11
Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 1
PÁGINA 214 O PERACIONES CON ÁNGULOS 1
Efectúa las siguientes sumas: a) 15° 13' + 35° 23' b) 18° 50' + 22° 15' c) 25° 17' + 54° 40' + 13° 54' a) 50° 36'
2
3
4
5
b) 41° 5'
c) 93° 51'
Resuelve estas restas: a) 181° 19' – 121° 52'
b) 143° 12' – 97° 24'
a) 59° 27'
b) 45° 48'
Haz los productos siguientes: a) (58° 14') · 3 c) (62° 12') · 7
b) (37° 43') · 5 d) (5° 58') · 2
a) 174° 42' c) 435° 24'
b) 188° 35' d) 11° 56'
Resuelve estas divisiones: a) (277° 34') : 11 c) (127° 55') : 5
b) (201° 52') : 8 d) (174° 30') : 6
a) 25° 14' c) 25° 35'
b) 25° 14' d) 29° 5'
Halla el complementario de: a) 45° 13' b) 70° 52' a) 90° – 45° 13' = 44° 47° b) 90° – 70° 52' = 19° 8'
6
Halla el suplementario de: a) 93° 15' b) 15° 02' a) 180° – 93° 15' = 86° 45' b) 180° – 15° 02' = 164° 58'
7
Halla en grados y minutos el ángulo interior de un heptágono regular. 5 · 180° = 128° 34,29' 7
Unidad 11. Rectas y ángulos
11
Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 2
C ONSTRUCCIONES CON REGLA, ESCUADRA Y COMPÁS 8
Construye un ángulo de 60°.
60°
9
Construye un triángulo que tenga los tres ángulos de 60°.
60°
60°
10
60°
Construye un triángulo cuyos ángulos midan 60°, 90° y 30°.
30° 60° 90°
11
Construye un triángulo con ángulos de 45°, 45° y 90°.
45° 90°
12
45°
Construye un ángulo de 120° y otro de 150°.
120°
Unidad 11. Rectas y ángulos
150°
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Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 3
13
Traza un segmento y construye su mediatriz. ¿Qué propiedad tienen sus puntos?
P A
B
Todos los puntos, P, de la mediatriz equidistan de los extremos del segmento: — — PA = PB
14
Traza un ángulo y construye su bisectriz. ¿Qué propiedad tienen sus puntos? r P
s
Todos los puntos, P, de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo: dist (P, r) = dist(P, s )
R ELACIONES ANGULARES 15
Calcula el valor del ángulo o de los ángulos que se piden en cada figura: a)
37° ^
A
b)
^
^
^
N
B^ C
M
132°
c)
d) ^
A
26° 37°
^ ^
P Q
ì a) A = 180° – 37° = 143° ì b) M = 180° – 132° = 48° ì c) A = 180° – 90° – 37° = 53° ì ì d) P = Q = 180° – 26° = 77° 2
Unidad 11. Rectas y ángulos
ì B = 37° ì N = 132°
ì C = 37°
11
Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 4
16
Calcula el valor de los ángulos desconocidos. a)
b)
^
A
120°
120° ^
^
71°
N
P
c)
d) ^
^
B
A
^
N
^
C
^
26°
e)
M
35°
^
P
f)
^
^
M
B
^
A
^
N
ì a) A = 360° – 90° – 90° – 71° = 109° ì ì b) P = N = 360° – 120° – 120° = 60° 2 ì ì ì c) B = 26°; A = C = 180° – 26° = 154° ì ì ì d) N = 35° = 17° 30'; M = 180° – 35° = 145°; P = 90° – 17° 30' = 72° 30' 2 ì ì e) A = 3 · 180° = 108°; B = 360° = 72° 5 5 ì ì f ) M = N = 90° + 45° = 135°
17
Halla el valor de los ángulos indicados. a)
b) ^
^
B
50°
110°
A
c)
d)
^
C
^
B
^
C
e)
^
^
A
D
160°
f)
63° ^
E ^
D
Unidad 11. Rectas y ángulos
^
A
^
C
^
B
40°
11
Soluciones a los ejercicios y problemas ì a) A = 110° = 55° 2 ì ì c) C = D = 90°
ì b) B = 50° = 25° 2 ì ì ì d) A = B = C = 160° = 80° 2
ì ì e) D = 2 · 63° = 126°; E = 63°
ì ì ì f ) A = B = 2 · 40° = 80°; C = 40°
PÁGINA 215 18
Averigua cuánto mide el ángulo de un pentágono regular contestando a las siguientes preguntas:
a) ¿Cuánto mide el ángulo central? b) Por tanto, ¿cuánto mide el ángulo señalado en rojo? c) Por tanto, ¿cuánto mide el ángulo del pentágono? a) 360° = 72° 5
19
b) 180° – 72° = 54° 2
c) 2 · 54° = 108°
El triángulo I es equilátero. Los triángulos II son isósceles. a
I
a
a
II ^
C
a
a
II
^
A
^
B a
ì ì ì Halla la medida de los ángulos A , B y C.
ì Los ángulos del triángulo equilátero I miden 60°. Por lo que el ángulo D medirá: 90° – 60° = 30°. ì Así: A = 180° – 30° = 75° 2 ^ ì D B = 360° – 2 · 75° – 60° = 150° ì ^ C = 180° – 150° = 15° ^ ^ A 2 B C
Unidad 11. Rectas y ángulos
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11
Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 6
S IMETRÍAS 20
Observa las letras del abecedario:
A H Ñ U
B I O V
C J P W
D K Q X
E R Y
F M S Z
G N T
Di cuáles no tienen ejes de simetría (hay 10), cuáles tienen un eje de simetría (hay 13), cuáles tienen dos (hay 3) y cuál tiene infinitos ejes de simetría. Dibuja cada una de ellas en tu cuaderno señalando los ejes que tenga. No tienen ejes de simetría: F, G, J, N, Ñ, P, Q, R, S, Z. Tienen un eje de simetría: A, B, C, D, E, K, L, M, T, U, V, W, Y. Así:
A
B
C
D
E
K
M
T
U
V
W
Y
Tienen dos ejes de simetría: H, I, X. Así:
H
I
X
La O tiene infinitos ejes de simetría. Todas las rectas que pasen por el centro de la circunferencia son ejes de simetría.
21
Completa cada figura para que sea simétrica respecto del eje señalado.
Unidad 11. Rectas y ángulos
11
Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 7
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Completa la siguiente figura para que tenga los dos ejes de simetría que se indican:
e1
e1
e2
e2
23
Imagina que pones un espejo sobre la línea de puntos de las siguientes figuras:
a
b
c
Dibuja en tu cuaderno lo que crees que se verá mirando por cada una de sus dos caras. ¿Cómo hay que situar el espejo en cada figura para que se vea lo mismo por las dos caras? a)
b)
c)
Unidad 11. Rectas y ángulos
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Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 8
Para que se vea lo mismo por las dos caras, hay que situar el espejo sobre alguno de los ejes de simetría de cada figura: a)
e1
b) e2
e2 e3
24
c)
e1
e3
e4
e2
Vamos a obtener figuras mirando un trozo de esta figura F con un espejo: F
Por ejemplo, para obtener esta hemos de situar el espejo así: F
Pero, ¡atención!, no tenemos un espejo en la mano. Tienes que imaginártelo. Indica cómo hay que situar el espejo sobre F para visualizar cada una de las siguientes figuras:
A
B
C
D
E
P M
N
C
B A
D
E N
Unidad 11. Rectas y ángulos
M
P