficios, en cualquier tipo de estudio, cuyos movimientos y relaciones, por su variabilidad intrínseca, no puedan ser abordadas desde la perspectiva de las leyes deterministas.

Probabilidad y Estadística

INDICE Unidad 1  ¿Qué es la estadística? .......................................... 5 Tipos de estadística  Ordenamiento de datos…………………………………. 8  Medidas Descriptivas ………………………………….. 10

Unidad      

Medidas de Tendencia Central……………………….. 12 Tablas de Distribución de Frecuencias……………. 15 Graficas ….………………………………………………. 18 Tabla de Intervalos de clase ……………………….. 22 Medidas de Dispersión………………………………….. 27 Medidas de Posición ……………………………………. 32

Unidad 3     

¿Qué es la probabilidad? ……………………………….. 38 Conozcamos la probabilidad…………………………. 40 Obtengamos el espacio muestral……………………. 43 Diagramas de Árbol………………………………………. 46 Permutaciones y Combinaciones……………………. 48

Anexos  Claves…………………………………………………………… 56  Fuentes consultadas……………………………………….. 71

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¿Qué es la estadística? La estadística es la ciencia que estudia cómo debe emplearse la información y cuál es la guía de acción en situaciones prácticas que entrañan incertidumbre. Puede ser empírica y abstracta. La estadística se basa en la obtención de datos, pero para llevar a cabo sus fundamentos, utiliza axiomas matemáticos globales . La materia prima de la estadística consiste en conjuntos de números obtenidos al contar o medir las cosas. Al recopilar datos estadísticos se ha de tener especial cuidado para garantizar que la información sea correcta y completa. Algunos conceptos importantes e influyentes en lo que implica la estadística son: Población: Es el conjunto de cosas, personas, animales o situaciones que tiene una o varias características o atributos comunes     

Población Finita: Es el conjunto compuesto por una cantidad limitada de elementos, como el número de especies, el número de estudiantes, el número de obreros Población Infinita: Es la que tiene un número extremadamente grande de componentes, como el conjunto de especies que tiene el reino animal. Población Real: Es todo el grupo de elementos concretos, como las personas que en Europa se dedican a actividades artísticas. Población Hipotética: Es el conjunto de situaciones posibles imaginables en que puede presentarse un suceso, como por ejemplo las formas de reaccionar de una persona ante una catástrofe. Población estable: Es aquella en que sus calores o cualidades no presentan variaciones, o éstas, por pequeñas que sean, son despreciables, como la rotación de la tierra o la velocidad de la luz.

 Población inestable: Es la que contienen los valores en constante cambio. Prácticamente la totalidad de las poblaciones corresponden a este tipo. El cambio de los valores se presentan en el tiempo o en el espacio.  Población aleatoria: Es la que presenta cambios en sus calores debidos al azar, sin que exista una causa aparente, como las variaciones en el contenido del producto.  Población dependiente: Es la que cambia sus valores debido a una causa determinada y medida. La dependencia puede 5

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ser total. La dependencia es parcial cuando la causa influye en la variable dependiente en una proporción menor a la total. Población binomial: Es aquella en la que se busca la presencia o ausencia de una característica, por ejemplo, la presencia de ozono en el aire.  Población polinomial: Es la que tiene varias características que deben ser definidas, medidas o estimadas, como la obediencia, la inteligencia y la edad de los alumnos de postgrado.

Muestra: Es una parte, generalmente pequeña, que se toma del conjunto total para analizarla y hacer estudios que le permitan al investigador inferir o estimar las características de un problema. Dato o Individuo: O unidad estadística es cada uno de los elementos que componen la población. Una variable: Es una característica que al ser medida en diferentes individuos es susceptible de adoptar diferentes valores.  Variables cuantitativas: Son las variables que toman como argumento, cantidades numéricas, son variables matemáticas.

 Variables cualitativas: Son las variables que expresan distintas cualidades, características o modalidad. Cada modalidad que se presenta se denomina atributo o categoría, y la medición consiste en una clasificación de dichos atributos.  Variable aleatoria: es la que toma al azar los probables resultados de un experimento.  Variable dependiente: es la que toma los valores correspondientes de un modelo matemático o que los toma debido a la influencia de otra variable independiente.

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 Variable continua: es la que puede tomar cualquier valor decimal, del intervalo de una recta, como consecuencia de una medición.  Variable discreta: es la que puede tomar, por conteo, cualquier valor.

Tipos de Estadística La estadística es una ciencia matemática que se refiere a la colección, estudio e interpretación de los datos obtenidos en un estudio. Se divide en dos ramas:  Descriptiva: Se dedica a los métodos de recolección, organización, descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos en estudio. Los datos pueden ser resumidos numérica o gráficamente.  Inferencia: Se usa para modelar patrones en los datos y extraer inferencias acerca de la población de estudio. Hay también una disciplina llamada estadística matemática, la cual se refiere a las bases teóricas de la materia. La palabra estadísticas también se refiere al resultado de aplicar un algoritmo estadístico a un conjunto de datos, como en estadísticas administrativas, estadísticas económicas, estadísticas criminales, etc.

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Ordenamiento de datos Cuando el proceso que se desea analizar, es decir, tenemos menos de 20 elementos en la muestra, entonces estos datos son analizados sin necesidad de formar clases con ellos y a esto es a lo que se le llama tratamiento de datos no agrupados. Simplemente se acomodan del menor al mayor.

1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5

Act. Ordena los siguientes datos de menor a mayor.

4 3 4 2

5 6 9 7

9 3 6 8

5 8 7 2

10 12 3 9

9 2 11 5

7 2 8 10

9 11 13 3

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Act. Ordena los siguientes números de menor a mayor.

2.4 2.5 3.1

3.2 2.7 2.9

2.8 2.6 3

3 2.4 2.7

2.7 3 2.8

Act. Ordena los siguientes años de 30 niños de 1 año de secundaria de menor a mayor.

