ΤΟ ΑΝΥΠΟΣΤΑΤΟ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΥ

1

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης

ΤΟ

ΑΝΥΠΟΣΤΑΤΟ

∞

ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΥ

[2]

Ο Εμμανουήλ Ξαγοραράκης γεννήθηκε στο Ηράκλειο της Κρήτης, στις 6 Ιουνίου του 1978. Μεγάλωσε στους Αγίους Δέκα, ένα χωριό στην κοιλάδα της Μεσσαράς του νομού Ηρακλείου Κρήτης, όπου και διαμένει. Από πολύ μικρή ηλικία το περιβάλλον του τον ξεχώριζε για την ιδιαίτερη λεκτική ικανότητά του, και τους ταλαιπωρούσε με τις απρόσμενες απορίες και τις ανεξάντλητες ερωτήσεις του πάνω σε θέματα λογικής και κοσμολογικής φύσεως, όπως το γιατί και πώς το φεγγάρι υπάρχει και το βλέπουμε να λάμπει και να μην πέφτει. Υπήρξε ως επί το πλείστον επιμελής και άριστος μαθητής στα σχολικά του χρόνια. Από τότε που θυμάται τον εαυτό του ζορίζει και στύβει το μυαλό του πάνω στο οποιοδήποτε, επιστημονικό και μη, θέμα το οποίο έχει για αυτόν ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Τα χρόνια της ανάπτυξής του ήταν ιδιαίτερα δύσκολα από ψυχολογικής απόψεως, λόγω του κοινωνικά αρνητικού πυρηνικού περιβάλλοντός του. Έτσι, στα 17 του χρόνια αποφάσισε και έκανε ψυχοθεραπεία. Η Παιδοψυχίατρος Ψυχοθεραπεύτρια Κατερίνα Μπιτζαράκη ήταν ο πρώτος "άγγελος" που βρέθηκε τότε στο δρόμο της ζωής του. Προέκυψε η έως και σήμερα φιλία του με την κυρία Μπιτζαράκη, για την οποία έχει μεγάλη ευγνωμοσύνη. Στα 18 χρόνια του έγινε σπουδαστής της Ανωτέρας Εκκλησιαστικής Σχολής Κρήτης (1996-1999) από την οποία και αποφοίτησε. Έχει εργαστεί ως καθηγητής Αγγλικών στον ιδιωτικό τομέα (φροντιστήρια ξένων γλωσσών), έχοντας την επάρκεια και άδεια διδασκαλίας της Αγγλικής (Proficiency Certificate: University of Michigan & University of Cambridge). Είναι κάτοχος Διπλώματος Ευρεσιτεχνίας (GR: 1006749) και έχει στο ενεργητικό του μερικά υψηλής πρωτοτυπίας επιστημονικά συγγράμματα, τα οποία όλα αποτελούν προϊόν της αποκλειστικά προσωπικής του προσπάθειας και εργασίας. Είναι συνειδητά Χριστιανός Ορθόδοξος, και ακραιφνώς Έλληνας. Έχει αγάπη για τη Δογματική Θεολογία, την Ψυχολογία/Ψυχοθεραπεία και την Αναλυτική Φιλοσοφία.

E-mail: exagorarakis@gmail.com

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[3]

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΞΑΓΟΡΑΡΑΚΗΣ

ΤΟ ΑΝΥΠΟΣΤΑΤΟ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΥ Αναλυτική θεωρία

[4]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης, Το Ανυπόστατο του Απείρου ISBN: 978-618-5147-12-9 Ιανουάριος 2015

Σχεδιασμός εξωφύλλου, σελιδοποίηση: Ηρακλής Λαμπαδαρίου www.lampadariou.eu

Ο συγγραφέας φέρει την ευθύνη για την επιμέλεια του κειμένου. Το παρόν σύγγραμμα διατίθεται και στην Αγγλική στο Amazon.com και Amazon Europe, καταχωρημένο στο όνομα του συγγραφέα: Emmanuel Xagorarakis This manuscript is also available in English on Amazon.com and Amazon Europe. It is registered in author’s name: Emmanuel Xagorarakis http://sorites.org/room/Manolis.htm

Εκδόσεις Σαΐτα Αθανασίου Διάκου 42, 652 01, Καβάλα Τ.: 2510 831856 Κ.: 6977 070729 e-mail: info@saitapublications.gr website: www.saitapublications.gr

Άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική χρήση Όχι Παράγωγα έργα 3.0 Ελλάδα Επιτρέπεται σε οποιονδήποτε αναγνώστη η αναπαραγωγή του έργου (ολική, μερική ή περιληπτική, με οποιονδήποτε τρόπο, μηχανικό, ηλεκτρονικό, φωτοτυπικό, ηχογράφησης ή άλλο), η διανομή και η παρουσίαση στο κοινό υπό τις ακόλουθες προϋποθέσεις: αναφορά της πηγής προέλευσης, μη εμπορική χρήση του έργου. Επίσης, δεν μπορείτε να αλλοιώσετε, να τροποποιήσετε ή να δημιουργήσετε πάνω στο έργο αυτό. Αναλυτικές πληροφορίες για τη συγκεκριμένη άδεια cc, μπορείτε να διαβάσετε στην ηλεκτρονική διεύθυνση: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[5]

[6]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[7]

Στην Κλειώ, την (πνευματική) Μάνα μου

[8]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[9]

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΟΙΜΙΟ...............................................................................................................................................11 ΤΟ ΑΝΥΠΟΣΤΑΤΟ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΥ.......................................................................................................13 1. Η αριθμητική ταυτότητα και η πλήρης απουσία σχέσης μεταξύ των αριθμών .....13 2. Η σχέση μεταξύ δύο αριθμών ως σχέση “συνθέτω” με “αποσυνθέτω”....................18 3. Ο ορισμός του, π.χ., 3 ως 1+1+1 το μολογεί ως μονομερές. .........................................26 4. Οι δεκαδικοί αριθμοί ...........................................................................................................35 5. Η διάταξη και ακολουθία των αριθμών..........................................................................36 6. Η κατά προσέγγιση διατύπωση των αριθμών. Η λύση του προβλήματος P Vs NP. Η απόδειξη του ότι ο συντομότερος δρόμος ανάμεσα σε δύο σημεία είναι η ευθεία γραμμή..............................................................................................................................................42 7. Η περίπτωση των αρνητικών αριθμών...........................................................................47 8. Οι Πρώτοι Αριθμοί ...............................................................................................................48 9. Οι άγνωστες (μη αριθμημένες) μονομερείς οντότητες (αριθμοί)..............................52 10. Η σχέση του Ανυπόστατου του Απείρου με τη Γεωμετρία και τη Φυσική. Η διαφορά με την Περατοκρατία [16]. Η απόδειξη του Ευκλείδειου Χώρου [17]. Η απόδειξη του ότι ο κύκλος δεν είναι Ευκλείδειος και, βάσει αυτού, το πώς ο κύκλος μετράται αυθεντικά. Η απάντηση στο πώς λειτουργεί το ποδήλατο..................................56 11. Η λύση των παραδόξων του αρχαίου Ζήνωνα: Ο Αχιλλέας και η χελώνα, η Διχοτομία και το Βέλος. Η λύση του παραδόξου του Σωρείτη.............................................65 12. Γιατί συγκεκριμένες αριθμητικές γενικεύσεις και νόμοι ισχύουν, ενώ προσπάθειες για άλλες (π.χ. η Εικασία του Goldbach, η Εικασία των Birch και Swinnerton-Dyer και η Υπόθεση του Riemann) αποτυγχάνουν .........................................67 13. Η άπειρη συνέχεια των δεκαδικών αριθμών.................................................................69 ΕΠΙΛΟΓΟΣ................................................................................................................................................71 ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ .......................................................................................................................................73

[10]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

∞

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[11]

ΠΡΟΟΙΜΙΟ Η παρούσα θεωρία αποτελεί καθαρά προσωπικό πόνημά μου και δε βασίζεται σε κανενός είδους προϋπάρχουσα γνώση – είναι παρθενογένεση. Αυτό σημαίνει ότι ο αναγνώστης δεν απαιτείται να έχει την οποιαδήποτε επιστημονική εκπαίδευση προκειμένου να κατανοήσει το σύγγραμμα. Επιπλέον συνιστά την πρώτη περίπτωση στην Ιστορία όπου έχουμε καταγραφή αμιγώς επιστημονικής και ορθολογικής αποδεικτικής γνώσης, η οποία δε βασίζεται καθόλου σε αξιώματα. Κι αυτό διότι όλη η λογική και οι αποδείξεις του παρόντος συγγράμματος βασίζονται αποκλειστικά στην αριθμητική ταυτότητα, η οποία είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει και δε νοείται με τρόπο αξιωματικό. Το αξίωμα είναι μια λογική/επιστημονική αξίωση, δηλαδή αυθαίρετη παραδοχή, ανεξάρτητα από το αν η παραδοχή είναι όντως σωστή ή λάθος. Ως εκ τούτου, η παρούσα θεωρία δε διατρέχει τον κίνδυνο της ελάχιστης λογικής αυθαιρεσίας, άρα η γνώση που προσφέρει έχει φύση απόλυτη και τέλεια. Από τον τίτλο της θεωρίας “Το Ανυπόστατο του Απείρου” ενδέχεται να συμπεράνει κανείς ότι, αν όντως ο τίτλος ισχύει, το καθετί (ο χώρος, ο χρόνος, η μάζα, η ενέργεια, κλπ.) έχει ένα ύστατο τέλος/τέρμα. Παρόλα αυτά, οι ίδιες αποδείξεις που καταργούν το άπειρο εισάγουν εντελώς νέα θεώρηση στην έννοια της μέτρησης και σε αυτό που αποκαλούμε όριο. Η έννοια του “ύστατου τέλους” δεν έχει τόπο στο παρόν σύγγραμμα, και συγκεκριμένα, μέσα στο παρόν σύγγραμμα, αναφερόμαστε στη διαφορά του Ανυπόστατου του Απείρου με την “Περατοκρατία”, η οποία δεν αποδεικνύει τίποτα. Σε αυτή τη θεωρία –Το Ανυπόστατο του Απείρου– αποδεικνύουμε ότι η αριθμητική υπόσταση του απείρου, άρα το άπειρο εν γένει, δεν υπάρχει. Δηλαδή, τίποτα δεν θεωρείται ως απείρου μεγάλης ή απείρου μικρής ποσότητας. Αυτό καθίσταται ξεκάθαρο και οριστικό από την αποκάλυψη της μοναδικής ποιότητας και φύσης του αριθμού∙ της ποιότητας η οποία είναι άγνωστη από τότε που ο Άνθρωπος άρχισε να αναλογίζεται τους αριθμούς και την αριθμητική. Η φύση του αριθμού είναι το ότι είναι μονομερής∙ αμέριστος, αδιαίρετος. Ως εκ τούτου, οι αριθμοί δεν μπορούν να έχουν τίποτα από κοινού μεταξύ τους, εφόσον, το να είναι εν μέρει όμοιοι (ή διαφορετικοί) απαιτεί το να επιμερίζονται, πράγμα το οποίο αποδεικνύεται αδύνατο από αυτή τη θεωρία. Ως ε τούτου, π.χ., ο 3 και ο 4 δεν μπορούν να συμπεριληφθούν σε έναν ορισμό διότι ο κοινός ορισμός τους απαιτεί κάποιο κοινό στοιχείο μεταξύ τους. Άρα ο πιο κοινός και θεμελιακός ορισμός του απείρου “για κάθε αριθμό ν ισχύει ν+1” δεν μπορεί να ισχύει διότι, για να επιτευχθεί, χρειάζεται ένας ορισμός για κάθε αριθμό του. Δεν υπάρχει η πιθανότητα να κάνουμε απείρως πολλούς ορισμούς. Και, επιπλέον, ο ορισμός του απείρου “για κάθε αριθμό ν ισχύει ν+1” συνιστά κάποιου είδους αριθμοσύνολο. Αλλά ένα σύνολο αριθμών είναι

[12]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

αδύνατο. Αυτό γιατί, π.χ., ο 3 και ο 4, ως μονομερείς, δεν μπορούν να συνιστούν σύνολο. Στα προβλήματα όπως η εικασία του Goldbach ή η υπόθεση του Riemann, δίνεται η πλήρη λύση, μέσω της κατάργησης του αριθμοσυνόλου, με τον αρνητικό τρόπο. Δηλαδή δεν μπορούν να αποδειχτούν διότι βασίζονται στην έννοια του αριθμοσυνόλου. Το πρόβλημα P Vs NP επίσης λύνεται εδώ με την εφαρμογή της αριθμητικής φύσης στη λογική του προβλήματος. Επιπρόσθετα, τα προβλήματα όπως ο αγώνας δρόμου μεταξύ του Αχιλλέα και της χελώνας, η Διχοτόμηση, και το Βέλος (του αρχαίου Ζήνωνα του Ελεάτη), καθώς και το παράδοξο του Σωρείτη, για τα οποία έχουν επιχειρηθεί λύσεις μέσω της αφηρημένης αρίθμησης, λύνονται εδώ μέσω της κατάργησης της αφηρημένης αρίθμησης. Και αυτό διότι η αφηρημένη αρίθμηση (αποστάσεων) απαιτεί τους αριθμούς εντός συνόλου∙ συνεχούς. Και αυτό είναι που αποδεικνύουμε στην παρούσα θεωρία ανυπόστατο. Άρα, ο Αχιλλέας σε κάποιο διακριτό σημείο (αριθμό χρόνου ή χώρου) θα έχει φτάσει ή ξεπεράσει τη χελώνα. Βάσει της κατάργησης του αριθμοσυνόλου και του απείρου, ριζικές αλλαγές προκύπτουν στη Θεωρία Αριθμών και τη Γεωμετρία, καθώς και σε θέματα της Φυσικής, όπως το προαναφερθέν. Απλά θα πρέπει να ξεχάσουμε την όποια γνώση που αφορά στο αριθμοσύνολο και το άπειρο. Ως προς τη Γεωμετρία, να σημειώσουμε ότι αποδεικνύεται ο Ευκλείδειος Χώρος. Δηλαδή τα αξιώματα του Ευκλείδη αποδεικνύονται και έτσι παύουν να είναι αξιώματα, δηλαδή αυθαίρετες παραδοχές/ορισμοί, και γίνονται αποδείξεις. Αποδεικνύεται εδώ το τι είναι ευθεία γραμμή (η έννοια και οντότητα της ευθείας γραμμής), το τι είναι γωνία και το τι είναι το τετράγωνο (και κατ’ επέκταση ο κύβος), το οποίο είναι η δομική μονάδα του Ευκλείδειου Χώρου! Ο κύκλος αποδεικνύεται ως μη Ευκλείδειο αντικείμενο, αλλά φυσική οντότητα, η οποία νοείται και υπολογίζεται με τους όρους της Φυσικής Επιστήμης. Έτσι λύνεται το προαιώνιο μυστήριο της μέτρησης του κύκλου… Αυτό έχει, πολύ χαρακτηριστικά, πρακτική εφαρμογή στο ότι δίδεται (επιτέλους!) η απάντηση για το πώς λειτουργεί και δεν πέφτει το ποδήλατο, το οποίο στηρίζεται και κινείται πάνω σε δύο κύκλους, τους τροχούς του!

∞

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[13]

ΤΟ ΑΝΥΠΟΣΤΑΤΟ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΥ 1.

Η αριθμητική ταυτότητα και η πλήρης απουσία σχέσης μεταξύ των αριθμών

Κάθε αριθμός είναι μοναδικός και πλήρως διαφορετικός από όλους τους άλλους. Αυτό σημαίνει ότι π.χ. ο 3 δεν μπορεί να σχετιστεί με τον 5 ατά κανένα τρόπο, άρα δε νοείται ούτε ως μέρος αυτού. Αν πούμε ότι ο 3 σχετίζεται με τον 5 ως μέρος του, τότε ουσιαστικά εννοούμε ότι αν προσθέσουμε 2 μονάδες στον 3, προκύπτει ο 5, ή αν αφαιρέσουμε 2 μονάδες από τον 5, προκύπτει ο 3. Έτσι, η συσχέτιση που επιχειρούμε να αποδείξουμε έγκειται στις ταυτότητες/ισότητες i) 3+2=5 και ii) 5–2=3, όπου 2=1+1, 3=1+1+1 και 5=1+1+1+1+1. Οι δύο αριθμοί, ο 3 και ο 5, μπορούν να συσχετιστούν μόνο στα πλαίσια των ως ανωτέρω ταυτοτήτων/ισοτήτων. Αλλά το 5 στην (i) σχετίζεται με το 3+2 και όχι με το 3. Το 3+2 είναι μια ενέργεια, ένας αριθμός ο οποίος ταυτίζεται με το 5. Έτσι, το 5 σχετίζεται (ταυτίζεται) μόνο με τον εαυτό του. Με αυτό εννοούμε ότι, εφόσον μόνο το όλο 3+2 σχετίζεται με το 5, και όχι μόνο το 3 ή το 2, και το 3+2 δεν μπορεί παρά μόνο να ταυτίζεται με το 5, είναι σαν να λέμε ότι το 5 σχετίζεται μόνο με τον εαυτό του. Μπορούμε να πούμε 5>3, άρα το 5 έχει σχετιστεί με το 3 καθαυτό. Όμως δεν μπορούμε να αγνοήσουμε το 5=3+2. Αυτή η ταυτότητα είναι η απόλυτη προϋπόθεση για να ισχύει 5>3. Από την άλλη, ο τρόπος που νοούμε το 5>3 ταυτίζεται με το 5=3+2∙ το ότι το 5 είναι μεγαλύτερο του 3 σημαίνει ότι το 5 αποτελείται από περισσότερες μονάδες από ό,τι το 3, το οποίο σημαίνει ότι ισχύει 5=3+χ. Αλλά το χ δε θα μπορούσε να είναι άλλο από το 2. Έτσι, το σχήμα 5>3 ταυτίζεται με την ταυτότητα 5=3+2. Άρα, το 2, παρόλο που δεν είναι εμφανές στην 5>3, ουσιαστικά υπάρχει σε αυτήν. Άρα και πάλι οδηγούμαστε στην ταυτότητα ως το μόνο τρόπο συσχέτισης. Εφόσον η ταυτότητα είναι ο μόνος τρόπος να σχετιστεί το 3 με το 5, η σχέση τους, για να υπάρχει, θα πρέπει να είναι σχέση ταύτισης. Και, δεδομένου του ότι κάτι τέτοιο δεν μπορεί να υπάρξει, δεν μπορεί να υπάρξει σχέση μεταξύ τους. Σε κάθε περίπτωση, βάσει του σχήματος 5>3, στο 5 αποδίδεται χαρακτηρισμός ο οποίος δηλώνει σύγκριση και διαφορά έναντι του 3, και όχι ομοιότητα. Αυτό ισχύει διότι, βάσει του 5>3, κανένα κοινό στοιχείο ανάμεσα στο 5 και το 3 δεν προκύπτει. Ενώ το 5 σε αυτή τη σχέση χαρακτηρίζεται απλά και μόνο ως “μεγαλύτερο” (περισσότερο μεγάλο), το 3 δεν αναφέρεται ως “μεγαλύτερο” (η μεγάλο) ούτως ώστε να ομοιάσει έστω εν μέρει με το 5. Και, εφόσον η 5>3 δε δίνει τίποτα άλλο από το χαρακτηριστικό “μεγαλύτερο”, το οποίο συνιστά διάκριση και όχι ομοιότητα, είναι προφανές ότι το 5 δεν μπορεί να έχει τίποτα από κοινού με το 3. Στην 5>3, εκτός από το ότι το “μεγαλύτερο” που αποδίδεται στο 5, δεν μπορεί να θεωρηθεί για το 3 –άρα δεν μπορεί να είναι κοινό χαρακτηριστικό τους–

[14]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

συμβαίνει επίσης το εξής: Το “μεγαλύτερο” έχει καθαρά ποσοτικό χαρακτήρα∙ εκφράζει τίποτα λιγότερο και τίποτα περισσότερο από την υπόσταση της ποσότητας, άρα του αριθμού. Το 3 είναι ποσότητα και μόνο, όντας αριθμός[1]. Το ότι το 5 είναι μεγαλύτερο από το 3 εξαρτάται αποκλειστικά από την πρόσθεση +2 στην 3+2=5. Το 2 είναι επίσης μόνο ποσότητα. Και, εφόσον το χαρακτηριστικό “μεγαλύτερο” εξαρτάται αποκλειστικά από την πράξη +2, το “μεγαλύτερο” είναι καθαρά υπόσταση ποσότητας γιατί, σε κάθε περίπτωση, το 3 και το 2 είναι ποσότητες. Και η αύξηση του 3, δηλαδή η 3+2, είναι κατ’ ουσίαν ποσοτική ενέργεια, αφού το +2 είναι ποσότητα. Όμως η ποσοτική ενέργεια 3+2, η οποία ορίζει αποκλειστικά τον όρο “μεγαλύτερο” για το 5, είναι αυτό καθαυτό το 5: 3+2=5. Και εφόσον το “μεγαλύτερο”, ως χαρακτηρισμός του 5, είναι καθαρά υπόσταση ποσότητας, δεν μπορεί παρά να ταυτίζεται με το 5 διότι το 5 είναι μόνο ποσότητα. Επίσης, το να προσδώσουμε το “μεγαλύτερο” στο 5 δημιουργεί μια ποσοτική ποσότητα, το οποίο είναι πλεονασμός. Άρα στην 5>3 το 5 δε χαρακτηρίζεται απλά μεγαλύτερο, αλλά το “μεγαλύτερο” είναι το όλο 5. Μπορούμε να πούμε ότι το 5 είναι η “μεγαλυτερότητα” (ή πλειονότητα). Αυτό σημαίνει ότι το όλο 5 ορίζεται ως “μεγαλυτερότητα” (πλειονότητα), και ότι η μεγαλυτερότητα δεν είναι ένα χαρακτηριστικό (δηλ. μέρος) του 5, το οποίο θα μπορούσε να συνδέσει το 5 με το 3. Έτσι, το 5 είναι η ποιότητα του να είναι κάτι μεγαλύτερο. Άρα, το μεγαλύτερο δεν μπορεί να συνιστά κοινό μέρος του 5 και του 3 στην 5>3. Το 5 δε θα μπορούσε να σχετιστεί με το 3 καθαυτό, δηλαδή χωρίς το +2, επειδή από τη μία τα μαθηματικά δεν παρέχουν μια τέτοια συσχέτιση, και από την άλλη, η λογική μας, στην προσπάθεια να συσχετίσει το 5 με το 3, χρησιμοποιεί όρους όπως “αριθμός” ή “σύνθεση μονάδων”. Αλλά, όπως είναι ευνόητο, ο όρος “αριθμός” δεν ορίζει το 3 ή το 5∙ τίθεται ως εκ των υστέρων ετικέτα τους. Επίσης, έχουμε: αριθμός = ν = 3 η 5. Άρα αυτό που αποκαλούμε αριθμό ταυτίζεται με το 3 ή το 5, κι έτσι δεν μπορεί να συνιστά (κοινό) μέρος του 3 και του 5. Το ίδιο ισχύει και για τον όρο “σύνθεση μονάδων”, ο οποίος ταυτίζεται με τον όρο “αριθμός”. Στην ταυτότητα/ισότητα 3+2=5, το 3 δεν μπορεί να θεωρείται αποκομμένο από το +2 στα πλαίσια της σχέσης του με το 5, επειδή με έτσι η ταυτότητα/ισότητα δεν ισχύει. Έτσι αντιλαμβανόμαστε το 3+2 ως αδιαίρετη ενέργεια ή οντότητα. Το 3 δεν έχει καμία σχέση με το 5 εφόσον δεν υπάρχει τρόπος να συμβαίνει αυτό. Σχέση με το 5 έχει μόνο το 3+2, δηλαδή το ίδιο το 5. Συνεπώς, το 3 και το 5 ως οντότητες που δεν μπορούν να σχετιστούν κατά κανένα τρόπο, είναι εντελώς διαφορετικές μεταξύ τους, άρα ορίζονται με εντελώς διαφορετικό τρόπο. Άρα, για τον ορισμό του άπειρου συνόλου των αριθμών, χρειάζεται άπειρος αριθμός ορισμών. Συνεπώς δεν μπορούμε να ορίσουμε –να συλλάβουμε– την υπόσταση ή έννοια του απείρου. Στα πλαίσια της ταυτότητας 3+2=5, κάποιος θα μπορούσε να πει ότι το 3 συνιστά ενέργεια του 5, άρα με αυτό τον τρόπο το 3 σχετίστηκε με το 5. Παρόλα

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[15]

αυτά, είναι σωστό μόνο το να πούμε ότι το 3+2 είναι ενέργεια του 5∙ όχι το 3 καθαυτό (μόνο του). Και αυτό διότι το 3 καθαυτό δεν μπορεί να έχει καμία σχέση με το 5. Αν αναλογιστούμε τη σχέση του 3 με το 5, μπορούμε μόνο να πούμε: 3 ≠ 5, άρα κάνουμε λόγο για απουσία σχέσης. Και πάλι, αν πούμε 3=5–2, δε σχετίζουμε το 3 με το 5, αλλά με το 5–2, άρα οδηγούμαστε στο ίδιο συμπέρασμα. Δεν μπορούμε να χαρακτηρίσουμε το 3 ως ενέργεια του 5 σκεπτόμενοι με την κοινή λογική. Οι αριθμητικές λειτουργίες είναι μόνο η πρόσθεση και αφαίρεση, και ο πολλαπλασιασμός και διαίρεση. Αυτές είναι οι στοιχειώδεις, και οποιαδήποτε άλλη λειτουργία η οποία εκφράζει αριθμητικές πράξεις με απόλυτους τρόπους, δηλαδή μέσω εξισώσεων που προσφέρουν ακρίβεια, βασίζεται αποκλειστικά στις αναφερθείσες, καθότι κατ’ ουσίαν αναλύεται σε αυτές και αποδεικνύεται επί τη βάσει αυτών [2]. Άρα, το 3, αν είναι ενέργεια π.χ. πρόσθεσης, τότε θα πρέπει να είναι για παράδειγμα η ενέργεια 2+1=3, και με κανένα τρόπο η ενέργεια 5, η οποία ισούται με το 3+2 ή με το 4+1, κλπ. Αν πούμε ότι το 3 είναι μέρος του 5, τότε, όπως είπαμε, οδηγούμαστε αναγκαστικά στη σχέση 3=5–2. Με άλλα λόγια, η μόνη σχέση μεταξύ αριθμών, την οποία παρέχει η Αριθμητική, είναι η σχέση της ταύτισης (ταυτότητας). Και αυτό είναι κρίσιμο διότι η Αριθμητική είναι η απόλυτα έγκυρη (η μόνη) επιστήμη των αριθμών. Οποιαδήποτε άλλη σχέση μεταξύ αριθμών, μερική και όχι ταύτισης, στα πλαίσια της αριθμητικής και των καθαρών αριθμών, δεν υπάρχει. Και, εν πάση περιπτώσει, η σχέση 5>3 ισοδυναμεί και πηγάζει από τη σχέση 5=3+2. Παρόλο που δεν μπορούμε να πούμε ότι ένας αριθμός είναι μέρος ενός άλλου αριθμού, μπορούμε να πούμε ότι δύο οντότητες που δεν είναι αριθμοί έχουν το χαρακτηριστικό η μία να είναι μέρος της άλλης∙ συνθετικό στοιχείο της. Π.χ. η οντότητα “πράσινο χρώμα” μπορεί να είναι μέρος (στοιχείο) της οντότητας “μήλο” ούτως ώστε να κάνουμε λόγο για ένα “πράσινο μήλο”. Δεδομένου του ότι το πράσινο χρώμα και το μήλο δεν είναι αριθμοί, άρα δεν μπορούν να δομήσουν μια ταυτότητα/ισότητα όπως Α∙Β=Γ ή Α+Β=Γ, όπου Α = πράσινο χρώμα, Β = τα υπόλοιπα στοιχεία και Γ = πράσινο μήλο, ο κίνδυνος του να μη μπορεί το πράσινο χρώμα να είναι μέρος του μήλου αποφεύγεται. Βέβαια, δε θα πρέπει να κάνουμε το λάθος να ταυτίσουμε το πράσινο χρώμα με τον αριθμό 1 σκεπτόμενοι ότι συνιστά συνθετικό 1 στοιχείο του μήλου, και το μήλο με τον αριθμό 10 σκεπτόμενοι ότι πιθανώς αποτελείται από 10 στοιχεία, από τα οποία το 1 είναι το πράσινο χρώμα. Αυτό θα ήταν ασυναρτησία διότι σε αυτή την περίπτωση αναλογιζόμαστε τη φυσική ποιότητα του πράσινου χρώματος και όχι την αριθμητικά του υπόσταση. Παρόλα αυτά, μια εύλογη απορία προκύπτει∙ λέγοντας ότι διαιρούμε το 6 σε δύο μέρη, πώς μπορεί αυτή η λογική να είναι λάθος, δεδομένου του ότι κάθε μέρος (το οποίο είναι το 3) φαίνεται να είναι μέρος του 6; Σε αυτό απαντούμε ότι η

[16]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

διαίρεση του 6 σε δύο μέρη ταυτίζεται με τη διαίρεση του 6 με το 2. Έτσι έχουμε 6/2=3. Και είναι προφανές ότι το 6 και το 3 δε σχετίζονται με κανένα τρόπο, με τον ίδιο τρόπο που το 3 και το 5 δε σχετίζονται στα πλαίσια της ταυτότητας 5=3+2. Και, αν μη τι άλλο το 6/2=3 => 6=3∙2 πηγάζει από το 6=3+3. Για να ισχύει μια ισότητα/ταυτότητα, π.χ. Α+Β=Γ, θα πρέπει το Α+Β να ταυτίζεται με το Γ και όχι να είναι περίπου ίσο με αυτό. Αυτό σημαίνει ότι η σχέση ανάμεσα σε δύο αριθμούς δεν μπορεί να εκτιμηθεί ως μερική ισότητα/ταυτότητα, παρά μόνο ως απόλυτη. Και, εφόσον δεν υπάρχει μερική ταυτότητα, δεν υπάρχει ούτε μερική διαφορά, διότι το να ταυτίζονται (ισούνται) μερικώς δυο αριθμοί ενέχει το να είναι μερικώς διαφορετικοί. Αν επρόκειτο να είναι μερικώς διαφορετικοί, δεν θα ήταν απόλυτα ταυτιζόμενοι συγχρόνως. Άρα το ότι υπάρχει μόνο η απόλυτη και όχι η μερική ταυτότητα μεταξύ αριθμών σημαίνει ότι αν δύο αριθμοί δεν ταυτίζονται (απόλυτα), θα πρέπει να είναι απόλυτα διαφορετικοί. Έτσι, κάθε αριθμός δεν έχει καμία σχέση με τους άλλους αριθμούς. Όσον αφορά στην αριθμητική ακολουθία, όπως αυτή εκφράζεται, με τον κάθε ακόλουθο αριθμό να συνιστά το σύνολο όλων των προηγούμενων, η απάντηση, επί της βάσεως αυτού που εδώ αποδεικνύουμε, είναι απλή. Η ακολουθία είναι: 0=κενό σύνολο, 1={0}, 2={0, 1}, 3={0, 1, 2}, κλπ [3]. Η ακολουθία ή διάταξη υποτίθεται ότι ισχύει πάνω στη βάση του ότι κάθε αριθμός περιέχει όλους τους προηγούμενους. Αλλά είναι προφανές ότι το 3={0, 1, 2} έχει ως απόλυτη βάση του το ότι το 3 είναι άμεσα ακόλουθο του 2. Αν δεν ήταν, τότε ή δε θα περιείχε το 0, το 1 και το 2 αλλά περισσότερα, ή θα περιείχε λιγότερα από αυτά. Αυτό διασφαλίζεται και διατυπώνεται ως 3=2+1, όπου το +1 είναι η έκφραση της άμεσης ακολουθίας. Το 2+1=3 είναι το μόνο θεμέλιο για να ισχύει 3={0, 1, 2} διότι είναι η μόνη απόδειξη για την ακολουθία. Και, ό,τι ισχύει για την 3+2=5, ισχύει την 2+1=3. Και, όπως το 3 δεν μπορεί να εκληφθεί ως μέρος του 5, έτσι το 2 ή το 1 δεν μπορεί να ειπωθεί ότι περιέχονται στο 3. Όσον αφορά στην ιδιότητα της διαδοχής ή προόδου, αυτή είναι απλά μια διατύπωση∙ μια μορφή, όπως είναι η 0, 1, 2, 3, 4… Και, όπως εξηγούμε στο κεφάλαιο 3 (παρακάτω) για το ότι το 3 είναι μονομερές, είναι θέμα κοινής λογικής να διακρίνουμε ανάμεσα στα μορφολογικά (οπτικά) και τα εννοιολογικά χαρακτηριστικά ενός σχήματος [4]. Είναι σημαντικό να έχουμε υπόψη το ότι βασιζόμαστε στην αριθμητική ταυτότητα προκειμένου να βρούμε τη φύση και τη σχέση των αριθμών. Και αυτό διότι, εκτός του κεφαλαίου 1, οι δύο άλλες κεντρικές αποδείξεις (κεφάλαια 2 και 3 στο παρόν σύγγραμμα) οι οποίες αποκαλύπτουν την αριθμητική φύση και τη σχέση μεταξύ των αριθμών, βασίζονται αποκλειστικά στην αριθμητική ταυτότητα καθότι είναι η βάση για τη λογική ανάλυση.

