Seno Mágico: Los Números Primos por Roger Saravia Aramayo
Estuve mucho tiempo pensando y calculando sobre los números primos buscando la manera de crear fórmulas sencillas que permitan revelarlos. Una noche descubrí que dichos números se relacionaban con la función trigonométrica del seno. Y a partir de aquello se abrieron las puertas para producir varias expresiones interesantes acerca de los famosos números primos.
Partiendo de la función seno se puede lograr una poderosa expresión base que permite la construcción de expresiones reveladoras con relación a los números primos. Dados dos números naturales a y b, ésta expresión base permite verificar si b es factor de a: 0 si b es factor de a sign sin 2 a / b 1 si b no es factor de a
(1)
Un número primo x es un numero natural x que no tiene ningún factor entre 2 y x 1 , inclusive. Aplicando la productoria de la expresión (1) en este rango, se tiene: 0 sign sin x / i 1 x 1
2
i 2
si x no es número primo si x es número primo
(2)
Ahora se va a modificar a partir de la expresión (1) para invertir sus salidas y para que más adelante permita la construcción de una expresión más avanzada que la (2). Entonces: 0 si b no es factor de a 1 sign sin 2 a / b 1 si b es factor de a
(3)
Ya se recordó que un número primo x es aquel que no tiene ningún factor entre 2 y x 1 , inclusive. Aplicando la sumatoria de la expresión (3) en este rango, se tiene: 0 1 sign sin x / i f x 1
2
i 2
si x es número primo si x no es primo y f es el número de factores que tiene x
(4)
La gráfica (i1) corresponde a la expresión (4) para los primeros treinta y cinco números naturales. Respecto a ésta gráfica, un par de apuntes: 1) Los puntos sobre el eje x se corresponden con los números primos. 2) Cualquier otro punto se corresponde con un x no primo. Por ejemplo, para x 12 se tiene f 4 ;
esto indica que 12 tiene cuatro factores a excepción de la unidad y de si mismo. Y ciertamente, sus cuatro factores son: 2, 3, 4 y 6. 1