Probabilidad Introducción a los Espacios de Probabilidad, Primera parte STELLA OLIVERO MÁRQUEZ
Introducción: Azar y Necesidad
Si alguien pudiera predecir el futuro, ya habría acumulado mucha riqueza con ese poder y aunque nadie lo logrará jamás, una parte de nuestras vidas la ocupamos en prever, conjeturar, adivinar acontecimientos sobre los cuales no tenemos control. Nuestras vidas dependen en gran número de sucesos cuyas consecuencias no podemos anticipar por consiguiente, muchos de nuestros actos y decisiones de la vida cotidiana se basan en la fe, una definición de fe del diccionario de la Real Academia de La Lengua Española dice:
definición de fe
El Diccionario de la Real Academia de La Lengua Española dice: 3. f. Conjunto de creencias de alguien, de un grupo o de una multitud de personas. 4. f. Confianza, buen concepto que se tiene de alguien o de algo. Tener fe en el médico. 5. f. Creencia que se da a algo por la autoridad de quien lo dice o por la fama pública. 6. f. Palabra que se da o promesa que se hace a alguien con cierta solemnidad o publicidad. Otra definición de fe es posible de encontrar en la Biblia. Dicha definición se encuentra en Hebreos 11:1 y dice lo siguiente: “Es, pues, la fe la certeza de los que se espera.
Reflexión
Si reflexionamos acerca de estas definiciones nos damos cuenta que no siempre es suficiente tener fe en que algo sucederá o no; se requiere de algún modo cuantificar esa especie de fe o confianza, .al desear cuantificar ya nos trasporta al terreno más científico y se eso es de lo que trata la teoría de probabilidades. La escala de confianza de verosimilitud de un suceso lo medimos en una escala simple de números decimales entre el cero y el uno, siendo el cero (la verosimilitud imposible) y uno (un evento seguro) y al rango intermedio le llamamos suceso “Probable”.
Sentido común y ciencia Laplace, eminente matemático francés de la última mitad del siglo XVIII y principios del XIX, describía la teoría de la probabilidad como “el sentido común reducido al cálculo”. Veamos como la siguiente anécdota justifica esta descripción.
La historia no es tan trivial como pueda parecer, con ella podemos aprender mucho. El sentido común, basando su juicio en la experiencia, nos indica que los estudiantes quieren saltarse la necesidad de estudiar. En otras palabras sabemos intuitivamente que la moneda no caerá de canto, que lo hará sobre la cara o sobre la cruz. Más aún, si la moneda es legal(no se le ha hecho ningún truco), tenemos la certeza moral de que las posibilidades de que salga cara o cruz son las mismas.
Teoría de la probabilidad Pues
bien la teoría de la probabilidad se basa en la asunción que hacemos de cuestiones tales como estas: ¿Cuál es la probabilidad de que una moneda caiga sobre el borde? ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara? ¿Cuál es la probabilidad de que salga cruz?
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Para poder tratar estas cuestiones desde un punto de vista matemĂĄtico, es necesario asignar valores numĂŠricos a cada una de las probabilidades involucradas.
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Supongamos por el momento que denotamos por đ?‘? el valor numĂŠrico de la probabilidad de que al lanzar una moneda, salga cara. Puesto que es igualmente posible que al lanzar la moneda, salga cruz, la probabilidad de que salga cruz tambiĂŠn debe tener asignado el valor đ?‘?.
ÂżQue sabemos? ď‚›
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Tenemos la certeza de que saldrĂĄ cara o cruz sigue que 2đ?‘? debe ser el valor asignado al suceso seguro, el que ocurrirĂĄ siempre que lancemos una moneda al aire. Podemos elegir cualquier valor que nos plazca para el suceso seguro. Es costumbre elegir el valor 1. Esto es: asumimos que 2đ?‘? = 1. Entonces la probabilidad de que la moneda muestre cara es: 1/2; la probabilidad de que muestre cruz es : 1/2; y la probabilidad de que salga cara o cruz es la 1 1 probabilidad total : + = 1 2
2
Analizando el ejemplo
Si analizamos detalladamente el ejemplo, podemos apreciar varias cosas:
Un experimento aleatorio, lanzar una moneda al aire
Unos resultados puntuales, sale cara o sale cruz y no podemos tener la certeza de antemano de que sea cara o sea cruz Estas simples características es lo que nos define un Experimento .Aleatorio
Ahora unas asignaciones de probabilidad a cada uno de los resultados, que se basan en el sentido común y en nuestra experiencia previa.
Definiciones bĂĄsicas ď‚›
Vamos a definir de manera mĂĄs precisa cada uno de los elementos que intervienen:
Experimento aleatorio Es el experimento que se caracteriza porque su desarrollo no es previsible con certidumbre. Espacio muestral Es el conjunto de todos los resultados o eventos que se pueden obtener al realizar el experimento aleatorio. Lo designamos con la letra â„Ś đ?‘œ đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ đ??¸ y colocamos sus elementos entre llaves y separados por comas. Suceso Es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral â„Ś . Los designamos por letras mayĂşsculas: đ??´, đ??ľ, đ??ś, . . . ,ponemos sus elementos entre llaves y separados por comas.
Observación :
Un resultado concreto de un experimento o evento, es un elemento del espacio muestral asociado al experimento, conceptualmente suceso y evento son dos cosas distintas. Los eventos de un experimento aleatorio se suelen representar con letras minúsculas, los sucesos con letras mayúsculas.
Ejemplo: Lanzamos un dado, (con sus caras enumeradas del 1 al 6), si el espacio muestral se define como los posibles resultados o eventos del experimento entonces: Ω={1,2,3,4,5,6}
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definimos varios sucesos que pueden ocurrir, puede que salga un par o que salga un impar sĂ tenemos: ď‚› đ??´ = đ?‘ đ?‘– đ?‘’đ?‘™ đ?‘›Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘ đ?‘Žđ?‘™đ?‘’ đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; = 2,4,6 ď‚› đ??ľ = đ?‘ đ?‘– đ?‘’đ?‘™ đ?‘›Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘ đ?‘Žđ?‘™đ?‘’ đ?‘’đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; = 1,3,5
Representación Gráfica Eventos
A Ω
2. 6. 4. B
Sucesos
1. 5.
3.
En el ejemplo anterior el
suceso A ocurre siempre que el resultado del experimento sea el elemento 2, el elemento 4 o el elemento 6. La confusión entre suceso y evento se debe a que cuando el suceso definido tiene un único evento a cumplirse para que se verifique,
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đ??ś = {đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘Žđ?‘™ đ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘§đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘˘đ?‘› đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘ đ?‘Žđ?‘™đ?‘”đ?‘Ž 2} y efectivamente, obtenemos un 2 al lanzar el dado decimos que el suceso es cierto o que se verifica, de otra forma si al lanzar el dado no ocurre el evento que salga un 2, el suceso no se verifica o es falso De otra forma nuestro Suceso đ??ś = {đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘Žđ?‘™ đ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘§đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘˘đ?‘› đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘ đ?‘Žđ?‘™đ?‘”đ?‘Ž 2} es el subconjunto 2 del espacio muestral. Y nuestro evento o resultado "Sale un dos" es el elemento đ?&#x;? del espacio muestral.