11 12 11 13 11

11 13 11 12 11

11 12 13 11 11

13 11 11 11 12

11 13 11 12 11

12 11 12 11 11

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Medidas Descriptivas Las medidas descriptivas son aquellas que se pueden calcular a partir de los datos de una muestra o de una población. Son de dos tipos: a) Parámetro: Son los datos cuantificables de una población. b) Estadísticos: Los valores o resultados que se obtienen a partir de los datos de una muestra y que sirve para sintetizar alguna característica relevante de una población. Las medidas descriptivas correspondientes a distribuciones con una variable se pueden clasificar de la siguiente manera. a) Medidas de centralización: Llamadas también de tendencia central, son parámetros estadísticos alrededor de los cuales se distribuyen los datos de la distribución y se toman como el centro de la misma. Las más importantes son media aritmética, mediana y moda. b) Medidas de dispersión: Son parámetros estadísticos que indican cuanto se alejan del centro los valores de la distribución.

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UNIDAD 2 11

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Medidas de Tendencia Central Son parámetros estadísticos alrededor de los cuales se distribuyen los datos de la distribución y se toman como el centro de la misma. Se les llama medidas de tendencia central a la media aritmética, la mediana, la media geométrica, la moda, etc. Media Aritmética: Se obtiene sacando el promedio del total de datos. Es decir Sumar todos los números y dividirlos entre el total. Cando hay marca de clase, se saca el promedio de todas estas en lugar de los datos. 1+1+2+2+2+3+3+3+4+4+4+5= 34

34÷12= 2.833

Media Aritmética: 2.833 Mediana: Es el número que ya ordenados se encuentra en la mitad de todos los números. 1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,4,4,5 Mediana Hay casos en los que pueden quedar dos números diferentes justo en medio; en esta caso se sumaran ambos y se dividirán entre 2, y esa será la mediana. 1,1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5 2+3=5

5÷2=2.5

Mediana: 2.5

También en otro caso quedará 2 veces el mismo número, y ese será la mediana. 1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5 Mediana: 3 Moda: Es el número que más veces se repite en el total de datos. 1, 1, 2, 3, 3 4, 4, 4, 4, 5

Moda: 4

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Habrá casos en donde se repitan 2 o más números diferentes. Todos esos serán la moda. 1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,4,4,5 Moda: 1 y 2 http://m.youtube.com/watch?v=82Y4Lpzfa60

Act. Ordena todos los números de menor a mayor y obtén sus mediadas de tendencia central. 5 2 1 2 7

6 3 2 4 7

8 3 7 6 4

5 3 5 9 8

6 4 2 3 7

_________________________________________________ _________________________________________________ Media Aritmética:_______ Mediana:______ Moda:______

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Act.

Ordena los números de hermanos de 20 niños de primaria y obtén las medidas de tendencia central. 2

_________________________________________________ Media Aritmética:_______ Mediana:______ Moda:______

Act. De acuerdo a los siguientes datos que se tomaron de x colonia obtén las medidas de tendencia central. N° de personas por casa

Frecuencia

Media Aritmética: _______ Mediana: ______ Moda: ______

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Tablas de Distribución de Frecuencias Es La agrupación de datos en categorías mutuamente excluyentes que indican el número de observaciones en cada categoría. Estas tablas constan de diferentes columnas y son: datos, frecuencia (Fi), frecuencia acumulada (Fa), frecuencia relativa (Fr), frecuencia relativa acumulada (Fra), porcentaje (%) y grados (°). Y nos ayudan a tener un ordenamiento, control y entendimiento de los datos que necesitas conocer. Datos 1 2 3 4 5

Fra

La frecuencia es el número de veces que se repite el número. La frecuencia acumulada es la sumatoria de las frecuencias partiendo de la primera frecuencia como se muestra en el ejemplo. DATOS Fi Fa 2 5 5 = + 3 6 11 = + 4 7 18 En este se muestra que se suman 5+6 y es igual a 11, y 11 +7 es igual a 18. La frecuencia relativa es la frecuencia de cada número dividido entre el total de frecuencias. DATOS 2 3 4

Fi 5 6 7

Fa 5 11 18 15

Fr 5÷18= 0.277 6÷18=0.333 18÷18=1

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La frecuencia relativa acumulada es igual a la frecuencia acumulada, es decir que es la sumatoria de las frecuencias relativas partiendo de la primera. DATOS 2 3 4

Fi 5 6 7

Fa 5 11 18

Fr 0.277 0.333 1

+ +

Fra 0.277 0.61 1.61

El porcentaje se obtiene multiplicando la frecuencia relativa por 100. Los grados son el resultado de realizar una regla de tres simple, multiplicando 360 por la frecuencia de cada número y dividiéndolo entre el total de frecuencia. 360 ÷18

Ejemplo:

5 =100

5,5,5,6,6,7,7,7,7,8,8,9

Datos 5 6 7 8 9

Fi 3 2 4 2 1

Fa 3 5 9 11 12

Fr 0.25 0.166 0.33 0.166 0.083

Fra 0.25 0.416 0.749 0.999 1

% 25% 16.66% 33% 16.66% 8.3%

° 90 60 120 60 30

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Act. Ordena y realiza una tabla de distribución de frecuencias, con los siguientes datos. 6 6 10 7 8 7 9 8 6 9 7 6

Datos

Fra

Act. Completa esta tabla de distribución de frecuencias de los sabores favoritos para un pastel que se les preguntaron a 30 personas. Datos Chocolate Fresa Vainilla Moka

Fi 10 5 7 8

Fra

Act. Termina la tabla de distribución de frecuencias con los datos de los programas favoritos de 25 niños. Datos Bob Esponja El Chavo Victorius i Carly

Fi 9 6 4 6

Fr 0.36 0.24 0.16 0.24 17

Fra

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Graficas Las graficas son representaciones de cantidades expresadas por líneas y símbolos que resultan mucho más fáciles de comprender. Son ejemplos de graficas: Histograma, Barras, Polígonos de frecuencias, Pictograma y de Pastel o Circular. Y cada una de ellas se realiza así:

Polígono de frecuencias: se realizan trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos.

Barra: Es una forma de representar gráficamente un conjunto de datos o valores y está conformado por barras rectangulares de longitudes proporcionales a los valores representados. 8 7 6 5 4 3 2 1 0 2

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Pictograma: Es un signo que representa esquemáticamente un símbolo, objeto real o figura.

Pastel o circular: Son recursos estadísticos que se utilizan para representar porcentajes y proporciones. El número de elementos comparados dentro de un gráfico circular puede ser de más de 4.

Circular

Histograma: Es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados, ya sea en forma diferencial o acumulada.

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Act. Realiza una grafica de barras con los siguientes datos.

