7
VECTORES
Página 171 REFLEXIONA Y RESUELVE Multiplica vectores por números ■
Copia en un papel cuadriculado los cuatro vectores siguientes:
8
a
8
c
8
d
8
b
Representa: 8
8
a) 2 a
b) 5 b
c)
1 8 c 3
8
8
8
8
Expresa el vector d como producto de uno de los vectores a , b o c por un número. Designa los vectores anteriores mediante pares de números. Por ejemplo: 8 a (2, 3) Repite con pares de números las operaciones que has efectuado anteriormente. 8
8
• d = –2,5 b = 8
8
–5 8 b 2
• a (2, 3)
1/3 c
8
b(–2, –2)
8
8
2a
c (3, 0)
8
8
5b
d (5, 5) 8
8
d = –5/2 b
8
• 2 a = 2 (2, 3) = (4, 6) 8
5 b = 5 (–2, –2) = (–10, –10) 1 8 1 c = (3, 0) = (1, 0) 3 3
Unidad 7. Vectores
1
Suma vectores ■
Efectúa gráficamente: 8
8
8
a) a + c
8
8
b) b + c 8
8
8
8
c) b + a
8
8
d) a + b + c
8
siendo a , b y c los del ejercicio anterior. Realiza las mismas sumas con pares de números. 8
8
Por ejemplo: a + c = (2, 3) + (3, 0) = (5, 3) 8
8
8
8
8
8
8
8
a) a + c = (2, 3) + (3, 0) = (5, 3) b) b + c = (–2, –2) + (3, 0) = (1, –2) c) b + a = (–2, –2) + (2, 3) = (0, 1) 8
d) a + b + c = (2, 3) + (–2, –2) + (3, 0) = (3, 1) 8
c
a)
b)
8
a
8
8
8
8
b
8
b+c
8
a+c
c)
8
8
a
d)
8
8
b+a
b
8
8
8
8
c
b
c
a
8
8
a+b+c
Combina operaciones
8
u
8
v
8
w
■
8
8
8
Con los vectores u, v y w efectúa las siguientes operaciones gráficamente y mediante pares de números: 8
8
8
a) 2 u + 3v
8
b) –v + 5w
8
8
8
c) 2 u + 3 v – 4 w
¿Cómo designarías al vector resultante de esta última operación? 8
8
8
8
8
8
a) 2 u + 3 v = 2 (3, 1) + 3 (2, –2) = (6, 2) + (6, –6) = (12, –4) b) – v + 5 w = –(2, –2) + 5 (3, –1) = (–2, 2) + (15, –5) = (13, –3) 8
c) 2 u + 3 v – 4 w = 2 (3, 1) + 3 (2, –2) – 4 (3, –1) = (6, 2) + (6, –6) + (–12, 4) = (0, 0) 8
Vector nulo: 0
2
Unidad 7. Vectores
UNIDAD
a)
b)
8
2u
8
8
8
8
–v
3v
5w 8
8
8
–v + 5w
2u + 3v
c)
7
8
2u
8
3v 8
–4w
Página 175 8
8
1. Si u(–2, 5) y v (1, –4) son las coordenadas de dos vectores respecto de una base, halla las coordenadas respecto de la misma base de: 8 8 8 8 8 8 1 8 1 8 a) 2 u + v b) u – v c) 3 u + d) – u – 2 v v 3 2 8
8
a) 2 u + v = 2 (–2, 5) + (1, –4) = (–4, 10) + (1, –4) = (–3, 6) 8
8
b) u – v = (–2, 5) – (1, –4) = (–2, 5) + (–1, 4) = (–3, 9)
(
) ( ) 1 1 –5 11 d) – u – 2 v = – (–2, 5) – 2 (1, –4) = (1, + (–2, 8) = (–1, 2 2 2 ) 2 ) 1 8 1 1 –4 –17 41 v = 3 (–2, 5) + , = , (1, –4) = (–6, 15) + 3 3 3 3 3 3
8
c) 3 u +
8
8
Página 176 8
8
8
8
1. Dos vectores u y v cumplen que: |u| = 4, |v| = 8
8
a) u · v 8
8
8
8
8
8
8
b) v · u 8
d) (3u) · (–5v ) 8
8
ì 3 8 8 , ( u, v ) = 30°. Calcula: 2
8
e) u · u ì 8 8
8
a) u · v = |u| |v| cos ( u, v ) = 4 · 8
8
8
c) (–u) · v 8
8
f) v · (–v )
√3 3 · cos 30° = 6 · = 3√3 2 2
8
b) v · u = u · v = 3√3 8
8
8
8
c) (–u) · v = – ( u · v ) = –3√3 8
8
8
8
d) (3u) · (–5v ) = 3(–5) ( u · v ) = –15 · 3√3 = –45√3 8
8
8
e) u · u = |u| 2 cos 0° = 16 8
8
8
8
8
f) v · (–v ) = –v · v = –|v|2 = –
Unidad 7. Vectores
9 4
3
8
8
8
8
8 8
2. Si |u| = 3, |v| = 5 y u · v = –2, averigua el ángulo ( u, v ). (Usa la calculadora). 8
ì
8
8
ì u·v –2 2 8 8 =– 8 ( u, v ) = 97° 39' 44'' 8 8 = 15 |u||v| 3 · 5
8 8
cos ( u, v ) =
8
8
8
8
8
8
8
ì 8 8
3. Halla u · ( v + u) y v · ( v – u) sabiendo que |u| = 3, |v| = 5, ( u, v ) = 120°. 8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
u · ( v + u) = u · v + u · u = |u| |v| cos 120° + |u| |u| cos 0° =
( )
=3·5· – 8
8
8
8
8
8
1 15 3 +3·3=– +9= 2 2 2
( )
8
v · ( v – u) = v · v – v · u = 25 – –
15 65 = 2 2
Página 178 8
8
4. Dados los vectores u y v mediante sus coordenadas respecto a una base or8 8 tonormal, u (3, – 4), v (–1, 3), halla: 8
8
8
8
a) u · v y v · u 8
8
ì 8 8
b) |u|, |v| y ( u, v ) 8
c) El valor de k para que (4, k) sea perpendicular a v . 8
d) Un vector unitario perpendicular a u. 8
8
8
8
a) u · v = (3, –4) · (–1, 3) = 3 · (–1) + (–4) · 3 = –15 v · u = (–1, 3) · (3, –4) = (–1) · 3 + 3 · (–4) = –15 8
b) |u| = √32 + (–4)2 = 5 8
|v| = √(–1)2 + 32 = √10 ì
8
8
ì –15 u·v 8 8 — = –0,9486832981 8 ( u, v ) = 161° 33' 54'' 8 8 = |u||v| 5√ 10 4 c) (4, k ) 2 (–1, 3) 8 (4, k ) · (–1, 3) = 0 8 –4 + 3k = 0 8 k = 3 8 8
cos ( u, v ) =
8
Para que (4, k ) sea perpendicular a v , ha de ser k =
4 . 3
8
d) Un vector perpendicular a u (3, –4) es, por ejemplo, (4, 3). Un vector unitario paralelo a (4, 3) es
Hay dos vectores unitarios perpendiculares a (3, –4). Son
4
( ) ( ) ( )
1 1 4 3 · (4, 3) = (4, 3) = , |(4, 3)| 5 5 5
4 3 4 3 , y – ,– . 5 5 5 5
Unidad 7. Vectores
UNIDAD
7
Página 182 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR
Los vectores y sus operaciones 1 La figura ABCDEF es un hexágono.
