Миколаївський морський ліцей імені професора М. Александрова
Конспект уроку з геометрії у 8 класі
«Необхідні і достатні умови існування кола, описаного навколо чотирикутника і кола, вписаного в чотирикутник»
Вчитель: Кіцай О.М.
Миколаїв – 2010
Тема: Необхідна і достатня умова існування кола, описаного
навколо чотирикутника. Необхідна і достатня умова існування кола, вписаного в чотирикутник.
Мета: закріпити навички застосування необхідних і достатніх умов існування кола, описаного і вписаного в чотирикутник, для розв’язування задач, розглянути метод допоміжного кола. Виховна мета: виховання організованості, почуття відповідальності. Розвиваюча мета: розвиток ключових компетентностей: пізнавальної, самоосвітньої, комунікативної.
Хід уроку І. Актуалізація опорних знань. Формулювання теми уроку, окреслення мети і власних цілей кожного учня, оскільки досвід свідчить, що люди досягають більшого, ніж запланували, якщо вони самі зможуть формувати мету. Учням пропонується перелік ключових компетентностей, які можуть формуватися протягом уроку. Учні вибирають з даного списку ті, які хотіли б формувати особисто. Наприклад, учень вибирає з пізнавальних компетентностей такі як аналіз і реконструкція, з самоосвітніх таку як робота з іншими джерелами інформації, з інформаційних – складання опорного конспекту, з комунікативних – вміння слухати. Протягом уроку учень концентрує свою увагу на формуванні саме цих компетентностей. Допомагає вчитель, який постійно, на кожному етапі уроку, конкретизує для учнів, як саме можна сформувати ті чи інші компетентності, в чому вони полягають, що необхідно вміти, щоб розвивати вміння і навички. Вступне слово вчителя На минулому уроці ми вивчили необхідну і достатню умову існування кола, описаного навколо чотирикутника. Сьогодні нам необхідно закріпити навички розв’язування задач з даної теми і вивчити необхідну і достатню умову існування кола, вписаного в чотирикутник. Починаємо з актуалізації опорних знань.
2
На дошці заготовлені малюнки, завдання до яких: вказати ідею доведення кожного факту: 1) властивість вписаного кута; 2) властивість вписаних кутів, які спираються на одну дугу; 3) властивість вписаного кута, який спирається на діаметр; 4) властивість чотирикутника, навколо якого описане коло; 5) ознака існування кола, описаного навколо чотирикутника. Під час виконання цього завдання учні формують пізнавальну компетентність: виділення головного. Підсумки І етапу. ІІ. Самостійна робота за готовими малюнками. Учні отримують завдання для самостійної роботи: шість задач за готовими малюнками: Знайти х, у. 1) 2) 3)
x
140°
x
100°
130°
x 4)
5)
D
6) B
A 30°
25°
A y B
x
C
D
y
A
N
30° 40°
x
80°
B
x C
C
Перевірка здійснюється самостійно під час колективного обговорення результатів самостійної роботи. Результати учні вносять у лист самооцінки. Максимальний бал – 6. Під час виконання і перевірки самостійної роботи формуються такі компетентності, як аналіз, синтез, реконструкція. 3
ІІІ. Розв’язування тестових завдань. Учні отримують листи із тестовими завданнями 1) Чому дорівнює градусна міра центрального кута кола, який спирається на дугу, що становить 2) 3) 4) 5)
6)
1 6
кола?
1) 180°; б) 90°; в) 60°; г) 30°. Коло неможна описати навколо 1) ромба; б) рівнобічної трапеції; в) прямокутника; г) квадрата. В чотирикутнику ABCD, вписаному в коло ∠А=20°, ∠В=110°. Знайти градусну міру кута С. 1) 70°; б) 160°; в) 20°; г) 110°. Кінці хорди ділять коло на дві дуги, градусні міри яких відносяться як 3:1. Знайдіть градусну міру більшої з цих дуг. 1) 60°; б) 90°; в) 120°; г) 270°. Навколо якого чотирикутника можна описати коло, якщо його кути, розташовані послідовно, дорівнюють: 1) 72°, 105°, 108°, 75°; 2) 138°, 44°, 52°, 126°; 3) 56°, 112°, 124°, 82°. Знайдіть градусну міру вписаного кута АВС, якщо дуга АС, на яку він спирається дорівнює 24°. 1) 12°; б) 24°; в) 48°; г) 156°.
