Magic Sine: The Prime Numbers (2006) by Roger Saravia Aramayo (All Rights Reserved)
During a lot of time I have been thinking and calculating about the prime numbers and looking for the way to create simple formulas in order to reveal them. One night I discovered that these numbers were related with the sine function. So starting from that, I produced several interesting expressions about the famous prime numbers.
Starting from the sine function we can construct a powerful base expression which allows the construction of interesting expressions related to the prime numbers. With two natural numbers a and b, this base expression would let us verify if b is factor of a: 0 if b is a factor of a sign sin 2 a / b 1 if b is not a factor of a
(1)
A prime number x is a natural x that doesn't have any factor between 2 and x 1 , inclusive. Applying the product of the expression (1) in this range, we have: 0 sign sin x / i 1 x 1
2
i 2
if x is not a prime number if x is a prime number
(2)
Now, we will modify starting from the expression (1) to invert its output and to let further on the construction of a more advanced expression than (2). Then: 0 if b is not a factor of a 1 sign sin 2 a / b 1 if b is a factor of a
(3)
We already remembered that a prime number x is a natural that doesn't have any factor between 2 and x 1 , inclusive. Applying the sum of the expression (3) in this range, we have: 0 1 sign sin x / i f x 1
2
i 2
if x is a prime number if x is not a prime and f is the number of factors of x
(4)
The graph (i1) corresponds to the expression (4) for the first thirty-five natural numbers. A couple of notes regarding this graph:
The points on the x axis are the prime numbers.
Any other point corresponds to a not prime x. For example, x 12 is associated with f 4 ; this indicates that 12 have four factors without the unit and 12 itself. And certainly, their four factors are: 2, 3, 4 and 6. 1
(i1)
Starting from the expression (2) we can construct an expression that gives the quantity of prime numbers between 2 and n, inclusive:
i 1 sign sin 2 i / j i 2 j 2
n
(5)
Modifying from (5) we can produce an expression that gives the sum of the primes between 2 and n, inclusive: i 1 i sign sin 2 i / j i 2 j 2
n
(6)
And the expression (7) gives us the product of the primes between 2 and n, inclusive: n
i
i 1
j2
sign sin 2 i / j
(7)
i 2
In this whole development is interesting to see that the prime numbers can be linked with the sine function.
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Señor Director del Servicio Nacional de Derechos de Autor Solicita se proceda al registro e inscripción de derecho de la obras de carácter matemático que refiere. Otrosí 1º.- Acompaña en doble ejemplar, la fórmula y descripción correspondiente, y demás documentación requerida para tal efecto. Otrosí 2º.- Domicilio. Yo, Roger Gustavo Saravia Aramayo, mayor de edad, de nacionalidad boliviana, soltero, Ingeniero Civil, domiciliado en la Calle 1-A Nº 62, región de Següencoma Alto, de esta ciudad, C. I. Nº 4312161-L.P., hábil por derecho, a su Autoridad, respetuosamente, expongo: En mi condición de profesional en la carrera que señalo en el exordio de este memorial, con título en provisión nacional, tuve por dedicación esencial en el estudio de un proyecto que contiene un desarrollo de fórmulas conceptuales, correspondientes a los números primos, razón por la cual viene a constituir un proyecto de tipo matemático, rama: “Teoría de los Números”. Que, en sí, son expresiones que podrían aplicarse en la investigación de la “Hipótesis de Riemann”, que es una fórmula matemática relacionada con el campo de los números complejos y cuyo objetivo fundamental es descubrir nuevas expresiones que revelen a los números primos, pero desde un enfoque trigonométrico. La obra que presento, es original y no se basa en otra existente hasta la fecha, puesto que emerge de un nuevo enfoque trigonométrico y, por tanto, una obra de mi creación exclusiva y personal. En mérito de los antecedentes expuestos acogiéndome a las disposiciones contenidas en el Art. 63 y siguientes de la Ley Nº 1322 de 13 de abril de 1992, que establece normas y previsiones sobre protección a los derechos de autor, es decir, sobre trabajos intelectuales, literarios, y otros, me dirijo a ese Alto Despacho, para encarecerle, que, por el Departamento respectivo de su dependencia, se proceda a la inscripción y registro de la obra que refiero; que lleva el título de:
“SENO MÁGICO: LOS NÚMEROS PRIMOS” Encareciéndole que para el efecto, se dicte la correspondiente Resolución, reconociéndome el derecho de autor único y exclusivo. Otrosí 1º.- En sobre Manila acompaño la documentación requerida para ese efecto. Otrosí 2º.- Señalo domicilio, la Secretaría de ese Despacho. Justicia, etc. La Paz, 16 de abril de 2007.
Roger Gustavo Saravia Aramayo C.I. Nº 4312161- L.P.
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