C
P
D
N
Q
B
E
O M
R A
S
F
Compara el módulo, la dirección y el sentido de los siguientes pares de vectores: 8
8
8
a) AB y BC 8
8
b) FE y BC
8
8
8
c) BM y DE
8
d) OS y OE
8
a) |AB | = |BC |. Tienen distinta dirección. b) Los dos vectores tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo mó8 8 dulo, luego: FE = BC . 8
c) |BM | =
1 8 DE . Tienen la misma dirección y el mismo sentido. 2 8
Luego: BM = 8
1 8 DE . 2
8
8
8
d) | OS | < | OE |. Sus direcciones son perpendiculares: OS 2 OE .
8
2 Busca en la figura del ejercicio 1 tres vectores iguales a NC y otros tres igua8 les a AS . 8
8
8
8
8
8
8
8
NC = BN = FR = RE
AS = SF = CP = PD
Unidad 7. Vectores
5
3 Sustituye los puntos suspensivos por un número, de forma que estas igualdades sean verdaderas para el hexágono del ejercicio 1: 8
8
8
8
8
8
8
a) CD = 2 CP
8
8
b) MN = … AC
8
8
c) OP = …OS 8
a) CD = 2 CP
b) MN = 8
c) OP = – OS
8
d) NB = … BC
1 8 AC 2
d) NB = –
1 8 BC 2
4 Completa las igualdades siguientes con las letras que faltan para que, en el hexágono del ejercicio 1, sean verdaderas: 8
8
8
8
8
a) AF + B… = AE c) O… + SO = FD 8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
b) AS + …C = SF d) AM + A… = AB
a) AF + BC = AE
8
b) AS + CC = SF 8
c) OP + SO = FD
8
8
d) AM + AM = AB
5 Observa el rombo de la figura y calcula: 8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
a) AB + BC
B
b) OB + OC c) OA + OD A
d) AB + CD
O
C
e) AB + AD D
f ) DB – CA Expresa los resultados utilizando los vértices del rombo. 8
8
a) AC 8
8
8
b) AB = DC 8
8
d) AA = 0
8
c) BA – CD 8
e) AC
f) 2 DC
8
6 Considera el vector w: 8
w 8
8
Dibuja en cada uno de estos casos un vector v que sumado con u dé co8 mo resultado w: a)
b) 8
8
u
c)
6
8
u
u
d)
8
u
Unidad 7. Vectores
UNIDAD
a)
8
w
b)
8
8
u
8
c)
u
w
8
u
8
v
8
v
8
v
8
7
w
d)
8
8
w
u
8
v
8
8
8
8
7 Los vectores a , b y c los hemos obtenido operando con los vectores x, 8 8 y , z . ¿Qué operaciones hemos hecho en cada caso? 8
8
y
–z
8
z
x
8
–x
8
8
y
8
a
8
8
8
8
a=y–z–x
8
b
8
c
8
8
8
8
8
b=x+y– z
8
8
8
c =x–y+ z
Bases y coordenadas 8 A la vista de la figura, dibuja los vectores: 8
8
8
8
8
8
8
8
– u + v, u – v, u + v, 8
8
8
8
8
8
u
– u – v, – u + 2v, u – 2v
8
v
8
Si tomamos como base (u, v ), ¿cuáles son las coordenadas de los vectores que has dibujado? 8
8
–u + v 8
8
u
v
8
–u
v
8
u
8
–u
8
v
8
8
u+v
8
8
2v
8
u – 2v
8
8
8
8
8
– u – v = (–1, –1)
Unidad 7. Vectores
8
8
–u
8
u – v = (1, –1) 8
8
u
–v
– u + v = (–1, 1)
8
–u + 2v
8
8
–2v
–u – v
8
u
8
u–v
8
8
8
8
–v
8
8
– u + 2v = (–1, 2)
8
8
u + v = (1, 1)
8
8
u – 2 v = (1, –2)
7
8 8
8
8
8
9 Escribe los vectores u, v , w como combinación lineal de x e y .
8
y
8
x
8
w 8
u
8
v
8
8
¿Cuáles serán las coordenadas de esos vectores respecto a la base B (x, y )? 8
u=–
(
8 18 18 1 1 x + y , luego u = – , 2 2 2 2
) respecto de B (x, y). 8
8
( ) 3 3 w = x + y , luego w = ( , 1) respecto de B ( x , y ). 2 2
8
v= 8
8 8 8 38 8 3 x + y , luego v = , 1 respecto de B ( x , y ). 4 4 8
8
8
8
8
Página 183 8
8
8
8
10 Escribe las coordenadas de los vectores a , b, c , d, con respecto a la base 8 8 B (x, y ). 8
a
8
8
x
b
8
c
8
8
8
8
y
8
d
8
a = (2, 2); b = (0, –3); c = (–1, 0); d = (–1, 3)
8
11 En una base ortonormal las coordenadas de un vector son v (2, –5). Halla 8 las coordenadas de v en la base B = {(1, –1), (0, –1)}. 8
x (1, –1) ° 8 8 8 § v = ax + by 8 y(0, –1) ¢ 8 § (2, –5) = a(1, –1) + b (0, –1) = (a, –a) + (0, –b ) = (a, –a – b ) v(2, –5) £ 2=a ° a=2 ¢ –5 = –a – b £ b = +3 8
Las coordenadas de v en la nueva base son (2, 3).
