Péndulo Físico Steffanny Fernández Chica schica@uninorte.edu.co Darwin Rafael Pico Ripoll dpico@uninorte.edu.co 12th September 2008 Abstract En nuestra práctica de laboratorio descrita a continuación, analizamos las oscilaciones armónicas del péndulo físico, determinando experimentalmente los períodos de oscilación y los momentos de inercia. El período de oscilación se calcula mediante gráficas de posición angular contra tiempo obtenidas con ayuda del software Data Studio y un montaje que consiste en un sensor de movimiento rotacional conectado a una interfaz y fijado en la parte superior de un soporte universal, al cual se le va atornillando una varilla homogénea con orificios igualmente espaciados, comenzando desde el primer orificio, siguiendo con el segundo y así sucesivamente hasta completar 12 ensayos. La gráfica se genera al colocar a oscilar la varilla un ángulo pequeño, aproximadamente 15º. Con esta experiencia se pudo ver claramente una característica importante del péndulo como lo es la dependencia funcional del valor del período con la distancia entre el eje de rotación y el centro de masa. Abstract In our practice laboratory described below, we analyzed harmonic oscillations of the pendulum physical, determining experimentally periods of oscillation and moments of inertia. The period oscillation is calculated using graphical angular position against time obtained with the help of software Data Studio and a montage consists of a rotational motion sensor connected to an interface and set at the top of a universal support, which is will screwing a rod with holes equally homogenous spaced, starting from the first hole, along with second and so on until completing 12 trials. The graph is generated by placing the rod to oscillate a small angle, approximately 15 º. With this experience could clearly see a feature important of the pendulum as it is the functional unit of value period with the distance between the axis of rotation and center mass.
Fundamentación Teórica Un péndulo Físico es un cuerpo de masa m, suspendido de un eje de rotación que está a una distancia d de su centro de gravedad, capaz de pivotear sin fricción alrededor de dicho eje, como se ilustra en la siguiente figura. 1
Figure 1: Péndulo Físico El momento de inercia del cuerpo alrededor del eje de rotación es I. En la posición de equilibrio, el centro de gravedad está directamente abajo del pivote; en la posición mostrada en la figura, el cuerpo se ha desplazado un ángulo θ respecto a la posición de equilibrio. Cuando el cuerpo se desplaza como se muestra, el peso causa un momento de torsión de restitución que tiende a hacer girar el péndulo en dirección contraria a su desplazamiento angular θ y de ésta forma llevar al péndulo de nuevo a su posición de equilibrio, posición que no logra obtener debido a su inercia. La ecuación de movimiento que describe ésta situación física es la siguiente: P τo = −(mg)(d sin θ) = Iα Esta ecuación la podemos expresar en forma de ecuación diferencial: d2 θ dt2
+
mgd I
sin θ = 0
Esta ecuación diferencial no es lineal , por lo que no corresponde a la ecuación diferencial de un oscilador armónico simple. Pero, si θ es pequeño, podemos aproximar sin θ → θ , con θ en radianes y el movimiento es aproximadamente armónico simple. Entonces, d2 θ mgd + θ=0 (1) dt2 I La frecuencia angular ω, está dada porr mgd ω= (2) I La frecuencia f es 1/2π veces esto, y el s período T es T = 2π
I mgd
(3)
La ecuación (3), permite calcular el momento de inercia I del cuerpo alrededor de un eje del cual es suspendido para que oscile libremente, a partir de T , la masa del cuerpo m y la distancia d del eje al centro de gravedad. 2
En nuestra experiencia, utilizamos una varilla delgada , homogénea, larga en comparación con su anchura y grosor como péndulo físico, como la mostrada en la figura 3. en la que tiene pequeños orificios a lo largo de su eje de simetría a intervalos regulares.