Datos 12 13 14

Fi 6 3 5

14.5 14 13.5 13 12.5 12 11.5 11 1

Act Realiza un polígono de frecuencias con los siguientes datos los kilos de diferentes frutas que compran en una tienda de abarrotes para vender.

Frutas

Kilos

Manzana

Plátano

Pera

Naranja

Uva

6 4 2 0 Manzana

Pera

Plátano

Naranja

Uva

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Act Haz una grafica de pastel con los datos de las materias favoritas de 50 alumnos de primaria.

Materias

Alumnos que las prefieren

Español

Matemáticas

Historia

Ciencias Naturales

Español

Matemáticas Historia Ciencias Naturales

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Tabla de Intervalos de clase Los intervalos de clase se emplean si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua. Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente. (Se redondea) http://m.youtube.com/watch?v=3JRoegqw9v0 Para conocer el número de intervalos se aplica esta fórmula

K=1+3.322(log n) Ejemplo: Obtener el intervalo de las 10 tallas de zapatos que más se venden en x zapatería.

25 19

18 22

10 17

15 21

16 17

10, 15, 16, 17, 17, 18, 19, 21, 22, 25 K=1+3.322 (log 10) K= 1+3.322 (1) K= 1+ 3.322

K= 4.322

Para conocer el rango es la diferencia del número mayor de la numeración y el número menor.

R=Mayor- Menor Ejemplo: Utilizando los datos de arriba obtén el rango. R= 25-10

R= 15 22

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La Amplitud es la cantidad de números que irán en los intervalos, (se redondea al igual que el intervalo). Para saber la amplitud es necesario tener el intervalo y el rango.

Ejemplo: Utilizando el intervalo y el rango resultante de el ejercicio de arriba opten la amplitud.

A= A= 3.4706 La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros. (Se suman los dos datos de cada casilla de intervalo y se divide entre 2) Intervalo

Marca de clase

1-4 5-8

2.5 6.5

http://m.youtube.com/watch?v=pRxnxVuj3tU

Act.

Obtén el intervalo, rango y amplitud de las siguientes

estaturas de 35 alumnos de secundaria.

10.37 10.52 10.52 20.53 10.40

10.32 10.26 10.37 10.45 10.30

10.40 10.35 10.28 10.37 10.34

10.25 10.37 10.38 10.36 10.30 23

1.45 1.25 10.50 10.52 10.39

10.30 10.39 10.40 10.25 10.37

10.39 10.37 10.37 20.53 10.37

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K=1+3.322 (log

)

K= K=

Act. Obtén el intervalo, rengo y amplitud de las edades de 15 personas que les gusta jugar x videojuego.

4 20 6

7 26 13

K=1+3.322 (log

17 22 15 )

15 21 25

23 19 22

K= K= Para realizar la tabla de intervalos de clase simplemente se sustituyen estas dos casillas por la de datos en la tabla de distribución de frecuencias. El ejemplo a continuación. Intervalo

Marca De Calase

1-4

2.5

0.375 0.375 37.5% 135°

5-8

6.5

0.625 1

Fra

62.5% 225°

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Ejemplo: 69 63 42 27 30 36 28 32

79 27 22 24 23 25 44 65

43 25 74 51 36 42 28 31

28 25 45 12 57 51 12 32

49 38 42 27 31 50 38 21

24 69 47 23 22 43 27 49

23 19 46 30 43 49 16 28

12, 12, 12, 16, 19, 21, 22, 22, 23, 23, 23, 24, 24, 25, 25, 25, 27, 27, 27, 27, 28, 28, 28, 28, 30, 30, 31, 31, 32, 32, 36, 36, 38, 38, 42, 42, 42, 43, 43, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 49, 49, 50, 51, 51, 57, 63, 65, 69, 69, 74, 79,

Intervalo

Rango

Amplitud

K= 1+3.322 (log 57)

R= 79-12

K=1+3.322 (1.7558)

R= 67

A= 9.80

K= 1+5.8330 K=6.83 Intervalo

Marca Fi de Clase

Fra

12-21 22-31 32-41 42-51 52-61 62-71 72-81

16.5 26.5 36.5 46.5 56.5 66.5 76.5

6 28 34 60 51 55 57

0.105 0.385 0.105 0.280 0.017 0.070 0.035

0.105 0.49 0.595 0.875 0.892 0.962 1

10.5% 38.5% 10.5% 28% 1.7% 7% 3.5%

37.89° 138.9° 37.89° 101.05° 6.31° 25.26° 12.63°

6 22 6 16 1 4 2

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Act. Realiza con los siguientes datos una tabla de intervalos de clase. 60 69 71 64 63

Intervalo

63 68 73 62 75

Marca de Clase

70 60 69 64 68

61 77 72 75 69

60-62 63-65 66-68 69-71 72-74 75-77

65 65 69 68 77

Fra

65 64 61 60 77

Â°

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Medidas de Dispersión También llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos. Las medidas de dispersión son: Desviación media (DM), Varianza (S2), Desviación Estándar (S), Coeficiente de Variabilidad (CV) y Coeficiente de Asimetría (CA). http://m.youtube.com/watch?v=J8WXi5gndAI La desviación media es la diferencia en valor absoluto entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética.

Di = |x - x|

Ejemplo: 3 | 35.5-16 |

La varianza es la media de las diferencias con la media elevadas al cuadrado. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza.

S= √ S2 El coeficiente de variabilidad es la desviación estándar dividido entre la media aritmética por 100. http://m.youtube.com/watch?v=o2qxM4MI2mI

El coeficiente de asimetría es tres veces la media aritmética menos la mediana entre la división estándar. http://m.youtube.com/watch?v=hjt3gRECBJc

Probabilidad y Estadística

Act. Obtén las medidas de dispersión con las siguientes medidas de zapatos que se venden en x zapatería.

Datos

Frecuencia

23 24 25 26 27

7 9 5 4 8

DM:

Media Aritmética: 24.9 Mediana: 25

(

S= √

CV=

CA= 3(

(100)

)

CA=

Probabilidad y Estadística

Act. Realiza la siguiente actividad, completando la tabla de intervalos de clase y sacando sus medidas de dispersión, tendencia central y una grafica de pastel.