8
Unidad 7. Vectores
UNIDAD 8
7
8
12 Si las coordenadas de los vectores u y v son (3, –5) y (–2, 1), obtén las coordenadas de: 8
a) –2 u +
18 v 2
8 38 b) – u – v 5
a) –2 (3, –5) +
b) – (3, –5) –
c)
c)
(
) (
)
) (
)
1 1 21 = –7, (–2, 1) = (–6, 10) + –1, 2 2 2
(
3 6 –3 –9 72 (–2, 1) = (–3, 15) + , = , 5 5 5 5 5
1 8 8 – 2 8 8 (u + v ) (u – v ) 2 3
1 2 1 2 (3, –5) + (–2, 1) – (3, –5) – (–2, 1) = (1, –4) – (5, –6) = 2 3 2 3
[
]
[
]
=
( 12 , –2) + ( –103 , 4) = ( –176 , 2)
8 8 8 8 8 18 13 Halla el vector b tal que c = 3 a – b , siendo a (–1, 3) y c (7, –2). 2
(7, –2) = 3 (–1, 3) –
° 7 = –3 – (1/2)b1 8 b1 = –20 ° 1 (b , b ) 8 ¢ ¢ 2 1 2 £ –2 = 9 – (1/2)b2 8 b2 = 22 £
8
b (–20, 22) 8
8
8
14 Dados los vectores a (3, –2), b(–1, 2) y c (0, –5), calcula m y n de modo que: 8 8 8 c = m a + n b. ° 0 = 3m – n (0, –5) = m (3, –2) + n (–1, 2) 8 ¢ £ –5 = –2m + 2n Resolvemos el sistema: Despejando en la primera ecuación, n = 3m, y sustituyendo en la segunda: –5 = –2m + 6m 8 –5 = 4m 8 m =
–5 –15 8 n= 4 4 8
8
15 Expresa el vector a (– 1, – 8) como combinación lineal de b (3, –2) y 8
(
c 4, –
)
1 . 2 8
☛ Calcula m y n tales que a = m b + n c . 8
(
1 (–1, –8) = m (3, –2) + n 4, – 2
)
8
° –1 = 3m + 4n § 1 8 ¢ § –8 = –2m – —n 2 £
Resolvemos el sistema por reducción (por ejemplo).
Unidad 7. Vectores
9
Para ello, multiplicamos la segunda ecuación por 8 (en los dos miembros) y sumamos miembro a miembro las dos: –1 =
3m + 4n
–64 = –16m – 4n –65 = –13m 8 m =
–65 =5 –13
Sustituyendo en una de las dos ecuaciones y despejando n : –1 = 3m + 4n 8 –1 = 3 · (5) + 4n 8 –16 = 4n 8 n = –4 8
8
8
Así, podemos decir: a = 5 b – 4 c
16 ¿Cuáles de los siguientes pares de vectores forman una base? 8 8 8 8 2 ,2 a) u(3, –1), v (1, 3) b) u(2, 6), v 3
( )
8
8
a) Sí, tienen distinta dirección ( u ? k v para cualquier k). Basta con representarlos gráficamente para comprobarlo. 8
8
b) No, pues tienen la misma dirección ( u = 3 v ).
Producto escalar. Módulo y ángulo 17 En una circunferencia de centro O y de radio 2 cm, se inscribe un hexágono regular de vértices A, B, C, D, E, F. Calcula los productos: 8
8
8
8
8
a) OA · OB
8
b) OA · OC 8
c) AB · ED
8
d) BC · EF
8 8 8 8 8 8 1 a) OA · OB = |OA| · |OB | cos (OA, OB ) = 2 · 2 · cos 60° = 2 · 2 · =2 2
( 12 ) = –2
8
8
8
8 (*)
A
b) OA · OC = 2 · 2 · cos 120° = 2 · 2 · – (*)
c) AB · ED = 2 · 2 · cos 0° = 2 · 2 · 1 = 4 (*)
B
60°
F O
OAB es un triángulo equilátero, luego: 8
C
8
|AB | = |OA| = 2 8
E
D
Razonamos igual para |ED |. 8
8
d) BC = – EF (mismo módulo, misma dirección y sentido opuesto) 8
8
Luego: BC · EF = 2 · 2 · cos 180° = 2 · 2 · (–1) = –4
10
Unidad 7. Vectores
UNIDAD 8
8
7
8
18 Dados los vectores x(5, –2), y (0, 3), z (–1, 4), calcula: 8
8
8
8
8
8
8
8
8
a) x · y
8
8
b) x · z
8
c) y · z
a) x · y = (5, –2) · (0, 3) = –6 b) x · z = (5, –2) · (–1, 4) = –5 – 8 = –13 c) y · z = (0, 3) · (–1, 4) = 12
8
8
19 Calcula k para que el producto u · v sea igual a 0 en los siguientes casos: 8
8
a) u(6, k), v (–1, 3) 8
8
8
8
8
8
8
b) u
(
)
8 1 , –2 , v (k, 3) 5
8
8
c) u(–3, –2), v (5, k)
a) u · v = (6, k ) · (–1, 3) = 0 8 –6 + 3k = 0 8 k = 2 b) u · v =
( )
1 k , –2 · (k, 3) = 0 8 – 6 = 0 8 k = 30 5 5
c) u · v = (–3, –2) · (5, k ) = 0 8 –15 – 2k = 0 8 k = –
8
8
15 2
8
20 Dados u(2, 3), v (–3, 1) y w(5, 2), calcula: 8
8
8
a) (3 u + 2 v ) w 8
8
8
8
b) u · w – v · w 8
8
8
c) ( u · v ) w 8 8
8
d) u( v · v ) ☛ a) Halla primero las coordenadas de 3 u + 2 v . 8
8
8
8
8
c) Efectúa u · v . Multiplica el resultado (un número) por el vector w . Obtendrás un vector. 8
8
a) 3 u + 2 v = 3 (2, 3) + 2 (–3, 1) = (6, 9) + (–6, 2) = (0, 11) 8
8
8
(3 u + 2 v ) · w = (0, 11) · (5, 2) = 0 · 5 + 11 · 2 = 0 + 22 = 22 8
8
b) u · w = (2, 3) · (5, 2) = 10 + 6 = 16 ° ¢ 8 8 8 v · w = (–3, 1) · (5, 2) = –15 + 2 = –13 £ 8
8
8
8
8 u · w – v · w = 16 – (–13) = 16 + 13 = 29 8
8
c) u · v = (2, 3) · (–3, 1) = –6 + 3 = –3 8
8
8
( u · v ) w = –3 (5, 2) = (–15, –6) 8
8
d) v · v = (–3, 1) · (–3, 1) = 9 + 1 = 10 8
8
8
u ( v · v ) = (2, 3) · 10 = (20, 30)
Unidad 7. Vectores
11
21 Halla el módulo de cada uno de los siguientes vectores: 8
8
u(3, 2) 8
z
(
√2 √2 2
,
2
)
8
v (–2, 3)
w(–8, –6)
8
8
t (5, 0)
8
r (1, 1)
8
| u | = √32 + 22 = √13 8
|w| = √(–8)2 + (–6)2 = 10 8
| v | = √(–2)2 + 32 — √2 2 8 — + |z| = 2
√( ) ( )
8
| t | = √52 + 02 = 5
| r | = √12 + 12 = √2 8
22 Halla el valor de m para que el módulo del vector u
8
|u| =
√( )
2
3 — 5
= √13 — √2 2 — =1 2
