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Ondas el´asticas en una barra y en una columna de aire Steffanny Fernandez Chica schica@uninorte.edu.co Darwin Rafael Pico Ripoll dpico@uninorte.edu.co
I.
´ O NDAS EL ASTICAS EN UNA BARRA
Cuando tenemos una barra y ejercemos alguna pertubaci´on sobre uno de sus extremos, se crean ondas el´asticas que se propagan en ella. Analizando ciertos fen´omenos que ocurren en la barra asociados a la perturbaci´on que se hace y teniendo en cuenta algunas consideraciones, podemos describir las caracter´ısticas y la forma en que estas ondas se relacionan con las propiedades de la barra. Para hacer este an´alisis consideremos primero una barra de seccion transversal A, sometida a una fuerza F ejercida sobre su eje. Si tomamos una porci´on de barra, entonces tendremos que sobre e´ sta se ejercen dos fuerzas que van sobre su eje, una que es la tensi´on ejercida por la parte de la barra que est´e a la derecha de nuestra porci´on, y la otra fuerza es la tensi´on ejercida por la parte que e´ ste a la izquierda, ambas fuerzas son de igual magnitud y sentidos opuestos.
El esfuerzo normal o tensi´on δ sobre una porci´on de la barra se define como la fuerza por unidad de a´ rea que est´a ejercida perpedicularmente a la secci´on transversal de barra en ambos sentidos. Por tanto: F (1) A Cuando se ejercen estas fuerzas, cada porci´on de la barra experimenta un desplazamiento ξ . Si este desplazamiento es el mismo en cada punto, entonces no habr´a deformaci´on, pero si e´ ste cambia de un punto a otro, entonces ´ la deformaci´on ξ sera una funcion de x. Este u´ ltimo es el caso que nos interesa para hacer nuestro an´alisis. Considerando dos secciones de la barra A y A’, como se ilustra en la figura I,separadas por una distancia dx, δ=
Fig. 1. secci´on transversal de barra
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cuando se ejerzan las fuerzas, la secci´on A se desplazar´a a la izquierda ξ y la secci´on A’ se desplazar´a a la derecha ξ ’. Entonces la separaci´on entre dichas secciones ser´a: dx + (ξ − ξ 0 ) = dx + dξ
,donde dξ = (ξ − ξ 0 ) Por tanto si ∈ es la deformaci´on unitaria normal, es decir, la deformaci´on por unidad de longitud a lo largo del eje de la barra, entonces ∈= dξ/dx (2) , puesto que dξ es la deformaci´on para la longitud dx. Entre el esfuerzo normal δ y la deformaci´on unitaria ∈ de la barra existe una relaci´on, llamada ley de hooke que enuncia lo siguiente: ’dentro del l´ımite de elasticidad del material, el esfuerzo es proporcional a la deformaci´on unitaria normal’. es decir, δ=Y ∈
(3)
,donde Y , la constante de proporcionalidad, es el m´odulo de elasticidad de Young. La ley de Hooke sirve para hacer aproximaciones de estas ondas el´asticas, sin embargo, falla cuando las deformaciones son muy grandes y las tensiones tambi´en. De las ecuaciones 1, 3, 2, despejando F podemos establecer la siguiente relaci´on: dξ F =YA (4) dx Si tenemos una barra o alambre en equilibrio con un extremo fijo y se le aplica una fuerza F en el extremo libre, entonces la fuerza sobre cada porci´on debe ser la misma e igual a la fuerza F. Entonces si hallamos dξ de la ecuaci´on 4, integrando y teniendo a F como constante obtenemos: Zξ
F dξ = YA
0
Zx
dx
o
ξ=
F x. YA
0
La deformaci´on en el extremo libre de la barra, se obtiene haciendo x = l, donde l es la longitud de la barra, para este caso tenemos l = F L/Y A. Con esta relaci´on podemos medir de una forma experimental el m´odulo de Young. Pero cuando la barra no est´a en equilibrio la fuerza no es la misma en cada porci´on de e´ sta. Si tenemos una secci´on de barra como dela de la figura I, que es de espesor dx, la cara A de la secci´on est´a sometida a una fuerza F que tira a la izquierda, ejercida por la parte de la barra que esta del lado izquierdo, y la cara A’ est´a sometida a una fuerza F’, que tira hacia la derecha y es ejercida por la parte a la derecha de la secci´on. La fuerza neta sobre la porci´on ser´a F 0 − F = dF = δf δx dx hacia la derecha. Si consideramos ρ, como la densidad lineal de masa de la barra, entonces la masa de la secci´on es dm = ρAdx, y su aceleraci´on ser´a ∂ 2 ξ/∂t2 . Al aplicar ley de Newton, Fuerza = masa x aceleraci´on, entonces obtendremos: δF dx = (ρAdx) δx
o
δF ∂2ξ = ρA 2 δx ∂t