Figure 2:
Figure 3: Varilla delgada de longitud L. (a) Vista frontal. (b) Vista lateral. La distancia entre el punto de suspensión y el extremo superior es a. La distancia entre el punto de suspensión y el centro de masa es d. El momento de inercia de una varilla delgada de masa M y longitud L respecto a 1 un eje perpendicular que pase por su centro de masa es ( 12 )M L2 . Ésto se puede demostrar fácilmente tomando un elemento de longitud dx, como se ilustra en la figura 2. La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x + dx es: dm =
M L dx
Luego, el momento de inercia de la varilla es: L
R2 −L 2
M 2 L x dx
=
1 12
M L2
1 Io = ( 12 )M L2
Aplicando el teorema de los ejes paralelos (teorema de Steiner), podemos calcular el momento de inercia de la varilla respecto de cualquier otro eje perpendicular a la misma. Si d es la separación entre los dos ejes, I = Io + M d2 = ( 3
1 )M L2 + M d2 12
(4)
Así, el momento de inercia cuando la varilla está suspendida de un punto O situado a una distancia a de su extremo es: I=
M L2 12
+ M ( L2 − a)2
Resolviendo el cuadrado, simplificando y organizando términos tenemos: 2 I = M L3 + a(a − L) Se puede demostrar que el período teórico de una varilla suspendida en la forma indicada en la figura 3 oscilando con amplitudes está dada por: spequeñas 2 1 L T = 2π +d (5) g 12d Éste último resultado se obtiene al sustituir la ecuación (4) en (3), simplificar y organizar términos. Esto puede escribirse en forma similar a la ecuación que nos dá el período de un péndulo simple: q T = 2π kg Donde hemos llamado k=
L2 12d
+d
A k se le denomina longitud del péndulo simple equivalente. El centro de masa de un sistema es un punto que cumple que P cuando la fuerza neta sobre el sistema y la masa de éste P sean respectivamente, F y M , entonces F
la aceleración de este punto será a = M . En general la posición del centro de masas para un sistema de n particulas es: P P m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 + ... + mn xn mi xi mi xi xcm = = = m1 + m2 + m3 + ... + mn mi M ,donde xi es la coordenada x de la i-ésima partícula. Las coordenadas en y y en z del centro de masa se pueden hallar de la misma forma: P P mi zi mi yi ycm = zcm = M M
Metodología de Desarrollo Equipos y Materiales – Interfase Pasco – Sensor de movimiento rotacional – Varilla homogénea con orificios igualmente espaciados – Base y soporte – Balanza – Cinta métrica 4
Procedimiento 1. Conecte la interfase ScienceWorkshop a la PC. Seguidamente encienda primero la interfaz y luego el PC. 2. Configurar el sensor de movimiento rotacional así (Ajuste la frecuencia del sensor de movimiento rotacional a 20 Hz, las vueltas por división 1440 y el convertidor lineal en el bastidor). 3. Conecte el sensor de movimiento rotacional a los canales 1 y 2 de la interfaz, como se muestra en le figura 4.
Figure 4: Montaje 4. Instale el sensor de rotación en la barra vertical y después atornille la varilla al sensor como se muestra en la figura 4. 5. Abrir el programa DataStudio. 6. Levantar la varilla un ángulo pequeño, aproximadamente 15º, soltarlo y dar Inicio al mismo tiempo en la barra de herramientas. 7. En pantalla del monitor aparecerá la grafica de posición angular contra tiempo. Mida en ella el período entre dos picos consecutivos, utilizando la herramienta inteligente y anote sus datos en la tabla 1. 8. Como los orificios están espaciados igualmente en la varilla, cada 4 centímetros, puede obtener el valor del brazo de giro y anotarlo también en la tabla 1. 9. Repita el procedimiento anterior soltando la varilla del sensor y volviéndola a atornillar en el siguiente orificio hasta completar 12 ensayos para llenar completamente las casillas de la tabla 1. 10. Mida las dimensiones de la platina que actuó como péndulo físico y su respectiva masa. 5
Análisis de resultados 1. Hallar el período de oscilación de cada una de las gráficas posición contra tiempo, obtenidas de los seis ensayos del numeral 7 del Procedimiento. 2. Registre los datos experimentales obtenidos en la siguiente tabla:
Masa del péndulo(M)= 0.1542 Kg Longitud del péndulo(L)= 100.4 cm 3. Calcule teóricamente el período de oscilación para un brazo de giro específico y compárelo con el correspondiente valor experimental.¿Cuál es la diferencia porcentual? Llevar todos los fundamentos teóricos a la práctica no siempre da el resultado que se espera, muchas veces los valores que obtenemos en la práctica se alejan relativamente de lo que nos dice la teoría, esto sucede debido a diversos factores que para la formulación de ésta son despreciados, no se tienen en cuenta muchas veces. Situaciones como la conservación de la energía en los sistemas sólo se pueden apreciar realizando experiencias con ciertas condiciones particulares. A continuación veremos qué tanto se puede acercar las predicciones que hace la teoría para el movimiento oscilatorio de un cuerpo, en particular lo que se conoce como un péndulo físico, modelado con ciertas condiciones en el laboratorio. Hagamos una comparación entre los valores teórico y experimental para el período de oscilación de nuestra barra con respecto a un brazo de giro de 46.2 cm.Si remplazamos los valores de masa, 0.1542 kg, gravedad, 9.8 sm2 y brazo de giro, 46.2 cm, en la ecuación 3 , tendremos el valor que esperariamos obtendrer de las gráficas, este valor es: s 0.0458kg · m2 = 1.6123s T = 2π (0.1542kg) 9.8 sm2 (0.46m) , mientras que tomando los valores de la gráfica de data studio haciendo un ajuste sinusoidal obtenemos un valor para el período de T = 1.63s. Entonces el error que hemos tenido al realizar nuestra experiencia para el período ha sido de:
1.6123 − 1.63
× 100% = 1.0978% E=
1.6123 4. ¿Cómo cambia el período de oscilación cuando aumentamos el brazo de giro d?
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Figure 5: gráfica de T en función de d, tomando d = 0 en el centro de masas del cuerpo rígido y distintos valores de d a lado y lado de dicho centro La variación que se da en el período de oscilación cuando se aumenta el brazo de giro se puede observar en la figura 5. Como puede verse claramente en la figura, la relación entre el período de oscilación T y el brazo de giro d no es lineal, y se presentan dos mínimos locales, que se pueden calcular al derivar parcialmente T con respecto a d de la ecuación (5) y evaluar en ese punto. De la gráfica también podemos darnos cuenta que cuando d = 0, matemáticamente T tiende a infinito, ésto, físicamente sucede debido a que la varilla, en nuestro caso, gira por su centro de gravedad, o en otras palabras, el brazo de giro, es decir, la distancia del eje de rotación al centro de gravedad es cero. Experimentalmente, al colocar a girar la varilla por el centro de gravedad, se obtuvo el gráfico de posición angular contra tiempo representado en la figura 6.
Figure 6: Posición angular vs tiempo. Eje de rotación: c.g. Ésta gráfica, en la primera parte (intervalo donde se puede tomar como una gráfica cuadrática), muestra lo antes expuesto teóricamente, luego, 7
en la segunda parte, vemos pequeñas oscilaciones que se dan devido a la resistencia del aire, y describe un movimiento oscilatorio subamortiguado, en donde la varilla oscila con amplitud constantemente decreciente, lo que indica, que oscilará hasta detenerse en cierto tiempo determinado. Concluimos que, al aumentar el brazo de palanca desde el centro de masa hasta el mínimo local, el período va decreciendo y a partir del mínimo local, el período va aumentando a medida que aumenta el brazo de giro. • 5. ¿El período del péndulo se incrementa si aumentamos la masa? Si a la varilla se le coloca una masa adicional en forma de disco, la ecuación (3) se convierte en s T = 2π
I + Ido M gd
(6)
Donde I e Ido son los momentos de inercia de la barra y de la masa adicional respecto a un eje de rotación respectivamente y M es la masa total del sistema. Aplicando el teorema de los ejes paralelos, la ecuación anterior se transforma en s 1 mvarilla L2 + mvarilla d2 + 21 mdisco r2 + mdisco d2 T = 2π 12 (7) M gd s T = 2π
1 2 12 mvarilla L
+ 12 mdisco r2 (mvarilla + mdisco )d2 + (mvarilla + mdisco )gd (mvarilla + mdisco )gd s 1 Io + Idisco T = 2π +d g Md
(8)
(9)