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[17]

Και, η οποιαδήποτε άλλη αρχή, όπως η προαναφερθείσα –μέσω της οποίας επιχειρείται η θεμελίωση του αριθμητικού συνεχούς (το οποίο καταργούμε εδώ)– είναι απόλυτα εξαρτώμενη από την αριθμητική ταυτότητα και επαληθεύεται από αυτήν. Αυτό σημαίνει ότι η ταυτότητα προηγείται οποιωνδήποτε τέτοιων αξιωμάτων. Η εγκυρότητά της είναι πρώτη. Η ταυτότητα, όπως γνωρίζουμε, είναι η απόλυτα έγκυρη αναφορά ως προς τους αριθμούς καθότι δε βασίζεται σε κανένα αξίωμα [5]. Είναι το απόλυτο “εργαλείο” μέσω του οποίου οι αριθμοί νοούνται. Συνεπώς, σε κάθε περίπτωση, το αριθμητικό συνεχές δεν μπορεί να υπάρχει και να στέκει, διότι οι ταυτότητες διασφαλίζουν (εντός της παρούσας θεωρίας) την ολοκληρωτική απουσία σχέσεων μεταξύ αριθμών.

[18]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

2. Η σχέση μεταξύ δύο αριθμών ως σχέση “συνθέτω” με “αποσυνθέτω” Ένας αριθμός δεν είναι το αντικείμενο της σύνθεσης, αλλά η ενέργεια, η πράξη της σύνθεσης. Τρία πορτοκάλια είναι μια σύνθεση πορτοκαλιών. Τρία μήλα είναι μια σύνθεση μήλων. Η διατύπωση “σύνθεση μήλων” και η διατύπωση “σύνθεση πορτοκαλιών” διαφέρουν ως προς τις λέξεις “μήλα” και “πορτοκάλια”. Αυτό που έχουν κοινό είναι η λέξη “σύνθεση”. Ομοίως, οι διατυπώσεις “τρία μήλα” και “τρία πορτοκάλια” διαφέρουν στα μέρη “μήλα” και “πορτοκάλια” έχουν κοινό τον αριθμό. Άρα, ο αριθμός είναι η ενέργεια και όχι ο στόχος (το αντικείμενο) της σύνθεσης, το οποίο παρόλο που μπορεί να ποικίλλει, δεν παύουμε να μιλούμε για σύνθεση, διότι πάντα είναι παρόν το στοιχείο του αριθμού. Η υπόσταση του συνθέτειν είναι η υπόσταση της πολλαπλότητας, του πλήθους, άρα είναι ο αριθμός των αντικειμένων και όχι τα αντικείμενα καθαυτά. Αυτό ισχύει γιατί αυτό που αποκαλούμε πορτοκάλι δεν είναι απαραίτητα σύνθεση πορτοκαλιών, διότι μπορεί να είναι μόνο ένα πορτοκάλι ή και κανένα. Εφόσον ένας αριθμός δε συνιστά το αντικείμενο (στόχο) της σύνθεσης, δηλαδή κάτι το οποίο συντίθεται από κάτι άλλο (όπως τα πορτοκάλια τα οποία καθίστανται σύνθετη οντότητα εξαιτίας του αριθμού 3), αλλά την ενέργεια (ή ποιότητα) του συνθέτειν, τότε είναι το μόνο σωστό να το εξετάσουμε στη ρηματική μορφή – ως ρήμα. Έτσι, ο αριθμός 6 είναι ένα “συνθέτω”. Όντως, 6=2∙3, όπου 2∙3 είναι ενέργεια και ενέχει πράξη. Το 6 είναι ένα “συνθέτω”. Η πράξη 2∙3 ταυτίζεται με αυτό το “συνθέτω”. Αν αναλογιστούμε την πράξη (2∙3)/3=2, τότε έχουμε μια ενέργεια αντίθετη στο “συνθέτω”∙ ένα “αποσυνθέτω”. Το “αποσυνθέτω” από τη μία ανήκει στην ίδια κατηγορία με το “συνθέτω”, το οποίο σημαίνει ότι είναι ενέργεια. Από την άλλη είναι μια ολοκληρωτικά αντίθετη ενέργεια προς το “συνθέτω”. Κι αυτό, διότι αυτό το “αποσυνθέτω” (ως αυτόνομη, καθαρή έννοια) είναι η πλήρης κατάργηση του “συνθέτω”. Άρα, το “αποσυνθέτω” το οποίο ορίζεται ως (2∙3)/3=2 δεν μπορεί να θεωρηθεί ως μέρος του “συνθέτω”, το οποίο έχει ως 2∙3=6 γιατί δε συνεισφέρει στη δόμηση και την ύπαρξη του 6, αλλά την καταργεί ολοκληρωτικά. Έτσι, αν το 6 έχει την υπόσταση του “συνθέτω”, το 2 είναι η απουσία του 6, ως “αποσυνθέτω”. Άρα το 2 δεν μπορεί να σχετίζεται με το 6. Φυσικά, όπως είναι γνωστό, κανείς όρος δεν μπορεί να περιγράψει (και ως εκ τούτου να θέσει από κοινού) αυτό που συμβατικά αποκαλούμε αριθμούς, εφόσον ο όρος αριθμός και οι συναφείς δεν ορίζονται. Ο πιο κοινός ορισμός του αριθμού είναι: (αριθμός είναι) “η ιδιότητα που κατέχει ένα άθροισμα ή σύνολο αόριστης ποσότητας μονάδων ή ατόμων” [6]. Αλλά η δόμηση του ορισμού ήδη περιέχει την έννοια του αριθμού εντός της, με διαφορετικές λέξεις, και συνεπώς έχουμε κυκλική επιχειρηματολογία: “…ένα άθροισμα…” δεν είναι τίποτε άλλο από ένας αριθμός πραγμάτων. Προφανώς, το ίδιο ισχύει για τους όρους “σύνολο” και “ποσότητα”. Και

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[19]

επίσης, σε οποιαδήποτε προσπάθεια ορισμού του αριθμού, έχουμε όρους όπως ποσότητα. Πάντα έχουμε κυκλικές προσπάθειες κατά την προσπάθειά μας να ορίσουμε το μη ορίσιμο. Για παράδειγμα: (Αριθμός είναι) μια έννοια ποσότητας η οποία ενέχει το μηδέν και τις μονάδες [6]. Και, αν μη τι άλλο, εδώ νοούμε το 2 και το 6 ως μεμονωμένες οντότητες∙ αποκομμένες από οποιοδήποτε υποτιθέμενο σύνολο στο οποίο θα μπορούσαν να ανήκουν, και το οποίο θα μπορούσε να τους προσδώσει την ιδιότητα “άρτιοι” (αριθμοί), κλπ. (Έτι περεταίρω, στο κεφάλαιο 12 εξηγούμε ακόμα και το γιατί τα σύνολα των “περιττών” και των “αρτίων” αριθμών δεν μπορούν να είναι σύνολα. Ως εκ τούτου, οι αριθμητικές ιδιότητες “περιττός” και “άρτιος”, ή οποιαδήποτε άλλη αριθμητική ιδιότητα, δεν ευσταθεί). Έτσι, μας ενδιαφέρει μόνο το χαρακτηριστικό που έχει το 2 να λειτουργεί ως ενέργεια αντίθεσης στην ενέργεια που έχει το 6∙ δηλαδή το 2 (ως “αποσυνθέτω”), νοείται ως άρνηση της υπόστασης του 6 (ως “συνθέτω”). Και ο όρος “συνθέτω” είναι συμβατικός στην προσπάθειά μας να περιγράψουμε το 6, και απλά αναφερόμαστε έτσι για τη διευκόλυνσή μας. Το 6 στην πραγματικότητα μπορεί να οριστεί ως αριθμητική ενέργεια, δηλαδή 2∙3 ή 1+1+1+1+1+1. Με αυτόν τον τρόπο αποφεύγεται το φαινομενικό παράδοξο του να είναι το 2 καθαυτό ένα “συνθέτω” (δηλαδή 2=1+1), παρότι είναι στην ουσία αντίθετο του 6 (το οποίο επίσης ονομάζεται “συνθέτω”). Για να διασαφηνίσουμε τη συλλογιστική μας και να τονίσουμε το γιατί ένα “συνθέτω” καταργείται από ένα “αποσυνθέτω”, και δεν καθίσταται απλά διαφορετικό, δηλαδή δεν καθίσταται ως σύνθεση λιγότερο σύνθετη ή απλούστερη, σημειώνουμε τα εξής: Είναι εντελώς διαφορετικό να “αποσυνθέσω” ένα “συνθέτω” από το να “αποσυνθέσω” μια “σύνθεση”, η οποία είναι το αντικείμενο ενός “συνθέτω”. Αν το “συνθέτω” είναι το 6, τότε μια “σύνθεση” είναι 6 αμάξια. Αν αποσυνθέσουμε τη σύνθεση των 6 αμαξιών, το οποίο σημαίνει ότι την κάνουμε απλούστερη, μπορούμε να έχουμε: 6 αμάξια/3 = 2 αμάξια. Με άλλα λόγια, αναλύσαμε (αποσυνθέσαμε) τα 6 αμάξια σε τρία ζεύγη. Αυτή η σύνθεση δεν έχασε την ποιότητά της (την υπόσταση που αποκαλείται “αμάξι”), απλά έγινε λιγότερο σύνθετη – απλούστερη. Και, η ποιότητα, η οποία δε χάθηκε, είναι αυτή με την ποία συνδυάσαμε τον αριθμό 6 (το “συνθέτω”) –το αμάξι– και όχι οποιαδήποτε άλλη υποτιθέμενη ποιότητα την οποία έχει το 6. Τα 2 αμάξια θεωρούνται μέρος των 6 αμαξιών διότι διατηρούν την ποιότητά τους. Αυτό σημαίνει ότι το μέρος έχει την ίδια ποιότητα με το όλο – απλά διαφέρει ως προς την ποσότητα. Άρα, δύο ποσότητες (αριθμοί) μη συνδυαζόμενες με ποιότητα (π.χ. την ποιότητα “αμάξι”), όπου η μία υποτίθεται ότι είναι “μέρος” της άλλης, είναι εντελώς διαφορετική περίπτωση. Επειδή καμία υπόσταση δε διατηρείται στο “μέρος” που ονομάζουμε ποσότητα, τότε αυτή η ποσότητα δεν μπορεί να θεωρείται μέρος της μεγαλύτερης ποσότητας. Στην 6/3=2 κανένα κοινό

[20]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

στοιχείο δε διατηρείται από το 6 στο 2 διότι το 6 είναι μόνο ποσότητα (δε συνοδεύεται από κάποια ποιότητα, π.χ. “αμάξι”). Και αυτή η ποσότητα προφανώς διαιρείται ολόκληρη στην 6/3. Έτσι, κανένα κοινό στοιχείο δε διατηρείται από τη διαίρεση 6/3 στο 2. Το ότι η οντότητα “2 αμάξια” είναι μέρος της οντότητας “6 αμάξια” σημαίνει ότι ταυτίζεται εν μέρει με αυτήν. Αυτό σημαίνει ότι είναι πανομοιότυπη ως προς την υπόσταση “αμάξια” και διαφορετική ως προς τον αριθμό (2, 6). Με λίγα λόγια, είναι εντελώς διαφορετικό να αποσυνθέσουμε μια σύνθετη οντότητα από ό,τι να αποσυνθέσουμε ένα “συνθέτω”. Ο όρος “συνθέτω” και ο όρος “σύνθεση” (σύνθετη οντότητα) δεν εκφράζουν ομόλογες υποστάσεις, αφ’ ης στιγμής ένα “αποσυνθέτω” περιλαμβάνει μόνο έναν αριθμό (π.χ. 6/3=2), ενώ μια σύνθεση περιλαμβάνει έναν αριθμό σε συνδυασμό με κάποια ποιότητα (π.χ. 6 αμάξια). Έτσι, αυτοί οι δύο όροι, ως μη ομόλογοι, δεν συμπεριφέρονται ανταγωνιστικά μεταξύ τους. Το “αποσυνθέτω” ως η άρνηση του “συνθέτω” δηλώνει την πλήρη απουσία του “συνθέτω” εντός του. Έτσι, η υπόσταση του “συνθέτω” απουσιάζει από το “αποσυνθέτω”. Άρα η υπόσταση του 6 είναι πλήρως απούσα από το 2. Το 6 και το 2 δε θεωρούνται καθόλου με όμοιο τρόπο. Μπορούμε επίσης να προσεγγίσουμε το θέμα ως εξής: Εφόσον το 6 είναι καθαυτό η ίδια η ενέργεια του συνθέτειν –2∙3– τότε το 2 από μόνο του δεν αποτελεί συνθετική ενέργεια καθόλου. Για να συστήσει τέτοια ενέργεια, πρέπει να θεωρηθεί πολλαπλασιαζόμενο (συντιθέμενο) με το 3. Άρα, εφόσον το 2 καθαυτό (μεμονωμένα) δε συμμετέχει στην ενέργεια του συνθέτειν, η οποία αποκαλείται 6, δε συνιστά μέρος του 6, διότι η ενέργεια του συνθέτειν “6” είναι η ίδια η υπόσταση του 6. Πραγματικά, αυτή η μη συμμετοχή του 2 στο “συνθέτω”, το οποίο ονομάζεται 6, το καθιστά κάτι από το οποίο το 6 –το “συνθέτω”– απουσιάζει. Με αυτό τον τρόπο εξηγείται το γιατί το “αποσυνθέτω” (2) νοείται ως η απουσία του “συνθέτω” (το οποίο είναι το 6). Η μόνη υπόσταση που έχει το 6 είναι η πολλαπλότητα ή, αλλιώς, το “συνθέτω”, το οποίο πηγάζει αποκλειστικά από τον αριθμό 6. Έτσι, εφόσον το 2 δε συμμετέχει σε αυτή την πολλαπλότητα από μόνο του, πράγμα το οποίο σημαίνει ότι δεν περιέχει αυτή την πολλαπλότητα, και δεδομένου του ότι αυτή η πολλαπλότητα είναι το όλο 6, άρα το 2 δεν έχει τίποτα κοινό με το 6. Σε αυτό το σημείο κάποιος θα μπορούσε να πει ότι το 6 δεν είναι ένα “συνθέτω”, αλλά μια σύνθεση∙ μια σύνθεση μονάδων. Όμως, όπως δείχνουμε σε άλλο μέρος της εργασίας μας, το νόημα του “συνθέτω” και αυτό της “μονάδας” δεν μπορούν να θεωρηθούν χωριστά – ως έχοντα ξεχωριστά νοήματα. Δεν μπορούν ουσιαστικά να διαχωριστούν. Αυτό ισχύει γιατί η πράξη του συνθέτειν έχει πάντα τις μονάδες ως το αντικείμενό της, εφόσον οτιδήποτε και να συνθέσουμε είναι μονάδα – μπορεί να θεωρηθεί μονάδα. Ως εκ τούτου, καθίσταται περιττό να πούμε ότι

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[21]

συνθέτουμε (αριθμητικές) μονάδες. Μπορούμε απλά να πούμε ότι συνθέτουμε. Άρα, η μονάδα ή οι μονάδες δεν εκλαμβάνονται ως το αντικείμενο του συνθέτειν, και ο αριθμός είναι ένα “συνθέτω” και όχι μια σύνθεση (ένα αντικείμενο του συνθέτειν). Ως συμπέρασμα, το ότι ένας αριθμός είναι η πράξη του συνθέτειν και όχι το προϊόν του –δηλαδή κάτι το σύνθετο– μας οδηγεί να πούμε ότι ο αριθμός δε διαιρείται. Λέγοντας ότι ένας αριθμός είναι διαιρέσιμος σημαίνει ότι η διαίρεση (ή αλλιώς, πολλαπλότητα) είναι χαρακτηριστικό του και συνεπώς μέρος/πλευρά της οντότητάς του. Όμως, η ίδια η ουσία του αριθμού είναι η πολλαπλότητα –το πλήθος– (ή η διαιρετότητα). Αυτή είναι η όλη οντότητά του. Έτσι, δεν μπορούμε να δράσουμε στον αριθμό και να τον διαιρέσουμε. Αυτό σημαίνει ότι η έκφραση “διαιρώ το 4 σε π.χ. τέσσερα μέρη” δεν είναι συνεπής διότι το ίδιο το 4 είναι η ενέργεια της διαίρεσης σε τέσσερα μέρη, δηλαδή η ποιότητα του τετραμερούς. Με άλλα λόγια, το να διαιρέσουμε μια οντότητα Α σε 4 μέρη σημαίνει το να αποδώσουμε σε αυτήν το χαρακτηριστικό του ότι είναι τετραμερής. Αλλά, αν αυτή η οντότητα είναι το 4, σίγουρα δεν μπορούμε να αποδώσουμε το χαρακτηριστικό της τετραμέρειας στην τετραμέρεια, δηλαδή στο 4, επειδή θα προκύψει πλεονασμός. Και είναι βέβαιο ότι έχουμε να κάνουμε με πλεονασμό διότι διατυπώνουμε: “το 4 είναι τετραμερές”, άρα αναφερόμαστε στην υπόσταση της τετραμέρειας δύο φορές, εφόσον 4=τετραμέρεια και τετραμέρεια=τετραμέρεια. Με άλλα λόγια, λέγοντας ότι το 4 είναι τετραμερές, ισοδυναμεί με το να πούμε ότι το 4 είναι μια “τετραμερής τετραμέρεια”, πράγμα το οποίο συνιστά πλεονασμό. Και αυτό είναι έτσι επειδή, αν πούμε 4=Α, τότε, αποδίδοντας στο 4 το χαρακτηριστικό “τετραμερές” ισοδυναμεί με το να θεωρήσουμε το χαρακτηριστικό Α εντός του Α [7]. Αυτό είναι παράλογο διότι με αυτό τον τρόπο θεωρούμε Α>Α. Αλλά μπορεί μόνο να ισχύει Α=Α. Έτσι, το μόνο που μπορούμε να πούμε είναι το εξής: το Α είναι το Α (Α=Α). Συνεπώς, στην περίπτωση του τέσσερα μας επιτρέπεται μόνο να πούμε ότι το 4 είναι το 4 (που σημαίνει ότι ταυτίσαμε το 4 με τον εαυτό του), και όχι ότι το 4 είναι (έχει το χαρακτηριστικό του να είναι) τετραμερές. Επιπλέον, δεν μας επιτρέπεται να θεωρήσουμε κανένα άλλο χαρακτηριστικό πολλαπλότητας του 4, όπως το “διμερής” (2) γιατί, αν το 4 θεωρείται “τετραμέρεια” λόγω του ότι δομείται από τέσσερις μονάδες, μπορούμε να θεωρήσουμε το 4 ως “διμέρεια” αν διατυπώσουμε 4=2+2 και 2=χ => 4=2∙χ. Το χ προφανώς συνιστά ένα μέρος διότι, αν το 4 ορίζεται ως “τετραμέρεια” επειδή 4=4∙1, τότε το 4 ορίζεται επίσης ως “διμέρεια” επειδή ισχύει 4=2∙2. Δηλαδή αν 1=ψ και 2=χ, τότε 4=4ψ=2χ. Τα χ και ψ είναι ίδιας φύσης – της φύσης του αριθμού,άρα αν το ψ θεωρείται “μέρος”, τότε το ίδιο θεωρείται το χ. Για αυτό, καμία ιδιότητα πολλαπλότητας δεν μπορεί να αποδοθεί στον αριθμό, εκτός από το ότι είναι μονομερής (απλός). Το γεγονός ότι μια οντότητα μερίζεται σημαίνει ότι μια επιμεριστική ενέργεια εφαρμόζεται σε αυτήν. Αλλά αν η όλη οντότητα είναι ο μερισμός, δεν

[22]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

μπορεί να νοηθεί πράξη διαίρεσής της, επειδή αυτό θα απαιτούσε την όλη ύπαρξή της. Αυτό σημαίνει ότι μια τέτοια πράξη θα μετέτρεπε την όλη υπόσταση της οντότητας, άρα δε θα υπήρχε κάποιο σταθερό σημείο αναφοράς επί του οποίου ο μερισμός θα μπορούσε θα επιτελεστεί [8]. Αν πριν το μερισμό έχουμε μια μερίσιμη (διαιρέσιμη) υπόσταση χ, τότε μετά το μερισμό θα πρέπει να έχουμε μια μερισμένη (διαιρεμένη) υπόσταση χ. Αν μετά το μερισμό η υπόσταση χ σταματά να είναι χ και γίνεται π.χ. χ/2=ψ, τότε η υπόσταση χ παύει να υπάρχει. Έτσι, δεν μπορούμε να κάνουμε λόγο για μερισμό υπόστασης, δηλαδή για το μερισμό πάνω στη βάση μιας υπόστασης και το μερισμό ως χαρακτηριστικό μιας υπόστασης, διότι ο μερισμός δεν μπορεί να είναι ποιότητα της χ, εφόσον η μερισμένη υπόσταση είναι ψ και όχι χ. Επιπλέον, ο όρος “αριθμός” ή “ποσότητα” δεν μπορούν να θεωρηθούν ως απαράλλαχτο σημείο αναφοράς κατά την αοσύνθεση του “συνθέτω” (αριθμού). Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορούμε να πούμε ότι το “συνθέτω” –6– έχει με το “αποσυνθέτω” –2– κοινή την υπόσταση της ποσότητας ή του αριθμού, διότι αυτοί οι όροι είναι μόνο συμβατικοί και το περιεχόμενό τους ταυτίζεται με το 6 ή το 2, και δεν αποτελεί επιμέρους χαρακτηριστικό τους. Για αυτό δεν υπάρχει σημείο αναφοράς κατά την “αποσύνθεση” του “συνθέτω”. Έτσι, το “συνθέτω” ταυτίζεται με αυτό που αποκαλούμε ποσότητα ή αριθμό. Επιπλέον, το ρήμα που προέρχεται από το ουσιαστικό “αριθμός” –αριθμώ– έχει το ίδιο νόημα με το “συνθέτω” γιατί η σύνθεση (ή το συνθέτειν), είναι ένας αριθμός, μια ποσότητα οντοτήτων. Ή, για να το πούμε καλύτερα, είναι η ποσότητα που συνοδεύει τις οντότητες [9]. Άρα το 6, ως “συνθέτω”, είναι ολοκληρωτικά απόν από το 2 – “αποσυνθέτω”. Και αυτό είναι βέβαιο διότι το “αποσυνθέτω” είναι εξ ορισμού αντίθετο στο “συνθέτω”. Έτσι, το 2 δεν μπορεί να είναι μέρος του 6. Μπορούμε μόνο να θεωρήσουμε το θέμα ως εξής: Στη φράση “έξι αμάξια” ο όρος “αμάξια” έχει την ποιότητα του σύνθετου, διότι τίθεται μαζί με τον αριθμό 6. Αν κάναμε λόγο για ένα αμάξι, τότε το σύνολο των αμαξιών δε θα είχε την ποιότητα “σύνθετο”. Έτσι, το 6 είναι αυτό καθαυτό η ποιότητα “σύνθετο”. Έτσι, το 6 δεν μπορεί να θεωρηθεί σύνθετο, δηλαδή να λάβει αυτή την ποιότητα, διότι αυτό θα ήταν πλεονασμός και ανυπόστατος συλλογισμός. Αυτό σημαίνει ότι θα μιλούσαμε για μια “σύνθετη σύνθεση”, πράγμα ασυνάρτητο, όπως είναι η “καλή καλοσύνη” ή η “ταχεία ταχύτητα”. Θα μπορούσε να ειπωθεί ότι, αν το 2 είναι ένα “αποσυνθέτω” του “συνθέτω” που είναι το 6, τότε το 1 είναι ένα μεγαλύτερο “αποσυνθέτω” διότι προκύπτει από την περεταίρω αποσύνθεση της αποσύνθεσης 6/3=2, δηλαδή την 2/2=1. Άρα, το 1 είναι ισχυρότερο “αποσυνθέτω” σε σχέση με το “συνθέτω” –6– έναντι του “αποσυνθέτω” – 2. Άρα, η διαφορά του 6 από το 2 είναι μια μερική διαφορά, εφόσον υπάρχει μια ισχυρότερη διαφορά η οποία είναι η διαφορά του 6 από το 1.

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[23]

Σε αυτό το επιχείρημα απαντούμε ότι δε μας ενδιαφέρει το αν το 1 έχει περισσότερες μονάδες απόσταση από το 6, από ό,τι έχει το 2. Μας ενδιαφέρει η σχέση που έχει η έννοια του 2 έναντι της έννοιας του 6, και η σχέση της έννοιας του 1 έναντι της έννοιας του 6. Το 2 και το 1, αν έχουν εννοιολογικό χαρακτηριστικό, αυτό είναι –συμβατικά– η έννοια της ποσότητας. Έτσι, δεν μπορούμε να ισχυριστούμε ότι το 1, ως έννοια ποσότητας, είναι περισσότερο μακριά από την έννοια της ποσότητας 6, από ό,τι είναι η έννοια 2 από την έννοια 6. Έτσι, το 1 και το 2, ως έννοιες έναντι του 6 είναι ίσες. Σε κάθε περίπτωση, όπως έχουμε πει, η έννοια του συνθέτειν είναι η έννοια της ποσότητας. Φυσικά, το 1 και το 2 ονομάζονται “αποσυνθέτω” σε σχέση με το 6, αλλά το “συνθέτω” και το “αποσυνθέτω” είναι ομόλογες έννοιες∙ και οι δύο σημαίνουν θετική ή αρνητική λειτουργία σύνθεσης. Άρα, μας ενδιαφέρει η ποιότητα που έχει το 2∙ να αποσυνθέτει το “συνθέτω” –6– δηλαδή να αρνείται την έννοιά του, και δε μας ενδιαφέρει ο βαθμός της αποσύνθεσης, ο οποίος δεν επηρεάζει την έννοια του “αποσυνθέτω”, της άρνησης του “συνθέτω”. Το ότι είναι αναγκαίο να ενδιαφερόμαστε μόνο για τη σχέση ανάμεσα στις έννοιες αυτών των αριθμών και όχι για τις ποσοτικές διαφορές τους, είναι προφανής αν σκεφτούμε ως εξής: Το 2 είναι το “αποσυνθέτω” του “συνθέτω” –6– διότι έχουμε 2=6/3. Το 1 είναι ένα μεγαλύτερο “αποσυνθέτω” του 6 διότι προκύπτει από την αποσύνθεση του 2, το οποίο 2 είναι το ίδιο ένα “αποσυνθέτω” του 6, δηλαδή έχουμε 1=2/2. Έτσι μπορούμε να πούμε ότι, αν το 2 είναι αποσύνθεση του 6, τότε το 1 είναι διπλή αποσύνθεση του 6. Αλλά το χαρακτηριστικό του “αποσυνθέτω” –1– το “διπλό” “αποσυνθέτω”, δεν είναι τίποτα διαφορετικό από την ίδια την υπόσταση του “αποσυνθέτω”, εφόσον το “διπλό” προκύπτει από (και ταυτίζεται με) τη διαίρεση του 2 με το 2, δηλαδή την αποσύνθεση του 2. Έτσι, αν το 2 σε σχέση με το 6 είναι ένα “αποσυνθέτω” ή μια αποσύνθεση, τότε το 1 σε σχέση με το 6 είναι μια “αποσύνθετη αποσύνθεση”, δηλαδή η έννοια της αποσύνθεσης αναφερόμενη δύο φορές. Άρα, η μεγαλύτερη ποσοτική διαφορά που έχει το 1 από το 6 από αυτή που έχει το 2 από το 6, δεν προσφέρει καμία εννοιολογικά διαφοροποίηση ανάμεσα στις σχέσεις 1 με 6 και 2 με 6. Αυτό σημαίνει ότι και στις δύο σχέσεις το μόνο υπαρκτό στοιχείο είναι η σχέση του “συνθέτω” με το “αποσυνθέτω”. Στη σχέση των 1 και 6, παρότι αυτή χαρακτηρίζεται διπλή αποσύνθεση, το στοιχείο “διπλή” δεν προσφέρει τίποτα παραπάνω σε αυτήν από ό,τι προσφέρει το “αποσυνθέτω”. Είναι εύκολα κατανοητό ότι επίσης στη φράση “μεγαλύτερη αποσύνθεση” ο όρος “μεγαλύτερη” δεν έχει σημασία αφού ο όρος “μεγαλύτερη” και ο όρος “διπλή” στην περίπτωση αυτή αντιπροσωπεύουν την ίδια έννοια Από την άλλη, όπως έχουμε πει, μια “αποσύνθετη αποσύθεση” είναι πλεονασμός και είναι μόνο σωστό να αναφερθούμε σε μια απλή σύνθεση. Άρα, μια αποσύνθεση δεν μπορεί να ονομάζεται διπλή, και για αυτό, ούτε μεγαλύτερη, αλλά

[24]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

μόνο αποσύνθεση. Αυτό είναι έτσι επειδή αποσύνθεση και σύνθεση είναι ομόλογες υποστάσεις, αφ’ ης στιγμής ταυτίζονται και οι δύο με τον αριθμό, κι έτσι ό,τι ισχύει για τη μία ισχύει και για την άλλη. Μια “αποσύνθετη αποσύνθεση” του 6, δηλαδή η 2/2=1, όχι μόνο αποτυγχάνει να διαφοροποιήσει τη σχέση 6 με 1 από τη σχέση 6 με 6/3=2, δηλαδή τη (σκέτη) “αποσύνθεση”, μόνο σε επίπεδο λειτουργίας (ποιότητας), αλλά επίσης σε επίπεδο ποσότητας (γιατί, ούτως ή άλλως, ποιότητα και ποσότητα του αριθμού είναι το ίδιο πράγμα: ένας αριθμός είναι μόνο μια ποσοτική οντότητα): Αν πούμε ότι το 1 έχει μεγαλύτερη διαφορά από το 6, από αυτή που έχει το 2 από το 6, η μεγαλύτερη διαφορά είναι μόνο διαφορά ποσότητας. Άρα, συγκρίνουμε δύο ποσοτικές διαφορές και η σύγκριση (η διαφορά των διαφορών) είναι ποσοτική διαφορά – ποσότητα. Έτσι, η ποσοτική διαφορά του 1 από το 6 διαφέρει μόνο από άποψη ποσότητας από αυτήν του 2 από το 6. Συνεπώς, εφόσον η διαφορά των ποσοτήτων είναι ποσότητα, το μόνο χαρακτηριστικό που μπορούμε να αποδώσουμε στη σύγκριση των σχέσεων μεταξύ αριθμών είναι ο εαυτός τους: η ποσότητα. Συνεπώς, το 6 έχει την ίδια διαφορά (σχέσης) από το 1 με τη διαφορά που έχει από το 2. Το γεγονός ότι, όπως έχουμε πει, το συνθέτειν και το αποσυνθέτειν είναι ομόλογα, σε συνδυασμό με το γεγονός ότι το ένα είναι αντίθετο του άλλου, τα καθιστά εντελώς ανόμοια μεταξύ τους, με το ένα να είναι η ολική απουσία του άλλου. Για να το καταλάβουμε αυτό, ας πάρουμε δύο άλλες ομόλογες υποστάσεις: τις 2 και 1/2. Αυτές οι υποστάσεις είναι ομόλογες ως προς το ότι είναι η μονάδα διπλή. Αλλά η μία είναι διπλή με τον αντίστροφο τρόπο από την άλλη∙ το 2 είναι διπλό υπό την έννοια ότι πολλαπλασιάζουμε το 1 με το 2, ενώ το 1/2 είναι διπλό υπό την έννοια ότι το 1 διαιρείται με το 2. Το ότι το 2 είναι η ολική απουσία (ή άρνηση) του 1/2 είναι εμφανές αν τα θέσουμε μαζί. Τότε εξουδετερώνονται: (2∙1)/2=1. Δηλαδή έχασαν το διττό τους χαρακτήρα και έγιναν ουδέτερα∙ έγιναν ενικά (το 1 παρήχθη). Ομοίως, οι αριθμοί +1 και –1, οι οποίοι είναι ομόλογοι από την άποψη ότι είναι μια μονάδα μακριά από το μηδέν, δεδομένου ότι ο ένας είναι θετική και ό άλλος είναι αρνητική ποσότητα (το οποίο σημαίνει ότι ο ένας είναι η άρνηση του άλλου), ο ένας είναι ολοκληρωτικά απών από τον άλλον εφόσον, τεθειμένοι μαζί, καταργούνται τελείως: +1 –1 = 0. Αυτό σημαίνει ότι η ιδιότητά τους να είναι μια μονάδα απόσταση από το μηδέν χάθηκε. Έτσι, επίσης η υπόσταση του συνθέτειν, δεδομένου ότι είναι ομόλογη του αποσυνθέτειν, είναι εντελώς απούσα από αυτήν. Αυτό σημαίνει ότι δύο ομόλογες υποστάσεις, όταν είναι αντίθετες, η ποιότητά τους που χαρακτηρίζεται ως ομόλογη, είναι καθολικά απούσα από τη μία σε σχέση με την άλλη. Αυτό είναι έτσι διότι είναι εντελώς αντίστροφες μεταξύ τους, εφόσον προκύπτει ολική εξουδετέρωση και απώλεια όταν τεθούν μαζί (σχετιστούν) [10]. Έτσι, η μία είναι ολοκληρωτικά αντίθετη της άλλης, το οποίο σημαίνει ότι το αποσυνθέτειν (2) είναι ολοκληρωτικά

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[25]

αντίθετο στο συνθέτειν (6) και δεν συνιστά μερική άρνησή του (απουσία του). Και, το 2, σχετιζόμενο με το με το 6, δεν μπορεί να έχει και κανένα άλλο κοινό στοιχείο, εφόσον η όλη υπόσταση του 6 είναι το συνθέτειν και η όλη υπόσταση του 2 είναι το (απο)συνθέτειν. Εδώ σημειώνουμε ότι ο χαρακτηρισμός του 1 και του 2 και συνεπώς του 6 ως ποσοτήτων δεν καθιστά το 1, το 2 και το 6 ταυτιζόμενες υποστάσεις, διότι αυτός ο χαρακτηρισμός χρησιμοποιείται απλά για να μας βοηθήσει να εντοπίσουμε το χαρακτηριστικό που έχουν τα 1, 2 και 6: το ότι δεν έχουν χαρακτηριστικά εκτός από τον εαυτό τους, ο οποίος δεν μπορεί να χωριστεί σε άλλα χαρακτηριστικά. Ως εκ τούτου, τα 1, 2 και 6 θεωρούνται όμοια. Και είναι αυτή η συγκεκριμένη ομοιότητα η οποία μας ωθεί, έστω και συμβατικά, να τα θεωρήσουμε με τον κοινό όρο “ποσότητα”.