Intervalo Marca Fi de Clase 0-1

2-3

4-5

6-7

5-9

Fra

Media Aritmética:_____ Mediana:_______ Moda:_________

0-1 2-3 4-5 6-7 5-9

Probabilidad y Estadística

DM:

(

S= √

CV=

(100)

CA= 3(

)

CA=

Act. Realiza la tabla de distribución de frecuencias obtén las medidas de dispersión y tendencia central de los siguientes datos.

Datos Vainilla Chocolate Galleta Cacahuate

Sabores De Paletas

N° de personas que las prefieren

Vainilla

Chocolate

Galleta

Cacahuate

Fra

Probabilidad y Estadística

Media Aritmética:_____ Mediana:_______ Moda:_________

DM:

(

S= √

CV=

(100)

CA= 3( CA=

)

Probabilidad y Estadística

Medidas de posición Sirven para indicar la proporción de individuos de la distribución que hay antes y después de un determinado valor. Los más importantes son:  Cuartiles: Llamadas también cuartillas, son valores posicionales que dividen la información en cuatro partes iguales.

 Deciles: Similarmente se divide en 10 partes iguales, esto es en cantidades porcentuales de 10 en 10.

 Centiles: Obviamente los Centiles dividen la información en 100 partes iguales. Lo cual facilita la interpretación porcentual de una distribución de frecuencias

Probabilidad y EstadĂstica

Crucigrama

Probabilidad y Estadística Horizontales 3. Es el conjunto de cosas, personas, animales o situaciones que tiene una o varias características o atributos comunes. 7. Es el número de veces que se repite el número. 15. Son parámetros estadísticos que indican cuanto se alejan del centro los valores de la distribución. 19. Es la desviación estándar dividido entre la media aritmética por 100,el coeficiente de. 20. Esta gráfica son recursos estadísticos que se utilizan para representar porcentajes y proporciones. 22. Llamadas también de tendencia central, son parámetros estadísticos alrededor de los cuales se distribuyen los datos de la distribución y se toman como el centro de la misma. 23. Llamadas también cuartillas, son valores posicionales que dividen la información en cuatro partes iguales. 24. Son los datos cuantificables de una población. 29. Es la diferencia del número mayor de la numeración y el número menor. 30. Es la frecuencia de cada número dividido entre el total de frecuencias. 32. Gráfica que está conformada por barras rectangulares de longitudes proporcionales a los valores representados. 33. Son aquellas que se pueden calcular a partir de los datos de una muestra o de una población. 35. Son el resultado de multiplicar la frecuencia de cada número y dividirlo entre el total de frecuencias. 36. Es una característica que al ser medida en diferentes individuos es susceptible de adoptar diferentes valores. 37. Es la cantidad de números que irán en los intervalos, (se redondea al igual que el intervalo). 38. Es el número que más veces se repite en el total de datos. 41. Medidas que muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. 42. Es una parte, generalmente pequeña, que se toma del conjunto total para analizarla y hacer estudios que le permitan al investigador inferir o estimar las características de un problema. 34

Probabilidad y Estadística Verticales 1. Es la ciencia que estudia cómo debe emplearse la información y cuál es la guía de acción en situaciones prácticas que entrañan incertidumbre. 2. Es el número que ya ordenados se encuentra en la mitad de todos los números. 4. Se usa para modelar patrones en los datos y extraer inferencias acerca de la población de estudio. 5. Es un signo que representa esquemáticamente un símbolo, objeto real o figura. 6. Son representaciones de cantidades expresadas por líneas y símbolos que resultan mucho más fáciles de comprender. 8. Es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados, ya sea en forma diferencial o acumulada. 9. Es la frecuencia que resulta de la sumatoria de las frecuencias relativas partiendo de la primera. 10. Similarmente se divide en 10 partes iguales, esto es en cantidades porcentuales de 10 en 10. 11. Son las variables que expresan distintas cualidades, características o modalidad. 12. Se entiende como el promedio del total de datos. 13. Es tres veces la media aritmética menos la mediana entre la división estándar, el coeficiente de. 14. Son las variables que toman como argumento, cantidades numéricas, son variables matemáticas. 16. Se emplean si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua. 17. Es la sumatoria de las frecuencias partiendo de la primera frecuencia como se muestra en el ejemplo. 18. Gráfica que se realizan trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos. 21. Es cada uno de los elementos que componen la población. 25. Es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros.

Probabilidad y Estadística 26. Se dedica a los métodos de recolección, organización, descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos en estudio. 27. Se obtiene multiplicando la frecuencia relativa por 100. 28. Es La agrupación de datos entre columnas. 31. Es la diferencia en valor absoluto entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética. 34. Se divide en 10 partes iguales, esto es en cantidades porcentuales de 10 en 10. 39. Es la media de las diferencias con la media elevadas al cuadrado. 40. Medidas que sirven para indicar la proporción de individuos de la distribución que hay antes y después de un determinado valor.

Probabilidad y EstadĂstica

UNIDAD 3 37

Probabilidad y Estadística

¿Qué es la probabilidad? Es es método por el cual se obtiene la frecuencia de un suceso determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles bajo condiciones suficientemente estables. Espacio Muestral: Son todos los posibles resultados que se pueden obtener de un experimento aleatorio. Un ejemplo claro son los dados y las monedas. Al lanzar una moneda hay dos posibilidades, una de que caiga sol y la otra que caiga águila. Su espacio muestral seria dos. Si lanzamos un dado las probabilidades de que caiga 5 seria 1/6 al igual que si callera 1, 2, 3, 4, 0 6. http://m.youtube.com/watch?v=SmqQAUAV8O8

Act.

Determina el espacio experimentos aleatorios.

muestral

1. Que llueva 3 días consecutivos. EM: 2. Lanzar 2 monedas y anotar sus resultados. EM: 3. Lanzar 2 dados y anotar sus resultados. EM:

los

siguientes

Probabilidad y Estadística

Act.

Obtén el espacio muestral de los siguientes experimentos

aleatorios y demuestra como los obtuviste. 1. Lanzar 3 diferentes monedas y anotar sus resultados. EM:

2. Lanzar 3 dados iguales y anotar sus resultados. EM:

Act. Obtén el espacio muestral de las diferentes cartas. 1 2 3 EM:

1 2 3 4

EM:

1 2 3 4

EM:

Probabilidad y Estadística

Conozcamos la Probabilidad Observa cómo resolver los siguientes problemas. Un talles sabe que por término medio acuden: por la mañana 3 automóviles con problemas eléctricos, 8 con problemas mecánicos y 3 con problemas de chapa, y por la tarde 2 con problemas eléctricos, 3 con problemas mecánicos y 1 con problemas de chapa. 1. Calcula el porcentaje de los que acuden por la tarde: Aquí lo que tenemos que hacer es sumar todos los carros que acuden al talles tanto en la mañana como en la tarde, y tomar en cuenta que el total seria el 100%, después sumar los que solo van en la tarde y hacer una regla de 3. 20 – 100% 6- x

x= 30

El porcentaje de los automóviles que acuden en la tarde es de 30%.

2. Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos. Aquí se hace lo mismo que en caso anterior solo que ahora se suman los que tienen problemas mecánicos. El porcentaje de los automóviles que acuden por problemas mecánicos es de 11 - x 55% 3. Calcula la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.

20 – 100%

x= 55

Simplemente observas cuantos son los que acuden con esos problemas en la mañana y el total de automóviles que acuden en todo el día, son 3 los que tienen esos problemas y acuden en la mañana, y el total de autos en la mañana son 14, entonces la probabilidad sería 3/14.

Probabilidad y Estadística

Act.

Resuelve el siguiente problema tomando en cuenta el ejemplo anterior. Una compañía de seguros hace una investigación sobre la cantidad de partes de siniestro fraudulentos presentados por los asegurados. Clasificando los seguros en tres clases, incendio, automóvil y “otros”, se obtiene la siguiente relación de datos. El 6% son partes por incendio fraudulento: el 1% son partes de automóviles fraudulentos; el 3% son “otros” partes fraudulentos; el 14% son partes por incendio no fraudulentos; el 29% son partes por automóvil no fraudulentos y el 47% son “otros” partes no fraudulentos. 1. Haz una tabla ordenando los datos anteriores y hallando el porcentaje total de partes fraudulentos y no fraudulentos.

2. Calcula qué porcentaje total de partes corresponde a la rama de incendios, cuál a la rama de automóviles y cual a “otros”. Añade estos datos a la tabla.

3. Calcula la probabilidad de que una parte escogido al azar sea fraudulento. ¿Cuál será, en cambio, la probabilidad de que sea fraudulento si se sabe que es de la rama de incendios?

Probabilidad y Estadística

Act. Resuelve la siguiente actividad. El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es: EM= Podemos considerar algunos subconjuntos de EM, por ejemplo: Salir número par _______ Salir múltiplo de 3 __________ Salir número primo _____ Salir #mayor a 10 ___________ Salir # mayor o igual a 12 ____ Salir # menor o igual a 5 _____ Salir # menor que 7 _____ Salir mayor que 4 y menor a 8 ____

Act. Contesta los siguientes planteamientos. En una máquina de chicles hay 15 amarillos, 10 rojos y 25 azules. ¿Cuál es la probabilidad de que salga azul? R= En una baraja de 40 cartas, ¿Cuál es la probabilidad de que salga 1AS? R= ¿Y 1AS de oros? R= En una caja tenemos 15 bolas blancas, 30 bolas negras y 45 bolas verdes. Si extraemos 1 bola ¿Cuál es la probabilidad de que salga negra? R= ¿Y que salga verde o blanca? R=

Probabilidad y Estadística

Obtengamos el espacio muestral Algunos conceptos que debemos tomar en cuenta son: Espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados inaviavales de un experimento aleatorio.

Experimento Aleatorio: Es aquel que bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes. Suceso: Cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria. Igual que en los temas anteriores vamos a obtener el espacio muestral para recordar aquí está un ejemplo.

Al lanzar 3 monedas diferentes obtén su espacio muestral:

√

El espacio muestral es EM= 11 ya que son 11 el número de posibilidades de que caigan en esos respectivos ordenes las monedas

Probabilidad y Estadística

Act.

Obtén el espacio muestral de el siguiente planteamiento de las posibilidades que te den esos resultados con 2 dados.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Act. Obtén el espacio muestral de el siguiente planteamiento.

Probabilidad y EstadĂstica

3 4 5 6 7

14 15 16 17 18

Probabilidad y Estadística

Diagramas de Árbol Los diagramas de árbol son aquellos que se es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol.

Por ejemplo: Al lanzar al aire una moneda y luego un dado. ¿Cuántas son las posibilidades?

El número de probabilidades son 12 pues al caer alguna de las caras pueden caer cualquiera de los números del dado.

Probabilidad y Estadística

Act. Realiza un diagrama de árbol con la siguiente información. Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

Act. Ahora realiza un diagrama de árbol donde la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan:

Probabilidad y Estadística

Permutaciones y Combinaciones ¿Qué diferencia hay?

Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras: "Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada. "La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.

Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso: Si el orden no importa, es una combinación. Si el orden sí importa es una permutación. http://m.youtube.com/watch?v=3ZVq2KvClZ8

Hay dos tipos de permutaciones: 1. Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333". 2. Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.

Permutaciones con repetición http://m.youtube.com/watch?v=ZogJ0t9mxAE

Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:

n × n × ... (r veces) = nr 48

Probabilidad y Estadística

(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)

Permutaciones sin repetición En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.

Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar? Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.

Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería: 16 × 15 × 14 × 13... = 20,922,789,888,000 Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente: 16 × 15 × 14 = 3360 Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16. También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa): 

Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)



Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)

Combinaciones sin repetición 49

Probabilidad y Estadística

http://m.youtube.com/watch?v=gIavIQc-BZo

Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado. La manera más fácil de explicarlo es: 

Imaginemos que el orden sí importa (permutaciones),



Después lo cambiamos para que el orden no importe.

Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden. Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones. Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden. Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son: El orden importa 1 1 2 2 3 3

2 3 1 3 1 2

El orden no importa

3 2 3 1 2 1

123

Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades. De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es: 3! = 3 × 2 × 1 = 6

Probabilidad y Estadística

(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!) Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):

Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:

Digamos que tenemos cinco sabores de helado: banana, chocolate, limón, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 paladas. ¿Cuántas variaciones hay? Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l, f, v}. Algunos ejemplos son



{c, c, c} (3 de chocolate) {b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla)



{b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla)



donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden no importa)

(Y para dejarlo claro: hay n=5 cosas para elegir, y eliges r=3 de ellas. El orden no importa, ¡y sí puedes repetir!)

Probabilidad y Estadística

Bien, no puedo decirte directamente cómo se calcula, pero te voy a enseñar una técnica especial para que lo averigües tú mismo.