9 16 + m2 = 1 8 + m2 = 1 8 m2 = 25 25
8
(
)
3 , m sea igual a 1. 5 4 m1 = — 5 4 m2 = – — 5 8
23 Calcula x, de modo que el producto escalar8de a (3, –5) y b(x, 2) sea igual 8 a 7. ¿Qué ángulo forman los vectores a y b? (3, –5) · (x, 2) = 7 8 3x – 10 = 7 8 x = 8
8
cos a =
17 3
7 a·b 8 a = 78° 28' 34,6'' 8 = —— —— 8 |a||b| (√ 32 + (–5)2 ) (√ (17/3)2 + 22 )
24 Halla el ángulo que forman los siguientes pares de vectores: 8
8
a) u(3, 2), v (1, –5) 8
8
b) m (4, 6), n (3, –2)
(
8 8 1 c) a (1, 6), b – , –3 2
) 8
8
a) Utilizamos las dos expresiones para calcular u · v: 8
8
8
8
u · v = 3 · 1 + 2 (–5) = –7 8
8
ì
ì
8 8
8 8
u · v = |u| · | v|· cos ( u, v ) = √ 13 · √ 26 · cos ( u, v ) Igualando las dos expresiones, se tiene: ì 8 8
ì 8 8
–7 = √ 13 · √ 26 · cos ( u, v ) 8 cos ( u, v ) =
–7 — — = –0,38 √13 · √ 26
ì 8 8
Luego: ( u, v ) = 112° 22' 48"
12
Unidad 7. Vectores
UNIDAD
7
b) Despejando directamente en la definición: 8
8
8
ì
8
8
8
m · n = |m| · | n | · cos ( m, n ) 8 8
ì
8
m·n 4 · 3 + 6 · (–2) 0 8 cos ( m, n ) = 8 8 = = — — =0 — — |m||n| √52 · √13 √52 · √13 8
8
ì
8
8
8
8
de donde: ( m, n ) = 90° (basta con ver que m · n = 0) ì
8
8
8 8
c) cos ( a, b ) =
a·b –37/2 –1/2 – 18 –1 √2 = =– 8 = — — — = 8 2 |a||b| 37 √ 2 /2 √37 · √37/2 √2
(
)
ì 8 8
Luego: ( a, b ) = 135° 8
25 Dado el vector u(–5, k) calcula k de modo que: 8
8
a) u sea ortogonal a v (4, –2). 8
b) El módulo de u sea igual a √34 . 8
8
8
8
a) u 2 v ò u · v = 0 8 (–5, k) · (4, –2) = 0 8 –20 – 2k = 0 8 k = –10 8
b) | u | = √ (–5)2 + k 2 = √ 25 + k 2 = √ 34 8 25 + k 2 = 34 8 k 2 = 9 8 k = ±3 Hay, pues, dos soluciones. 8
26 Dado el vector u(6, – 8), determina: 8
a) Los vectores unitarios (módulo 1) de la misma dirección que u. 8
8
b) Los vectores ortogonales a u que tengan el mismo módulo que u. 8
c) Los vectores unitarios y ortogonales a u. ☛ Mira el problema resuelto número 4. 8
a) Calculamos: | u | = √62 + (–8)2 = 10 8
Los vectores de la misma dirección que u y de módulo 1 son: 1 3 4 8 v1 = (6, –8) = , – 10 5 5 8
v2 =
( (
1 3 4 (–6, 8) = – , 10 5 5
) )
8
b) Se obtienen permutando las coordenadas de u y cambiando el signo de una de ellas. 8
v 1 = (8, 6)
8
v 2 = (–8, –6)
También se pueden hallar expresando analíticamente las dos condiciones y resolviendo el sistema que obtenemos:
Unidad 7. Vectores
13
8
8
v 2 u 8 (x, y) · (6, –8) = 0 8 6x – 8y = 0 8 x = 8
8y 4 = y 6 3
8
| v | = | u | 8 √ x 2 + y 2 = 10 8 x 2 + y 2 = 100
( 43 y) + y 2
2
16 2 25 2 y + y 2 = 100 8 y = 100 8 y 2 = 36 8 y = ±6 9 9
= 100 8
8 4 6 = 8 8 v 1 (8, 6) 3
• Si y1 = 6 8 x1 =
8
• Si y2 = –6 8 x2 = –8 8 v 2 (–8, –6) c) Teniendo en cuenta a) y b), haremos: 8
v1 =
8
v2 =
( ) ( )
1 4 3 (8, 6) = , 10 5 5
1 4 3 (–8, –6) = – , – 10 5 5
O bien, resolviendo el sistema:
8
8
u 2 v 8 6x – 8y = 0 8 x =
8
( 4y3 ) + y 2
2
=1 8
8y 4y = 6 3
3 4 3 4 8 x1 = · = 5 3 5 5
• Si y2 =
–3 4 –3 –4 8 x2 = · = 5 3 5 5
8
( 45 , 35 ),
8
v2
8
16 2 25 2 25 3 y + y2 = 1 8 y = 1 8 y2 = 8 y=± 9 9 9 5
• Si y1 =
Así, v 1 =
° § ¢ § £
8
|v| = 1 8 √x 2 + y 2 = 1 8 x 2 + y 2 = 1
( ) ( –45 , –35 )
Página 184 PARA RESOLVER 8
8
27 Halla las coordenadas de un vector v(x, y), ortogonal a u(3, 4) y que mida 8 el doble que u. ° § ¢ 8 8 2 2 | v | = 2| u | 8 √ x 2 + y 2 = 2 √ 9 + 16 = 2 √ 25 = 10 8 x + y = 100 § £ Resolvemos el sistema: 8
8
8
8
u 2 v 8 u · v = 0 8 3x + 4y = 0
Despejamos x en la primera ecuación y sustituimos en la segunda:
14
Unidad 7. Vectores
UNIDAD
x=
–4 y 8 3
( –43 y) + y
Si y1 = 6 8 x1 =
2
2
= 100 8
7
16 2 25 2 y + y 2 = 100 8 y = 100 8 y = ±6 9 9
8 –4 · 6 = –8 8 v 1 (–8, 6) 3
8 v1 8
u
8 –4 Si y2 = –6 8 x2 = · (–6) = 8 8 v 2 (8, –6) 3
El problema tiene dos posibles soluciones, tales que: 8
8
v1 = –v2
8
8 v2
8
8
8
8
8
8
28 Dados a(2, 1) y b(6, 2), halla un vector v tal que v · a = 1 y v 2 b. (x, y) · (2, 1) = 1 8 2x + 2y = 1 ° ¢ Resolvemos el sistema: (x, y) · (6, 2) = 0 8 6x + 2y = 0 £ Multiplicamos los dos miembros de la primera ecuación por (–1) y sumamos miembro a miembro: –2x – 2y = –1 6x + 2y = 0 = –1 8 x =
4x
–1 4
Sustituimos en una ecuación, por ejemplo en la segunda, y despejamos la otra incógnita: –1 6 3 3 6x + 2y = 0 8 6 · + 2y = 0 8 2y = = 8 y= 4 4 2 4
( )
8
Así, nuestro vector será: v
8
( –14 , 34 )
8
8
8
29 Siendo u(5, –b) y v(a, 2), halla a y b, sabiendo que u y v son ortogo8 nales y que |v| = √13 . 8
8
8
8
Si u 2 v , entonces u · v = 0 8 (5, –b) · (a, 2) = 0 8 5a – 2b = 0 8