[26]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

3. Ο ορισμός του, π.χ., 3 ως 1+1+1 το μολογεί ως μονομερές Ένας αριθμός είναι μια σύνθεση μονάδων∙ τίποτα περισσότερο, τίποτα λιγότερο [9]. Αυτό είναι προφανές. Οι δύο υποστάσεις του όρου “σύνθεση μονάδων”, η “σύνθεση” και οι “μονάδες” εξαρτώνται μεταξύ τους με απόλυτο τρόπο, ούτως ώστε να εκλαμβάνονται ως μία υπόσταση, μία αδιαίρετη οντότητα. Η υπόσταση της σύνθεσης, από τη μία δεν μπορεί να χωριστεί από την υπόσταση των μονάδων, και από την άλλη, η σύνθεση συνδέεται μόνο με τις μονάδες. Δηλαδή, οτιδήποτε και να συνθέσουμε, π.χ. υλικά αντικείμενα, ιδέες, κλπ, θεωρείται και λειτουργεί ως αυτό που ονομάζουμε μονάδες. Αυτό είναι τόσο αυταπόδεικτο ώστε η φράση “σύνθεση μονάδων” είναι πλεονασμός, διότι η σύνθεση δε θα μπορούσε να έχει κάποιο αντικείμενο εκτός από μονάδες. Από την άλλη πλευρά, συλλογιζόμενοι κάποιες μονάδες, μπορούμε να τις χαρακτηρίσουμε μόνο ως συντιθέμενες, εφόσον, αν αναλογιστούμε τρεις μονάδες, +1 +1 και +1, μπορεί μόνο να ισχύει +1+1+1=3, όπου το 3 είναι η σύνθεση των μονάδων. Σε κάθε περίπτωση, τις αποκαλέσαμε ήδη μονάδες από την ίδια τη στιγμή που υποθέσαμε την ύπαρξή τους (“αν αναλογιστούμε τρεις μονάδες, +1 +1 και +1…”). Έτσι, οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι είναι αρκετό να διατυπώσουμε τη λέξη “μονάδες” προκειμένου να περιγράψουμε έναν αριθμό, χωρίς να χρειαζόμαστε να αναφέρουμε τη λέξη “σύνθεση” ως αυτό που ορίζουν οι μονάδες [7]. Ομοίως, όταν αναφερόμαστε στη σύνθεση, είναι πλεονασμός να αναφέρουμε τη λέξη “μονάδες” μετά από αυτήν. Ως εκ τούτου, ένας αριθμός είναι αδιαίρετη υπόσταση. Δηλαδή, αν ο όρος “σύνθεση” δε χρησιμοποιηθεί (αλλά χρησιμοποιηθεί μόνο η έννοια της μονάδας), ο αριθμός δεν μπορεί να χαρακτηριστεί σύνθετος. Παρόλα αυτά, εφόσον ο αριθμός 3 δεν αποτελείται μόνο από μία μονάδα, αλλά από τρεις, προκύπτει το ερώτημα πώς μπορεί να είναι μονομερής (αδιαίρετη) υπόσταση. Αν πούμε ότι ο 3 (+1+1+1) διαιρείται στη μονάδα (+1) και τη μονάδα (+1) και τη μονάδα (+1), τότε αποδίδουμε το χαρακτηριστικό “τριπλός” σε αυτόν. Όμως αυτό το χαρακτηριστικό είναι η τριμέρεια, άρα η έννοια της ύπαρξης τριών μερών, άρα τριών μονάδων. Έτσι, η υπόσταση “τριμερής” είναι η υπόσταση “3”∙ ο αριθμός 3. Άρα, αποδίδουμε το χαρακτηριστικό 3 στον 3. Αυτό σημαίνει ότι ταυτίσαμε τον 3 με τον εαυτό του. Ως εκ τούτου, ο 3 δεν μπορεί να είναι σύνθετος (τριπλός) επειδή, όπως είπαμε, ο 3 είναι καθαυτός η σύνθεση. Το ότι η σύνθεση (τριμέρεια) δεν είναι επί μέρους χαρακτηριστικό (στοιχείο) του 3 (αλλά ο ίδιος ο 3) σημαίνει ότι δεν μπορούμε να θεωρήσουμε τον 3, και ταυτόχρονα να θεωρήσουμε το χαρακτηριστικό “τριπλός” σε αυτόν. Αν θεωρήσουμε τη σύνθεση (συνύπαρξη) των υποστάσεων “3” και “τριπλός”, πράγμα το οποίο σημαίνει ότι προσάψαμε το χαρακτηριστικό “τριπλός” στον 3, τότε συνειδητοποιούμε ότι ο 3 χάθηκε. Αυτό συμβαίνει διότι,

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[27]

εφόσον η τριμέρεια είναι το ίδιο το 3, τότε ένα τριμερές 3 είναι ένα τριπλό 3, δηλαδή 3∙3. Έτσι, έχουμε 3∙3=9, άρα ένα τριπλό 3 είναι 9 και όχι 3. Το τριπλό, σε σχέση με το 3, στην πραγματικότητα χαρακτηρίζει το 9 και όχι το 3. Έτσι, το 3, ως η καθαυτή έννοια του συνθέτειν (τριμέρεια), δεν μπορεί να είναι σύνθετο, και συνεπώς είναι απλό∙ μονομερές. Σύμφωνα με ό,τι έχουμε ως τώρα διατυπώσει, αν προσάψουμε το “τριπλό” στο 3, η υπόστασή του χάνεται και αντιμετωπίζουμε πλεονασμό (διότι 3∙3=9, όπου, αν μη τι άλλο, το 9 είναι πλεονάζουσα –μεγαλύτερη– ποσότητα σε σχέση με το 3). Αλλά αν προσάψουμε σε αυτό το χαρακτηριστικό “μονομερές”, τότε ισχύει, αντίστοιχα, 1∙3=3. Άρα, η μονομέρεια, ως ποιότητα του 3, είναι απόλυτα σωστή, διότι το να αποδίδεται το μονομερές στο 3, σημαίνει ότι όντως αποδόθηκε σε αυτό (διότι 1∙3=3) και δεν καταλήγει να αποδίδεται σε άλλον αριθμό (όπως στο 3∙3=9). Αυτό το φαινόμενο, το οποίο προκύπτει από την προσπάθειά μας να αποδώσουμε την ποιότητα “σύνθετος” στον αριθμό, δε συμβαίνει με τις άλλες υποστάσεις. Η υπόσταση “μήλο” ή “μήλα” μπορεί να είναι τριπλή δηλαδή μπορούμε να έχουμε 3 μήλα χωρίς το 3 να ταυτίζεται με κανένα τρόπο με τα “μήλα” και χωρίς ένα “τριπλό μήλο” να δομεί μια υπόσταση διαφορετική από το “μήλο” – αντίθετα με τον 3, ο οποίος με αυτό τον τρόπο περιγράφει κάτι άλλο από τον 3, δηλαδή τον 9. Άρα δύο αριθμοί, π.χ. ο 3 και ο 9, είναι απλές και αδιαίρετες υποστάσεις και, ως προφανώς διαφορετικοί μεταξύ τους, είναι απόλυτα διαφορετικοί, και όχι μερικώς. Αυτό σημαίνει ότι ο καθένας από αυτούς νοείται (και ορίζεται) με εντελώς διαφορετικό τρόπο. Έτσι, για κάθε αριθμό, απαιτείται ένας εντελώς διαφορετικός και μοναδικός ορισμός. Άρα, προκειμένου να συλλάβουμε μια Α ποσότητα αριθμών, χρειαζόμαστε Α ποσότητα ορισμών. Για να συλλάβουμε (δηλαδή να ορίσουμε, να διατυπώσουμε, να υποθέσουμε, κλπ) μια άπειρη ποσότητα αριθμών, χρειαζόμαστε άπειρη ποσότητα (πλήθος) ορισμών, και όχι έναν ορισμό όπως: για κάθε αριθμό ν ισχύει ν+1. Άρα, η έννοια του απείρου δεν υπάρχει πιθανότητα να οριστεί, άρα είναι εντελώς ανυπόστατη. Εκτός αυτού, το ότι για να νοήσουμε την άπειρη ποσότητα αριθμών – συνεπώς την ίδια την υπόσταση του απείρου– απαιτείται άπειρος αριθμός ορισμών, σημαίνει ότι για να συλλάβουμε το άπειρο, πρέπει να συλλάβουμε το άπειρο. Αυτό είναι κυκλικό επιχείρημα το οποίο επίσης καθιστά το άπειρο ανυπόστατο. Επίσης, στα πλαίσια του απείρου, αντιλαμβανόμαστε τους αριθμούς ως ένα σύνολο∙ ένα σύνολο απείρως πολλών αριθμών, ή μιας απείρως μεγάλης ακολουθίας αριθμών, η οποία είναι ένα σύνολο. Και, οι αριθμοί, ως εντελώς διαφορετικοί μεταξύ τους, δεν μπορούν να συνιστούν σύνολο. Έτσι, το άπειρο δεν ορίζεται. Όπως είπαμε, η υπόσταση των μονάδων είναι απόλυτα ενωμένη με την υπόσταση της σύνθεσης, ούτως ώστε αυτές οι δύο υποστάσεις να είναι κυριολεκτικά μία υπόσταση –μία μονομερής υπόσταση– διότι η καθεμία ταυτίζεται με την άλλη, ούτως ώστε δε συνιστούν δύο (χωριστά, διακριτά) μέρη. Άρα, αν θεωρήσουμε τις

[28]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

υποστάσεις: “μονάδα”, “μονάδα” και “μονάδα”, δηλαδή μια ποσότητα μονάδων, αυτές οι υποστάσεις μπορούν μόνο να νοηθούν ως συντιθέμενες μεταξύ τους αυτόματα. Για +1, +1 και +1 δεν υπάρχει πιθανότητα να μην είναι +1+1+1=3. Και αυτό διότι οι μονάδες είναι καθαρά αφηρημένες οντότητες και η σύνθεσή τους δεν έχει ανάγκη εγγύτητας στο χώρο και τα χρόνο, αντίθετα, π.χ., 3 αντικείμενα τα οποία είναι μακριά μεταξύ τους και δεν μπορούν να συστήσουν σύνολο στο χρόνο και το χώρο. Άρα, είναι μόνο αρκετό να αναφέρουμε ή απλά να σκεφτούμε τις υποστάσεις “μονάδα”, “μονάδα” και “μονάδα” [11] προκειμένου να αντιληφθούμε ξεκάθαρα τον αριθμό 3. Ο όρος “σύνθεση” (μονάδων), όπως έχουμε πει, είναι πλεονασμός. Αλλά οι υποστάσεις “μονάδα”, “μονάδα” και “μονάδα” ταυτίζονται. Έτσι, προκειμένου νοήσουμε το 3, μόνο μία υπόσταση χρησιμοποιείται: η μονάδα. Το ότι η μονάδα αναφέρεται 3 φορές δε συνιστά επιπρόσθετο χαρακτηριστικό του 3 διότι το νόημα της φράσης “τρεις φορές”, δηλαδή ο αριθμός 3, είναι καθαυτό η αναφορά της μονάδας: το σχήμα “μονάδα”, “μονάδα” και “μονάδα” ισούται με το +1+1+1=3. Έτσι το σχήμα 1+1+1 είναι όλο κι όλο το 3. Αλλά σε αυτό το σχήμα υπάρχει μόνο υ υπόσταση “μονάδα” (+1). Εκτός αυτού, η επαναλαμβανόμενη αναφορά της μονάδας (εδώ τρεις φορές) είναι η σύνθεση των μονάδων και, όπως έχουμε πει, οι υποστάσεις “σύνθεση” και “μονάδες”, δηλαδή “μονάδα”, “μονάδα”, “μονάδα”, ταυτίζονται. Από την άλλη πλευρά, η μονάδα είναι μονομερής από τη φύση της. Αυτό διότι ο ίδιος ο ορισμός και η οντότητα του μονομερούς (ενικότητας) είναι η μονάδα [12]. Μονομερές είναι αυτό το οποίο αποτελείται από ένα στοιχείο∙ αυτό του οποίου τα συνθετικά στοιχεία είναι (έχουν πλήθος) ένα. Από αυτά οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι ο 3 ή ο 4 ή ο 5, κλπ, είναι μονομερείς υποστάσεις. Ως εκ τούτου, ο 3 απέναντι στον 4, ως προφανώς διαφορετικός (3≠4), είναι εντελώς διαφορετικός από αυτόν. Αυτό σημαίνει ότι ο 3 είναι υπόσταση η οποία ορίζεται με εντελώς διαφορετικό τρόπο από ό,τι ο 4. Ο 3 δεν μπορεί να είναι εν μέρει διαφορετικός από τον 4 διότι δεν μπορεί να μεριστεί, όντας μονομερής. Το γεγονός ότι η υπόσταση “μονάδα”, “μονάδα”, “μονάδα” έχει μόνο το στοιχείο “μονάδα” ως συστατικό, και τίποτα δεν μπορεί να διατυπωθεί ως χαρακτηριστικό αυτής της υπόστασης (3), σημαίνει ότι ο 3 έχει μόνο το χαρακτηριστικό το οποίο του παρέχει η “μονάδα”: την ενικότητα, την απλότητα. Αυτό δε σημαίνει ότι ο 3 ταυτίζεται με τη μονάδα (δηλαδή 3=1). Αυτό που σημαίνει είναι ότι ο 3 δομείται από τη μονάδα, λαμβάνει τα χαρακτηριστικά της ή, επί το ορθότερο, λαμβάνει το μόνο χαρακτηριστικό της: το να είναι μονομερής. Η μονάδα, ως η κατάσταση του να είναι κάτι μονομερές, δεν μπορεί να έχει κανένα άλλο χαρακτηριστικό από τη μονομέρεια διότι, αν δεν ήταν έτσι, η “μονομέρεια” δε θα τη χαρακτήριζε (εφόσον τότε θα αποτελούνταν από περισσότερα από ένα στοιχεία).

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[29]

Στο σχήμα “μονάδα”, “μονάδα”, “μονάδα” μπορούμε να αποδώσουμε στη μία μονάδα το χαρακτηριστικό “πρώτη”, στην άλλη το “δεύτερη” και στην τελευταία το “τρίτη” [13]. Έτσι, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι βρήκαμε κάποια χαρακτηριστικά για τον αριθμό 3. Όμως αυτά τα χαρακτηριστικά δεν προσθέτουν τίποτα νέο στο σχήμα των μονάδων εφόσον π.χ. το χαρακτηριστικό της τελευταίας μονάδας –τρίτη– είναι η υπόσταση του αριθμού 3. Η Τρίτη μονάδα είναι η τελευταία του αθροίσματος των τριών μονάδων, άρα σηματοδοτεί τον ίδιο τον αριθμό 3. Και, όπως είπαμε, ο αριθμός 3 είναι όλο το νόημα του σχήματος “μονάδα”, “μονάδα”, “μονάδα”, έτσι αυτό το σχήμα διατηρεί το χαρακτηριστικό “μονάδα” ως το μοναδικό του, και δεν έχει το “τρία” ως επιπλέον χαρακτηριστικό, εφόσον αυτό ταυτίζεται με το σχήμα (το 3). Αν πούμε ότι το 3 αποτελείται από τρία μέρη, δεν εκφραζόμαστε με ακρίβεια διότι τα τρία μέρη δεν είναι τίποτε άλλο από τις μονάδες του. Έτσι, είναι σα να λέμε ότι ο 3 αποτελείται από τρεις μονάδες. Αλλά η διατύπωση “τρεις μονάδες” ταυτίζεται με τον 3. Συνεπώς, αντί να πούμε ότι ο 3 αποτελείται από τρία μέρη (μονάδες), πρέπει να πούμε ότι ο 3 αποτελείται από τον 3 – ταυτίζεται με τον 3. Έτσι, το ότι ο 3 αποτελείται από τρία μέρη δεν μπορεί να είναι χαρακτηριστικό του: τα τρία μέρη ταυτίζονται με τον τρία. Αν ήταν ένα χαρακτηριστικό, θα ήταν σα να λέγαμε “ο 3 είναι χαρακτηριστικό του 3”. Έτσι, ο 3 δεν μπορεί να είναι διαιρέσιμος ή σύνθετος. Σκεπτόμενοι με όμοιο τρόπο, όπως παραπάνω, μπορούμε να εκφραστούμε ως εξής: Αν υποθέσουμε ότι ο αριθμός 3 είναι η υπόσταση στα πλαίσια της οποίας η μονάδα αναφέρεται κάποιες φορές (3 φορές), έχουμε εκφράσει πλεονασμό. Αυτό ισχύει διότι ο όρος “φορές” έχει το ίδιο νόημα με τις “μονάδες”. Αν πούμε ότι κάποιο γεγονός έλαβε χώρα κάποιες φορές, π.χ. 3 φορές, εννοούμε ότι τα γεγονότα που έλαβαν χώρα έχουν μια ποσότητα, η οποία είναι το 3, άρα οι 3 φορές είναι κυριολεκτικά οι 3 μονάδες. Τα κάθε γεγονός ορίζεται από τον αριθμό 1 (τη μονάδα) έτσι ώστε η ποσότητα των γεγονότων μπορεί να είναι αντιληπτή. Παρόλα αυτά, για τον αριθμό 3 αποκομμένο από οποιαδήποτε οντότητα, όπως η οντότητα “γεγονός” την οποία αναφέραμε, δηλαδή στην περίπτωση που περιγράφουμε τον 3 και όχι κάποια γεγονότα τα οποία απλά ορίζονται από ο 3 το οποίο απλά ορίζει την ποσότητά τους, τα πράγματα είναι διαφορετικά: Υποθέτοντας ότι το 3 είναι η μονάδα αναφερόμενη κάποιες φορές, επειδή οι φορές είναι σε κάθε περίπτωση η ποσότητα των μονάδων που αναφέρονται, το οποίο σημαίνει ότι οι 3 φορές είναι οι ίδιες οι 3 μονάδες –διότι δε θα μπορούσαν να είναι κάτι άλλο– η υπόθεσή μας είναι πλεονασμός. Άρα, στον ορισμό “ο 3 είναι η μονάδα αναφερόμενη κάποιες (ή 3) φορές”, προκειμένου να μην είμαστε ασυνάρτητοι, θα πρέπει να αφαιρέσουμε από αυτόν τη φράση “κάποιες φορές” ή “τρεις φορές” εφόσον η λέξη “τρεις” επίσης αναφέρεται δύο φορές (διπλά). Και αν μη τι άλλο, η λέξη τρία είναι η

[30]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

υπόσταση προς ορισμό και διευκρίνηση. Έτσι, αυτό που προκύπτει είναι ο ορισμός: “ο 3 είναι η μονάδα αναφερόμενη”. Άρα το μόνο στοιχείο που ορίζει το 3 είναι η αναφορά της μονάδας. Με το ίδιο σκεπτικό, επίσης αποδεικνύουμε λάθος το υποτιθέμενο χαρακτηριστικό του σχήματός μας, δηλαδή τη μονάδα “επαναλαμβανόμενη”. Και αυτό, διότι (ως νόημα) η επανάληψη της μονάδας ταυτίζεται με το ότι επαναλαμβάνεται κάποιες φορές. Αυτό επιβεβαιώνει το σχήμα που αναφέραμε, και το οποίο ορίζει τον 3, το οποίο είναι το “μονάδα, μονάδα, μονάδα”. Πράγματι, αυτό το σχήμα δεν είναι τίποτα λιγότερο και τίποτα περισσότερο από την αναφορά της μονάδας. Καμία άλλη υπόσταση δεν αναφέρεται (ή καταγράφεται) σε αυτό, όπως αυτό που ονομάζουμε “κάποιες (ή τρεις) φορές”. Άρα, το 3 δεν υπάρχει περίπτωση να ορίζεται από οτιδήποτε άλλο, παρά μόνο από αυτό που ονομάζουμε “η αναφορά της μονάδας”. Έτσι, το 3 είναι μονομερές κα αδιαίρετο, ως δομούμενο μόνο από τη μονάδα∙ αποτελείται αυστηρά και μόνο από τη μονάδα. Έτσι, λέμε ότι το 3 είναι η αναφορά της μονάδας διότι “η μονάδα 3 φορές” ή “3 μονάδες” είναι πλεονασμός καθότι το 3 χρησιμοποιείται για να ορίσει το 3. Και αν ορίσουμε το 3 ως “τη μονάδα κάποιες φορές” ή “κάποιες μονάδες”, αυτό δεν είναι καθόλου διαφορετικό από το “η μονάδα 3 φορές” ή “3 μονάδες”, διότι το “κάποιες” δεν μπορεί παρά να είναι το 3∙ προφανώς δε θα μπορούσε να είναι το 4 ή το 6, κλπ. Αυτό είναι σημαντική διευκρίνιση διότι ο ορισμός του 3 ως “κάποιες μονάδες” θα μπορούσε να μην είναι πλεονασμός∙ εδώ δεν έχουμε πλεονασμό: το “κάποιες” είναι διαφορετικό από το “τρεις”. Έτσι, το 3 ως “κάποιες μονάδες” θα μπορούσε να είναι σύνθετο, διότι “κάποιες μονάδες” είναι πλήθος μονάδων. Αλλά κάποιος θα μπορούσε να ισχυριστεί ότι το 3 είναι κάποιες μονάδες χωρίς το “κάποιες” (μονάδες) απαραίτητα να ταυτίζεται με το “3” (μονάδες) έτσι ώστε δε χρειάζεται να ταυτίσουμε το 3 είναι κάποιες μονάδες με το 3 είναι 3 μονάδες. Δηλαδή, δεν είναι απαραίτητο ότι το “κάποιες” δε θα μπορούσε παρά να είναι το 3 απλά και μόνο επειδή (στον ορισμό του 3) σίγουρα δεν μπορεί να είναι το 4 ή το 5, κλπ. Μπορούμε να πούμε ότι το “κάποιες” σε αυτή την περίπτωση είναι μια έννοια που χρησιμοποιείται γα να ορίσει το 3, και με αυτό τον τρόπο είναι λάθος να αντικαταστήσουμε το “κάποιες” με το “τρεις”. Αλλά είναι αλήθεια ότι τα συνθετικά στοιχεία που ορίζουν αυτό που ορίζεται, είναι πιο θεμελιακά (είναι πρότερα, προηγούνται) από το αντικείμενο (στόχο) του ορισμού. Και, προκειμένου να συλλάβουμε “κάποιον” αριθμό, πρέπει πρώτα να διατυπώσουμε 1, 2, 3, 4, 5,κλπ. Αυτό σημαίνει ότι το “κάποιο” είναι μια επιλογή από τα 1, 2, 3, 4, 5, κλπ, τα οποία έχουμε ήδη διατυπώσει έτσι ώστε να μπορούμε να διαλέξουμε ένα από αυτά. Δεν μπορούμε να έχουμε “κάποιο” χωρίς τα 1, 2, 3, 4, 5, κλπ, διότι “κάποιος” (αριθμός) ορίζεται ως επιλογή ανάμεσα σε αριθμούς. Και, αν δεν έχουμε τους αριθμούς, πώς μπορούμε να διαλέξουμε έναν από αυτούς; Επιπλέον, δεδομένου του ότι δεν έχουμε διατυπώσει (θέσει) απολύτως κανέναν αριθμό,

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[31]

δηλαδή αν δεν έχουμε διατυπώσει “1+1+1…”, πώς μπορούμε να μιλάμε για κάποιον αριθμό; Οι αριθμοί σε κάθε περίπτωση νοούνται ως “1+1+1…”. Έτσι, έχοντας κατά νου το παραπάνω, δηλαδή το ότι τα συνθετικά στοιχεία που ορίζουν αυτό που ορίζεται πρέπει να είναι πιο θεμελιακά (πρότερα) του αντικειμένου του ορισμού, δεν μπορούμε να έχουμε το “κάποιο” να δομεί το 3 στο “3 είναι κάποιες μονάδες” διότι το 3 –ή το 4, ή το 5, κλπ.– προηγείται του “κάποιου”. Έτσι, ισχύει ότι το κάποιο αναφέρεται στο 3, και όχι αντίθετο∙ όχι το 3 στο κάποιο. Και, ως εκ τούτου, δεν μπορούμε να διατυπώσουμε “3 είναι κάποιες μονάδες”. Ή, αν πρόκειται να το διατυπώσουμε αυτό, είναι υποχρεωτικό ότι το “κάποιες” αναφέρεται συγκεκριμένα στο 3 ή το 4 ή το 5, κλπ. (και, εν προκειμένω, η σωστή αναφορά είναι ασφαλώς μόνο το 3) απλά επειδή το “κάποιες” δεν προηγείται αυτών∙ δεν μπορεί να αυτονομηθεί και να θεωρηθεί χωριστά από αυτά. Είπαμε ότι το “3” είναι πρότερο του “κάποιου”. Δηλαδή, οι αριθμημένοι (συγκεκριμένοι) αριθμοί (3, 4) προηγούνται των αφηρημένων (“κάποιων”). Όμως αυτό δε σημαίνει ότι αν δεν έχουμε διασαφηνίσει το μέγεθος ενός αριθμού, τότε αυτός ο αριθμός δεν μπορεί να οριστεί ή, ακόμα, να είναι ανύπαρκτος. Απλά και μόνο, είναι ότι εδώ ασχολούμαστε με τη διαδικασία του ορισμού του π.χ. 3. Άρα, μπορούμε να υποθέσουμε έναν αφηρημένο (μη μετρημένο) αριθμό “να” για τον οποίο λέμε ότι ορίζεται ως “κάποιες μονάδες”. Όμως, ο “να” είναι καθαυτός και από μόνος του “κάποιος” αριθμός (και όχι ο 3 ο οποίος είναι περισσότερο “3” παρά “κάποιος”). Έτσι “κάποιος” αριθμός ορίζεται ως “κάποιες” μονάδες, το οποίο είναι επίσης πλεονασμός, και το μόνο που μπορούμε να πούμε είναι ότι ο να (ή κάποιος ν) είναι “η αναφορά της μονάδας”. Σε αυτό τον ορισμό επίσης καταλήξαμε για το 3 ή το 4, κλπ. Επιπρόσθετα, στον ορισμό του να, θα ήταν πιο σωστό να κάνουμε διάκριση ανάμεσα στις “να” μονάδες και στις “κάποιες” μονάδες. Στον ορισμό του 3, το “κάποιες” μονάδες δεν είναι σωστό με την έννοια ότι το “κάποιες” δεν είναι μια συγκεκριμένη επιλογή (ή αριθμός) μονάδων. Πρέπει να επιλέξουμε έναν συγκεκριμένο αριθμό από τους πολλούς, και έτσι ν πούμε ο 3 είναι 3 μονάδες, διότι το “κάποιος” δεν είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός∙ δεν είναι μια επιλογή από τους αριθμούς, αλλά μάλλον οποιοσδήποτε πιθανός αριθμός. Έτσι, το “κάποιος” στον ορισμό του “να”, επειδή –πιο σχολαστικά– σημαίνει οποιοσδήποτε ν και όχι ο να που λαμβάνουμε, πρέπει να αντικατασταθεί με τον “να”. Δηλαδή, αυτό σημαίνει ότι “ο να είναι να μονάδες” (το οποίο επίσης πάλι είναι πλεονασμός, όπως στο “ο 3 είναι 3 μονάδες”, άρα “ο να είναι η αναφορά της μονάδας”). Όπως το 3 προηγείται του “κάποιου”, έτσι και το “να” προηγείται του “κάποιου”. Δεν κάνει διαφορά το γεγονός ότι ο να είναι αγνώστου τιμής. Δεν είναι αναγκαίο η επιλογή του αριθμού να είναι από κάποιους αριθμημένους αριθμούς, όπως 1, 2, 3, 4, 5, όπως αναφέραμε στην παραπάνω παράγραφο. Αυτό διότι, όπως γράφουμε σε προηγούμενη παράγραφο: Αυτό σημαίνει ότι το “κάποιο” είναι μια επιλογή από τα 1, 2, 3, 4, 5, κλπ, τα