Ya habíamos visto anteriormente, por la ecuación (5), que el período de un cuerpo, en este caso de una varilla de masa M y longitud L, que pivotea en un eje de rotación a una distancia d de su centro de gravedad, no depende de su masa M , sino sólo de la longitud L y el brazo de giro d. Ahora, si le colocamos una masa adicional, se obtiene la ecuación (9) para el período. Si utilizamos para los ensayos una misma masa agregada y variamos el brazo de giro, vemos entonces que, el período va a depender es del brazo de giro d, por lo que no va a ser una relación lineal (vea pregunta 4 del presente informe). Experimentalmente se obtuvo los siguientes resultados a partir de las gráficas mostradas en las figuras 7, 8 y 9:
8
Figure 7: Posici贸n angular vs tiempo. (ensayo 10)
Figure 8: Posici贸n angular vs tiempo. (ensayo 7)
Figure 9: Posici贸n angular vs tiempo. (ensayo 3)
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• 6. ¿Cómo hallarías el momento de inercia de un cuerpo irregular? Necesitaríamos conocer su centro de masa, saber dónde está ubicado, lo cual podríamos hacer por medio del método ensayo y error, probando colgar el cuerpo de un pivote varias veces, y mirar aquel punto en el cual colgándolo si lo colocamos en posición horizontal el cuerpo queda en equilibrio, esto resultaría un poco tedioso y muy ineficiente. Otro método que podríamos usar es el siguiente, teniendo en cuenta que el objeto sea plano, entonces, basta suspenderlo de dos puntos cualesquiera y marcar sobre el mismo las direcciones de las verticales que pasan por los puntos de suspensión. La intersección de dichas rectas determina el centro de masa. Conociendo ya este punto colgaríamos el cuerpo en otro cualquiera , mediríamos la distancia que hay entre las rectas verticales que pasan por estos puntos, lo cual sería el brazo de giro. Luego, con un ángulo inicial de no mas de 15 grados, lo pondríamos a oscilar conectado a un sensor de rotación previamente conectado a una interfaz que a su vez está conectada directamente al PC, para obtener una gráfica de desplazamiento angular contra tiempo, hacerle un ajuste sinusoidal y de allí tomar el valor del período. Y de esta forma teniendo el valor del periodo podríamos utilizar la ecuación 3, remplazar los anteriores valores y despejar de ahí el momento de inercia .Entonces, T2 (mgd) I= 4π 2 Este momento de inercia que hemos hallado es con respecto a un eje diferente al del centro de masa, para buscar este último nos podemos valer del teorema de Steiner o de los ejes paralelos • 7. ¿Cómo se comportaría el péndulo físico para ángulos grandes? La ecuación (1), se obtuvo a partir de una aproximación cuando θ → 0, por lo que tratamos el movimiento del péndulo físico como un MAS. Sin embargo, si θ ya no es pequeño, la ecuación del movimiento es NO lineal, y no podemos referirnos a un movimiento armónico simple. Entonces, podemos expresar el período como una serie infinita, por lo que, será mayor o igual al período con amplitud angular pequeña. • 8. ¿Qué sugerencias puede hacer de este experimento? Tal vez para obtener una mayor precisión en los datos experimentales, hacer que la práctica sea mucho mas parecida a la teoría y poder observar de forma más exacta las características del péndulo físico era necesario tener más cuidado en ciertos aspectos, por ejemplo, tener seguridad en el ángulo inicial con que se dejaba caer la barra, pues el que la barra tenga un movimiento armónico simple depende mucho de esto, pues, es necesario que el ángulo sea menor de quince grados para poder hacer la aproximación del seno al ángulo. En general, los equipos eran muy buenos, se obtuvieron buenas gráficas, la friccion entre la barra y el pivote no afectó mucho los
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resultados. Se puede decir que se cuenta con los instrumentos necesarios para hacer esta experiencia.
References [1] SEARS. ZEMANSKY. YOUNG. FREEDMAN. Física Universitaria. 11ª Ed. Vol. 1. Pearson [2] SERWAY. JEWETT. Física Para Ciencias e Ingeniería. Vol. 1. 6ª Ed. Mc Graw Hill [3] http://www.fisicarecreativa.com/guias/pendulo2.pdf [4] http://www.unalmed.edu.co/fisica/.html [5] http://www.uclm.es/profesoradO/ajbarbero/uclm.htm [6] Guía de laboratorio. Universidad del Norte. Barranquilla, Colombia
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