Si | v | = √ 13 , entonces √ a 2 + 22 = √ 13 8 a 2 + 4 = 13 Resolvemos el sistema: a 2 + 4 = 13 8 a = ±3 Entonces: Si a = 3 8 b =
5a 15 = 2 2
Si a = –3 8 b =
Unidad 7. Vectores
5a –15 = 2 2
15
8
(
)
–15 8 , v (3, 2) 2
Luego hay dos posibles soluciones: u 5, 8
(
O bien: u 5,
)
15 8 , v (–3, 2) 2
8
8
8
8
8
8
8
8
30 Dados los vectores a = 2 u –8v y b = –3 u + k v, siendo u = (2, 3) y v = (–3, 0), 8 8 8 halla k de modo que ( a + b) sea ortogonal a ( a – b). 8
8
8
8
☛ Escribe las coordenadas de (a + b ) y (a – b). 8
8
8
8
8
8
8
8
Si ( a + b ) 2 ( a – b ), entonces ( a + b ) · ( a – b ) = 0. Obtendrás una ecuación cuya incógnita es k. 8
8
8
a = 2 (2, 3) – (–3, 0) = (7, 6) ° a + b = (1 – 3k, –3) ° 8 ¢ 8 ¢8 8 b = –3 (2, 3) + k (–3, 0) = (–6 – 3k, –9) £ £ a – b = (13 + 3k, 15) Ahora, como el producto escalar de ambos vectores debe ser 0, por ser ortogonales: (1 – 3k, –3) · (13 + 3k, 15) = 0 8 (1 – 3k) (13 + 3k) + (–3) · 15 = 0 13 + 3k – 39k – 9k 2 – 45 = 0 8 9k 2 + 36k + 32 = 0 k=
=
–36 ± √ 1 296 – 1 152 –36 ± √ 144 = = 18 18 –36 ± 12 = 18
–24/18 = –4/3 = k1 –48/18 = –8/3 = k2
8
8
8
8
8
8
31 Halla el valor que debe tener k para que los8 vectores x = k a + b e y = k a – b 8 sean perpendiculares, siendo a(3/2, 4) y b(5, 0).
° § § § 3 3k 8 ¢ Entonces: y = k , 4 – (5, 0) = – 5, 4k § 2 2 § 8 8 8 8 § Como queremos x 2 y ò x · y = 0 £ 8
x=k
(
( (
3 3k , 4 + (5, 0) = + 5, 4k 2 2
)(
)
) )
(
)(
)
3k 3k 3k 3k + 5, 4k · – 5, 4k = 0 8 +5 – 5 + (4k )(4k ) = 0 8 2 2 2 2
8
16
( ) ( )
10 9k 2 73 2 – 25 + 16k 2 = 0 8 k = 25 8 k = ± (dos soluciones) 4 4 √73
Unidad 7. Vectores
UNIDAD 8
8
7
8
32 Dados los vectores u(k, –6) y v(3, h), calcula k y h de modo que |u| = 10 8 8 y u 2 v. 8
| u | = √k 2 + (–6)2 = 10 8 k 2 + 36 = 100 8 k 2 = 64 8 8 k = ±8 (dos soluciones) 8
8
8
• Si k = 8 8 u (8, –6); u 2 v 8 (8, –6) · (3, h ) = 0 8 24 – 6h = 0 8 h = 4 8
8
8
• Si k = –8 8 u (–8, –6); u 2 v 8 (–8, –6) · (3, h ) = 0 8 –24 – 6h = 0 8 8 h = –4 8
8
8
8
33 Calcula las coordenadas de un vector u tal que |u| = 1 y u · v = 1 siendo 8 v(2, 1). 8
8
u (a, b ) 8 | u | = 1 8 √a2 + b 2 = 1
° Resolvemos el sistema: 8 u · v = 1 8 (a, b ) · (2, 1) = 1 8 2a + b = 1 ¢ £ b = 1 – 2a 8 a2 + (1 – 2a)2 = 1 8 a2 + 1 + 4a2 – 4a = 1 8 5a2 – 4a = 0 8
a=0 8 b=1 4 3 a= 8 b=– 5 5 8
8
Soluciones : u 1(0, 1) y u 2 8
(
4 3 ,– 5 5
8
)
8
34 Expresa los vectores a, b y c como 8 8 combinación lineal de x e y.
8 8
a
8
b
y
8
x
8
c
8
a=–
18 8 x + 2y 2
8
b=
8
8
18 8 x + 2y 2
8
c=
18 8 x–y 2
8
8
35 De los vectores a y b sabemos que |a| = 3 y |b| = 5 y que forman un án8 8 gulo de 120°. Calcula |a – b|. ☛ Mira el problema resuelto número 8. 8
8
8
8
8
8
2 2 Como: v · v = |v| |v| cos 0° = |v| · 1 = |v|
entonces podemos decir que: 8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
|a – b|2 = (a – b) · (a – b) = a · a – 2a · b + b · b = 8
8
8
ì 8 8
8
2 2 = |a| – 2 |a| |b| cos ( a, b ) + |b| =
( 12 ) + 25 = 49
= 32 – 2 · 3 · 5 · cos 120° + 52 = 9 – 30 · – 8
8
Luego: |a – b| = 7 Unidad 7. Vectores
17
8
8
8
8
8
8
8
8
36 Si |u|= 3 y (u + v ) · (u – v ) = –11, halla |v|. 8
8
8
8
8
8
☛ ( u + v ) · ( u – v ) = u · u – v · v = –11. 8
8
8
8
Como u · u = |u|2 = 9, calcula |v|. 8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
2 2 (u + v) · (u – v) = u · u – v · v = |u| – |v| = –11 8
Como |u| = 3, se tiene que: 8
8
8
2 2 32 – |v| = –11 8 |v| = 20 8 |v| = √ 20
8
8
8
8
8
8
8
8
37 Sabiendo que |u| = 3, |v| = 5 y u 2 v, halla |u + v| y |u – v|. 8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
|u + v|2 = (u + v) · (u + v) = u · u + 2u · v + v · v = (*)
8
8
8
8
2 2 = |u| + |v| = 32 + 52 = 34 8 |u + v| = √ 34
(*)
8
8
8
8
u2v 8 u·v=0
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
|u – v|2 = (u – v ) · (u – v) = u · u – 2u · v + v · v = 8
8
8
8
2 2 = |u| + |v| = 32 + 52 = 34 8 |u – v| = √ 34
8 8
8
8
8
8
38 Sea B( x, y) una base ortonormal. Calcula |x + y| y |x – y|. ☛ Mira el problema resuelto número 7. 8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
|x + y|2 = (x + y) · (x + y) = x · x + 2x · y + y · y = |x| + 0 + |y| = 2 8 |x + y| = √2 |x – y|2 = (x – y) · (x – y) = x · x – 2x · y + y · y = |x| – 0 + |y| = 2 8 |x – y| = √2
8
8
8
8
8
8
39 Si |u| = 4, |v| = 3 y |u + v| = 5, ¿qué ángulo forman u y v ? Razonando como en el problema resuelto número 7, llegamos a: 8
8
8
8
8
ì 8 8
8
|u + v|2 = |u|2 + 2 |u| |v| cos ( u, v ) + |v|2 Sustituyendo los valores conocidos: ì 8 8
52 = 42 + 2 · 4 · 3 · cos ( u, v ) + 32 ì 8 8
25 = 16 + 24 cos ( u, v ) + 9 ì 8 8