[32]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

οποία έχουμε ήδη διατυπώσει έτσι ώστε να μπορούμε να διαλέξουμε ένα από αυτά. Δεν μπορούμε να έχουμε “κάποιο” χωρίς τα 1, 2, 3, 4, 5, κλπ, διότι “κάποιος” (αριθμός) ορίζεται ως επιλογή ανάμεσα σε αριθμούς. Και, αν δεν έχουμε τους αριθμούς, πώς μπορούμε να διαλέξουμε έναν από αυτούς; Έτσι, το “κάποιο” είναι μια επιλογή από τα 1, 2, 3, 4, 5, κλπ. Αλλά τι είναι αυτό που καθιστά απαραίτητο η επιλογή να είναι από το 1, το 2, το 3, κλπ; Δε θα μπορούσε εξίσου να είναι μια επιλογή από τα νχ, νψ και νζ; Το γεγονός ότι αυτοί οι αριθμοί δεν είναι μετρημένοι δεν είναι πρόβλημα διότι αυτό που αποδεικνύουμε δεν έχει να κάνει με το αν οι αριθμοί είναι μετρημένοι ή όχι. Και αυτό είναι η λογική και η νοοτροπία του ότι δεν μπορούμε να έχουμε το “κάποιο” χωρίς να έχουμε διατυπώσει συγκεκριμένους (αριθμημένους ή μη) αριθμούς διότι το “κάποιο” είναι μια επιλογή ανάμεσα σε αριθμούς, και αν δεν έχουμε τους αριθμούς, πώς μπορούμε να επιλέξουμε έναν από αυτούς; Παραπάνω γράψαμε: Έτσι, το “κάποιος” στον ορισμό του “να”, επειδή –πιο σχολαστικά– σημαίνει οποιοσδήποτε ν και όχι ο να που λαμβάνουμε, πρέπει να αντικατασταθεί με τον “να”. Παρόλα αυτά φαίνεται ότι δεν υπάρχει πρόβλημα να πούμε “οποιοσδήποτε ν”, δηλαδή να ορίσουμε (να αναφέρουμε) τον οποιοδήποτε ν και όχι μόνο ένα ν (όπως να) ως ν μονάδες. Αυτό γίνεται απλά με το να πούμε “οποιοσδήποτε ν είναι οποιεσδήποτε ν μονάδες”. Είναι το ίδιο με το να πούμε “να είναι να μονάδες”. Η λέξη “οποιεσδήποτε” εδώ, ως εκ της διατύπωσης, δεν ορίζει τις μονάδες, αλλά μάλλον τον ν, δηλαδή περισσότερους από έναν ν, ή, για να το πούμε καλύτερα, περισσότερους από έναν ορισμούς των ν. Και, φυσικά, (η λέξη “οποιεσδήποτε”) επίσης προσάπτεται στις “ν μονάδες” ως “ν”=“ν μονάδες”. Αλλά, εδώ επίσης το “ν είναι ν μονάδες” ή το “οποιοσδήποτε ν είναι οποιεσδήποτε ω μονάδες”, είναι πλεονασμοί, κι έτσι μπορούμε μόνο να πούμε “ο ν είναι η αναφορά της μονάδας” και “οποιοσδήποτε ν είναι οποιαδήποτε αναφορά της μονάδας”. Αλλά, σύμφωνα με το συμπέρασμα, όπως αυτό είναι, σε αυτό το μέρος της θεωρίας μας, από τον ορισμό του αριθμού ως “η αναφορά της μονάδας”, δεν μπορούμε να κάνουμε λόγο για “οποιοδήποτε αριθμό”. Αυτό σημαίνει ότι οι αριθμοί δεν μπορούν να συνιστούν σύνολο ή συνεχές ή να θεωρούνται από κοινού, με αφηρημένο τρόπο. Και αυτό, διότι ένας αριθμός, καθώς αποτελείται μόνο από τη μονάδα (ενικότητα ή απλότητα), μπορεί να είναι μόνο μονομερής (ενικός, απλός). Και, οι μονομερείς οντότητες, καθώς δεν μπορούν να μεριστούν, δεν μπορούν να έχουν κανένα μέρος κοινό μεταξύ τους. Ως εκ τούτου, δεν μπορούν να εκλαμβάνονται μαζί (ως σύνολο, ως συνεχές, κλπ). Τώρα, αναφορικά με το σχήμα “μονάδα, μονάδα, μονάδα”, δεν μπορούμε να πούμε ότι, επειδή η λέξη “μονάδα” καταγράφεται 3 φορές, το σχήμα περιέχει την υπόσταση του 3 (ως μέρος του) διότι αυτή η παρατήρηση αφορά στον τύπο και όχι στο νόημα του σχήματος. Και αυτό διότι επίσης η φράση “γρήγορο τρέξιμο”, ως προς τον τύπο της, έχει την υπόσταση (αριθμό) 2 διότι αποτελείται από δύο λέξεις. Αλλά,

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[33]

αυτό που είναι σωστό να εκτιμήσουμε είναι το νόημα και όχι ο τύπος του σχήματος (φράσης), το οποίο δεν έχει τίποτα να κάνει με αυτό που περιγράφεται, δηλαδή το γρήγορο τρέξιμο. Επίσης, αν αναλογιστούμε το σχήμα “μονάδα, μονάδα, μονάδα” τυπολογικά, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι περιέχει τον αριθμό 20 διότι αποτελείται από 18 γράμματα και δύο κόμματα, πράγμα το οποίο είναι ασυνάρτητο. Στο σχήμα των μονάδων η μόνη υπόσταση που αναφέρεται είναι η μονάδα, και ο 3 ταυτίζεται με το όλο σχήμα και δε συνιστά μέρος του, αλλά ορίζεται από αυτό. Άρα, η υπόσταση 3 πηγάζει από το νόημα –τη λειτουργία– του σχήματος “μονάδα, μονάδα, μονάδα”, και όχι από τον τύπο του∙ την κωδική του μορφή. Αυτό σημαίνει ότι το 3 είναι το εξαγόμενο αποτέλεσμα της λειτουργίας του σχήματος και όχι ένα μορφολογικό χαρακτηριστικό [4]. Είναι σημαντικό να μη σκοντάφτουμε στα μορφολογικά χαρακτηριστικά του σχήματος, διότι τότε συνειδητοποιούμε ότι κάθε λέξη του σχήματος “μονάδα, μονάδα, μονάδα” δεν ταυτίζεται με την υπόσταση της μονάδας, αλλά απλά την αντιπροσωπεύει. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να έχουμε, αντί ενός σχήματος, 3 μήλα μπροστά μας, όπου το καθένα συμβολίζει μία μονάδα του αριθμού 3. Ένα μήλο και η λέξη “μονάδα” είναι ίδιας φύσης∙ είναι και οι δυο φυσικές οντότητες εφόσον τις συλλαμβάνουμε με την όρασή μας. Έτσι, με τον τρόπο που κάθε μήλο δεν ταυτίζεται με το νόημα της μονάδας, αλλά απλά τη συμβολίζει (οπτικά, υλικά), με τον ίδιο τρόπο η λέξη “μονάδα” απλά συμβολίζει τη μονάδα και δεν ταυτίζεται με αυτήν. Σε κάθε περίπτωση, το σχήμα των μονάδων είναι 3 λέξεις. Και, όπως τα τρία μήλα δεν ταυτίζονται με τον αριθμό 3, έτσι και οι 3 λέξεις δεν ταυτίζονται με τον αριθμό 3. Αν πούμε ότι ο 3 είναι 3 μονάδες διατυπώνουμε πλεονασμό διότι ο 3 δομείται από μονάδες. Άρα, το να συνδυάσουμε τον 3 με τη λέξη μονάδες, ισοδυναμεί με το να συνδυάσουμε τις μονάδες με τις μονάδες – όπου οι δεύτερες μονάδες δομούν το νόημα των πρώτων μονάδων. Έτσι, είτε θα πούμε ότι το 3 είναι το 3 –άρα το ότι το 3 είναι μονομερές διασφαλίζεται αφού αυτός ο ορισμός δε συνιστά ανάλυση (διαίρεση, μερισμό) του 3– είτε θα πούμε ότι το 3 είναι η αναφορά της μονάδας, άρα το 3 και πάλι είναι μονομερές ως οριζόμενο και συνιστώμενο μόνο από τη μονάδα. Το ότι το 3 και το 4 δεν είναι αντίστοιχα “τρεις μονάδες” και “τέσσερις μονάδες”, αλλά είναι είτε “τρία” και “τέσσερα”, είτε “μονάδες” και “μονάδες”, αυτό θέτει όρια στη σκέψη μας και μας βοηθά να κατανοήσουμε ότι το 3 και το 4 δεν έχουν από κοινού το χαρακτηριστικό “μονάδες” διότι αυτό θα απαιτούσε οι “μονάδες” να είναι μέρος του 3 και του 4, και όχι η όλη ύπαρξή τους: αν είναι να σχετίσουμε το 3 με το 4, αυτά θα πρέπει να είναι μερικώς και όχι ολικά ίσα (διότι δεν μπορεί να ισχύει 4=3). Αλλά μια τέτοια μερική σχέση, ή διαφορά, δεν μπορεί να υπάρχει. Αντιθέτως, δύο άλλες οντότητες, π.χ. “3 μήλα” και “4 μήλα”, μπορούν πραγματικά να είναι μερικώς διαφορετικές μεταξύ τους – όπου η μία είναι μέρος της

[34]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

άλλης, όχι επειδή το 3 είναι μέρος του 4, αλλά επειδή έχουν από κοινού το μέρος “μήλα”. Απλά ονομάζουμε το 3 “μέρος του 4” επειδή είναι δύσκολο να διακρίνουμε ανάμεσα στις υποστάσεις “4” και “μήλα” ή στις “3” και “μήλα”, δεδομένου του ότι πάντα παρουσιάζονται και υπάρχουν ως αδιαχώριστα ενωμένα. Έτσι, αντί να λέμε ότι το κοινό μέρος είναι τα “μήλα”, λέμε λανθασμένα ότι ο 3 είναι μέρος του 4. Το να ορίσουμε το 3 ως “τρεις μονάδες” είναι πλεονασμός. Αλλά, αν είναι έτσι, τότε πώς περιγράφεται η ισότητα 3∙1=3; Δεν είναι το 1∙3 η μονάδα (1) τρεις φορές (∙3); Σε αυτό απαντούμε ότι, στην έκφραση “τρεις μονάδες”, η οποία συμβολίζεται ως 1∙3, ο όρος “μονάδες” περιγράφει ένα ουδέτερο και άνευ νοήματος χαρακτηριστικό, αφού 1∙3=3, άρα το “∙1” δεν προσθέτει τίποτα. Ενώ, λέγοντας ότι το 3 είναι απλά “μονάδες” (ή, για να είμαστε πιο ακριβείς, “η αναφορά της μονάδας”), δεν εννοούμε “∙1” αλλά “1+1+1”, διότι, σε κάθε περίπτωση, το 3 δεν μπορεί να ταυτίζεται με το 1. Σε αυτή την περίπτωση, το 1+1+1 είναι το όλο 3 και όχι κάτι ανόητο. Και, σε αυτή την περίπτωση, είναι πράγματι πλεονασμός το να ορίσουμε το 3 ως “τρεις μονάδες” διότι θα είχαμε 3(1+1+1)=9. Αντιθέτως, το 3 ως “τρεις μονάδες” (3=3∙1) δεν χωρίζεται σε “τρεις” και “μονάδες” εφόσον το “μονάδες” δε φέρει αξία. Άρα, είναι το ίδιο με το να πούμε “το τρία είναι το τρία”, άρα –με αυτόν τον σκέτα δηλωτικό τρόπο– δεν έχουμε να κάνουμε με ανάλυση (επεξήγηση, περιγραφή) του τρία. Βασιζόμενοι στη φύση των αριθμών ως μονομερών οντοτήτων, μπορούμε να απαντήσουμε το πώς ο πιο κοινός ορισμός (αλλά όχι απόδειξη) του αριθμητικού συνεχούς αποδεικνύεται λάθος. Έτσι, έχουμε: 0=κενό σύνολο, 1={0}, 2={0, 1}, 3={0, 1, 2}, κλπ. Έτσι κάθε αριθμός είναι το σύνολο που περιέχει όλους τους προηγούμενούς του. Όμως εδώ καταργούμε με απόδειξη τη σύνθετη φύση του αριθμού, όπως και το αποκαλούμενο αριθμοσύνολο. Έτσι, π.χ. ο 3 δεν μπορεί ν περιέχει τους αριθμούς 0, 1 και 2.

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[35]

4. Οι δεκαδικοί αριθμοί Όσον αφορά στους δεκαδικούς, μπορούμε να αποδείξουμε ότι είναι μονομερείς, ως εξής: Ο αριθμός 4, ο οποίος είναι ακέραιος (άρα είμαστε σίγουροι ότι είναι μονομερής), ταυτίζεται με π.χ. το 20/5 (4=20/5). Έτσι, ο 4 ταυτίζεται με το κλάσμα το οποίο έχει ως αριθμητή μια μονομερή οντότητα (τον αριθμό 20) και ως παρονομαστή μια επίσης μονομερή οντότητα (5). Ο δεκαδικός 0,4 ταυτίζεται με το 2/5. Αν προσπαθήσουμε να βρούμε την οποιαδήποτε διαφορά ανάμεσα στα χαρακτηριστικά (ή στοιχεία) του κλάσματος 20/5 και σε αυτά του 2/5, δε θα βρούμε τίποτα. Πρώτα, και το 20/5 και το 2/5 εκφράζουν διαίρεση. Ως προς αυτό είναι πανομοιότυπα. Πέραν της λειτουργίας της διαίρεσης, η οποία είναι το γενικό χαρακτηριστικό των κλασμάτων, ένα συγκεκριμένο κλάσμα όπως το 20/5 ή το 2/5, δε θα μπορούσε να έχει χαρακτηριστικό άλλο από τους αριθμούς που αποτελούν τον αριθμητή και τον παρονομαστή του, καθώς και τη σχέση μεταξύ αυτών. Τα μέρη του 20/5 και του 2/5, τα 20, 5 και 2, έχουν όλα ακριβώς το ίδιο χαρακτηριστικό: το ότι είναι μονομερείς οντότητες. Αν ήταν να έχουν δεύτερο χαρακτηριστικό, δε θα ήταν μονομερείς, διότι απλά αυτό θα ήταν ένα δεύτερο μέρος τους. Στο 20/5, το 20 απέναντι στο 5 έχει μια και μόνο μια σχέση∙ την πλήρη απουσία σχέσης. Στο 2/5, τα 2 και 5 επίσης έχουν την πλήρη απουσία σχέσης. Άρα, η σχέση των 20 και 5 δεν μπορεί παρά να είναι ακριβώς η ίδια με τη σχέση των 2 και 5, αφού και οι δύο σχέσεις χαρακτηρίζονται μόνο ως απούσες, και απούσες στον ακριβώς ίδιο βαθμό: πλήρως απούσες. Συνεπώς, εφόσον όλες οι ιδιότητες του 20/5 είναι ακριβώς οι ίδιες με αυτές του 2/5, τότε αν πρόκειται να χαρακτηρίσουμε το 20/5 με κάποιον τρόπο, στο 2/5 αποδίδεται ακριβώς ο ίδιος χαρακτηρισμός. Έτσι, εφόσον το 20/5 είναι μονομερής οντότητα, το 2/5 είναι επίσης μονομερές. Προφανώς, το ίδιο ισχύει και για το 0,2, το 0,35, κλπ.

[36]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

5. Η διάταξη και ακολουθία των αριθμών Οι αριθμοί, ως μη σχετιζόμενοι μεταξύ τους με κανένα τρόπο, άρα μη όντας μέρη συνόλου, δεν μπορεί να ειπωθεί ότι υπόκεινται σε ή διαμορφώνουν σειρά ή κλίμακα. Θα συνειδητοποιήσουμε ότι είναι φυσικό και επόμενο οι αριθμοί να μην υπόκεινται σε κλίμακα, ακόμα και αν αυτή η κλίμακα είναι μια συμβολική και καθαρά νοητή “γραμμή”, αν σκεφτούμε ως εξής: Αν υποθέσουμε τρία αντικείμενα τεθειμένα σε σειρά, λέμε ότι ένα από αυτά είναι το πρώτο, ένα άλλο είναι το δεύτερο και αυτό που απομένει είναι το τρίτο. Όπως καταλαβαίνουμε, η σειρά αυτών των αντικειμένων ορίζεται αποκλειστικά από το σειριακό αριθμό του καθενός. Το δεύτερο αντικείμενο αποκαλείται δεύτερο απλά και μόνο επειδή, προκειμένου να το εντοπίσουμε, μετράμε δύο αντικείμενα από την αρχή της σειράς. Άρα, η ποσότητα 2, ο αριθμός 2, είναι η σειρά∙ η ουσία αυτού που ονομάζουμε σειρά. Ως εκ τούτου, οι αριθμοί, ως ορίζοντες τη σειρά, ή για να το πούμε καλύτερα, ως η ίδια η ιδιότητα της σειράς, δεν μπορούν να υπόκεινται στη σειρά (να εξαρτώνται από αυτή). Έτσι, είναι πλεονασμός να πούμε ότι ο 1 είναι ο πρώτος (ο πρώτος αριθμός), ο 2 είναι ο δεύτερος (ο δεύτερος αριθμός), κλπ, διότι τα νοήματα “πρώτος”, “δεύτερος”, κλπ, ταυτίζονται με τα 1, 2, κλπ. Οι αριθμοί δεν μπορούν να ορίζονται από τη σειρά, δηλαδή να τοποθετούνται στη σειρά (βλ. κεφ. 3). Το γεγονός ότι δεν μπορεί να υπάρχουν αριθμητικές διατάξεις η αριθμητικά σύνολα σημαίνει ότι οι αριθμοί δεν μπορούν να κατηγοριοποιηθούν ως περιττοί και άρτιοι – πρώτοι και δεύτεροι. Αυτό αποδεικνύεται πάνω στη βάση της απόδειξης ότι οι αριθμοί δεν υπόκεινται σε διάταξη. Το ότι το 1 ονομάζεται “πρώτο” και το 2 “δεύτερο” είναι αποκλειστικά λόγω της συγκεκριμένης σειράς που τους αποδίδουμε. Το ότι το 3 ονομάζεται “πρώτο” (περιττό) και το 4 “δεύτερο” (άρτιο) είναι επίσης λόγω της (αποκαλούμενης) διατακτικής θέσης: του ότι το 3 είναι “τρίτο”, δηλαδή είναι πρώτο μετά από τον τελευταίο “δεύτερο” αριθμό (2) και το 4 είναι δεύτερο μετά τον τελευταίο “δεύτερο” αριθμό (2). Με τον ίδιο τρόπο οι “ακόλουθοι” αριθμοί χαρακτηρίζονται “πρώτοι” ή “δεύτεροι”. Και εφόσον η αρτιότητα και η περιττότητα των αριθμών πηγάζει αποκλειστικά από τη διάταξή τους και –κυριολεκτικά– ταυτίζεται με αυτήν, διότι οι όροι “πρώτος” και “δεύτερος” είναι όροι διάταξης, τότε αυτή η κατηγοριοποίησή τους είναι τόσο ανυπόστατη όσο η διάταξή τους σε σειρά. Άρα, εφόσον π.χ. η “πέμπτη” σειρά του 5 κυριολεκτικά ταυτίζεται με την “πρώτη” (περιττή) ιδιότητά του, τότε, αν, όπως έχουμε αποδείξει, ο 5 είναι η ίδια η ιδιότητα “πέμπτος” (ή “πεμπτότητα”) και δε χαρακτηρίζεται πέμπτος, άρα ο 5 είναι επίσης η ίδια η περιττότητα, και όχι περιττός. Όπως έχουμε επίσης εξηγήσει, ενώ ο 5 δεν είναι πέμπτος, όμως χαρακτηρίζει π.χ. μια καρέκλα ως Πέμπτη, αν σε μια σειρά από καρέκλες έχει τον αριθμό 5. Ομοίως, ενώ το 5 δεν είναι περιττό, όμως 5 καρέκλες

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[37]

είναι ένα περιττό σύνολο διότι αν διαιρεθούν με το 2, η μία από αυτές χάνει την ακεραιότητα (αρτιότητά) της, εφόσον προκύπτουν 2,5 καρέκλες. Όπως γράφουμε παραπάνω, ο 5, ως η ιδιότητα της πεμπτότητας (πλήθους 5), χαρακτηρίζεται με τον ίδιο τρόπο και “περιττότητα”. Όμως αποδώσαμε στον 5 – πεμπτότητα– ένα διαφορετικό όνομα, άλλο από τον εαυτό του: περιττότητα. Άρα, μήπως ο 5 έχει δύο υποστάσεις – τη μία που λέγεται πεμπτότητα και την άλλη που λέγεται περιττότητα; Η απάντηση σε αυτό είναι όχι, διότι όπως γράφουμε παραπάνω, ο 3 ονομάζεται περιττός, η πρώτος, διότι είναι πρώτος μετά τον πρώτο δεύτερο αριθμό – τον 2. Αυτό μόνο σημαίνει ότι ο 3 είναι μια μονάδα μεγαλύτερος από τον 2. Έτσι, αν ο 3 είναι η τρισσότητα και επίσης η περιττότητα, τότε: η τρισσότητα είναι 2+1 όπως 3=2+1, και η περιττότητα –3– ως μία μονάδα μεγαλύτερη από το 2, διατυπώνεται μόνο ως: περιττότητα=2+1. Και, περιττότητα= =2+1=τρισσότητα. Έτσι, η τρισσότητα ταυτίζεται με την περιττότητα, και δε συνιστά επιπλέον χαρακτηριστικό του 3. Κατ’ επέκταση, το ίδιο ισχύει για το 5 και για έναν άλλο αριθμό που μπορεί να ονομάσουμε περιττό, καθώς και για τους άρτιους αριθμούς. Και, εφόσον η περιττότητα και η τρισσότητα ταυτίζονται, καθώς το 3 είναι μη περιγράψιμο (μη αναλύσιμο, μονομερές), τότε η περιττότητα είναι μη περιγράψιμη, ώστε δεν μπορούμε να πούμε τίποτα για να τη χαρακτηρίσουμε. Και, όπως το 6 και το 7 ορίζονται με τον κοινό ορισμό “η αναφορά της μονάδας” (βλ. κεφ.

3), αλλά δε μοιράζονται την ίδια φύση, παρόλο που ονομάζονται με τον ίδιο τρόπο, έτσι το 4 και το 6 μπορούν να ονομάζονται από κοινού “άρτιοι” και να μην νοούνται από κοινού. Αυτό διότι, όπως είπαμε, αρτιότητα, περιττότητα και πλήθος ή αριθμός, ταυτίζονται ως υποστάσεις∙ είναι μονομερείς και απερίγραπτες. Έτσι, ενώ (όπως αναφέρουμε παραπάνω) το 5 δεν είναι περιττό, οι 5 καρέκλες είναι ένα περιττό σύνολο, διότι αν τις διαιρέσουμε με το 2, τότε στις 2,5 καρέκλες συναντούμε μια καρέκλα η οποία έχει χάσει την ακεραιότητά της. Άρα, τέσσερις καρέκλες είναι ένα άρτιο σύνολο από καρέκλες και 5 καρέκλες είναι ένα είναι ένα περιττό σύνολο από αυτές. Και εφόσον η περιττότητα και η αρτιότητα πηγάζουν αποκλειστικά από τον αριθμό των καρεκλών, και το “καρέκλες” παραμένει απαράλλαχτο ανάμεσα στις 4 και τις 5 καρέκλες, με το μόνο που αλλάζει να είναι ο αριθμός, τότε μήπως δεν αποδίδεται η διαφορά ανάμεσα στην περιττότητα και την αρτιότητα στους αριθμούς; Και, εφόσον η διαφορά ανάμεσα στην περιττότητα και την αρτιότητα οφείλεται αποκλειστικά στους αριθμούς, τότε πώς οι αριθμοί δεν φέρουν το χαρακτηριστικό περιττός ή άρτιος; Η απάντηση σε αυτό είναι ότι κάνουμε λάθος να πούμε ότι ο παράγοντας “καρέκλες” είναι απαράλλαχτος. Στις 2,5 καρέκλες μία καρέκλα έχασε την ακεραιότητα, το οποίο σημαίνει ότι αυτή η καρέκλα, ως μονάδα, παύει να υπάρχει. Και αυτό δεν είναι ποσοτική (αριθμητική) ενέργεια, δηλαδή 1 καρέκλα διαιρούμενη με το 2: ½ καρέκλα. Αυτό που λέμε είναι ότι η όλη καρέκλα δεν είναι διαφορετική από τη μισή καρέκλα απλά και μόνο στην

[38]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

ποσότητά της. Η καρέκλα ως μονάδα, ως ολόκληρο αντικείμενο, έχει κάποια φυσικά ή μορφολογικά χαρακτηριστικά∙ έχει μια πλάτη, τέσσερα πόδια τα οποία είναι σχεδόν σίγουρα ανόμοια μεταξύ τους, έχει μια δεξιά και μια αριστερή πλευρά, κλπ. Τώρα, με το να διαιρέσουμε αυτή την καρέκλα σε δύο μέρη, αυτά τα μέρη δεν είναι δυνατό να είναι πανομοιότυπα μεταξύ τους. Αντί της καρέκλας, μπορούμε να έχουμε οποιοδήποτε άλλο αντικείμενο ως μονάδα, φυσικό ή θεωρητικό αντικείμενο: ένα μήλο, ή ένα γεωμετρικό αντικείμενο, κλπ. Η διαίρεσή τους σε μισά τα αλλάζει ως προς την ποιότητα. Ως εκ τούτου, η περιττή και η άρτια ποιότητα ενός συνόλου είναι φυσικό και μορφολογικό χαρακτηριστικό, και όχι χαρακτηριστικό αριθμών. Αλλά, ισχύει ότι όλα τα αντικείμενα που συνιστούν μονάδες αλλάζουν μορφολογικά; Μήπως κάποια από αυτά αλλάζουν μόνο ποσοτικά; Αν πάρουμε ένα τμήμα μιας ευθείας γραμμής με τα άκρα της να είναι Α και Β, τότε πώς διαφέρει η ΑΒ/2 μορφολογικά από την ΑΒ; Μπορούμε να πούμε ότι διαφέρουν μόνο στην ποσότητα των μηκών τους. Όμως, τι είναι αυτό που κάνει την ΑΒ μονάδα; Πώς είναι ένα όλο αντικείμενο; Και τι κάνει την ΑΒ/2 ένα μη-όλο αντικείμενο, πράγμα το οποίο σημαίνει ότι δεν είναι ακέραιο; Αν είναι να δώσουμε στην ΑΒ συγκεκριμένο μέγεθος μήκους στο οποίο αναφερόμαστε με συγκεκριμένο τρόπο, μπορούμε να το ορίσουμε ως π.χ. ένα μέτρο. Παρόλα αυτά, αυτό που μετράμε ως ένα μέτρο είναι μόνο εμπειρικά και φυσικά αντιληπτό και οριζόμενο. 1 μέτρο είναι η απόσταση την οποία διανύει 1 κιλό μάζας σε χρόνο 1 δευτερολέπτου, όπου η μάζα είναι στο ύψος της επιφάνειας της θάλασσας και εκτελεί ελεύθερη πτώση. Αυτός είναι ένας περιγραφικός τρόπος να θέσουμε μια μονάδα (τμήμα) ευθείας γραμμής. Περιέχει διάφορες απόψεις μορφολογίας (φυσικότητας). Έτσι, αν πάρουμε μισό μέτρο, αυτό θα είναι, για παράδειγμα, μακρύτερα ή κοντύτερα στη θάλασσα από ό,τι το άλλο μισό, κλπ. Επίσης, αναλογιζόμενοι ότι διατηρούμε το πρότυπο του 1 μέτρου σε μουσείο, συνειδητοποιούμε ότι είναι αναπόφευκτα σχετιζόμενο με φυσικά και κοινωνικά πρότυπα/συμβάσεις. Όπως είναι κατανοητό, το ίδιο ισχύει για όλα τα μεγέθη: το χρόνο, το βάρος, την ταχύτητα, κλπ. Ακόμα κι αν προσπαθήσουμε να θεωρήσουμε το ανωτέρω αναφερθέν κλάσμα ΑΒ/2 της ευθείας γραμμής ως μονάδα με έναν καθαρά αφηρημένο τρόπο στα πλαίσια της γεωμετρίας, το οποίο σημαίνει ότι διαχωρίζουμε το μέγεθος από τα μορφολογικά και φυσικά χαρακτηριστικά τα οποία ορίζουν το ΑΒ, και πάλι δεν μπορούμε να αποφύγουμε τη μορφολογία και τον εμπειρισμό. Αυτό ισχύει επειδή παίρνοντας την ΑΒ ως φυσική και/ή πραγματική ύπαρξη, τα συγκεκριμένα χαρακτηριστικά θα είναι πάντα παρόντα, στον ένα ή τον άλλο βαθμό. Με τον τρόπο που οι αριθμοί δε χαρακτηρίζονται από διάταξη, περιττότητα ή αρτιότητα, αλλά, όπως γράψαμε, αυτές οι ποιότητες ανήκουν στις διάφορες οντότητες τις οποίες συνοδεύουν οι αριθμοί, με αυτό τον τρόπο μπορούμε να αποδείξουμε το ίδιο για οποιοδήποτε άλλο υποτιθέμενο χαρακτηριστικό ή

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[39]

κατηγοριοποίηση των αριθμών. Έτσι, η ποιότητα ενός αριθμού να έχει τα δεκαδικά του ψηφία περιοδικά επαναλαμβανόμενα, όπως 10/3=3,33333… εμπίπτει σε αυτή την περίπτωση. Λέγοντας ότι ο 3,333… έχει το 3 ως περιοδικά επαναλαμβανόμενο δεκαδικό ψηφίο είναι ισοδύναμο με το να πούμε ότι η σχέση καθενός τέτοιου δεκαδικού ψηφίου με το προηγούμενό του είναι 1/10. Αυτό σημαίνει ότι το δεύτερο ψηφίο, το 0,03, μαζί με το πρώτο, το 0,3, σχηματίζουν το κλάσμα 0,03/0,3=1/10. Ομοίως, το τρίτο “3” έναντι του δεύτερου είναι 0,003/0,03=1/10. Άρα, όλη κι όλη η περιοδική ποιότητα του 3,333… έγκειται στο γεγονός ότι το δεκαδικό μέρος αυτού του αριθμού αποτελείται από ψηφία όπου το καθένα τους είναι το 1/10 του προηγούμενού του. Συνεπώς, η αλληλουχία 10-100-1000-10000…, στην οποία κάθε αριθμός είναι δεκαπλάσιος του προηγούμενού του, είναι ίδια περίπτωση. Το γεγονός ότι στο 3,333… κάθε αριθμό τον διαδέχεται ένας δέκα φορές “μικρότερος”, ενώ στο 10-1001000…, δηλαδή 10ͮ , όπου ν=φυσικός ακέραιος, κάθε αριθμός ακολουθείται από έναν δέκα φορές “μεγαλύτερο”, αυτό δεν σημαίνει κάποια διαφορά ανάμεσα στις δύο περιπτώσεις. Το “δέκα φορές μεγαλύτερος” και το “δέκα φορές μικρότερος” ουσιαστικά εισάγουν τη διάκριση ανάμεσα στους ακεραίους και τους δεκαδικούς: π.χ. το 5 είναι πέντε φορές “μεγαλύτερο” από το 1, ενώ το 1/5=0,2 είναι πέντε φορές “μικρότερο” από το 1. Όμως έχουμε αποδείξει ότι οι δεκαδικοί και οι ακέραιοι είναι ακριβώς ίδιας φύσης: είναι μονομερείς. Ως εκ τούτου, οι σχέσεις ανάμεσα στους δεκαδικούς είναι οι ίδιες όπως αυτές ανάμεσα στους ακεραίους. Συνεπώς, με τον τρόπο που έχουμε σχηματισμό στερεότυπου συστήματος σχέσεων, το οποίο είναι: “από το 10 στο 100, από το 100 στο 1000, κλπ”, το οποίο ισοδυναμεί με τον “πολλαπλασιασμό του 10 με το 10, και κάθε αριθμό που προκύπτει, με το 10”, με αυτόν τον τρόπο είναι στερεότυπη η ακολουθία των ίδιων ψηφίων στα πλαίσια των περιοδικών δεκαδικών. Και, αυτή η στερεότυπη ακολουθία είναι ουσιαστικά η περιοδική ποιότητα. Αυτό σημαίνει ότι με τον ίδιο τρόπο που το 10 σχετίζεται με το 100 με συγκεκριμένο τρόπο (x10), το 100 με το 1000 με τον ίδιο τρόπο (x10), κλπ, με αυτό τον τρόπο δικαιολογείται και η συστηματική ακολουθία των δεκαδικών ψηφίων του 3,333… Ακόμα περισσότερο, ο κωδικός “1000” είναι καθαρά προϊόν κοινωνικής/επιστημονικής σύμβασης, διότι αν αριθμούσαμε με τους όρους π.χ. του εξαδικού αριθμητικού συστήματος, το “1000” θα αντιπροσώπευε την ποσότητα που αντιπροσωπεύει το 216 στο δεκαδικό αριθμητικό σύστημα. Συνεπώς, στα πλαίσια του εξαδικού συστήματος, η ακολουθία 10-100-1000… αντιστοιχεί στην ακολουθία 6-36216… για το εξαδικό σύστημα, μέσω του οποίου παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει κανονική ή σταθερή ακολουθία ψηφίων. Άρα, τα επαναλαμβανόμενα μηδενικά μετά τη μονάδα δεν εκφράζουν το μέγεθος του κάθε αριθμού με απόλυτο τρόπο και, περεταίρω, μια απόλυτη διαδοχή των αριθμών του κάθε αριθμητικού συστήματος.