Перевірка правильності виконання тестових завдань виконується за допомогою сигнальних карток А, Б, В, Г. Учні спочатку самостійно виконують тестові завдання, записують відповіді в зошитах. Потім організовано перевіряють. По кожному завданню «голосують» картками. Вчитель бачить роботу кожного учня, пропонує учням прокоментувати правильні відповіді, вказує на помилки, зроблені учнями. Результат учні вносять у лист самооцінки. Максимальний бал – 6. Під час роботи з тестами формуються такі компетентності, як порівняння, відповідальність за результати своєї праці, культура мовлення (під час аргументації своєї думки), аналіз. IV. Захист розв’язання задач, які розв’язуються методом допоміжного кола. Два учні, які отримали індивідуальне завдання розібрати і захистити розв’язання задач
4
Задача№1 (§3, п.13 «Геометрія» для 8 кл. з поглибленим вивченням математики) З довільної точки М катета АС прямокутного трикутника АВС опущено перпендикуляр МК на гіпотенузу АВ. Доведіть, що ∠МКC=∠МВC. Учень вказує спочатку, яку ключову задачу він використав, а саме: «Якщо в чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює 180°, то навколо нього можна описати коло.» Далі учень вказує, яким чином він використовує дану ключову задачу. Цікава деталь – допоміжне коло спочатку відсутнє на заготовленому малюнку, а потім з’являється на прозорій плівці на очах учнів. Задача №2 (§3, п.13 «Геометрія» для 8 кл. з поглибленим вивченням математики) На сторонах ВС і СD квадрата АВСD взято точки М і N, так що ∠MAN=45°. За допомогою лише лінійки опустіть перпендикуляр з точки А на пряму MN. Учень вказує, яку ключову задачу він використав, а саме ознаку належності чотирьох точок одному колу: якщо точки A, M, N, В такі, що ∠АМВ=∠ АNВ, причому точки М і N лежать в одній півплощині відносно прямої АВ, то точки A, M, N, В лежать на одному колі. Допоміжне коло також з’являється на прозорій плівці. Під час захисту розв’язань задач №1 і №2 формуються такі компетентності, як аналіз, синтез, прогнозування, вміння рецензувати відповідь, робота з книгою, вміння слухати, культура мовлення. Задача №3 (олімпіадна задача) В опуклому чотирикутнику АВСD ∠ВАС=25°, ∠ВСА=20°, ∠ВDС=50°, ∠ВDА=40°. Знайти кути чотирикутника АВСD. Учні класу самостійно розв’язують дану задачу. Ключова задача, яка використовується при розв’язанні даної задачі наступна: якщо точки О і С знаходяться в одній півплощині відносно прямої АВ, причому ОА=ОВ і ∠АОВ=2∠АСВ, то точки А, В, С лежать на колі з центром в точці О. Під час розв’язання даної задачі формуються такі компетентності, як аналіз, синтез, аналогія, реконструкція, прогнозування, робота в парі, культура мовлення.
5
Підсумки IV етапу: Допоміжне коло – одна з найестетичніших допоміжних побудов. Це пов’язано з тим, що «побачити» коло там, де його немає, вже само собою нетривіально. V. Історичні факти. Цікаві додатки. Арабський математик Гасан Ібн Гайтем (ХІ ст.) запропонував такий спосіб виявлення того, що заданий чотирикутник є вписаним, при цьому він користувався лише циркулем. Один учень грає роль Гасана Ібн Гайтема. Виходить до дошки, на якій накреслено довільний чотирикутник АВСD. Пропонує провести дуги з центрами в протилежних вершинах А і С. Точки перетину дуг зі сторонами чотирикутника та продовженням однієї з них позначено, як вказано на малюнку. Якщо KN=PE, то чотирикутник АВСD вписаний, а якщо рівність не виконується, то ні. Учням пропонується обґрунтувати спосіб Гасана Ібн Гайтема або спростувати його. B
P A
C F
N K D Компетентності, які формуються під час цього етапу: робота з іншими джерелами інформації, аналіз, вміння слухати, культура мови, прогнозування, робота з конспектом, підручником.