cos ( u, v ) =
18
ì 25 – 25 8 8 = 0 8 ( u, v ) = 90° 24
Unidad 7. Vectores
UNIDAD
7
8
8
40 Calcula x para que los vectores a(7, 1) y b(1, x) formen un ángulo de 45°. 8
8
8
8
a · b = 7 + x = |a| | b| cos 45° 8 8 7 + x = √ 50 · √ 1 + x 2 ·
√2 8 2
14 + 2x = √1 + x 2 8 10
8 14 + 2x = √ 100 (1 + x 2) 8
2 7+x = √ 1 + x 2 8 49 + x + 14x = 1 + x 2 8 5 25
8
8 49 + x 2 + 14x = 25 + 25x 2 8 24x 2 – 14x – 24 = 0 8 8 12x 2 – 7x – 12 = 0 8 x =
7 ± √ 49 + 576 24
x1 = 4/3 x2 = –3/4
8
8
41 Calcula x para que a(3, x) y b(5, 2) formen un ángulo de 60°. 8
8
8
8
a · b = |a| | b| cos 60° 15 + 2x = √ 9 + x 2 · √ 29 ·
1 8 30 + 4x = √ 29 (9 + x 2) 8 2
8 900 + 16x 2 + 240x = 29 (9 + x 2) 8 13x 2 + 240x – 639 = 0 x= =
–240 ± √ 57 600 + 33 228 –240 ± √ 90 828 = = 26 26 x1 = –2,36 x2 = 20,82
–240 ± 301,4 26
8
42 Halla las coordenadas de cierto vector x, sabiendo que forma un ángulo de 8 60° con a(2, 4) y que los módulos de ambos son iguales. — 8 8 |a| = √20 = |x| ° 8 8 8 8 8 ¢ 8 a · x = |a| |x| cos 60° 8 Sea x(m, n ) £ — — 1 ° § 2m + 4n = √20 · √20 · — 8 2m + 4n = 10 2 8 ¢ — § —— 2 + n 2 = √20 8 m 2 + n 2 = 20 √ m £
Resolvemos el sistema: m=
10 – 4n = 5 – 2n 2
Sustituyendo en la segunda ecuación: (5 – 2n )2 + n 2 = 20 8 25 + 4n 2 – 20n + n 2 = 20 8 n 2 – 4n + 1 = 0 n=
4 ± √ 16 – 4 4 ± 2√3 = 2 2
n1 = 0,27 n2 = 3,73 8
• Si n1 = 0,27 8 m1 = 5 – 2 · 0,27 = 4,46 8 x1 = (4,46; 0,27) 8
• Si n2 = 3,73 8 m2 = 5 – 2 · 3,73 = –2,46 8 x2 = (–2,46; 3,73) Unidad 7. Vectores
19
8
8
43 Determina un vector a que forme con b(–1, –2) un ángulo de 30° y tal que 8
8
|a| = √3|b|. 8 ° –x – 2y = |a8||b | cos 30° 8 8 Sea a (x, y) 8 §¢ § √x 2 + y 2 = √3 · √5 £
( )
° √3 § –x – 2y = √ 3 · √ 5 · √ 5 · 2 8 ¢ § 2 2 £ x + y = 15
(
)
° 15 § –x – 2y = 2 8 ¢ § 2 2 £ x + y = 15
Resolvemos el sistema: x = –2y –
15 2
Sustituyendo en la segunda ecuación:
(4y
2
+
)
225 165 + 30y + y 2 = 15 8 5y 2 + 30y + =0 4 4
20y 2 + 120y + 165 = 0 8 4y 2 + 24y + 33 = 0 –24 ± √ 576 – 528 –24 ± 4 √ 3 √3 = = –3 ± 8 8 2
y=
8
Así: a
(
√3 –3 – √ 3 , –3 + 2 2
)
8
o a=
8
(
√3 –3 + √ 3 , –3 – 2 2
)
8
8
8
44 Dados los vectores u(1, 3) y v(6, 4), halla la proyección de v sobre u. 8
8
8
8
☛ Sabes que u · v = |u| · proyu8 ( v). 8
8
8
8
8
u · v = |u| · (proy. de v sobre u) 8
8
u·v 6 + 12 18 18 √ 10 9 √ 10 = = = (proy. de v sobre u) = 8 = 10 5 |u| √ 10 √ 10 8
8
8
8
8
8
45 Dados8los vectores a(5, 2) y b(4, –3), calcula la proyección de a sobre b y 8 la de b sobre a. 8
8
8 8 8 a · b = |a| · (proy. de b sobre a ) °§ ¢ 8 8 8 8 8 a · b = |b| · (proy. de a sobre b) §£ 8
8
proy. de b sobre a =
8
8
8
8
a·b 20 – 6 14 14 √ 29 = = = 8 29 |a| √ 29 √ 29
a·b 20 – 6 14 = proy. de a sobre b = 8 = 5 |b| √ 25 8
20
8
Unidad 7. Vectores
UNIDAD 8 8
8
8
8
7
8
46 De una base B = {u, v } se sabe que |u| = 2, |v| = 1 y u · v = –1. En esa base 8 8 8 8 las coordenadas de dos vectores son x(1, 2) e y(–1, 1). Calcula x · y. ☛ Mira el problema resuelto número 8. 8
8
8
8
8
x = 1u + 2v = u + 2v 8
8
8
8
8
y = –1u + 1v = –u + v 8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
x · y = (u + 2v) · (–u + v) = –u · u + u · v – 2u · v + 2v · v = 8
8
8
8
= –|u| – u · v + 2|v| = –2 – (–1) + 2 · 1 = 1 8
8
8
47 Dados a(1, 2) y b(5, 5), expresa el vector b como suma de dos vectores: 8 8 uno de la misma dirección que a y otro ortogonal a a. ☛ Mira el problema resuelto número 6. 8
8
8
b = x + y, donde: 8
8
8
8
• x tiene la misma dirección de a 8 x = k a = k (1, 2) = (k, 2k ) 8
8
8
• y 2 a 8 y = h (–2, 1) = (–2h, h ) Entonces: 8
8
(5, 5) = x + y = (k, 2k ) + (–2h, h ) = (k – 2h, 2k + h ) 5 = k – 2h ° k = 3 ¢ 5 = 2k + h £ h = –1 8
8
Los vectores pedidos son x(3, 6) e y(2, –1). 8
8
8
8
8
8
8
8
48 Se sabe que c = a + 2 b y d = 5 a – 4 b son perpendiculares y que a y b 8 8 son unitarios. ¿Cuál es el ángulo que forman a y b? 8
8
8
8
8
8
☛ Si c · d = 0 8 ( a + 2 b ) · (5 a – 4 b ) = 0. 8
8
8
8
8
8
8
8
Si c 2 d 8 c · d = 0 8 (a + 2 b) · (5 a – 4b) = 0 8
8
8
8
8
8
8
8
5a · a – 4a · b + 10b · a – 8b · b = 0 8
8
8
8
Como a y b son unitarios 8 |a| = 1 = |b| 8
8
8
8
8
8
2 2 5 |a| + 6a · b – 8 |b| = 5 + 6a · b – 8 = 0 8
8
a·b=
ì
ì
ì
8 8 8 8 8 8 8 8 –3 –1 –1 = 8 |a| |b| cos ( a, b ) = cos ( a, b ) = 8 ( a, b ) = 120° 6 2 2
8
8
8
8
8
8
8
49 Demuestra que el vector ( b · c ) a – ( a · c ) b es perpendicular al vector c. 8
8
8
8
8
8
8
☛ Debes probar que [( b · c ) a – ( a · c ) b ] · c = 0. Hay que probar que el producto escalar de ambos vectores es igual a 0.