[40]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

Επιπρόσθετα, σκεπτόμενοι πιο απλά, κάποια κανονικότητα είναι επίσης αυτή: Παίρνουμε το 1, προσθέτουμε τη μονάδα (1) σε αυτό και προσθέτουμε το ίδιο (τη μονάδα) σε αυτό που προκύπτει κάθε φορά. Μπορεί να ειπωθεί ότι αυτή η κανονικότητα ή νόρμα δε νοείται τουλάχιστον ως τέτοια, όπως νοείται αυτή όπου “πολλαπλασιάζουμε το 10 με τη δεκάδα (10) και πολλαπλασιάζουμε με το 10 αυτό που προκύπτει κάθε φορά”; Όμως, η κανονικότητα 1, 1+1, 2+1, 3+1, 4+1…δεν μπορεί να θεωρηθεί ως κανονικότητα διότι συμπεριλαμβάνει όλους τους αριθμούς, με τον στοιχειώδη τρόπο. Σε κάθε περίπτωση, η παρούσα θεωρία αποδεικνύει ότι ο ορισμός “για κάθε ν υπάρχει ν+1” δεν ισχύει και συνεπώς η αναφερθείσα κανονικότητα καταργείται από αυτή την απόλυτη λογική. Παρόλα αυτά, ενώ στο 3,33333… κάθε δεκαδικό “3” δεν σχετίζεται με τα άλλα και γενικά δεν μπορεί να ειπωθεί ότι αυτός ο αριθμός είναι “περιοδικός”, η περιοδικότητα, η οποία υποτίθεται ότι είναι ποιότητα (ιδιότητα) αυτού του αριθμού (ή και κάποιου άλλου), συναντάται όντως στις περιπτώσεις που το 3,333… ορίζει οποιαδήποτε οντότητα η οποία δεν είναι αριθμός. Έτσι, για το πρώτο δεκαδικό “3”, το 0,3, μπορούμε να πούμε ότι ορίζει και λειτουργεί στα πλαίσια της φυσικής οντότητας η οποία ονομάζεται “μέτρο”. Άρα: 0,3m=30cm. Το επόμενο “3”, το 0,03, δημιουργεί 0,03m=3cm, το τρίτο “3”, το 0,003, κάνει το 0,003cm=3mm, κλπ. Αν θέσουμε αυτά τα μήκη σε παράλληλες θέσεις, όπου το ένα άκρο του καθενός τίθεται σε μία ευθεία γραμμή, και οι αποστάσεις ανάμεσα σε κάθε δύο από αυτά είναι ίσες, και αρχίζοντας από το μεγαλύτερο, προχωρώντας διαδοχικά στα μικρότερα, τότε η κανονικότητα εμφανίζεται: Οι ελεύθερες άκρες αυτών των μηκών σχηματίζουν μια ευθεία γραμμή. Άρα έχουμε κανονική ακολουθία μηκών∙ μια περιοδικότητα. Συνεπώς, παρόλο που το 3,33333… δεν μπορεί να χαρακτηριστεί περιοδικό, αυτό καθαυτό (ως περιοδικός κώδικας αρίθμησης) δίδει την περιοδική ιδιότητα στις φυσικές οντότητες, όπως είναι το μέτρο, στο οποίο αναφερθήκαμε. Το 3.333… είναι η ίδια η ιδιότητα του να είναι κάτι περιοδικό –“η περιοδικότητα”– ακριβώς όπως το 4 είναι “αρτιότητα” ή το 5 είναι “πεμπτότητα”, σύμφωνα με αυτά που έχουμε γράψει στις προηγούμενες σελίδες. Και κατά τον τρόπο που η “πεμπτότητα” ή “αρτιότητα” είναι, όπως είπαμε, ταυτιζόμενες με την “πολλαπλότητα”, δηλαδή την έννοια του αριθμού (πλήθους), άρα είναι μονομερείς, έτσι είναι και η “περιοδικότητα” (3,333…) μια πολλαπλότητα (αριθμός). Θα πρέπει να σημειώσουμε εδώ ότι η διάκριση-κατηγοριοποίηση των αριθμών σε ακεραίους και δεκαδικούς, όπως ακριβώς οι άλλες κατηγοριοποιήσεις, δεν ισχύει στα πλαίσια των καθαυτών αριθμών, και όμως απαντάται στα πλαίσια των μη αριθμητικών οντοτήτων όπως αυτές ορίζονται από τους αριθμούς. Πρώτα από όλα, έχουμε αποδείξει ότι οι δεκαδικοί είναι επίσης μονομερείς οντότητες, άρα σχετίζονται μεταξύ τους και με τους ακεραίους ακριβώς όπως σχετίζονται οι ακέραιοι μεταξύ τους. Αυτό, και μόνο, είναι αρκετό για να

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[41]

καταλήξουμε στο ότι η αναφερθείσα κατηγοριοποίηση δεν μπορεί να υπάρχει. Αλλά, ακόμα κι αν αναλογιστούμε την επονομαζόμενη διάκρισή τους (ως κάποιο είδος σχέσης μεταξύ αυτών που είναι διακριτά, άρα σχετίζονται με βάση τη διάκρισή τους), ερχόμαστε στο εξής: το 0,5 σε σύγκριση με το 2 χαρακτηρίζεται δεκαδικό, ενώ το 2 ακέραιο, για μόνο ένα λόγο: το 2 είναι μεγαλύτερο του 1, ενώ το 0,5 μικρότερο του 1. Παρόλα αυτά, έχουμε αποδείξει (στο κεφ. 1) ότι το σχήμα 2>1 ή το 1>0,5 δεν ενέχει σχέση ανάμεσα στο 1 και το 2, ή στο 1 και το 0,5. Ως εκ τούτου, το 1 δεν μπορεί να θεωρηθεί ως το “κριτήριο” της διάκρισης ανάμεσα στους ακεραίους και τους δεκαδικούς. Απεναντίας, π.χ. 2 αμάξια, ενέχουν το νόημα του ακέραιου αυτοκίνητου, το οποίο σημαίνει ότι μπορούμε να εντοπίσουμε τουλάχιστον ένα αρτιμελές αμάξι μέσα σε αυτό το σύνολο, ενώ τα 0,5 αμάξια –μισό αμάξι– δεν μπορούν να είναι αρτιμελή, άρα ούτε ακέραια.

[42]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

6. Η κατά προσέγγιση διατύπωση των αριθμών. Η λύση του προβλήματος P Vs NP. Η απόδειξη του ότι ο συντομότερος δρόμος ανάμεσα σε δύο σημεία είναι η ευθεία γραμμή. Όσον αφορά στη φιλοσοφία των αριθμών και τη θεωρία αριθμών, όπου συγκεκριμένοι τρόποι χρησιμοποιούνται για τη συσχέτιση μεταξύ αριθμών και την εύρεση αριθμοσυνόλων, έχουμε να πούμε τα παρακάτω: Οι αποδείξεις και συσχετίσεις κρύβουν τα στοιχεία του εμπειρικού και του τυχαίου. Δηλαδή, όταν π.χ. χρησιμοποιούμε τα κλάσματα προκειμένου να βρούμε σχέσεις μεταξύ αριθμών μέσω των ομοιοτήτων στους αριθμητές τους ή στους παρονομαστές τους, ουσιαστικά βασιζόμαστε σε οντότητες (τα κλάσματα) που εμπεριέχουν τον εμπειρισμό και την τυχαιότητα. Έτσι, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι, για παράδειγμα, παίρνοντας το 3/8 και το 5/8 μαζί, μπορούμε να πούμε ότι έχουν από κοινού τον παρονομαστή (8). Επίσης, τα 4/5 και 4/7 φαίνεται να έχουν κάποια σχέση διότι ο αριθμητής (4) είναι ο ίδιος και στα δύο κλάσματα. Αλλά αυτοί οι συνδυασμοί δεν μπορούν να είναι έγκυροι. Και, αυτό είναι έτσι διότι για τον ορισμό π.χ. της τιμής του 6/2 χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της “δοκιμής και λάθους” μέχρι να εντοπίσουμε πόσες φορές χωράει το 2 στο 6. Έτσι, έχουμε το 2 και, με μέσον την πρόσθεση, λέμε: 2+2=4, και μετά λέμε 4+2 (δηλαδή 2+2+2) ισούται με 6. Αλλά αυτή η προσπάθειά μας είναι ουσιαστικά η λειτουργία της πρόσθεσης. Έτσι, η πρόσθεση έχει πάρει τη θέση του πολλαπλασιασμού προκειμένου να επαληθεύσουμε το ότι το 2 χωράει 3 φορές στο 6. Δε θα μπορούσαμε να βρούμε ακλόνητο αποτέλεσμα με μέσο τη διαίρεση ή τον πολλαπλασιασμό. Άρα, η διατύπωση του κλάσματος δεν οδηγεί σε μια αριθμητική τιμή με τρόπο ο οποίος είναι απόλυτος και εκ των προτέρων εγγυημένος. Αυτό σημαίνει ότι οι συσχετίσεις ανάμεσα στα κλάσματα δεν έχουν βάση διότι οι διατυπώσεις των κλασμάτων δεν προσφέρουν ακρίβεια [14]. Ασφαλώς χρησιμοποιούμε τα κλάσματα στις διάφορες εξισώσεις και έχουμε συμπαγή αποτελέσματα. Όμως αυτό δεν εμπεριέχει τη μελέτη και τη σπουδή της φύσης των κλασμάτων. Στις εξισώσεις απλά μετράμε προκειμένου να βρούμε μια τελική τιμή (λύση). Και, σίγουρα, οι εξισώσεις είναι εμπειρικές διαδικασίες. Δεν είναι κάποια φιλοσοφική (αυστηρά θεωρητική) μελέτη της φύσης των αριθμών. Και, σίγουρα, μπορεί να έχουμε ήδη βρει ότι 6/2 ισούται με 3 με εμπειρικό τρόπο. Όμως αυτό δε σημαίνει ότι κατοχυρώσαμε το 6/2 ως αριθμητική τιμή, άρα και ως απόλυτη (αυστηρά θεωρούμενη) οντότητα. Είναι απλά και μόνο η μνήμη μιας εμπειρικής διαδικασίας, η οποία μας πληροφορεί για την τιμή του 6/2. Και η καθαυτή μνήμη (ή κάποιου είδους καταγραφή) δεν είναι αρκετά αδιαμφισβήτητη ώστε να κάνουμε λόγο για το (οντολογικό) θεμέλιο του 6/2, βασιζόμενοι στη μνήμη. Η ουσία αυτού που λέμε και αποδεικνύουμε εδώ είναι ότι, το γεγονός ότι π.χ. το 3/8 και το 5/8 έχουν ως κοινό μέρος τον παρονομαστή (8), θέτει τους δύο

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[43]

αριθμούς ως σύνθετους –ως έχοντες ένα κοινό στοιχείο– και αυτό δεν συμφωνεί με την απόλυτη απόδειξη, σε αυτή τη θεωρία, ότι ένας αριθμός δεν μπορεί να έχει μέρη και να είναι σύνθετος. Αν μη τι άλλο, είναι η ίδια η ουσία του πολλαπλασιασμού η οποία υπαγορεύει ότι ο αριθμός πολλαπλασιάζεται∙ αλλά ο αριθμός έχει αποδειχτεί μη-πολλαπλός, δηλαδή απλός, σε αυτή τη θεωρία. Με την ίδια λογική, η διαίρεση υπαγορεύει ότι ο αριθμός διαιρείται∙ όμως ο αριθμός είναι αδιαίρετος, δηλαδή απλός∙ μονομερής οντότητα (βλ. κεφ. 3). Και, ως εκ τούτου, η παραγοντική διατύπωση των αριθμών (ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση, και οτιδήποτε προέρχεται από αυτές τις λειτουργίες) δεν διατυπώνει τον αριθμό σε συμφωνία με τη φύση του, η οποία είναι το ότι ο αριθμός είναι μονομερής, απλός, αδιαίρετος και μη δομούμενος. Παρόλα αυτά, ακόμα κι αν πάρουμε ως δεδομένη τη διατύπωση του αριθμού ως κλάσματος, αυτό δεν οδηγεί στο συμπέρασμα ότι υπάρχει οποιαδήποτε σχέση ανάμεσα σε κλάσματα. Στο κεφάλαιο 2 αναφερόμαστε στη σχέση δύο αριθμών ως “συνθέτω” με “αποσυνθέτω” στην περίπτωση της διαίρεσης. Έτσι, ανάμεσα σε δύο κλάσματα, π.χ. 4/2 και 8/2, το πρώτο από αυτά (4/2) είναι ένα απλούστερο “αποσυνθέτω” από ό,τι το δεύτερο “αποσυνθέτω” (8/2). Η σχέση τους είναι (4:2)=(8:2):2. Έτσι, τα δύο κλάσματα σχετίζονται ως “συνθέτω” με “αποσυνθέτω”, και αυτό απαγορεύει την οποιαδήποτε σχέση μεταξύ τους (βλ. κεφ. 2). Με διαφορετικό τρόπο από ό,τι στα κεφάλαια 1 και 3 της θεωρίας μας, στα πλαίσια της απόδειξης του κεφαλαίου 2 δεν προσπαθούμε να δούμε και να αποδείξουμε ότι ένας αριθμός δεν έχει κανένα κοινό μέρος με έναν άλλο αριθμό. Ο τρόπος με τον οποίο αποδεικνύουμε την πλήρη απουσία σχέσης μεταξύ δύο αριθμών, στο κεφάλαιο 2, έχει να κάνει με τη σχέση του “συνθέτω” με “αποσυνθέτω”, και όχι με το γεγονός ότι ένας αριθμός δεν επιμερίζεται. Έτσι, εφόσον το 6/2 δεν εκφράζει με απόλυτο τρόπο μια αριθμητική τιμή (έναν αριθμό), άρα, ως αριθμός, δεν είναι απόλυτα ισχύων, αλλά ισχύει μόνο με εμπειρικό τρόπο, άρα με τρόπο όχι επαρκώς έγκυρο. Και αυτό απλά σημαίνει ότι η διατύπωση ενός συγκεκριμένου αριθμητή (6) και ενός συγκεκριμένου παρονομαστή (2) διεξάγονται κατά κάποιον τρόπο τυχαία, εφόσον η διατύπωσή τους ως κλάσμα ισούται με το 3 τυχαία. Τώρα, ίσως κάποιος θα έλεγε ότι δεν μας ενδιαφέρει η τιμή του 6/2, αλλά το 6/2 καθαυτό. Όμως, αυτός ο τρόπος σκέψης δεν έχει βάση διότι το 6/2 ως εκ της διατύπωσής του, φέρει και ενέχει τη λειτουργία της διαίρεσης, την 6:2. Και, η διαίρεση, ως εκ φύσεως, στοχεύει σε ένα αριθμητικό αποτέλεσμα. Αν το αποτέλεσμα δεν είναι δεδομένο (παγιωμένο) τότε η κλασματική διατύπωση επίσης δεν είναι δεδομένη ή έγκυρη. Με άλλα λόγια, η επιλογή του αριθμητή και του παρονομαστή είναι θέμα τύχης, αφού αυτοί οι δύο ορίζουν το αποτέλεσμα της διαίρεσης, το οποίο εντοπίζεται βάσει αυτών των δύο με τυχαίο τρόπο.

[44]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

Το “ασαφές” του χαρακτήρα των κλασμάτων μας βοηθά να αποφύγουμε το παράδοξο του π.χ. 20/6, το οποίο δεν μπορεί να διατυπωθεί ως πλήρως μετρημένος αριθμός. (20/6=3,333…), παρόλο που η διατύπωσή του ως κλάσματος παριστά το συνολικό μέγεθος του 3,333… Κατά τη διάρκεια της μέτρησης του 20/6, τη κάθε φορά εμφάνιση ενός δεκαδικού “3” είναι θέμα εμπειρικής διαδικασίας. Και δεν μπορούμε να επαναπαυτούμε στον εμπειρισμό προκειμένου να διακηρύξουμε απόλυτα την τιμή ενός αριθμού. Δηλαδή η διατύπωση 20/6 δεν ανταποκρίνεται στο 3,333… με τρόπο ακρίβειας. Η μόνη αντίρρηση σε αυτά θα μπορούσε να είναι ότι, αντίθετα με το 20/5=4, η διαίρεση 20/6 ποτέ δε σταματά. Όμως, αυτό εμπεριέχει την αφηρημένη αρίθμηση και το άπειρο. Άρα, η ακολουθία των “3” απλά δεν μπορεί να είναι ακολουθία. Έτσι, παραιτούμαστε από την προσπάθεια του να μετράμε 3,333… για πάντα. Και, εφόσον ο εμπειρικός (μη έγκυρος) χαρακτήρας του κλάσματος 20/6, ως τέτοιος, δε μας ωθεί και δε μας αναγκάζει να βρούμε το αποτέλεσμα (3,333…) με απόλυτο τρόπο, τότε δεν υπάρχει πρόβλημα. Οι εξισώσεις και οι ισότητες/ταυτότητες γενικά βασίζονται στη διαίρεση και τον πολλαπλασιασμό, καθώς επίσης και σε μεθόδους όπως η μέθοδος χιαστί (π.χ.

2/3=4/6 => 2∙6=3∙4). Αν δεν είχαμε αυτές τις διαιρέσεις και τους πολλαπλασιασμούς (2/3, 4/6, 2∙6 και 3∙4), η μέθοδος χιαστί δε θα υπήρχε. Άρα, η λύση των εξισώσεων διεξάγεται κατά κάποιον τρόπο τυχαία. Ως εκ τούτου, οι διατυπώσεις των εξισώσεων είναι επίσης όχι απόλυτα έγκυρες. Άρα, γενικά, δεν μπορούμε να κάνουμε λόγο για ποιότητες αριθμών (ιδιότητες, συμπεριφορές, κλπ) βάσει των εξισώσεων. Έτσι, οι αριθμοί στερούνται χαρακτηριστικών. Και, αυτό αποδεικνύουμε σε αυτή τη θεωρία λέγοντας ότι ο αριθμός είναι μονομερής και απλός, και δεν μπορούν να υπάρχουν σχέσεις ανάμεσα στους αριθμούς. Φυσικά, μπορούμε να βασιζόμαστε στις εξισώσεις και τις μεθόδους που χρησιμοποιούνται σε αυτές προκειμένου να βρίσκουμε λύσεις. Αλλά όλα αυτά είναι τόσο έγκυρα όσο έγκυρη είναι η απλή διατύπωση του πολλαπλασιασμού: 6/2=χ. Και, όπως έχουμε πει, ο πολλαπλασιασμός είναι η βάση των εξισώσεων. Έτσι, οι εξισώσεις είναι τόσο έγκυρες όσο έγκυροι είναι οι πολλαπλασιασμοί εντός τους. Αντίθετα με τη διαίρεση και τον πολλαπλασιασμό, ο θεμελιακός ορισμός του 3 ως 1+1+1, μπορεί να είναι εμπειρικός ως διαδικασία μέτρησης, αλλά δεν επιτρέπει την πιθανότητα λάθους καθότι προσφέρει την απόλυτα λεπτομερή διατύπωση: αυτή των μονάδων σε εντελώς απλή και απόλυτη σειρά. Αυτό σημαίνει ότι η ανάλυση των μονάδων (ως σχήματος και νοήματος του σχήματος) είναι λεπτομερής και γίνεται με απόλυτο τρόπο, χωρίς πιθανότητα λαθών ή αποκλίσεων. Ας υπενθυμίσουμε εδώ ότι, όπως έχουμε αποδείξει στην παρούσα θεωρία, η αριθμητική φύση είναι αποδεδειγμένη και ορισμένη ως “η αναφορά της μονάδας”, δηλαδή π.χ. για ν=4, έχουμε το σχήμα 4=1+1+1+1, το οποίο σημαίνει: μονάδα, μονάδα, μονάδα, μονάδα – και αυτό είναι “η αναφορά της μονάδας” (βλ. κεφ. 3).

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[45]

Το γεγονός ότι, όπως έχουμε εδώ πει, οι αριθμητικές λειτουργίες –οι οποίες είναι σύνθετες και ενέχουν κάποιο είδος περιγραφής προκειμένου να οριστούν και να διεξαχθούν (τα κλάσματα, κλπ)– νοούνται με τρόπο που δεν είναι ακριβής και γίνονται στην τύχη, αυτό το γεγονός είναι ουσιαστικά η λύση στο Πρόβλημα P Vs NP [15]: Όταν ο υπολογισμός που διεξάγεται από τον ηλεκτρονικό υπολογιστή ακολουθεί το σχήμα “μονάδα, μονάδα, μονάδα, μονάδα, μονάδα”, δηλαδή μονάδα=1 και μετά μονάδα, μονάδα=2 και μετά μονάδα, μονάδα, μονάδα=3 και μετά μονάδα, μονάδα, μονάδα, μονάδα=4 και μετά μονάδα, μονάδα, μονάδα, μονάδα, μονάδα=5, αυτό σημαίνει ότι ο υπολογιστής λειτουργεί ως 1 2 3 4 5. Έτσι, στα πλαίσια της υπολογιστικής λειτουργίας, αυτό είναι ακριβές και δε γίνεται με τυχαίο τρόπο. Αλλά όταν αντί του 1 2 3 4 5, έχουμε 12,345, εφόσον αυτό είναι κλάσμα (όπως γράφουμε παραπάνω), διεξάγεται τυχαία. Και, αυτό διαφωνεί (δεν είναι συμβατό) με τις αποδείξεις αναφορικά με την αριθμητική φύση (βλ. κεφ. 1, 2 και 3) και με την (όπως είναι εδώ αποδεδειγμένη) κατάργηση της αφηρημένης αναφοράς στους αριθμούς, καθώς και με την κατάργηση του αριθμητικού συνεχούς (κεφ. 10). Λόγω αυτών, ο ηλεκτρονικός υπολογιστής δεν μπορεί να λύσει (διεξάγει) την παραπάνω αναφερθείσα λειτουργία με κανένα άμεσο τρόπο, διότι η ακριβής μέτρηση (η οποία είναι συμβατή με την αριθμητική φύση) δεν είναι αυτή που διεξάγεται στην τύχη, και συνεπώς, όπως γράφουμε παραπάνω, δεν είναι έγκυρη, παρά μπορεί μόνο να αναφερθεί στην απλή αρίθμηση (1+1+1+1+1) ώστε να αποκτήσει την οντολογική αξία της (και να επαληθευτεί από τον ηλεκτρονικό υπολογιστή). Ως εκ τούτου, η λύση στο Πρόβλημα P Vs NP δίδεται εδώ: P ≠ NP. Παραπέμπουμε επίσης στο κεφάλαιο 12 του παρόντος συγγράμματος. Η λογική που λύνει τα ανωτέρω αναφερθέντα προβλήματα είναι ουσιαστικά η απόδειξη ότι ο παραγοντισμός (πολλαπλασιασμός και διαίρεση), όντας σύνθετος, δεν μπορεί να θεωρηθεί ως ακριβής ή να διεξαχθεί (λειτουργήσει) με ακριβή τρόπο. Αυτό είναι έτσι διότι ο παραγοντισμός δε συμφωνεί με την απλή φύση του αριθμού, η οποία έχει αποδειχτεί ότι είναι απλή μέσω της διαδικασίας της πρόσθεσης, και ως εκ τούτου, η πρόσθεση, ως αποδεικνύουσα την αριθμητική φύση, θεωρείται ακριβής και μη σύνθετη: Το 1+1+1+1 είναι ένα σχήμα το οποίο εκφράζει μία μη σύνθετη έννοια. Και πράγματι, 1+1+1+1 ταυτίζεται με το 4, το οποίο είναι μη σύνθετο. Η απόδειξη ότι ο συντομότερος δρόμος ανάμεσα σε δύο σημεία είναι η ευθεία γραμμή έγκειται σε αυτή τη λογική. Η ευθεία γραμμή είναι ένα μονοδιάστατο γεωμετρικό αντικείμενο, ενώ μια γραμμή με γωνίες ή καμπύλες είναι περισσότερο από μονοδιάστατη (δισδιάστατη ή περισσότερων διαστάσεων). Στην περίπτωση του μονοδιάστατου αντικειμένου έχουμε να κάνουμε με τη διαστατική ενικότητα, όπου η πρόσθεση των μεγεθών (συνθετικών στοιχείων) χρησιμοποιείται για τη μέτρηση, ενώ στη διαστατική πολλαπλότητα (περισσότερες από μία διαστάσεις), χρησιμοποιούμε παραγοντικές διαδικασίες (πολλαπλασιασμό, διαίρεση) για τη

[46]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

μέτρηση των συνθετικών στοιχείων και του μεγέθους. Άρα, η απόδειξη στο πρόβλημα (το εν λόγω αξίωμα του Ευκλείδη) είναι προφανής: Η πολλαπλότητα έχει ως εκ φύσεως περισσότερα στοιχεία και συνθετικά μέρη από ό,τι έχει η ενικότητα. Συγκεκριμένα, η ενικότητα είναι η κατάσταση που υπάρχει ως ένα συνθετικό στοιχείο, ενώ η πολλαπλότητα είναι η κατάσταση που υπάρχει ως περισσότερα από ένα συνθετικά στοιχεία.

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[47]

7. Η περίπτωση των αρνητικών αριθμών Όπως έχουμε αποδείξει, ένας αριθμός δεν μπορεί να σχετίζεται με έναν άλλο αριθμό με κανέναν τρόπο. Αλλά αναλογιζόμενοι έναν αρνητικό αριθμό, π.χ. τον –3, φαίνεται να έχει έναν αντίστοιχο θετικό αριθμό, δηλαδή τον 3. Δηλαδή, για –3 λέμε ότι η απόλυτη τιμή του είναι 3. Συνεπώς, μπορεί αυτό να είναι ένας τρόπος συσχετισμού δύο αριθμών; Η απάντηση σε αυτό είναι απλή αναφορικά με αυτά που έχουμε ήδη αποδείξει. Το μέγεθος (τιμή) του 3 ορίζεται ως η απόσταση που έχει το 3 από το μηδέν. Και, αυτή η απόσταση ορίζεται ως το συνεχές 0 → 1 → 2 → 3. Αλλά, όπως αποδεικνύουμε, αυτό δεν μπορεί να είναι συνεχές ή οποιοδήποτε είδος συνόλου (βλ. κεφ. 5). Άρα, βασιζόμενοι στην απόδειξη για την αριθμητική φύση, η έννοια αυτού που ονομάζεται “μέγεθος” δε χρησιμεύει κατά κανένα τρόπο προκειμένου να υποθέσουμε μια ομοιότητα ανάμεσα σε δύο αριθμούς. Ο άλλος τρόπος που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για να συσχετίσουμε το –3 με το 3 είναι ο πολλαπλασιασμός: (−3)∙(−1)=3. Αυτό μεταφράζεται ως η άρνηση του αρνητικού αριθμού, η οποία καταλήγει στην θετικοποίηση του ίδιου αριθμού. Παρόλα αυτά, στο κεφάλαιο 6 αποδεικνύουμε ότι η λειτουργία του πολλαπλασιασμού δε συμφωνεί με την αριθμητική φύση, όπως αυτή είναι αποδεδειγμένη στην παρούσα θεωρία, αλλά ο πολλαπλασιασμός πρέπει να μεταφραστεί ως πρόσθεση προκειμένου να αποκτήσει το κύρος του. Και αυτό μας οδηγεί στο να μεταφράσουμε το (−3)∙(−1)=3 ως −3+6=3. Παρόλα αυτά, αναλογιζόμενοι την απόδειξη του κεφαλαίου 1 του παρόντος συγγράμματος, είναι ξεκάθαρο ότι στην παραπάνω διατυπωμένη ισότητα, το –3 δεν μπορεί να σχετιστεί με το 3 κατά κανένα τρόπο. Ως συμπέρασμα, είμαστε σε θέση να πούμε ότι ένας αριθμός δεν μπορεί να έχει κανένα είδος σχέσης με οποιονδήποτε άλλο αριθμό.

[48]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

8. Οι Πρώτοι Αριθμοί Και, εφόσον αναφερόμαστε στις αποκαλούμενες ποιότητες των αριθμών, ας δούμε μια ειδική κατηγορία αριθμών: τους Πρώτους Αριθμούς. Οι πρώτοι έχουν την “ποιότητα” του να διαιρούνται μόνο από τους εαυτούς τους και τη μονάδα, ούτως ώστε να προκύπτουν μονάχα ακέραιοι από τη διαίρεση. Το κλειδί σε αυτή την περίπτωση, και η συνθήκη, είναι η παρουσία των ακεραίων ως του αποτελέσματος της διαίρεσης. Παρόλα αυτά, γιατί θα πρέπει να θέσουμε ως απαραίτητη προϋπόθεση την παρουσία ακεραίων ως αποτελέσματος της εν λόγω λειτουργίας (διαίρεσης); Έχουμε αποδείξει ότι όλοι οι αριθμοί, συμπεριλαμβανομέ-νων των δεκαδικών, είναι μονομερείς οντότητες και, ως εκ τούτου, καθένας αριθμός είναι πλήρως άσχετος με έναν άλλον. Άρα δεν μπορούμε να έχουμε δύο διακριτές ομάδες∙ τη μία των ακεραίων και την άλλη των δεκαδικών. Και η σχέση ενός πρώτου αριθμού με έναν ακέραιο είναι ακριβώς η ίδια όπως η σχέση ενός πρώτου με έναν δεκαδικό∙ η ολοκληρωτική απουσία σχέσης. Άρα, γιατί θα πρέπει να προϋποθέσουμε την παρουσία ακεραίων ως αποτελέσματος των διαιρέσεων; Και, στα σίγουρα, όλοι οι αριθμοί είναι μη ορίσιμοι. Καμία λέξη δεν μπορεί να περιγράψει τη φύση τους, καθότι αυτή είναι απλή. Έτσι, το να κάνουμε διάκριση ανάμεσα στις αποκαλούμενες κατηγορίες αριθμών, τους ακεραίους από τη μία, και τους δεκαδικούς από την άλλη, είναι ανυπόστατο. Για να είμαστε πιο ξεκάθαροι στο πώς οι ακέραιοι, ως το αποτέλεσμα των διαιρέσεων, δεν είναι κάτι το διαφορετικό από τους δεκαδικούς αριθμούς, ας σκεφτούμε ως εξής: Αναλογιζόμενοι π.χ. τον 4, υποσυνείδητα και εκ του φυσικού σκεφτόμαστε, ας πούμε, 4 κουτιά. Αυτός είναι ο μόνος τρόπος να περιγράψουμε τον 4, απλά διότι ο 4 καθαυτός δεν μπορεί να περιγραφεί∙ είναι μονομερής, μη έχοντας καθόλου χαρακτηριστικά, άρα απερίγραπτος. Τώρα, τα 0,3 κουτιά δεν μπορούν να θεωρηθούν ως ακέραια ποσότητα, απλά επειδή δεν υπάρχει ένα ή περισσότερα ολόκληρα κουτιά στην ένδειξη αυτή. Υπάρχει μόνο ένα κλάσμα (τμήμα) κουτιού (0,3 κουτιά). Αλλά, ο 4 δεν μπορεί να θεωρηθεί ούτε καν ως τέσσερις μονάδες. Είναι μονομερής οντότητα. Το ίδιο ισχύει για τον 0,3. Άρα δεν μπορούμε να διακρίνουμε ανάμεσα στους ακεραίους και τους δεκαδικούς, όταν, φυσικά, αναφερόμαστε σε αυτούς ως καθαρούς αριθμούς. Βλέπε επίσης: κεφάλαιο 2, παράγραφοι 5, 6 και 7. Έτσι, αν μπορούμε να δεχτούμε μια διάκριση ανάμεσα στους ακεραίους και τους δεκαδικούς μονάχα στην περίπτωση όπου αυτοί συνοδεύουν φυσικά ή γεωμετρικά μεγέθη, τότε το ίδιο πρέπει να ισχύει για τους πρώτους αριθμούς όταν πρόκειται να διαιρεθούν και να δώσουν ή να μη δώσουν ακεραίους ως το αποτέλεσμα της διαίρεσης. Αυτό σημαίνει ότι προκειμένου να έχουμε 0,5 αμάξια ή 1 αμάξι, πρέπει να πάρουμε τα (αριθμητικά-πρώτα) 5 αμάξια και να τα διαιρέσουμε με το 10 η με το 5

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[49]

αντίστοιχα. Αντιθέτως, αν έχουμε το 5 μόνο του και το διαιρέσουμε, δεν μπορούμε να μιλάμε για αριθμό αμαξιών, αλλά για καθαρούς αριθμούς. Και, εφόσον η ποιότητα που ονομάζεται “αμάξια” αποφασίζει τον δεκαδικό ή τον ακέραιο χαρακτήρα του αποτελέσματος της διαίρεσης, πρέπει επίσης να έχουμε αυτή την ποιότητα συνδυασμένη με τον 5. Ως εκ τούτου, αν 0,5 αμάξια αποκαλούνται δεκαδικό ποσό αμαξιών (και όχι ακέραιο) διότι ο αριθμός είναι δεκαδικός, το ίδιο ισχύει για τα 5 αμάξια∙ 5 αμάξια είναι ένας πρώτος αριθμός αμαξιών. Το 5 μόνο του δεν μπορεί να χαρακτηριστεί –ως πρώτος αριθμός– ως διαφορετικής κατηγορίας από τον π.χ. 4. Υπενθυμίζουμε ότι, όπως εξηγήσαμε παραπάνω, ο 5 δεν μπορεί να κατηγοριοποιηθεί ως πρώτος επί της βάσεως ότι μπορεί μόνο να διαιρεθεί με το 5 και το 1 ούτως ώστε να δώσει έναν ακέραιο και όχι έναν δεκαδικό αριθμό. Μπορούμε μόνο να κάνουμε λόγο για μια ακέραια ή μια δεκαδική ποσότητα π.χ. αμαξιών. Έτσι, όπως έχουμε ήδη γράψει, για να προκύψει 1 αμάξι, πρέπει να διαιρέσουμε 5 αμάξια και όχι το 5 μόνο του. Ως εκ τούτου, αν το 1 αμάξι είναι ένα ακέραιο μέγεθος αμαξιών (και όχι δεκαδικό, το οποίο θα ήταν αν αποδίδαμε τον αριθμό 0,5 στο αμάξι) και η ακεραιότητα είναι εξαιτίας του αριθμού 1, το ίδιο ισχύει για τον 5 έναντι του 4∙ το 5 κάνει τα αμάξια ικανά να διαιρούνται μόνο με το 5 και το 1 ώστε να προκύπτει ακέραιο μέγεθος αμαξιών. Αλλά, σε αυτή την περίπτωση, είμαστε υποχρεωμένοι να εκλάβουμε το 5 μαζί με τα αμάξια. Η πρώτη ποιότητα (ιδιότητα) ανήκει στα αμάξια και όχι στον αριθμό5∙ ακριβώς όπως τα 0,5 αμάξια δεν είναι ακέραια ποσότητα αμαξιών, απλά διότι δε βλέπουμε ένα ολόκληρο αμάξι. Άρα, ο 5 μόνος δεν μπορεί να θεωρείται πρώτος, διότι πρέπει να συνδυαστεί με τα αμάξια για να δώσει ακέραιο μέγεθος αμαξιών (1 αμάξι) όταν διαιρείται με τον εαυτό του (5). Και είναι κρίσιμης σημασίας το ότι το πέντε μόνο του δεν μπορεί να ονομαστεί πρώτο, διότι το 5 μόνο του είναι το 5 ως αριθμός. Για να είμαστε πιο ξεκάθαροι πάνω σε αυτό, παρακαλούμε δείτε το κεφάλαιο 5 (“Η διάταξη και ακολουθία των αριθμών”), παράγραφος 3 και, περαιτέρω το όλο κεφάλαιο 5. Πάνω στη βάση των ανωτέρω μπορούμε να πούμε ότι π.χ. ο 5, ως καθαρός αριθμός, είναι η ίδια η υπόσταση της “πρωτότητας” (ή πεμπτότητας), και, ως η καθαυτή πρωτότητα, δεν μπορεί να χαρακτηριστεί πρώτη λόγω του ότι αυτό θα ήταν πλεονασμός. Το 5 δίδει την ποιότητα της πρωτότητας στα αντικείμενα που συνοδεύει. Και η ονομασία του π.χ. 5 ως πρωτότητας, αποτυγχάνει να είναι χαρακτηριστικό του (και, επιπλέον, δεν μπορούμε να έχουμε μια κατηγορία, των πρωτοτήτων – 2, 3, 5, 7, κλπ) διότι το 5 βρέθηκε ότι είναι πρωτότητα μόνο στην περίπτωση όπου συνοδεύει φυσικά αντικείμενα. Αν υπήρχε ένας τρόπος, θεωρητικά, να μην είχαμε ποτέ την ευκαιρία να ταιριάξουμε το 5 με κανένα αντικείμενο, τότε δε θα υπήρχε κανένας τρόπος για να μπορέσουμε συνειδητοποιήσουμε ότι το 5 λειτουργεί ως πρωτότητα. Άρα, το 5 ως καθαρός αριθμός δεν υπάρχει λόγος να χαρακτηριστεί “πρωτότητα”.