Підсумки V етапу: Яке твердження було використано для обгрунтування? VІ. Перевірка домашнього завдання. На дошці заготовлені малюнки до задач №13.4, 13.7, 13.16 і *13.28 (завдання оцінюється окремо). Зошити закриті. Відбувається усний захист розв’язання домашніх задач. Учні, які готові до захисту, піднімають руки. Одному з них вчитель пропонує пояснити ідею розв’язання, вказати план розв’язання. Якщо учень не зміг пояснити, йому не зараховуються відповідні бали. 6
Всі інші учні, які піднімали руки отримують бал за захист. Така робота здійснюється по кожній задачі 13.4, 13.7, 13.16. За кожну 4 бали. Після цього учні розкривають зошити і виставляють дві оцінки: за письмовий розв’язок задач і окремо за усний захист. Компетентності, які формуються під час захисту домашнього завдання: синтез, самостійність, вміння аргументувати, виділення головного, складання плану, реконструкція. Підсумки VІ етапу. VІІ. Вивчення необхідної і достатньої умови існування кола, вписаного в чотирикутник. Практична робота: 1) Накресліть коло. Користуючись косинцем та лінійкою, проведіть 4 дотичні до кола, щоб утворився чотирикутник. Зробіть висновок: 2) Виміряйте протилежні сторони утвореного чотирикутника. Обчисліть суми довжин його протилежних сторін. 3) Зробіть висновок. Учні роблять висновок: суми протилежних сторін чотирикутника рівні. Компетентності, які формуються під час практичної роботи: прогнозування, аналіз, узагальнення. Формулюється означення чотирикутника, описаного навколо кола і теорема 14.1 про його властивість. Теорема 14.1 Якщо чотирикутник є описаним, то суми його протилежних сторін рівні. B b
b
i
a A
C a
i p
p
D Доведення: b+i+p+a=b+i+p+a Підсумок. Які знання необхідні для доведення? Компетентності, які формуються під час доведення: аналіз, прогнозування. 7
Побажання учням: не втрачати віру в свій успіх у навчанні. Обернену теорему 14.2 пропонується довести самостійно дома. VІІІ. Розв’язування задач: 1) Знайти х.
B
13 A 18 x D
15
C
2) KN=NM
M 0,7 L x 0,5 N K
Учні роблять висновок, що за даною умовою задачу розв’язати неможливо. Питання: як необхідно змінити умову, щоб задача мала розв’язок? Відповідь: KN=NL. 3) Сума двох протилежних сторін описаного чотирикутника 15см. Знайдіть периметр цього чотирикутника. 4) Довжини трьох послідовних сторін описаного чотирикутника, периметр якого 96см, відносяться як 1:2:3. Знайдіть довжину найменшої сторони чотирикутника. 5) Чи можна вписати коло в чотирикутник, довжини послідовних сторін якого 7см, 3см, 5см, 9см? (А якщо вилучити слово послідовних? Що зміниться?)
8
ІХ. Порівняння ознак вписаного і описаного чотирикутників. Робота в групах. Кожній групі з 4-х учнів пропонується зображення таких фігур: - рівнобічна трапеція; - прямокутник; - ромб; - паралелограм, який не є прямокутником; - нерівнобічна трапеція; - квадрат; - прямокутна трапеція; - довільний чотирикутник. Завдання: Чи можна вписати або описати коло навколо даної фігури? Чому? Фігури, які можуть бути і вписаними і описаними. Що є радіусом? Компетентності, які формуються під час роботи в групах: комунікативна – вміння працювати в групі, культура мовлення, вміння аргументувати, вміння рецензувати висловлення інших учнів. Протягом уроку учні вносять результати роботи до листа самооцінки: 1) Доповнення (учні протягом всієї пари отримують картки за відповіді, їх кількість вноситься в лист самооцінки). 2) Самостійна робота (максимально 6 балів). 3) Тести (максимально 6 балів). 4) Домашня робота (дві оцінки) + оцінка за завдання із зірочкою. 5) Індивідуальне завдання (три учні). 6) Робота в парі (2 бали). Вчитель збирає листи самооцінки і виставляє такі оцінки за урок: 1) Самостійна робота + тести = 12 балів (максимально). 2) Домашня робота (тільки за захист і завдання із зірочкою). 3) Вибірково за активну роботу на уроці + бали за роботу в парі. Х. Домашнє завдання §3, п. 14, №14.3, 14.7, 14.10 * 14.17 Скласти опорний конспект з даної теми за критеріями: повнота, стислість, наочність. ХІ. Рефлексія На виданих листочках учні закінчують речення: 1) Під час уроку мені сподобалось … 2) Під час уроку мені не сподобалось … 3) Я проявив (або розвинув) такі компетентності … 4) Я вперше розпочав … 5) Я добре виконав … 9