Imagina que el helado está en contenedores, podrías decir "sáltate el primero, después 3 paladas, después sáltate los 3 contenedores siguientes" ¡y acabarás con 3 paladas de chocolate! Entonces es como si ordenaras a un robot que te trajera helado, pero no cambia nada, tendrás lo que quieres. Ahora puedes escribirlo como círculo es tomar)

(la flecha es saltar, el

Entonces los tres ejemplos de arriba se pueden escribir así: {c, c, c} (3 de chocolate): {b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla): {b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla): OK, entonces ya no nos tenemos que preocupar por diferentes sabores, ahora tenemos un problema más simple para resolver: "de cuántas maneras puedes ordenar flechas y círculos" Fíjate en que siempre hay 3 círculos (3 paladas de helado) y 4 flechas (tenemos que movernos 4 veces para ir del contenedor 1º al 5º). Así que (en general) hay r + (n-1) posiciones, y queremos que r de ellas tengan círculos. Esto es como decir "tenemos r + (n-1) bolas de billar y queremos elegir r de ellas". Es decir, es como el problema de elegir bolas de billar, pero con números un poco distintos. Lo podrías escribir así:

Probabilidad y Estadística

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (Se puede repetir, el orden no importa) Es interesante pensar que podríamos habernos fijado en flechas en vez de círculos, y entonces habríamos dicho "tenemos r + (n-1) posiciones y queremos que (n-1) tengan flechas", y la respuesta sería la misma...

¿Qué pasa con nuestro ejemplo, cuál es la respuesta? (5+3-1)! 3!(5-1)!

7! 3!×4!

5040 6×24

= 35

Probabilidad y Estadística

Act. ¿De c uántas formas dist int as p ueden se nt arse ocho personas alre de dor de una mesa redon da?

Act. ¿Cuántos n úmeros de 5 c ifras difer entes s e puede formar con los dígitos : 1, 2, 3, 4, 5?

Act. ¿De c uántas formas dist int as p ueden se nt arse ocho personas en una fila de butacas?

Probabilidad y Estadística

Act. A una reu nión asist en 10 personas y se intercambian sa ludos en tre todos. ¿Cuántos saludos se han inter cambiado?

Act. En una bodega hay en un c inco t ipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden eleg ir cuat ro botellas?

Act. En una c lase de 35 a lumnos s e qu ier e eleg ir un comit é formado po r tres alumnos. ¿Cuántos com ités dif er entes se pu eden formar?

Probabilidad y Estadística

CLAVES Act 1. Unidad 1 Ordenamiento de Datos Ordena los siguientes números de menor a mayor. 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 13

Act 2. Unidad 1 Ordenamiento de Datos Ordena los siguientes números de menor a mayor. 2.4, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.7, 2.7, 2.8, 2.8, 2.9, 3, 3, 3, 3.1, 3.2

Act 3. Unidad 1 Ordenamiento de Datos Ordena los siguientes años de 30 niños de secundaria de menor a mayor. 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13

Act 1. Unidad 2 Medidas de Tendencia Central Ordena todos los números de menor a mayor y obtén sus mediadas de tendencia central. 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9 Media Aritmética: 4. 76

Mediana: 56

Moda: 3 y 7

Probabilidad y Estadística

Act 2. Unidad 2 Medidas de Tendencia Central Ordena los números de hermanos de 20 niños de primaria. 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 9 Media Aritmética: 3.75

Mediana:

Moda: 2

Act 3. Unidad 2 Medidas de Tendencia Central De acuerdo a los siguientes datos que se tomaron de x colonia obtén las medidas de tendencia central. Media Aritmética: 7.33

Mediana:

Moda: 6

Act 1. Unidad 2 Tablas de Distribución de Frecuencias Ordena lo siguiente y realiza una tabla de distribución de frecuencias, con los siguientes datos. 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10 Datos

Fra

0.33

33 %

120°

0.25

0.58

25 %

90°

0.16

0.74

16 %

60°

0.16

0.9

16 %

60°

0.08

30°

Probabilidad y Estadística

Act2. Unidad 2 Tablas de Distribución de Frecuencias Completa esta tabla de distribución de frecuencias de los sabores favoritos para un pastel que se les preguntaron a 30 personas. Datos Chocolate Fresa Vainilla Moka

Fi 10 5 7 8

Fa 10 15 22 30

Fr 0.33 0.16 0.23 0.26

Fra 0.33 0.49 0.72 1

% 33% 16% 23% 26%

° 120° 60° 84° 96°

Act3. Unidad 2 Tablas de Distribución de Frecuencias Termina la tabla de distribución de frecuencias con los datos de los programas favoritos de 25 niños. Datos Bob Esponja El Chavo Victorius i Carly

Fi 9 6 4 6

Fa 9 15 19 25

Fr 0.36 0.24 0.16 0.24

Fra 0.36 0.6 0.76 1

% 36 % 24 % 16 % 24 %

° 129.6° 86.4° 57.6° 86.4°

Act 1. Unidad 2 Gráficas Realiza una grafica de barras con los siguientes datos.

Datos 12 13 14

Fi 6 3 5

6 5 4 3 2 1 0

12 58

Probabilidad y Estadística

Act 2. Unidad 2 Gráficas Realiza un polígono de frecuencias con los siguientes datos los kilos de diferentes frutas que compran en una tienda de abarrotes para vender.

Frutas

Kilos

Manzana

Plátano

Pera

Naranja

Uva

4 0 Manzana Plátano

Pera

Naranja

Uva

Act 3. Unidad 2 Gráficas Haz una grafica de pastel con los datos de las materias favoritas de 50 alumnos de primaria.