[50]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

Μια αντίρρηση σε αυτά θα μπορούσε να είναι η ακόλουθη: Εντάξει, το 5 ως καθαρός αριθμός δεν μπορεί να χαρακτηριστεί πρώτος. Αλλά γιατί να το θεωρήσουμε αποσπασμένο από φυσικά αντικείμενα (όπως τα αμάξια); Μπορούμε εύκολα να πούμε ότι από τον ίδιο το συνδυασμό του 5 με τα αμάξια (εδώ ονομάζουμε τα αμάξια “c”) κατοχυρώνεται η πρώτη ιδιότητα του 5. Δηλαδή μπορούμε να ορίσουμε έναν πρώτο αριθμό ως εξής: οποιοσδήποτε αριθμός συνδυαζόμενος με το “c” είναι πρώτος όταν, διαιρούμενος με έναν αριθμό άλλο από τον εαυτό του και τη μονάδα, δίδει μια μη ακέραια ποσότητα του c. Και είναι ο ίδιος ο συνδυασμός ενός αριθμού με το c, ο οποίος αποκαλύπτει την πιθανή πρώτη ιδιότητα του αριθμού. Η απάντηση σε αυτό είναι ως εξής: Συνδυάζοντας π.χ. τον Πρώτο 5 με το c και διαιρώντας τον με το π.χ. 10, αυτό διατυπώνεται ως εξής: 5c/10=0,5c. Και επίσης έχουμε 5c/5=1c. Όπως είναι εμφανές, το αντικείμενο c έχει εντελώς ουδέτερη συνεισφορά εντός των ισοτήτων. Ο ρόλος του είναι, μπορούμε να πούμε, άχρωμος. Δε συνεισφέρει σε καμία αλλαγή. Η αλλαγή είναι εντελώς στα πλαίσια των αριθμών των ισοτήτων. Έτσι, ισχύει ό,τι γράψαμε προηγουμένως. Είναι σωστό να θεωρήσουμε τους πρώτους αριθμούς και τα αποτελέσματα από τις διαιρέσεις τους αποκομμένα από φυσικά αντικείμενα και, συνεπώς, ως αποκομμένοι, αυτοί οι αριθμοί δεν μπορούν να ονομαστούν πρώτοι. Για να είμαστε πιο ξεκάθαροι, στις 5c/10=0,5c και 5c/5=1c, αν πρόκειται να αναλογιστούμε μια συνεισφορά του c στις ισότητες, αυτή δεν μπορεί να υπάρξει. Η μόνη αλλαγή του c εντοπίζεται εκτός της ισότητας. Δηλαδή, μπορούμε μόνο να υποστηρίξουμε τις αλλαγές του 0,5 αμάξια σε σχέση με το 1 αμάξι μέσω κάποιας φυσικής περιγραφής, η οποία σίγουρα δεν αντιστοιχεί και δε σχετίζεται με τις αριθμητικές λειτουργίες των ισοτήτων 5c/10=0,5c και 5c/5=1c. Άρα, μπορούμε να βρούμε τη διαφορά ενός ολόκληρου αμαξιού από ενός μισού αμαξιού λέγοντας ότι το μισό αμάξι έχει ποιοτική διαφορά από το ολόκληρο αμάξι: έχει μόνο δύο τροχούς και δεν οδηγείται. Αυτό έχει να κάνει με μορφολογικές διαφορές και όχι με ποσοτικές, δηλαδή όχι τις ποσοτικές – αριθμητικές– διαφορές των ισοτήτων. Και, εφόσον αυτές οι διαφορές δημιουργούν τις αποκαλούμενες πρώτες ιδιότητες και δεν μπορούν να σχετιστούν με τους αριθμούς, άρα είναι σίγουρο ότι οι αριθμοί, όπως ο 5 ή ο 7, είναι αδιάφοροι του χαρακτηρισμού “πρώτοι”. Εν τέλει, μήπως δεν είναι το κριτήριο “c” το ίδιο όσον αφορά τη διάκριση ανάμεσα στους περιττούς και τους άρτιους αριθμούς, και ανάμεσα στους ακεραίους και τους δεκαδικούς, όσο είναι (το ίδιο) αναφορικά στη διάκριση ανάμεσα στους πρώτους και τους μη πρώτους αριθμούς; Το κριτήριο είναι: το να έχουμε ή το να μην έχουμε ένα ολόκληρο “c”. Και αυτό ισχύει για όλα τα είδη των αριθμητικών διακρίσεων. Δεν είναι αυτό ύποπτο; Η ολότητα του c είναι όπως είπαμε θέμα φυσικής ποιότητας. Είναι η έννοια του ατομικού. Ένα άτομο είναι ένα σύστημα με όλα του τα μέρη τεθειμένα μαζί και ενωμένα αχώριστα έτσι ώστε να έχουμε

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[51]

ατομικότητα. Αλλά αυτή η “ένωση” απηχεί στις επιστήμες της Φυσικής ή της Βιολογίας ή της Ανθρωπολογίας, κλπ, και όχι στη θεωρία αριθμών. Ένα άτομο είναι μια οντότητα που εντοπίζεται στο φυσικό χώρο. Οι αριθμοί, από την άλλη, έχουμε αποδείξει ότι είναι μονομερείς – απερίγραπτοι, άρα χωρίς φυσικές ποιότητες. Απολύτως καμία φυσική ποιότητα δεν μπορεί να αποδοθεί στους αριθμούς (όπως η ατομικότητα ή η ολότητα – και η πρωτότητα είναι μια έκφραση της ολότητας). Και εφόσον έχουμε αποδείξει αυτό, δεν μπορούμε να βασιζόμαστε στο όλο c, δηλαδή στο φυσικό κόσμο, προκειμένου να αποδείξουμε κατ’ αντιστροφή (από το όλο c, πίσω στους αριθμούς) ότι υπάρχουν αριθμητικές ποιότητες. Απλά, επειδή εδώ αποσπάσαμε τους αριθμούς από το φυσικό κόσμο, για αυτό δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη φυσική για να υποστηρίξουμε και να αποδώσουμε ποιότητες στους αριθμούς, διότι αυτό θα ήταν η επανασύνδεση της φυσικής με τους αριθμούς (και είναι ανόητο να κάνουμε την επανασύνδεση γιατί βασιστήκαμε στην ακύρωση της σύνδεσης για να καταλήξουμε στα συμπεράσματά μας). Άρα, είναι προφανές ότι ένα από τα δύο ισχύει: είτε η συμπερίληψη των αριθμών στη φυσική (περίπτωση Β) ή ο διαχωρισμός αυτών των δύο πλευρών (περίπτωση Α). Ο διαχωρισμός είναι αποδεδειγμένος από το κεφάλαιο 3 – το μονομερές του αριθμού. Η συμπερίληψη δεν έχει να κάνει με απόδειξη, αλλά είναι απλά μια ανάγκη η οποία προέρχεται από την παρατήρηση του όλου c. Και, σε κάθε περίπτωση, ο ορισμός του 3 ως 3=1+1+1 (βλ. απόδειξη, κεφ. 1) είναι απόλυτος και σίγουρα προηγείται της παρατήρησης που μας λέει ότι μπορούμε να διαιρέσουμε το 5 μόνο με το 5 και το 1 ώστε να έχουμε έναν ακέραιο. Πολύ απλά: πρέπει να διατυπώσουμε 5=1+1+1+1+1 (απόδειξη, κεφ. 3) ούτως ώστε να έχουμε εξ αρχής το 5. Έτσι, αυτό έχει την προτεραιότητα – προηγείται της παρατήρησης της πρωτότητας του 5. Έτσι, η περίπτωση Α είναι δυνατότερη από την περίπτωση Β, και, εφόσον πρέπει είτε να ισχύει η περίπτωση Α είτε να ισχύει η περίπτωση Β, άρα μόνο η περίπτωση Α ισχύει. Ως εκ τούτου, το κριτήριο του “c” σχετικά με τη διάκριση ανάμεσα στους πρώτους και τους μη πρώτους αριθμούς, δεν μπορεί να ισχύει. Έτσι, δεν υπάρχουν Πρώτοι Αριθμοί.

[52]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

9. Οι άγνωστες (μη αριθμημένες) μονομερείς οντότητες (αριθμοί) Οι άγνωστες (μη αριθμημένες) μονομερείς οντότητες (αριθμοί) θεμελιώνονται και αποδεικνύονται από τις κεντρικές μας αποδείξεις (κεφ. 1, 2 και 3) ακριβώς όπως οι αριθμημένες μονομερείς οντότητες (π.χ. ο 3 και ο 4). Έχουμε να κάνουμε με ακριβώς την ίδια λογική διαδικασία όσον αφορά στις κεντρικές αποδείξεις. Απλά και κατανοητά, όπου διατυπώνουμε 3 και 4, διατυπώνουμε να και νβ αντί αυτών. Αν μη τι άλλο, ο 3 κα ο 4 δεν διαφέρουν από τις μη μετρημένες οντότητες όπως ορίζονται ως π.χ. η αναφορά της μονάδας (τρίτη απόδειξη). Δηλαδή ο 3 ορίζεται ως η αναφορά της μονάδας, χωρίς κάποιο διακριτικό στοιχείο στον ορισμό, το οποίο θα μπορούσε να δείξει ότι πρόκειται για τον 3 και όχι για οποιονδήποτε άλλο αριθμό. Έτσι, ένας μη μετρημένος αριθμός δεν υστερεί σε τίποτα έναντι του μετρημένου 3. Ορίζεται ως η αναφορά της μονάδας με ακριβώς τον ίδιο τρόπο που ισχύει για τον 3. Επίσης, οι μονάδες ενός μη μετρημένου αριθμού ν διατυπωμένου ως ν=1+1+1+1… δε στερούνται κανενός χαρακτηριστικού έναντι του 3=1+1+1. Στην αναφερόμενη απόδειξη εξηγούμε ότι δεν μπορεί να υπάρχει μία πρώτη, μία δεύτερη ή τρίτη μονάδα μέσα στην ταυτότητα. Στην αντίθετη περίπτωση θα υπήρχε πρόβλημα διότι θα έπρεπε να ονομάσουμε καθεμία από τις μονάδες. Και αυτό θα ήταν αδύνατο στην περίπτωση ενός μη μετρημένου αριθμού. Έτσι, όλο κι όλο αυτό που έχουμε να κάνουμε είναι απλά να αντικαταστήσουμε το 3=1+1+1 με το ν=1+1+1+1… Άρα, ένας άγνωστος αριθμός δε βρίσκεται σε μειονεκτική θέση έναντι του 3, ως προς τα στοιχεία από τα οποία αποτελείται, και τα οποία προσφέρει η απόδειξη. Στα πλαίσια της δεύτερης απόδειξης (η σχέση δύο αριθμών ως “συνθέτω” με “αποσυνθέτω”), αντιμετωπίζουμε τους μη μετρημένους αριθμούς ως εξής: Αντί να διατυπώσουμε 3=6/2, διατυπώνουμε ν1=ν2/ν3 και ακολουθούμε ακριβώς τον ίδιο τρόπο λογικής όπως στην 3=6/2. Το ίδιο ισχύει για την πρώτη απόδειξη. Διατυπώνουμε ν1=ν2+ν3 και ακολουθούμε ακριβώς την ίδια λογική όπως στο 5=3+2 προκειμένου να αποδείξουμε ότι ο ν2 ή ο ν3 δεν υφίστανται ως μέρη του ν1. Παρόλο που έχουμε να κάνουμε με άγνωστους αριθμούς, όμως το σίγουρο είναι ότι δε σχηματίζουν σύνολα μεταξύ τους. Δηλαδή, με την έννοια που έχουμε δύο άγνωστους αριθμούς χ και ψ, έχουμε και δύο γνωστούς, τον 3 και τον 4. Με την έννοια που συμβατικά θέτουμε τον 3 και τον 4 μαζί, στην έκφρασή μας, μπορούμε να θέσουμε μαζί (συμβατικά) τον χ και τον ψ. Αυτό που πρέπει να προσέχουμε είναι ότι η αφηρημένη (γενική) αρίθμηση είναι κάτι διαφορετικό από την αναφορά σε άγνωστους αριθμούς. Κατά την αρίθμηση (πιο συγκεκριμένα, κατά τη συνεχή μετάβαση από τον έναν αριθμό στον άλλο) δομούμε ένα συνεχές – μια συνέχεια μεταξύ αριθμών (την οποία αποδείξαμε ανυπόστατη). Και είναι διαφορετικό να αναφερόμαστε σε μεμονωμένους αριθμούς.

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[53]

Η αφηρημένη συνέχεια μεταξύ των αριθμών ουσιαστικά συνιστά ένα αριθμοσύνολο. Το “για κάθε αριθμόν υπάρχει ν+1” θέτει όλους τους αριθμούς μαζί (τουτέστιν: “για κάθε αριθμό”). Έτσι έχουμε να κάνουμε με ένα αφηρημένο σύνολο αριθμών. Και είναι διαφορετικό να αναφερθούμε σε άγνωστους αλλά μεμονωμένους αριθμούς, οι οποίοι δε σχηματίζουν σύνολα μεταξύ τους. Ας σημειώσουμε εδώ με το να δηλώνουμε ότι οι αριθμοί είναι μονομερείς οντότητες (βλ. κεφ. 3), δεν μπορεί να ισχύει ότι μέσω αυτής της δήλωσης συμπεραίνουμε ότι οι αριθμοί έχουν το κοινό χαρακτηριστικό ότι είναι μονομερείς. Πρώτα-πρώτα, το ότι ο αριθμός είναι μονομερής δε συνιστά χαρακτηριστικό του, εφόσον όλο κι όλο αυτό που είναι ο αριθμός είναι η κατάσταση της απλότητας – του μονομερούς. Ένας αριθμός είναι η απόλυτα απλή οντότητα. Έτσι, το “μονομερής” δεν μπορεί να είναι χαρακτηριστικό του αριθμού, αλλά η όλη οντότητά του. Έτσι, αν π.χ. ο 5 και ο 9 είναι να έχουν τη μονομέρεια από κοινού, θα πρέπει να ταυτίζονται, εφόσον το από κοινού χαρακτηριστικό τους είναι η όλη τους οντότητα. Προφανώς, αυτό δεν μπορεί να ισχύει. Επιπλέον, όταν λέμε ότι ο 5 και ο 9 είναι μονομερείς, διαπράττουμε συμβατική κα όχι ακριβή διατύπωση: εφόσον, όπως έχουμε αποδείξει, δεν μπορεί να υπάρχει μία αναφορά (διατύπωση) η οποία να περιέχει περισσότερους του ενός αριθμούς, αλλά μόνο ένας αριθμός μπορεί να βρίσκεται σε μία αναφορά, δηλαδή ορισμό, τότε, όταν αναφερόμαστε σε π.χ. 3 αριθμούς, στην ουσία διεξάγουμε τρεις αναφορές. Έτσι, για π.χ. τους 5, 9 και 16, αντί να διατυπώνουμε την ύπαρξη ενός συνόλου τριών αριθμών, διατυπώνουμε χωριστά “5” και μετά “9” και μετά “16”. Αυτές είναι τρεις διατυπώσεις (που διατυπώνουν τρεις αριθμούς) οι οποίες γίνονται μόνο χωριστά, δηλαδή οι δηλώσεις δεν μπορούν να συμπεριλαμβάνονται σε ένα σύνολο και είναι απόλυτα διακριτές. Με άλλα λόγια, η διατύπωση του 5 διεξάγεται μόνη και η διατύπωση του 9 διεξάγεται μόνη και η διατύπωση του 16 διεξάγεται μόνη. Φυσικά μπορούμε να πούμε ότι διεξήγαμε τρεις διατυπώσεις συνολικά (και συνεπώς πήραμε τρεις αριθμούς ως σύνολο), όμως αυτή η σκέψη δεν είναι ακριβής. Οι τρεις ορισμοί που τίθενται από κοινού, οδηγούν στη λειτουργία του πολλαπλασιασμού: ο ορισμός κάποιου αριθμού (dν) ο οποίος πολλαπλασιάζεται επί 3: dν∙3. Όμως έχουμε ήδη εξηγήσει ότι η λειτουργία του πολλαπλασιασμού δεν εκφράζει την αριθμητική φύση (στο κεφ. 6). Όταν διεξάγουμε πολλαπλασιασμό δεν μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι έχουμε να κάνουμε με αριθμούς (αφού ο πολλαπλασιασμός δε συμφωνεί με την αριθμητική φύση, όπως έχουμε αποδείξει) εκτός κι αν μεταφράσουμε τον πολλαπλασιασμό ως πρόσθεση (βλ. κεφ. 6). Άρα, επειδή ο ορισμός του π.χ. 5 είναι απόλυτα σε αντιστοιχία με τα ίδιο το 5, διότι είναι ένας απόλυτος ορισμός (το οποίο σημαίνει ότι η –απόλυτη– ταυτότητα 5=1+1+1+1+1 – η μονάδα προς μονάδα πρόσθεση– συνιστά όλο κι όλο αυτό που είναι ο ορισμός του 5 – βλ. κεφ. 1 και 3), το dν∙3 αντιστοιχεί στο “αριθμός∙3”, δηλαδή 3 αριθμοί. Για να το πούμε πρακτικά, είναι σαν να λέμε “ο αριθμός 5” και “ο αριθμός9” και “ο αριθμός

[54]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

16” είναι 3 αριθμοί ή, ισοδύναμα, “αριθμός∙3”. Διατυπώνοντας αυτούς τους “τρεις αριθμούς” μέσω του πολλαπλασιασμού, έχουμε: οι 3 αριθμοί 5, 9 και 16 είναι ένα άθροισμα (ή συλλογή) του παράγοντα 3 ως (5)+(5+4)+(5+11) = (3∙5)+4+11. (Οδηγούμαστε στη διατύπωση αυτής της ισότητας με απόλυτο τρόπο διότι η αναφορά “τριών αριθμών” είναι απόλυτα η αναφορά τριών αριθμών οι οποίοι συναθροίζονται. Το γεγονός ότι αυτοί οι αριθμοί αθροίζονται δεν μπορεί να παραβλεφθεί καθόλου – δεν μπορεί να απορριφθεί σε καμία περίπτωση.) Στο πρώτο μέρος της ισότητας, η παρουσία του ίδιου αριθμού (5) 3 φορές είναι ο μόνος τρόπος να εισάγουμε τον παράγοντα 3 στην υποτιθέμενη σχέση των τριών αριθμών 5, 9 και 16. Και, ως εκ τούτου,καταλήγουμε στον πολλαπλασιασμό (3∙5). Έτσι, ο πολλαπλασιασμός που υπάρχει εδώ είναι άνευ αξίας σύμφωνα με το πώς ο αριθμός υπάρχει πραγματικά. Και δε θα μπορούσε να υπάρχει πιο έγκυρος τρόπος να συνθέσουμε αυτούς τους τρεις αριθμούς, από ό,τι ο παραπάνω, διότι η όποια πιθανή σχέση που μπορεί να υπάρχει ανάμεσα στους αριθμούς, πρέπει να πηγάζει από τις βασικές, στοιχειώδεις αριθμητικές λειτουργίες: την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Αν τα στοιχεία της αριθμητικής συμπε-ριφοράς (λειτουργίας) δεν προσφέρουν αριθμητική σχέση, τότε οι αριθμοί είναι άσχετοι στο στοιχειώδες (δηλαδή απόλυτο) επίπεδο. Εφόσον η φύση του αριθμού δεν μπορεί να εκφραστεί μέσω του πολλαπλασιασμού, ή του παραγοντισμού γενικά, το προαναφερθέν παράδοξο –οι αριθμοί να μην έχουν κοινό το ότι είναι μονομερείς ή το ότι είναι αριθμοί– αποφεύγεται. Αυτό σημαίνει ότι οι καθαυτοί τρεις ορισμοί των τριών αριθμών δεν μπορούν να συστήσουν σύνολο: το σχήμα (3∙5)+4+11 είναι η μετάφραση η οποία ερμηνεύει τους τρεις υποτιθέμενα κοινούς ορισμούς των τριών υποτιθέμενα σχετιζόμενων αριθμών 5, 9 και 16. Αλλά, όπως είναι εμφανές, μόνο ο 5 είναι παρών ως τριπλός. Το 3 δεν πολλαπλασιάζει τους άλλους αριθμούς με κανένα τρόπο. Αλλά η σχέση του 3 με μόνο έναν από τους αριθμούς σημαίνει ότι το 3 δεν απευθύνεται σε περισσότερους από έναν αριθμούς. Δεν έχουμε κάποια κοινή απεύθυνση, αλλά μόνο μια αποκλειστική. Και αυτό ερμηνεύεται ως ότι οι τρεις αριθμητικές απευθύνσεις (αριθμητικές αναφορές) δεν μπορούν να θεωρηθούν από κοινού, παρά μόνο ξεχωριστά. Για να δούμε το θέμα με μια διαφορετική λογική, μπορούμε να πούμε τα εξής: Ένας αριθμός είναι αποδεδειγμένο ότι είναι μια απόλυτα απλή οντότητα. Αυτό σημαίνει ότι δεν έχει καθόλου χαρακτηριστικά και ποιότητες. Πώς μπορούμε να βρούμε ένα κοινό χαρακτηριστικό ή ένα κοινό σημείο ή μία κοινή έννοια, και ούτω καθεξής, ανάμεσα σε δύο οντότητες για τις οποίες δεν μπορούμε να διατυπώσουμε ακόμα και την ελάχιστη περιγραφή; Ως εκ τούτου, ακόμα και το να αναφερόμαστε σε “δύο” ή “τρεις” τέτοιες οντότητες, δηλαδή να τις θέσουμε ως σύνολο των δύο ή των τριών, δεν μπορεί παρά να είναι λάθος και, στην καλύτερη των περιπτώσεων, συμβατικό στα πλαίσια της δυνατότητάς μας να αναφερόμαστε σε αυτό που

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[55]

αποκαλείται αριθμός. Ασφαλώς, ο όρος αριθμός είναι λάθος ή συμβατικός, και το σωστό να πούμε είναι αυτό που προκύπτει από την απόδειξη της αριθμητικής φύσης: ο αριθμός είναι απόλυτα απερίγραπτος και δε σχηματίζει κανενός είδους σύνολο με έναν άλλο αριθμό.

[56]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

10. Η σχέση του Ανυπόστατου του Απείρου με τη Γεωμετρία και τη Φυσική. Η διαφορά με την Περατοκρατία [16]. Η απόδειξη του Ευκλείδειου Χώρου [17]. Η απόδειξη του ότι ο κύκλος δεν είναι Ευκλείδειος και, βάσει αυτού, το πώς ο κύκλος μετράται αυθεντικά. Η απάντηση στο πώς λειτουργεί το ποδήλατο. Όσον αφορά το φαινομενικό παράδοξο το οποίο προκύπτει από την κατάργηση του απείρου, στο πεδίο των φυσικών οντοτήτων –του φυσικού κόσμου, ο οποίος ορίζεται ως ένα τετραδιάστατο συνεχές∙ ως χωροχρόνος– απαντούμε σε αυτό ως ακολούθως: Η εισαγωγή των διαστάσεων –εδώ θα ασχοληθούμε μόνο με τη διάσταση του μήκους για χάρη απλότητας– φαίνεται να υποστηρίζει την απεριόριστη συνέχεια, άρα το άπειρο, με αυτόν τον απλό τρόπο: αν υποθέσουμε ένα συγκεκριμένο μήκος α, όσο και να το διαιρέσουμε, πάντα προκύπτει κάποιο μήκος από αυτό, και το μήκος είναι από τη φύση του διαιρέσιμο. Άρα, η διαίρεση ποτέ δεν σταματά, και δεδομένου ότι η διαίρεση είναι καθαρά αριθμητική ενέργεια, η οποία ορίζεται ως 1/ν, όπου ν>0 και πραγματικός, τότε ακόμα και το άπειρο στην καθαρή μορφή του –αυτή του καθαρού αριθμητικού συνεχούς– διασφαλίζεται. Σε αυτό απαντούμε ότι είναι ακριβώς αυτός ο καθαρός αριθμητικός χαρακτήρας της διαίρεσης του μήκους, ο οποίος πρέπει να μας αναγκάσει, και εν τέλει να μας οδηγήσει, στο συμπέρασμα ότι το θεμέλιο της απεριόριστης (άπειρης) διαιρετότητας του α είναι ανυπόστατος. Αν θεωρήσουμε μια ακολουθία διαιρέσεων του α, έχουμε π.χ. α→α/2→α/4→α/8. Αν έχουμε το α ως α1, το α/2 ως α2, το α/4 ως α3 και το a/8 ως α4, τότε είναι: i) α1=α2∙2, ii) α2=α3∙2, iii) α3=α4∙2. Κατ’ επέκταση έχουμε α4=α5∙2, άρα αν=αν+1∙2. Αλλά α2=α1/2 => αν+1=αν/2. Ως εκ τούτου, τόσο η μετάβαση από ένα αν σε ένα αν+1 όσο και η σχέση ενός αν με ένα αν+1 είναι καθαρά ποσοτική, άρα αριθμητική. Άρα, ουσιαστικά έχουμε να κάνουμε με το συνεχές 1/1, 1/2, 1/4, 1/8, … εφόσον ο παράγοντας α στα α/1, α/2, α/4, α/8 είναι ουδέτερος και η παρουσία ή η απουσία του δεν διασφαλίζει και δεν ακυρώνει τίποτα, διότι, σε κάθε περίπτωση, η σχέση α → α/2 είναι εξίσου έγκυρη με την α/α → (α/2)/α => 1 → 1/2. Συνεπώς προκύπτει το ερώτημα πώς μπορούμε να αναλογιστούμε το α1 - α2 α3 - α4 … ως συνεχές, εφόσον αυτό ταυτολογείται με το 1 - 1/2 - 1/4 - 1/8 …, το οποίο από την παρούσα θεωρία έχει αποδειχτεί ως μη συνεχές. Αλλά ας μην κάνουμε το λάθος να πούμε, βάσει αυτού, ότι το μήκος α καθαυτό δεν ενέχει συνέχεια. Αυτό διότι εδώ ασχολούμαστε με το να θεωρήσουμε την καθαυτή μετάβαση από το α στο α2 και όχι με το α καθαυτό ή το α2 καθαυτό. Αυτό που μας απασχολεί είναι αν μπορεί να υπάρχει μια τέτοια μετάβαση, διότι είναι η μετάβαση, η οποία ανοίγει το δρόμο για το άπειρο. Και, σε κάθε περίπτωση, το α δεν μπορεί με κανένα τρόπο να ταυτολογηθεί με τη μετάβαση, διότι η μετάβαση είναι ένας αριθμός (υπενθυμίζουμε

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[57]

το 1 – 1/2, όπου το 1/2 προέρχεται από το 1 διαιρούμενο με το 2, άρα το 1/2 είναι η καθαυτή μετάβαση). Έτσι, εφόσον η μετάβαση από το α στο α/2 είναι μια μετάβαση από έναν αριθμό σε έναν άλλο, και μόνο ως τέτοια μπορεί να νοηθεί, τότε η διαίρεση του α, η α/2, δεν μπορεί να έχει το α ως σημείο αναφοράς, δηλαδή δεν λαμβάνει την υπόστασή της ως διαίρεση από το α. Και, αυτό που μας απασχολεί είναι το πώς το α διαιρείται –και πώς διαιρείται απείρως– και όχι το α καθαυτό. Δηλαδή δεν θεωρούμε τη σχέση του α με το α/2, αλλά τη διαίρεση, δηλαδή τη μετάβαση από το α στο α/2: τη σχέση του 1 με το 1/2. Η σχέση του α με το α/2 υπάρχει στο κοινό στοιχείο των α και α/2, δηλαδή το α. Όμως αυτό δεν έχει τίποτα να κάνει με την ιδιότητα του α να διαιρείται. Αυτό διότι η σχέση του α με το α, στο πλαίσιο των διαφορετικών μεγεθών του, το οποίο ορίζεται από το κλάσμα (α/2)/α = α/(2α) = 1/2 ή α/(α/2) = (2α)/α = 2, είναι ένας αριθμός, άρα όχι κάποια οντότητα μήκους. Από αυτά, εφόσον στη σχέση μεταξύ μηκών (και κατ’ επέκταση μεταξύ οποιωνδήποτε ομοίων φυσικών οντοτήτων), η υπόσταση του μήκους δεν χρησιμεύει, τότε δεν έχουμε την υπόσταση (ή έννοια) του μήκους ως σημείο αναφοράς βάσει του οποίου θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε τη διαιρετότητα (ή την πολλαπλότητα) ως συνεχές, το οποίο, ως τέτοιο, θα μπορούσε να είναι απεριόριστο, και συνεπώς άπειρο. Πραγματικά, εφόσον η μετάβαση μέσω της διαίρεσης από το α στο α/2 ουσιαστικά νοείται ως η μετάβαση από το 1 στο 1/2, τότε ό,τι ισχύει για αυτό, είναι αυτό που ισχύει για τη μετάβαση, δηλαδή τη σχέση μεταξύ δύο αριθμών, την οποία έχουμε αποκαλύψει στην παρούσα θεωρία. Αυτό σημαίνει ότι, όπως η αφηρημένη και γενική έννοια του όρου “αριθμός” δεν υπάρχει, αλλά πρέπει να έχουμε ορίσει (ή να έχουμε αναφέρει με μοναδική αναφορά) το 3 (ως 1+1+1) ώστε να μπορούμε να κάνουμε λόγο για αυτό και έπειτα στο 4 (ως 1+1=1+1) ώστε να μπορούμε να μιλάμε για την οντότητα που αποκαλείται “τέσσερα”, έτσι, με τον ίδιο τρόπο, προκειμένου να νοήσουμε το α/2, ενώ έχουμε προηγουμένως νοήσει το α, πρέπει να νοήσουμε τον αριθμό 1/2, δηλαδή 1/(1+1), ο οποίος είναι η όλη μετάβαση από το α στο α/2. Δηλαδή δεν μπορούμε να μιλάμε για γενική και αφηρημένη μετάβαση από μήκος σε μήκος. Και, ασφαλώς, μπορούμε επίσης να μιλάμε για έναν άγνωστο (μη μετρημένο) αριθμό, αλλά αυτό με έναν τρόπο ώστε αυτός ο αριθμός δεν έχει σχέση με άλλους αριθμούς, όπως έχουμε γράψει σε προηγούμενες σελίδες (σχετικά με τους μη μετρημένους αριθμούς). Σύμφωνα με αυτά, καθίσταται ξεκάθαρο ότι Το Ανυπόστατο του Απείρου δε χρησιμοποιεί καθόλου την έννοια του “πέρατος” (τέρματος, τέλους) με τον τρόπο που χρησιμοποιούν αυτή την έννοια οι υποστηρικτές και διανοητές της “Περατοκρατίας”. Οι περατοκράτες, βασιζόμενοι πιθανώς στην αρχή του ιντουισιονισμού (intuitionism), ενδεχομένως υποστηρίζουν πως ό,τι υπάρχει (ή ό,τι πρέπει να