Unidad 7. Vectores
21
• Veamos primero cuáles son las coordenadas del primer vector: 8
8 8
8 8
8
(b · c) a – (a · c) b = (b1c1 + b2c2) (a1, a2) – (a1c1 + a2c2) (b1, b2) =
(
) (
)
= (b1c1 + b2c2) a1, (b1c1 + b2c2) a2 – (a1c1 + a2c2) b1, (a1c1 + a2c2) b2 = = (a1b1c1 + a1b2c2, a2b1c1 + a2b2c2) – (a1b1c1 + a2b1c2, a1b2c1 + a2b2c2) = = (a1b1c1 + a1b2c2 – a1b1c1 – a2b1c2, a2b1c1 + a2b2c2 – a1b2c1 – a2b2c2) = = (a1b2c2 – a2b1c2, a2b1c1 – a1b2c1) • Calculamos ahora:
[(8b · c) a – (a · c ) 8b] · c = 8 8
8
8
8
= (a1b2c2 – a2b1c2, a2b1c1 – a1b2c1) · (c1, c2) = = (a1b2c2 – a2b1c2) c1 + (a2b1c1 – a1b2c1) c2 = = a1b2c2c1 – a2b1c2c1 + a2b1c1c2 – a1b2c1c2 = 0
Página 185 CUESTIONES TEÓRICAS 50 Indica si el resultado de las siguientes operaciones es un número o un vector: 8
8
8
b) ( a · b) c 8
8
8
8
a) 2 a · b 8
8
8
8
8
c) (3 a – 2 b) · c
d) ( a + b) · ( a – b)
a) Número
b) Vector
c) Número
d) Número
8
8
51 Si B ( a, b) es una base de los vectores del plano, señala cuáles de los siguientes pares de vectores pueden ser otra base: 8
8
8
a) ( 3 a, –2 b) 8
8
8
8
8
8
b) ( –a – b, a + b) 8
8
8
c) ( a – b, a + b)
8
8
d) ( a – b, b – a ) 8
8
8
a) Sí, pues no tienen la misma dirección, ya que 3a tiene la dirección de a y –2 b 8 8 8 tiene la dirección de b (que, por ser B (a, b) base, no es la misma). 8
8
8
8
b) No, pues –a – b = –1 (a + b), luego los dos vectores tienen la misma dirección (y sentidos opuestos). c) Sí, pues tienen distinta dirección. 8
a
8
8
8
8
a+b
a–b
8
b
8
8
8
8
d) No, pues tienen la misma dirección al ser a – b = –1 ( b – a).
22
Unidad 7. Vectores
UNIDAD
7
8
8
52 Sean a y b dos vectores no nulos. Indica qué ángulo forman en los siguientes casos: 8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
a) a · b = |a| |b| b) a · b = 0 8
8
c) a · b = –|a| |b| 8
8
d) a · b = 0,5 |a| |b| ì 8
ì 8
8
8
a) cos ( a, b ) = 1 8 ( a, b ) = 0° ì 8
8
8
8
b) a 2 b 8 ( a, b ) = 90° ì 8
ì 8
8
8
c) cos ( a, b ) = –1 8 ( a, b ) = 180° ì 8
ì 8
8
8
d) cos ( a, b ) = 0,5 8 ( a, b ) = 60°
PARA PROFUNDIZAR 8
8
53 Dados los vectores a(2, 6) y b(5, 1), calcula: 8
a) Las coordenadas de un vector unitario de la misma dirección que b. 8
b) Un vector de la misma dirección que b y cuyo módulo sea igual a la pro8 8 8 8 yección de a sobre b. (Vector proyección de a sobre b). 8
8
a) Habrá dos soluciones (v y –v) 8
8
• Si v es vector unitario 8 |v| = 1 8
8
8
8
• Si v es de la misma dirección que b 8 v = k b = (k 5, k ) 1 √ 26 =± √ 25k 2 + k 2 = 1 8 k = ± 26 √ 26 Luego las soluciones son: 8
v=
(
5 √ 26 √ 26 , 26 26 8
)
8
y –v =
(
–5 √ 26 √ 26 ,– 26 26
)
8
a·b 10 + 6 16 16 √ 26 8 √ 26 b) proy. de a sobre b = 8 = = = = 26 13 |b| √ 26 √ 26 8
8 8 √ 26 Luego, |v| = 13 8
8
y v = k b = (5k, k ) 8
Así: v
Unidad 7. Vectores
° § § ¢ § § £
8
8 √ 26k 2 =
8 √ 26 8 8 k=± 13 13
–8 , ( 4013 , 138 ), –v ( –40 13 13 ) 8
23
8
8
54 Sean a y b los vectores que definen los lados de un rombo, partiendo de uno de sus vértices (cada vector determina un par de lados paralelos): 8
8
a) Expresa las diagonales del rombo en función de a y b. b) Demuestra vectorialmente que las diagonales del rombo son perpendiculares. B
8 8 a) AC = 8 a+ b
8
8
a
8 8 8 8 8 BD = b – a = – a + b A
8 8 b) Hay que probar que AC · BD = 0. Veámoslo:
C 8
8
a
b
8 8 8 8 8 8 8 2 8 8 8 8 8 2 AC · BD = ( a + b) · ( b – a) = b · b – a · a = |b| – | a| 8
b
D
8
Como |b| = | a| por ser la medida de los lados, se cumple que: 8 8 AC · BD = 0 8
8
8
8
55 Busca algunos ejemplos con los que se vea que a · b = a · c no implica que 8 8 b = c. 8 c
8
8
8
Considera los vectores a, b y c del dibujo de la derecha: 8
8
8
8
8
8
8
8
8
a · b = | a| · proy. de b sobre a 8
8
a · c = | a| · proy. de c sobre a
b
8
8
8
8
a
8
Como ambas proyecciones coinciden: a · b = a · c 8
8
Y, sin embargo: b ? c 8
8
8
8
8
8
8
56 Prueba, que si a 2 b y a 2 c, entonces: a 2 (m b + n c ), m, n é Á. 8