Materias

Alumnos que las prefieren

Español

Matemáticas

Historia

Ciencias Naturales

Español Matemáticas Historia Ciencias Naturales

Probabilidad y EstadĂstica

Act 1. Unidad 2 Tablas de intervalo de clase ObtĂŠn el intervalo, rango y amplitud de las siguientes estaturas de 35 alumnos de secundaria. 10.25, 10.25, 10.25, 10.26, 10.28, 10.30, 10.30, 10.30, 10.32, 10.34, 10.35, 10.36, 10.37, 10.37, 10.37, 10.37, 10.37, 10.37, 10.37, 10.37, 10.38, 10.39, 10.39, 10.39, 10.40, 10.40, 10.40, 10.45, 10.45, 10.50, 10.52, 10.52, 10.52, 20.53, 20.53

K=1+3.322 (log 35) K=1+ 3.322 (1.544)

R= 20.53- 10.25 R= 10.28

A= A=1.67

K= 1+5.129

A=2

K= 6.12

Act 2. Unidad 2 Tablas de intervalo de clase ObtĂŠn el intervalo, rengo y amplitud de las edades de 15 personas que les gusta jugar x videojuego. 4, 6, 7, 13, 15, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 22, 23, 25, 26,

K=1+3.322 (log 15)

R=26-4

K=1 + 3.322(1.1760)

R=22

A= 4.48

K=1+3.90 K=4.90 60

Probabilidad y Estadística

Act 3. Unidad 2 Tablas de intervalo de clase Realiza con los siguientes datos una tabla de intervalos de clase. 60, 60, 60, 61, 61, 62, 63, 63, 64, 64, 64, 65, 65, 65, 68, 68, 68, 69, 69, 69, 69, 70, 71, 72, 73, 75, 75, 77, 77, 77

Intervalo 60-62 63-65 66-68 69-71 72-74 75-77

Marca de Clase 61 64 67 70 73 76

Fa 6 8 3 6 2 5

6 14 17 23 25 30

0.2 0.26 0.1 0.2 0.06 0.16

Fra 0.2 0.46 0.56 0.76 0.82 1

% 20% 26% 10% 20% 6% 16%

° 72° 96° 36° 72° 24° 60°

Act 1. Unidad 2 Medidas de Dispersión Obtén las medidas de dispersión con las siguientes medidas de zapatos que se venden en x zapatería.

Datos

Frecuencia

23 24 25 26 27

7 9 5 4 8

Media Aritmética: 24.9 Mediana: 25

Probabilidad y Estadística

DM:

S2:

7|24.9-23|=13.3

7(24.9-23 )2=25.27

9|24.9-24|=8.1

9 (24.9-24)2=7.29

5|24.9-25|=0.5

5 ( 24.9-25)2=0.05

4|24.9-26|=4.4

4 ( 24.9-26)2=4.84

8|24.9-27|=16.8

8 (24.9-27)2=35.28

43.1/33= 1.3060

72.73/33= 2.2039

S= √2.2039

(100)

CV=

S=1.4845

CA=

CV=5.9618

CA= -0.2020

Act 2. Unidad 2 Medidas de Dispersión Realiza la siguiente actividad, completando la tabla de intervalos de clase y sacando sus medidas de dispersión, tendencia central y una grafica de pastel. Intervalo Marca Fi de Clase

Fra

0-1

0.5

0.1

10%

36°

2-3

2.5

0.175

0.275

17.5%

63°

4-5

4.5

0.325

0.6

32.5%

117°

6-7

6.5

0.25

0.85

25%

90°

8-9

8.5

0.15

15%

54°

Probabilidad y Estadística

Media Aritmética: 4.85 DM:

Mediana: 4.5

Moda: 4.5

4 |4.85-0.5|=17.4

4(4.85- 0.5)2=75.69

7 |4.85-2.5|=16.45

7(4.85-2.5)2=38.6575

13|4.85-4.5|=4.55

13(4.85-4.5 )2=1.5925

10|4.85-6.5|=16.5

10(4.85-6.5 )2=27.225

6 |4.85-8.5|=21.9

6(4.85- 8.5)2=79.935

76.8/40= 1.92

223.1/40= 5.5775

S= √5.5775

CV=

S=2.36

CV= 48.65

(100) CA= CA= 0.44

Act 3. Unidad 2 Medidas de Dispersión Realiza la tabla de distribución de frecuencias obtén las medidas de dispersión y tendencia central de los siguientes datos. Tallas de pantalón N° de personas que más vendidas las prefieren 7

Probabilidad y Estadística

Media Aritmética: 10.93 Mediana: 11

Datos 7 9 13 15

Fi 7 8 9 6

Fa 7 15 24 30

Fr 0.23 0.26 0.3 0.2

DM:

Moda: 13

Fra 0.23 0.49 0.79 1

7|10.93-7|=27.51

7( 10.93-7)2=108.11

8|10.93-9|=15.44

8(10.93-9 )2=29.79

9|10.93-13|=18.63

9 (10.93-13 )2=38.56

6|10.93-15|=24.42

6(10.93-15 )2=99.38

86/30= 2.86

275.84/30= 9.19

S= √9.19

CV=

S= 3.03

CV= 27.73

(100)

CA=

CA= -0.0693

% 23% 26% 30% 20%

° 84° 96° 108° 72°

Probabilidad y Estadística

Act.1 Unidad 3 ¿Qué es la probabilidad? 1. Que llueva 3 días consecutivos. EM: 8 2. Lanzar 2 monedas y anotar sus resultados. EM: 4 3. Lanzar 2 dados y anotar sus resultados. EM: 11

Act.2 Unidad 3 ¿Qué es la probabilidad? 1. Lanzar 3 diferentes monedas y anotar sus resultados. EM:8

2. Lanzar 3 dados iguales y anotar sus resultados. EM: 16

Act.3 Unidad 3 ¿Qué es la probabilidad? 1 2 3

EM: 6

1 2 3 4

1,2 1,3 2,1 2,3 3,1 3,2

EM: 12 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,4 4,1 4,2 4,3

1 2 3 4

EM: 20

1,2 1,3 1,4 1,5 2,1 2,3 2,4 2,5 3,1 3,2 3,4 3,5 4,1 4,2 4,3 4,5 5,1 5,2 5,3 5,4

Probabilidad y Estadística

Act.1 Unidad 3 Conozcamos la Probabilidad Fraudulentos Incendios Partes de automóviles Otros

6% 1% 3% 10%

No Fraudulentos 14% 29% 47% 90%

20% 30% 50%

Calcula la probabilidad de que una parte escogido al azar sea fraudulento. ¿Cuál será, en cambio, la probabilidad de que sea fraudulento si se sabe que es de la rama de incendios? 10/100 y 6/100

Act. 2 Unidad 3 Conozcamos la Probabilidad El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es: EM= 11 Podemos considerar algunos subconjuntos de EM, por ejemplo: Salir número par 6 Salir múltiplo de 3 4 Salir número primo 5 Salir #mayor a 10 2 Salir # mayor o igual a 12 1 Salir # menor o igual a 5 4 Salir # menor que 7 3 Salir mayor que 4 y menor a 8 3