[58]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

λαμβάνουμε υπόψη σε συγκεκριμένες περιπτώσεις) είναι μονάχα είμαστε ικανοί να συλλαμβάνουμε με τις αισθήσεις και τη μέτρηση στο νου μας∙ ο νους μας, έχοντας πεπερασμένη ικανότητα, μετράει μόνο πεπερασμένα μεγέθη [18]. Όμως, για κάθε πεπερασμένο μέγεθος, αν αυτό είναι π, μήπως δε γίνεται να υπάρχει π+π2, εφόσον, έχοντας ορίσει το π ως εντός πεπερασμένων ορίων, αναπόφευκτα θεωρούμε αυτό που βρίσκεται έξω από τα όρια; Το όριο είναι από τη φύση του αυτό που διαχωρίζει δύο πλευρές [19]: τη μία που είναι μέσα σε αυτό και αυτή που είναι έξω από αυτό. Ειδάλλως, δεν μπορούμε να κάνουμε λόγο για όριο και για έννοια ορίου. Άρα, θα υπάρχει πάντα η “εκτός ορίου” περίπτωση, άρα μια μεγαλύτερη ποσότητα, μια “+1”. Ως εκ τούτων, το άπειρο στα πλαίσια και με τους όρους της Περατοκρατίας δεν μπορεί να αποφευχθεί. Και, στην περίπτωση όπου μετρούμε και βλέπουμε τι αριθμός εμφανίζεται κάθε φορά, με τη λογική ότι αρνούμαστε την έννοια της εκ των προτέρων άπειρης σειράς των αριθμών, και πάλι δεν αποφεύγεται το άπειρο [20]. Αυτό διότι αρνηθήκαμε μονάχα αξιωματικά το άπειρο∙ χωρίς κανενός είδους απόδειξη. Αλλά το να υπολογίζουμε με αυτή τη νοοτροπία δεν αποκλείει το άπειρο διότι δεν μπορούμε να αποφύγουμε την αφηρημένη συνέχεια των αριθμών∙ την αφηρημένη αριθμητική αναφορά. Και πάλι εκλαμβάνουμε τους αριθμούς ως σειρά. Άρα, είμαστε υποχρεωμένοι πάντα να αφήνουμε δρόμο για τον επόμενο αριθμό. Και, αυτός ο αριθμός μπορεί να είναι πεπερασμένου μεγέθους, αλλά δεδομένης της αριθμητικής σειράς, ουσιαστικά αποδεχόμαστε ότι αυτή είναι μια άπειρη σειρά πεπερασμένου μεγέθους αριθμών. Αυτό που λέμε εδώ είναι ότι, εκτός αν αρνηθούμε με κάποιο τρόπο το αριθμητικό συνεχές και, ασφαλώς, το αριθμοσύνολο, πάντα θα υπάρχει “χώρος” για την αφηρημένη (άρα και άπειρη) συνέχεια των αριθμών. Και, οι φωνές ενάντια στο άπειρο δεν θα μπορούσαν να έχουν υποστηρίξει έναν τρόπο σκέψης με ουσιαστική ομοιότητα με τη θεωρία μας διότι ο δικός μας τρόπος σκέψης πηγάζει από τη απόλυτη αλήθεια του Ανυπόστατου του Απείρου. Αυτή είναι ότι δεν υπάρχει κανένα είδος σχέσης ανάμεσα π.χ. στο 3 και στο 4. Δηλαδή, μεταξύ αυτών που (συμβατικά) ονομάζουμε “αριθμούς”. Ο 3 και ο 4 δεν μπορούν να νοηθούν ως σύνολο. Ασφαλώς, το να παίρνουμε έναν αριθμό κάθε φορά, στη μέτρηση, και να μην παίρνουμε την όλη σειρά των αριθμών (η οποία λέγεται ότι είναι απείρως μεγάλη), είναι υγιές. Και, αυτό έχει ουσιαστική ομοιότητα με τη θεωρία μας. Αλλά, όπως έχουμε πει, χρειάζεται νε προχωρήσουμε πιο πέρα από αυτό στην προσπάθειά μας να καταργήσουμε το άπειρο. Τώρα, έχοντας υπόψη τη λογική με την οποία λύνουμε το πρόβλημα P Vs NP, καθώς και την απόδειξη του ότι ο συντομότερος δρόμος μεταξύ δύο σημείων είναι η ευθεία γραμμή, με την ίδια λογική μπορούμε να αποδείξουμε το Ευκλείδειο αξίωμα

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[59]

της παραλληλότητας, καθώς επίσης και το αντίστροφο αξίωμα της παραλληλότητας του Ευκλείδη. Έτσι, ας αρχίσουμε με το δεύτερο. Αν μία ευθεία η οποία συμπίπτει με δύο ευθείες έχει τις εναλλάξ γωνίες ίσες μεταξύ τους, οι ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους. Αυτό ασφαλώς σημαίνει ότι οι δύο ευθείες δεν θα συναντηθούν σε κανένα σημείο των μηκών τους. Παίρνουμε δύο σημεία, Α και Β, και ένα τρίτο σημείο χ. Για το συντομότερο δρόμο ανάμεσα στα Α και Β, αν το χ δεν συμπεριλαμβάνεται στη συντομότερη γραμμή Α – Β, τότε οποιαδήποτε γραμμή η οποία περιλαμβάνει τα σημεία Α, Β, χ δεν είναι ευθεία. Εφόσον η απόδειξη του ότι “ο συντομότερος δρόμος ανάμεσα σε δύο σημεία είναι η ευθεία γραμμή” βασίζεται στο μη παραγοντισμό –σύμφωνα με την απόδειξη που έχουμε γράψει στο παρόν σύγγραμμα, κεφ. 6– τότε τα σημεία Α, Β συνιστούν μόνο μία διάσταση, ενώ τα σημεία Α, Β, χ συνιστούν περισσότερες από μια διαστάσεις. Αυτό διότι, σύμφωνα με τα προαναφερθέντα, οποιαδήποτε γραμμή η οποία συμπεριλαμβάνει και τα τρία σημεία Α, Β, χ προϋποθέτει τον παραγοντισμό. Και, εφόσον ο παραγοντισμός στη συγκεκριμένη περίπτωση εισάγεται από μόνο ένα στοιχείο –το οποίο είναι ένα σημείο, άρα είναι αδιάστατο, άρα εντός του δεν υπάρχει πολλαπλότητα (πλήθος παραγόντων, βλ. κεφ. 6) αλλά ενικότητα (απουσία πλήθους παραγόντων)– τότε ο συγκεκριμένος παραγοντισμός προϋποθέτει όχι παραπάνω από έναν παράγοντα (διάσταση) στο πεδίο οριζόμενο από τα Α, Β, χ. Ως εκ τούτων, τα Α, Β ορίζουν έναν παράγοντα (διάσταση) και τα Α, Β. χ ορίζουν ένα συν ένα παράγοντα, δηλαδή δύο παράγοντες (διαστάσεις). Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι έχουμε την απλή διάσταση του μήκους (οριζόμενη από τα σημεία Α, Β) και τη διπλή διάσταση του εμβαδού, δηλαδή τις δύο διαστάσεις –παράγοντες– μήκος επί πλάτος (οριζόμενο από τα σημεία Α, Β, χ). Εφόσον, προκειμένου να ορίσουμε τη μία διάσταση (μήκος), απαιτούνται τα Α και Β από κοινού, δεν μπορούμε να τα διαχωρίσουμε όσον αφορά στην αντίληψη της μίας (δηλαδή ενικής) διάστασης. Μία γραμμή l2 η οποία περνάει από το σημείο χ, στην περίπτωση που δε συνιστά τον παραγοντισμό στον οποίο έχουμε αναφερθεί (μήκος επί πλάτος), πρέπει είτε να μην περνάει από το Α, είτε να μην περνάει από το Β, είτε να μην περνάει από κανένα από τα σημεία αυτά. Και εφόσον τα Α, Β ορίζουν μία διάσταση και δε συνιστούν απλά ένα ευθύγραμμο τμήμα, άρα συνιστούν την οποιαδήποτε γραμμή l1 η οποία περιλαμβάνει τα Α, Β και ένα άλλο σημείο Γ από το οποίο ο συντομότερος δρόμος για το Α είναι μια γραμμή η οποία περιλαμβάνει το Β, ή ο συντομότερος δρόμος ο συντομότερος δρόμος για το Β είναι μια γραμμή που περιλαμβάνει το Α. Άρα, αν η l2 δεν παραγοντοποιείται σε σχέση με την l1, αυτό σημαίνει ότι οι l1 και l2 δεν μοιράζονται κανένα σημείο από κοινού. Αυτό σημαίνει ότι ο μη παραγοντισμός, από τη μία, και η απουσία κοινού σημείου, από την άλλη, συνδέονται και σχετίζονται άρρηκτα μεταξύ τους. Παίρνουμε ως δεδομένο ότι οι l1

[60]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

και l2 είναι ευθείες γραμμές. Αν οι l1 και l2 δεν έχουν κοινό σημείο, αυτό σημαίνει ότι είναι παράλληλες (διότι αυτός είναι ο ορισμός των παράλληλων ευθέων γραμμών). Αν, όπως υποθέσαμε, οι l1 και l2 δεν παραγοντοποιούνται (το οποίο σημαίνει ότι είναι ευθείες), αυτό σημαίνει δεν έχουν κοινό σημείο. Ο μη παραγοντισμός εγγυάται την απουσία κοινού σημείου (i). Η απουσία κοινού σημείου ορίζει την κατάσταση τα παραλληλότητας μεταξύ ευθέων γραμμών, και το αντίστροφο: οι ευθείες γραμμές είναι παράλληλες όταν δεν μοιράζονται σημείο (ii). Όπως γράψαμε πριν, σύμφωνα με την απόδειξή μας κεφ. 6), ο μη παραγοντισμός οδηγεί στην ευθύτητα της γραμμής: ο μη παραγοντισμός (ενική διάσταση) και η ευθύτητα είναι ουσιαστικά το ένα και το αυτό. Άρα, η (i) συνιστά τόσο τον μη παραγοντισμό όσο συνιστά την ευθύτητα. Ως εκ τούτου, όταν δύο ευθείες γραμμές δεν παραγοντοποιούνται μεταξύ τους, δεν έχουν κοινό σημείο (i). Αν οι ευθείες γραμμές δεν έχουν κοινό σημείο, είναι παράλληλες, και, ισοδύναμα, αν οι ευθείες γραμμές είναι παράλληλες, δεν έχουν κοινό σημείο (ii). Ο μη παραγοντισμός στην Ευκλείδεια Γεωμετρία προέρχεται από τον ορισμό του εμβαδού: μήκος επί πλάτος. Έτσι έχουμε το τετράγωνο σχήμα του οποίου το ένα ζεύγος παραλλήλων πλευρών μπορούν να είναι γραμμές όπου η μία από αυτές είναι τμήμα της l1 (l1sq) και η άλλη είναι τμήμα της l2 (l2sq). Το άλλο ζεύγος των γραμμών είναι δύο παράλληλες γραμμές ίσου μήκους και κάθετες στις l1sq και l2sq. Οι l1sq και l2sq συμπεριλαμβάνονται στη μία διάσταση του τετραγώνου, δηλαδή συνιστούν το πλάτος του. Άρα, οι l1sq και l2sq του τετραγώνου δεν παραγοντοποιούνται κα συνιστούν ευθείες γραμμές (iii) εφόσον ο μη παραγοντισμός αποδεικνύει την ευθύτητα (iv) (απόδειξη στο κεφ. 6 του παρόντος συγγράμματος). Έτσι, στο Ευκλείδειο τετράγωνο οι παράλληλες γραμμές l1sq και l2sq είναι ευθείες (v). Και οι l1 και l2 είναι, όπως γράψαμε, ευθείες. Ο συνδυασμός του (i) με το (iii) παράγει την απουσία κοινού σημείου μεταξύ παραλλήλων γραμμών στον Ευκλείδειο χώρο. Δηλαδή, ο συνδυασμός του (i) με το (iii) εγγυάται τη μη σύμπτωση στο Ευκλείδειο τετράγωνο. Εφόσον οι l1sq και l2sq περιλαμβάνονται στις l1 και l2 αντίστοιχα, επεκτείνουμε τη μη σύμπτωση στη σχέση στη σχέση των l1 και l2 με το να συνδυάσουμε το (iv) με το (v) και έτσι αποδεικνύουμε το (ii) δηλαδή έχουμε απουσία κοινού σημείου μεταξύ δύο παράλληλων ευθέων γραμμών. Και αυτό είναι η απόδειξη στο αντίστροφο του αξιώματος της παραλληλότητας του Ευκλείδη [21]. Τώρα, σχετικά με το αρχικό αξίωμα, το αξίωμα της παραλληλότητας [21], δηλαδή σχετικά με την αντίστροφη περίπτωση αυτού που αποδείξαμε, όπου δύο ευθείες γραμμές διατέμνονται από μία γραμμή η οποία σχηματίζει δύο εσωτερικές γωνίες της ίδιας πλευράς, των οποίων το άθροισμα είναι λιγότερο από δύο καθέτων γωνιών, και έτσι έχουμε ένα τρίγωνο (ή, τουλάχιστον, ένα τρίγωνο του οποίου βλέπουμε μόνο τις δύο προαναφερθείσες γραμμές), σκεπτόμαστε ως εξής: Εφόσον οι δύο ευθείες γραμμές δεν είναι παράλληλες) δηλαδή οι γωνίες έχουν άθροισμα

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[61]

λιγότερο των δύο καθέτων γωνιών) και συνεπώς δεν έχουμε απουσία παραγοντισμού, αλλά παρουσία παραγοντισμού, αυτό σημαίνει ότι οι δύο γραμμές επειδή συμπεριφέρονται ως παράγοντες, παράγουν διάσταση. Δηλαδή σε αυτή την περίπτωση δεν έχουμε μόνο τη διάσταση του μήκους, αλλά επίσης τη διάσταση του πλάτους, άρα την εμφάνιση του εμβαδού ως τη διάσταση η οποία παράγεται. Ως εκ τούτου, οι γραμμές, προκειμένου να συστήσουν το εμβαδόν, πρέπει νε συμπέσουν μεταξύ τους, άρα να σχηματίσουν ένα κλειστό σχήμα, έτσι ώστε να υπάρχει η δυνατότητα να συνδυάζονται, δηλαδή να μεταφράζονται ως μήκος επί πλάτος. Στο κεφάλαιο 6 αποδεικνύουμε ότι ο συντομότερος δρόμος ανάμεσα σε δύο σημεία είναι η ευθεία γραμμή, πράγμα το οποίο συνιστά την ενική διάσταση. Αυτό σημαίνει ότι αυτό είναι η απόδειξη του ορισμού της πρώτης διάστασης στον Ευκλείδειο χώρο. Έχοντας αποδείξει το αξίωμα της παραλληλότητας (παραπάνω), ουσιαστικά θέτουμε την απόδειξη των δύο διαστάσεων στον Ευκλείδειο χώρο: εφόσον οι δύο παράλληλες ευθείες γραμμές δε συναντώνται ποτέ, ο εσωτερικός χώρος μεταξύ τους πάντα θα διατέμνεται από κάθετα ευθύγραμμα τμήματα ίσων μηκών, άρα το Ευκλείδειο εμβαδόν αποτελείται από (τέλεια) τετράγωνα σε όλο το μέγεθός του. Αυτό είναι κρίσιμο, διότι το τετράγωνο συνιστά τη δομική μονάδα στην Ευκλείδεια επιφάνεια (εμβαδόν). Και, για την εισαγωγή της τρίτης διάστασης (ύψος) ακολουθείται η ίδια λογική με αυτή της εισαγωγής της δεύτερης διάστασης (πλάτος) – δηλαδή μέσω του παραγοντισμού. Αυτό σημαίνει ότι η εισαγωγή της τρίτης διάστασης ακολουθεί ακριβώς την ίδια λογική με αυτή της εισαγωγής της δεύτερης διάστασης, προκειμένου να αποδειχτεί. Ως εκ τούτων, ο Ευκλείδειος χώρος [17] αποδείχτηκε εδώ. Όσον αφορά την περίπτωση του γεωμετρικού αντικειμένου το οποίο είναι ο κύκλος, έρχεται ως άμεση συνέπεια από τα παραπάνω γραμμένα, ότι ο κύκλος δεν είναι Ευκλείδειο αντικείμενο. Ο Ευκλείδειος χώρος συντίθεται από τον παραγοντισμό της διαστατικής ενικότητας, η οποία έχουμε αποδείξει ότι είναι η ευθεία γραμμή και μόνο η ευθεία γραμμή. Και έχουμε αποδείξει την έννοια της ευθείας γραμμής (βλ. το (iv) παραπάνω, και το κεφ. 6). Ο κύκλος δε δομείται και δε νοείται ως ευθύς κατά κανένα τρόπο. Άρα, ως μη Ευκλείδειο αντικείμενο, ο κύκλος δεν μπορεί να οριστεί και να υπολογιστεί (μετρηθεί) με τους όρους της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Προφανώς, το ίδιο ισχύει και για τη σφαίρα, καθώς και για όλα τα αντικείμενα (σχήματα) που δεν αποτελούνται από μόνο ευθείες γραμμές. Η εξήγηση του γιατί η περιφέρεια του κύκλου δεν είναι ευθεία γραμμή, στην ολότητά της και στο κάθε τμήμα της, είναι απλή με βάση ό,τι έχουμε αποδείξει. Η κυκλική περιφέρεια ορίζεται, δομείται και συλλαμβάνεται (νοείται) ως η γραμμή η οποία παράγεται από μόνο μία ευθεία γραμμή – την ακτίνα. Στην περίπτωση του κύκλου, η ακτίνα δεν παραγοντίζεται, δηλαδή δε συνδυάζεται με καμία άλλη γραμμή η οποία να την τέμνει. Ο τρόπος που η ακτίνα παράγει τον κύκλο είναι μέσω της περιστροφής. Αυτό

[62]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

σημαίνει ότι δεν μπορεί να υπάρχει μία συγκεκριμένη γωνία είναι δεδομένη (έχει τεθεί) για δύο διαφορετικές θέσεις της ακτίνας. Αυτό σημαίνει ότι το εμβαδόν δεν είναι δεδομένο (τεθειμένο) με συγκεκριμένο τρόπο από την ακτίνα. Έτσι δεν έχουμε έναν τεθειμένο, δηλαδή δεδομένο, παραγοντισμό. Άρα, δεν έχουμε έναν τεθειμένο (δηλαδή δεδομένο) παραγοντισμό. Άρα δεν μπορούμε θα θεωρήσουμε τον Ευκλείδειο δισδιάστατο χώρο στην περίπτωση του κύκλου. Αυτό σημαίνει ότι ο κύκλος δεν μπορεί να μετρηθεί ως ένα Ευκλείδειο δισδιάστατο αντικείμενο, παρόλο που διαγράφεται και τοποθετείται στο εμβαδόν. Αυτό το εμβαδόν, όταν έχουμε την περίπτωση του κύκλου, δεν είναι ευκλείδεια επιφάνεια – προφανώς! Στα πλαίσια της Ευκλείδειας λογικής, είναι αρκετό να θεωρήσουμε ή να σημειώσουμε δύο διαφορετικά σημεία, και αυτομάτως μία ευθεία γραμμή έρχεται σε ύπαρξη. Και έπειτα θεωρούμε ένα σημείο έξω από αυτή τη γραμμή, κι έτσι η έννοια και η ύπαρξη της γωνίας κάνει την εμφάνισή της, άρα έχουμε το σχήμα και το μέγεθος μιας (Ευκλείδειας) επιφάνειας. Ως εκ τούτων, και έχοντας αποδείξει την Ευκλείδεια λογική και χώρο, έχουμε ουσιαστικά αποδείξει ότι η έννοια της ευθείας γραμμής και της γωνίας υπάρχουν όχι μόνο ως αντικείμενα, αλλά επίσης ως θεωρητικά και αφηρημένα-λογικά αντικείμενα. Στην περίπτωση του κύκλου η γραμμή δεν τίθεται με κανένα αφηρημένο και θεωρητικά συμπαγή τρόπο, όπως γράφουμε παραπάνω σχετικά με την περιστροφή της ακτίνας. Και νομιμοποιούμαστε λογικά να το πούμε αυτό διότι, έχοντας αποδείξει την Ευκλείδεια λογική, καθίσταται σίγουρο ότι ο κύκλος δεν ακολουθεί αυτή τη λογική, η οποία είναι η λογική ενός αντικειμένου το οποίο δεν υπάρχει μόνο φυσικά, δηλαδή ως σχήμα, αλλά και μέσω της θεωρητικής και αφηρημένης λογικής η οποία, ασφαλώς, προκύπτει από απόδειξη. Άρα, ο κύκλος, καθώς δεν είναι ένα αφηρημένο θεωρητικό αντικείμενο, αλλά μόνο ένα φυσικό και εμπειρικά υπαρκτό αντικείμενο, μπορεί μόνο να δομηθεί και να μετρηθεί με τον φυσικό-εμπειρικό τρόπο. Και αυτός ο τρόπος δεν μπορεί να είναι άλλος από την καθαυτή φυσική διαδικασία όπου κρατούμε το διαβήτη και τον περιστρέφουμε με το γνωστό τρόπο. Έτσι εδώ έχουμε να κάνουμε με τη Φυσική: αναλογιζόμαστε τις έννοιες της απόστασης, του χρόνου και της ταχύτητας. Όπως έχουμε ήδη πει, προκύπτει από την απόδειξη του Ευκλείδειου χώρου η γνώση ότι ο κύκλος είναι μόνο ένα φυσικό/εμπειρικό αντικείμενο και όχι ένα θεωρητικό/αφηρημένο αντικείμενο. Ως εκ τούτου, κάνουμε λόγο μόνο για τη φυσική σχηματοποίηση/διαμόρφωση του κύκλου. Άρα, στα πλαίσια αυτής της σχηματοποίησης, αναλογιζόμαστε την ταχύτητα και το χρόνο της διαδικασίας και έτσι μετρούμε το μήκος της κυκλικής περιφέρειας. Τώρα, για το μέγεθος της κυκλικής επιφάνειας, εφόσον αυτή είναι επίσης –και προφανώς– όχι αφηρημένη/θεωρητική, αλλά μονάχα ένα φυσικό σχήμα και μέγεθος, τότε σίγουρα δεν μπορεί να εκληφθεί ως μία καθαρά δισδιάστατη επιφάνεια με μηδενικό πάχος.

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[63]

Άρα, αναλογιζόμαστε τις φυσικές έννοιες του όγκου, της μάζας και της πυκνότητας, και με αυτόν τον τρόπο διεξάγεται η μέτρηση. Μία απρόσμενα και περιέργως αναπάντητη ως τώρα ερώτηση είναι το πώς λειτουργεί το ποδήλατο, δηλαδή πώς μένει όρθιο και δεν καταρρέει όταν το οδηγούμε. Αλλά δεν είναι και απορίας άξιον το ότι αυτή η ερώτηση έχει σταθεί αδύνατο να απαντηθεί αν αναλογιστούμε τη ριζική αλλαγή της αντίληψης για τη φύση του κύκλου όπως εδώ την έχουμε αποδείξει: καμία αφηρημένη γεωμετρική λύση δεν μπορεί να δοθεί για τον κύκλο (τουτέστιν για τους τροχούς του ποδηλάτου), απλά διότι, όπως έχει εδώ αποδειχτεί, ο κύκλος δεν είναι αφηρημένο (Ευκλείδειο) αντικείμενο. Και, κατά την περίπτωση όπου πραγματευόμαστε τους νόμους της Φυσικής με βάση/κριτήριο τις αυστηρά αφηρημένες αρχές της γεωμετρίας, τότε η Φυσική δεν μπορεί να δώσει την εν λόγω απάντηση. Έτσι, η απάντηση είναι πολύ απλή. Ο κύκλος είναι πάντα φυσικός/πραγματικός. Έτσι, οι τροχοί του ποδηλάτου νοούνται και εκλαμβάνονται κυριολεκτικά και ακριβώς ως κύκλοι. Το ποδήλατο, ως γνωστόν, παραμένει ισόρροπο/σταθερό μέσω της αστάθειας. Μία ευθεία (Ευκλείδεια) γραμμή δεν συνιστά κατά κανένα τρόπο πορεία/τροχιά για το ποδήλατο. Οι ακτίνες των τροχών (άρα των κύκλων) είναι κάθετες ως προς το έδαφος σε οποιαδήποτε στιγμή ή σημείο επαφής τους με το έδαφος. Έτσι η κάθετη θέση είναι σταθερά (i). Και εφόσον οι κύκλοι (τροχοί) είναι φυσικοί/πραγματικοί, αυτό σημαίνει ότι στην πραγματικότητα προσαρμόζονται (ii) στο οριζόντιο (ευθύ) έδαφος, το οποίο είναι οριζόντιο υπό την έννοια ότι οι ακτίνες των τροχών είναι πάντα κάθετες ως προς αυτό (δηλαδή κατά τη δυναμική της κίνησης). Έτσι, κατά την κίνηση, η σταθερή θέση (i) προσαρμόζεται με πραγματική και κυριολεκτική προσαρμογή (ii) στην πρόοδο (οδήγηση) διότι οι τροχοί δεν θεωρούνται, με καμία έννοια, θεωρητικά ή αφηρημένα (ευκλείδεια) ως κύκλοι. Άρα μοιράζονται την ίδια φύση με το έδαφος (φυσική/πραγματική και όχι ευκλείδεια φύση/έννοια), άρα η (κυκλική) περιστροφή τους κυριολεκτικά εφαρμόζεται στο έδαφος και μεταφράζεται ως έδαφος, και στην οριζόντια (ευθεία) κατεύθυνση/μορφή του εδάφους. Αυτή η προσαρμογή, όπως αναφέραμε, δεν θα μπορούσε ποτέ να νοηθεί μέσω της (ευκλείδειας) γεωμετρικής σκέψης. Και οι περιστρεφόμενοι τροχοί (κύκλοι) συνεχώς ανακυκλώνουν (ανα-κυκλίζουν) την προαναφερθείσα προσαρμογή στο οριζόντιο (στιγμιαία ευθύ) έδαφος, κι έτσι εξηγείται η (ασταθής) ευστάθεια του ποδηλάτου. Το ποδήλατο είναι ευσταθές με ασταθή τρόπο διότι η ευθύτητα του εδάφους δεν είναι ευκλείδεια (βλέπε το [ii] παραπάνω), κι έτσι η ευστάθεια δεν είναι ευκλείδεια, δηλαδή δεν είναι αφηρημένη, αλλά ατελής, δηλαδή φυσική/πραγματική. Το ότι η προσαρμογή/εφαρμογή (ii) είναι συνεχής και σταθερά (i) εξηγείται με φυσικούς όρους άψογα, από το Νόμο δράσηςαντίδρασης του Νεύτωνα. Αλλά αυτό ισχύει μόνο και απόλυτα επειδή η προσαρμογή/εφαρμογή είναι πραγματική και κατά κανένα τρόπο ευκλείδεια. Έτσι,

[64]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

όταν το ποδήλατο τείνει να πέφτει, η αντίθετη στροφή (τουτέστιν αντίδραση) από τον μπροστινό τροχό (ως αντίδραση) συνιστά την ασταθή ευστάθεια της οδήγησης του ποδηλάτου. Το ότι η κυκλικότητα των τροχών όντως εφαρμόζεται στην ευθύτητα του εδάφους, μπορούμε απλά και παραστατικά να το δούμε αν φανταστούμε τους τροχούς ως ευθείες. Ο εν λόγω παραστατικός τρόπος σκέψης είναι να σκεφτούμε ότι στη θέση των δύο τροχών του ποδηλάτου υπάρχουν δύο ερπύστριες τριγωνικού τύπου, όπου το πλάτος της επιφάνειας επαφής τους με το έδαφος είναι το ίδιο με το πλάτος των (κυκλικών) τροχών. Η μία (προφανώς ευθεία) πλευρά του τριγώνου της κάθε τριγωνικής ερπύστριας βρίσκεται σε επαφή με το (προφανώς ευθύ) έδαφος. Με το δεδομένο ότι το ποδήλατο στρίβει το τιμόνι, για να ευσταθεί ως ασταθές, με τις ερπύστριες, και στρίβοντας το τιμόνι, το ποδήλατο κινείται σαν πάνω σε πέδιλα του σκι. Το παράδειγμα με τις ερπύστριες καταδεικνύει, ούτε λίγο ούτε πολύ, παραστατικά την πραγματική προσαρμογή των κυκλικών τροχών στο ευθύ έδαφος.

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

11.

[65]

Η λύση των παραδόξων του αρχαίου Ζήνωνα: Ο Αχιλλέας και η χελώνα, η Διχοτομία και το Βέλος. Η λύση του παραδόξου του Σωρείτη.