8
8
Hay que probar que a · (m b + n c ) = 0. Veamos: 8
(*)
8
8
8
8
a · (m b + n c ) = m ( a · b) + n ( a · c)
(*)
Propiedades 6 y 7 del producto escalar. 8
8
8
8
8
8
8
8
Como: a 2 b 8 a · b = 0 a2c 8 a· c=0 8
8
8
8
8
° § § § ¢ § § § £
8
8
8
8
8
8 a · (m b + n c ) = m · 0 + n · 0
8
8
57 Prueba que si a 2 b y a 2 ( b + c ) entonces se verifica que a 2 c . 8
8
8
8
Si a 2 b 8 a · b = 0 ° 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 ¢ 8 a ·c = 0 8 a2c Si a 2 ( b + c ) 8 a · ( b + c ) = a · b + a · c = 0 £
24
Unidad 7. Vectores
UNIDAD
7
Página 185 AUTOEVALUACIÓN 8
8
1. Se consideran los vectores u(–2, 6) y v(1, –2). 8
8
Calcula u + 2 v y
18 8 u – 3v gráficamente y utilizando coordenadas. 2
8
2v
8
8
u + 2 v = (–2, 6) + 2(1, –2) =
8
u
8
= (–2, 6) + (2, –4) = (0, 2)
8
u + 2v
18 1 8 u – 3v = (–2, 6) – 3(1, –2) = 2 2
8
–3v 8
= (–1, 3) – (3, –6) = (–4, 9)
8
(1/2)u – 3v
8
(1/2)u
8
8
2. Sean u y v dos vectores unitarios que forman un ángulo de 60°. Calcula: 8
8
8
8
8
a) u · v
8
8
8
a) u · v = |u||v| cos 60° = 1 · 1 · 8
8
b) (3u ) · (–2 v )
8
8
8
c) proy u8 (u + v )
1 1 = 2 2
8
b) 3 u · (–2 v ) = –6( u · v ) = –3 8 8
8
c) proy 8u ( u + v ) =
8
8
8
8
8
8
u · ( u + v) u· u+u· v 1 3 8 8 8 = = |u|2 + u · v = 1 + = 8 2 2 |u| 1 8
3. Expresa el vector a(–1, –9) como combinación lineal de la base B = { (–2, 3), (–1, 5)}. (–1, – 9) = k (–2, 3) + s (–1, 5) = (–2k – s, 3k + 5s ) –1 = –2k – s ° s = 1 – 2k ¢ –9 = 3k + 5s £ –9 = 3k + 5(1 – 2k ) 8 –9 = –7k + 5 8 k = 2 s = 1 – 4 = –3 Por tanto: (–1, –9) = 2(–2, 3) – 3(–1, 5) 8
8
8
a = 2u – 3 v
Unidad 7. Vectores
25
8
8
4. Consideramos los vectores u (0, 2) y v (1, √3 ). Calcula: a) Su producto escalar. b) El módulo de ambos vectores. c) El ángulo que forman. 8
8
a) u · v = (0, 2) · (1, √3 ) = 0 · 1 + 2 · √3 = 2√3 8
b) | u | = √02 + 22 = 2 8
|v | =
—
√12 + √3 2
=2
8
ì
8
u·v 2 √3 √3 = = 8 8 2 |u| ·| v| 2 · 2
8 8
c) cos ( u, v ) =
( )
ì
√3
8 8
( u, v ) = arc cos
2
= 30°
8
5. Sea u(–3, k), calcula k de forma que: 8
8
a) u sea ortogonal a v(4, – 6). 8
b) El módulo de u sea igual a 5. a) El producto escalar de dos vectores ortogonales es igual a 0. 8
8
8
8
u2v ï u·v =0
8
8
u · v = (–3, k ) · (4, –6) = –12 – 6k = 0 8 k = –2 8
b) | u | = √9 + k 2 = 5 8 9 + k 2 = 25 8 k = ±4 8
8
6. Determina las coordenadas de un vector a (x, y) que forme con el vector v (–1, 0) un ángulo de 60° y cuyo módulo sea 2. 8
ì 8 8
cos ( a, v ) = cos 60° =
8
a·v 1 –x = 8 8 = 8 x = –1 2 2·1 |a| ·| v|
8
| a | = √x 2 + y 2 = √1 + y 2 = 2 8 1 + y 2 = 4 8 y 2 = 3 8 y = ± √3 —
8
° a (–1, √ 3 ) — Hay dos soluciones para el vector a : ¢ 8 £ a (–1, –√ 3 ) 8
8
8
7. Obtén un vector u(x, y) ortogonal a v(8, 6) y cuyo módulo sea la mitad del 8 de v. 8
8
8
8
u2v ï u·v =0 8
| u | = √x 2 + y 2
26
8
| v | = √64 + 36 = 10
Unidad 7. Vectores
UNIDAD
7
(x, y) · (8, 6) = 8x + 6y = 0 1 8 | v | 8 √x 2 + y 2 = 5 8 x 2 + y 2 = 25 2
8
|u | =
Resolvemos el sistema: 3 –— 8x + 6y = 0 ° x = 4 y ¢ 25 x 2 + y 2 = 25 £ 9 2 — y + y 2 = 25 8 — y 2 = 25 8 y 2 = 16 8 y = ±4 16 16 y = 4 8 x = –3 y = –4 8 x = 3 8
8
8
Hay dos soluciones para u : u (–3, 4); u (3, –4) 8
8
8
8
8. Calcula la proyección de v sobre u, siendo u(2, 0) y v(–3, –1). 8
8
u·v –6 + 0 = = –3 8 2 |u|
8
proy 8u v =
8
8
9. Sean a y b dos vectores unitarios que forman un ángulo de 120°. 8
8
8
8
Calcula |a + b| y |a – b|. 8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
| a + b |2 = ( a + b ) · ( a + b ) = a · a + 2 a · b + b · b = 8
ì
( )
8
8 8
= | a |2 + 2| a || b | cos ( a, b ) + | b |2 = 1 + 2 · –
1 +1= 2
8
8
= 1 – 1 + 1 = 1 8 | a + b| = 1 8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
| a – b |2 = ( a – b ) · ( a – b ) = a · a – 2 a · b + b · b = 8
ì 8 8
8
( )
= | a |2 – 2| a || b | cos ( a, b ) + | b |2 = 1 – 2 · – 8
1 +1= 2
8
= 1 + 1 + 1 = 3 8 | a – b | = √3
Unidad 7. Vectores
27