Probabilidad y Estadística

Act. 3 Unidad 3 Conozcamos la Probabilidad En una máquina de chicles hay 15 amarillos, 10 rojos y 25 azules. ¿Cuál es la probabilidad de que salga azul? R= 25/50 En una baraja de 40 cartas, ¿Cuál es la probabilidad de que salga 1AS? R= 4/40 ¿Y 1AS de oros? R=1/40 En una caja tenemos 15 bolas blancas, 30 bolas negras y 45 bolas verdes. Si extraemos 1 bola ¿Cuál es la probabilidad de que salga negra? R=30/90 ¿Y que salga verde o blanca? R= 60/90

Act. 1 Unidad 3 Obtengamos el espacio muestral 2 1,1 3 1,2 2,1 4 3,1 1,3 3,2 5 4,1 1,4 3,2 2,3 6 3,3 5,1 1,5 2,4 4,2 7 4,3 3,4 6,1 1,6 5,2 2,5 8 4,4 6,2 2,6 5,3 3,5 9 4,5 5,4 6,3 3,6 10 5,5 6,4 4,6 11 5,6 6,5 12 6,6

Probabilidad y EstadĂstica

Act. 2 Unidad 3 Obtengamos el espacio muestral

3 1, 1, 1 4 2, 1,1 1, 1,2 1, 2,1 5 1,1,3

3,1,1

1,3,1 2,2,1 2,1,2 1,2,2

6 2, 2, 2 4, 1, 1 1,1,4 1,4,1 3,2,1 3,1,2 2,1,3 2,3,1 1,3,2 1,2,3 7 5,1,1 1,5,1 1,1,5 4,2,1 4,1,2 1,2,4 1,4,2 2,1,4 2,4,1 3,2,2 2,3,2 2,2,3 3,3,1 3,1,3 1,3,3 8 2,4,2 2,2,4 4,2,2 6,1,1 1,6,1 1,1,6 5,1,2 5,2,1 2,5,1 2,1,5 1,5,2 1,2,5 4,3,1 4,1,3 3,1,4 3,4,1 1,4,3 1,3,4 3,3,2 3,2,3 2,3,3 9 2,4,3 2,3,4 3,2,4 3,4,2 4,3,2 4,2,3 4,4,1 1,4,4 4,1,4 5,2,2 2,5,2 2,2,5 5,3,1 5,1,3 1,3,5 1,5,3 3,1,5 3,5,1 6,1,2 6,2,1 1,2,6 1,6,2 2,6,1 2,1,6 3,3,3 10 2,3,5 2,5,3 3,5,2 3,2,5 5,3,2 5,2,3 6,2,2 2,2,6 2,6,2 4,4,2 4,2,4 2,4,4 3,3,4 3,4,3 4,3,3 6,3,1 6,1,3 1,3,6 1,6,3 6,3,1 6,1,3 5,4,1 5,1,4 1,4,5 1,5,4 4,5,1 4,1,5 11 5,5,1 5,1,5 1,5,5 6,4,1 6,1,4 4,1,6 4,6,1 1,4,6 1,6,4 4,4,3 4,3,4 3,4,4 6,3,2 6,2,3 2,3,6 2,6,3 3,6,2 3,2,6 5,4,2 5,2,4 2,4,5 2,5,4, 4,5,2 4,2,5 5,3,3 3,5,3 3,3,5 12 6,3,3 3,6,3 3,3,6 4,3,5 4,5,3 3,5,4 3,4,5 5,4,3 5,3,4 4,4,4 4,6,2 4,2 6 2,6,4 2,4,6 6,2,4 6,4,2 5,5,2 5,2,5 2,5,5 6,5,1 6,1,5 5,1,6 5,6,1 1,5,6 1,6,5 13 5, 5,3 5, 3,5 3, 5,5 4,4,5 4,5,4 5,4,4 6,6,1 6,1,6 1,6,6 6,4,3 6,3,4 4,3,6 4,6,3 3,6,4 3,4,6 5,6,2 5,2,6 6,5,2 6,2,5 2,6,5 2,5,6 14 4,4,6 4,6,4 6,4,4 5,5,4 5,4,5 4,5,5 6,6,2 6,2,6 2,6,6 3,5,6 3,6,5 6,5,3 6,3,5 5,3,6 5,6,3 15 5,5,5 6,4,5 6,5,4 4,5,6 4,6,5 5,6,4 5,4,6 6,6,3 6,3,6 3,6,6 16 4,6,6 6,4,6 6,6,4 5,5,6 5,6,5 6,5,5 17 6, 5,6 6, 6,5 5, 6,6 18 6, 6,6

Probabilidad y Estadística

Act. 1 Unidad 3 Diagramas de árbol

Act. 2 Unidad 3 Diagramas de árbol

Probabilidad y EstadĂstica

Act. 1 Unidad 3 Permutaciones y Combinaciones

Act. 2 Unidad 3 Permutaciones y Combinaciones

Act. 3 Unidad 3 Permutaciones y Combinaciones

Act. 4 Unidad 3 Permutaciones y Combinaciones

Act. 5 Unidad 3 Permutaciones y Combinaciones

Act. 36 Unidad 3 Permutaciones y Combinaciones

Probabilidad y Estadística

FUENTES CONSULTADAS http://colposfesz.galeon.com/est501/suma/sumahtml/conceptos/estad istica.htm http://www.ematematicas.net/estadistica/medidas/?tipo=centil http://www.monografias.com/trabajos15/estadistica/estadistica.shtml http://www.uv.es/webgid/Descriptiva/22_percentiles_centiles.html

INTEGRANTES Diana Rubí Guzmán Jiménez Adrian Magaña Zúñiga David Dagoberto Vargas Barragán Leslye Getsemaníe Gonzalez Gonzalez

Probabilidad y Estadística Probabilidad y Estadística

Probabilidad y Estadística Este libro está diseñado y bien estructurado para que te sea práctico y sencillo entender los temas que implica la estadística y la probabilidad, así como aprender conceptos y realizar correctamente cualquier tipo de ejercicios. Te brinda la oportunidad de que practiques cada tema explicado, con actividades que te permiten manejar de manera adecuada y ágil cada ejercicio.

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