Η κατάργηση του αφηρημένου συνεχούς (βλ. κεφ. 10 παραπάνω), μαζί με την κατάργηση του απείρου, λύνει πλήρως τα μέχρι τώρα άλυτα παράδοξα, όπως τα πιο σημαντικά από αυτά του Ζήνωνα του Ελεάτη, από την αρχαία Ελλάδα. Όπως είναι γνωστό, στο Ζηνώνιο παράδοξο του αγώνα δρόμου ανάμεσα στον Αχιλλέα και τη χελώνα [22], ο Αχιλλέας δεν θα φτάσει ποτέ τη χελώνα διότι η απόσταση μεταξύ τους πάντα θα διαιρείται π.χ. στο μισό. Σύμφωνα με τη θεωρία μας, η απόσταση δεν μπορεί να διαιρείται επ’ άπειρο, άρα το παράδοξο λύνεται. Αλλά κάποιος μπορεί εδώ να πει ότι όταν έχουμε φτάσει στην ελάχιστη ποσότητα αυτού του μήκους, εφόσον αυτό δεν μπορεί να είναι κάτι άλλο από μήκος, δεν μπορεί παρά να θεωρείται διαιρέσιμο εκ φύσεως. Και, αν αυτό διαιρείται στο μισό, αυτό που προκύπτει διαιρείται επίσης στο μισό, και ούτω καθεξής για πάντα. Η κατάργηση του αφηρημένου συνεχούς δίδει την απάντηση σε αυτή την αντίρρηση, εφόσον το “ούτω καθεξής” και “για πάντα” συνιστούν την καθαυτή έννοια του αφηρημένου συνεχούς. Επίσης δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι θα υπάρχει “κάποιο” ελάχιστο μήκος, όπως διατυπώνουμε παραπάνω, διότι το “κάποιο” εισάγει την αφηρημένη ποσότητα, άρα το αφηρημένο συνεχές. Η πρόοδος του αγώνα του Αχιλλέα προκειμένου να φτάσει τη χελώνα, αν η αρχική απόσταση ανάμεσά τους είναι 10 μέτρα, αυτή η πρόοδος εκφράζεται ως 10 μέτρα ∙ 1/2 ͮ . Η κάθε φορά διαίρεση της απόστασης στο μισό είναι η κάθε φορά αύξηση του “ν” (φυσικού ακεραίου) κατά μία μονάδα. Έτσι, έχουμε να κάνουμε με την κλασική περίπτωση του αριθμητικού συνεχούς, το οποίο σε αυτή τη θεωρία καταργείται. Έτσι λοιπόν, όντας υποχρεωμένοι να μιλάμε μόνο για συγκεκριμένες και διακριτές αποστάσεις και στιγμές χρόνου, θα βρούμε σίγουρα συγκεκριμένες και διακριτές στις οποίες ο Αχιλλέας ελλίπεται συγκεκριμένων και διακριτών αποστάσεων από τη χελώνα. Επίσης, μία στιγμή κατά την οποία οι δύο δρομείς συναντώνται, μπορεί προφανώς να διατυπωθεί, καθώς και μία συγκεκριμένη στιγμή κατά την οποία ο Αχιλλέας έχει ξεπεράσει τη χελώνα κατά μία συγκεκριμένη απόσταση. Αυτή η λογική εφαρμόζεται επίσης και στις δύο εκδόσεις του παραδόξου της Διχοτομίας. Στη Διχοτομία, η αφηρημένη μέτρηση είναι επίσης αυτή που μας καθιστά ανίκανους να φτάσουμε στη λύση [23]. Για το παράδοξο του Βέλους [23], η κατάργηση του αφηρημένου συνεχούς είναι αυτή που σώζει την αντίληψη του ίδιου του συνεχούς. Το ότι το βέλος είναι ακίνητο σε κάθε στιγμή της πορείας του (επειδή η στιγμή δεν έχει μέγεθος) είναι λανθασμένη διατύπωση: η αναφορά στην κάθε στιγμή σημαίνει την αφηρημένη αναφορά στο χρόνο (τις στιγμές) της κίνησης του βέλους. Η κατάργηση του αφηρημένου συνεχούς κατευθύνει σε συγκεκριμένες και διακριτές χρονικές

[66]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

αναφορές. Έτσι, στη στιγμή Α της πορείας του βέλους, η απόσταση που έχει καλυφθεί θα είναι μία συγκεκριμένη απόσταση Αd. Για μία διαφορετική στιγμή Β, η απόσταση είναι διαφορετική: Bd. Αυτό διασφαλίζει το ότι το βέλος πραγματικά διανύει απόσταση και συνεπώς κινείται. Η κατάργηση της αφηρημένης μέτρησης –σε θέματα και προβλήματα όπου η συνεχής μέτρηση φυσικών μεγεθών είναι το θέμα– επίσης θέτει τη λύση του παράδοξο του Σωρείτη: απλά επειδή το πρόβλημα ανακύπτει από αόριστους (δηλαδή αφηρημένους) ισχυρισμούς [24].

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[67]

12. Γιατί συγκεκριμένες αριθμητικές γενικεύσεις και νόμοι ισχύουν, ενώ προσπάθειες για άλλες (π.χ. η Εικασία του Goldbach, η Εικασία των Birch και Swinnerton-Dyer και η Υπόθεση του Riemann) αποτυγχάνουν. Πρώτα από όλα, οποιοδήποτε αξίωμα στο πεδίο των Μαθηματικών (στην Αριθμητική), το οποίο είναι αδιαμφισβήτητα έγκυρο, είναι όπως το θεώρημα των αρτίων αριθμών, το οποίο είναι από τα πιο βασικά: Ένας άρτιος αριθμός είναι το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού οποιουδήποτε ακεραίου με το 2. Αυτό σημαίνει ότι αν ακέραιος χ, και άρτιος ψ, τότε (i) ψ=2χ. Ομοίως, απόλυτη προϋπόθεση για την αντίληψη ενός αρτίου αριθμού είναι, ο αριθμός αυτός διαιρούμενος με το δύο, να παράγει έναν ακέραιο. Δηλαδή (ii) ψ/2=χ. Είναι προφανές ότι και το (i) και το (ii) είναι ίσης αποδεικτικής εγκυρότητας. Και εφόσον δεν υπάρχει άλλος ορισμός για τους άρτιους αριθμούς, τότε αρκούμαστε στα (i) και (ii), τα οποία έχουν την ιδιαιτερότητα το καθένα να είναι το αποτέλεσμα του άλλου. Δηλαδή θεμελιώσαμε το ψ ως 2χ. Όμως, χ=ψ/2 => ψ=2ψ/2 => ψ=ψ. Το ψ=ψ είναι απλά δηλωτικό και, συνεπώς, χωρίς καμία αποδεικτική αξία. Ως εκ τούτου, το αξίωμα για το οποίο κάνουμε λόγο δεν είναι αξίωμα ως απόδειξη, αλλά μια διατύπωση μηδενικής λογικής ανάλυσης και δομής. Αν θεωρήσουμε καθένα από τα αξιώματα της Αριθμητικής, το οποίο είναι αδιαμφισβήτητα έγκυρο, θα δούμε ότι αναφέρεται στην ταυτότητα ψ=ψ ή Α=Α. Αυτός είναι ο λόγος της ανικανότητάς μας να τα αναλύουμε και να τα αποδεικνύουμε είτε σωστά είτε λάθος, και απλά τα αποδεχόμαστε ως έχουν. Αυτό είναι φυσικό κι επόμενο, καθότι η Α=Α είναι απλά δηλωτική. Όλα αυτά τα αξιώματα δεν συνιστούν αποδείξεις με οποιαδήποτε λογική αξία [25]. Από τη θεωρία και τη φιλοσοφία της Αριθμητικής, οι περιγραφικές σπουδές, δηλαδή αυτές που δεν έχουν μόνο δηλωτικό χαρακτήρα (ο οποίος, ως εκ των ανωτέρω, έχει αποδειχτεί ανυπόστατος), αλλά αναλυτικό, είναι μόνο οι θεωρίες συνόλων, και γενικά οποιαδήποτε θεωρία στην οποία χρησιμοποιείται η έννοια του αριθμοσυνόλου. Αλλά, μήπως δεν ισχύει ότι η έννοια του αριθμητικού συνόλου δε συνδέεται άρρηκτα με λογικά και μαθηματικά παράδοξα και αντιφάσεις που κυριαρχούν στο πεδίο εδώ και χιλιετίες; Ας σημειώσουμε ότι παράδοξα όπως του Ζήνωνα, τα οποία είναι παρόντα στη λογική και τα μαθηματικά εδώ και χιλιετίες, και η λύση τους στάθηκε αδύνατη ακόμα και για τις μεγαλύτερες των διανοιών ανά τους αιώνες, είναι λυμένα με τον πλέον φυσικό και λογικά καθαρό τρόπο, πάνω στη βάση της κατάργησης του αφηρημένου συνεχούς, το οποίο προκύπτει από την κατάργηση του αριθμητικού συνόλου. Τώρα, ίσως κάποιος θα ήθελε να ρωτήσει πώς γίνεται η Εικασία του Goldbach [26] να αποδεικνύεται πάντα σωστή εμπειρικά, και να μην είναι δυνατό να

[68]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

γενικευτεί στο θεωρητικό πεδίο, δηλαδή να αποδειχτεί θεωρητικά. Πρώτα από όλα, να πούμε ότι, όπως είναι εύκολο να συμπεράνουμε, η εν λόγω εικασία δεν μπορεί ως λογική να καταλήξει στο A=A. Και αυτό διότι δεν μπορεί να υπάρχει συγκεκριμένη αριθμητική (ποσοτική) συσχέτιση μεταξύ των μερών της εικασίας, αντίθετα με τα (i) και (ii) παραπάνω, έτσι ώστε να καταλήξουμε σε ταυτότητα. Όσον αφορά την, με κάθε συγκεκριμένη φορά προσπάθεια, αποδεδειγμένη ως αληθινή εικασία ας δώσουμε μία παράλληλη περίπτωση, η οποία, επίσης, συνιστά τη βάση της θεωρίας αριθμών: “Αν σε οποιοδήποτε αριθμό προστεθεί η μονάδα, ή οποιοσδήποτε άλλος αριθμός, το αποτέλεσμα είναι αριθμός” [27]. Αυτό είναι στα σίγουρα αληθινό, ή, αν μη τι άλλο, έχει ως τώρα αποδειχθεί αληθινό με τον εμπειρικό τρόπο… Είναι, όμως, Το Ανυπόστατο του Απείρου, το οποίο θέτει τις νέες, υγιείς λογικές τόσο στο (αριθμο)θεωρητικό πεδίο, όσο και στο εμπειρικό πεδίο, διότι είναι αλήθεια ότι η αληθινή θεωρία δεν συγκρούεται και δεν αντιφάσκει με την πράξη! Σύμφωνα με την αποκάλυψη της αριθμητικής φύσης από την παρούσα θεωρία και, ως άμεση συνέπεια από αυτό, την κατάργηση του αριθμητικού συνόλου και της αφηρημένης αριθμητικής αναφοράς (ή αρίθμησης), δεν μπορούμε να αναφερόμαστε σε “κάποιους” αριθμούς, αλλά σε απόλυτα διακριτές και ξέχωρες αριθμητικές οντότητες οι οποίες δεν σχηματίζουν σύνολα μεταξύ τους. Τώρα, ισχυριζόμενοι ότι, από εμπειρική σκοπιά, προσθέτοντας τη μονάδα στον οποιοδήποτε αριθμό, προκύπτει αριθμός, αυτό είναι απόλυτα σύμφωνο με την εδώ αποδεδειγμένη έννοια και αντίληψη του αριθμού – στα πλαίσια του Ανυπόστατου του Απείρου. Αυτό διότι, εφόσον η μονάδα θα έχει ήδη προστεθεί, ουσιαστικά θα έχει υπάρξει μία συγκεκριμένη αριθμητική πράξη. Δηλαδή, αν π.χ. έχουμε το 3 (όπου 3=1+1+1) και προσθέσουμε τη μονάδα, έχουμε το συγκεκριμένο (και όχι με αφηρημένο τρόπο “εμπειρικό”) αριθμό 4, όπου 4=3+1 => 4=1+1+1+1. Συνεπώς, αν για το 3 δεν κάνουμε τη “+1” υπόθεση, τότε κυριολεκτικά δεν έχουμε καν υποθέσει ότι το 3 ακολουθείται από έναν αριθμό! Αν μη τι άλλο, η αφηρημένη και σε σύνολα αρίθμηση δεν είναι η εμπειρικά αποδεδειγμένη, διότι εισάγει το αφηρημένο και το άπειρο.

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[69]

13. Η άπειρη συνέχεια των δεκαδικών αριθμών Αν δεχτούμε το άπειρο, τότε π.χ. το 10/3=3,333… έχει άπειρη συνέχεια δεκαδικών ψηφίων. Ενώ, αν απορρίψουμε το άπειρο, το 3,333… έχει πεπερασμένο πλήθος δεκαδικών ψηφίων. Όμως, αυτό δε σημαίνει ότι, εφόσον δεν αποδίδουμε άπειρη συνέχεια στα ψηφία, τότε αντιμετωπίζουμε παράδοξο από την άποψη ότι, με αυτό τον τρόπο, η τιμή της κλασματικής διατύπωσης (10/3) δεν εξαντλείται. Και αυτό διότι, δεδομένου του απείρου, η διατύπωση 10/3 πάλι δεν εξαντλείται. Και αυτό διότι, όσα πολλά δεκαδικά ψηφία και να γράψουμε (υπολογίσουμε), η διατύπωση 10/3 ποτέ δεν διατυπώνεται (ως δεκαδικός) ακριβώς και πλήρως. Άρα, η πιθανή αποδοχή του απείρου δεν προσφέρει κάποιο πλεονέκτημα. Αυτό είναι έτσι διότι το 10/3 δε διατυπώνεται ακριβώς ούτε με το να πάρουμε το άπειρο ως δεδομένο ούτε με το να το καταργήσουμε. Η μόνη διαφορά που έχουμε με το ανυπόστατο του απείρου είναι ότι μπορούμε να αναφερόμαστε μονάχα σε ένα ή περισσότερα δεκαδικά ψηφία τα οποία, όμως, είναι πεπερασμένου πλήθους. Όμως, πώς μπορεί η αρίθμηση και η συνέχεια των δεκαδικών “3” να σταματά κάπου, δεδομένου του ότι αυτή (η αρίθμηση) είναι πεπερασμένη; Δηλαδή, εφόσον η τιμή του 10/3 δεν θα έχει ποτέ διατυπωθεί ακριβώς, μέσω ενός δεκαδικού αριθμού, τότε είμαστε υποχρεωμένοι να δεχτούμε το άπειρο. Σε αυτό απαντούμε σύμφωνα με ό,τι έχουμε γράψει στο προηγούμενο κεφάλαιο (κεφ. 12): “Συνεπώς, αν για το 3 δεν κάνουμε τη “+1” υπόθεση, τότε κυριολεκτικά δεν έχουμε καν υποθέσει ότι το 3 ακολουθείται από έναν αριθμό!” Έτσι, κάθε φορά μετρούμε ένα δεκαδικό “3” ή περισσότερα. Και, με αυτό τον τρόπο, συνειδητοποιούμε ότι το αυξανόμενο 3,3333… έχει μία νέα τιμή. Αν δεν προσθέσουμε αυτό το ένα και μονάχο 3, δεν μπορούμε να κάνουμε λόγο για ένα ακόμα 3. Αυτό διότι δεν έχουμε καν κάνει την υπόθεση ότι π.χ. το 3,3333… έχει ένα ακόμα 3άρι. Ας μην ξεχνάμε ότι οι αριθμοί μπορούν να νοηθούν μόνο ως έχοντες συγκεκριμένη (διακριτή) αριθμητική τιμή και ως απόλυτα ξέχωροι ο ένας από τον άλλον∙ δεν μπορούν να σχηματίζουν σύνολα. Άρα, όταν προσθέτουμε τα 3άρια στο 3,333…, αυτή η πρόσθεση γίνεται με ένα συγκεκριμένο πλήθος ψηφίων κάθε φορά. Αν δεν αυξήσουμε με συγκεκριμένο πλήθος τα 3άρια κάθε φορά, τότε έχουμε μια αφηρημένη αύξηση του 3,33333…, την οποία έχουμε καταργήσει σε αυτή τη θεωρία. Ο αφηρημένος αριθμός (και, συνεπώς, το άπειρο) δεν υπάρχει. Άρα, αν δεν αυξήσουμε το 3,333… κατά ένα συγκεκριμένο πλήθος από 3άρια, κάθε φορά, τότε εισάγουμε το αφηρημένο 3,333…, πράγμα το οποίο είναι άτοπο. Παρόλα αυτά, μόνο αν κάθε φορά προχωρούμε σε συγκεκριμένη αύξηση, τότε μπορούμε να μιλάμε για υπαρκτό και αληθινό αριθμό, μετρώντας τον κάθε φορά αυξανόμενο 3,333… Και, αν κάποιος ισχυριστεί ότι, για κάθε συγκεκριμένο 3,333… ισχύει ο κατά ένα 3άρι αυξημένος αριθμός, εφόσον κάνουμε λόγο για τις κάθε φορά αυξήσεις, τότε κάθε συγκεκριμένη αύξηση νοείται ως ένας νέος συγκεκριμένος

[70]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

αριθμός. Έτσι, το γεγονός ότι με την κάθε αύξηση (συγκεκριμένη, διακριτή αύξηση) προκύπτει ένας νέος αριθμός, αυτό δεν αντιβαίνει στην απόρριψη του αφηρημένου αριθμού. Αυτό διότι, με κάθε αύξηση του αριθμού, προκύπτουν συγκεκριμένοι νέοι αριθμοί. Όμως, το θέμα είναι το αν κάνουμε την αύξηση συγκεκριμένα ή με αφηρημένο τρόπο. Με τη συγκεκριμένη αύξηση έχουμε διακριτούς αριθμούς, οι οποίοι δεν συμπεριλαμβάνονται σε σύνολα. Με λίγα λόγια, μπορούμε να αυξήσουμε τον 3,333… με το (συγκεκριμένο) πλήθος των, ας πούμε, τριών χιλιάδων 3αριών. Και έπειτα, έχοντας συλλάβει ότι μπορεί να υπάρξει μία περεταίρω αύξηση, προσθέτουμε περισσότερα 3άρια. Αλλά αυτό το κάνουμε κάθε φορά με συγκεκριμένο και διακριτό τρόπο. Και έτσι δεν έχουμε ανάγκη να πούμε ότι τα 3άρια είναι απείρως πολλά. Εδώ υπενθυμίζουμε ότι, βάσει του απείρου, σε κάθε περίπτωση, η τιμή του 10/3 δεν εξαντλείται όταν ο αριθμός διατυπώνεται με τη δεκαδική μορφή. Απλά και μόνο, χωρίς το άπειρο, η πρόοδος των 3αριών γίνεται με κάθε φορά διακριτή μέτρηση. Όλα αυτά ισχύουν επίσης για τους αρρήτους αριθμούς. Το γεγονός ότι τα δεκαδικά τους νούμερα δεν επαναλαμβάνονται περιοδικά, προφανώς δεν εισάγει κάτι το οποίο να καλεί για περεταίρω μελέτη και διευκρίνηση. Και ας θυμηθούμε τι έχουμε αποδείξει για τη φύση του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης (στο κεφ. 6). Η διατύπωση 10/3 έχει το χαρακτήρα του εμπειρισμού και την κατάσταση της τυχαιότητας. Άρα, για το 3,333…, ο κάθε φορά εντοπισμός ενός ακόμα ψηφίου, δε διαφωνεί με τη φύση που φέρει το 10/3 (ως διατύπωση διαίρεσης). Η κατάσταση του 10/3 είναι η κατάσταση της τυχαιότητας, ως αριθμητικής διατύπωσης, παρόλο που το να διατυπώσουμε 10/3 φαίνεται να είναι κάτι απολύτως ακριβές. Αυτό συμφωνεί απόλυτα με τον κάθε (διακριτή) φορά εντοπισμό ενός ακόμα δεκαδικού ψηφίου 3, ως μία εμπειρική διαδικασία.

∞

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[71]

ΕΠΙΛΟΓΟΣ Τα θεμέλια της Αριθμητικής και της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Η γνώση της ελευθερίας, την οποία παρέχει η απόδειξη του P≠NP Η γενική ιδέα αυτής της θεωρίας είναι το γεγονός ότι κάθε αριθμός είναι ολοκληρωτικά διαφορετικός από τους άλλους, κι έτσι ορίζεται και νοείται με τρόπο καθολικά διαφορετικό και μοναδικό. Άρα, για να θεωρήσουμε μια άπειρη ποσότητα αριθμών (το οποίο σημαίνει να θεωρήσουμε το ίδιο το άπειρο) χρειαζόμαστε άπειρο πλήθος ορισμών. Άρα, δεν υπάρχει η πιθανότητα να έχουμε ποτέ την ευκαιρία να ορίσουμε το άπειρο. Το ότι κάθε αριθμός είναι εντελώς διαφορετικός από όλους τους άλλους, καθιστά ανυπόστατη –εκτός από την υπόσταση του απείρου– επίσης την έννοια αυτού που ονομάζουμε σύνολο αριθμών. Αυτό είναι έτσι διότι, προκειμένου να εκλάβουμε δύο ή περισσότερους αριθμούς ως σύνολο οποιουδήποτε είδους, αυτοί οι αριθμοί θα πρέπει να έχουν κάποιο κοινό στοιχείο, και αυτό δεν μπορεί να υπάρχει. Αυτό σημαίνει ότι η οποιαδήποτε θεωρία στα μαθηματικά, η οποία ασχολείται με σύνολα αριθμών, είναι λάθος τουλάχιστον στο βαθμό που βασίζεται σε αυτά τα σύνολα. Έτσι, για παράδειγμα, είναι παράλογο να αναρωτηθούμε αν οι δεκαδικοί από το μηδέν ως το δέκα είναι περισσότεροι από ό,τι είναι οι ακέραιοι από το μηδέν ως το δέκα. Αυτό έχει έτσι διότι η “ποσότητα” του δέκα δεν μπορεί να είναι σύνθετη. Άρα, δεν μπορούν να νοηθούν π.χ. οι δέκα ακέραιοι που το απαρτίζουν. Η αποκάλυψη της αριθμητικής φύσης και η κατάργηση του αριθμητικού συνόλου σε αυτή θεωρία αποτελούν απόλυτες αλήθειες, εφόσον, αν μη τι άλλο, το γεγονός της απουσίας σχέσης μεταξύ των αριθμών είναι απόλυτο, και η φύση του αριθμού είναι απόλυτα απλή (μονομερής οντότητα). Ως εκ τούτου, προκύπτει φυσικά το ότι άλυτα θεμελιακά προβλήματα, που αφορούν στους αριθμούς και στις υποτιθέμενες ιδιότητες τους, λύνονται πλήρως εδώ: η Υπόθεση του Ρήμαν είναι ένα παράδειγμα σε αυτή την περίπτωση. Και η εφαρμογή της αριθμητικής φύσης στη λογική των προβλημάτων όπως το Πρόβλημα P Vs NP, αποδεικνύεται ότι είναι απόλυτα αποτελεσματική για τη λύση αυτών των προβλημάτων – διότι η εφαρμογή της (απόλυτης) αριθμητικής φύσης γίνεται με απόλυτο τρόπο. Επίσης, εφαρμόζοντας την αριθμητική φύση στη Φυσική, άλυτα θεμελιακά προβλήματα στη Μαθηματική Φυσική, όπως τα Ζηνώνια παράδοξα, όπου έχουμε παρουσία υπολογισμού (calculus), λύνονται μέσω του εντελώς νέου τρόπου θεώρησης του υπολογισμού σε αυτή τη θεωρία. Στη βάση αυτών, είναι εμφανές ότι τα νέα Θεμέλια της Αριθμητικής δεν ενέχουν αντιφάσεις, και προβλήματα εν γένει, διότι τα όποια προβλήματα πηγάζουν από αυτό που ονομάζεται αριθμοσύνολο!

[72]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

Τώρα, όσον αφορά την Ευκλείδεια Γεωμετρία, η αριθμητική φύση όπως είναι αποδεδειγμένη σε αυτή τη θεωρία, παίζει τον θεμελιακό ρόλο εφαρμοζόμενη στα αξιώματα του Ευκλείδειου Χώρου και τα αποδεικνύει, κι έτσι αποδείχτηκε ο Ευκλείδειος Χώρος. Σε αυτή τη θεωρία δίνουμε τη λύση στο θεμελιώδες πρόβλημα το οποίο διατυπώνεται ως P Vs NP, αποδεικνύοντας ότι P≠NP. Αυτό εξασφαλίζει ότι τώρα γνωρίζουμε ότι οι τραπεζικοί λογαριασμοί, τα απόρρητα έγγραφα κυβερνήσεων κρατών και υπηρεσιών, κλπ, είναι ασφαλή. Επιπλέον, το γεγονός ότι τα προβλήματα της τάξης NP δε γίνεται να είναι προβλήματα της τάξης P, σημαίνει ότι δε γίνεται να υπάρξει ένας τρόπος αποκωδικοποίησης και ελέγχου πεδίων της ζωής, όπως τα κοινωνικά κινήματα και η ανθρώπινη συμπεριφορά και σκέψη, με τη χρήση καθολικά αυτόματων (υπολογιστικών) τρόπων. Τώρα γνωρίζουμε ότι η Ανθρωπότητα δεν θα απειληθεί ποτέ πραγματικά από τον αυτοματισμό.

∞

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[73]

ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ

1. Αριστοτέλης, Κατηγορίες, Μέρος 6, παράγραφοι 1, 2 και 3 2. a) Knopp K. (1996) Algebraic Functions, Part II, pp. 119-134, Ch. 5 in theory of Functions, Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Dover, New York b) Koch H., Algebraic Functions of One Variable, Ch. 6 in Number Theory: Algebraic Numbers and Functions, pp. 141-170, Amer. Math.Soc., Providence, RI (2000) c) Newmann J. R (ed.) (1956) The World of Mathematics, p. 1754, Simon and Schuster, New York 3. Conway J. H. and Guy R. K. (1996) Cantor’s Ordinal Numbers,In The Book of Numbers, pp.

266-267 and 272, Springer-Verlag, New York 4. Gottlob, Grege (1953) The Foundations of Arithmetic, pp. 70-72, Basil Blackwell & Mott, Ltd. 5. Gottlob, Grege (1953) The Foundations of Arithmetic, pp. 67-69, Basil Blackwell & Mott, Ltd. 6. Gottlob, Grege (1953) The Foundations of Arithmetic, p. 25, Basil Blackwell & Mott, Ltd. 7. Tait W.W., Frege versus Cantor and Dedekind: On the Concept of Number, pp. 26-28 8. Hume, David (1910) An Enquiry concerning Human Understanding, paragraph 75, Harvard Classics, Volume 37, P.F. Collier & Son 9. Kant, Immanuel (1855) The Critique of Pure Reason, Section III, Of the Pure Conceptions of the Understanding, or Categories, SS 6, paragraphs 4 and 5, translated from the German by J. M. D. Meiklejohn 10. Papoulis A. (1984) Probability, Random Variables and Stochastic Processes, 2nd ed, pp. 3738, McGraw-Hill, New York 11. Tait W.W., Frege versus Cantor and Dedekind: On the Concept of Number, pp. 22-26 12. Mac Kenna, Stephen and B. S. Page (1917-1930) The Enneads of Plotinus, The Fifth Ennead, Fifth Tractate, Section 5, translated into English 13. Mosselmans, Bert, William Stanley Jevons and the Extent of Meaning in Logic and Economics, cap. 2, pp. 4-8, Free University of Brussels (VUB) 14. Wittgenstein, Ludwig, Remarks on the Foundations of Mathematics, third edition, p. 140, paragraph 54, edited by G. H. von Wright, R. Rhees, G. E. M. Anscomble, Translated

by G. E. M. Anscomble, Third edition, revised and reset, 1978, Basil Blackwell Oxford, printed in Great Britain by Athenaeum Press Ltd, Gateshead, Tyne and Wear 15. Borwein J., and Bailey D. (2003) Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century, pp.4-5 Wellesley, MA: A. K. Peters 16. Temple Bell, Eric (1986) Men of Mathematics, p. 477, Simon and Schuster, New York

[74]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

17. Bell, R. J. T. (1926) An Elementary Treatise on Coordinate Geometry of Three Dimensions, London: Macmillan 18. a) Brouwer, Jan (1912) Beweis des Jordanschen Satzes for N Dimensionen Luitzen Egbertus (Proof of Jordan’s theorem for N dimensions) b) Wittgenstein Ludwig (1974) Philosophical Grammar, pp. 97, 98, paragraph 57, University California Press, Berkeley 19. Krantz S. G. (1999) Handbook of complex Variables, p. 3, Birkhauser, Boston, MA 20. Wittgenstein, Ludwig, Remarks on the Foundations of Mathematics, third edition, p. 142, paragraphs 60, 61, 62, edited by G. H. von Wright, R. Rhees, G. E. M. Anscomble, Translated by G. E. M. Anscomble, Third edition, revised and reset, 1978, Basil Blackwell Oxford, printed in Great Britain by Athenaeum Press Ltd, Gateshead, Tyne and Wear 21. Hilbert D. (1980) The Foundations of Geometry, 2nd ed, Chicago, IL: Open Court 22. Pappas. T. (1989) Zeno’s Paradox, Achilles & the Tortoise, The Joy of Mathematics, pp. 116117, Wide World Publ./Tetra, San Carlos, CA 23. Salmon W (Ed) (1970) Zeno’s Paradoxes, New York: Bobs-Merrill 24. Erickson G. W. and Fossa J. A. (1998) Dictionary of Paradox, pp. 196-199 Lanham, MD: University Press of America 25. Wittgenstein, Ludwig, Remarks on the Foundations of Mathematics, third edition, p. 140, paragraph 55, edited by G. H. von Wright, R. Rhees, G. E. M. Anscomble, Translated

by G. E. M. Anscomble, Third edition, revised and reset, 1978, Basil Blackwell Oxford, printed in Great Britain by Athenaeum Press Ltd, Gateshead, Tyne and Wear 26. Wang, Yuan (c1984) Goldbach Conjecture, World Scientific, Singapore 27. Frege, Gottlob, Grundgesetze der Arithmetik I, Theorems 150 and 154, 1893

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[75]

[76]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

Εμμανουήλ Ξαγοραράκης ∞

[77]

Η ιδέα για τις Εκδόσεις Σαΐτα ξεπήδησε τον Ιούλιο του 2012 με πρωταρχικό σκοπό τη δημιουργία ενός χώρου όπου τα έργα συγγραφέων θα συνομιλούν άμεσα, δωρεάν και ελεύθερα με το αναγνωστικό κοινό. Μακριά από το κέρδος, την εκμετάλλευση και την εμπορευματοποίηση της πνευματικής ιδιοκτησίας, οι Εκδόσεις Σαΐτα επιδιώκουν να επαναπροσδιορίσουν τις σχέσεις Εκδότη-Συγγραφέα-Αναγνώστη, καλλιεργώντας τον πραγματικό διάλογο, την αλληλεπίδραση και την ουσιαστική επικοινωνία του έργου με τον αναγνώστη δίχως προϋποθέσεις και περιορισμούς. Ο ισχυρός άνεμος της αγάπης για το βιβλίο, το γλυκό αεράκι της δημιουργικότητας, ο ζέφυρος της καινοτομίας, ο σιρόκος της φαντασίας, ο λεβάντες της επιμονής, ο γραίγος του οράματος, καθοδηγούν τη σαΐτα των Εκδόσεών μας. Σας καλούμε λοιπόν να αφήσετε τα βιβλία να πετάξουν ελεύθερα!

[78]

∞ Το Ανυπόστατο του Απείρου

“Μη μου τους κύκλους τάραττε” – Αρχιμήδης “Ο κύβος ερρίφθη” – Ιούλιος Καίσαρας “Ο κύκλος ελύθη” – Εμμανουήλ Ξαγοραράκης Σε αυτή τη θεωρία, Το Ανυπόστατο του Απείρου, εισάγω με τρεις αυτοτελείς αποδείξεις μία εντελώς νέα θεώρηση για τη φύση και τις σχέσεις ανάμεσα στους (καθαρούς) αριθμούς. Οι εφαρμογές αυτής της ολοκληρωτικά νέας γνώσης οδηγούν στη λύση με απόδειξη κορυφαίων προβλημάτων και ανοιχτών θεμάτων, όπως η Υπόθεση του Ρήμαν, τα Παράδοξα του Ζήνωνα, το Πρόβλημα P Vs NP, και άλλων κορυφαίων θεμάτων. Ο γνωστικός πυρήνας, από τις τρεις προαναφερθείσες αποδείξεις, είναι ότι ένας αριθμός δεν μπορεί να είναι σύνθετος, δεν φέρει καθόλου ιδιότητες, και δεν νοείται κανένα είδος σχέσης ανάμεσα σε αριθμούς. Αυτό οδηγεί στην κατάργηση του οποιουδήποτε αριθμητικού συνόλου, και συνεπώς στην κατάργηση του αριθμητικού συνεχούς και του απείρου. Παρόλα αυτά, η ίδια λογική η οποία καταργεί το άπειρο είναι αυτή η οποία καταργεί την έννοια ενός υποτιθέμενου “ύστατου τέλους” – εισάγοντας νέο τρόπο θεώρησης για το “όριο” στην αρίθμηση. Η μόνη λογική βάση την οποία χρησιμοποιώ για τις αποδείξεις είναι η αριθμητική ταυτότητα. Το τι είναι αριθμός ορίζεται με απόδειξη για πρώτη φορά στην Ιστορία. Σε αυτή τη θεωρία, εισάγονται τα νέα Θεμέλια της Αριθμητικής. Βάσει της αριθμητικής φύσης, ο Ευκλείδειος Χώρος έχει εδώ αποδειχθεί: η έννοια και οντότητα της ευθείας γραμμής, της γωνίας και του τετραγώνου, έχουν εδώ αποδειχθεί. Ως συνέπεια αυτού, ο κύκλος έχει αποδειχθεί ως μη Ευκλείδειος, και κατά συνέπεια δίδεται η απόδειξη για την αυθεντική μέτρηση του κύκλου. Αυτό οδηγεί και στην απάντηση της –περιέργως μη απαντημένης– ερώτησης του πώς λειτουργεί το ποδήλατο.

∞ ISBN: 978-618-5147-12-9